Onnittelut pääsystä Suomen fysiikkalolympiajoukkueeseen 2014! (~ ⁵⁷⁸¹) Tässä tehtäväsetti, jonka avulla voitte valmistautua kilpailuun.

Transkriptio

1 VALMENNUSKIRJE 2014 (Lasse Franti) Onnittelut pääsystä Suomen fysiikkalolympiajoukkueeseen 2014! (~ ⁵⁷⁸¹) Tässä tehtäväsetti, jonka avulla voitte valmistautua kilpailuun. Tehtävät: 1. Suhteellisuusteoriaa a) Kaksi samalla kadulla sijaitsevaa myymälää ovat sopineet avaavansa samaan aikaan joka aamu. Katua pitkin liikkuva poliisiauto havaitsee kuitenkin kauppojen ovien avautuvan eri aikoihin. Kauppojen välimatka on 500 metriä ja poliisiauton nopeus 0,8 c. Kuinka suuren edun toinen kauppias sai poliisien mielestä? Mikä on kauppojen välimatka poliisien mielestä ja kuinka kauan heiltä kuluu aikaa tähän välimatkaan? b) Osoita, että nelivektorien x (paikka) ja u=, v (nelinopeus) pituus ei muutu koordinaatistomuunnoksessa. Johda nopeuksien yhteenlaskun kaavat nelinopeusvektorin avulla suorittamalla koordinaatistomuunnos. c) Johda Doppler-siirtymän kaava sekä relativistiselle että epärelativistiselle liikkeelle. Relativistinen tapaus on helpointa käsitellä sopivan nelivektorin avulla. Tehtävä on varsin helppo ja käsittelee suhteellisuusteorian perusteita. Suhteellisuusteoriaan tutustuminen kannattaa, sillä tämän aihepiirin tehtävät tarjoavat suhteessa suoraviivaisia tapoja saada verraten paljon pisteitä IPhO:ssa. Saman pistemäärän saamiseksi täytyy monessa muussa kohdassa ratkoa huomattavasti haastavampia probleemoja. Suhtis esiintyy myös huomattavan yleisesti osana jotakin tehtävää. 2. Fysiikassa on usein tarpeen käyttää differentiaalista ajattelutapaa tehtävien ratkaisemiseksi. Tuttuna johdatuksena tarkastellaan hitausmomenttien laskemista. Johda seuraavien kappaleiden hitausmomentit: a) homogeeninen ohut sauva päästä b) homogeeninen ohut sauva keskeltä. Miten saisit tämän suoraan a)-kohdasta? c)homogeeninen kiekko kiekon tasoa vastaan kohtisuoran akselin suhteen. Miten saat tästä helposti ohuen kiekon hitausmomentin halkaisijan suhteen? d)paksu sylinteri halkaisijan suhteen keskeltä (kuvat liitteenä). Samoin voidaan johtaa kaikki hitausmomentit, esim. suorakulmio, kolmio, pallo, ellipsoidi, epähomogeeniset kappaleet ym. Tehtävä ei ole järin mielenkiintoinen, mutta esittelee integrointia tutussa aihepiirissä. Yleisemmin kappaleen hitautta kuvaa hitaustensori, johon tutustutaan yliopistossa. Tämän kautta on helppo laskea hitausmomentti minkä tahansa akselin suhteen, jos tunnetaan ns päähitausmomentit. Nämä ovat usein helposti suoraan laskettavissa, tosin kuin yleisemmät tapaukset. Bonuksena voidaan miettiä esimerkiksi kuution hitausmomentteja keskipisteen kautta kulkevien akselien suhteen. SÄHKÖ 3. Kondensaattori Kussakin piirissä on aluksi varaus Q kondensaattorissa C1.

2 a)mikä on energia oheisissa piireissä ennen kytkimen k sulkemista? Kytkimet K suljetaan hetkellä t=0. Mikä on energia piireissä pitkän ajan kuluttua? (Piirit ovat erillisiä) b) Laske virta ajan funktiona piirissä 1, kun kytkin suljetaan hetkellä t=0. Tarkista tuloksen rajakäytöksen järkevyys. c)laske piirin lämpöteho ajan funktiona. d)laske piirissä lämmöksi muuttuva kokonaisenergia, ja totea sen olevan sopusoinnussa a)-kohdan kanssa. LRC-piiri ja sen käytös ovat klassista kamaa. Bonuksena osoitetaan, että energia ei häviä. 4. Komponenteilla on reaalisesti sekä resistanssia,kapasitanssia että induktanssia. Laske oheisen koaksiaalikaapelin mallin a) resistanssi b)induktanssi c)kapasitanssi pituusyksikköä kohden. Tässä ei oteta huomioon vuotovirtaa eristeen läpi. Voit lisäksi olettaa johdinputkien paksuuden pieneksi. (itse asiassa sisäjohdin on umpinainen ja lasku täysin laskettavissa, mutta hankalampi). Kaapelissa on siis kaksi johdinta, esim. tasavirtasyötön plus ja miinus. (Vihjeitä: Laske ensin kentät tunnetulla virralla ja varauksella. Näistä voit johtaa kysytyt suureet. Kentän energiatiheydestä voi olla hyötyä.) AALTOLIIKE 5. a) Johda ohuen kuperan linssin kuvausyhtälö lähtien polttopisteen määritelmästä. (Geometriaa) b) Kala ui pallon muotoisessa kalamaljassa. Onko kalan mahdollista sokeutua tai keittyä elävältä joutumalla polttopisteeseen? Oletetaan, että ohut kalamalja ei sanottavammin muuta valon kulkusuuntaa.(lähinnä geometriaa) c)mikä on oheisen linssin polttoväli ohuen linssin rajalla? Kyseessä on siis sylinteri, jonka päät ovat pallopintoja sätein d 1 ja d 2. Tulosta ei tarvitse johtaa alusta saakka. d)veteen joutunut öljy huomataan hyvin pieninäkin määrinä värillisinä alueina veden pinalla. Eräs öljyisen maantielätäkön kohta vaikuttaa kellertävän katuvalon loisteessa mustalta. Laske öljykerroksen paksuus tässä kohdin. Öljyisen tuulilasin pinnalla näkyy myöskin värillisiä alueita. Mikä on kalvon paksuus kohdassa, joka myöskin vaikuttaa tummalta katuvalomme kajastuksessa? Taitekertoimia: Vesi 1.33; Lasi 1.6; Ilma 1.0;Öljy 1.5 Pikkunäppäriä geometrioita ja osin valmiita kaavoja käyttäen. Viimeinen tehtävä on osoittautunut yllättävän pelottavaksi, mihin ei ole mitään syytä. 6. a) Kuvan mukainen U-putki on täynnä vettä. Putken suulle puhalletaan, jolloin vesipintoihin syntyy ero. Tämän jälkeen paine poistetaan ja suut jäävät avoimiksi. Analysoi systeemin liikettä. b) Milloin matemaattisen heilurin liike on likimain harmonista? Osoita liikkeen harmonisuus. Miksi värähtelyt ovat luonnossa yleisiä ja yleensä kuvattavissa tasapainoaseman lähellä likimain harmonisina? c)miten laskisit tarkemman arvion matemaattisen heilurin jaksonajalle.(ideat riittävät) d)kieli, jonka massa on m ja pituus l on jännitetty voimalla F kahden tuen varaan. Laske ominaistaajuudet. e) Arvioi kuvan systeemin värähdystaajuus, kun massaa m poikkeutetaan hieman pystytasosta.

3 Systeemissä siis kevyttä lankaa kiristetään voimalla F, ja langassa on keskellä massa m. Perusasioita värähdysliikkeestä erilaisissa tilanteissa. 7.Kuvan mukaisessa pyöreässä viljasiilossa normaali keskustelu on lähes mahdotonta erittäin voimakkaan kaikumisen johdosta: normaali mölähdys on kuultavissa vielä noin 10 sekunnin kuluttua sen lopettamisesta. Siilon rakentamisen aikana muttereita kiinnitetään yksi toisensa perään akkutoimisella vääntimellä, jolloin siilon sisällä on kipurajaa hipova meteli. Vääntimessä on 3 ampeeritunnin 28 voltin akku, jolla väännin toimii noin 10 minuuttia. Siilon pohja on betonia, jonka voidaan approksimoida absorboivan suurimman osan äänestä. Heijastuskertoimet voidaan olettaa vakioiksi ja intensiteetti samaksi kaikkialla siilossa. Näin saadaan erittäin karkea malli siilon akustiikalle. Arvioi, kuinka suuri osa vääntimen tehosta menee ääneksi. Tästä tehtävässä ei olla kiinnostuneita kovin tarkasta arvosta. (Kesäprojekti 2009) Kokemuksen mukaan tässä tehtävässä voi saada samansuuntaisia arvioita hyvinkin erilaisilla tavoilla. Formaalin akustiikan teorian käyttöyritykset ovat sen sijaan johtaneet aina umpikujaan. 8.Kielen pituusmassa muuttuu kohdassa x, mikä aiheuttaa aallon nopeuden muuttumisen. a) aalto tulee suunnasta 1. Johda heijastus- ja läpäisykertoimet ja mahdolliset vaihesiirrot. b) aalto tulee suunnasta 2. Johda heijastus- ja läpäisykertoimet ja mahdolliset vaihesiirrot. Tätä tehtävää on laskettu erittäin vähän, mutta aihepiiri kummastuttaa lähes joka kerta. Tämän tehtävän laskeminen selventää tilanteen kuin aamuinen aurinko. MEKANIIKKA 9. Kitkaton kiila on levossa vaakasuoran kitkattoman tason päällä. Kiilan kaltevalle sivulle asetetaan pieni kappale, joka vapautetaan hetkellä t=0. Jos kappaleen alkukorkeus on h, kuinka kauan kappaleelta kestää saavuttaa korkeus h 0 =0. Kiilan massa on M ja kappaleen m. Vihje: ÄLÄ laske jakamalla voima kaltevan tason suuntaiseen ja sitä vastaan kohtisuoraan voimaan etc. Tehtävä on klassikko, jota käytetään usein niin sanotun Lagrangen mekaniikan kätevyyden demonstroimiseen. Tähän tarkoitukseen tehtävä on harvinaisen surkea, sillä vaikka Newtonin mekaniikka koulumuodossaan johtaakin aikamoiseen sotkuun on tehtävä ratkaistavissa varsin helposti lukion tiedoilla. 10. Härveli Piirros esittää yleistä demonstraatiovälinettä, jollainen löytyy useimmista kouluista. Vaakasuora liukas tanko liikkuvine painoineen on hyvin laakeroitu pystysuoraan akseliinsa. Paino voidaan vetää lähemmäs akselia narun avulla. Laite pyörii aluksi kulmanopeudella 0 ja etäisyys on r 0. a) Määritä laitteen rungon hitausmomentti I 0 akselinsa suhteen ilman liukuvaa painoa. b) Mikä on kulmanopeus 1, kun paino on vedetty etäisyydelle r 1 akselista. Oletetaan sitten, että laite on valmistettu hiilikuidusta ja liikkuva paino jostain tiheästä aineesta (esim. osmium-metalli). Jos etäisyydet r 0 ja r 1 ovat myös riittävän suuret, voidaan asettaa I 0 0 ja olettaa paino pistemäiseksi. Laske näillä oletuksilla: c) Kulmanopeus 1 ' sekä systeemin pyörimisenergia ennen ja jälkeen painon siirtymisen.

4 d) painon vetämiseen tarvittava voima F eri etäisyyksillä r akselista. e) voiman tekemä työ matkalla r 0 r 1. Täsmääkö tulos c)-kohdan kanssa? Tehtävä on melko tylsä, mutta mahdollisesti hyödyllinen. 11. a)pyörimätön kuula, jonka säde on R ja massa m heitetään vaakasuoraan alkunopeudella v 0 vaakasuoralle pöydälle. Liikekitkakerroin pallon ja pöydän välillä on. Ajanhetkellä t kuula alkaa vieriä liukumatta. Laske t, kun kuulan kosketushetkellä t=0. Laske kulmanopeus ja kuulan energia E hetkellä t. Kommentoi lyhyesti tuloksia. Jos kuulan energia hetkellä t halutaan maksimoida, kannattaako valita umpinainen vai ontto kuula? Miksi tämä valinta säilyttää suuremman osan energiasta? (Lyhyet kommentit). b) Kivi heitetään Kuun pinnalta vaakasuoraan. Kuinka suuri tulee kiven alkunopeuden olla, jotta kivi jäisi kiertämään Kuuta ympyrärataa? Entä ellipsirataa, jonka etäisin piste on Kuun säteen etäisyydellä pinnasta? Kuinka lujaa täytyy heittää, jotta kivi ei jää kiertoradalle? (Taivaanmekaniikka on molemmissa olympialaisissa melko suosittua) c)homogeeninen umpinainen puolipallo asetetaan kaltevalle tasolle. Määritä pallon halkaisupinnan ja vaakatason välinen kulma. Mitä voidaan päätellä vastauksen rajakäytöksestä. (katso kuva). Vihje: varsinainen lasku hoituu perusgeometrialla,eikä ole kovin olennaista fysiikan kannalta. Taivaanmekaniikka on fysiikkakilpailuissa melkeinpä kiusallisen yleinen tärppi, joten sitä pitäisi oikeastaan olla tässä setissä enemmänkin. Vuoden 2014 kisojen isäntämaa pitää lisäksi sisällään Baikonurin avaruuskeskuksen ja itse logossakin on tätä symbolikkaa. 12.a)Pystyynnostetun lieriön muotoisen painesäiliön säde on R. Säiliössä on nestettä, jonka pinta on aluksi korkeudella H tankin pohjasta. Nesteen yläpuolella olevan kaasun paine P 0 pidetään vakiona ja nesteen tiheys on. Kuinka suurella nopeudella v(h) neste syöksyy ulos säiliön pohjaan liitetystä vaakasuorasta poistoputkesta, kun venttiili avataan. Poistoputken säde on r. Mitä tapahtuu poistoputkeen liitetyn painemittarin lukemalle? Entä säiliön kylkeen korkeudelle K<H liitetyn mittarin lukemalle? Virtauksen oletetaan olevan säiliössä ja putkessa yhdensuuntaista sekä nesteen likimain ideaalista. Tehtävässä ei tarvitse huolehtia virtauskentän muodosta säiliön ja putken liitoskohdan lähellä. Voidaan esimerkiksi ajatella säiliön olevan korkea ja kapea sekä mittareiden olevan kaukana liitoskohdasta. b)salaojituksessa johdetaan usein useammasta pienestä putkesta tuleva vesi yhteen suurempaan putkeen. Yleisesti putken valinnassa käytetään usein pinta-alasääntöä, jonka mukaan suuremman putken poikkipinta-alan on oltava vähintään pienempien putkien alojen summa. Arvioi säännön oikeellisuutta olettaen että putkien kaato on sama. Oleta siis että putki on täynnä vettä ja paine-ero pituusyksikköä kohden on sama kaikissa putkissa. Voit olettaa, että virtaus on hidasta ja putken seinämä sileä. Kuinka paljon vettä virtaa putken läpi sekunnissa paine-eron, pituuden ja säteen funktiona? Veden dynaaminen viskositeetti olkoon. (Kesäprojekti 2010) Nykyisen syllabuksen kiellosta huolimatta hydrodynamiikka on viimeisen viiden vuoden aikana ollut mekaniikan jälkeen lähes yleisin yksittäinen aihepiiri. LÄMPÖOPPI 13. a)pieni hiekanjyvänen liikkuu kitkatta yhtälön y=a x 2 mukaisessa yksiulotteisessa kourussa, missä a=1 m 1. Laske lämpöliikkeen aiheuttama keskimääräinen x-poikkeama lepoasemasta lämpötilassa T.

5 Mikä on lämpöliikkeen hiukkaselle antama keskimääräinen energia? Kommentoi tulosta. Arvioi tämän värähtelysysteemin kvanttimekaaninen minimienergiatila (perustila) ja kuinka monta energiatasoa mahtuu pelkkään lämpöliikkeeseen kylmänä talvipäivänä? Tee tarvittavat approksimaatiot. Vinkki a-osaan: e x 2 = b)johda isotermisen työn lauseke ja tämän avulla Carnot-hyötysuhteen kaava. Adiabaattista tilanyhtälöä ei tarvitse johtaa, ellei halua. Ohessa on Carnot-prosessin kuvaaja. Mikä on kuvaajan pinta-alan fysikaalinen tulkinta? c)mikä on kuvan kolmioprosessin hyötysuhde? Mikä on kuvaajan pinta-alan fysikaalinen tulkinta ja miksi? Esitä Carnot-prosessi tässä koordinaatistossa ja katso hyötysuhde. Ainakin tehtävän kaksi viimeistä kohtaa ovat laskennallisesti helppoja. Ensimmäinen kohta ei sekään ole vaikea, mutta vaatinee tutustumista tietyn energian todennäköisyyteen annetussa lämpötilassa. MODERNI FYSIIKKA 14. Jännitteellä E kiihdytetty epärelativistinen elektronisuihku tulee potentiaalirajalle kuvan mukaisesti. Kuinka suuri osa elektroneista kimpoaa takaisin ja kuinka suuri osa läpäisee rajapinnan tapauksissa U U 0 ja U U 0. Keskustele sanallisesti kuvan tapauksesta jossa potentiaali laskee lyhyen matkan jälkeen takaisin nollaan. Mitä tarkoittaa resonanssiläpäisy? b) Käsittele sanallisesti tilanne, jossa a-mittaisen vallin potentiaalienergia on suurempi kuin elektronin energia. Kysessä on debroglie-aallon suora sovellus. Tehtävän 8 kaavat ovat sovellettavissa, joten laskuja ei juuri tarvita. Sanallisesti keskusteltavat kohdat on tarkoitus päätellä lähteiden avulla ilman suurempia kalkulaatioita. 15. Tyhjyydessä levossa killuva neodyymiydin Nd-144 hajoaa kerralla ceriumiksi Ce-140. a) Kirjoita reaktioyhtälö b) Kuinka paljon energiaa vapautuu? c)kuinka suuri on ceriumytimen lisäksi reaktiossa emittoidun hiukkasen liike-energia? (Reaktion yksityiskohtiin ei tarvitse puuttua, tehkää kuten lukiossa teitte.) Toista soveltuvin osin reaktiolle, jossa tallium-208 hajoamistuotteena saadaan lyijy-208-ydin.