Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi. Seminaari Oulun yliopistossa, toukokuu 2014 Roger Rabb

Transkriptio

1 Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi Seminaari Oulun yliopistossa, toukokuu 014 Roger Rabb Osa III: Vakioamplitudinen moniaksiaalinen jännitys Kirjan luvut...5 Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 014/R. Rabb 1

2 MONIAKSIAALINEN JÄNNITYSTILA (Kirjan luku ) Kone-elimien jännitystila on usein moniaksiaalinen johtuen sekä kuormituksen että osan geometrian monimutkaisuudesta. Tällaisia jännitystiloja ei voida enää käsitellä edellisissä luvuissa esitetyllä suoraviivaisella tavalla. On joko käytettävä jotakin moniaksiaalista väsymiskriteeriä tai jollakin tavalla muunneltava moniaksiaalista jännitystilaa ekvivalentiksi yksiaksiaaliseksi jännitystilaksi. Tämän muunnoksen joutuu usein tekemään myös silloin, kun kuormitus on vaihteleva ja edellyttää Palmgren-Minerin osavaurioteorian käyttöä. Enemmän tai vähemmän hyviä moniaksiaalisia väsymiskriteerejä löytyy nykyään hyvin paljon, ja uusiakin kriteerejä kehitellään. Mitään aivan tarkkaa yleispätevää kriteeriä, joka kattaisi kaikki aineet ja jännitystilat, ei nimittäin ole vielä kehitetty. Hyvä yhteenveto tämän hetken tunnetuimmista moniaksiaalisuuskriteereistä löytyy esimerkiksi D. Socien ja G. Marquisin kirjasta. Todellisia moniaksiaalisia väsymiskriteerejä on ruvettu käyttämään laajemmin vasta viimeisinä vuosina. Tämä johtuu ennen kaikkea siitä, että eräät parhaimmat kriteerit, kuten Findleyn moniaksiaalinen kriteeri, vaatii käytännössä tehokkaan tietokoneen käyttöä, mikäli halutaan käsitellä aivan yleisiä jännitystiloja. Tästä syystä on ennen käytetty erilaisia pseudokriteerejä, kuten etumerkillä varustettu von Mises-kriteeri. Toinen tällainen kriteeri on pääjännitysten käyttö huomioimatta, että pääakselien suunnat voivat muuttua kuormitushistorian aikana. Hyvältä moniaksiaalisuuskriteeriltä vaaditaan, että se voi käyttää hyväksi yksiaksiaalisilla väsytystesteillä saatua väsymistietämystä. Myös moniaksiaalisuustestejä voidaan suorittaa, mutta ne ovat hankalia ja kalliita. Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 014/R. Rabb

3 Lisää johdatusta moniaksiaalisuuskriteereihin Kun puhutaan jännitystilan moniaksiaalisuudesta, on tärkeää tietää, vaihtuvatko eri jännityskomponentit samalla taajuudella ja samassa vaiheessa vai eivät. Puhutaan suhteisesta kuormitustapauksesta, jos kaikki jännityskomponentit muuttuvat samalla taajuudella ja samassa vaiheessa. Silloin riittää, että tutkitaan vain jännityskomponenttien kahta ääriarvoa, kun lasketaan jännitystilan aiheuttama vaurio. Jos sen sijaan jännityskomponentit ovat eri vaiheissa tai eri taajuisia, on tutkittava koko jännityshistoria, kun selvitellään, mitkä jännitystilan hetkelliset arvot aiheuttavat väsymisvaurion maksimiarvon. Tällaista kuormitustapausta kutsutaan epäsuhteiseksi, ja sitä on paljon hankalampi käsitellä kuin suhteista kuormitustapausta. kuvassa Seuraavassa Kuvassa on esitetty suhteisen ja epäsuhteisen kuormituksen välisiä eroja. Kuvan suhteisessa tapauksessa on verrannollisuuskerroin miinus yksi, ja jännityskomponenttien ääriarvot määrittelevät väsymisvaurion maksimiarvon. Jännitystiloja on kuvassa käsitelty Findleyn moniaksiaalisella väsymiskriteerillä. Findleyn kriteerin ajatus on se, että etsitään jännitys-avaruudessa se taso, jossa leikkausjännitys-amplitudin ja tasoon vaikuttavan ja vakiolla kerrotun normaalijännityksen summa saa maksimiarvonsa. Löydettyä tasoa sanotaan kriittiseksi tasoksi. Nähdään, että kun kuormitus on suhteinen, on helppoa heti havaita, mitkä kaksi kuormitusajankohtaa määräävät leikkausjännityksen maksimivaihteluvälin. Silloin kriittisen tason normaalijännitys on jommassakummassa ajankohdassa. Kun kuormitus on epäsuhteinen, joutuu nämä ajankohdat etsimään, ja lisäksi ajankohta, jolloin normaalijännitys on maksimissaan, voi olla jokin muu kuin ne kaksi ajankohtaa, jotka määräävät leikkausjännityksen vaihteluvälin. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 014/R. Rabb 3

4 Suhteinen ja epäsuhteinen jännitystila Jännitys Sig-x x [MPa] Jännitys y [MPa] Jännitys Sig-y [MPa] kriittisen tason normaalijännitys n = 93.4 MPa kriittisen tason ( 51.8 o ) leikkausjännitysvaihteluväli = MPa D = MPa Aika [aste] Aika [aste] Findley kriteerin väsymisvaurio D Jännitykset [MPa] kriittinen taso x kriittisen tason normaalijännitys n = 8.8 MPa k n y y Aika [aste] Sigma-x n Sigma-y x kriittisen tason (45 o ) leikkausjännitysvaihteluväli = MPa D = MPa a) Suhteinen kuormitus. b) Epäsuhteinen kuormitus. y x Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 014/R. Rabb 4

5 Lisää johdatusta moniaksiaalisuuskriteereihin Kriittisen tason kriteerejä löytyy useita, mutta täällä rajoitutaan käsittelemään ainoastaan kahta tavallisinta, nimittäin Findleyn kriteeriä ja Dang Vanin kriteeriä. Findleyn kriteeri on varsinkin teräksille hyvin tarkkoja ennusteita antava kriteeri. Findleyn kriteeri on yleisessä tapauksessa, niin kuin yllä jo on mainittu, verraten monimutkainen. Siksi vähän uudempi mutta epätarkempi Dang Vanin kriteeri on saanut laajan käytön Euroopassa yksinkertaisuudensa takia. Teräksille Dang Vanin kriteeri antaa melko usein samansuuruisen varmuuskertoimen kuin Findleyn kriteeri. Sen sijaan valuraudalle Dang Vanin kriteeri antaa usein aivan virheellisiä tuloksia. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 014/R. Rabb 5

6 VÄSYMISANALYYSIN PSEUDOKRITEERIT (Kirjan luku 3) Vaikka moniaksiaalisia jännitystapauksia on aina ollut niin vasta viime aikoina on väsymisanalyysin moniaksiaalisuuskriteerien käyttö yleistynyt. Hyvin aikaisessa vaiheessa huomattiin, että yksiaksiaalista teoriaa käyttämällä oli vaikeaa saada luotettavia ennusteita moniaksiaalisille tapauksille. Siksi vuosien saatossa on kehitetty paljon erilaisia, enemmän tai vähemmän onnistuneita pseudokriteereitä näiden tapausten käsittelemiseksi. Tässä esityksessä tyydytään esittämään kaksi usein käytettyä pseudokriteeriä, nimittäin etumerkillä varustettu von Mises-kriteeri ja maksimipääjännityskriteeri. Näitä kriteerejä käytetään edelleen hyvin paljon, minkä takia on hyvä käsitellä niitä ja ennen kaikkea valaista näiden kriteerien heikkouksia. Pseudokriteerien eräs heikkous on myös, että niillä voidaan oikeastaan käsitellä vain suhteisia kuormitustapauksia, joissa on vain kaksi kuormitustapausta. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 014/R. Rabb 6

7 Etumerkillä varustettu von Mises-kriteeri Lähtökohtana on lujuusopin peruskurssista tunnettu myötämiseen liittyvä vakiovääristymisenergiahypoteesi. Tätä sanotaan myös Mises-Hencky-hypoteesiksi. Kun on kysymys tämän hypoteesin soveltamisesta väsymiseen, käytetään melkein yksinomaan nimeä etumerkillä varustettu von Mises-kriteeri (signed von Mises). Menettely on seuraavanlainen: Käyttäen kahden tutkittavan ajanhetken jännitysmatriiseja muodostetaan jännityskomponenttien etumerkillä varustetut amplitudit ja keskiarvot [( 1 )] = ja [( )] = [ ] = = 1 {[( )] [( 1 )]} [ ] = = 1 {[( 1 )] + [( )]} Saadaan seuraava von Mises amplitudi ja keskiarvo: = = (±) Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 014/R. Rabb 7

8 Etumerkillä varustettu von-mises-kriteeri jatkuu Onko käytettävä plus vai miinus etumerkkiä von Mises keskijännityksen neliöjuuren edessä, määräytyy keskijännitysmatriisin jäljen etumerkin mukaisesti Trace[ ] = + + Jos jäljen etumerkki on positiivinen, käytetään plus merkkiä von Mises-keskijännityksen kaavassa ja päinvastaisessa tapauksessa negatiivista etumerkkiä. Väsymisraja otetaan Haigh-diagrammista siten, että se vastaa von Mises keskijännitystä, ja varmuuskerroin on täten: = Etumerkillä varustetun von Mises-kriteerin käyttö on näin ollen yksinkertaista ja nopeaa. Teräksille voidaan joskus saada kohtuullisen tarkkoja ennusteita. Seuraavassa esimerkissä näytetään kuitenkin tapaus, jossa kriteeri pettää ja tulos on monimerkityksinen. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 014/R. Rabb 8

9 Esimerkki: Biaksiaalinen jännitystapaus ja von Mises-pseudokriteeri Kuvassa näytetään yksinkertainen, biaksiaalinen, suhteinen kuormitustapaus. Kuvan mukaiselle jännitystilalle saadaan seuraavaa: = 4000 = 4000 = 00 MPa ja = MPa ja y1 y = = 00 MPa 400 MPa 00 MPa x1 x MPa Tässä tapauksessa on komponenttien keskijännitysmatriisin jälki nolla. Vain pieni muutos jommassakummassa komponentissa saa aikaan sen, että matriisin jälki on pienellä arvolla joko positiivinen tai negatiivinen. Tämä merkitsee, että vastaava von Mises keskijännitys ei ole yksiselitteinen vaan voi heilahdella positiivisen ja negatiivisen arvon välillä. Trace[ ] = + = = ±0.000 = 00 + (00) 00 (00) = MPa = (±)00 + (00) 00 (00) = ±346.4 MPa Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 014/R. Rabb 9

10 Esimerkki jatkuu Riippuen hyvin pienestä muutoksesta :n arvossa, von Mises keskijännitys on täten joko plus MPa tai minus MPa. Jos käytetään esimerkiksi aikaisemmin annettua Haigh-diagrammia, saadaan seuraavat väsymisrajat ja varmuuskertoimet: a) = MPa = 41.4 MPa ja = 41.4 = pieni varmuuskerroin b) MPa = MPa ja = = 1.61 iso varmuuskerroin Käyttämällä Findleyn moniaksiaalista kriteeriä on niin sanottua ekvivalenttia yksiaksiaalista jännitystilaa vastaava varmuuskerroin Tätä varmuuslukua, joka on suurin piirtein sama kuin von Mises-kriteerin antamien kahden varmuuskertoimen keskiarvo, on pidettävä suhteellisen tarkkana. Nähdään, että etumerkillä varustettu von Mises-kriteeri antaa tässä tapauksessa epäluotettavia ja jopa moniselitteisiä tuloksia. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 014/R. Rabb 10

11 Esimerkki: Biaksiaalinen jännitystapaus ja maksimi pääjännitys-pseudokriteeri Tätä kriteeriä käytettiin ennen paljon valurautojen yhteydessä. Tässä menetelmässä huomioidaan vain jännitysamplitudi ja keskijännitys maksimipää-jännityksen suunnassa. Kun tätä menetelmää sovelletaan edellisen esimerkin biaksiaaliseen jännitystapaukseen, saadaan seuraavaa: = = 400 MPa maksimipääjännitys ajan hetkellä ensimmäisessä kuormitustapauksessa on jännitys tässä suunnassa nolla, so. 1 =0 saadaan seuraava amplitudi ja keskijännitys = 1 = 1+ = 00 MPa = 00 MPa Käyttäen taas samaa Haigh-diagrammia saadaan seuraava keskijännitystä 00 MPa vastaava väsymisraja ja varmuuskerroin: = MPa ja = =.5 Tässä tapauksessa maksimipääjännityskriteeri yliarvioi katastrofaalisella tavalla varmuuskertoimen suuruutta. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 014/R. Rabb 11

12 FINDLEYN MONIAKSIAALINEN VÄSYMISKRITEERI (Kirjan luku 4) Yleisesti oletetaan, että väsymissärö ydintyy vaihtelevan leikkausjännityksen seurauksena. Tästä johtuen Findley ehdotti, että etsitään kriittisen pisteen sellaista tasoa, jossa leikkausjännitysamplitudin ja tasoon vaikuttavan maksiminormaalijännityksen summa saa maksimiarvon. Findley kehitti teoriansa vain suhteisten kuormitustapausten pohjalta. Kun tätä kriteeriä ruvettiin myöhemmin soveltamaan myös epäsuhteisten kuormitustapausten osalta, esiin nousi kysymys siitä, miten silloin määritellään tasoon vaikuttava normaalijännitys. Eräät tutkijat erityisesti Kanadassa tutkivat, miten ennuste vastaa testituloksia, kun ensin määritellään normaalijännitys jommastakummasta niistä kahdesta ajan hetkestä, jotka määrittävät leikkausjännitysamplitudin. Toiseksi he laskivat ennusteen silloin, kun normaalijännitys otetaan itsenäisestä ajankohdasta siten, että yllä mainittu summa saa maksimiarvonsa. He päätyivät suosittelemaan jälkimmäistä tapaa soveltaa kriteeriä epäsuhteisille tapauksille. Näin ollen Findleyn kriteeri esitetään tavallisesti seuraavassa muodossa: = + missä vakio k ja väsymisraja f leikkauksessa lasketaan seuraavilla lausekkeilla käyttäen hyväksi yksiaksiaalisissa väsytystesteissä havaittuja väsymisrajoja sekä huomioiden kaikki väsymisrajaan vaikuttavat tekijät, kuten tilastollinen kokokerroin, pinnan laadun kerroin, anisotropiakerroin sekä käyttöikäkerroin: = =0, =1, ja = +1+ =1, Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 014/R. Rabb 1

13 Kaavat ja selitykset silloin, kun < ja silloin, kun > 1, = 1 1, = 1 =0, = =0 =0, = =0 missä D n kone-elimen tutkitun pisteen väsymisvaurio leikkausjännityksen vaihteluväli (= a ) kriittisellä tasolla kriittiseen tasoon kohdistuva normaalijännitys a leikkausjännitysamplitudi k vakio, joka kuvaa normaalijännityksen osuuden kone-elimen väsymisvauriosta (normaalijännitysherkkyys) f kone-elimen väsymisraja leikkauksessa ar=-1 ar=0 sileän testisauvan väsymisraja vaihtokuormalla sileän testisauvan väsymisraja tykyttävällä kuormalla referenssisauvan tehollinen jännityspinta-ala tutkitun pisteen tehollinen jännityspinta-ala tilastollinen kokokerroin pinnan laadun kerroin anisotropia-teknologinen kerroin käyttöikäkerroin =1, kone-elimen väsymisrajan mediaaniarvo vaihtokuormalla =0, kone-elimen väsymisrajan mediaaniarvo tykyttävällä kuormalla Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 014/R. Rabb 13

14 Findley kriteerin vakion k ja leikkausväsymisrajan f johtaminen y y x Kaavat voidaan johtaa kuvan avulla seuraavasti, kun oletetaan, että jännitystila on yksiaksiaalinen ja että vain jännityskomponentti x vaikuttaa. n x,min ; x,max x Suoritetaan koordinaatiston kierto kulman verran. Uudet x- ja y-akselit merkitään x ja y. Tasoon x z x y vaikuttava leikkausjännityksen vaihteluväli ja normaalijännitys saadaan tutuilla kaavoilla. On tärkeää huomata, että vaihteluväli ja amplitudi ovat aina positiivisia suureita. Siksi kaavoissa tarvitaan tarkasti ottaen itseisarvo. Tässä yhteydessä riittää kuitenkin, kun huomioi vain kulman positiivisen arvon. Näin ollen voidaan jättää huomioimatta itse itseis-arvon merkintä. = ( ) = cos sin = ( ) Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 014/R. Rabb 14 sin a) vaihtokuormitus, so. R = -1. Oletetaan, että amplitudi on väsymisrajalla = 1, kun tämä sijoitetaan kaavoihin saadaan seuraava väsymisvaurio = =1, sin + =1, cos =

15 Kaavojen johto jatkuu Kriittisen tason suunta yksiaksiaalisessa jännitystilassa saadaan derivoimalla kulman suhteen ja asettamalla derivaatta nollaksi. tan = 1 b) tykyttävä kuormitus, oletetaan, että amplitudi on yhtä kuin väsymisraja ar=0 =0 = =0, saadaan seuraava väsymisvaurio sijoittamalla kyseisiin kaavoihin = =0, sin + =0, cos = josta saadaan asettamalla derivaatta kulman suhteen nollaksi seuraava kriittisen tason suunta tan = 1 Huomioimalla, että vauriot molemmissa kuormitustapauksissa ovat yhtä suuria väsymisrajalla ( = ), saadaan johdettavat kaavat, kun vielä on huomioitu yllä johdetut kriittisten tasojen suunnat, s.o = =0, 1, = +1+ 1, Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 014/R. Rabb 15

16 Kriittisen tason etsiminen yleisessä jännitystapauksessa Kriittisen tason löytämiseksi on kierrettävä koordinaatisto avaruudessa ja laskettava esimerkiksi jännityselementin ensimmäisen tahkon leikkausjännitys ja normaalijännitys jokaiselle kuormitustapaukselle ja suunnalle, kuten kuvassa on havainnollistettu. z z xz x xy x y Jännityselementin positiivisten tahkojen ykköskantavektorit on annettu seuraavassa yhtälössä sekä kiertomatriisi Q. = sin cos + sin sin + cos = sin + cos cos cos cos sin + sin x y sin cos sin cos cos = sin sin cos cos sin = 1 3 cos 0 sin Kun jännitysmatriisi peruskoordinaatistossa on, on jännitysmatriisi [] = kierretyssä koordinaatistossa [ ] = = [] Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 014/R. Rabb 16

17 Jännityskomponentit kriittisellä tasolla Käytännön syistä on parempi rajoittaa tarkastelu vain ensimmäisen tahkon jännityskomponentteihin ja. Jotta koko avaruus tulisi tutkituksi, on silloin kierretyn koordinaatiston molemmat kulmat ja mentävä inkremen-taalisesti asteeseen. Ensimmäisen tahkon jännityskomponenteille saadaan seuraavat kaavat: = = ( ) + ( ) + ( ) = ( ) + ( ) + ( ) Kun nämä jännityskomponentit on laskettu kaikille tasoille (ensimmäinen tahko) ja kuormitustapauksille, muodostetaan kuormitustapausten väliset leikkaus-jännitysvaihteluvälit. On huomioitava, että jos on kysymys epäsuhteisesta kuormitustapauksesta, syntyy jokaiselle tasolle yhtä monta leikkausjännityspisteitä kuin on kuormitusinkrementtejä. Silloin syntyy kaksi erilaista mahdolli-suutta määritellä leikkausjännitysamplitudin vaihteluväli, katso kuvaa. Niin kuin kuvasta käy ilmi, saadaan konservatiivisempi tulos käyttämällä pienimmän leikkausjännityspisteet sisältävän ympyrän sädettä. Jos kolme ympyrää määrittelevää pistettä muodostavat tasasivuisen kolmion, on ero maksimijanan ja tämän ympyrän halkaisijan välillä maksimissaan. Käyttämällä ympyrän halkaisijaa on leikkausjännitysamplitudi 1 cos 30 = kertaa suurempi kuin käyttämällä maksimijanan määräämää amplitudia. Todennäköisyysteoriaan pohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 014/R. Rabb 17

18 Kriittisen tason leikkausjännityksen amplitudi ja vaihteluväli z x y tapaus x y, x z tapaus x y, x z z tapaus 3 x y 3, x z 3 x z y tapaus 1 x y 1, x z 1 y a, säde tapaus 1 x y 1, x z 1 a) Suhteinen kuormitus. b) Epäsuhteinen kuormitus. Kun kuormitus on epäsuhteinen, voidaan leikkausjännitysamplitudi määritellä joko maksimijanan avulla tai pienimmän pisteet sisältävän ympyrän säteen avulla. On syytä käyttää pienimmän pisteitä sisältävän ympyrän sädettä, kun määritetään epäsuhteisen kuormitustapauksen leikkausjännitysamplitudia, varsinkin kun eräät testit vielä antavat ymmärtää, että epäsuhteinen kuorma voi aiheuttaa sykliluvun mukaan alenevan väsymisrajan samalla tavalla kuin muuttuva-amplitudinen kuorma tekee. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 014/R. Rabb 18 jana

19 Pienin pisteitä sisältävä ympyrä Christian Lönnqvist teki diplomityössään Wärtsilälle ohjelman, joka suorittaa tällä tavalla Findleyn mukaista moniaksiaalisuusanalyysiä sekä suhteisille että epäsuhteisille kuormitustapauksille. Suuren elementtimallin epäsuhteinen kuormitustapaus, joka sisältää monta kuormitusaskeletta, johtaa aikaa ja tietokonekapasiteettia vaativaan laskentaan. Siksi tähän ohjelmaan on vielä lisätty optimointialgoritmi laskennan nopeuttamiseksi. Leikkausjännityksen vaihteluväli yllä olevan kuvan tapauksessa on seuraava: = (suhteinen kuormitus) Kuvan kuvaaman pienimmän pisteitä sisältävän ympyrän säde saadaan laskettua seuraavalla determinantilla: =0 Laajentamalla tätä determinanttia saadaan seuraava yhtälö: =0 tämä vastaa ympyrän yhtälöä ( ) + ( ) =, missä on seuraava keskipiste: = ja = painovirhe kirjassa, puuttuu nimittäjässä Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 014/R. Rabb 19

20 Pienin pisteitä sisältävä ympyrä, jatkuu ympyrän halkaisija, eli leikkausjännityksen vaihteluväli, saadaan yhtälöstä = + 4 yllä olevien yhtälöiden kertoimet ovat: = 1 ja = ja Seuraavassa kuvassa on Findleyn kriteerin mukainen väsymisanalyysin periaatteellinen suoritustapa havainnollistettu erään tehdyn ohjelman vuokaaviolla. Vuokaaviossa esiintyy muutamia muuttujia, joiden merkitys selitetään seuraavissa luvuissa. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 014/R. Rabb 0

21 Findley kriteerin mukaan tehdyn yksinkertaisen ohjelman vuokaavio Lähtöarvot 1..., d 1..., d ar1, ar0, Rmt, Rmc, Rp0. Jännityshistoria : ( t) i 1... NUM i Koordinaatiston kierto ' T j ( t) Q ( t) Q j 1... NU j Ohjelma ei sisällä pienintä pisteitä sisältävää ympyrää mahdollisuutta Kaikkien mahdollisten leikkausjännitysvaihteluvälien ja normaalijännitysten laskeminen jännityselementin tahkolla 1 k ja k, k 1IMAX Jännitys-aika-avaruuden tutkiminen kriittisen tason ja sen maksimivaurion D löytämiseksi f D k n, SF / k max n 1 tan a, ekv Ekvivalentin yksiaksiaalisen jännitysamplitudin ja keskijännityksen laskeminen x,max, 4k n x,min ja x,max m, ekv n, x cos x,max x,min,min x,max sin Tulosten kirjoittaminen Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 014/R. Rabb 1

22 Varmuuskerroin ja ekvivalentti yksiaksiaalinen jännitystila Findley vaurion yhtälö voidaan kirjoittaa seuraavaan muotoon: = = Leikkausväsymisraja voidaan näin ollen esittää suorana kriittisen tason normaalijännityksen funktiona, kts. seuraavaa kuvaa. Kuvaan on myös hahmoteltu, miten määritellään niin kutsuttu radiaalinen ja vertikaalinen varmuuskerroin. On kuitenkin syytä muistaa, että tarkasti ottaen oikea tapa määritellä varmuuskerroin on esitetty aikaisemmin, eli diagrammia on redusoitava, kunnes se leikkaa kyseisen jännityspisteen. Kuitenkin on diagrammin mukaan olemassa kaksi usein kirjallisuudessa esitettyä mahdollisuutta määritellä varmuuskerroin: = kriittisen tason leikkausjännitysamplitudi a) vertikaalinen varmuuskerroin otetaan leikkausväsymisraja, joka vastaa vakiota normaalijännitystä = b) radiaalinen varmuuskerroin otetaan leikkausväsymisraja sieltä, missä suora origosta jännityspisteen kautta leikkaa diagrammin = = + Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 014/R. Rabb

23 Findley kriteerin mukainen väsymisdiagrammi Väsymisraja leikkauksessa [MPa] Vertikaalinen varmuuskerroin: S F ar=-1 = ar=0 = f = k = 0.47 af, vert Kriittisen tason normaalijännitys [MPa] Piste(sn=175.5, tau=179.8) Taf,ver=75.9 Taf,rad=57.5 a Radiaalinen varmuuskerroin: S F af, rad a Findley-kriteerin mukainen väsymisdiagrammi. Annetut arvot vastaavat aikaisemman esimerkin biaksiaalista suhteista kuormitustapausta. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 014/R. Rabb 3

24 Ekvivalentti yksiaksiaalinen jännitystila Yleensä on mahdollista löytää yksiaksiaalinen jännitystapaus, joka antaa saman vaurion kuin tutkittavana olevassa moniaksiaalisessa tapauksessa. Tätä tapausta kutsutaan ekvivalentiksi yksiaksiaaliseksi jännitykseksi. Kuvassa on näytetty, miten on mahdollista laskea ekvivalentti yksiaksiaalinen jännitystila, kun tunnetaan jonkin moniaksiaalisuustapauksen kriittisen tason leikkausjännitysvaihteluväli ja normaalijännitys. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 014/R. Rabb 4 y y n x x,min ; x,max Kun otetaan huomioon, että vaihteluväli määritelmänsä mukaan aina on positiivinen suure, saadaan kuvan mukaisessa tilanteessa seuraava kriittiseen tasoon vaikuttava leikkausjännitysvaihteluväli ja normaalijännitys: Lausekkeessa on erotus,, aina positiivinen, mutta koska kulma voi olla myös negatiivinen, on käytettävä sinin itseisarvoa. =,, sin =, cos, = cos, =, sin moniaksiaalisuusanalyysin mukaiset kriittisen tason jännitykset ja n tämä yksiaksiaalinen jännitystila aiheuttaisi yllä olevat ja n kriittisellä tasolla x

25 Ekvivalentin yksiaksiaalisen jännitystilan kriittisen tason suunta Kriittisen tason suunta saadaan maksimoilla väsymisvaurio kulman suhteen. (Laskujen yksinkertaistamiseksi jätetään itseisarvon merkintä nyt käyttämättä.) = + =,, 4 sin+, cos Derivoimalla :n suhteen ja sillä ehdolla, että derivaatan on oltava nolla maksimipisteessä, saadaan lopuksi ekvivalentin yksiaksiaalisen jännitystilan kriittisen tason kulman laskemiseksi seuraava kaava. Oikea on tietysti se, jolla > 0. = tan 1 ± , = 0,1, Edellisen sivun kaavoja käyttäen saadaan ekvivalentin yksiaksiaalisen jännitystilan keskiarvo ja amplitudi, =, +,, =,, Näitä relaatioita käyttämällä voidaan varmuuskerroin määritellä myös Haigh-diagrammin avulla. Tämä voi olla tärkeää, jos jännitystila aiheuttaa plastisoitumista, koska kukaan ei ole vielä kunnolla tutkinut, miten Findleyn diagrammia olisi korjattava plastisella alueella. Kun suoritetaan kumulatiivinen vaurioitumisanalyysi tarvitaan myös moniaksiaalisuusvaurion muuttaminen ekvivalentiksi yksiaksiaaliseksi jännitystilaksi. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 014/R. Rabb 5

26 Esimerkki: Biaksiaalinen jännitystapaus ja Findleyn kriteeri y y x1 = 0 x = 400 MPa ar=-1 = MPa ar=0 = MPa y1 ; y x n x1 ; x x y1 = 0 y = -400 MPa Jännitys [MPa] n (180 o ) Kriittisen tason kulma = 3.1 o o x ' y' ( 180 ) x' y' ( Aika [aste] Sx Sy DTax'y'= ja Sn=174.1 Tax'y'=0 o ) Käytetään hyväksi aikaisemmassa esimerkissä näytettyä biaksiaalista kuormitustapausta. Suhteinen kuormitustapaus on tässä tapauksessa mahdollista ratkaista pienellä vaivalla myös analyyttisesti. Tämä johtuu siitä, että koska y-suuntainen jännitys on vastakkaisetumerkkinen x-suuntaiselle jännitykselle, niin näiden aiheuttamat leikkausjännitysvaihteluvälit vaikuttavat samaan suuntaan. Sen johdosta kriittisen tason suunta on kohtisuoraan xy-tasoa vastaan. Täten voidaan johtaa seuraavat kaavat, kts. kuvaa. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 014/R. Rabb 6

27 Biaksiaalinen suhteinen tapaus ja Findley jatkuu Jotta kriittinen taso varmasti olisi kohtisuoraan xy-tasoa vastaan, on seuraavien ehtojen oltava voimassa: > 1 ja 1 <0 =( 1 ) 1 sin = cos + sin = 4 sin+ cos + sin = sin Kriittisen tason kulma ratkaistaan seuraavasta ehdosta: = 0 = 1 tan1 Johdettuja kaavoja soveltamalla saadaan: +1+ = =0 = = ja = = MPa = 1 = 400 MPa ja = MPa = 1 tan1 = [400(400)] ) [400(400)] = 3.1 sin (3.1) = MPa = 400 cos (400) sin 3.1 = MPa = =.3 MPa, = = 1.53 ja, = = 1.43 Aivan oikein iteratiivisesti laskettuna saadaan että S F = 1.40 Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 014/R. Rabb 7

28 Biaksiaalinen suhteinen tapaus ja Findley, eräät kommentit Näin saadut varmuuskertoimet ovat tietysti paljon luotettavampia kuin etumerkillä varustettua von Mises-kriteeriä käyttämällä saadut. On vielä syytä panna merkille, että jos kuvan mukaisessa biaksiaalisessa tapauksessa y- suuntainen jännitys heilahtelee positiivisen suuntaan, niin tämä pienentää leikkausjännityksen vaihteluväliä kuvassa osoitetulla tasolla. Jos kuitenkin oletetaan, että y-suuntaisen jännityksen aiheuttama vaihteluväli on pienempi kuin x-suuntaisen jännityksen vastaava, niin tämän seurauksena saadaan uusi kriittinen taso, johon vain x-suuntainen jännitys vaikuttaa ja joka on kohtisuoraan xz-tasoa vastaan. Tämän tason kulma xz-tasossa x-akseliin nähden voidaan laskea, kun vain huomioidaan x- suuntainen jännitys. Samoin muut kaavat pätevät, kun vain huomioidaan x-suuntainen jännitys. Jos oletetaan niinkuin seuraavassa sivussa on näytetty, että kuormitus on epäsuhteinen siten, että y-suuntainen jännitys on vaihesiirretty 90 o suhteessa x-suuntaiseen jännitykseen, ei suhteiselle kuormitustapaukselle johdettuja kaavoja ole enää mahdollista soveltaa. Alla saadut arvot on laskettu sitä tietokoneohjelmaa käyttäen jonka vuokaavio esitettiin aikaisemmin. Kuormitustilanne ja kriittisen tason jännitykset sekä vastaavat ajanhetket on kuvattu seuraavan sivun kuvassa. Laskennan tuloksena saatiin seuraavaa: Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 014/R. Rabb 8

29 y x y y Esimerkki: Biaksiaalinen epäsuhteinen jännitystapaus y1 ; y x n x1 ; x x 001 sin( t cos( t 90 o ) 0 ) Jännitys [MPa] = 90 0 kriittinen taso on kohtisuoraan xy-tasoa vastaan = krittisen tason kulma x-akseliin nähden = [( ) )] o n,max n (05 ) 30.0 o x ' y' 135 ) x' 60.3 ( y' Kriittisen tason kulma = 33.5 o Aika [aste] Sx Sy Sn,max=9.9 Tax'y'= Tax'y'=-53.9 sin (33.50) = cos sin = MPa = = MPa = =.0 vertikaalinen varmuuskerroin = = 1.71 radiaalinen varmuuskerroin Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 014/R. Rabb 9 (315 = 60.3 MPa (huom! >0) o )

30 Findley kriteerin soveltaminen analyyttisesti silloin kun jännitystapaus on suhteinen Aikaisemmassa kuvassa esitetyn vuokaavion mukaisen ohjelman tekeminen on joka tapauksessa varsin työlästä. Useimmissa lujuusopin tapauksissa väsymissärö ydintyy vapaasta pinnasta, missä näin ollen on vain kolme jännityskomponenttia vaikuttamassa, nimittäin ja. Jonkin vääntömomenttia ja taivutusmomenttia siirtävän akselin lovi voisi olla tyypillinen esimerkki. Jännityskomponentin x aiheuttama leikkausjännitys ja leikkausjännitys xy aiheuttavat suurimman vaihteluvälin tasolla, joka on kohtisuoraan xy-tasoa vastaan. Vaikka jännityskomponentilla y on sama etumerkki kuin komponentilla x, mutta on kuitenkin selvästi tätä pienempi, voidaan usein ratkaista suhteisen ongelman kriittisen tason suureet vain kulman funktiona. Jos esimerkiksi akselin lovessa on tilanne, että jännityskomponentti y johtuu vain suppeumaluvun vaikutuksesta, saadaan tarkka ratkaisu alla näytetyllä tavalla, ks. seuraava kuva. Johdetut kaavat pätevät tietysti aina ilman rajoituksia, kun y-suuntainen jännityskomponentti on nolla tai sillä on vastakkainen etumerkki kuin x-suuntaisella komponentilla. Eräs ongelma, joka nousee esiin, kun haetaan vaurioyhtälön ratkaisua ääriarvotehtävänä, on että vaihteluväli on määritelmänsä mukaan aina positiivinen suure. Näin ollen analyyttisessä ratkaisussa on käytettävä leikkausjännityksen muodollista vaihteluvälin itseisarvoa. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 014/R. Rabb 30

31 Analyyttinen ratkaisu jatkuu y y y1 ; y x Suhteinen tasojännitystila silloin, kun y- suuntainen jännitys-komponentti on niissä rajoissa, että kriittinen taso on kohtisuoraan xy-tasoa vastaan. (kulma = 90 o ). n xy1 ; xy x1 ; x x Matemaattisesti tämä tarkoittaa, että on kokeilemalla etsittävä oikea ratkaisu kahdesta mahdollisuudesta. Tasojännitystilalle saadaan seuraava muodollinen leikkausjännitysvaihteluväli: = ( 1 ) + 1 sin + 1 cos Todellinen vaihteluväli, kun huomioidaan, että se määritelmänsä mukaan ei voi olla negatiivinen, on näin ollen: = Silloin, kun kulma muuttuu 180 astetta, saa lauseke itseisarvon sisällä sekä positiivisia että negatiivisia arvoja. Ilman itseisarvon merkintää on näin ollen olemassa kaksi seuraavaa mahdollisuutta, kun vaaditaan, että vaihteluvälin on oltava positiivinen suure: = 1 = 1 joko = + sin + cos = 1 tai = sin Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 014/R. Rabb 31 cos

32 Analyyttinen ratkaisu jatkuu Kun muodostetaan Findleyn väsymisvaurion lauseke, on myös arvioitava, millä ajanhetkellä t i (i = 1 tai ) kriittisen tason normaalijännitys saa maksimiarvonsa. = cos + sin + sin, = 1, Siitä ehdosta, että väsymisvauriota kuvaavan lausekkeen derivaatta on nolla ääriarvojen kohdalla, saadaan seuraavat yhtälöt kriittisen tason kulman laskemiseksi: sin+ 4 = 1 tan1 4 + cos+ cos + sin + sin =0 + 90, j = 0,1,, = 1 tan , j = 0,1,, Oikea ratkaisu on silloin, kun joko j = 0 tai j = 1. Oikea ratkaisu saadaan kokeillen sijoittamalla lasketut kulmat edellisiin yhtälöihin. On tärkeää huomata, että jättämällä y-suuntaisen jännityskomponentin huomioimatta on kriittinen taso aina kohtisuoraan xy-tasoa vastaan. Jos y-suuntainen jännitys on samassa vaiheessa kuin x-suuntainen, kun se riippuu vain suppeumaluvun vaikutuksesta, saadaan vain lisää varmuutta jättämällä se huomioimatta. Seuraavassa taulukossa on esitetty teräkselle joitakin raja-arvoja y-suuntaiselle jännityksille, jolloin kriittinen taso ei enää ole kohtisuoraan xy-tasoa vastaan. Seuraavassa esimerkissä ja siihen liittyvässä kuvassa on havainnollistettu, miten eräälle tapaukselle voidaan esimerkiksi Microsoftin Exceliä käyttäen etsiä kriittinen taso. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 014/R. Rabb 3

33 Eräitä raja-arvoja Eräitä raja-arvoja suhteelle y / x, jolloin kriittinen taso lakkaa olemasta kohtisuoraan xy-tasoa vastaan. Annetut arvot pätevät nuorrutusteräkselle. 1 = MPa ja =0 = MPa. x1 / x y1 / y xy1 / xy n D Huom-autus [MPa] [MPa] [MPa] [MPa] [MPa] [aste] [aste] 0 / / / / / / / / / / / / / / / / / / -0 0 / / / / / / / / 0 0 / / / / 30 0 / / / / / / / / / / / / / / / / / / Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 014/R. Rabb 33

34 Esimerkki: Kriittisen tason etsiminen analyyttisesti Exceliä käyttäen Oletetaan, että kyse on samasta nuorrutusteräksestä kuin mitä käytettiin aikaisemmassa esimerkissä. Käytetään seuraavaa taulukossa esitettyä suhteista tasojännitystapausta. Lähtöarvot: 1 = MPa = =0 = MPa = MPa 1 00 MPa 1 80 MPa 1 = 150 MPa = 00 MPa = 80 Mpa = 450 MPa On selvää, että ajankohta t, jolloin jännityskomponentit ovat suurimmillaan, määrittää kriittisen tason maksiminormaalijännityksen. Kaavoja käyttäen saadaan ensin: = 1 = 400 MPa ja = 1 = 160 MPa = 1 = 300 MPa = 00 cos + 80 sin +450sin Saadaan seuraavat ratkaisut: = 1 tan1 + [ (0080)] 90 = tai = tan1 + [ (0080)] 90 = Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 014/R. Rabb 34

35 Esimerkki: jatkuu Sijoittamalla lasketut kulmat yhtälöihin nähdään, että oikea ratkaisu on = o. Asia on havainnollistettu taulukossa ja seuraavassa kuvassa. sin (64.34) = ( ) cos( 64.34) 81. MPa = = 81. MPa = 00 cos sin sin( 64.34) = MPa = = 50.7 MPa Annetun esimerkin kriittisen tason suureet. [aste] [MPa] = [MPa] n [MPa] = + [MPa] = Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 014/R. Rabb 35

36 Kriittisen tason jännitykset ja vaurio [MPa] Esimerkki: Excelillä havainnollistettu ratkaisu 800 sin M x x1 y y1 xy xy1cos = 64.3 o = -5.7 o = 8.3 o = 98.3 o Kriittisen tason kulma teta [aste] Dtau=DTauM DTauM abs(dtaum) Sn(t) D(väärä) D(oikea) Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 014/R. Rabb 36

37 Findley kriteerin vahvuudet Yllä on jo korostettu, että Findleyn moniaksiaalisuuskriteeri on osoittautunut erääksi parhaimmista. Monien muiden ohella myös ruotsalaiset tutkijat Alfredsson et al. ovat todenneet, että myös frettingtilanteessa Findleyn kriteeri antoi testitulosten valossa parhaat ennusteet. Findleyn kriteerin vahvuus on myös että se, päinvastoin kun esimerkiksi Dang Vanin kriteeri, antaa loogisen selityksen yksiaksiaalisissa testeissä havaittuun teräksen anisotropiaan. Useissa testeissä on havaittu, että kun jännitys on kohtisuoraan raevuota vastaan, väsymisraja on pienempi kuin silloin, kun raevuo ja jännitys ovat samansuuntaisia. Yksiaksiaalisissa vetopuristustesteissä on kriittinen taso Dang Vanin kriteerin mukaan kallistunut 45 o sauvan pituusakseliin nähden. Tämän mukaan ei eroja pitäisi olla riippumatta siitä, onko sauva koneistettu raevuon suunnassa vai kohtisuoraan sitä vastaan. Findleyn kriteeri määrittelee kriittisen tason suunnan sellaiseksi, että normaalijännityksellä on suurempi säröä avaava vaikutus silloin, kun raevuo on kohtisuorassa. Kriittisen tason kriteerien käyttö on tarkoitettu pääasiassa teräksille. Kuitenkin testitulokset osoittavat, että Findleyn kriteeriä voidaan käyttää myös esimerkiksi pallografiittivaluraudalle. Tämä on eräs Findleyn kriteerin suuri etu verrattuna Dang Vanin kriteeriin, joka ei onnistu antamaan järkeviä tuloksia tässä yhteydessä. Seuraavissa kuvissa ja taulukossa tämä on havainnollistettu erään SCILLED-nimisen projektin yhteydessä pallografiitti-valurautasauvoilla tehdyn vääntöväsytystestin testituloksilla. Näissä testeissä oli käytetty vain 9 sauvaa jännityssuhteella R = -1 ja 6 sauvaa jännityssuhteella R = 0. Testatut väsymisrajat ovat tästä johtuen epätarkkoja. Kuitenkin taulukosta nähdään, että Findleyn kriteeri antaa varmuuskertoimille selvästi parhaat ennusteet. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 014/R. Rabb 37

38 Findleyn kriteeri huomioi väsymislujuuden anisotropian n n = 38. o = 3.1 o a) Vaihtokuormitus kun raevuo on yhdensuuntainen (R = -1). n ainevika b) Tykyttävä kuormitus kun raevuo on yhdensuuntainen (R = 0). n = 38. o = 3.1 o c) Vaihtokuormitus kun raevuo on poikittainen (R = -1). d) Tykyttävä kuormitus kun raevuo on poikittainen (R = 0). n Dang Vanin mukainen tilanne n = 45 o = 45 o ainevika c) Tilanne kun raevuo on yhdensuuntainen. b) Tilanne kun raevuo on poikittainen. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 014/R. Rabb 38

39 Findleyn kriteeri voidaan paremman puuttuessa käyttää myös valuraudalle EN GJS R m = 65 MPa R p0. = 338 MPa Sileillä sauvoilla testattu väsymisraja: ar=-1 = 3.5 MPa ar=0 = MPa 35 a) Ontto testisauva. Muotoluvut: K t, = 1.01 (vääntö) K t,t = 1.03 (veto-puristus) Tehollinen jännityspinta-ala ja tilastollinen kokokerroin: A eff = 1643 mm (vääntö) A eff = 78 mm (veto-puristus) kun s r = 0.1 (suhteellinen keskihajonta) K size = (vääntö) b) Paikallinen leikkausjännitys lovessa silloin kun nimellinen vääntöjännitys on 100 MPa. Eri kriteerien antamat varmuuskertoimet, kun kuormana on testeistä laskettu nimellinen vääntöväsymisraja. Ontot pallografiittivaluraudasta GJS valmistetut testisauvat. Moniaksiaalisuus- Varmuuskerroin S F, kun kuormana on testattu väsymisraja af kriteeri Jännityssuhde R = -1 ja af,nim 183 MPa Jännityssuhde R = 0 ja af,nim 117 MPa Findley Dang Van von Mises -etumerkillä Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 014/R. Rabb 39

40 Findleyn kriteeri osoittaa että vanha käsite loviherkkyysluku on keinotekoinen GJS ar=-1 = MPa ar=0 = 17.4 MPa f = MPa k = n z = ±195.5 = ±4.9 a) Lovettu sauva. z x y 30.4 o r = 0 n z = ±195.5 = ±4.9 b) Tilanne tasossa joka on kohtisuoraan yz-tasoa vastaan. D k n z y 30.4 o x r = 0 c) Todellinen kriittinen taso on kohtisuoraan xz-tasoa vastaan D k n f Ainoastaan aksiaalijännitys määrää veto-puristuksessa pyöreän sauvan Findleyn maksimivaurion. Lovenvaikutusluku ja tukiluku ovat fiktioita. Ennen väitettiin että syntyisi tukivaikutus loven moniaksiaalisesta jännitystilasta joka selittäisi loviherkkyysluvun Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 014/R. Rabb 40

41 Findleyn väsymisvaurion arvioiminen plastisella alueella Aikaisemmin on huomattu, että Haigh-diagrammin käyttäytyminen plastisella alueella, missä keskijännityksen ja amplitudin yhteivaikutus aiheuttaa myötämistä, voidaan hyvin kuvata käyttämällä esimerkiksi kvadraattisia splinejä. Moniaksiaalisuuskriteerien kohdalla tätä asiaa ei ole vielä tutkittu, ja mitään suosituksia siitä, miten Findleyn diagrammia tulisi korjata näillä alueilla, ei ole olemassa. R. Rabbin et al. Seminaariesitelmä Multiaxial Fatigue Criteria Applied to Medium Speed Diesel Engines Inernational, conference on Multiaxial Fatigue & Fracture (ICMFF9), 7 th -9 th June, 010 Parma (Italy) käsittelee tätä kysymystä jonkin verran. Seuraavat kuvat, joissa on vertailtu, miten hyvin ekvivalentin yksiaksiaalisen jännitystilan avulla saadut varmuuskertoimet vastaavat Findleyn kriteerin avulla saatuja, antavat käsityksen siitä, miten paljon virheitä voi syntyä. Ensimmäisessä kuvassa tämä vertailu on suoritettu eräälle nuorrutusteräkselle diagrammien mediaaniarvoja käyttäen. Haigh-diagrammin eri pisteet on muunnettu vastaaviksi kriittisen tason jännityksiksi johdettuja kaavoja käyttäen. Tämän muunnoksen antamat pisteet yhtyvät hyvin Findleyn diagrammiin niin kauan kuin käytetään Haigh-diagrammin lineaarista osaa ja positiivista plastista osaa, kun se on kuvattu käyttäen C. Mourierin makaavaa paraabelia. Kun mennään kohti kasvavia negatiivisia keskijännityksiä, poikkeavat lasketut normaalijännitys n ja vaihteluväli yhä enemmän lineaarisesta arvosta. Tällä alueella on ilmeistä, että on viisaampaa määritellä varmuuskerroin käyttäen ekvivalenttia yksiaksiaalista jännitystä tai kuvan esittämällä tavalla korjattua Findleyn diagrammia. On hyvä muistaa, että Haigh-diagrammi on puutteellisesti tutkittu negatiivisilla keskijännityksillä. On todennäköistä, että näin saadaan konservatiivisia varmuuskertoimia. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 014/R. Rabb 41

42 Väsymisraja af / Findley af = f-k n [MPa] Ehdotettu Findleyn diagrammi teräkselle plastisella alueella Kokemus on myös osoittanut, että särö harvoin ydintyy tai ainakin harvoin kasvaa, kun maksimijännitys menee kohti negatiivista arvoa. Seuraavassa kuvassa on näytetty vastaava muunnos pallografiittivaluraudalle. Nuorrutusteräs 34CrNiMo6 R m = 1016 MPa R p0. = 911 MPa ar=-1 = MPa ar=0 = MPa Findley: k = f = 34.0 MPa Haigh-diagrammi Findleyn diagrammi Jännitys(Sm,ekv&Sa,ekv) Findley(Sn&Tauf) R = 0 Smax = Rp0. Smin=-Rp Keskijännitys m / normaalijännitys n [MPa] Muunnos Haigh-diagrammista Findleyn diagrammiin: n 1 max max tan 1 cos min k sin max Muunnos Findleystä Haighiin: 1 tan 4 k n n max cos min max sin Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 014/R. Rabb 4

43 Ehdotettu Findleyn diagrammi valuraudalle plastisella alueella Kuva kertoo, että keskijännityksen ollessa positiivinen ja aiheuttaessa plastisuutta muunnos kriittisen tason jännityksiksi ei enää makaa Findleyn suoralla. Väsymisraja af / Findley af = f-k n [MPa] Pallografiittivalurauta GJS R m = 517 MPa R p0. = 307 MPa ar=-1 = MPa ar=0 = 17.4 MPa k = f = MPa Keskijännitys m / normaalijännitys n [MPa Muunnos Haighdiagrammista Haigh-diagrammi Findleyn diagrammi Findleyn diagrammiin: kvadraattinen B-splini max min Jännitys(Sm,ekv&Sa,ekv) Findley(Sn&Tauf) 1 1 tan k R = 0 max Smax = Rp0. n max cos Smin=-Rp0. sin rajaviiva spliniin kvadraattinen B-splini Muunnos Findleystä Haighiin: 1 tan 4 k n n max cos min max sin Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 014/R. Rabb 43

44 Väsymisraja af / Findley af = f-k n [MPa] Valuraudan Findleyn diagrammin loppupään kuvaaminen B-splinillä Tässä kuvassa on näytetty tarkemmin, että yksi mahdollisuus korjata Findleyn diagrammia loppupäästä on kvadraattisella B-splinillä sama kuin millä Haigh-diagrammi korjataan. On tietysti selvää, että vasta kun kriittisen tason normaalijännitys on yhtä kuin murtoraja, väsymisraja on leikkauksessa nolla. B-splinin alkupää on määritelty vastaamaan tykyttävää yksiaksiaalista jännitystä. Negatiivinen plastinen alue käyttäytyy samalla tavalla kuin nuorrutusteräs Keskijännitys m / normaalijännitys n Haigh-diagrammi Findleyn diagrammi kvadraattinen B-splini Findley(Sn&Tauf) Jännitys(Sm,ekv&Sa,ekv) R = 0 Smax = Rp0. rajaviiva 1 tan n 1 (tykyttävä) k cos [MPa] sin Pallografiittivalurauta GJS R m = 517 MPa R p0. = 307 MPa Väsymisrajan otosarvot: ar=-1 = MPa ar=0 = 17.4 MPa Findley: k = f = MPa Ekvivalentti yksiaksiaalinen jännitys: 1 tan 4 k n n max cos min max sin Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 014/R. Rabb 44 1 ar0 ar0

45 DANG VANIN MONIAKSIAALINEN VÄSYMISKRITEERI (Kirjan luku 5) Dang Vanin kehittämä moniaksiaalinen väsymiskriteeri on verrattain uusi. Vaikka tämän kriteerin antamat varmuuskertoimet eivät ole yhtä tarkkoja kuin Findleyn kriteerin antamat, on se kuitenkin saanut varsin laajan käytön varsinkin Euroopassa. Dang Vanin kriteerin heikkoutena on varsinkin se tosiasia, että se käyttää kriittisen tason hydrostaattista jännitystä normaalijännityksen sijaan. Dang Van itse myöntää tämän heikkouden mutta puoltaa tätä yksinkertaistusta sen helppokäyttöisyyden vuoksi. Kriteeri on yksinkertaisuutensa vuoksi saanut laajan suosion Euroopassa. Epäsuhteiset kuormitustapaukset edellyttävät kuitenkin, että lasketaan 6-ulotteisessa tai 9- ulotteisessa hyperavaruudessa pienin mahdollinen hyperpallo, joka sisältää koko jännityshistorian. Edessäpäin olevassa esimerkissä osoitetaan, että määrittelemällä hyperpallon säde 6- ulotteisessa avaruudessa saadaan jonkin verran pienempiä varmuuskertoimia, ja näin ollen tulos on silloin konservatiivisempi. Tämän hyperpallon säteen ja keskipisteen laskeminen on varsin vaativa tehtävä, mutta nykyään löytyy matemaatikoiden kehittämiä ohjelmia tehtävän ratkaisemiseksi, esimerkiksi prof. B. Gärtnerin kehittämä miniball. Hyvä selvitys tämän ohjelman teoriasta löytyy E. Valkosen diplomityöstä. Dang Vanin kriteerin soveltaminen on varsinkin suhteisissa kuormitustapauksissa suoraviivaista ja suhteellisen nopeaa. Kriteerin suurin etu on, että se mahdollistaa tehtävän ratkaisun suhteisissa tapauksissa käsin ilman, että on välttämätöntä luoda monimutkaista tietokoneohjelmaa. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 014/R. Rabb 45

46 Dang Vanin moniaksiaalinen kriteeri Dang Vanin mukaan kriittinen taso on se taso, jossa Trescan mukaisen leikkausjännitysamplitudin ja vakiolla kerrotun hydrostaattisen jännityksen hetkellinen summa on maksimissaan. Suhteisessa kuormitus-tapauksessa voidaan ajatella, että kysymys on todellisesta leikkausjännitysamplitudista. Epäsuhteisessa kuormitustapauksessa hetkellinen leikkausjännitysamplitudi lasketaan suhteessa niin sanottuun jäännösjännitystensoriin (residual stress tensor). On hyvä panna merkille, että Dang Van on ottanut käyttöön sellaista terminologiaa, joka aluksi tuntuu vieraalta, ja näin ollen voi aiheuttaa sekaannusta. Dang Van haluaa jostakin syystä käyttää omia nimiä vanhoille tutuille käsitteille. Dang Vanin kriteeri annetaan yleensä seuraavassa muodossa: ( ) = ( ) + ( ), =0, = 1,, Väsymisraja leikkauksessa, =0 ja vakio a voidaan määritellä, kun tunnetaan yksiaksiaalisen jännitystilan väsymisrajat kahdessa eri jännityssuhteessa, esim. ar=-1 ja ar=0. Silloin on nimittäin ajan hetkellä t 1 = =0 = = 1 = =0, =0 = 1 =0 ( =0 1 ) = 3( =1 =0 ) ( =0 =1 ) ja 1 = 1 3 ja =0 = =0 3 Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 014/R. Rabb 46

47 Dang Vanin kriteerin symbolit missä ( ) ajan hetkeen t i liittyvä väsymisvaurio ( ) ajan hetkeen t i liittyvä kriittisen tason leikkausjännitysamplitudi. Se on tarkasti ottaen leikkausjännityksen heilahdus stabiloidun jäännösjännitysmatriisin deviatoorisen osan ympärillä a Dang Vanin kriteerin eräs vakio ( ) ajan hetkeen t i liittyvä hydrostaattinen jännitys, =0 Dang Van kriteerin mukainen leikkausväsymisraja silloin, kun hydrostaattinen jännitys h = 0 1 yksiaksiaalinen väsymisraja vaihtokuormalla =0 yksiaksiaalinen väsymisraja tykyttävällä kuormalla maksimipääjännitys etumerkki huomioiden keskimmäinen pääjännitys pienin pääjännitys Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 014/R. Rabb 47

48 Leikkausjännitysamplitudi ja hydrostaattinen jännitys Hydrostaattinen jännitys on invariantti, ja voidaan näin ollen myös laskea tiettyyn ajanhetkeen kuuluvasta makroskooppisesta jännitystensorista. Dang Vanin käyttämällä terminologialla kutsutaan esimerkiksi elementtimallilla laskettua jännitysmatriisia tietyssä pisteessä makroskooppiseksi jännitystensoriksi. Vaikka tensori on laajempi käsite kuin matriisi, tässä yhteydessä ne ovat käytännössä sama asia. Siksi kaavat esitetään helpommin ymmärrettävissä matriisimuodossa. Makroskooppiset jännitystensorit ovat näin ollen: ( 1 ) = , ( ) = ( ) =, = 1,, tiettyyn ajan hetkeen liittyvä hydrostaattinen jännitys saadaan matriisin jäljen avulla ( ) = tr ( ) = Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 014/R. Rabb 48

49 Stabiloitu jäännösjännitystensori Dang Van edellyttää käytettäväksi elastoplastista ainemallia silloin, kun tapahtuu myötämistä. Siksi hän kutsuu keskipistettä, jonka ympäri hetkelliset jännitysamplitudit heilahtavat stabiloiduksi jäännösjännitystensoriksi (stabilized residual stress tensor). Kuten yllä on kerrottu, tämän suureen laskeminen epäsuhteisessa kuormitustapauksessa vaatii pienimmän koko jännityshistorian sisältävän hyperpallon keskipisteen laskemisen. Suhteisessa kuormitustapauksessa, jossa on vain kaksi kuormitustapausta, tämä ei tuota ongelmaa, vaan tällöin saadaan seuraava yksinkertainen kaava (huomaa miinusmerkki): 1 ( 1 )+ ( ) = Tämän jälkeen stabiloitu jäännösjännitystensori on hajotettava hydrostaattiseen ja deviatooriseen (leikkaus) osaansa = tr 3 = = + dev = Deviatoorinen jäännösjännitystensori on tietenkin symmetrinen, so. =. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 014/R. Rabb 49

50 Mikroskooppiset jännitystensorit ja leikkausjännitysamplitudi Deviatorisen jäännösjännitystensorin avulla määritellään jännityshistorian niin kutsutut mikroskooppiset jännitystensorit seuraavalla tavalla: ( 1 ) = ( 1 ) + dev, ( ) = ( ) + dev ( ) = ( ) + dev Tiettyyn ajan hetkeen liittyvä hydrostaattinen jännitys voidaan myös laskea mikroskooppista jännitystensoria käyttäen. ( ) = tr ( ) 3 Jokaiseen mikroskooppiseen jännitystensoriin ( ) liittyy oma leikkausjännitysamplitudi (heilahdus), joka saadaan Trescan maksimileikkausjännityshypoteesin mukaan mikroskooppisten jännitystensorien pääjännitysten ja avulla. Mikroskooppisen jännitystensorin pääjännitykset ratkaistaan seuraavana ominaisarvotehtävänä = missä l, m ja n ovat pääjännitysten suuntakosinit x-, y- ja z-akselien suhteen. Tiettyyn hetkeen liittyvä leikkausjännitysamplitudi on näin ollen ( ) = ( ) ( ) Kriittinen amplitudi on se, jolla vaurio D(t i ) saa maksimiarvonsa. Todennäköisyysteoriaanpohjautuva väsymisanalyysi, Oulun yliopisto toukokuu 014/R. Rabb 50