Nominalismin rajat TERO TULENHEIMO

Transkriptio

1 Nominalismin rajat TERO TULENHEIMO 1 Johdanto Tarkastelen tässä artikkelissa systemaattisesti seuraavia kysymyksiä: Mitä on olemassa? Minkä tyyppisiä olioita on olemassa? Tarkastelen mahdollisia vastauksia näihin kysymyksiin niin sanotun Quinen kriteerin näkökulmasta. Tarkoitan teesin Oleminen on sidotun muuttujan arvona olemista esittämää kriteeriä, jonka Quine muotoili artikkelissaan On What There Is (1948). Kriteerillä on sisältö sekä puhuttaessa yksittäisten olioiden olemassaolosta että puhuttaessa oliotyypeistä. Ontologian kannalta merkitsevin kysymys koskee nimenomaan sitä, mihin oliotyyppeihin kuuluvia olioita on olemassa. Vastaus tähän kuitenkin selvästi riippuu siitä, mitä yksittäisiä olioita on olemassa; esitänkin täsmällisen formuloinnin sille, mitä nimenomaisia olioita Quinen kriteerin mukaan on olemassa. Tuon esiin, että Quinen kriteerille on annettavissa eri lukutapoja sen mukaan, ajatellaanko sen olevan sisällöltään episteeminen vai ontologinen, ja onko sen taustalla oleva käsitys abstrakteista olioista realistinen vai reifioiva. Quine itse katsoi kriteerinsä olevan kriteeri sille, mitä jokin teoria sanoo olevan olemassa, ja hän katsoi olemassaolon aina olevan yksilönä ensimmäisen kertaluvun muuttujan arvona olemista. Käyttämälläni terminologialla ilmaisten kriteerillä oli hänelle ensi kädessä episteeminen (todellisuutta koskeviin käsityksiimme liittyvä) sisältö, ja hänen suhtautumisensa abstrakteihin olioihin oli reifioiva (toisin sanoen hänen suhtautumisensa nominalismiin oli dogmaattinen). Kriteeriä voi kuitenkin käyttää ontologisiin tarkoituksiin: kuten jäljempänä esitän, sen avulla voi esittää karakterisoinnin aktuaalisesti olemassaolevien olioiden luokalle. Edelleen, kriteerin voi yhdistää abstrakteja olioita koskevaan realistiseen suhtautumiseen, eli tarkastelutapaan, joka ei etukäteen lyö lukkoon, että kaikki olemassaolevat entiteetit ovat yksilöitä, vaan pyrkii ratkaisemaan kysymyksen siitä, minkä tyyppisiä olioita on olemassa tutkimalla sitä, mitä meidän on todellisuudelta oletettava jotta sitä koskevat todet käsityksemme voisivat olla tosia. Ontologisesti ja realistisesti tulkittuna Quinen kriteeri sanoo, karkeasti ilmaisten, n. kertalukua olevia olioita olevan olemassa täsmälleen siinä tapauksessa, että on (aktuaalisesti) tosia lauseita, jotka ovat palautumattomasti n. kertalukua.

2 Nominalismin rajat 2 2 Quinen kriteeri Artikkelissaan On What There Is (1948) Quine esittää kuuluisaksi tulleen ontologisen sitoumuksen kriteerinsä. Hän kirjoittaa (s. 31): Oleminen on, aivan yksinkertaisesti, muuttujan arvona olemista. 1 Perinteisen kieliopin kategorioin ilmaisten vastaa tämä karkeasti sen sanomista, että oleminen on pronominin viittausalassa [range of reference] olemista.... Kvantifikaatiomuuttujilla [variables of quantification], sellaisilla kuin jokin, ei mikään, kaikki, 2 on vaihtelualanaan koko ontologiamme, mikä se sitten onkin; ja osoittaudumme syyllisiksi tiettyyn ontologiseen presuppositioon jos, ja vain jos, väitetty presuppositum täytyy laskea kuuluvaksi niiden entiteettien joukkoon, jotka ovat muuttujiemme vaihtelualassa, jotta jokin väitteistämme voisi olla totta. Quine näyttää artikkelissaan, Bertrand Russellin määrättyjen kuvausten teoriaan (Russell 1905) viitaten, kuinka erisnimiä, esimerkiksi erisnimeä Pegasus, voidaan mielekkäästi käyttää lausekonteksteissa ilman, että niiden oletettaisiin todella viittaavan joihinkin objekteihin. Lisäksi hän esittää, että yleisnimiä (appellatiiveja), vaikkapa predikaatteja pegasoida, olla ihminen tai olla pidempi, voidaan käyttää katsomatta, että niillä olisi onttisina vastineinaan attribuutteja siis olettamatta, että nämä yleisnimet olisivat sellaisten kvaliteettien tai relaatioiden kuin pegasoiminen, ihmisyys tai pidemmyys erisnimiä. Edelleen Quine argumentoi, että väitelauseiden esiintymien mielekkyydestä, synonymiasta tai heteronymiasta puhuminen ei edellytä sellaisen ontologisen kategorian kuin merkitykset olemassaoloa. Emme kuitenkaan voi ulottaa sitoutumattomuuttamme mielivaltaisen pitkälle. Quine esittää, että on olemassa täsmälleen yksi tapa, millä ontologiset sitoumuksemme syntyvät, nimittäin sidottuja muuttujia käyttämällä. Esimerkiksi lause On jotakin, mikä on yhteistä punaisille taloille, punaisille ruusuille ja punaisille auringonlaskuille sitoo lausujansa punaisuusuniversaalin olemassaoloon ja tätä kautta universaaliteoriaan, jota 1 Artikkelin muokatussa versiossa (Quine 1963, s. 13) tämä lause (To be is, purely and simply, to be the value of a variable) on korvattu lauseella To be assumed as an entity is, purely and simply, to be reckoned as the value of a variable, hieman ontuvalla suomella ilmaisten, Entiteetiksi postuloituna oleminen on, aivan yksinkertaisesti, muuttujan arvoksi katsottuna olemista. Alkuperäisessä asussaan Quinen kriteeri kuuluu näin: To be is to be the value of a variable (Quine 1948, s. 34; 1963, s. 15). Kivinen (1971) ja Boolos (1984) kumpikin uudelleenformuloivat sen muotoon To be is to be a value of a variable ; tätä modifikaatiota onkin pidettävä aiheellisena syistä jotka liittyvät ontologisten sitoumusten epäspesifisyyteen (ks. erit. alasektio 4.1.3). 2 Huomattakoon, että Quine todella antaa ymmärtää, että sellaiset sanat kuin something, nothing ja everything ovat kvantifikaatiomuuttujia. Nykyterminologialla ne olisivat kvanttori-ilmauksia, joiden semantiikan esittäminen edellyttää muuttujan käsitteen, ja jotka voivat syntaktisesti sitoa pronomineja, jotka puolestaan voivat joissain suhteissa muistuttaa muuttujia, mutta näitä sanoja itsejään ei missään tapauksessa kutsuttaisi muuttujiksi.

3 Nominalismin rajat 3 Kivinen (1999) kutsuu onttiseksi kommunismiksi. Lauseella On jotakin, joka on alkuluku 1000:n ja 1010:n välissä taas on ontologinen sitoumus, jonka mukaan on olemassa sellainen n, että 1000 < n < 1010, ja kaikille n 1, n 2, joille n 1 n 2 = n, (n 1, n 2 ) {(1, n), (n, 1)}. Esittämänsä kriteerin luonteesta Quine sanoo (1948, s. 32): Teoria sitoutuu niihin ja vain niihin entiteetteihin, joihin teorian sidottujen muuttujien on voitava viitata, jotta teorian puitteissa esitetyt affirmaatiot olisivat tosia. Edelleen hän kirjoittaa (ibidem, s ): Miten sitten voimme tehdä valinnan kilpailevien ontologioiden välillä? Selvästikään semanttinen kaava Oleminen on sidotun muuttujan arvona olemista ei tarjoa vastausta; tätä kaavaa voidaan pikemminkin, päinvastoin, käyttää testaamaan, mukautuuko jokin huomautus tai doktriini ennalta kiinnitettyyn ontologiseen standardiin. Emme tarkastele sidottuja muuttujia ontologian yhteydessä tietääksemme, mitä on olemassa, vaan tietääksemme mitä jokin huomautus tai doktriini, olipa se sitten omamme tai jonkun toisen, sanoo olevan olemassa; ja tämä itsessään todella on ongelma, joka liittyy kieleen. Mutta mitä on olemassa, on toinen kysymys. Nämä lainaukset tuovat esiin, että Quine itse ymmärsi kriteerinsä johdannossa käyttöönotetulla terminologialla ilmaisten episteemiseksi, ei ontologiseksi: sen avulla voidaan tunnistaa, mitä eri teoriat sanovat olevan olemassa mitä on oltava olemassa, jotta jokin annettu teoria voisi pitää paikkansa. 3 Toisaalta Quinen töistä ilmenee myös selvästi hänen kantansa toisen johdannossa esitetyn erottelun suhteen: hänen suhtautumistapansa abstrakteihin olioihin on reifioiva, ei realistinen. Philosophy of Logic -teoksessaan (1970) Quine on jyrkästi sillä kannalla, että kvantifiointi on mahdollista ainoastaan sellaisten ilmausten suhteen, jotka ensimmäisen kertaluvun kaavoissa esiintyvät nimipositiossa. 4 Koska mikään predikaatti P ei ole sen paremmin ekstensionsa (joukko tai luokka) kuin intensionsa/merkityksensä (attribuutti) nimi, ei Quinen mukaan predikaattien suhteen kvantifiointi ole mahdollista. Ainoastaan yksilötermien suhteen siis voi kvantifioida. Esimerkiksi Boolos (1975) kritisoi voimakkaasti tätä Quinen käsitystä, 3 Resnik (1974, s. 289) toteaa Quinen kriteerin sisällön olevan juuri esittämäni, vastahuomautuksena sellaiselle kriitikolle, joka väittäisi, että eihän Quinen kriteeriä voida soveltaa, ellei ensin olla kiinnitetty tarkasteltavan mallin yksilöaluetta minkä jälkeen sen soveltamiseen taas ei tällaisen kriitikon mukaan ole enää mitään aihetta. Yksi tavoista, joilla Chihara (1968) Quinen kriteeriä kritisoi, on juuri tämä (ibidem, s. 37) mikä siis näyttäisi ilmentävän ko. kriteerin melko perusteellista väärinymmärtämistä. 4 En pyri Quine-eksegeesiin, joten en aio systemaattisesti ja dokumentoiden sulkea pois mahdollisuutta, että Quine olisi jossain uransa vaiheessa ollut realisti. Quinen yleisfilosofinen positio huomioon ottaen on kuitenkin melkeinpä itsestään selvää, ettei näin ollut.

4 Nominalismin rajat 4 tuoden esiin sen satunnaisen luonteen Quine kun näyttää dogmaattisesti korottavan yksilömuuttujien ominaisuuden esiintyä nimipositiossa kaikkien sellaisten muuttujien olennaiseksi ominaisuudeksi, joiden suhteen kvantifiointi on mahdollista (ks. Boolos 1975, s ). Sellainen ymmärrys kvantifioinnista, jota Quinen näkemys ilmentää, yhdistettynä hänen kriteeriinsä olemassaololle, merkitsee nimenomaan (johdannossa käyttöönotetulla terminologialla ilmaisten) reifioivaa suhtautumista kaikkiin mahdollisiin olioihin: mikään entiteetti ei voi olla olemassa muutoin kuin yksilönä niin, että siihen voi viitata ensimmäisen kertaluvun kaavassa nimipositiossa esiintyvällä ilmauksella. Edellä esitetyt esimerkkilauseet auringonlaskuista ja alkuluvuista eivät siis ole Quinelle pelkästään esimerkkejä universaaleihin ja lukuihin sitoutumisesta ne ovat lisäksi esimerkkejä sitoutumisesta siihen, että puheena oleva universaali ja puheena olevat luvut ovat yksilöitä. 3 Kaksi näkökulmaa olemassaoloon Erottelu reifioivan ja realistisen näkökulman välillä olemassaoloa koskevassa keskustelussa on siinä määrin tärkeä tämän artikkelin aiheen kannalta, että se ansaitsee tulla täsmennetyksi. Tarkastelkaamme seuraavia lauseita ψ ja Ψ, joista ensimmäinen on kirjoitettu Zermelo Fraenkel-joukko-opin (ZF) kielessä, jälkimmäisen ollessa toisen kertaluvun logiikan lause: ψ : x y z w(w z (w x w y)) Ψ : X Y Z w(zw (Xw Y w)) Lauseen ψ totuutta tarkastellaan suhteessa ZF:n malleihin. Tällaisen mallin yksilöalueen alkiot ovat (ZF:n mielessä) joukkoja. Lause ψ sanoo mallistaan, että jos x ja y ovat joukkoja, niin on olemassa joukko z, joka on niiden leikkaus. (Näin ollen ψ on itse asiassa tosi kaikissa ZF:n malleissa.) ZF on ensimmäisen kertaluvun teoria, ja ψ on ensimmäisen kertaluvun lause. ZF:ssä joukkoja siis tarkastellaan yksilöinä. Toisen kertaluvun lauseen Ψ totuutta taas tarkastellaan suhteessa mielivaltaisiin malleihin (ensimmäisen kertaluvun struktuureihin) käyttäen toisen kertaluvun logiikan standarditulkintaa (ks. Henkin 1950). Tällöin yksilömuuttujat x, y, z,... saavat arvonsa mallin yksilöalueesta (joukko tai luokka), kun taas joukkomuuttujien X, Y, Z,... arvot voivat olla mitä hyvänsä yksilöalueen osajoukkoja. 5 Lause Ψ sanoo mallistaan, että jos X ja Y ovat yksilöalueen osajoukkoja, niin on olemassa osajoukko Z, joka on niiden leikkaus. (Käytettäessä mitä hyvänsä kysymykseen tulevaa joukko-oppia generoimaan yksilöalueen osajoukkojen luokka, myös lause Ψ on itse asiassa tosi kaikissa malleissa, joissa sen totuutta voidaan tarkastella.) 5 Yleisesti n-paikkaisen relaatiomuuttujan X n arvot voivat olla mitä hyvänsä joukkoja S 1... S n, missä kaikki S i:t ovat yksilöalueen osajoukkoja.

5 Nominalismin rajat 5 Lauseet ψ ja Ψ näyttäisivät siis esittävän jotakuinkin saman väitteen malliaan koskien: että minkä hyvänsä joukkojen A ja B leikkaus on olemassa (ja on joukko). Onko näiden lauseiden esittämien väitteiden välillä sitten mitään ontologisesti merkitsevää eroa? Mitä nämä lauseet tarkkaan ottaen sanovat? Jos nyt M on ZF:n malli ja V sen yksilöalue, ovat kaikki luokan V alkiot loogisesti katsoen yksilöitä: ZF on ensimmäisen kertaluvun teoria, eikä V :n alkioiden välillä tehdä mitään status-erotteluja: kaikki ovat olemassa samassa mielessä, kaikki kelpaavat yksilömuuttujien arvoiksi. Toisaalta, koska M on nimenomaan ZF:n malli, ovat kaikki V :n alkiot sisällöllisesti katsoen joukkoja. Nyt voidaan havaita miten ZF sitoutuu joukkojen olemassaoloon: siten, että ZF-lauseissa sidottujen muuttujien arvot ovat yksilöitä, joiden on erikseen kerrottu olevan joukkoja. ZF:n muotoilu eteneee niin, että ensin tehdään teoreettinen ratkaisu ensimmäisen kertaluvun joukko-opin muotoilemisesta. Ontologisesti tämä merkitsee kannanottoa sen mahdollisuuden puolesta, että abstrakteja olioita (tässä: joukkoja) voidaan adekvaatisti käsitellä yksilöinä, ja joka tapauksessa tämä merkitsee päätöstä alkaa niitä sellaisina käsitellä. Kun sitten tällä tavoin on valittu reifioiva näkökulma joukkoihin, voidaan muotoilla ensimmäisen kertaluvun aksiomatisoitu teoria, joka pyrkii esittämän kuvauksen kaikkien joukkojen totaliteetista. Lopputuloksena on teoria, jonka kaavoissa esiintyvien muuttujien arvot ovat aina loogisesti katsoen yksilöitä, mutta aksiomatisoinnin päämäärä huomioonottaen lisäksi sisällöllisestä näkökulmasta joukkoja. Kun lähdetään siitä, että joukkoja voi tarkastella yksilöinä, joukkojen olemassaoloon sitoutuminen edellyttää ainoastaan ZF:n aksioomien hyväksymistä. Tällaisessa lähestymistavassa abstraktien olioiden olemassaoloon näyttää olevan filosofisesti jotain hyvin epätyydyttävää: selväjärkistä kriteeriä oliotyypin T olioiden olemassaololle (tai siihen sitoutumiselle) päästään käyttämään vain, jos ollaan jo etukäteen suostuttu ajattelemaan tyypin T entiteettejä yksilöinä. Mutta miten sitten ratkaistaan, onko tällainen reifikaatio oikeutettua vai ei? Jos on mahdollista rekonstruoida mitä abstraktin olion olemassaolo muuna kuin yksilönä ylipäätään voisi merkitä, kysymystä ei voi sivuuttaa. Toisaalta on tietenkin mahdollista koettaa argumentoida, että termi olemassaolo kertakaikkiaan on niin vahvassa merkityksessä univokaalinen, että olisi mieletöntä väittää, että olio x, joka ei ole yksilö, olisi olemassa. Toisen kertaluvun lauseena lause Ψ puhuu yksilöiden ohella myös joukoista. Näkökulmasta, jonka mukaan abstraktit oliot, sikäli kuin ovat olemassa, ovat yksilöitä, lause Ψ on itse asiassa mieletön ellei sen statusta toisen kertaluvun lauseena yksinkertaisesti kielletä: ellei sitä ymmärretä lauseen ψ notationaaliseksi variantiksi, tai sen merkitystä jollain muulla tavalla palauteta ensimmäisen kertaluvun logiikkaan. Toisaalta, jos abstraktien olioiden olemassaolon mahdollisuudelle ei etukäteen aseteta ehdoksi,

6 Nominalismin rajat 6 että elleivät ne ole yksilöitä, niitä ei ole, Quinen kriteeriä voi edelleen käyttää kriteerinä sille minkä olioiden olemassaoloon jokin teoria sitoutuu tällöin teoria voi yleisesti ottaen sitoutua useantyyppisten olioiden olemassaoloon, ei vain yksilöiden. Erona siihen tapaan, jolla Quine itse kriteeriään käyttää, olisi tällöin vain se, ettei sitoumisesta jonkin olion x olemassaoloon automaattisesti seuraa sitoutumista siihen, että x on yksilö. 6 Quinen kriteeri on siis mahdollista ymmärtää realistisesti niin, että teoria T sitoutuu sen mukaan täsmälleen niiden yksilöiden olemassaoloon, jotka on voitava valita T :n lauseissa esiintyvien yksilömuuttujien arvoiksi, jotta nämä lauseet voisivat olla tosia; ja lisäksi niiden yksilöalueen osajoukkojen olemassaoloon, jotka on voitava valita T :n lauseissa esiintyvien toisen kertaluvun joukkomuuttujien arvoiksi, jotta T :n lauseet voisivat olla tosia. Näin ymmärrettynä lause Ψ sitoo meidät abstraktien, ei-reifioitujen joukkojen olemassaoloon, kun taas ψ sitoo meidät loogisesti katsoen vain yksilöiden olemassaoloon. Ontologisesti näyttäisi paljon hedelmällisemmältä ensin kiinnittää jokin yksilöjoukko niiden objektien joukko, joita kiistattomasti pidämme yksilöinä (ja jotka eivät siis ole minkään abstraktien olioiden reifikaatioita), ja sen jälkeen katsoa, löytyykö toisen kertaluvun logiikan lauseita, jotka pakottavat meidät hyväksymään näiden yksilöiden joukkoja. Reifikaatiolla on paikkansa ja instrumentaalinen hyötynsä, ja voimme aina halutessamme hyväksyä yksilöalueeseemme tällaisen reifikaation tuloksia. Mutta ontologin on ensin selvitettävä mitä voidaan reifioida (mitä on olemassa) ja aikaisintaan sitten ryhdyttävä jotain reifioimaan. Reifioiva puhe esimerkiksi luonnollisten lukujen joukosta sitoo meidät joukkoopin universumin alkion ω olemassaoloon. Tämä yksilö on sisällöllisesti katsoen joukko, nimenomaan koska se löytyy joukko-opin mallin universumista. Mutta ei luonnollisten lukujen joukko abstraktina oliona joukko-opin universumin eräistä alkioista koostuvana osajoukkona tällä perusteella ole olemassa. Oleminen joukkona sisältää olemisen toisen kertaluvun muuttujan mahdollisena arvona; ω taas on yksilömuuttujan mahdollinen arvo. 7 6 Erottelua olioiden olemassaoloa koskevan reifioivan ja realistisen näkökulman välillä saattaa selventää nimenomaan joukkojen tai luokkien yhteydessä tehtävä erottelu joukko yhtenä/joukko monena, joka itse asiassa on mahdollista nähdä puheenaolevan yleisen distinktion melko selväpiirteisenä instanssina. Ks. class as one/class as many (Russell 1950); set-of/set-as-a-thing (Stenius 1989). 7 Huomattakoon, että esimerkiksi Peano-aritmetiikan standardimallin yhteydessä voidaan tietenkin puhua luonnollisten lukujen joukosta tämän mallin yksilöalueen (epäaitona) osajoukkona, mutta ei tämän mallin yksilöalue sisällä sellaista yksilöä kuin ω. Tästä näkökulmasta ei näytä aivan liioitellulta ajatella, että joukko abstraktina olioina voi olla ontologisesti ensisijainen reifikaatioonsa nähden.

7 Nominalismin rajat 7 4 Ensimmäisen kertaluvun teoriat Lähdetään nyt tarkastelemaan systemaattisesti ensimmäisen kertaluvun logiikan puitteisssa muotoiltavien teorioiden ontologisia sitoumuksia yhtäältä episteemisestä ja toisaalta ontologisesta näkökulmasta. Jos τ on relaatio-, funktio- ja vakiosymboleja sisältävä aakkosto {R i } i<κ1 {f i } i<κ2 {c i } i<κ3, sanomme τ-struktuuriksi eli malliksi (aakkostossa τ) mitä hyvänsä struktuuria (D, {R i } i<κ1, {f i } i<κ2, {c i } i<κ3 ), missä D on luokka, R i D n on n-paikkaisen relaatiosymbolin R i tulkinta, f i : D n D on n-paikkaisen funktiosymbolin f i tulkinta, ja c i D on vakiosymbolin c i tulkinta (κ 1, κ 2, κ 3 ω). Yleisestä käytännöstä poiketen sallimme myös tyhjän mallin, eli tapauksen D =. Kutsumme luokkaa D mallin M yksilöalueeksi, ja merkitsemme /M/ := D. Koska sallimme tyhjän mallin, muokkaamme hieman määritelmää sille, milloin tulkintajono γ toteuttaa ensimmäisen kertaluvun kaavan ϕ mallissa M. Pitäydymme muutoin tavanomaiseen määritelmään, mutta muotoa xψ(x) oleville kaavoille käytämme ehtoa 8 M, γ = xψ(x) /M/ = tai jokaiselle d /M/, M, γ(x/d) = ψ(x). Sanomme, että lause ϕ on tosi mallissa M, jos ehto M, γ = ϕ pätee kaikilla tulkintajonoilla γ. Sanomme tällöin, että M on lauseen ϕ malli. Sanomme, että M on teorian (lausejoukon) T malli, symbolein M = T, jos M on kaikkien T :n lauseiden malli. Lausejoukko on määritelmän mukaan ristiriitainen, jos sillä ei ole ainoatakaan mallia. Jos tyhjä malli on jonkin lausejoukon T malli, tämä lausejoukko ei ole ristiriitainen, mutta tällöin mikään T :n lauseista ei liioin assertoi minkään yksilön olemassaoloa. Mikään sen lauseista ei siis ole muotoa xϕ, muotoa xϕ yψ, tai muotoa xϕ ψ. 4.1 Episteeminen näkökulma Lähdetään tutkimaan, mihin kaikkeen annettu teoria T Quinen kriteerin mukaan ontologisesti sitoutuu. Pyrin rekonstruoimaan Quinen kriteerin sellaisena kuin se Quinelle itselleen näyttäytyi, mistä syystä pitäydyn tässä kohdin ensimmäisen kertaluvun tasolla ja pidän tarkastelun episteemisenä, eli keskityn siihen mitä tarkasteltava teoria T sanoo olevan olemassa (mikä siis ei lainkaan riipu siitä mitä on olemassa). Seuraavat esimerkkilauseet toiminevat esimerkkeinä siitä, että kysymys teorian ontologisista sitoumuksista ei ole aivan yksinkertainen: 8 Huomattakoon, että ilmaus γ(x/d) on hyvinmääritelty vain jos d /M/.

8 Nominalismin rajat 8 (1) x(x on alkuluku) (2) x(x on parillinen) x(x on pariton) (3) x(x on alkuluku) (4) x y(x on alkuluku (y on alkuluku y > x)) Ajatellaan lauseita (1) (4) luonnollisia lukuja koskevina väitteinä. Lause (1) on, kaikessa yksinkertaisuudessaan, tyypillinen esimerkki lauseesta, jollaisella Quine valaisee kriteerinsä soveltamista. Lauseen (1) totuus edellyttää, että on olemassa ainakin yksi alkuluku: henkilön, joka vakavissaan assertoi tämän lauseen, on hyväksyttävä ainakin yhden luvun olemassaolo, erityisesti sellaisen luvun, jonka ainoat tekijät ovat 1 ja tämä luku itse. Toisaalta lause (1) ei edellytä esim. kolmen alkuluvun olemassaoloa; (1) ei sido lausujaansa kolmen, eikä yleisesti minkään yhtä suuremman määrän alkulukuja olemassaoloon. Lisäksi jo tämä esimerkki riittää sen havainnon tekemiseen, että ontologinen sitoumus on yleensä hyvin epäspesifi. Lauseen (1) lausuja ei sitoudu minkään nimenomaisen alkuluvun olemassaoloon, vaan ainoastaan siihen, että jokin alkuluku on olemassa. (Koska alkulukuja on äärettömästi, lause (1) on sen verifioivan nimenomaisen alkuluvun suhteen äärettömän epäspesifi.) Episteemisessä lukutavassaan Quinen kriteeri tuleekin nähdä kriteeriksi sille, minkälaisia olioita on olemassa, ei sille, mitä olioita on olemassa. Entä lause (2)? Minkälaisen olion olemassaoloon sen lausuja sitoutuu? Tässä tapauksessa sitoumus on disjunktiivinen. Lauseen (2) lausuja sitoutuu siihen, että joko on olemassa ainakin yksi parillinen luku tai on olemassa ainakin yksi pariton luku. Sitoumus on siis vieläkin epäspesifimpi kuin lauseen (1) tapauksessa: epämäräisyys koskee sekä lauseen verifioivaa nimenomaista lukua että predikaattia, jonka sitoumuksen kohde toteuttaa. Lause (3) taas ei sido lausujaansa mihinkään, koska se on tosi silloinkin kun mitään ei ole olemassa, erityisesti silloin kun ainoatakaan alkulukua ei ole. Vastaavasta syystä lause (4):kään ei sido lausujaansa mihinkään. Mutta yhdessä esimerkiksi lauseen (1) kanssa se aikaansaa ontologisen sitoumuksen: koska (1) edellyttää, että on olemassa ainakin yksi alkuluku, n, edellyttää (4) tämän sitoumuksen pohjalta lisäksi, että on äärettömän monta alkulukua, jotka kaikki ovat lukua n suurempia Tarvittavat loogiset välineet Olkoon annettu ensimmäisen kertaluvun teoria T, jonka lauseet on kirjoitettu vain relaatiosymboleja sisältävässä aakkostossa τ. Voimme olettaa, että mitkään kaksi T :n lausetta eivät ole loogisesti yhtäpitäviä. Seuraavia tarkasteluja varten oletamme, että teorian T lauseet on numeroitu millä hyvänsä tavalla niin, että T voidaan esittää jonona ϕ n : n < ω. Teorian T skolemisaatio, sk(t ), määritellään seuraavasti.

9 Nominalismin rajat 9 Määritelmä 4.1 (Ensimmäisen kertaluvun teorian skolemisaatio.) Jos y1, 0..., ym 0 0 on lista kaikista lauseessa ϕ 0 esiintyvistä eksistenssikvanttoreista, olkoon τ 0 := {f 0 1,..., f 0 m 0 } joukko funktiosymboleja. Olkoon sitten ψ 0 sellainen aakkoston τ τ 0 lause, joka on saatu lauseesta ϕ 0 (i) poistamalla siitä kaikki eksistenssikvanttorit y 0 1,..., y 0 m 0 ; ja (ii) korvaamalla kaikki muuttujan yi 0 (i := 1,..., m 0 ) esiintymät näin saadussa kaavassa funktiotermillä fi 0(x0 1,..., x 0 k i ), jonka argumentti (x 0 1,..., x 0 k i ) on niiden muuttujien jono, joita vastaavien universaalikvanttorien x 0 1,..., x 0 k i vaikutusalassa eksistenssikvanttori yi 0 esiintyy lauseessa ϕ 0. Lausetta ψ 0 kutsumme lauseen ϕ 0 skolemisaatioksi, symbolisesti sk(ϕ 0 ) := ψ 0. Skolemisaation määritelmä laajennetaan rekursiolla koskemaan kaikkia T -lauseita ϕ n. Lausetta sk(ϕ n ) määriteltäessä edellytämme, että käytettävät funktiosymbolit f n 1,..., f n m n eivät sisälly jo käytettyjen funktiosymbolien joukkoon τ n 1. Teorian T skolemisaatioksi sanomme kaikkien T -lauseiden skolemisaatioiden joukkoa, sk(t ) := {sk(ϕ) : ϕ T }. sk(t ) on siis ensimmäisen kertaluvun teoria, jonka aakkosto on τ n<ω τ n. Havaitsemme, että teorian sk(t ) lauseissa ei esiinny lainkaan eksistenssikvanttoreita. Sen sijaan niissä esiintyy funktiotermejä, joita lähtökohtateorian T lauseissa taas ei esiinny. Lause 4.2 Olkoon τ mikä hyvänsä vain relaatiosymboleja sisältävä aakkosto, T aakkoston τ teoria, ja M teorian T malli. (i) Olkoon τ teorian sk(t ) aakkosto. Tällöin pätee: M = T jos ja vain jos on olemassa sellainen joukko F M := {f M : f τ \τ}, että mallin M ekspansio M := (M, F M ) aakkostoon τ toteuttaa: M = sk(t ). (ii) Olkoon SK(T ) seuraava teoriaa T vastaava toisen kertaluvun teoria: { f n 1... f n m n sk(ϕ n ) : ϕ n T }. Huomattakoon, että kaavan sk(ϕ n ) konstruktion nojalla siinä esiintyvien funktiosymbolien joukko on τ n\τ n 1 = {f n 1,..., f n m n }. Nyt pätee: M = T M = SK(T ), missä toisen kertaluvun logiikan semantiikkana käytetään sen standarditulkintaa, jolloin erityisesti n-paikkaiset funktiomuuttujat voivat saada arvoikseen mitä hyvänsä funktioita /M/ n /M/.

10 Nominalismin rajat Quinen kriteerin rekonstruktio Lausetta 4.2 hyväksi käyttäen voimme ilmaista täsmällisesti Quinen kriteerin Oleminen on sidotun muuttujan arvona olemista sisällön, eli spesifioida mitkä tarkkaan ottaen ovat annetun ensimmäisen kertaluvun teorian ontologiset sitoumukset. Olkoon T mielivaltainen ensimmäisen kertaluvun teoria. Voimme olettaa, että kaikki T :n lauseet on kirjoitettu negaationormaalimuotoon, eli että niissä negaatiosymboli esiintyy korkeintaan atomikaavan edessä. Seuraavalla menettelyllä voimme ensinnäkin selvittää, onko teorialla T tyhjä malli. 9 Olkoon S 0 := T. Jos ϕ S n ja ϕ = (ψ 1 ψ 2 ), olkoon S n+1 := (S n {ψ 1, ψ 2 }) \ {ϕ}. Jos ϕ S n ja ϕ = (ψ 1 ψ 2 ) valitaan jompikumpi disjunkti i {1, 2}, ja asetetaan S n+1 := (S n {ψ i }) \ {ϕ}. Pidetään lisäksi kirjaa siitä kumpi disjunkti valittiin. Soveltamalla näitä rekursiivisia sääntöjä kunnes niiden soveltaminen ei enää ole mahdollista, saavutetaan lausejoukko S joka ei sisällä ainoatakaan konjunktio- tai disjunktiomuotoista kaavaa. Jos joukossa S ei ole ainoatakaan muotoa xψ olevaa kaavaa, on teorialla T tyhjä malli; tällöin nimittäin teorian kaikkien lauseiden todeksi tekemiseen riittää valita disjunktit niin kuin ne valittiin jotta joukkoon S päädyttiin, ja kun näin tehdään, ainoankaan alkion olemassaoloa ei edellytetä. Jos taas joukosta S löytyy ainakin yksi muotoa xψ oleva kaava, sovelletaan edelläkuvattua menetelmää uudelleen joukkoon T, mutta tällä kertaa valitaan ainakin yhden disjunktion kohdalla eri tavalla kuin edellisillä kerroilla. Jos disjunkteja ei lainkaan voi valita siten, ettei lopputuloksena olevassa joukossa olisi ainakin yksi muotoa xψ oleva kaava, ei teorialla T ole tyhjää mallia. Huomattakoon, että teorialta voi puuttua tyhjä malli ilman että tällä teorialla olisi ontologisia sittoumuksia: teoria voi nimittäin olla ristiriitainen. Perustava ontologisia sitoumuksia koskeva havainto on tämä: pitäessämme teoriaa totena (kaikkia sen lauseita tosina) sitoudumme siihen, että sillä on malli, ja että aktuaalinen maailma tarjoaa tällaisen mallin. Jotta näin voisi olla, jokaista teorian lausetta ϕ kohden on Lauseen 4.2 nojalla oltava olemassa Skolem-funktiot lauseen ϕ skolemisaatiossa sk(ϕ) esiintyvien funktiosymbolien tulkinnat jotka verifioivat lauseen ϕ. Sitoudumme ontologisesti näiden Skolem-funktioiden arvojoukoissa oleviin olioihin, ja vain niihin. Mutta mitä näissä arvojoukoissa sitten on? Tämä riippuu siitä mitä niiden määritysjoukoissa on. Ellei minkään teoriaan T kuuluvan lauseen ϕ totuus nimenomaisesti pakota jonkin Skolem-funktionsa määritysjoukkoa olemaan epätyhjä, ei teorialla ole lainkaan ontologisia sitoumuksia. Ainoa tapa, jolla 9 Kyse on varsinaisesta ratkaisumenetelmästä tietenkin vain jos joukko T on äärellinen.

11 Nominalismin rajat 11 teoria voi pakottaa ainakin yhden lauseensa jonkin Skolem-funktion määritysjoukon epätyhjäksi, on se, että missä hyvänsä edellä kuvatun menettelyn tuottamassa lausejoukossa S esiintyy eksistenssikvantifioitu lause. Muutoin nimittäin teorialla T on tyhjä malli. Jos teorialla ei ole tyhjää mallia, ja halutaan tietää onko teorialla ontologisia sitoumuksia, pitää seuraavaksi selvittää onko teoria ristiriitainen vai ei. On tunnettua, että tätä ongelmaa ei voi algoritmisesti ratkaista (ensimmäisen kertaluvun logiikan toteutuvuusongelma on ratkeamaton). Jos teorialla kuitenkin on malli, ja lisäksi tiedetään ettei sen malli voi olla tyhjä, tiedetään nimenomaan että tuon teorian jonkin lauseen jonkin Skolemfunktion määritysjoukko on epätyhjä. Teorian T ontologiset sitoumukset määräytyvät sitten sen mukaan mitä malleja yllä kuvatun menettelyn tuottamilla lausejoukoilla S on: teoria T sitoutuu siihen, että aktuaalinen maailma tarjoaa mallin ainakin yhdelle kuvatun menettelyn tuottamalle lausejoukolle S. Skolem-funktioiden näkökulmasta tämä tarkoittaa, että jonkin tuollaisen lausejoukon skolemisaation sk(s) lauseissa esiintyvät Skolem-funktiot voidaan tulkita niin, että kaikki lausejoukon sk(s) lauseista tulevat tosiksi. On mahdollista ajatella, että jos jokin joukko on realisoitavissa äärellisellä mallilla, niin teoria sitoutuu erityisesti pienimmän äärellisen mallin olemassaoloon, joka realisoi jonkin joukoista S. Toisaalta voi olla niin, että teorian äärellinen malli edellyttäisi yksilöiltään joitain erittäin harvinaislaatuisia ominaisuuksia, kun taas sen äärettömät mallit edellyttäisivät yksilöiltään vain joitain täysin triviaaleja ominaisuuksia. Niinpä on teoreettisesti motivoiduinta pitäytyä abstraktissa luonnehdinnassa, jonka mukaan teoria sitoutuu yksinkertaisesti siihen, että ainakin yksi edellä kuvatun menettelyn tuottama lausejoukko S on aktuaalisesti realisoitunut Mitä ontologiset sitoumukset koskevat? Juuri päätökseen saadun Quinen kriteerin täsmällisen rekonstruktion avulla pystymme vastaamaan kysymykseen mihin sitoutumisesta ontologisissa sitoumuksissa oikeastaan on kyse. Tämän kriteerin puheena olevan, episteemisen lukutavan yhteydessä on virheellistä puhua joihinkin nimenomaisiin yksilöihin sitoumisesta. Kuten jo tämän sektion alussa totesimme, sitoumus on yleisesti ottaen hyvin epäspesifi. Kyse on tietynlaisiin yksilöihin hieman liioitellusti sanoen aktuaalisen maailman ontologiseen rakenteeseen sitoutumisesta. Jos sanon, että yksisarvisia on olemassa, en sitoudu tämän tai tuon yksisarvisen olemasssaoloon, vaan siihen, että sellaisia olioita on. Tai jos väitän kissoja olevan olemassa, en sitoudu esimerkiksi Mirandan, Pekan tai Cleon olemassaoloon, vaan siihen, että ainakin yksi kissa on olemassa. Quine itse vertaa muuttujan arvona olemista pronominin viittausalassa olemiseen (1948, s. 31), mutta rinnastuksen ongelmallisuus paljastuu viimeistään havaittaessa, että se,

12 Nominalismin rajat 12 mihin Quinen kriteeri kielenkäyttäjän sitoo, on yleinen ehto tämän seikan viimeistään Quinen kriteerin täsmällinen aukikirjoittaminen paljastaa. Kriteeri ei sido meitä ainoankaan nimenomaisen, nimettävissä olevan yksilön tai potentiaalisen ostension kohteen olemassaoloon, vaan ainoastaan siihen, että eräiden appellatiivien kielen relaatiosymbolien ekstensiot mahdollistavat sen, että totena pitämämme lauseet todella ovat tosia. (Voidaan ehkä löytää predikaatteja, jotka merkityksensä johdosta soveltuvat korkeintaan yhteen yksilöön ja joita ei voi analysoida käyttäen predikaatteja, joilla ei ole tätä ominaisuutta: predikaattia pegasoida voisi mahdollisesti tarjota (erittäin teennäisenä) esimerkkinä. Silti ei olisi ilman muuta selvää, että sitoutumalla yksikäsitteisen pegasoijan olemassaoloon sitouduttaisiin jonkin nimenomaisen yksikäsitteisen pegasoijan olemassaoloon. Kirjaimellinen mahdollisuus nimenomaisiin yksilöihin sitoutumiseen todella edellyttäisi pronominaalista kalustoa, sellaisia loogisia erisnimiä kuin tämä ja tuo.) Onkin luontevinta ajatella, että Quinen kriteerin episteemisen tulkinnan mukaan sitoudumme erään mallin olemassaoloon sen sijasta, että sitoutuisimme joidenkin nimenomaisten yksilöiden olemassaoloon. Jos ajattelemme aktuaalista maailmaa strukturoituna kokonaisuutena, joka määrää erään ensimmäisen kertaluvun struktuurin M 0, voimme sanoa Quinen kriteerin sisällön olevan, että ensimmäisen kertaluvun teoria T sitoutuu sikäli kuin sillä ei ole tyhjää mallia erään sellaisen M 0 :n alimallin (D, {R i } i<κ ) olemassaoloon, joka on jonkin sellaisen lausejoukon S malli, joka on saatu teoriasta T ylläkuvatulla menettelyllä. Ontologiset sitoumukset eivät siis koske yksilöitä, vaan tällaisen sitoumuksen kohde on tiettyä kardinaliteettia oleva yksilöiden joukko, joka on strukturoitu tavalla, jonka tarkasteltavien relaatiosymbolien tulkinnat ilmaisevat tai, yleisesti, sitoumuksen kohde on tietty äärellinen tai ääretön määrä vaihtoehtoisia tällaisia strukturoituja yksilöjoukkoja. 10 Tällaiset strukturoidut yksilöjoukot ovat lyhyesti sanoen malleja. 4.2 Ontologinen näkökulma Quinen kriteeriä voidaan tarkastella myös ontologisesta näkökulmasta. Siitä huolimatta, että Quine itse tahtoi nähdä kriteerinsä välineenä sen tietämiselle, mitä jokin teoria sanoo olevan olemassa ja katsoi, ettei sillä ole käyttöä tahdottaessa tietää, mitä todella on olemassa (Quine 1948, s. 35), on joka tapauksessa täysin mahdollista tuottaa Quinen kriteerin avulla luonnehdinta sille, mitä on olemassa. Tämä voi tapahtua seuraavasti. Lähdetään siitä, että meillä on käytössämme (ensimmäisen kertaluvun) kieli, ja otetaan tehtäväksi tarkastella aktuaalista maailmaa sen kannalta, mitä on olemassa. Ajattellaan maailmaa strukturoituna käytössämme 10 Vaihtoehtoisten mallien määrä voi hyvinkin olla ylinumeroituva. Näin on esimerkiksi numeroituvan aakkoston {P n, Q n} n<ω teorian T = { xp n(x) xq n(x) : n < ω} tapauksessa.

13 Nominalismin rajat 13 olevan kielen relaatiosymbolien mukaan. Oletamme näiden relaatiosymbolien edustavan luonnollisen kielen appellatiiveja siten, että niillä kullakin on kiinteä merkityksensä, jonka nojalla kustakin mallista M voidaan poimia täsmälleen ne entiteetit, jotka toteuttavat tällaisen relaatiosymbolin tässä mallissa M. Jos τ on näiden relaatiosymbolien joukko, aktuaalinen maailma määrää erään τ-struktuurin, jota merkitsemme symbolilla M 0. Mallin M 0 yksilöalue /M 0 / on kaikkien olemassaolovien yksilöiden luokka; ja jokaisen relaatiosymbolin R i τ tulkinta siis on niiden yksilöiden (tai yksilöjonojen) luokka, jotka aktuaalisesti toteuttavat tämän relaatiosymbolin. Tarkastelemme mallia M 0 ontologisesta näkökulmasta, joten emme oleta tietävämme sen paremmin luokkaa /M 0 / kuin aakkoston τ relaatiosymbolien tulkintojakaan. Mitä nyt sitten on olemassa? Kaikki, sanoo Quine (ibidem, s. 21). Siis ainakin kaikki yksilöalueen /M 0 / alkiot ovat olemassa. On lisäksi huomattava, että jos emme etukäteen päätä, että kvalifioimaton kaikki on ensimmäisen kertaluvun kvanttori, on vastaus oikein silloinkin, jos yksilöiden ohella esimerkiksi /M 0 /:n osajoukkoja on olemassa. Mutta voimmeko jotenkin luonnehtia olemassaolevien yksilöiden luokkaa? Kyllä: jos oleminen on sidotun muuttujan arvona olemista, voimme lähestyä kysymystä Mitä on olemassa? kielellisesti, seuraavalla tavalla. Olkoon T kaikkien niiden aakkostossa τ kirjoitettavissa olevien ensimmäisen kertaluvun lauseiden joukko, jotka ovat tosia mallissa M 0. Tuottaaksemme karakterisoinnin olemassaolevien yksilöiden luokalle, menettelemme seuraavasti: Huomattakoon, että teoria T ei voi olla ristiriitainen sillä on määritelmän mukaan mallinaan aktuaalinen maailma. Katsotaan ensin onko teorialla T tyhjä malli. (Näin voi olla vain jos de facto ainoatakaan yksilöä ei ole olemassa!) Jos ei ole, olkoon S kaikkien niiden joukkojen S joukko, jotka saadaan alasektiossa kuvatulla menettelyllä. Olkoon sitten S S mielivaltainen. Olkoon vielä f S kaikkien teorian S skolemisaatiossa sk(s) esiintyvien funktiosymbolien muodostama jono. 11 Koostukoon sitten joukko F M0 S kaikista mahdollisista funktiojonoista, jotka tulkitsevat jonon f S funktiosymbolit mallissa M 0 niin, että kaikki teorian sk(s) lauseet tulevat tosiksi mallissa M 0. Jos funktiojono f := f i : i < ω kuuluu joukkoon F M0 S, sanomme jonon f funktioiden arvojoukkojen yhdisteen alkioita tämän funktiojonon ontologiseksi sitoumukseksi, ja merkitsemme OS( f) := rng(f i ). i<ω 11 Ajattelemme, että teoria sk(s) on ensin esitetty jonona ϕ n : n < ω, minkä jälkeen f S on määritelty jonoksi fi 1... f n i i : i < ω, missä jokaista i kohden n i-jono fi 1... f n i i käy läpi, jossain järjestyksessä, kaikki kaavan ϕ i sk(s) Skolem-funktiot.

14 Nominalismin rajat 14 Quinen kriteerin ontologisen lukutavan mukainen teorian T ontologinen sitoumus on nyt ilmaistavissa seuraavasti: teoria sitoutuu jotakin joukkoa S S ja jotakin funktiojonoa f F M0 S vastaavien joukkoon OS( f) kuuluvien nimenomaisten yksilöiden olemassaoloon. Toisin sanoin, teoria T sitoutuu siihen, että jollain S S ja jollain f F M0 S, OS( f) /M 0 /. Olemassaolevien yksilöiden luokalle /M 0 / saadaan näin ollen seuraava luonnehdinta: 12 /M 0 / = OS( f). S S f F M 0 S Juuri esitettyä analyysia Quinen kriteerin ontologiselle lukutavalle voi hyödyntää episteemisessäkin yhteydessä. Ajatellaan tilannetta, jossa aktuaalista maailmaa tutkitaan muotoilemalla ensimmäisen kertaluvun kielessä esitettäviä hypoteeseja. Sitä mukaa kuin ilmenee, että jokin hypoteesi on tosi, maailman ontologinen konstituutiokin osittain selviää: sitä mukaa kuin voimme siirtää tosiksi osoittautuneita hypoteeseja kaikkien aktuaalisesti tosien ensimmäisen kertaluvun lauseiden joukkoon T, myös vaihtoehtoiset joukot OS( f) osaltaan spesifioituvat. Kaiken aikaa myös tapauksessa, että hypoteesien testaaminen johtaisi koko joukon T tuntemiseen todellisuuden ontologisen konstituution tunteminen kärsisi siitä alimääräytyneisyydestä, minkä ilmaisee se tosiseikka, ettei joukko S eikä varsinkaan funktiojono f F M 0 S ole milloinkaan yleisesti ottaen yksikäsitteisesti määräytynyt. Itse asiassa edellä kuvattu menetelmä spesifioi yksikäsitteisen joukon OS( f) vain jos /M 0 / on äärellinen. Askel suuremman yksikäsitteisyyden suuntaan on kuitenkin mahdollinen: hypoteesien muotoilussa voidaan käyttää korkeamman kertaluvun kieliä. (Tätä aihetta käsittelen seuraavassa sektiossa.) Quinen kriteerin ontologisen tulkinnan ero sen episteemiseen lukutapaan nähden on selvä: jälkimmäisessä emme ole sitoutuneet mihinkään nimenomaisiin yksilöihin, ainoastaan tietynlaisiin yksilöihin, tai oikeammin tietyn alimallin olemassaoloon. Ontologinen lukutapa tuottaa kombinatorisen luonnehdinnan kaikkien olemassaolevien yksilöiden luokalle. Jos sitä lisäksi sovelletaan tosiksi tiedettyjen, ensimmäisen kertaluvun puitteissa muotoiltavien lauseiden ontologisen sisällön analysoimiseen, se todellakin sitoo tällaisten lauseiden muodostaman teorian joidenkin nimenomaisten aktuaalisten yksilöiden olemassaoloon. Huomattakoon, että annettu luonnehdinta kaikkien olemassaolevien yksilöiden luokalle /M 0 / ei kuitenkaan ole luonnehdinta kaikkien olemassaolevien olioiden luokalle, paitsi siinä tapauksessa, että nominalistin teesi on tosi eli vain yksilöitä on olemassa. 12 Teorian T erottelukyvyn näkökulmasta /M 0/ on samalla kaikkien olemassaolevien olioiden luokka.

15 Nominalismin rajat 15 5 Toisen ja korkeampien kertalukujen teoriat Edellisessä sektiossa olen käsitellyt sekä Quinen kriteerin episteemistä että sen ontologista lukutapaa rajoittuen ensimmäisen kertaluvun puitteissa muotoiltaviin teorioihin. Vaikka olenkin näin tehnyt oikeutta sille Quinen näkemykselle (tai ennakkoluulolle), ettei korkeamman kertaluvun kvantifiointi ole ylipäätän mielekästä vain nimipositiossa olevien ilmausten suhteenhan hänen mukaansa voi kvantifioida ei systemaattisesta näkökulmasta ole mitään perustetta olla tarkastelematta tilannetta, jossa otamme korkeamman kertaluvun kvantifioinnin ontologisestakin näkökulmasta vakavasti. Tosiasiahan on, että toisen kertaluvun logiikalla voi ilmaista erittäin huomattavan määrän sellaisia asioita, joita ensimmäisen kertaluvun logiikalla ei voi ilmaista ja lisäksi ainakaan matemaatikoilla ei ole vaikeuksia ymmärtää mitä toisen kertaluvun kvantifiointi merkitsee, joten mistään varsinaisesti mielettömästä hankkeesta korkeamman kertaluvun logiikkojen muotoilemisessa tuskin on kysymys. Jos tahdomme tarkastella korkeamman kertaluvun logiikoita Quinen kriteerin näkökulmasta, ei tarkastelu voi olla reifioivaa sektiossa 3 spesifioidussa merkityksessä. Reifiointihan merkitsee sen lähtökohtaoletuksen tekemistä, että vain yksilöitä on olemassa, ja jos tämä oletus tehdään, ei korkeamman kertaluvun muuttujilla oletuksen nojalla voi olla lainkaan arvoja. Tarkastelun lähtökohdan on siis oltava realistinen, eli korkeamman kertaluvun lauseiden mielekkyyden salliva. Tällöin Quinen kriteeri on ulotettavissa koskemaan minkä hyvänsä kertaluvun muuttujia. Jos oleminen on minkä tahansa kertaluvun sidotun muuttujan arvona olemista, niin esimerkiksi lauseet (1) X xxx (2) X x(xx x on pariton) sitovat lausujansa paitsi jonkin yksilön, myös jonkin yksilöalueen osajoukon olemassaoloon. Itse asiassa edellä sektiossa 4 esitetyt täsmälliset muotoilut Quinen kriteerin episteemiselle ja ontologiselle tulkinnalle ovat melko suoraviivaisesti yleistettävissä tapauksiin, joissa tarkasteltava teoria T on muotoiltu korkeamman kertaluvun logiikan puitteissa. Katsotaan erityisesti monadisen toisen kertaluvun logiikan tapausta. 5.1 Yleistetty skolemisaatio Tarkastellessamme jäljempänä toisen kertaluvun teorioita, lähdemme aina liikkeelle teoriasta, jonka aakkosto koostuu (yksilöihin tai sellaisten jonoihin sovellettavista) relaatiosymboleista. Yleistäessämme skolemisaation käsitteen toisen kertaluvun teorioihin, päädymme kuitenkin tilanteeseen, jossa tarvitaan yleisempää kielen aakkoston määritelmää kuin ensimmäisen kertaluvun

16 Nominalismin rajat 16 logiikan tapauksessa. Tässä yhteydessä käytämme toisen kertaluvun aakkostoja τ {F i } i<κ, missä τ on ensimmäisen kertaluvun aakkosto, ja symbolit F i ovat toisen kertaluvun funktiosymboleja (κ ω). Monadisen toisen kertaluvun logiikan (MSO) tapauksessa n-paikkaisen toisen kertaluvun funktiosymbolin F i tulkinta mallissa M on funktio F i : (S 1,..., S n ) S n+1, missä jokainen S i (i := 1,..., n + 1) on mallin M yksilöalueen osajoukko. 13 Osana toisen kertaluvun aakkostoa ensimmäisen kertaluvun funktiosymbolien tulkinta määritellään niin, että (n + m)-paikkaisen funktiosymbolin f i tulkinta on funktio f i : (a 1,..., a n, S 1,..., S m ) a n+1, missä a i /M/ ja jokainen S j on /M/:n osajoukko (i := 1,..., n + 1, j := 1,..., m). Olkoon T mikä hyvänsä monadinen toisen kertaluvun teoria T, jonka lauseet on kirjoitettu vain relaatiosymboleja sisältävässä aakkostossa τ. 14 Voidaan olettaa, että mitkään kaksi T :n lausetta eivät ole loogisesti yhtäpitäviä. Lisäksi voidaan yleisyyttä menettämättä olettaa, että T -lauseet ovat sellaisessa prenex-normaalimuodossa, että lauseen kvanttoriprefiksissä mahdollisesti esiintyvät toisen kertaluvun kvanttorit edeltävät kaikkia siinä esiintyviä ensimmäisen kertaluvun kvanttoreita. 15 Olkoon ϕ n : n < ω mikä tahansa jono, joka luettelee kaikki T :n lauseet. Monadisen toisen kertaluvun teorian T skolemisaatio sk(t ) määritellään muutoin samoin kuin ensimmäisen kertaluvun teorian skolemisaatio (ks. määritelmä 4.1), mutta kutakin T -lausetta ϕ n kohden otetaan käyttöön ensimmäisen kertaluvun eksistenssikvanttoreita vastaavien funktiosymbolien f1 n,..., f m n n lisäksi siinä esiintyviä toisen kertaluvun eksistenssikvanttoreja Y1 n,..., Y k n n vastaavat funktiosymbolit F1 n,..., F k n n ; lauseesta ϕ n poistetaan myös kvanttorit Y1 n,..., Y k n n ; muuttujan Yi n (i := 1,..., k n ) esiintymät korvataan näin saadussa kaavassa funktiotermillä Fi n (X1 n,..., Xn r i ), jonka argumentti (X1 n,..., Xn r i ) on niiden toisen kertaluvun muuttujien jono, joita vastaavien toisen kertaluvun universaalikvanttorien X1 n,..., Xn r i vaikutusalassa eksistenssikvanttori Yi n esiintyy lauseessa ϕ n ; ja yksilömuuttuja yi n korvataan funktiotermillä fi n(xn 1,..., xn k i, X1 n,..., Xn r i ), jonka argumentti on niiden (ensimmäisen tai toisen kertaluvun) muuttujien jono, joita 13 Yleisessä tapauksessa n-paikkaisen funktiosymbolin tulkinta on funktio, jolle F i(s 1,..., S n) = S n+1, missä jokainen S i on luokan /M/ m i osajoukko, 1 m i < ω. 14 Monadinen toisen kertaluvun teoria on toisen kertaluvun teoria, jonka kaikki lauseet ovat erityisesti MSO-lauseita. 15 Nimenomaan koska toisen kertaluvun lauseiden voidaan aina olettaa olevan tällaisessa muodossa, emme määritelleet toisen kertaluvun funktiosymbolien tulkintoja funktioiksi, joilla olisi myös yksilöitä argumentteinaan.

17 Nominalismin rajat 17 vastaavien (ensimmäisen tai toisen kertaluvun) universaalikvanttorien vaikutusalassa eksistenssikvanttori y n i esiintyy lauseessa ϕ n. Lause 5.1 Olkoon τ mikä hyvänsä vain ensimmäisen kertaluvun relaatiosymboleja sisältävä aakkosto, T monadinen toisen kertaluvun teoria aakkostossa τ, ja M teorian T malli. (i) Olkoon τ = τ τ 1 τ 2 teorian sk(t ) aakkosto, missä τ 1 koostuu ensimmäisen ja τ 2 toisen kertaluvun funktiosymboleista. Tällöin pätee: M = T jos ja vain jos on olemassa sellainen joukko F M := {f M : f τ 1 } {F M : F τ 2 }, että mallin M ekspansio M := (M, F M ) aakkostoon τ toteuttaa: M = sk(t ). (ii) Olkoon SK(T ) seuraava teoriaa T vastaava kolmannen kertaluvun teoria: { F n 1... F n k n f n 1... f n m n sk(ϕ n ) : ϕ n T }. Huomattakoon, että kaavan sk(ϕ n ) konstruktion nojalla siinä esiintyvien funktiosymbolien joukko on {f n 1,..., f n m n } {F n 1,..., F n k n }. Nyt pätee: M = T M = SK(T ), missä kolmannen kertaluvun logiikan semantiikkana käytetään sen standarditulkintaa, jolloin erityisesti n-paikkaiset kolmannen kertaluvun funktiomuuttujat voivat saada arvoikseen mitä hyvänsä funktioita P ow(/m/) n P ow(/m/) Episteeminen näkökulma Realistisesti tulkittu ja episteemisen näkökulman mukainen Quinen kriteeri siis korkeamman kertaluvun teorioiden ontologisten sitoumusten eksplikoimiseen tarkoitettu Quinen kriteeri on täsmällisesti formuloitavissa käyttäen hyväksi yleistettyä skolemisaation käsitettä, täysin analogisesti tavalle, jolla rekonstruoimme ensimmäisen kertaluvun teorioihin sovellettavan Quinen kriteerin alasektiossa Toisen kertaluvun kvantifikaatioiden ontologisten sitoumusten osalta lähden siitä, että tilanne vastaa täysin ensimmäisen kertaluvun tapausta. Tällöin esimerkiksi lause X Y x y(xx Y y x on parillinen y on alkuluku) sitoutuu parillisen luvun sisältävän joukon (A) olemassaoloon ja alkuluvun sisältävän joukon (B) olemassaoloon, mutta se ei siis sitoudu esimerkiksi sellaisen joukon olemassaoloon, joka sisältää sekä parillisen luvun että alkuluvun (A B). Näin siitä huolimatta, että toisaalta minkä hyvänsä toisen 16 Olipa /M/ luokka tai joukko, tässä P ow(/m/) on sen osajoukkojen luokka.

18 Nominalismin rajat 18 kertaluvun logiikan taustateoriaksi kelpaavan joukko-opin mukaan joukkojen A ja B yhdiste A B on olemassa. En siis katso teorian ontologisesti sitoutuvan sellaisten joukkojen olemassaoloon, jotka toisen kertaluvun logiikan taustalla oleva abstrakti joukko-oppi generoi niistä joukoista, joiden olemassaolon joko teoria itse assertoi tai joiden olemassaolo on muuten pakko olettaa, jotta kaikki teorian lauseet voisivat olla tosia. Tarkastellaan vielä toista esimerkkiä. Olkoon ϕ lin aakkoston {<} lause, joka sanoo relaatiosymbolin < tulkinnan olevan irrefleksiivinen lineaarijärjestys. Tarkastellaan sitten ensimmäisen kertaluvun teoriaa T := {ϕ lin, x y(x < y)}. Kaikki teorian T mallit ovat äärettömiä. Laajennetaan sitten teoria T toisen kertaluvun teoriaksi T := T { X(äär(X)), X Y (X Y ym(x, Y ))}, missä äär(x) on lyhennysmerkintä toisen kertaluvun kaavalle, joka sanoo joukon X olevan (Dedekind-)ääretön; X Y kaavalle, jonka mukaan X ja Y eivät ole sama joukko; ja ym(x, Y ) kaavalle, joka sanoo joukkojen X ja Y olevan yhtämahtavat. Itse asiassa teorioilla T ja T on täsmälleen samat mallit. Ne eroavat kuitenkin ontologisten sitoumustensa suhteen: eoria T sitoutuu ainoastaan erään numeroituvan yksilöjoukon olemassaoloon, kun taas lauseen X(äär(X)) johdosta teoria T sitoutuu yksilöiden ohella erään äärettömän (numeroituvan) joukon olemassaoloon. Mihin muuhun teoria T sitoutuu? Nythän lause X Y (X Y ym(x, Y )) sanoo jokaista joukkoa X kohden olevan tästä eroava mutta sen kanssa yhtämahtava joukko Y. Toisaalta teorian T jokaisen mallin yksilöalueella on ääretön (itse asiassa ylinumeroituva) määrä osajoukkoja. Systemaattinen kysymys kuuluu: sitoutuuko teoria T tästä syystä äärettömän monen joukon olemassaoloon? Puheenaoleva toisen kertaluvun lausehan assertoi jokaista yksilöalueen osajoukkoa kohden sen kanssa yhtämahtavan joukon olemassaolon. Vai sitoutuuko T vain kahden joukon olemassaoloon? Olkoon nimittäin F Y on puheena olevassa toisen kertaluvun lauseessa esiintyvää eksistenssikvanttoria Y vastaava yleistetty Skolem-funktio. Koska teoria joka tapauksessa sitoutuu erään äärettömän joukon X 0 olemassaoloon, puheena olevan lauseen nojalla se sitoutuu myös X 0 :sta eroavan äärettömän joukon F Y (X 0 ) = Y 0 olemassaoloon, ja näin ollen edelleen erään Y 0 :sta eroavan äärettömän joukon F Y (Y 0 ) = Z 0 olemassaoloon. Tällaiseksi joukoksi Z 0 voidaan kuitenkin valita X 0 itse, joten teoria T ei eksplisiittisesti väitä kahta useamman joukon olevan olemassa. Aion määritellä toisen kertaluvun teorian ontologiset sitoumukset jälkimmäisen vaihtoehdon mukaan, eli sen mukaan mitä teoria eksplisiittisesti väittää olevan olemassa. Muussa tapauksessa itse asiassa koko projekti trivialisoituisi, sillä tällöin lisäämällä mihin hyvänsä teoriaan lause X Y (X = Y ), saataisiin teoria, joka sitoutuisi ontologisesti

19 Nominalismin rajat 19 kaikkiin tarkastellun mallin yksilöalueen osajoukkoihin, jotka toisen kertaluvun logiikan taustateoriana käytetyn abstraktin joukko-opin mukaan ovat olemassa. Jos T on mielivaltainen toisen kertaluvun teoria, voidaan ensin selvittää, onko sillä tyhjä malli soveltaen menettelyä, joka on analoginen alasektiossa kuvatun, ensimmäisen kertaluvun teorioihin sovellettavan menettelyn kanssa. Ainoana erona on, että nyt menetelmän tuottama lausejoukko S voi sisältää paitsi muotoa xψ olevia kaavoja, myös muotoa Xψ olevia kaavoja. Jos se sisältää kaavan muotoa Xψ muttei ainoatakaan kaavaa muotoa xψ, on edelleen mahdollista, että teorialla T olisi tyhjä malli; saattaa näet olla mahdollista valita toisen kertaluvun muuttujan X tulkinnaksi tyhjä joukko. Lisätään seuraava rekursiivinen sääntö tällaisten tilanteiden varalle: Jos ϕ S n, ϕ = Xψ, ja joukossa S n ei ole ainoatakaan muotoa xφ olevaa kaavaa, olkoon S n+1 := (S n {ψ}) \ {ϕ}. Jos tämänkin säännön suhteen suljettu rekursiivinen prosessi päätyy joillakin disjunktivalinnoilla joukkoon S joka ei sisällä ainoatakaan ensimmäisen kertaluvun eksistenssikvanttorilla alkavaa kaavaa xφ, on lausejoukolla T tyhjä malli; muutoin lausejoukolla T on epätyhjä malli tai se on ristiriitainen. Jos teorialla T ei ole tyhjää mallia ja se ei ole ristiriitainen, sen ontologiset sitoumukset määräytyvät sen mukaan mitä malleja kuvatun menettelyn tuottamilla lausejoukoilla on: teoria T sitoutuu siihen, että aktuaalinen maailma tarjoaa mallin ainakin yhdelle kuvatun menettelyn tuottamalle lausejoukolle S. Skolem-funktioiden näkökulmasta tämä tarkoittaa, että jonkin tuollaisen lausejoukon skolemisaation sk(s) lauseissa esiintyvät funktiosymbolit sekä ensimmäisen että toisen kertaluvun funktiosymbolit voidaan tulkita niin, että kaikki lausejoukon sk(s) lauseista tulevat tosiksi. Lausejoukko T sitoutuu sitten niiden olioiden olemassaoloon, jotka esiintyvät jonkin joukon S skolemisaation sk(s) funktiosymbolien tulkintojen (jotka ovat funktioita) arvojoukoissa. Ensimmäisen kertaluvun funktiosymbolien tulkintojen arvojoukoissa on yksilöitä, kun taas toisen kertaluvun funktiosymbolien tulkintojen arvojoukoissa on yksilöiden joukkoja. Huomattavaa on, että toisen kertaluvun ontologiset sitoumukset perustuvat ensimmäisen kertaluvun ontologisiin sitoumuksiin: edellisiä ei voi olla, ellei jälkimmäisiä ole. Toisen kertaluvunkaan teorian ontologiset sitoumukset eivät siis koske yksilöitä eivätkä niiden joukkoja, vaan yksilöiden joukkoa, joka on strukturoitu tavalla, jonka tarkasteltavien ensimmäisen ja toisen kertaluvun relaatiosymbolien tulkinnat ilmaisevat. Yleisesti sitoumuksen kohde on tietty äärellinen tai ääretön määrä vaihtoehtoisia tällaisia sekä ensimmäisen että toisen kertaluvun relaatiosymbolein strukturoituja yksilöjoukkoja.

20 Nominalismin rajat Ontologinen näkökulma Kuten Quinen kriteerin realistinen episteeminen tulkinta, myös sen realistinen ontologinen tulkinta on helposti esitettävissä tämän kriteerin ensimmäisen kertaluvun logiikkaan rajoittuvan version yleistyksenä. Tällöin tehtävänä on siis luonnehtia kaikkien aktuaalisesti olemassaolevien ensimmäisen tai toisen kertaluvun olioiden luokka käyttäen hyväksi Quinen kriteeriä. Otetaan lähtökohdaksi mikä hyvänsä vain ensimmäisen kertaluvun relaatiosymboleja sisältävä aakkosto τ; ajattelemme jälleen kullakin relaatiosymbolilla olevan kiinteä merkitys, joka spesifioi kutakin mallia M kohden niiden yksilöiden tai yksilöjonojen luokan, jota toteuttavat tämän relaatiosymbolin M:ssä. Olkoon M 0 aktuaalisen maailman määrämä τ-struktuuri, ja olkoon T kaikkien niiden aakkostossa τ kirjoitettavissa olevien toisen kertaluvun logiikan lauseiden joukko, jotka ovat tosia mallissa M 0. Teoria T ei voi olla ristiriitainen, koska määritelmän mukaan sillä on mallinaan aktuaalinen maailma. Käyttäen sektiossa 5.2 kuvattua menetelmää, katsotaan ensin onko teorialla T tyhjä malli. Ellei ole, olkoon S kaikkien niiden joukkojen S joukko, jotka voidaan tuottaa tuolla menettelyllä. Muodostetaan jokaista S S kohden joukon skolemisaatiossa sk(s) esiintyvien sekä ensimmäisen että toisen kertaluvun funktiosymbolien jono f. Funktiojonojoukko F M 0 S määritellään täysin analogisesti vastaavalle määritelmälle alasektiossa 4.2. Olkoot sitten f F M 0 S, ja f 1 ja f 2 jonon f sellaiset osajonot, jotka osittavat sen ja joista edellinen koostuu yksinomaan ensimmäisen ja toinen pelkästään toisen kertaluvun funktiosymbolien tulkinnoista. Lopulta määrittelemme jonojen f, ja f 1 ja f 2 ontologiset sitoumukset seuraavasti: OS 1 ( f) := j<ω rng(f 1 j ) OS 2 ( f) := j<ω rng(f 2 j ) OS( f) := OS 1 ( f) OS 2 ( f). Erityisesti joukkoa OS 1 (f) sanotaan funktiojonon ensimmäisen kertaluvun ontologiseksi sitoumukseksi, ja joukkoa OS 2 (f) sen toisen kertaluvun ontologiseksi sitoumukseksi. Quinen kriteerin realistisen ontologisen tulkinnan mukainen toisen kertaluvun teorian T ontologinen sitoumus on nyt ilmaistavissa seuraavasti: teoria sitoutuu jotakin joukkoa S S ja jotakin funktiojonoa f F M 0 S vastaavien joukkoon OS 1 ( f) kuuluvien nimenomaisten yksilöiden ja joukkoon OS 2 ( f) kuuluvien nimenomaisten osajoukkojen olemassaoloon. Toisin sanoin, teoria T sitoutuu siihen, että jollain S S ja jollain f F M 0 S, pätee: OS 1 ( f) /M 0 / ja luokkaan OS 2 ( f) kuuluvat joukot ovat olemassa. Toisen kertaluvun teorian T erottelukyvyn puitteissa olemassaolevien yksilöiden