Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi

Transkriptio

1 Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi Seminaari Oulun yliopistossa, toukokuu 2014 Roger Rabb Osa I: VAKIOAMPLITUDINEN YKSIAKSIAALINEN JÄNNITYS kirjan luvut Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 1

2 Kurssin laajuus ja sisältö Kurssi perustuu R. Rabbin kirjaan Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi. Kirjan sisällön lisäksi käsitellään niitä testituloksia jotka on saatu eräästä projektista koskien hiiletyskarkaisun vaikutus väsymislujuuteen Kirjan ryhmittelyä noudattaen voidaan jakaa kurssia neljään selvästi erottuvaan osaan: 1. Vakioamplitudinen yksiaksiaalinen jännitys 2. Muuttuva-amplitudinen jännitys 3. Vakioamplitudinen moniaksiaalinen jännitys 4. Defektijakaumiin perustuva mitoitus Asioita käsitellään tässä kurssissa eniten lujuuslaskijan kannalta. Pääpaino on luotettavien mitoituskriteerien esittäminen. Itse väsymiseen liittyvään mikromekanismiin pannaan vain sen verran huomiota että kehitettyjen väsymiskriteerien ymmärtäminen helpottuu. Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 2

3 JOHDANTO (Luku 2) On oletettu että tähän kurssiin osallistujalla on ennestään jonkinlaiset tiedot väsymiseen liittyvistä perusasioista. Esimerkiksi sellaiset asiat, kun jännitysamplitudi, vaihteluväli, jännityssuhde, muotoluku, etc. ovat tuttuja. Kuvaavaa nykyaikaiselle väsymisanalyysille on myös se että se on sulautumassa yhteen lyhyen särön murtmismekaniikan kanssa. Tämän kurssin puitteissa ei opeteta varsinaisesti murtumismekaniikka vaan oletus on että jokainen osallistuja tuntee enemmän tai vähemmän hyvin ainakin murtumismekaniikan lineaarista kimmoista teoriaa (LEFM). Kurssissa esitetään kuitenkin lyhyen särön problematiikkaan kuuluvia LEFM-teorian modifikaatioita. Varsinkin el Haddad et al. modifioitua Kitagawa-Takahashi diagrammia on osoittautunut hyväksi apuvälineeksi kun arvioidaan defektijakaumien mediaaniarvoa vastaava väsymisraja. Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 3

4 Todennäköisyysteorian käytön edellytykset Vanha nimellisjännityksiin perustuva väsymisteoria kehitettiin silloin kun testauskoneet olivat hitaita ja testaus näin ollen hyvin kallista Väsymislujuus on satunnaismuuttuja ja paljon etuja saadaan väsymisanalyysiin kun tämä huomioidaan Nykyiset resonanssiilmiöön perustuvat nopeat testikoneet mahdollistavat isojen testisarjojen käyttöä väsytystestauksessa. Sekä keskiarvo että keskihajonta voidaan nykyään kohtuullisiin kustannuksiin määritellä. Samalla on jännitysanalyysi kehittynyt voimakkaasti elementtimenetelmän ja tehokkaiden tietokoneiden ansiosta. Paikalliset todelliset jännitykset saadaan nykyaikaisten jännitysanalyysien seurauksena Voidaan ja pitää luopua nimellisjännitysten käytöstä. Todennäköisyysteorian tehokkaan hyödyntäminen esimerkiksi heikoimman lenkin teorian käytössä ekstrapoloinnissa edellyttää paikallisten jännitysten käyttöä Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 4

5 Väsymislujuus on satunnaismuuttuja S-N-käyrän testauksessa vakioamplitudikuormalla voivat eri sauvojen eliniät ja väsymisrajat vaihdella hyvin paljon. Näille suureille, eliniälle ja väsymisrajalle, on olemassa sauvakoosta riippuva keskiarvo ja keskihajonta. Paikallinen jännitysamplitudi [MPa] Pienimmän neliösumman teoria : a 1/ N / Laskettu keskimääräinen keskihajonta: s N = eliniän luonnolliselle logaritmille s r = 2.4 % väsymisrajan suhteellinen keskihajonta E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 Elinikä sykleinä S-N käyrä - havainnot Väsymisraja = MPa Porraskokeen murtuneet 2 s N missä 68.3 % testituloksista S-N käyrä plus miinus sn Murtumattomat 42CrMo4+QT R m = 971 MPa R p0.2 = 847 MPa R24 K t = A eff = 35.4 mm 2 kun s r = Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto, toukokuu 2014/R. Rabb 5

6 Materiaalin kidehila ja rakeet Väsymiseen liittyvän mekanismin ymmärtämiseksi mikrotasolla on välttämätöntä jonkin verran tuntea materiaalien ominaisuudet atomitasollakin. Kidehilan yksikkösolutyyppejä on kolme: 1) pintakeskinen yksikkösolu (alumiini, hopea, kulta,...) 2) tilakeskinen yksikkösolu (kromi, rauta, wolfram,...) 3) heksagoninen kidejärjestelmä Mittakaava: esimerkiksi rauta-atomin säde () on noin nm (1 nm = 10-9 m) Periaatteessa on mahdollista käsitellä materiaalien lujuusongelmia lähtien atomien välisistä sidosvoimista, mutta käytännössä hyvin epäkäytännöllistä. Kidehilan pintakeskinen yksikkösolu Yksikkösolu Sulan metallin jäähtyessä muodostuu ensin paikallisia yksikkösoluryhmiä Periaatteessa voitaisiin väsymistä analysoida lähtien atomien välisistä sidosvoimista Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto, toukokuu 2014/R. Rabb 6

7 Ainerakeiden muodostus Yksikkösoluryhmät kasvavat kunnes ne koskettavat toisiaan Muodostuneiden rakeiden hiloissa on satunnainen orientaatio Väsymissärön ydintymisen kannalta on tietty merkitys että hilojen orientaatiot vaihtelevat. Säröt ydintyvät ja kasvavat helpommin kun vaihteleva leikkausjännitys on samassa suunnassa kun liukutasot. Ydintynyt särö voi pysähtyä kun kohtaa raerajan jos jännitys on lähellä väsymisrajaa Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 7

8 Erilaisia raerakenteita 20 m Erään ferriittis-martensiittisen teräksen raerakenne Erään ultra-hienoraeteräksen raerakenne Yleensä pyritään mahdollisimman pieneen raekokoon koska yleensä materiaalin lujuus kasvaa silloin. Kone-elimen väsymislujuus riippuu kuitenkin niinkuin myöhemmin osoitetaan eniten siinä olevan ainevikajakauman mediaaniarvosta. Jos tätä kokoa ei samalla pienennetä niin tuskin hienoraekäsittelystä ole paljon hyötyä. Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 8

9 x a q a z rb P b sc Yksikkösolun koordinaatit q, r ja s Yksikkösolun koordinaatit ja liukutasot c y D B A E C F B A C D E F Liukutasoja Materiaalin plastisoituminen edellyttää atomitasojen liukumista leikkausjännityksen seurauksena pitkin mahdollisia liukutasoja. Rakeiden tasolla jännitys ei ole enää homogeenien johtuen kimmokertoimen vaihtelusta eri suunnissa. Metalli Kimmokerroin E [MPa] suunnassa [qrs] [100] [110] [111] Alumiini Kupari Teräs Volframi Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopistotoukokuu 2014/R. Rabb 9

10 Dislokaatiot Atomitasojen liukuminen tapahtuu helpoimmin tietyissä suunnissa, niin sanotuissa likutasoissa. Leikkausjännitysten olemassaolo on edellytys tällaiselle likumiselle Käytännössä metallien liukumiseen liittyy aina dislokaatioksi kutsuttu materiaalivika, joka merkitsee että tietyn atomitason atomit puuttuvat jossakin kohdassa Dislokaatiot voivat olla kahta tyyppiä: särmädislokaatiota (seuraava kuva), tai ruuvidislokaatiota. Dislokaatio saa aikaan sen, että liukuma voi tapahtua paljon helpommin sopivassa suunnassa olevassa liukutasossa Väsymissärön ydintyminen ja kasvu ovat seurausta syklisestä likumasta kiteiden liukunauhoissa Koska väsyminen tapahtuu jo silloin, kun jännitysamplitudi on makrotasolla paljon myötörajan alapuolella, merkitsee tämä sitä, että plastinen muodonmuutos on rajoittunut vain muutamiin ainerakeisiin Onnistuneimmat väsymisen moniaksiaalisuuskriteerit perustuvat sellaisen kriittisen tason etsimiseen jossa lähinnä leikkausjännitysamplitudi saa maksimiarvonsa. Yllä olevan valossa näiden kriteerien toimivuus on helposti ymmärrettävissä Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 10

11 Dislokaatioviivan siirtyminen Leikkausjännitys Leikkausjännitys A B C D jännitys A B C Leikkaus- A B C D D + + Liukutaso Dislokaatioviivan reuna a) Ylimääräinen puolitaso A atomeja b) Puolitaso A yhtyy tason B alatasoon. Tason B yläosasta tulee dislokaation sisältävä ylimääräinen puolitaso Liukuman yksikköaskel c) Lopuksi ylimääräinen puolitaso tulee ulos kiteen oikeasta pinnasta muodostaen reunan Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 11

12 Väsymissärön ydintyminen syklisen liukuman seurauksena vapaa pinta uusi tuore pinta. Oksidin muodostus sin 2 2 a) b) c) d) e) intruusio (=mikrosärö) ekstruusio ensimmäinen sykli toinen sykli Venymäenergian minimiperiaatteen takia on intruusio todennäköisempi kuin ekstruusio Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 12

13 Säron kasvu ja sen edellytykset Särön kasvuun liittyvät ilmiöt käsitellään nykyään omana tieteenään murtumismekaniikaksi kutsutussa aineessa. Tässä yhteydessä oletetaan että lukija tuntee murtumismekaniikan. Lineaarinen kimmoinen murtumismekaniikka LEFM (Linear Elastic Fracture Mechanics) olettaa, että särö on matemaattisesti terävä, synnyttyäen särön kärjessä singulariteetin jossa normaalijännitys nousee kohti äärettömyyttä Todellinen aine ei ole niin kuin edellä on huomattu atomaarisen rakenteensa vuoksi sellainen jatkumo, jossa voi syntyä äärettömän terävä särö Todellinen materiaali plastisoituu, kun jännitys ylittää myötörajan. Tämän takia todellisen särön kärki pyöristyy niinkuin seuraavassa kuvassa näytetään, toisin sanoen se muuttuu loven kaltaiseksi Tällaisen loven ja sen lähiympäristön jännityskenttä voidaan kuvata murtumismekaniikasta tunnettua jännitysintensiteettikerrointa käyttäen Särön kasvu edellisissä kalvoissa selostetulla tavalla rae rakeelta tapahtuu tämän jännityskentän vaikutuksesta, jos se on syklinen Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 13

14 Jännityskenttä särön pohjassa y xy K I C a jännitysintensiteettikerroin (kuormitustapaus I) a r /2 x C 1 geometriakerroin On huomioitava että r-koordinaatiston origo on etäisyydellä /2 särön kärjestä, missä on kärjen säde plastisoitumisen jälkeen. = kun oletetaan että 1 = = = 2 cos 2 sin 2 sin cos cos sin 2 sin cos sin 2 cos 2 cos sin 3 2 Kun globaalijännitys on syklinen voidaan näiden kaavojen avulla laskea minkä suuntaisella tasolla leikkausjännitys saa maksimiarvonsa ja särön ydintyminen tapahtuu Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 14

15 Särö kasvaa globaalisesti kohtisuoraan syklistä normaalijännitystä vastaan vapaa pinta raerajoja liukusysteemejä liukunauha ydintyminen Globaalisessa mittakaavassa särön kasvaminen tapahtuu kohtisuoraan normaalijännitystä vastaan siksakkimuotoisesti rae rakeelta Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 15

16 Väsymissärö ydintyy yleensä jostakin aineviasta Tyypillisiä löydettyjä ainevikoja pallografiittivaluraudasta GJS valmistettujen väsytystestisauvojen murtopinnoista M22 1 2c 2c a a 00 m 200 m 200 m b) Kutistusonkalo ja sen puolielliptinen mallinnus. Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb m c) Noduulijoukko. d) Grafiittisaostuma. Pitkän särön kasvunopeus syklisen kuorman vaikuttaessa on verrannollinen jännitysintensiteettikertoimen vaihteluväliin, edellyttäen että se ylittää tietyn kynnysarvon K th = = ( ) Lyhyelle särölle on El Haddad-Smith-Topper ehdottaneet seuraavan modifikaation josta voidaan myös laskea väsymisraja särökoon funktiona kun K th ja a o tunnetaan = ( + ) = (+ ) (a = särön (ainevian) koko)

17 OSA I VAKIOAMPLITUDINEN YKSIAKSIAALINEN JÄNNITYS Kirjan luvut Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 17

18 DYNAAMISEN JÄNNITYSTILAN PERUSSUUREET (Kirjan luku 3) Kuormitus voi olla joko staattinen tai dynaaminen. Jos kuormitus on vaihteleva, eli dynaaminen, ja jännityssyklien lukumäärä on suuri, ei staattinen tarkastelu yksin riitä. Jos jännitysamplitudi on vakio ja syklien lukumäärä on suuri, esim. N 10 6, suoritetaan useimmiten sellainen väsymisanalyysi, joka nimellisesti tähtää äärettömään elinikään. Tätä vastaava jännitysamplitudia kutsutaan väsymisrajaksi af Kriteerinä on että jännitysamplitudi silloin ei saa ylittää suurimmalle sallitulle vaurioitumisriskille redusoitua väsymisrajaa Väsymisraja esitetään tavallisimmin niin kutsutun Haigh-diagrammin muodossa Yleensä väsymisen asiantuntijat suosivat Haighin väsymisdiagrammin käyttöä sen monipuolisuuden vuoksi Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 18

19 Dynaaminen vakioamplitudinen jännitys Jännitys [MPa] max m a min Muutamia dynaamisen vakioamplitudisen jännityksen perussuureita max = maksimijännitys min = minimijännitys Aika = + 2 = 2 =2 = keskijännitys jännitysamplitudi (aina positiivinen) jännityksen vaihteluväli (aina positiivinen) = jännityssuhde = + maksimijännitys = = 1 1+ minimijännitys amplitudi jännityssuhteen funktiona ja keskijännityksen funktiona Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 19

20 Haigh-diagrammi Nykyaikainen Haigh-diagrammi osoittaa paikallisen väsymisrajan paikallisen keskijännityksen funktiona. Kuvitellaan tässä vaiheessa että jokaisella materiaalilla on tällainen raja jonka alle väsymisraja ei enää laske vaikka kuormitussyklien lukumäärä lisätään rajatta Käytännöllisistä syistä oletetaan että Haigh diagrammille on suora osuus silloin kun keskijännityksen ja jännitysamplitudin summa ei aiheuta plastisoitumista ei negatiivisella alueellä eikä positiivisella alueella Terävissä lovissa tapahtuu usein plastisoitumista jonka suuruus on laskettava elastoplastisella materiaalimallilla jotta todellinen keskijännitys voidaan määritellä Haigh diagrammi on täten ulotettava plastiselle alueelle sekä negatiivisella että psitiivisella puolella. On tarkoituksenmukaista piirtää diagrammi lähtien puristusmurtorajasta vetomurtorajaan asti. Saadaan kaunis diagrammi. Todellisuudessa plastinen venymä ei ole koskaan jossakin lovessa yhtä suuri kun todellinen (paikallinen) murtovenymä Sitkeillä aineilla kuten teräksillä paikallinen todellinen murtoraja on 30 %...60 % korkeampi kuin nimellinen. Tämä on huomioitava teräksen Haigh-diagrammia konstruoitaessa. Puhutaan myös fiktiivisestä murtorajasta. Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 20

21 Paikallinen venymä saadaan huomioimalla kurouma Kuvasarja kuvaa erään vetokokeen kehittyminen. Vetosauvan materiaali 34CrNiMo6+QT R m = 1013 MPa R p0.2 = 903 MPa Seuraavalla sivulla näytetään mitattua jännitysvenymä-käyrä (käyrä) murtuminen Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 21

22 Testattu jännitys-venymä käyrä Jännitys Stress [MPa] Kahden Stress 34CrNiMo6-testisauvan strain response vaste True: Locally at necking Paikallinen: huomioiden kurouma Nominal: Per original area Nimellinen: Diameter: alkuperäinen Gage + optical poikkipinta Halkaisija: mittaus + silmämääräinen Kurouma alkaa Paikallinen WD8 Paikallinen WD7 Nimellinen WD8 Nimellinen WD7 True stress WD8 True stress WD7 Nominal stress WD8 Nominal stress WD7 Diameter Halkaisija WD8 WD8 Diameter WD7 Halkaisija WD7 9,5 9,0 8,5 8,0 7,5 7,0 6,5 6,0 Halkaisija [mm] Diameter [mm] 900 5, R m = 1013 MPa R p0.2 = 903 MPa 5,0 4, , True strain [% ] Paikallinen venymä [%] Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 22

23 Ramberg-Osgood-yhtälö -käyrän laskemiseksi Ramberg - Osgoodin yhtälö e p E K 1/ n K = lujuuskerroin (strength coefficient) n = venymälujittumiskerroin (strain hardening exponent) Lisäksi saadaan kuroumaan asti paikallisen venymän ja paikallisen jännityksen nimellisista arvoistaan nim ja nim seuraavilla kaavoilla: 1 ja ln 1 nim nim nim Kun tunnetaan kaksi testipistettä ( 1, 1 ) ja ( 2, 2 ) voidaan ratkaista K ja n iteroimalla seuraavista yhtälöistä: ln 1 K ln 2 K ln 1 1 E ln 2 2 E ja n ln 2 ln K ln 2 2 E Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 23

24 Edellisen testattu tapauksen laskettu -käyrä Jännitys [MPa] CrNiMo6+QT: R m = 1013 MPa R p0.2 = 903 MPa Tutkimusraportti: VTT-S Venymä [%] 1/ / E = Nimellinen Paikallinen 0.2% raja Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 24

25 Paikallisten arvojen laskeminen Neuberin ja Glinkan säännöillä Jos elementtimalli on ollut lineaarinen kimmoinen voidaan approksimoida paikallinen jännitys ja venymä Neuberin tai Glinkan säännön avulla Glinkan mukainen 1800 sääntö on kokemuksen mukaan tarkempi Jännitys [MPa] el el Neuberin sääntö (paraabeli) Venymä [%] el el Glinkan sääntö el el d 2 E = Paikallinen käyrä Neuber paraabeli eps(el)=0.75 sig(el)=1545 eps(neub)=1.193 sig(neub)=971.3 eps(glin)=0.863 sig(glin)=943.2 Monotonista -käyrää on käytetty koska plastisoituminen johtuu tässä vain esikiristyksestä Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 25

26 Teräksen Haigh-diagrammin periaatteellinen konstruoiminen Yleensä kannattaa käyttää C. Mourierin väitöskirjassaan suosittelemaa makaavaa paraabelia kuvaamaan väsymisrajaa plastisella alueella missä keskijännitys on positiivinen. B-splinejä käyttäen voidaan myös kuvata diagrammin plastisia alueita. Kun keskijännitys on negatiivinen on B-splinin käyttö suositeltava On tärkeää muistaa aina ilmoittaa minkälaisilla testisauvoilla digrammi on saatu jotta diagrammin ekstrapolointi koskemaan tutkittavaa kone-elintä olisi mahdollinen. Seuraavan sivun Haigh-diagrammi on satu alla olevalla referenssitestisauvalla 10 M Referenssitestisauva 48.5 kiillotettu aksiaalisesti K t = muotoluku A eff = 225 mm 2 tehollinen jännityspinta-ala silloin kun suhteellinen keskihajonta on s r = Tehollinen jännitysvolyymi: V eff 390 mm 3 kun s r = V eff 520 mm 3 kun s r = 0.10 Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 26

27 Oletus-Haigh-diagrammi luotettavuustasolla C = 90 % Paikallinen väsymisraja [MPa] ; R kr P m ar ar m k k Kvadraattinen B-splini ar1 Rp0.2 P2 m2 ; 2(1 k) poikittainen raevuo Diagrammin lineaarinen osa P0 100 ( R m ;0) R m Paikallinen keskijännitys [MPa] ar1 k m2 C. Mourierin mukainen makaava paraabeli Fiktiivinen murtoraja lineaarinen C.Mourier B-splini Porraskoetuloksia 3 kontrollipistettä Haigh-diagrammi kuvaa referenssisauvan väsymisrajan mediaaniarvon Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 27

28 C. Mourierin mukainen referenssisauvan väsymisraja (C = 90 %) väsymisrajan oletusarvo vaihtokuormituksella (yksikkö MPa): =1 = väsymisraja vaihtokuormalla = lineaarisen osan kaltevuuskerroin =0 = =1 1 väsymisraja tykyttävällä kuormalla ( mr=0 = ar=0 ) af ar = 1 k väsymisraja välissä m2 m mr 0 m diagrammin lineaarinen osa = 2(1+2) = (1+2) =1 (2+) apusuure fiktiivinen murtoraja Jos < R m kannattaa käyttää B- spliniä joka päättyy murtorajaan C. Mourierin makaava paraabeli joka yhtyy m -akseliin 45 asteen kulmassa: = = (2) 2 (2) väsymisraja välissä mr 0 m R m Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 28

29 Kvadraattinen B-splini Kvadraattisen B-splinin käyttö on osoittautunut varsin käteväksi Haigh-diagrammin plastisten alueiden kuvaamiseksi. Tarvitaan kolme ohjauspistettä ( m,p0 ; a,p0 ), ( m,p1 ; a,p1 ) ja ( m,p2 ; a,p2 ). Ensimmäinen ja kolmas ohjauspiste ovat diagrammin pisteitä ja kolmas valitaan niin että diagrammin kaltevuus on oikea ensimmäisen ja kolmannen ohjauspisteen kohdalla. Ohjauspisteiden avulla muodostetaan normeerattu muuttuja t, 0 t 1 =,0,1,0 2, ± 2,0, 1,0 2,1 +,2,0,0 2,1 +,2 Jos oikean puolen ensimmäinen termi on positiivinen valitaan juurelle negatiivinen etumerkki, ja päinvastoin. Diagrammin muuttujaa t:tä vastaavat pisteet ovat seuraavat: = (1 ) 2,0 + 2(1 ),1 + 2,2 = (1 ) 2,0 + 2(1 ),1 + 2,2 Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 29

30 Väsytyssuhde Kirjassaan Rabb on sanonut hiukan epämääräisesti että kaava väsymisrajan laskemiseksi ar=-1 = 1.04(0.144R m R p0.2 )+56 voidaan käyttää kun murtoraja R m < 1400 MPa. (Erilaisia tällaisia kaavoja löytyy paljon kirjallisuudesta) Lisäksi on maininta että jos on vain ainestandardin ilmoittamat staattiset lujuusarvot käytettävissä voidaan näitä arvoja korottaa noin 6 % kaavaa käytettäessä koska vetokokeiden mukaan saadaan näin niiden mediaaniarvot. Kirjallisuudessa löytyy paljon mainintoja siitä että väsymisrajan kasvu murtorajan funktiona loppuu tietyn arvon yläpuolella ja lähtee tämän jälkeen laskuun. Koska kirjoittaja ei omassa testauksessaa ollut silloin vielä törmännyt tähän ilmiöön niin asia jäi kirjassa käsittelemättä. Kirjan valmistumisen jälkeen kirjoittaja kohtasi kuitenkin tämän ilmiön eräissä testeissä joissa testattiin hiiletyskarkaisuteräksen 18CrNiMo7-6 perusmateriaalin väsymislujuuslujuus, kun materiaalin kovuus oli noin 452 HV vastaten R m = 1437 MPa ja R p0.2 = 1116 MPa Usein oletetaan että väsymisrajan suhde murtorajaan on vakio, ja teräksille noin 0.5 (referenssitestisauvalle). Tätä suhdetta kutsutaan väsytyssuhteeksi f R ar1 f R Rm Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 30

31 Hiiletyskarkaisuterässauvoilla saatu poikkeava väsymisraja Paikallinen väsymisraja af [MPa] Diagrammin C = 90 %! 18CrNiMo7-6 High grade R m = 1437 MPa R p0.2 = 1116 MPa Paikallinen keskijännitys [MPa] Aks. raevuo Rad. raevuo R=0 Smax=Rp0.2 Smin=-Rp0.2 Aks. Testipiste Rad. Testipiste f R K A V t eff 10 eff kun s M mm 1100 mm r Aksiaalisesti kiillotettu, R a 0.4 m C. Mourierin kaavan mukaan väsymisrajan pitäisi olla seuraava: ar 0.144R 0.309R MPa m p, tämä on noin 33 % korkeampi kuin testattu arvo MPa Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 31

32 Selityksenä ainevian mediaaniarvo ja jännitysintensiteettikertoimen kynnysarvo Y. Murakami (Metal Fatigue: Effects of Small Defects and Nonmetallic Inclusions, Elsevier 2002) antaa seuraavan yhtälön väsymisrajan arvioimiseksi kun tunnetaan aineen kovuus ja lyhyen ainevian koko: Pinnassa olevan särön jännitysinteettikertoimen vaihteluväli kun ainevian mittana käytetään sen pinta-alan neliötä area. Jännityksen yksikkönä MPa ja särön yksikkönä m K K th 3 1/2 1/2 area [MPam ] Jännitysintensiteettikertoimen kynnysarvo, eli se jännitysintensiteettikertoimen arvo jolla ainevika (särö) lähtee kasvamaan, vaihtokuormalla on Murakamin mukaan seuraava: H 129 1/ V area Yhdistämällä kaksi edellistä yhtälöä saadaan lyhyen särön alueella seuraava väsymisrajan arvo ar=-1 vaihtokuormalla kovuuden ja pintasärön pituuden funktiona: ar H V 120 1/6 area [MPa] Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yuliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 32

33 Pinnassa olevaa säröä ja sisäistä säröä vastaavat väsymisrajat Murakamin antaa seuraava kaava väsymisrajan laskemiseksi kun särö on sisäinen: 1.56H ar V area 1/ 6 sisä Tämän ja edellisen kaavan avulla saadaan myös millä pintasärön redusoidulla koolla väsymisraja pinnassa on yhtä suuri kun silloin kun ydintyminen tapahtuu sisäisesti area area area sisä p int a 1.56 sisä Otosväsymisrajaa ar MPa vastaava sisäisen ainevian mediaaniarvoksi silloin,kun raevuo on yhdensuuntainen saatiin area 34.8 m.yllä olevan kaavan mukaan ydintyminen pinnassa voi tapahtu jo kun ainevian koko on area 20.8 m. Lisäksi on tarkoituksenmukaista kun käytetään normaaleja murtumismekaniikan kaavoja että Murakamin mitta area muutetaan puoliympyrämaiseksi pintasäröksi jolla on sama pinta-ala. Näin ollen tämän puoliympyrämäisen särön arvioitu mediaaniarvo väsymisrajalla olisi seuraava: a med m niinkuin seuraavan sivun kuva osoittaa tämä on hyvä estimaatti Huom! Viimeisessä luennossa CASH-projektin tuloksista annetaan tarkempia estimaatteja särön koosta, sekä tarkempi käsittely El Haddad et al. korjatussa K-T-diagrammissa Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 33

34 Pintaydintymistä vastaava väsymisraja kovuuden ja defektikoon funktiona Jos pintadefekti on suuri voidaan käyttää lineaarista kimmoista murtumismekaniikkaa LEFM hyväksi. Käytetään M. Chapettin antamia kynnysarvoja, Mirco D. Chapetti. Prediction of threshold for very high cycle fatigue (N > 10 7 cycles). Procedia Engineering 2 (2010) K R [MPam ] / H [N/mm ] 1/2 thr1 m V ar1 K C thr1 3 2 a H H 10 a V a V a med 2 silloin kun [a] = m area Väsymisraja ar=-1 [MPa] Lyhyen särön alue testattu Pitkän särön alue (LEFM) lyhyt(2.6) pitkä(2.6)=2.1 lyhyt(25) pitkä(25)19.9 lyhyt(50) pitkä(50)=39.9 lyhyt(100) pitkä(100)=79.8 HV=455 SaR=-1=493.2 Fatigue limit ar=-1 [MPa] ar=-1 1.6HV±0.1HV (HV 400) Kovuus HV Garwood, M.F, et al ASM Rockwell hardness C scale Vickers hardness HV Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 34

35 Väsymisraja ja ainevian mediaaniarvo Edellisillä sivuilla esitettyjä testituloksia ja laskelmia osoittaa että kovuuden ohella myös defektikoon mediaaniarvo vaikuttaa kovasti odotettavissa olevaan väsymisrajaan, erikoisesti jos ydintyminen siirtyy lyhyen särön alueelta pitkän särön alueeseen jossa on käytettävä LEFM-teoriaa Tällaisten laskelmien edellytys on että tunnetaan sekä kyseisten materiaalien defektijakaumat että jännitysintensiteettikertoimien kynnysarvot Rabbin kirjan osassa IV käsitellään seikkaperäisesti aineiden ainevikajakaumat ja ekstrapolointi Jo nyt voidaan todeta että on syytä kun lasketaan tilastollinen kokokerroin kun lenkkien lukumäärä on suuri käyttää ennemmin defektijakaumia kuin väsymisrajan jakaumaa. Enemmän tästä myöhemmin Lisäksi on Murakamin teorian sijassa syytä käyttää El Haddad-Smith-Topper korjattua Kitagawa-Takahashi diagrammia lyhyen särön alueella. Väsymisraja-kovuusdiagrammilla ei tietenkään voi olla jyrkkiä suunnanmuutoksia niinkuin edellisen kuvan mukaan olisi laita. Enemmän tästä myöhemmin Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 35

36 Varmuuskertoimen määrittäminen Todennäköisyysteorian käyttö poistaa varmuuskertoimen monitulkinnaisuuden Vanhan nimellisjännityksen aikana tunnettiin neljä eri tapaa ottaa kuormitustapauksen väsymisrajaa diagrammista, eli olettamalla että, a) keskijännitys on vakio, b) jännityssuhde on vakio, c) maksimijännitys on vakio ja d) minimijännitys on vakio Jos oletetaan että jännitysamplitudi on vakio ei ole olemassa mitään syytä että jokin näistä neljästä tavasta olisi muita loogisempaa käyttää. Tämä on hullu tilanne koska kuten seuraavan sivun kuvassa näytetään niin laskettu varmuuskerroin voi vaihdella hyvin paljon riippuen siitä mitä oletusta seurataan Kun lähdetään siitä oikeasta lähtökohdasta että väsymisraja on satunnaismuuttuja jolla on sekä mediaaniarvo että keskihajonta on helppoa ymmärtää että oikea varmuuskerroin saadaan redusoimalla Haigh diagrammi siihen vaurioitumisriskiin jossa redusoitu käyrä leikkaa kyseisen jännityksen. Silloin redusoinnissa neljä vanhaa tapaa konvergoi kohti samaa varmuuskerrointa. Koska lähtökohta on että tiettyä keskijännitystä vastaava väsymisraja on satunnaismuuttuja niin tämä johtaa siihen että myös Haigh-diagrammin kaltevuuskerroin k muuttuu redusoinnissa Lineaarisella alueella oikea tapa määritellä väsymisraja on täten olettaa että keskijännitys on vakio. Plastisella alueella voidaan tarvita iterointia Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 36

37 Väsymisraja [MPa] S F e S F s ln 1 1 s r Varmuuskerroin esitettynä Haigh-diagrammissa varmuuskerroin lognormaalijakaumaa käyttäen varmuuskerroin normaalijakaumaa käyttäen Tiheysfunktio kun s r = Diagrammia redusoitaessa siirtyy paraabelin alkupiste ja loppupiste vasemmalle S F 1.87 Keskiarvo Jännitys Skeski=vakio R=vakio Smax=vakio Smin=vakio SFiter = R=0 S F Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb S F Redusoimalla keskiarvokäyrää varmuuskertoimella S F = 1.64 se leikkaa kyseisen jännityspisteen. Käyttämällä normaalijakaumaa on vaurioitumisriski P silloin: S F Selitetään paremmin jakaumien yhteydessä 1 1 sr SF P Esimerkki: m = 350 MPa a = 250 MPa 100 m vakio R m Keskijännitys [MPa]

38 VÄSYMISLUJUUDEN JAKAUMAT (Kirjan luku 4) Materiaalin väsymisraja on satunnaismuuttuja jolla on sekä mediaaniarvo että keskihajonta On hyvä heti alusta ajatella mediaaniarvon ja keskiarvon välinen ero. Jos jakauman tiheysfunktio on symmetrinen niin silloin keskiarvo ja mediaaniarvo on sama. Muissa tapauksissa keskiarvo on yleensä suurempi Mediaaniarvo on väsymisanalyysin kannalta tärkeämpi koska väsymisrajan redusoinnissa vastaamaan suurinta sallittua vaurioitumisriskiä käytetään sitä Erilaisia todennäköisyysjakaumia on lukuisia. Jakauman valinta on enemmän tarkoituksenmukaisuuskysymys, varsinkin kun muistetaan että itse asiassa materiaalin defektit määräävät väsymisrajan ja defektit ovat koostumukseltaan erilaisia seuraten jokainen oman jakauman Perinteiseti normaalijakauma on paljon käytetty ja käytetään testattaessa edelleen paljon. Haittana että se sallii negatiivisia väsymislujuuksia Weibulljakauma jolla on kynnysarvo jonka alapuolella väsymisraja ei voi olla on teoreettisesti hyvä jakauma. Käytännössä se kuitenkin johtaa liian suuriin varmuuskertoimiin lognormaalijakauma on näin ollen hyvä kompromissi jonka käyttö suositellaan. Tämä jakauma lähtee nollasta plus äärettömään. Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 38

39 Diskreetti normaalijakautunut satunnaismuuttuja Todennäköisyysjakaumien ymmärtämiseksi on hyvää tuntea myös diskreettisen satunnaismuuttujan vastaavat käsitteet. Tämä on erikoisen tärkeä kun muistetaan että testauksessa saadaan joukko diskreettejä arvoja. a) aritmeettinen (tilastollinen) keskiarvo Jos ajatellaan, että toistetaan testiä yhteensä N kertaa ja tulos x 1 on saatu n 1 kertaa ja tulos x 2 on saatu n 2 kertaa, j.n.e., aritmeettinen (tilastollinen) keskiarvo x, eli muuttujan odotusarvo E(x) on silloin = () = =1 = = =1 ( ) Kaavassa symboli p(x i ) tarkoittaa havainnon x i esiintymisfrekvenssiä, eli todennäköisyyttä b) varianssi ja keskihajonta Aritmeettisen keskiarvon lisäksi halutaan käsitys siitä, kuinka laajalle keskiarvon ympärille havaitut arvot ovat keskimäärin hajaantuneet. Jos havaitun arvon x i poikkeama keskiarvosta x mitataan erotuksen neliöllä, jolloin poikeaman suuntaa ei haluta huomioida, on luonnollista ottaa käyttöön seuraava lauseke, eli niin sanotun varianssin lauseke 2 = 1 ( ) 2 = ( ) 2 ( ) =1 =1 Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 39

40 Harhaton varianssin estimaatti On myös huomattava että jakauman varianssi on sen toinen momentti (vertaa massahitausmomentin lausekkeeseen) odotusarvon suhteen. Käytännön laskuissa käytetään useimmiten varianssin niin sanottua harhatonta estimaattia, joka on 2 = 1 1 ( ) 2 =1 Tärkeä suure on keskihajonta joka on varianssin (harhattoman) neliöjuuri. Kun N on suuri niin molemmat yllä olevat kaavat antavat käytännössä saman tuloksen. = 2 Testidatan käsittelyssä ja erikoisesti simuloinneissa tarvitaan diskreetin muuttujan pistetodennäköisyysfunktio (tiheysfunktio) p(x) ja kertymäfunktiota F(x) p( x) p( xi ) kun x xi ja i = 1,2, F( x) P( x x ) p( i x i i: x x i ) E(x) muuttujan odotusarvo (Expectation) Huom! Keskiarvon ja varianssin laskeminen yllä olevilla kaavoilla kutsutaan usein momenttimenetelmäksi (MoM, Method of Moments) Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 40

41 Normaalijakauma Normaalijakauman hyvä tunteminen on välttämätöntä, koska se on pohjana monessa muussakin yhteydessä. Usein on myös riittävän tarkkaa, jos kuvataan väsymisrajan hajontaa tällä jakaumalla. Normaalijakautuneen väsymisrajan af tiheysfunktio f( af ) ja kertymäfunktio F( af ), kun odotusarvo on ja keskihajonta s on esitetty seuraavissa lausekkeissa = () = = () = Kertymänfunktion arvo pisteessä tarkoittaa siis todennäköisyyttä sille, että väsymisraja on pienempi kuin kyseinen arvo. Tätä kertymäfunktion arvoa kutsutaan myös vaurioitumisriskiksi ja merkitään lyhyesti merkinnällä P (Probability). Vaurioitumisriskin komplementtiarvo R = 1-P edustaa näin ollen luotettavuutta (Reliability, survival probability), eli sitä todennäköisyyttä, että väsymisraja on suurempi kuin kyseinen jännitys. R 1 P, e = Neperin luku On tärkeää huomata, että tilastollinen keskiarvo lähestyy jakauman odotusarvoa, kun testien lukumäärä kasvaa kohti ääretöntä, kuten N. Piskunov /3, sivu 511, vol. II/ todistaa. Tämä on tärkeää muistaa, koska normaalijakauman keskiarvo ja mediaaniarvo ovat samoja jakauman symmetrisyydestä johtuen. Esimerkiksi lognormaalijakauman ja weibulljakauman keskiarvo ja mediaaniarvo poikkeavat toisistaan. Mediaaniarvo on se arvo, jossa kertymäfunktio saa arvon 0.5. Toisin sanoen P = R = 0.5 (50 %). Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb

42 Normaalijakauman edut ja heikkoudet normaalijakauman tuntemusta tarvitaan eräiden muiden tärkeiden konfidenssiin liittyvien jakaumien ymmärtämiseksi. Useimmat insinöörit tuntevat tämän jakauman ja osaavat näin ollen käyttää sitä ilman vaikeuksia kätevä käyttää kun suunnitellaan porraskokeita väsymisrajan selvittämiseksi sekä kun lasketaan testituloksista keskiarvo ja keskihajonta suurimman uskottavuuden menetelmällä (Maximum Likelihood Method MLM) Normaalijakauman käyttöön liittyy kuitenkin eräs suuri haitta. Jakauma sallii negatiivisia lujuuksia mitä tietysti on mahdotonta. Jos näin ollen kuitenkin redusoidaan keskiarvo suurinta sallittua vaurioitumisriskiä vastaavaan arvoon niin tämä voi helposti johtaa ylimitoitukseen, s.o. liian suureen varmuuskertoimeen Varmuuskerroin S F väsymisrajan mediaaniarvoon af (keskiarvoon) nähden lasketaan suhteellisen keskihajonnan s r ja suurinta sallittua vaurioitumisriskiä P vastaavan standardoidun normaalijakauman muuttujan funktiona : af, P S F af 1 1 s s r af 1 s r kun s r s Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 42 sf s r suhteellinen keskihajonta eli matemaattisesti variaatiokerroin

43 Kertymäfunktio F P( ) Normaalijakautunut väsymisraja Alla on kuvattu erään nuorrutusteräksen väsymislujuus käyttäen normaalijakaumaa ja tyypillisiä populaatioarvoja luotettavuustasolla C = 90 %. Tilanne kun yksi keskihajonta on vähennetty keskiarvosta, eli a = ar=-1 -s = = MPa (s r = 40.1/500.9 = 0.080) af Vaurioitumisriski P = e ( 500.9) P 2 d R 1 P R = 1-P = so %:n todennäköisyys että väsymisraja on suurempi kuin MPa Tiheysfunktio Väsymisraja [MPa] Kertymäfunktio Keskiarvo Keskiarvo - keskihajonta Tieheysfunktio Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 43

44 Keskiarvon ja varianssin laskeminen momenttimenetelmällä On tärkeää että on hyvä kuvaa siitä miten keskiarvo ja keskihajonta määritellään. Myös siksi että eräs tavallinen tapa sovittaa jakauma testidataan on niin sanottu momenttimenetelmä MoM Tiheysfunktio Huom! P f ( ) d 1 f ( ) Keskiarvo (pinnan painopiste) af, m Varianssi 2 1 s 1 f d (vertaa massahitausmomenttiin) 2 fd af, m d af,m Tieheysfunktio Väsymisraja Keskiarvo Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 44

45 Standardoitu normaalijakauma ja kertymäfunktion laskeminen On olemassa lukemattomia valmiita ohjelmia, jotka laskevat kertymäfunktion arvon halutuissa pisteissä integroimalla tiheysfunktion. Käytännössä käytetään aina niin sanottua standardoitua normaalijakaumaa N(0,1) hyväksi näissä laskelmissa. Standardoidun jakauman keskiarvo on 0 ja keskihajonta 1, so. tiheys- ja kertymäfunktiot saavat seuraavat yksinkertaiset muodot: () = ( ) = Kerroin kertoo näin ollen montako keskihajontoa on vähennettävä keskiarvosta, jotta vaurioitumisriski olisi pienempi tai yhtä suuri kuin vaadittu arvo P. Parametrin arvo on silloin laskettava iteratiiviseti integraalin avulla. Käytännössä halutaan monesti tietää mitä vaurioitumisriskiä tietty jännitysamplitudi a vastaa. Silloin voidaan integroida yhtälö kun ensin lasketaan kertoimen arvo seuraavalla tavalla, kun keskiarvo ja keskihajonta tiedetään = L. Råde et al. antavat seuraavan likimääräiskaavan standardoidun normaalijakautuman kertymäfunktion laskemiseksi (x = ) () = ( ), x 0 1 () Fx = 1 ( ) 1+ p 1 1/ 1 x e () Huom! Kirjassa on painovirhe Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 45

46 Standardoidun normaalijakauman kuva Standardoitu normaalijakauma. Esimerkiksi redusointi yhden keskihajonnan verran merkitsee vaurioitumisriskiä 15.9 %. Väli [-1-0] saadaan riittävän tarkasti itse kuvasta. Kertymäfunktio = P( af af,keski +s ) f ( x) e 2 2 P = x 2, ( x ) P( x 2 x 1 ) e 2 2 dx Tiheysfunktio Standardoidun normaalijakauman 0.00 kertymä miinus lamda tiheys Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 46

47 Lognormaalijakauma Lognormaalijakauman käyttö on hyvä kompromissi silloin, kun normaalijakauman käyttö johtaa turhaan konservatiivisiin tuloksiin. Käytettäessä lognormaalijakaumaa oletetaan, että väsymisrajan logaritmi on normaalijakautunut. Itse satunnaismuuttuja lähtee nollasta. Koska logaritmi nollasta on miinus ääretön niin lognormaalijakauma kulkee ihan kuin normaalijakaumakin miinus äärettömästä plus äärettömään. Lognormaalijakauman tiheysfunktio on logaritmiasteikolla symmetrinen. Kuitenkin kun se esitetään normaalilla jännitysasteikolla se muuttuu epäsymmetriseksi. Epäsymmetrisillä jakaumilla keskiarvo ja mediaaniarvo eivät ole enää samoja niin kuin ne ovat normaalijakaumalle. Keskiarvo kuvaa tiheysfunktion alla olevan pinnan painopistettä. Mediaaniarvo med sen sijaan jakaa tämän pinnan kahteen osaan siten että kertymäfunktion arvo on 50 % mediaaniarvon kohdalla. Keskiarvo on nyt aina hiukan isompi kuin mediaaniarvo johtuen siitä, että lognormaalijakauman kohti ääretöntä menevät arvot siirtävät painopisteen tähän suuntaan. On tärkeää huomata, että standardoidun normaalijakauman avulla laskettu tiettyä vaurioitumisriskiä vastaava -arvo, on juuri se sama jota on käytettävä myös lognormaalijakauman yhteydessä. Tästä syystä tämän jakauman käyttö on yhtä helppo kuin normaalijakauman käyttö. Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 47

48 Lognormaalijakauman tiheys- ja kertymäfunktiot Lognormaali-jakauman tiheys- ja kertymäfunktiot ovat seuraavat, kun logaritminen keskiarvo (mediaani) merkataan ln ja logaritminen keskihajonta s ln. Muut merkinnät ovat samat kuin normaalijakauman yhteydessä käytetyt = 1 2 ln () = = 2 0 1, 0 (ln ) Kertymäfunktion käytännön laskelmat saadaan integroimalla standardoitu normaalijakauma miinus äärettömästä -arvoon, joka saadaan kun redusoidaan logaritmista keskiarvoa vastaamaan esimerkiksi laskettua jännitysamplitudia a = ln Esitettynä reaalimaailman yksiköissä saadaan seuraava mediaaniarvo, keskiarvo ja keskihajonta e ln med, = + mediaaniarvo 2 2 keskiarvo sekä varianssi 2 = ja keskihajonta = 2 Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, toukokuu 2014/R. Rabb 48

49 Lognormaalijakauman mediaaniarvo, keskiarvo ja keskihajonta Lognormaalijakautuneen väsymisrajan vaurioitumisriskiä P vastaava varmuuskerroin S F saadaan vastaavalla tavalla kun normaalijakaumalla kun nyt kuitenkin käytetään logaritmiarvoja af, med ln af, P e ln ln mediaaniarvo "reaalimaailmassa" s ln ln af, med s ln S f e s ln Normaalijakaumalla ja lognormaalijakaumalla saadut keskiarvot ja keskihajonnat eivät yleensä poikkea paljon toisistaan mutta on syytä muistaa että ne on saatu erilaisilla jakaumilla. Jos keskihajonta on suuri voivat mediaaniarvot myös poiketa toisistaan paljon. Lognormaalijakauman keskiarvolla ja keskihajonnalla tarkoitetaan niinkuin seuraavalla sivulla on havainnollistettu tiheysfunktion alla olevan todennäköisyysmassan painopiste ja todennäköisyysmassan hitausmomentti painopisteen suhteen. Koska keskiarvo merkitsee tiheysfunktion alla olevan alueen painopistettä niin kohti ääretöntä menevät arvot tekevät sen että keskiarvo on suurempi kuin mediaaniarvo Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 49

50 Lognormaalijakauman ja normaalijakauman mediaaniarvot ja keskiarvot Jotta lognormaalijakauman ja normaalijakauman erot tulisivat selvästi esille käytetään Rabbin kirjasta taulukossa 27.1 esitettyä testattua defektijakaumaa. Huomaa että siellä on kaksi huolimattomuusvirhettä, nim. lognormaali-arvojen pitää olla a med = m ja a keski = m. Normaalijakaumaa käyttäen saatiin että a med = a keski = m ja s = m, eli s r = 118.2/292.3 = Lognormaalilla saatiin ln = 5.606, s ln = eli a med = m ja a keski = m. Keskiarvot ovat yllättävän lähellä toisiaan. Tiheysfunktio 4.5E E E E E E E E E E+00 normaali lognormaali akes,nor=292.3 med,lg=272 akes,lg= Defektikoko [m] Kertymäfunktio Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb Fi=i/(n+1) normaali lognormaali P=0.5 akes,nor=292.3 amed,lg=272 akes,lg= Defektikoko ]m] Näkyy selvästi kertymäfunktioista miten huonosti normaalijakaumaa toimii pienillä arvoilla

51 Jakaumien vertailu erään porraskokeen avulla Porraskoe ja testitulosten käsittely reaalimaailmassa ja logaritmitasossa on näytetty alla olevassa kuvassa a) Testisauva. EN CrNiMo6+QT R m = 1165 MPa R p0.2 = 1064 MPa K t = Paikallinen keskijännitys m = MPa A eff 373 mm 2 kun suhteellinen keskihajonta on s r = Todellinen jännitysamplitudi Paikallinen [MPa] amplitudi [MPa] Amplitudin luonnollinen Todellisen jännitysamplitudin logaritmi af MPa s 35.2 MPa, eli sr Testisauva nro murtunut b) Normaalijakautunut väsymisraja. s ln ln Testisauva nro murtunut murtumaton murtumaton c) Lognormaalijakautunut väsymisraja. Kun muunnetaan logaritmiarvot reaalimaailman arvoiksi sadaan: Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, toukokuu 2014/R. Rabb 51 s af, med af, m s.o. e e 2 ln ln ln 1 e 36.0 MPa s r e s s MPa 2 ln / MPa 2 s ln 2 ln Käytännössä saadaan tässä tapauksessa sama suhteellinen keskihajonta jakaumasta huolimatta

52 Porraskokeen kuvaajat Lognormaalijakauman mediaaniarvon redusointi vaurioitumisriskille P = 10-4 ( = ) ln( af, P 10 ) ln 4 s af, P10 e f (ln( af 4 )) s S F ln 1 e 2 e ln MPa 2 [ln( af ) ln ] 2s 2 ln 2 [ln( af ) ] Normaalijakauman käyttö redusoinnissa johtaa ylimitoitukseen. Todellinen tilanne on vielä pahempi kun kuvassa koska todellisessa väsymisanalyysissä käytetään 90 %:n luotettavuustasolla olevaa suhteellista keskihajontaa s rc90 = 0.08 Kertymäfunktio S 1 1 s F, norm r E E E E E-03 Tiheysfunktio E E Väsymisraja [MPa] norm lognor a,kes=533.9 amed,ln=533.5 am,ln=534.7 Norm.P=10^-4 ln.norm.p=10^-4 Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 52

53 Kertymäfunktiot tarkemmin tarkastettuna keskiarvojen ympäristössä 1.150E E-02 Tiheysfunktio 1.100E E E E Väsymisraja af [MPa] Tiheys(norm) Tiheys(lognor) Saf,m,norm=533.9 Saf,med,ln=533.5 Saf,m,ln=534.7 Tämän porraskokeen tulosten ja myös monen muun kokeen tulosten perusteella vedettiin johtopäätös että voidaan riittävän tarkasti arvioida lognormaalijakauman keskihajonta s ln normaalijakaumaa käyttäen lasketusta suhteellisesta keskihajonnasta s r seuraavalla likimääräis- s ln a kaavalla: ln s r Yllä selostetussa porraskokeessa missä hajonta on pieni se toimii hyvin s ln = -ln( ) = , mutta aikaisemmin annetussa defektijakauma-esimerkissä se ei toimi koska s ln = - ln( ) = ja oikeilla kaavoilla laskettu arvo oli sln = Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 53

54 Weibull-jakauma Weibulljakauma kuvaa periaatteessa materiaalien lujuuden, sekä staattisen lujuuden että väsymislujuuden, hyvin realistisella tavalla. Weibulljakauman tiheysfunktio on seuraava: = 1 ( ) af weibulljakautunut väsymisraja tr väsymisrajan kynnysarvo, jonka alapuolella se ei voi olla ch karakteristinen jännitys. Todennäköisyys että väsymisraja on tämän arvon alapuolella on = 1 1 = muotoparametri, joka kuvaa hajonnan suuruutta Yksi weibulljakauman suurista eduista on, että tiheysfunktio voidaan suoraan integroida ja näin ollen saada kertymäfunktio suljettuun muotoon: () = = 1 Tiettyä vaurioitumisriskiä P vastaava väsymisraja af,p saadaan kertymäfunktion yhtälöstä muokkaamalla se seuraavaan muotoon:, = + ( ) ln(1 ) Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 54

55 Weibull-jakauman keskiarvo, mediaaniarvo ja keskihajonta Weibulljakauma on epäsymmetrinen jakauma, mikä muun muassa johtaa siihen, että mediaaniarvo on erisuuruinen kuin keskiarvo eli odotusarvo. Mediaaniarvo med, josta redusointi vaaditulle vaurioitumisriskille tapahtuu saadaan asettamalla P = 0.5 = + ( ) ln 0.5 Jakauman keskiarvo, varianssi 2 ja keskihajonta saadaan seuraavasti: = + ( ) = ( ) s s Kaavoissa symboli merkitsee gammafunktiota. Jos merkitään esimerkiksi ensimmäisen gammafunktion argumentti 1+2/ symbolilla t, saadaan seuraava integraali sen laskemiseksi () = 1 0 Gammafunktiota ei voida ratkaista suljetussa muodossa vaan integraali on ratkaistava numeerisesti Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 55

56 Weibull-jakauman sovittaminen edellä olevaan porraskokeeseen Sovitetaan weibull-jakauman tiheysfunktio edellä esitetyn porraskokeen testidataan suurimman uskottavuuden menetelmällä. Tässä sovittamisessa oletetaan, että kynnysarvo on noin puolet mediaaniarvosta, eli 267 MPa. Saatiin seuraavat arvot: = MPa = karakteristinen jännitys muotoparametri Kaavoilla voidaan sitten laskea muut arvot = MPa väsymisrajan keskiarvo (odotusarvo) = MPa väsymisrajan mediaaniarvo = 32.7 MPa keskihajonta Saadut arvot ovat suhteellisen lähellä normaalijakuman antamia arvoja. Tiheys- ja kertymäfunktiot saavat seuraavat muodot: = ( ) () = = Seuraavalla sivulla näytetään nämä funktiot ja verrataan normaalijakaumalla saatuihin kuvaajiin. Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 56

57 Weibull-jakauman kuvaajat esimerkkitapauksessa E-02 Kertymäfunktio Porraskokeen käsittely weibull-jakaumaa käyttäen oletuksella että kynnysarvo on 267 MPa. Redusointi vaurioitumisriskille P = 10-3 S F, weib S F, norm E E E E E E-03 Tiheysfunktio E Väsymisraja [MPa] Normaalijakauma Weibull-jakauma P=10^-4 (norm) P=10^-4 (weibull) Saf,m,norm=533.9 Saf,med,weib=535.8 Saf,m,weib=532.2 Huomataan, että vaikka kynnysarvo on valittu niin alhaiseksi kuin puolet mediaaniarvosta, weibull-jakauma edellyttää hiukan suuremman varmuuskertoimen kuin normaalijakauma. Vasta kun kynnysarvo on noin 70 % mediaaniarvosta saadaan weibulljakaumaa käyttäen pienempi vaadittu varmuuskerroin. Weibulljakauman käyttö väsymisanalyysissä ei tunnu näin ollen kovin järkevältä. Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 57

58 Miten ja koska weibull-jakaumaa kannattaa käyttää Eräät weibull-jakaumaa väsymisanalyysissä käyttäjistä järkeilevät näin: kukaan ei voi varmuudella sanoa jos valittu jakauma toimii hyvin pienillä todennäköisyyksillä, koska tätä aluetta ei voida käytännössä testata Näin ollen redusoidaan ensin mediaaniarvoa weibullia käyttäen vaikkapa vaurioitumisriskiin P = 10-2 Tällä tavalla saatua arvoa redusoidaan vielä jollakin vakio varmuuskertoimella Kertymäfunktio, summa(i/232) Suositus : R m, P 0.5 eli 6 % yli min. 848 MPa EN CrMo4+QT. Halkaisija-alue 100 mm < d < 160 mm kun standardin mukaan 800 MPa < Rm < 950 MPa. Sovittamalla weibulljakauman: R m,keski = MPa R m.mediaani = MPa muotoparametri = keskihajonta s = 24.5 MPa Havainto : R m, P MPa eli 7.4 % yli min Murtoraja [MPa] all 800<Rm<950 Weibull-sovitus Suositus P=50% Viereinen kuva näyttää miten hyvin weibulljakauma onnistuu seuraamaan Ovako Barin vetokoetilastoa. Jokaisesta sulatuksesta tehdään 2 vetokoetta Weibull-jakaumaa on hyvää käyttää silloin kun kynnysarvo on riittävän korkea Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 58

59 VÄSYTYSTESTAUS (Kirjan luku 5) Väsyminen on empiirinen tiede joka edellyttää paljon testausta Jos sarjat ovat suuria ja kone-elimet suhteellisen pieniä suoritetaan usein komponenttitestausta Kun sarjat ovat pienet ja kone-elimet hyvin suuria joudutaan käyttämään pieniä testisauvoja Pienet sauvat tarjoavat mahdollisuuden testata nykyisillä nopeilla testauskoneilla verraten monta sauvaa mikä mahdollistaa myös keskihajonnan määrittäminen testidatasta Tilastollinen teoria tarjoaa mahdollisuuden ekstrapoloida heikoimman lenkin teorian avulla testituloksia vastaamaan todellisen kone-elimen mittoja ja jännityskenttää Usein saavutetaan niin kutsuttua väsymisraja af noin yhden miljoonan viiva 10 miljoonan syklin kohdalla. Tätä raja kutsutaan tässä yhteydessä rajasykliluvuksi N af Useimmiten valitaan näin ollen katkaisurajaksi noin 10 miljoona sykliä. Jos sauva ei ole murtunut ennen sitä katkaistaan testi Kaikilla aineilla ei ole selvää väsymisrajaa. Lisäksi jos teräksille ydintyminen tapahtuu sisäisesti alenee väsymisraja kun mennään rajasykliluvun yli. Puhutaan myös giga-sykli väsymisestä Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 59

60 Testien valmistelu Väsytystestaus on suhteellisen kallista. Joudutaan tarkasti harkitsemaan montako sauvaa on testissä käytettävä Jos halutaan luotettavaa tietoa myös keskihajonnasta tarvitaan porraskokeessa noin 25 sauvaa. Standardi ISO suosittelee jopa 30 sauvaa. Noin 15 testisauva voi riittää jos määritellään vain väsymisraja Kannattaa valmistaa sauvat niin että ne irrotetaan tutkittavan kone-elimen rasitetusta alueesta Sauvan mittojen valinta on tärkeä. Liian hoikka sauva voi niinkuin kuva seuraavalla sivulla näyttää johtaa taivutusvärähtelyihin (nurjahdustaivutus?) jos testaus tapahtuu esimerkiksi jännityssuhteella R = -1 Jotta ydintyminen ei tapahtuisi sauvojen kiinnityksessä on kiinnityksen halkaisijan oltava noin 2.5-kertainen verrattuna itse sauvaan nuorrutusteräkselle ja noin 2- kertainen jos on pallografiittivalurauta Jos testaus suoritetaan sileillä sauvoilla kannattaa kiilloittaa sauvat aksiaalisesti jos ei testaus koske pinnan laadun vaikutuksen testaamista. Lovetuille sauvoille ei aina suoriteta kiilloitusta koska niin sanottu lovi-lovessa vaikutuksen ansiosta tämän merkitys on pienempi siellä Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 60

61 Esimerkkikuvia sauvojen valmistuksesta M Liian hoikan terästestisauvan kuumeneminen resonanssivärähtelyjen seurauksena vaihtokuormitusta käytettäessä Testisauvojen ottaminen suuren taotun kampiakselin lovista Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 61

62 Testisauvojen leikkaaminen suuresta sylinterikansivalusta Seuraavalla sivulla näytetyn porraskokeen sauvat otettiin suuresta pallografiittivaluraudasta GJS valetusta sylinterikannesta. Valitettavasti ei merkattu ylös mistä kohdasta yksittäisen sauvan paikka on ollut. Aikaisemmin sivulla 50 esitetty defektijakauma on peräisin näiden sauvojen murtopinnoista Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 62

63 Porraskoe väsymisrajan määrittämiseksi Väsymisrajan testaamiseksi on niin kutsuttu porraskoe nykyään eniten käytetty - Aloitus tasosta joka on noin puoli keskihajonta keskiarvon yläpuolella - Jos murtumaton seuraava testi jännitysinkrementin verran korkeammalla tasolla, tai jos murtunut jännitysinkrementin verran matalemmalla - Sopiva jännitysinkrementti d noin 90 % arvioidusta keskihajonnasta - Katkaisuraja 10 7 sykliä ja hyvä sauvojen lukumäärä noin 25 - Tavoite on saada hyvät jakaumat murtuneita ja murtumattomia vain kahdella tasolla keskiarvon molemmin puolin, silloin testidatan käsittely on tarkimmillaan Paikallinen jännitysamplitudi [MPa] Vaihtojännitys R = -1 a0 d = Testisauva nr. murtunut MPa M22 1 ar1 s 17.7 MPa murtumaton, s.o. s r Aksiaalisesti kiillotettu GJS R m = 517 MPa R p0.2 = 307 MPa K t = A eff = 1039 mm 2 kun s r = 0.10 Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 63

64 Tiheysfunktion sovittaminen suurimman uskottavuuden menetelmällä Sopiva tiheysfunktio sovitetaan testitulokseen suurimman uskottavuuden menetelmällä ML (Maximum Likelihood). Siinä maksimoidaan iteroimalla seuraava lauseke: (, 0 ) = missä 0 porraskokeen matalin käypä testiamplitudi murtuneiden sauvojen lukumäärä jännitystasolla K = 1 murtumattomien sauvojen lukumäärä jännitystasolla vakio 2 ( ) jännitystasoon ai liittyvä vaurioitumisriski = 1 tasoon liittyvä luotettavuus (eloonjäämistodennäköisyys) Vakio K ei ole riippuvainen otoskeskiarvosta eikä otoskeskihajonnastakaan ja voidaan näin ollen panna vaikkapa ykköseksi Edellisen sivun porraskokeelle saadaan seuraavat otosarvot: Normaalijakaumaa käyttäen ar s 17.7 sr 17.7 / s ln( ) ln Logormaalijakaumaa käyttäen ln s ar1, m 1) e 17.7 Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 64 s ln ( e e s 2 ln s ln 2 ln / 2 2 s ln ar1, med ln 195.1

65 Maximum likelihood algoritmin havainnollistaminen ML-algoritmin idea on yksinkertainen. Viritetään 2-ulotteisessa jännitys-keskihajonta-avaruudessa tiheä verkko, jossa lasketaan lausekkeen arvo jokaisessa solmukohdassa. Tämän jälkeen etsitään se kohta missä lauseke on saanut maksimiarvonsa. Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 65

66 Muunnettu porraskoe Porraskokeella on on monia heikkouksia. Esim. yksittäinen havainto sisältää hyvin vähän tietoa tämän sauvan oikesta väsymisrajasta Porraskoe on lisäksi kallis ja vaatii noin 25 sauvaa jotta sekä keskiarvo että keskihajonta tulisi hyvin määritetyiksi Siksi on ehdotettu monia muunnoksia tälle testille, niinkuin 2-askelkoe, nousevanamplitudin testi Nousevan-amplitudin menetelmä jota myös kutsutaan Locati-menetelmäksi käytetään aika paljon. Tämä testausmenetelmä löytyy esimerkiksi Cimac kampiakselityöryhmän ehdotuksessa IACS UR M53, Appendix IV. Guidance for evaluation of Fatigue Tests, Testin suoritustapa on seuraava: 1. Ensimmäisen testisauvan amplitudiksi valitaan arvo joka on selvästi arvioidun väsymisrajan alapuolella 2. Kun tämä on kestänyt katkaisurajan määrää syklejä nostetaan amplitudia valitun inkrementin verran joka valitaan arvioidun keskihajonnan suuruiseksi 3. Tämä jatketaan kunnes sauva murtuu jonka jälkeen seuraavan sauvan aloitusamplitudiksi valitaan taso joka on 2 inkrementtiä matalempi kuin edellisen sauvan viimeinen taso 4. Pienin sallittu sauvojen lukumäärä on 3 Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 66

67 Muunnetun porraskokeen edut ja haitat Jännitysamplitudi [MPa] Testisauva nr. epäkäypä murtumaton murtunut Jokaisen sauvan (stabiloitu?) väsymisraja saadaan haarukoiduksi Varsinkin keskihajonnan arvo voidaan ehkä saada tarkemmin kuin porraskokeessa Kun tetitulos käsitellään oletetaan että on yhtä paljon murtuneita kuin murtumattomia, s.o. yhtä kuin sauvojen lukumäärä Mitään varsinaista taloudellista etua tuskin saada tällä kokeella koska yhtä sauvaa joudutaan ajamaan monta kertaa katkaisurajaan asti Tälle testausmenetelmään liittyy kuitenkin eräs mahdollinen vakava haitta josta enemmän seuraavalla sivulla Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 67

68 Muunnetun porraskokeen ongelmat Waloddi Weibull tunsi tämän menetelmän ja hän antaa seuraavan varoituksen siitä artikkelissaan Fatigue Testing and Analysis of Results, Pergamon Press 1961 ; Vaikuttaa hyvin houkuttelevalta ajan ja sauvojen säästämiseksi udelleen testata sellainen testisauva joka on kestänyt ennalta asetetun syklimäärän. Ottaen huomioon sen tosiasian että sauvan lujuusominaisuudet, erikoisesti sen väsymislujuus, on voinut huomattavasti muuttua esikiristyksen takia, on syytä kehotta suureen varovaisuuteen ennen kuin tämän tyyppistä testiä käytetään. Ellei ole todistettu että tämä ilmiö on merkityksetön voivat nousevan-amplitudin testaus antaa hyvin harhaanjohtavia tuloksia. Kuitenkin joillekin ainetyypeille tämä testimenetelmä tuntuu toimivan riittävän hyvin. Rabbin kirjan kuva Nuorrutusterässauvalla suoritettu porraskoe missä m,nim = 741 MPa Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 68

69 2-askel testi Jos onnistuttaisiin valitsemaan kahta tesitasoa niin että väsymisraja on niiden välillä ja testauksessa saataisiin loogisia jakaumia murtuneita ja murtumattomia näille kahdelle tasoille tämä olisi hyvä testi. Tämän havainnollistamiseksi valitaan 2 keskimmäistä amplituditasoa sivulla sivulla 63 näytetystä porraskokeesta pallografiittivaluraudalle. Huomioimalla vain 2 keskimmäistä tasoa saadaan vain hiukan erilaisia tuloksia kuin aikaisemmin lasketut ar=-1 = MPa ja s = 17.7 MPa = = = MPa otoskeskiarvo = = = 14.4 MPa otoskeskihajonta E-02 Jännitysamplitudi [MPa] P2 7 / P 5 / Testisauva nr. murtunut murtumaton Kertymäfunktio Väsymisraja [MPa] Kertymä Keskiarvo = P1 = 5/11 P2 = 7/8 Tiheys 2.5E E E E E E+00 Tiheysfunktio Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 69

70 S-N-käyrän testaaminen Väsymislujuus laskee sykliluvun N funktiona, kun se on noin välillä tuhat sykliä ja rajasyklilukua N af. Tämän niin sanotun äärellisen eliniän alueen kuvaamiseen käytetään useimmiten niin kutsuttua S-N-käyrää (Stress-Number). Usein käytetään myös nimitystä Wöhler-käyrää sen henkilön mukaan, joka ensimmäisenä alkoi systemaattisesti tutkia tätä ilmiötä. S-N-käyrä esitetään tavallisesti potenssikäyränä. Kaksoislogaritmisessa asteikossa on S-N-käyrä näin ollen suora viiva: = Tai jos halutaan lausua amplitudi syklien funktiona saadaan seuraava muoto: = missä N / 1/ elinikä sykleinä kun jännitysamplitudi on a N af a k rajasykliluku jolloin S-N-käyrä saavuttaa väsymisrajan af väsymislujuuden amplitudi kun syklien lukumäärä on N S-N-käyrän kaltevuuseksponentti Kun sovitetaan kaavan mukainen käyrä testidataan käytetään pienimmän neliösumman menetelmää eliniän logaritmille, s.o.: ln N A k ln missä vakio A on = ln a Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 70

71 S-N-käyrän sovittaminen testidataan Jos testituloksena on saatu joukko elinikä- väsymislujuuspareja N i ja ai, missä i n ja n on testien lukumäärä, niin muodostetaan seuraava lauseke: () = =1 [ln ( ln )] 2 Pienimmän neliösumman menetelmä edellyttää, että lausekkeen arvo minimoidaan tuntemattoman kaltevuuseksponentin k ja vakion A suhteen. Saadaan seuraavat kaksi lineaarista yhtälöä näiden kahden tuntemattoman ratkaisemiseksi: =1 =1 ln ln =0 =1 =1 =1 ln (ln ) 2 ln ln = 0 Kun tuntemattomat k ja A on ratkaistu saadaan tämän jälkeen rajasykliluku N af laskettua edellisen yhtälöstä sivun (5.10) kaavasta kun se esitetään kun se esitetään seuraavassa seuraavassa muodossa: muodossa: = Soveltamalla diskreettimuuttujan kaavoja voidaan johtaa seuraava kaava keskimääräisen eliniän logaritmiselle varianssille 2 ja keskihajonnalle : 2 = 1 [ln 1 =1 ( ln )] 2 eliniän logaritminen varianssi = 2 eliniän logaritminen keskihajonta Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 71

72 S-N-käyrän redusointi sallittua vaurioitumisriskiä vastaavaksi ln( a ) ln a N ln k A k s sn / k ln s ln = vastaava väsymislujuuden logaritminen keskihajonta s N af af,p a, P af, P / N N P af 1/ k N af ln(n) Vaadittu varmuuskerroin S N eliniän mediaaniarvoon N af nähden voidaan laskea, kun tiedetään keskihajonta s N ja suurinta sallittua vauriotumisriskiä P vastaava standardoidun normaalimuuttujan arvo: ln = ln + Kaavassa on P todennäköisyys, että elinikä on pienempi tai yhtä suuri kuin N P. Kaavasta saadaan seuraava vaadittu varmuuskerroin: = = Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 72

73 Eliniän ja väsymisrajan keskihajontojen välinen yhteys Edellisen kuvan avulla saadaan seuraava yhteys eliniän logaritmisen keskihajonnan ja väsymislujuuden logaritmisen keskihajonnan s ln välillä: = = = = Näin ollen voidaan yhtä hyvin suorittaa redusointi vaadittuun vaurioitumisriskiin käyttäen väsymislujuutta, eli: ln = ln + = = Redusoitu S-N-käyrä voidaan näin ollen kirjoittaa seuraavaan muotoon: =, Aikaisemmin sivulla 53 annetun approksimatiivisen kaavan s ln -ln(1-s r ) avulla saadaan näin ollen seuraava likiarvo suhteelliselle keskihajonnalle: 1 Tämä proseduuri on konservatiivinen, koska itse asiassa S-N-käyrän hajonta on sitä pienempi mitä pienempiin elinikiin mennään. Kaltevuuseksponentti tulee näin ollen todellisuudessa hiukan pienemmäksi eli S-N-käyrä jyrkkenee. Jos testidataa on tarpeeksi tueksi, niin tämäkin asia voidaan huomioida. Yleensä ei ole tarpeeksi koetuloksia ja redusointi tapahtuu niin kuin yllä on selostettu Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 73

74 S-N-käyrän testauksesta On hyvää suorittaa testaus ainakin kahdella tai mieluummin kolmella tasolla väsymisrajan yläpuolella. Näin voidaan seurata hajonnan vaihtelu eri tasolla On käytettävä ainakin 5 sauvaa per tasoa jos halutaan hyvä kuva keskihajonnasta Testaus kannattaa mieluummin suorittaa vakio keskijännityksellä kuin vakio jännityssuhteella koska kumulatiivisen osavaurioanalyysin käyttö edellyttää vakio keskijännitys Usein oletetaan että käyrä pätee kun nimellinen maksimijännitys on pienempi kuin myötöraja. Tämän jälkeen olisi käytettävä venymäväsymisen teoriaa Paikallinen jännitysamplitudi [MPa] s N Keskimääräinen hajonta : s ja s s / k N E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 Syklien lukumäärä S-N-testaus Porr. ylin taso Naf=4.15e6 N,P=10^-4 s N ln s N Testin keskijännitys m = MPa N s N saf,p= N a 34CrNiMo6 R m = 1165 MPa R p0.2 = 1064 MPa M A eff = 367 mm 2 kun s r = 0.07 K t = Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 74

75 Testin lopetushetken merkitys S-N-käyrän kaltevuuseksponenttiin Testitulosten tulkinnan kannalta, ja erikoisesti ajatellen testatun käyrän käyttöä kumulatiivista osavaurioanalyysiä suoritettaessa, on hätkähdyttävää että riippuen hetkestä jolloin pysäytetään testiä saadaan hyvin erilainen kaltevuuseksponentti. Alla olevassa kuvassa tarkoittaa resonansikoneen taajuuden lasku ennen testin keskeyttämistä 70 Nimellinen jännitysamplitudi [MPa] a 57.1 a 48.5 af N N af a k N k N af [ %] [sykli] murtui ei laskua dn=0.05% dn=0.1% dn=0.2% dn=0.5% dn=1% dn=2% N(murtui) N(0.05%) N(0.1%) N(0.2%) N(0.5%) N(murtui) Saf= o 50 M R0.2 34CrNiMo6+QT R m = 1002 MPa R p0.2 = 893 MPa K t = 5.86 Huomioiden plastisoituminen on A eff = 6.9 mm 2 kun s r = E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09 Syklien lukumäärä Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 75

76 OTOSARVOJEN VARMUUSRAJAT (Kirjan luku 6) Väsytystestauksessa joudutaan rajoittumaan verraten pieniin testisauvaotoksiin. Näin ollen on helppo ymmärtää, että jos jokin testi suoritetaan uudestaan, niin saadaan hiukan eri otoskeskiarvo ja otoskeskihajonta. Itse otosarvot ovat vuorostaan satunnaismuuttujia. Tästä syystä otosarvoille on määritettävä varmuusrajoja eli todennäköisyys siihen että otoskeskiarvo ja hajonta pysyvät tiettyjen rajojen sisällä. Puhutaan myös otosarvojen luotettavuusrajoista. Nimityksiä varmuusraja ja luotettavuusraja käytetään myös siksi, että niitä ei sekoitettaisi itse satunnaismuuttujan eri arvojen todennäköisyyteen. Englannin kielessä käytetään nimitystä confidence, kun tarkoitetaan otosarvojen varmuusrajoja. Olkoon esimerkiksi normaalijakautunut väsymisraja tutkittava satunnaismuuttuja: Lähtökohtana on seuraava teoreema ( af - normaalipopulaation jakauma). Olkoon,,, satunnaismuuttujan otos, jonka suuruus on n ja af 1 af 2 afn jotka kuuluvat normaalijakaumaan, jonka keskiarvo on af ja varianssi s Silloin otoskeskiarvo af afi / n on normaalijakautunut satunnais- 2 muuttuja, jonka keskiarvo on ja varianssi s / n af 2. Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 76

77 Otoskeskiarvon teoreettiset varmuusrajat Satunnaismuuttujan otoskeskiarvo noudattaa teoreettisesti niin kutsuttua Studentin jakaumaa jonka vapausasteiden lukumäärä on n-1, missä n on porraskokeen testisauvojen lukumäärä Studentin jakauma on symmetrinen ja muistuttaa läheisesti standardoitua N(0,1) jakaumaa. Jos tiedetään oikeat populaation arvot, niin Studentin jakauma on sama kuin standardoitu normaalijakauma. Tällä asialla on merkitystä erikoisesti, kun suoritetaan testien Monte Carlo simulointeja Useimmiten halutaan tietää millä todennäköisyydellä otoskeskiarvo on toistetussa testissä tietyn rajan yläpuolella. Itse väsymisanalyysissä on selvää, että esimerkiksi Haigh-diagrammista otettavan väsymisrajan on oltava tarpeeksi konservatiivinen. Merkitään vaadittu keskiarvon varmuustaso merkinnällä C. Silloin esimerkiksi vaatimus, että varmuustason on oltava 90 % merkitsee, että toistetuissa testeissä on otoskeskiarvo 90 %:n todennäköisyydellä isompi kuin tätä vastaava arvo. Koska matematiikassa yleisesti symbolia käytetään tarkoittamaan keskiarvoa ja symbolia tarkoittamaan keskihajontaa niin käytetään näitä symboleja alaindekseinä tässäkin yhteydessä. Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, toukokuu 2014/R. Rabb 77

78 Studentin jakauma Näillä merkinnöillä saadaan seuraava teoreettinen varmuusväli C eli todennäköisyys P siihen, että porraskokeesta arvioitava populaation keskiarvo af on seuraavien rajojen sisällä: = lim = 2 1 1() Tässä yhteydessä f n-1 (t) on Studentin jakauman tiheysfunktio kun vapausasteiden lukumäärä on n-1 eli porraskokeessa käytettyjen testisauvojen lukumäärä miinus 1. () = () = 0 1 Studentin tiheysfunktio gammafunktio näin saadaan Haigh diagrammin konstruoimisessa käytettävä populaation väsymisrajan keskiarvo af seuraavasti =, = 2 koko populaation väsymisrajan keskiarvo C af, väsymisrajan keskiarvolle vaadittu varmuustaso (yleensä 90 %), eli todennäköisyys että populaation väsymisraja on annetun rajan yläpuolella populaation väsymisraja (Haigh diagrammissa käytettävä arvo) porraskokeesta saatu väsymisrajan otoskeskiarvo otoskeskiarvo redusoituna vaadittua varmuustasoa vastaavalle tasolle. Tätä arvoa käytetään populaation arvona af Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 78

79 Lisää Studentin jakaumasta s n porraskokeesta saatu otoskeskihajonta porraskokeessa käytettyjen testisauvojen lukumäärä f n (t) Studentin jakauman tiheysfunktio kun vapausasteiden lukumäärä on n t Studentin jakauman muuttuja (n) gammafunkio kun vapausasteiden lukumäärä on n Oikean varmuusrajan valinta kannattaa harkita huolellisesti. On osoittautunut että ankara mutta sopiva vaatimus on esimerkiksi että 90%. Eräät suuret autotehtaat käyttävät kuitenkin vain 75 %:n varmuusrajaa. Nykyään löytyy paljon valmiita ohjelmia, vaikkapa internetistä, joilla voidaan laskea Studentin jaukauman sekä tiheysfunktion että kertymäfunktion arvot. Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 79

80 Eräs Studentin jakauman käyttöesimerkki Alla olevassa kuvassa näytetään sivulla 63 olevalle porraskokeelle pallografiittivaluraudalle Sudentin jakauman tiheys- ja kertymäfunktio. Lisäksi kuvassa on merkattu 90 %:n varmuusraja. Otosarvot : n 25 sauvojen lukumäärä ar MPa otosväsymisraja s 17.7 MPa otoskeskihajonta C 0.9 ar1 t 2 n1 ( t) dt MPa 25 populaation väsymisraja C = f t 2 Varmuusraja C = 0.5 t2 C fn1( t) dt af af Populaation väsymisraja [MPa] t Studentin muuttuja t Tiheys Varmuustaso Sigma,C t2 = kun C = 0.9 t2 = 0 kun C = 0.5 Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, toukokuu 2014/R. Rabb 80

81 Studentin jakauman muuttujan taulukko Otoskeskiarvon teoreettiset varmuusrajat Huom! af,1c Vapausasteiden lukumäärä Ylempi integrointiraja t 2 kun varmuusraja on = 2 1 () n-1 C = 75 % C = 80 % C = 85 % C = 90 % C = 95 % af t 2 s n Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 81

82 Otoskeskihajonnan teoreettiset varmuusrajat Satunnaismuuttujan otoskeskihajonnan karakterisoi niin kutsuttu Khi-toiseen-jakauma Jakauma on epäsymmetrinen ja muutenkin hiukan vaikea hahmottaa mielessä, koska sen varmuustasoa kuvaava muuttuja h esintyy todennäköisyyslausekkeen nimittäjässä Useimmiten halutaan vain tietää, mikä on todennäköisyys sille, että keskihajonta toistetussa porraskokeessa on tietyn rajan yläpuolella alapuolella Väsymisrajan keskiarvon redusoinnissa, vastaamaan suurinta sallittua vaurioitumisriskiä, on nimittäin käytettävä suurta varmuusrajaa keskihajonnalle, jotta tämä redusointi olisi varmalla puolella Kuten keskiarvon kohdalla niin myös otoskeskihajonnankin kohdalla on 90 %:n varmuustason valinta riittävän konservatiivista. Tämä merkitsee sitä, että toistetuissa porraskokeissa on 90 % otoskeskihajonnoista pienempiä tai yhtä suuria kuin tämä arvo Keskihajonnan varmuustasosta käytetään merkintä C koska matematiikassa käytetään usein symbolia merkitsemään keskihajontaa Myös E. Haibach suosittelee 90 %:n varmuustasoa. Eräät suuret autotehtaat käyttävät kuitenkin vain 75 %:n varmuustasoa keskihajonnalle Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 82

83 Khi-toiseen-jakauma Jos merkitään tuntematonta populaation keskihajontaa symbolilla s, sauvojen lukumäärää kirjaimella n, Khi-toiseen-jakauman tiheysfunktiota symbolilla f n (h), missä n on testisauvojen lukumäärä ja h jakauman muuttuja, niin saadaan seuraavat teoreettiset varmuusrajat, kun vapausasteita on n-1. = lim 2 (1) (1)2 = 1 () 1 koko populaation keskihajonnalle varmuustasolla C sadaan näin ollen = 1 1 populaation keskihajonta Khi-toiseen-jakauman tiheysfunktio on muotoa () = 2 gammafunktion lauseke on annettu ennen Kaavojen symbolien merkitykset ovat seuraavat: C s 1 väsymisrajan keskihajonnalle vaadittu varmuustaso (yleensä 90 %), eli todennäköisyys että populaation keskihajonta on annettujen rajojen sisällä, eli s s C väsymisrajan populaation keskihajonta s C s n keskihajonta varmuustasolla C porraskokeen otoskeskihajonta porraskokeessa käytettyjen testisauvojen lukumäärä Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 83

84 Eräs Khi-toiseen-jakauman käyttöesimerkki Alla olevassa kuvassa näytetään sivulla 63 olevalle porraskokeelle pallografiittivaluraudalle Khitoiseen-jakauman tiheys- ja kertymäfunktio. Lisäksi kuvassa on merkattu 90 %:n varmuusraja. Otosarvot : n 25 sauvojen lukumäärä ar MPa otosväsymisraja s 17.7 MPa otoskeskihajonta C C s h 1 f n1 ( h) dh MPa h populaation keskihajonta Varmuusraja C C h 1 f n1 ( h) dh s 17.7 s C (oik.17.95) Populaation keskihajonta [MPa] h Khi-toiseen-jakauman muuttuja h Tiheys*10 C C50 C90 SigC h1=15.66 Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 84

85 Vapausasteiden lukumäärä n-1 Khi-toiseen-jakauman muuttujan taulukko Otoskeskihajonnan teoreettiset varmuusrajat C = 80 [%] Alempi integrointiraha h 1 kun varmuusraja on = C = 85 [%] C = 90 [%] C = 10 [%] 1 () Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 85 1 C = 15 [%] C = 20 [%]

86 Varmuusrajat ja lisääntyviä testituloksia Eräs mielenkiintoinen ja myös tärkeä kysymys on jos on mahdollista laskea yhteen vapausasteiden lukumäärät useista samantyyppisille materiaaleille tehdyille porraskokeille jos otosarvot ovat suurin piirtein samanlaisia? Esimeekiksi testattaessa eri nuorrutusteräksiä valitulla referenssisauvalla on hyvin tavallista että otoskeskihajonta on %:n välillä. Voiko tämä tieto hyödyntää vai onko jokainen testi käsiteltävä erikseen? Kun kirjoittaja on tästä asiasta keskustellut matemaatikkoiden kanssa hän ei ole saanut toistaiseksi mitään selvää vastausta. Asia kannattaa kuitenkin pohtia. Tuntuu luonnolliselta että kun tieto kasvaa voidaan pienentää varmuusrajoja Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, toukokuu 2014/R. Rabb 86

87 Otosarvojen todelliset jakaumat Porraskokeen luonteesta johtuen, poikkeavat otosarvojen todelliset jakaumat teoreettisista jakaumista. Tämä johtuu ennen kaikkea siitä että porraskokeen yksittäinen havainto ei edusta mitään oikeata väsymisrajaa. Jos sauva on murtunut, on väsymisraja ollut alhaisempi kuin testissä käytetty jännitysamplitudi. Jos taas sauva on murtumaton, sen väsymisraja on ollut korkeampi kuin testissä käytetty amplitudi. Tämä aiheuttaa suurimman eron todellisten ja teoreettisten jakaumien välillä. On mahdollista tutkia niin sanotulla Monte Carlo simuloinnilla näitä eroja todellisten ja teoreettisten jakaumien välillä. Monte Carlo simuloinnilla luodaan yksittäisen sauvan väsymisraja satunnaislukugeneraattorin avulla käyttäen sellaisia satunnaissiemeniä, joille on annettu tietty keskiarvo ja tietty keskihajonta. Tämän jälkeen suoritetaan tietokoneessa suuri määrä simuloituja porraskokeita, jotta otoskeskiarvon ja otoskeskihajonnan todelliset jakaumat tulisivat selville. Yllä olevassa esimerkissä käsitelty porraskoe käsitellään seuraavassa Monte Carlo simuloinnin keinoin. Simuloinnissa on satunnaissiemenille annetut arvot samat kuin koetulosten käsittelyssä saadut arvot, nimittäin ar=-1 = MPa suurimman uskottavuuden menetelmällä koetuloksista laskettua otoskeskiarvoa käytettiin satunnaissiemenien keskiarvona s = 17.7 MPa suurimman uskottavuuden menetelmällä koetuloksista laskettua otoskeskihajontaa käytettiin satunnaissiemenien keskihajontana Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 87

88 Otoskeskiarvon simuloitu jakauma Simuloidun ja teoreettisen jakauman keskiarvot ovat samat Muutenkin simuloitu jakauma seuraa melko hyvin teoreettista Studentin jakaumaa Otoskeskiarvon varmuusraja C Populaation keskiarvo [MPa] t 2 =-sqrt(25)/17.7*(195.5-sigma) Simuloitu jakauma Studentin jakauma SigC=195.5-lamda*17.7/sqrt(25) sac50=195.5 SaC90,teor=191 sac90,sim=188.7 Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 88

89 Otoskeskihajonnan simuloitu jakauma Otoskeskihajonnan simuloitu jakauma poikkeaa huomattavasti teoreettisesta Porraskoe aliarvioi systemaattisesti keskihajonnan suuruutta Simuloinnin perusteella olisi syytä korottaa testistä saatua keskihajontaa suhteella 20.0/ Varmuustaso s simuloitu s C50 s Khi s toiseen C 20.0 MPa MPa Populaation keskihajonta [MPa] Khi-toiseen muuttuja h = 24*s^2/17.7^2 Simuloitu Khi-toiseen C = 50 % h1=18.62 h1=23.1 sc=sqrt(24/h1)*17.7 Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 89

90 Simuloinnin kritiikki Yllä selitetyllä tavalla suoritetun Monte Carlo simuloinnin tuloksiin on syytä suhtautua hyvin kriittisesti. Ongelmana on, että oikeat satunnaissiemenet eivät ole tiedossa Simuloinnissa on tässä tapauksessa käytetty porraskokeesta laskettuja otosarvoja satunnaisiemeninä. Tästä voi aiheutua vinoutuma, johtuen siitä, että porraskokeen tulos on hyvin riippuvainen askelpituuden suhteesta keskihajontaan. Oikea tapa suorittaa simulointi olisi tässä tapauksessa muuttaa kumpaakin satunnaissiementä ja hakea suurimman uskottavuuden menetelmällä se kombinaatio keskiarvosta ja keskihajonnasta, joka antaisi eniten juuri kuvan 5.3 mukaisia tuloksia. Tämä vaatisi kuitenkin hyvin paljon simulointeja. Taulukossa ongelma on havainnollistettu. Taulukossa on esitetty simuloidun otoskeskihajonnan mediaaniarvo eri testisauvojen lukumäärillä, kun satunnaissiemeninä on ollut keskiarvo 195.5, keskihajonta 17.7, aloitustaso ja askelpituus Testisauvojen lukumäärä n Kaikki 2000 simulointia huomioitu Simuloitu otoskeskihajonnan mediaaniarvo s [MPa] Tulokset kahdella tai kolmella tasolla on jätetty huomioimatta Vain tulokset joissa on huomioitu havainnot neljällä tasolla Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 90

91 Pallografiittivaluraudan väsymisrajan suhteellinen keskihajonta Sivulla 89 olevan simuloinnin mukaan kertymäfunktio saavuttaa mediaaniarvonsa jo, kun keskihajonta on vain 15.5 MPa. Kun kuitenkin tiedetään että valittujen satunnaissiemien mukaan oikea mediaaniarvo on MPa merkitsee tämä että porraskokeesta laskettu keskihajonta on korotettava suhteella 17.7/15.5 = 1.14 jotta saataisiin oikea otoskeskihajonta. Sivulla 63 olevan testin oikea keskihajonta olisi näin ollen s = = 20.2 MPa. Nyt voidaan laskea tämän testin populaatioarvot luotettavuustasolla 90 % seuraavasti: Oikea populaation keskiarvo varmuustasolla 90 % on näin ollen seuraava: 1 = 1,90 = = MPa Oikea väsymisanalyysissä käytettävä väsytyssuhde on täten = 1 = = = 90 = = 25.0 MPa oikea populaation keskihajonta = 90 = oikea populaation suhteellinen keskihajonta Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 91

92 Porraskokeen tulos jännityssuhteella R = 0 Sivulla 63 oleva porraskoe täydennettiin testaamalla myös tykyttävällä kuormalla jotta saataisiin selville Haigh-diagrammin lineaarisen osan kaltevuuskerroin Paikallinen jännitysamplitudi [MPa] GJS Tykyttävä jännitys R = 0 ar MPa s 10.1MPa, s.o. sr Testisauva nr. murtunut murtumaton epäkelpo Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb M K A t eff kun mm s r 0.10 Oletetaan laskettu otoksen suhteellinen keskihajonta s r pätee Haigh-diagrammin joka paikassa, ja lasketaan varmuusrajaa 90 % vastaava väsymisrajaa, kun R = 0. =0 = =0,90 = =0 2 Haigh-diagrammin kaltevuuskerroin on näin ollen = 90 = =0,90 =1,90 = = = MPa 25 = = maks

93 Paikallinen väsymisraja [MPa] Pallografiittivaluraudan periaatteellinen Haigh-diagrammi Testien perusteella saadaan pallografiittivaluraudalle alla oleva Haigh-diagrammi kun huomioidaan että tämän aineen puristusmurtolujuus on noin -800 MPa Vasen B-splini m, P a, P1 ar 1 ar P1 1 R 1 k 1 kr 1 k Normeerattu koordinaatti t kasvaa 0:sta 1:seen välissä [R mc, m2 ] P0 ( R mc ;0) mc mc ; m, P2 a, 1 k k Paikallinen keskijännitys [MPa] Lineaarinen Oikea splini Smax = Rp0.2 Vasen splini Kont.Pist. oik. Smin=-Rp0.2 Kontr.Pist. vas. P2 P2 ; Oikea B-splini 2 Rp0.2 m, P0 P0 1 k a, P0 ar1 k P ar 1 ; 0 a, 1 k 1 m, P1 P Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 93 ar1 ar1 R p0.2 m, P ar1 m, P ; 0 Normeerattu koordinaatti t kasvaa 0:sta 1:seen välissä [ m1,r m ] m, P2 a, P2 P2 R 0 m ;

94 Pallografiittivaluraudan väsytyssuhde ja kaltevuuskerroin Leitfadenin mukaan Yllä testattu väsytyssuhde f R = ja Haigh-diagrammin kaltevuuskerroin k = poikkeavat aika paljon saksankielisestä kirjallisuudesta ilmoitetusta arvoista. Esimerkiksi Leitfaden antaa seuraavat arvot: ar1 0.27Rm 100 ar MPa, joka yllä olevassa tapauksessa antaa seuraavaa s.o. f R k ( R m ) joka yllä olevassa tapauksessa antaaseuraavaa k ( ) Näin ollen Leitfaden antaa paljon optimistisemmat arvot. Fraunhofer instituutin tutkijan Tr. H. Kaufmannin mukaan tämä johtuu siitä että testaamamme laatu on ollut huono. Toisaalta Valmetin asiantuntijat vastaavat tähän, että jahaa, voi olla mutta miten sitten voidaan saavuttaa näissä isoissa valuissa sellaista hyvää laatua. Esim. valun jäähdytysnopeus voi vaihdella paljon eri paikoissa Johtopäätös on näin ollen että yllä testattuja arvoja on kuitenkin syytä käyttää kun on kysymys isoista valuista. Muuten kannattaa yleensä aina suorittaa uusia testejä jos on kysymys eri dimensioista, eri laatuluokista tai myös eri toimittajasta Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, toukokuu 2014/R. Rabb 94

95 Haigh-diagrammin negatiivinen alue Yleensä aineet kestävät väsyttävää jännitystä paremmin kun keskijännitys on negatiivinen Siksi on vaikeaa löytää julkaistua testidataa tältä alueelta Edellisen sivun Haigh-diagrammi on kuitenkin osittain testattu niinkuin seuraavat kuvat näyttävät. Testien mukaan on ehdotettu diagrammi jopa konservatiivinen negatiivisillä keskijännityksillä. M EN -GJS Rm 517 MPa Rmc 800 MPa R 307 MPa K A p0.2 t eff mm silloin kun s r Nurjahduksen välttämiseksi oli käytettävä hyvin lyhyttä ja paksua testisauvaa. Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 95

96 Porraskokeet negatiivisillä keskijännityksillä GJS sauvoilla Testitulokset on syytä ilmoittaa keskijännityksen osalta nimellisellä arvollaan alkuperäiseen poikkipintaan nähden. Korkean puristusjännityksen johdosta tapahtui voimakasta plastisoitumista ja silloin kun nimellinen keskijännitys oli -600 MPa kasvoi sauvan halkaisija 12:sta millimetristä 15:een millimetriin. Nimellinen jännitys lovessa Nimellinen amplitudi [MPa] lovessa [MPa] af, loc MPa Testisauva nr. murtunut af, nim 340 murtumaton Nimellinen jännitys lovessa Nimellinen amplitudi [MPa] lovessa [MPa] af 12, loc Testisauva nr. 420 MPa af, nim 580 murtunut murtumaton epäkelpo a) Nimellinen keskijännitys -320 MPa b) Nimellinen keskijännitys -600 MPa Porraskokeiden tulokset. Nimelliset jännitysamplitudit on laskettu alkuperäistä poikkipinta-alaa käyttäen. Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 96

97 Negatiiviset testauspisteet lisättynä Haigh-diagrammiin Paikallinen väsymisraja [MPa] EN-GJS R m = 517 MPa R mc = -800 MPa R p0.2 = 307 MPa Paikallinen keskijännitys [MPa] C90-diagrammi Otos-diagrammi SigaR=-1 = SigaR=0 = Sig,af = 420 Sig,af = K t = A eff = 1039 mm 2 kun s r = 0.10 Kun nämä pisteet sijoitetaan Haigh diagrammiin, niin nähdään että laadittu diagrammi näyttää olevan hyvin paljon varmemmalla pohjalla silloin, kun keskijännitys on negatiivinen. Kuitenkin on oltava varovainen koska on vaikeaa testeissä määritellä väsymismurtuman ydintymisen hetkeä oikein, kun jännitys on koko ajan negatiivinen. Yleensä särö oli kasvanut yli koko poikkipinnan ennen kuin testi luokiteltiin murtuneeksi. Myös tästä johtuen, testatut arvot eivät välttämättä ole täysin luotettavia. Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 97

98 Onko pallografiittivaluraudan väsymisraja verrannollinen myötörajaan Jukka-Pekka Lepistö tutki diplomityössään lujuusluokan GJS mikro-rakenteen vaikutus väsymislujuuteen. Tämän valuraudan mikrorakenne on ferriittis-perliittinen mutta erilaisilla lisä-aineilla ja jäähtymisnopeudesta johtuen voidaan saada vaihteluja aineen mikrorakenteeseen ja lujuuteen Testisauvoja otettiin paksuseinäisen (seinämän paksuus yli 160 mm) telavaipan eri kohdista säteen sunnassa. Lisäksi tutkimuksessa oli mukana kokillivalettuja vaippavaluja sekä lämpökäsittelyn avulla modifioituja mikrorakenteita. Mikrorakenteet ryhmitettiin kolmeen selvästi toisistaan eroaviin ryhmään A, C ja E, kts. kuva Materiaalin koostumus sekä matriisin rakenne, s.o. ferriitti- perliitti-osuudet sekä staattinen lujuus on esitetty alla olevissa taulukoissa a) Matriisi A. b) Matriisi C c) Matriisi E Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 2014/R. Rabb 98