MATEMATIIKAN KOULUTUSOHJELMA

Transkriptio

1 MATEMATIIKAN KOULUTUSOHJELMA Matematiikan koulutusohjelma antaa yleiskuvan matematiikasta ja sen soveltamisesta sekä tarkemman kuvan eräistä matematiikan osa-alueista. Se antaa valmiuden matematiikan opettamiseen ja tieteelliseen työskentelyyn tällä alalla. Luonteenomaista matematiikalle on sen pitkälle viety käsitteellisyys ja päättelyn looginen täsmällisyys. Matematiikkaa pidetään yleisesti vaikeana aineena. Opinnot on kuitenkin suunniteltu siten, että ahkera, matematiikasta kiinnostunut opiskelija selviää niistä. Toisaalta opinnot tarjoavat aina kiintoisan ja vaativan haasteen sellaisille lahjakkaille opiskelijoille, jotka haluavat perehtyä tähän alaan syvällisesti ja suoriutua opinnoista erinomaisin arvosanoin. Ulkoa opettelu näyttelee vain hyvin pientä osaa. Tärkeintä on asioiden ymmärtäminen ja matemaattisen ajattelutavan, ongelmanratkaisumenetelmien ja todistustekniikan omaksuminen. Matematiikan koulutusohjelmassa on viisi linjaa: analyysin (A), lukuteorian ja algebran (LA), tietoteknisen matematiikan (TM) ja matemaattisen mallintamisen (MM) linjat sekä matematiikan opettajan linja. Vakuutusmatemaatikon linja ei enää kuulu linjavaihtoehtoihin. Neljän ensin mainitun linjan yhteisnimi on matemaatikon linjat. Nämä linjat, viimeistä lukuun ottamatta, poikkeavat toisistaan pääasiassa vasta syventävien opintojen kohdalla. Niinpä aineopinnot voidaankin haluttaessa valita siten, että ne kattavat lähes kaikki tärkeimmät aineopintojaksot samanaikaisesti kolmella ensiksi mainitulla linjalla. Seuraavassa esitellään linjat. Analyysin linjan päämääränä on antaa vankat perustiedot etenkin sellaisilta matemaattisen analyysin aloilta, joilla on keskeinen merkitys luonnontieteissä. Tällaisia ovat esim. dynaamiset systeemit, differentiaali- ja integraaliyhtälöt ja todennäköisyyslaskenta. Samalla opiskelijan saama modernin analyysin perusteiden tuntemus on välttämätön suuntauduttaessa sellaisille laitoksessa edustettuina oleville erityisaloille kuin biomatematiikka, optimointi, mallintaminen ja funktionaalianalyysi. Myös opettajaksi aikovien täytyy hallita analyysin perustiedot. Suositeltavia sivuaineita tällä linjalla ovat mm. fysiikka, kemia ja biologia. 219

2 Lukuteorian ja algebran linjasta. Lukuteoria ja algebra ovat aloja, joilla on pitkät perinteet Turun yliopistossa. Vaikka nämä alat ovat klassista matematiikkaa, niiden kehitys on jatkuvasti ollut hyvin voimakasta ja yllätyksellistäkin. Myös nykyaikainen tietotekniikka on vaikuttanut näihin aloihin tuomalla uusia tutkimusmenetelmiä ja herättämällä uudenlaisia kysymyksiä. Lukuteorian tutkimus matematiikan laitoksella suuntautuu toisaalta algebralliseen ja toisaalta analyyttiseen lukuteoriaan. Näiden lisäksi tällä linjalla voi saada tutkielman aiheen ns. alkeellisesta lukuteoriasta tai esim. sellaisilta algebran aloilta kuin ryhmäteoria, Lien algebrat ja matriisilaskenta. Tietoteknisen matematiikan linjalla tutustutaan matemaattisiin teorioihin, joista useat ovat syntyneet tietotekniikan tarpeista. Tietoteknisessä matematiikassa korostuu konstruktiivisen matematiikan osuus ja tähän liittyvä algoritminen ajattelu. Tälle linjalle tärkeitä ovat myös matematiikan perusteita esittelevät logiikan kurssit. Tietoteknisen matematiikan keskeisimmät alueet ovat automaattien teoria ja koodausteoria sekä kryptografia. Nämä ovat yhteydessä mm. algebraan, kombinatoriikkaan ja lukuteoriaan. Niinpä tietoteknisellä matematiikalla ja lukuteorialla ja algebralla on paljon yhteistä. Sivuaineeksi tällä linjalla suositellaan tietojenkäsittelyoppia sekä elektroniikkaa ja tietotekniikkaa erityisesti niille, jotka aikovat tietoteknisen teollisuuden palvelukseen Matemaattisen mallintamisen linjalla opiskelija saa tiedot ja valmiudet käsitellä erilaisia vastaantulevia ongelmia matematiikan kielellä. Matemaattista mallintamista on käytetty aikoinaan ensimmäisenä erilaisiin fysiikan kysymyksiin. Nykyisin matematiikkaa sovelletaan monella tavalla tekniikassa, mutta myös muilla tieteenaloilla kuten biologiassa, taloustieteessä, tietojenkäsittelyssä ja vaikkapa fonetiikassa. Yritysmaailmassa matemaattiset mallit toimivat yleisesti myös päätöksenteon apuvälineenä. Usein jostain osittain tunnetusta ilmiöstä on käytettävissä sen tuottama mittava data-aineisto. Tutkimuksen päämäärä on tällöin ilmiön taustalla olevien mekanismien selvittäminen ja ymmärtäminen ja sen jälkeen mahdollisten päätelmien teko. Tähän päämäärään pääsemiseksi matemaattisen mallin muodostaminen on yleensä välttämätöntä. Tietokone on tärkeä apuväline, joten tietojenkäsittelyn opinnot ovat tarpeen tällä linjalla. Tilastotieteen tiedoilla on käyttöä itse mallin rakentamisessa ja tulosten analysoinnissa. Matemaattisen mallintamisen linjalla sivuaineeksi voi valita myös jonkin kiinnostavan sovellusalueen. Matematiikan opettajan linja on linjoista se, jossa on eniten opiskelijoita. Tällä linjalla opiskellaan matematiikasta samoja asioita kuin matemaatikon linjoilla, mutta vähemmän. Toisaalta tällä linjalla opiskellaan runsaasti pedagogiikkaa. Linja antaa pätevyyden yläasteen ja lukion opettajan ja lehtorin tehtäviin. Nykyisin useimmissa opettajan ja lehtorin viroissa on kolme opetettavaa ainetta, yleensä matematiikka, fysiikka ja kemia. Tämä on otettu opettajan linjan suunnittelussa huomioon, mutta tilannetta vaikeutti vuonna 1999 voimaan tullut kelpoisuusasetus, jonka mukaan kolmannen opetettavan aineen kohdalla ei enää riitä 15 ov opintokokonaisuus. (Opettajien kelpoisuusvaatimuksista tarkemmin s. 16) Toisaalta kelpoisuusasetus antaa mahdollisuuden olla sitomatta virkoja opetettaviin aineisiin. Joka tapauksessa opetusministeriö on ( antamansa tiedotteen mukaan) kehottanut kuntia vähentämään virkoihin kuuluvien opetettavien aineiden määrän enintään kahteen. Matemaattisten aineiden opettajaksi valmistuvan on lisäksi hyvä huomata, että näiden aineiden opettajan tehtävänä usein on myös tietotekniikan opettaminen. 220

3 Vakuutusmatematiikan linja on lakkautettu. Lopetuksen syynä on lähinnä se, ettei linjan opetuksen asianmukaiseen hoitamiseen ole riittäviä resursseja (linjaa perustettaessa piti linjaa varten saada myös oma professuuri, mutta tämä suunnitelma ei toteutunut ja siitä lähtien on linja kärsinyt resurssipulassa). Linjaa tukevia kursseja pyritään kuitenkin jatkossakin luennoimaan niin, että ennen vuotta 2002 aloittaneilla on edelleen mahdollisuus valmistua tältä linjalta. TUCS Graduate School. Tutkijoiksi aikovat voivat valmistua matematiikka pääaineena myös jatkokoulutuskeskus TUCSista (Turku Centre for Computer Science). Ensisijaisesti TUCS tarjoaa kanavan jatko-opinnoille. Keskuksen päätavoite on kansainvälinen jatkokoulutus, mikä heijastuu opiskelijoiden valintaan. Yksityiskohdista, kuten sopivista opintojaksoista, saa tietoa keskuksen esitteestä sekä matemaattisten tieteiden laitokselta. TUC- Sista saa tietoa myös internetin kautta osoitteesta Työllisyystilanne. Käytännöllisesti katsoen kaikki viimeisten vuosien aikana koulutusohjelmasta valmistuneet ovat saaneet koulutustaan vastaavaa työtä. OPINTOJEN RAKENNE Opintojen rakenne on sama kuin viime lukuvuonna. Aikaisemmin aloittaneet opiskelijat voivat seurata nykyisiä tutkintovaatimuksia soveltuvin osin. Heidän kannattaa kuitenkin käyttää tämän opinto-oppaan rinnalla aloitusvuotensa opinto-opasta. Seuraavan taulukon luvut tarkoittavat vähimmäisvaatimuksia opintoviikoissa laskettuna. Ensimmäinen sarake koskee FM -tutkintoa matemaatikon linjoilla, toinen opettajan linjalla. Kolmas sarake koskee LuK -tutkintoa. LuK -tutkinnosta kerrotaan lisää kohdassa Opintojen yleisrakenne s. 7. M O LuK Pääaine 92,5 67,5 55 Sivuaineet Pää- ja sivuaineet yht. 147,5 157,5 107,5 Kieliopinnot 2,5 2,5 2,5 Kaikki yhteensä MATEMAATIKON LINJAT, FM -tutkinto 1. Pääaineen opinnot matemaatikon linjoilla 1.1. PERUSOPINNOT (15 ov) MATE5019 Analyysi I 5 ov MATE5020 Analyysi II 5 ov MATE5216 Lineaarialgebra 5 ov 1.2. AINEOPINNOT (vähintään 32,5 ov) MATE5062 Ensimmäinen aine MATE5073 Matematiikan historia 2,5 ov 2,5 ov 221

4 Lisäksi on suoritettava vähintään 11 seuraavista 18 kurssista. Rastilla on merkitty ne linjat, joilla kurssi on erittäin suositeltava syventävien opintojen ja/tai ammatillisen pätevyyden kannalta. A TM LA MM MATE5060 Algebran peruskurssi I x x x x 2,5 ov MATE5061 Algebran peruskurssi II x x x x 2,5 ov MATE5074 Algoritminen matematiikka x 2,5 ov SMAT5045 Differentiaaliyhtälöt x x 2,5 ov MATE5255 Fourier-analyysi x x x x 2,5 ov MATE5033 Funktioteoria x x x 2,5 ov MATE5059 Geometria 2,5 ov MATE5039 Kombinatoriikka x 2,5 ov MATE5114 Logiikka x 2,5 ov MATE5123 Lukuteoria x x 2,5 ov MATE5005 Metriset avaruudet x x x 2,5 ov SMAT5031 Numeerinen analyysi I x 2,5 ov SMAT5032 Numeerinen analyysi II x 2,5 ov SMAT5108 Matemaattinen optimointi I x x 2,5 ov SMAT5109 Matemaattinen optimointi II x x 2,5 ov SMAT5001 Todennäköisyyslaskenta I x x 2,5 ov SMAT5066 Todennäköisyyslaskenta II x x 2,5 ov MATE5021 Usean muuttujan funktiot x x x 2,5 ov 1.3. SYVENTÄVÄT OPINNOT (vähintään 45 ov) MATE5064 Toinen aine MATE5065 Kolmas aine MATE5108/SMAT5127 Pro gradu -tutkielma 2,5 ov 2,5 ov 10 ov Toinen aine voidaan korvata LuK -tutkielmalla (2,5 ov). Lisäksi on suoritettava vähintään 30 ov muita syventäviä opintoja. Näistä vähintään 20 ov pitää valita keskenään samalta linjalta. Seuraavassa luetellaan lukuvuoden syventävät kurssit. Luettelo vaihtelee vuosittain. A TM LA MM MATE5055 Algebra x x 5 ov MATE5023 Differentiaaligeometria x 5 ov SMAT5147 Discrete dynamical systems x x 5 ov MATE5134 Fourier-analyysi ja aallokkeet x x 5 ov SMAT5090 Funktionaalianalyysin perusteet x x x 5 ov SMAT5091 Mittateoria x x 2,5 ov MATE5135 Modulimuodot x x 5 ov MATE5158 p-adiset luvut x 5 ov MATE5262 Semigroup Theory I x x 2,5 ov MATE5236 Semigroup Theory II x x 2,5 ov SMAT5092 Sumea päätöksenteko x x 2,5 ov MATE5264 Tree Automata and Tree Languages x 2,5 ov MATE5157 Universaalialgebra x x 5 ov MATE5193 Äärelliset kunnat ja niiden sovelluksia x x 5 ov 222

5 2. Sivuaineiden opinnot matemaatikon linjoilla Tavallisimmat sivuaineet ovat fysiikka, teoreettinen fysiikka, tietojenkäsittelyoppi, taloustiede ja tilastotiede. Tietojenkäsittelyoppi on ainoa pakollinen sivuaine. Ks. kuitenkin myös Sivuaineet s. 8. Ks. lisäksi Opintojen yleisrakenne s. 7. Kustakin sivuaineesta kerrotaan tarkemmin sen koulutusohjelman kohdalla, johon se kuuluu pääaineena. Tilastotieteen osalta ks. Tilastotiede sivuaineena. Filosofiasta opintokokonaisuus suunnitellaan tarpeen mukaan. Taloustieteen opintoihin voi sisällyttää myös Turun kauppakorkekoulun järjestämät Liiketaloustieteiden peruskurssin ja jatkokurssin tai niiden osasuorituksia. Vastaavia opintoja järjestetään myös Åbo Akademissa. Kauppakorkeakoulun järjestämiin opintojaksoihin on erillinen haku syksyllä. Hakumenettelystä ilmoitetaan ilmoitustauluilla ja ylioppilaslehdessä syyskuun alkupuolella. Seuraavassa esitetään tietojenkäsittelyopin vaatimukset TIETOJENKÄSITTELYOPPI (vähintään 15 ov) Opintoihin on sisällytettävä kurssit SMAT5046 Matemaattiset ohjelmistot 1 ov TKO_5442 Ohjelmointi I 4 ov TKO_5565 Johdatus tietojenkäsittelytieteeseen I 2 ov TKO_5566 Johdatus tietojenkäsittelytieteeseen II 3 ov Loput opinnot valitaan seuraavana esiteltävästä 35 opintoviikon paketista. Opiskelijoille, joilla ei ole aikaisempaa kokemusta tietokoneiden käytöstä, suositellaan kurssia TKO_5359 Tietokoneiden käytön alkeet. (3 ov). Laaja sivuaine 35 ov Edellä lueteltujen pakollisten kurssien lisäksi MATE5219 Matematiikan tietokonetyö I 1 ov MATE5220 Matematiikan tietokonetyö II 1 ov TKO_5509 Tietorakenteet ja algoritmit 4 ov Vapaasti valittavia TKO:n opintoja 19 ov (Esim: Matemaattisten ohjelmistojen jatkokurssi (1), Ohjelmointi II (4), Käyttöjärjestelmät (3), Kääntäjät (3), Ohjelmointikielten periaatteet (4), Ohjelmoinnin metodiikka (4), Tietojenkäsittely ja yhteiskunta (2), Tietokannat (4), Tietokoneorganisaatio/Mikroprosessorit (3), Algoritmien suunnittelu ja analysointi (3), Artificial Intelligence (3), Logic Programming (3), String Algoritms (3).) Tietojenkäsittelyopin sivuainekokonaisuuden voi suorittaa myös noudattamalla TKO:n omia sivuainekokonaisuusvaatimuksia ks. tietojenkäsittelytieteen koulutusohjelma. 223

6 3. Muut opinnot matemaatikon linjoilla 3.1. KIELI- JA VIESTINTÄOPINNOT (2,5 ov) Toinen kotimainen kieli Vieras kieli - suullista valinnan mukaan joko 0,5 tai 1,5 ov 1 ov 1,5 ov 3.2. VAPAASTI VALITTAVIA OPINTOJA Työharjoittelusta voidaan hyvittää 1 ov. Ks. myös Tutkinnon joustavuudesta s. 9. MATEMATIIKAN OPETTAJAN LINJA, FM -tutkinto 1. Pääaineen opinnot matematiikan opettajan linjalla 1.1. PERUSOPINNOT (15 ov) Kuten perusopinnot matemaatikon linjoilla AINEOPINNOT (vähintään 27,5 ov) MATE5062 Ensimmäinen aine 2,5 ov MATE5172 Matematiikan historia 2,5 ov Seuraavista 18 kurssista vähintään yhdeksän. Viisi ensimmäistä ovat erittäin suositeltavia. MATE5060 Algebran peruskurssi I 2,5 ov SMAT5045 Differentiaaliyhtälöt 2,5 ov MATE5059 Geometria 2,5 ov MATE5114 Logiikka 2,5 ov SMAT5001 Todennäköisyyslaskenta I 2,5 ov MATE5061 Algebran peruskurssi II 2,5 ov MATE5074 Algoritminen matematiikka 2,5 ov MATE5033 Funktioteoria 2,5 ov MATE5255 Fourier-analyysi 2,5 ov MATE5039 Kombinatoriikka 2,5 ov MATE5123 Lukuteoria 2,5 ov MATE5026 Metriset avaruudet 2,5 ov SMAT5031 Numeerinen analyysi I 2,5 ov SMAT5032 Numeerinen analyysi II 2,5 ov SMAT5108 Matemaattinen optimointi I 2,5 ov SMAT5109 Matemaattinen optimointi II 2,5 ov SMAT5066 Todennäköisyyslaskenta II 2,5 ov MATE5021 Usean muuttujan funktiot 2,5 ov 224

7 1.3. SYVENTÄVÄT OPINNOT (vähintään 25 ov) MATE5064 Toinen aine 2,5 ov MATE5207/SMAT5128 Pro gradu -tutkielma 7,5 ov MATEMATIIKKA Toinen aine voidaan korvata LuK -tutkielmalla (2,5 ov) tai opintojaksolla Sovelluksia koulumatematiikkaan (2,5 ov). Lisäksi on suoritettava vähintään 15 ov muita syventäviä opintojaksoja. Sellaisia luetellaan matemaatikon linjojen kohdassa 1.3. Luettelo vaihtelee vuosittain. Pääaineen opinnot matematiikan opettajan linjalla voidaan suorittaa myös matemaatikon linjojen vaatimusten mukaisesti. 2. Sivuaineiden opinnot matematiikan opettajan linjalla Yhdestä sivuaineesta on suoritettava vähintään 35 ov. Sivuaineiksi suositellaan jotakin fysiikan, kemian ja tietojenkäsittelyopin yhdistelmää siten, että yhdestä suoritetaan vähintään 35 ov ja yhdestä vähintään 15 ov. Sivuaineiden opintoihin pitää joka tapauksessa sisältyä vähintään 5 ov tietojenkäsittelyoppia (esim. Tietokoneiden käytön alkeet (3 ov), Matemaattiset ohjelmistot (1 ov)). Lisäksi on suoritettava opettajankoulutuksen pedagogiset opinnot (35 ov). Vaikka 15 ov opinnot toisesta sivuaineesta riittävät maisterin tutkintoon, kelpoisuus opettaa tätä ainetta peruskoulussa tai lukiossa edellyttää vähintään 35 ov opintoja. Kustakin sivuaineesta kerrotaan sen koulutusohjelman kohdalla, johon se kuuluu pääaineena. Ks. myös Sivuaineet s. 8 ja Opintojen yleisrakenne s. 7. Seuraavassa esitetään tietojenkäsittelyopin vaatimukset TIETOJENKÄSITTELYOPPI (vähintään 5 ov) Matematiikan antama opetus on merkitty *:llä. Suppea sivuaine 15 ov Ohjelmointi kouluopetuksessa 3 ov Johdatus algoritmien teoriaan* 3 ov Loput 9 ov TKO:n muille tarjoamasta 15 ov:n sivuainepaketista. Ks. tietojenkäsittelytieteen koulutusohjelma. Kuitenkin myös Matemaattiset ohjelmistot* (1 ov) ja Matematiikan tietokonetyö* (1 ov) kelpaavat. Laaja sivuaine 35 ov Kuten matemaatikon linjojen kohdassa 2.1. Lisäksi on suoritettava kurssi Ohjelmointi kouluopetuksessa 3 ov Kurssin Tietorakenteet ja algoritmit tilalle voidaan valita kurssi Johdatus algoritmien teoriaan*. 3. Muut opinnot matematiikan opettajan linjalla Kuten matemaatikon linjoilla lukuun ottamatta työharjoittelua. 225

8 OPINTOJEN AJOITUS JA LINJAN VALINTA FM -tutkinto voidaan suorittaa viidessä vuodessa. Tämä merkitsee keskimäärin 16 ov lukukautta kohti. Opintojaksot on syytä suorittaa mahdollisimman pian niille osallistumisen jälkeen. Myös tietokoneharjoitustyöt on syytä tehdä heti opintojakson kuluessa. Pääaineen perusopinnot suoritetaan yleensä ensimmäisenä lukuvuotena. Kurssille matematiikan historia kannattaa osallistua suhteellisen myöhään. Opettajankoulutuksen pedagogiset opinnot suositellaan suoritettaviksi viimeisenä opiskeluvuotena. Sivuaineiden opintojen sopivasta ajoituksesta saa tietoa ko. laitosten omista ohjeista. Kohdassa "Opintojaksojen sisältö" kerrotaan esim. kullakin opintojaksolla tarvittavat esitiedot. Tämä auttaa suunnittelemaan sitä, missä järjestyksessä opintojaksoille kannattaa osallistua. Linjan valinta tapahtuu yleensä toisen lukukauden jälkeen. Ehtona on, että opiskelija on suorittanut vähintään 20 ov matematiikan opintoja, joihin sisältyvät kurssit Analyysi I ja Lineaarialgebra. Linja voidaan valita myös myöhemmin ja sitä voidaan vaihtaa; kuitenkin on huomattava, että tutkinnon suorittaminen viidessä vuodessa opettajan linjalla edellyttää hyväksymistä tälle linjalle riittävän ajoissa. Matematiikan opiskeluun liittyviä ohjeita löytyy lisää verkosta osoitteesta MATEMATIIKKA MUISSA KOULUTUSOHJELMISSA Koulutusohjelman pakolliset matematiikan opinnot luetellaan kunkin koulutusohjelman kohdalla. Jos matematiikkaa suoritetaan sivuaineena siten, että opintoihin sisältyy huomattava määrä syventäviä opintoja, voi yhtenä opintojaksona olla sivuainetutkielma, jonka laajuus on 7,5 tai 10 ov. Jos matematiikan opintoja suoritetaan enemmän kuin 15 ov, niiden tulee sisältää Matematiikan perusopinnot (15 ov). Tämä ei kuitenkaan koske tietojenkäsittelytieteitä pääaineenaan opiskelevia, paitsi jos he suorittavat matematiikan opintoja 35 ov, jolloin opintoihin on sisällytettävä Matematiikan perusopinnot (15 ov) tai niitä vastaavat opinnot. Niiden opettajaksi opiskelevien, jotka suorittavat matematiikan opintoja 35 ov, tulee suorittaa myös Matematiikan aineopinnot opettajille (20 ov). Edellä esitetyt kaksi vaatimusta eivät koske luokanopettajaksi eivätkä teknisen työn opettajaksi opiskelevia. MATEMATIIKAN PERUSOPINNOT (15 ov) 226 MATE5015 Analyysi I 5 ov MATE5018 Analyysi II 5 ov MATE5043 Lineaarialgebra 5 ov Kurssit Analyysi I ja Analyysi II voidaa yleensä korvata seuraavilla kolmella kurssilla: MATE5130 Matematiikan peruskurssi I 4 ov MATE5133 Matematiikan peruskurssi II 4 ov MATE5205 Analyysin täydennyskurssi 2 ov

9 MATEMATIIKAN AINEOPINNOT OPETTAJILLE (20 ov) MATE5060 Algebran peruskurssi I 2,5 ov smat5045 Differentiaaliyhtälöt 2,5 ov MATE5059 Geometria 2,5 ov MATE5114 Logiikka 2,5 ov SMAT5003 Todennäköisyyslaskennan perusteet 2,5 ov Vapaasti valittavia matematiikan aineopintoja 7,5 ov LUOKANOPETTAJAN KOULUTUKSEN OPISKELIJOILLE MATE5141 Matematiikan sivuaineopinnot 15 ov/35 ov Sivuaineopinnot 35 ov:n laajuisena muodostuvat samoista kursseista kuin seuraavassa mainitut. TEKNISEN TYÖN OPETTAJAN KOULUTUKSEN OPISKELIJOILLE (35 ov) MATE5141 Matematiikan sivuaineopinnot 15 ov MATE5043 Lineaarialgebra 5 ov MATE5060 Algebran peruskurssi I 2,5 ov MATE5150 Analyysi C (tai MATE5033 Funktioteoria) 2,5 ov SMAT5003 Todennäköisyyslaskennan perusteet 2,5 ov MATE5059 Geometria 2,5 ov Seuraavista opintojaksoista kaksi: MATE5061 Algebran peruskurssi II 2,5 ov SMAT5045 Differentiaaliyhtälöt 2,5 ov MATE5039 Kombinatoriikka 2,5 ov MATE5123 Lukuteoria 2,5 ov MATE5172 Matematiikan historia 2,5 ov MATE5021 Usean muuttujan funktiot 2,5 ov Muita matematiikan tai sovelletun matematiikan aineopintotasoisia opintojaksoja sopimuksen mukaan. Lisätietoja antaa lehtori Kauko Lindström. MATEMATIIKAN LAAJA SIVUAINEKOKONAISUUS OPETTAJILLE (55 ov) Matematiikan 35 ov sivuainekokonaisuuden lisäksi matematiikan aineopintoja 7,5 ov. Lisäksi matematiikan syventäviä kursseja 12,5 ov opiskelijan valinnan mukaan. Syventäviä kursseja on lueteltu matemaatikon linjojen kohdassa 1.3. Aineet ja tutkielmat eivät käy tähän kokonaisuuteen, kurssi Sovelluksia koulumatematiikkaan sen sijaan aineopintona kelpaa. 227

10 OPINTOJAKSOJEN SISÄLTÖ MATE5060 Algebran peruskurssi I (2,5 ov) Sisältö: Aluksi täydennetään lineaarialgebran tuntemusta käsittelemällä lineaaristen kuvausten teoriaa. Tämän jälkeen esitetään ryhmäteorian perusmääritelmät ja niitä koskevat tulokset. Esitiedot: Lineaarialgebra. Suoritustapa: Luennot (28 h, Lahtonen), demonstraatiot (14 h), tentti. Luennoidaan kevätlukukaudella. Kirjallisuus: Luentomoniste; Ayres, F.: Theory and Problems of Modern Algebra; Herstein, I.: Abstract Algebra; Lipschutz, S.: Theory and Problems of Linear Algebra; Murdoch, D.C.: Linear Algebra. Linja ja taso: A, TM, LA, MM; aineopinnot. MATE5061 Algebran peruskurssi II (2,5 ov) Sisältö: Ryhmät, renkaat, kunnat. Esitiedot: Algebran peruskurssi I. Suoritustapa: Luennot (28 h, Lahtonen), demonstraatiot (14 h), tentti. Luennoidaan kevätlukukaudella. Kirjallisuus: Luentomoniste; Ayres, F.: Theory and Problems of Modern Algebra; Herstein, I.: Abstract Algebra; Cohn, P.M.: Algebra, vol. 1. Linja ja taso: A, TM, LA, MM; aineopinnot. MATE5055 Algebra (5 ov) Sisältö: Jatketaan algebran peruskurssilla aloitettua ryhmien ja kuntien käsittelyä. Kun peruskurssilla oli tyydyttävä teorian alkeisiin, nyt saadaan paljon kiintoisampia tuloksia. Esitetään mm. äärellisten kuntien peruslauseet, kuntien Galois n teorian pääkohdat ja Abelin ryhmien rakennelauseita. Viimeksi mainittuja varten käsitellään moduleita, jotka samalla auttavat ymmärtämään paremmin lineaarialgebraa. Algebran kurssi muodostaa hyödyllisen, usein jopa välttämättömän pohjan monille eri alojen syventäville kursseille. Esitiedot: Algebran peruskurssi II. Suoritustapa: Luennot (56 h, Metsänkylä), demonstraatiot (28 h), välikokeet tai tentti. Luennoidaan syyslukukaudella. Opintojaksoon liittyvä kirjallisuus: Luentomoniste; Cohn, P.M.: Algebra; Herstein, I.: Abstract Algebra; Jacobson, N.: Basic Algebra. Linja ja taso: LA, TM; syventävät opinnot. MATE5074 Algoritminen matematiikka (2,5 ov) Sisältö: Kehitetään algoritmista ajattelua. Tämä on tärkeää useiden syventävien luentokurssien kuten kryptografian ja algoritmien kompleksisuusteorian seuraamiseksi - ovathan monet modernin matematiikan probleemat luonteeltaan algoritmisia. Sovelletaan algoritmista ajattelua etupäässä lukuteoreettisiin tehtäviin. Esimerkkinä voisi mainita Eukleideen algoritmin kompleksisuuden määräämisen. Esitiedot:. Matematiikan perusopinnot, lukuteorian tuntemus on eduksi. Suoritustapa: Luennot (28 h, Renvall.), demonstraatiot (14 h), tentti. Luennoidaan syyslukukaudella. Kirjallisuus: H.S. Wilf: Algorithms and Complexity, Prentice-Hall, Linja ja taso: TM; aineopinnot. 228

11 MATE5019/MATE5015 Analyysi I (5 ov) Sisältö: Joukko, relaatio ja funktio, reaali- ja kompleksiluvut, alkeisfunktioista, lukujonon ja funktion raja-arvo, jatkuva funktio ja sen perusominaisuuksia, derivaatta ja derivoituvan funktion perusominaisuuksia, osittaisderivaatta, määräämätön integraali, yksinkertaisia integroimismenetelmiä. Suoritustapa: Luennot (56 h, Laakso (mat), Neuvonen (muut)), demonstraati-ot (28 h + 10 h), välikokeet tai tentti. Luennoidaan syyslukukaudella. Kirjallisuus: Luentomoniste; Clark, C.W.: Elementary Mathematical Analysis; Edwards, Jr., C.H., Penney, D.E.: Calculus and Analytic Geometry; Spiegel, M.: Advanced Calculus. Taso: Perusopinnot. MATE5020/MATE5018 Analyysi II (5 ov) Sisältö: Riemannin integraali ja sen sovelluksia, epäoleellinen integraali, sarjoista, tasainen suppeneminen, potenssisarjoista, alkeisfunktioiden Taylorin sarjakehitelmä ja sen sovelluksia, usean muuttujan funktion differentiaali- ja integraalilaskennan alkeita. Esitiedot: Analyysi I. Suoritustapa: Luennot (56 h, Laakso (mat), Neuvonen (muut)), demonstraatiot (28 h), välikokeet tai tentti. Luennoidaan kevätlukukaudella. Kirjallisuus: Luentomoniste; Clark, C.W.: Elementary Mathematical Analysis; Edwards, Jr., C.H., Penney, D.E.: Calculus and Analytic Geometry; Spiegel, M.: Advanced Calculus. Taso: Perusopinnot. MATE5205 Analyysin täydennyskurssi (2 ov) Sisältö: Syvennetään Matematiikan peruskurssien I ja II (4+4 ov) tiedot analyysin kurssien Analyysi I ja II (5+5 ov) tasolle. Esitiedot: Matematiikan peruskurssi I ja II. Opintojaksoon liittyvä kirjallisuus: Luentomoniste. Suoritustapa: Luennot (28 h, Koppinen), demonstraatiot (14 h), tentti. Luennoidaan kevätlukukaudella. MATE5023 Differentiaaligeometria (5 ov) Sisältö: Kun Einstein esitti yleisessä suhteellisuusteoriassaan avaruusajan kaareutuvan gravitaation vaikutuksesta, asian matemaattiseen muotoiluun sopi Riemannin yli puoli vuosisataa aikaisemmin kehittämä geometrinen järjestelmä. Sisäisesti määritellyn kaarevuuden ja muiden Riemannin geometrian peruskäsitteiden ohella tällä kurssilla käsitellään yleistä monistojen teoriaa. Esiteltäviin käsitteisiin kuuluvat mm. vektori- ja tensorikimput sekä differentiaalimuodot ja niihin liittyvä integrointiteoria. Lien ryhmien perusteoriaa sivutaan myös. Kurssin yhtenä tavoitteena on helpottaa eri formalismeja käyttävien suhteellisuusteorian ja analyyttisen mekaniikan esitysten ymmärtämistä, vaikka itse fysiikkaan ei juuri kajotakaan. Esitiedot: Usean muuttujan funktiot, Metriset avaruudet. Opintojaksoon liittyvä kirjallisuus: Luentomoniste. Suoritustapa: Luennot (56 h, Ylinen), demonstraatiot (28 h), tentti. Luennoidaan kevätlukukaudella. Linja ja taso: A; syventävät opinnot SMAT5045 Differentiaaliyhtälöt (2,5 ov) Sisältö: Differentiaaliyhtälöt ovat hyvin tärkeä työväline monia eri alan probleemoja mallinnettaessa. Niitä käytetään kuvaamaan muun muassa biologian, fysiikan, lääketieteen ja taloustieteen ilmiöitä. Lisäksi differentiaaliyhtälöt muodostavat puhtaasti matemaattisesti 229

12 mielenkiintoisen ja haastavan alueen. Kurssilla tutustutaan jonkin verran differentiaaliyhtälöiden teoriaan, mutta pääasiallisesti keskitytään ratkaisumenetelmiin ja kvalitatiiviseen analyysin. Viimeksi mainitun avulla systeemistä, jota kuvataan differentiaaliyhtälöillä, voidaan saada paljonkin hyödyllistä tietoa itse yhtälöitä ratkaisematta. Numeerisiin menetelmiin ei kurssilla perehdytä, joskin hyvin lyhyt johdatus esittelee, mistä niissä on kyse. Esitiedot: Analyysi II (alku). Suoritustapa: Luennot (28 h, Parviainen), demonstraatiot (14 h), tentti. Luennoidaan kevätlukukaudella. Kirjallisuus: Luentomoniste. Linja ja taso: A, MM; aineopinnot. MATE5260 Diskreetti matematiikka I (2,5 ov) Sisältö: Käsitellään tietotekniikan tarvitsemia diskreetin matematiikan perusteita. Tässä kurssissa tarkastellaan joukkoja ja relaatioita sekä automaatteja ja formaalisia kieliä. Suoritustapa: Luennot (28 h, E. Jurvanen), demonstraatiot (14 h), tentti. Kurssi luennoidaan keväisin. MATE5261 Diskreetti matematiikka II (2,5 ov) Sisältö: Kurssi on jatkoa opintojaksolle Diskreetti matematiikka II. Kurssilla tarkastellaan rakenteellista induktiota ja rekursiota, Boolen algebroja ja matriiseja, kombinatoriikkaa ja graafeja. Esitiedot: Diskreetti matematiikka I. Suoritustapa: Luennot (28 h, E. Jurvanen), demonstraatiot (14 h), tentti. Kurssi luennoidaan keväisin. SMAT5147 Discrete dynamical systems (5 ov) Contents: Many models of physical processes are formulated as discrete dynamical systems. What are the long-term predictions of such models? Are these predictions "stable" in the sence that small changes in the initial state of the system or in the structure of the model itself produce small changes in the predictions? And what is the effect of errors that may arise as round-off errors in numerical simulations, or from approximation of the true process that is being modeled, or from external influences on orbits of the model? These are the motivating questions of this course. A sample of concepts and topics that we shall encounter: Invariant sets, omega limit sets, rough orbit, chain recurrent sets, linearization and local stability analysis, stable and unstable manifolds, topological conjugacy, shadowing, structural stability, bifurcation, topological entropy and others. These will be dealt with in a general setting, illustrated with concrete examples. Prior knowledge: The student is assumed to be familiar with linear algebra and calculus of several variables. Notions from the topology of metric spaces will be reviewed as needed. Performance: Lectures (56 h, Geritz), exercises (28 h), exam. Offered in spring semester. Linja ja taso: A, MM; syventävät opinnot. MATE5062 Ensimmäinen aine (2,5 ov) Sisältö: Harjoitellaan ja kehitetään itsenäistä matemaattista työskentelyä ja omakohtaista kirjallista matemaattista ilmaisua. Työskentely tapahtuu kirjallisuuden pohjalta ja pyrkii siten totuttamaan alan kirjallisuuden käyttöön. Esitiedot: Matematiikan perusopinnot suoritettuna, 15 ov matematiikan aineopintoja kuunneltuna. Ennen aineen kirjoitusta on mahdollista osallistua Matemaattisen tekstintuottamisen seminaariin. 230

13 Suoritustapa: Ohjauksen alainen omakohtainen matemaattinen kirjoitustyö ja mahdolliset tietokonetyöt. Opiskelijan hakiessa aineen aihetta määrätään opettaja, joka ohjaa aineen kirjoittamista ja tarkastaa sen. Ohjeet aineen aiheen hakemista varten ovat ilmoitustauluilla. Taso: Aineopinnot. MATE5255 Fourier-analyysi (2,5 ov) Sisältö: Fourier-analyysin perinteisiä ilmenemismuotoja ovat Fourier-sarjat ja muunnokset. Niissä perusideana on funktion jakaminen sinimuotoisiin komponentteihin. Myöhemmin ovat mukaan tulleet diskreetit Fourier-muunnokset. Fourier-analyysin käyttö ulottuu hyvin laajalle alueelle puhtaimmasta matematiikasta digitaaliseen signaalinkäsittelyyn. Esitiedot: Analyysi II (mat. ko. monisteiden laajuudessa), differentiaaliyhtälöiden ja funktioteorian tuntemus on hyödyksi. Suoritustapa: Luennot (28 h, Soittola), demonstraatiot (14 h), tentti. Luennoidaan kevätlukukaudella. Kirjallisuus: Luentotiivistelmä. Linja ja taso: A, LA, TM, MM; aineopinnot. MATE5134 Fourier-analyysi ja aallokkeet (5 ov) Sisältö: Klassinen Fourier-analyysi on puhtaan ja sovelletun analyysin perusteorioita ja menetelmiä, joka tietyissä yhteyksissä, kuten teoreettisessa fysiikassa tai signaalinkäsittelyssä, on kuitenkin toisinaan osoittautunut liian rajoittuneeksi tai epätarkoituksenmukaiseksi. Näistä syistä Fourier-analyysia on pyritty laajentamaan eri tavoin, esimerkiksi 1940-luvulla (Laurent Schwarz) ns. yleistetyille funktioille eli distribuutioille. Uusimpana aaltona on viimeisten 20 vuoden aikana tutkittu intensiivisesti ns. aallokkeiden (wavelets) teoriaa ja sovelluksia, mitä voidaan luonnehtia lokaaliseksi Fourier-analyysiksi. Kurssissa tarkastellaan klassiselta pohjalta lähtien edellä mainittuja teorian laajennuksia. Esitiedot: Fourier-analyysin ja abstraktin analyysin perusasiat. Suoritustapa: Luennot (56 h, Jutila), demonstraatiot (28 h), tentti. Luennoidaan kevätlukukaudella. Kirjallisuus: Luentomoniste; Richard M. Beals: Advanced mathematical Analysis; Eugenio Hernández, Guido Weiss: A First Course on Wavelets. Linja ja taso: A, TM; syventävät opinnot SMAT5090 Funktionaalianalyysin perusteet (5 ov) Sisältö: Funktionaalianalyysi on modernin matematiikan peruskiviä. Tämä kurssi luo pohjan niin puhtaan kuin sovelletun matematiikan sekä fysiikan myöhemmille opinnoille. Käsiteltäviä aiheita ovat: yleinen topologia mukaa lukien Mooren ja Smithin suppenemisen käsite, lineaarialgebra, Zornin lemma, Banachin ja Hilbertin avaruudet, operaattoriteorian alkeet, Hahnin ja Banachin lause, Banachin ja Steinhausin lause, avoimen kuvauksen lause sekä suljetun graafin lause. Esitiedot: Matematiikan perusopinnot, Metriset avaruudet Suoritustapa: Luennot (56 h, Gyllenberg), demonstraatiot (28 h), tentti. Luennoidaan kevätlukukaudella. Linja ja taso: A, LA, MM; syventävät opinnot 231

14 MATE5033 Funktioteoria (2,5 ov) Sisältö: Kompleksimuuttujan funktioiden teoriaa, erityisesti residymenetelmä integraalien laskemiseksi. Esitiedot: Usean muuttujan funktiot. Suoritustapa: Luennot (28 h, ilm. myöh.), demonstraatiot (14 h), välikokeet tai tentti. Luennoidaan kevätlukukaudella. Kirjallisuus: Luentomoniste. Linja ja taso: A, LA, MM; aineopinnot. MATE5059 Geometria (2,5 ov) Sisältö: Tarkoituksena on antaa yleiskuva alkeisgeometrian rakenteesta ja päätuloksista. Esitiedot: Lineaarialgebra ja Algebran peruskurssi I. Suoritustapa: Luennot (28 h, Soittola), demonstraatiot (14 h), tentti. Luennoidaan syyslukukaudella. Kirjallisuus: Luentomoniste. Taso: Aineopinnot. MATE5247 Insinöörimatematiikka I (5 ov) Sisältö: Joukkot, relaatiot ja funktiot. Lineaarialgebran alkeita. Kompleksiluvut. Reaalifunktion raja-arvo ja jatkuvuus. Derivaatta sovelluksineen. Taylorin polynomit. Integraali sovelluksineen. Tutustutaan läpäisyperiaatteella Maple-matematiikkaohjelman käyttöön. Suoritustapa: Luennot (56 h, Latikka), demonstraatiot (28 h), ohjatut laskuharjoitukset (28 h), välikokeet tai lopputentti. Luennoidaan syyslukukaudella. Kirjallisuus: Luennot seuraavat pääosin kirjaa Adams R. A.: Calculus, a Complete Course. Lisäksi luennoilla jaetaan erillisiä lyhyehköjä monisteita. MATE5249 Insinöörimatematiikka II (5 ov) Sisältö: Differentiaaliyhtälöt. Laplace-muunnokset. Monen muuttujan funktioiden differentiaali- ja integraalilaskentaa. Vektorianalyysin alkeita. Lukujonot ja numeeriset sarjat. Funktiosarjat. Suoritustapa: Luennot (56 h, Latikka), demonstraatiot (28 h), ohjatut laskuharjoitukset (28 h) välikokeet tai lopputentti. Luennoidaan kevätlukukaudella. Kirjallisuus: Luennot seuraavat pääosin kirjaa Adams R. A.: Calculus, a Complete Course. Lisäksi luennoilla jaetaan lyhyehköjä monisteita. MATE5065 Kolmas aine (2,5 ov) Sisältö: Kuten Toisen aineen sisältö. Esitiedot: Aineen aihetta haettaessa Toisen aineen on oltava hyväksytty. Suoritustapa: Suoritetaan kuten Ensimmäinen aine. Taso: Syventävät opinnot. MATE5039 Kombinatoriikka (2,5 ov) Sisältö: Kombinatoriikka on hyvin monivivahteinen alue, jossa useat keskeiset probleemat ovat mielenkiintoisia ja helposti esitettäviä, mutta vaikeasti ratkaistavia. Kurssilla käsitellään mm. 1. perusmenetelmiä (kuten lokeroperiaate); 2. permutaatioita, kombinaatioita ja binomikertoimia; 3. kombinatorisia algoritmeja; 4. rekursioita ja rekursiivista optimointia; 5. generoivia funktioita. Esitiedot: Ensimmäisen lukuvuoden opintojaksot. Suoritustapa: Luennot (28 h, ilm. myöh.), demonstraatiot (14 h), tentti. Luennoidaan kevätlukukaudella. 232

15 Kirjallisuus: Luentomoniste. Linja ja taso: TM; aineopinnot. MATE5216/MATE5043 Lineaarialgebra (5 ov) Sisältö: Analyyttistä avaruusgeometriaa, determinantit ja matriisit, lineaariset yhtälöryhmät, vektoriavaruus, sisätulo, matriisin ominaisarvot. Suoritustapa: Luennot (56 h, Kari (mat), Koppinen (muut)), demonstraatiot (28 h ), välikokeet tai tentti. Luennoidaan syyslukukaudella. Kirjallisuus: Luentomoniste; Murdoch, D.C.: Linear Algebra; Lipschutz, S.: Theory and Problems of Linear Algebra. Taso: Perusopinnot. MATE5114 Logiikka (2,5 ov) Sisältö: Opintojakso on johdatus klassilliseen matemaattiseen logiikkaan. Tarkastelemme propositiologiikan syntaksia ja semantiikkaa, Boolen algebroja, propositioiden normaalimuotoja ja sieventämistä, totuusfunktioita ja loogisia piirejä, sekä tautologisuuden toteamista. Predikaattilogiikassa keskitytään sen syntaksiin ja malliteorian peruskäsitteisiin sekä harjoitellaan matemaattisten käsitteiden formalisoimista ensimmäisen kertaluvun kielillä. Esitiedot: Algebran peruskurssi tai Algebra (TKO). Suoritustapa: Luennot (28 h, Steinby), demonstraatiot (14 h), tentti. Luennoidaan kevätlukukaudella. Kirjallisuus: Luentomoniste. Linja ja taso: TM; aineopinnot. MATE5228/SMAT5070 LuK -tutkielma (2,5 ov) Sisältö: Kuten Toisessa aineessa. Esitiedot: Kuten Toisessa aineessa. Suoritustapa: Ohjauksen alainen omakohtainen matemaattinen kirjoitustyö ja mahdolliset tietokonetyöt. Opiskelijan hakiessa LuK -tutkielman aihetta määrätään opettaja, joka ohjaa tutkielman kirjoittamista ja tarkastaa sen. LuK -tutkielmaan liittyy erillinen kirjallinen kypsyysnäyte. MATE5123 Lukuteoria (2,5 ov) Sisältö: Lukuteorian alkeita, mm. kokonaislukujen jaollisuus ja tekijöihinjako, kongruenssit, lineaariset Diofantoksen yhtälöt, primitiiviset juuret, indeksit, neliönjäännökset, lukuteoreettisista funktioista. Huomiota kiinnitetään myös lukuteorian sovelluksiin, jotka ovat viime aikoina merkittävästi lisääntyneet. Esitiedot: Algebran peruskurssi II. Suoritustapa: Luennot (28 h, ilm. myöh.), demonstraatiot (14 h), tentti. Luennoidaan syyslukukaudella. Kirjallisuus: Luentomoniste. Linja ja taso: LA, TM; aineopinnot. SMAT5108 Matemaattinen optimointi I (2,5 ov) Sisältö: Mallinnus, lineaarinen optimointi, verkostomallit. Esitiedot: Ensimmäisen vuoden matematiikan opinnot. Suoritustapa: Luennot (32 h, Leipälä), demonstraatiot (9 h), tentti. Luennoidaan kevätlukukaudella. Kirjallisuus: Winston, W.L.: Operations Research. Linja ja taso: A, MM; aineopinnot. 233

16 SMAT5109 Matemaattinen optimointi II (2,5 ov) Sisältö: Kokonaislukuoptimointi, dynaaminen optimointi, monitavoiteoptimointi, heuristiset menetelmät, globaalinen optimointi varastoteoria. Esitiedot: Operaatioanalyysi I tai optimointi I. Suoritustapa: Luennot (28 h, Leipälä), demonstraatiot (7 h), tietokonetyö, tentti. Luennoidaan kevätlukukaudella. Linja ja taso: A, MM; aineopinnot. SMAT5111 Matemaattisen tekstintuottamisen seminaari (0,5 ov) Sisältö: Seminaarissa käydään läpi Aineenkirjoituksen opas, perehdytään suomen kieleen ja tutustutaan tekstinkäsittelyohjelmiin (LaTeX, Word). Pidetään erittäin suotavana, että jokainen sovelletun matematiikan opiskelija osallistuisi ennen ensimmäisen aineen kirjoittamista seminaariin. Esitiedot: Matematiikan perusopinnot suoritettuna, 15 ov matematiikan aineopintoja kuunneltuna. Suoritustapa: Luennot ja ohjatut demonstraatiot mikroluokassa (4h, ilm. myöh.), luentokuulustelu. Luennoidaan kevätlukukaudella. Opintojaksoon liittyvä kirjallisuus: Ruskeepää, H.: Aineenkirjoituksen opas. Taso: Aineopinnot. SMAT5046 Matemaattiset ohjelmistot (1 ov) Sisältö: Tutustutaan Mathematica- ja Derive-ohjelmistoihin. Näillä ohjelmistoilla voidaan laskea symbolisesti ja numeerisesti, tuottaa matemaattista grafiikkaa ja ohjelmoida. Esitiedot: Ensimmäisen vuoden matematiikan opinnot. Suoritustapa: Ohjatut demonstraatiot mikroluokassa (14 h, Parviainen), harjoitustyöt. Luennoidaan syyslukukaudella. Kirjallisuus: Ruskeepää: Mathematica-opas: Versio 4. MATE5172 Matematiikan historia (2,5 ov) Sisältö: Yleiskatsaus matematiikan kehitykseen esihistoriallisista ajoista nykypäiviin. Keskeisiä teemoja ovat mm. luvun käsitteen kehittyminen, matemaattisten teorioiden yleinen luonne ja sitä koskevien käsitysten muuttuminen sekä matematiikan suhde eksakteihin luonnontieteisiin. Suoritustapa: Kirjatentti, jossa tentitään H. Tarnasen moniste Matematikan historia. Monistetta myy laitoksen kanslia. Tentti koostuu suullisesta ja kirjallisesta kuulustelusta, joihin osallistumisesta tulee erikseen sopia opintojakson vastuuhenkilön Timo Neuvosen kanssa. Taso: Aineopinnot. MATE5130 Matematiikan peruskurssi I (4 ov) Sisältö: Tavoitteena on perehtyä matematiikan perusmetodeihin ja tuloksiin. Kurssi kattaa seuraavat matematiikan osa-alueet: joukot ja funktiot; trigonometria; raja-arvo ja jatkuvuus; derivaatta ja sen sovelluksia; integraali ja sen sovelluksia. Suoritustapa: Luennot (52 h, ilm. myöh.), demonstraatiot (26 h), välikokeet tai tentti. Luennoidaan syyslukukaudella. Kirjallisuus: Luentomoniste; Ayres, F.: Theory and Problems of Differential and Integral Calculus; Lipschutz, S.: Theory and Problems of Finite Mathematics. 234

17 MATE5133 Matematiikan peruskurssi II (4 ov) Sisältö: Determinanteista ja matriiseista, vektorialgebraa, analyyttistä avaruusgeometriaa, tilastotiedettä ja todennäköisyyslaskentaa, sarjoista, usean muuttujan funktioista, differentiaaliyhtälöistä. Esitiedot: Matematiikan peruskurssi I. Suoritustapa: Luennot (56 h, ilm. myöh.), demonstraatiot (28 h), välikokeet tai tentti. Luennoidaan kevätlukukaudella. Kirjallisuus: Luentomoniste; Ayres, F.: Theory and Problems of Differential and Integral Calculus; Lipschutz, S.: Theory and Problems of Finite Mathematics. MATE5141 Matematiikan sivuaineopinnot (15 ov) Sisältö: Tavoitteena on matematiikan perusteiden tuntemus, edellytykset matematiikan kehityksen seuraamiseen, valmiudet jatkuvaan opiskeluun ja valmiudet itsenäiseen toimintaan opettajana. Opintojaksolla käsitellään seuraavia asioita: logiikkaa ja joukko-oppia, alkeisfunktiot, todennäköisyys-laskentaa, raja-arvo ja jatkuvuus, differentiaali- ja integraalilaskentaa, differentiaaliyhtälöitä, sarjoja, determinantteja ja matriiseja, vektorilaskentaa, analyyttistä avaruusgeometriaa, usean muuttujan funktioita, algebraa, mikrotietokoneita ja niiden valmisohjelmia (esim. tekstinkäsittely ja symbolinen laskenta). Suoritustapa: Luennot (152 h, Lindström), demonstraatiot (100 h, Lindström), välikokeet tai tentti. Luennoidaan syys - kevätlukukaudella. Kirjallisuus: Luentomonisteet. MATE5219 Matematiikan tietokonetyö I (1 ov) Sisältö: Syvennetään opintojaksolla Ohjelmoinnin alkeet tai Ohjelmoinnin peruskurssi opittuja asioita toteuttamalla ohjelmasysteemi matematiikan joltakin alalta. Aihe voi liittyä esimerkiksi alkuvuosien matematiikan opintojaksoihin, matematiikan opetukseen tai teollisuudesta tai liike-elämästä saatuun ongelmaan. Kurssi sopii matematiikan koulutusohjelmassa tietojenkäsittelyopin opintoihin. Esitiedot: Matematiikan perusopinnot, Ohjelmoinnin alkeet tai Ohjelmoinnin peruskurssi. Suoritustapa: Tietokonetyö ja siihen liittyvä työselostus. Työ suoritetaan ryhmässä tai yksin. Työn aihetta haettaessa nimetään opettaja, joka ohjaa työtä ja tarkastaa sen. MATE5220 Matematiikan tietokonetyö II (1 ov) Sisältö: Kuten Matematiikan tietokonetyö I. Esitiedot: 15 ov matematiikan aine- ja syventäviä opintoja, Matematiikan tietokonetyö I, Tietorakenteet ja algoritmit. Suoritustapa: Kuten Matematiikan tietokonetyö I. MATE5026 Metriset avaruudet (2,5 ov) Sisältö: Johdatus metristen avaruuksien topologiaan siten esitettynä, että soveltuvin osin käsitteet ja tulokset on helppo yleistää topologisiin avaruuksiin. Metristen avaruuksien erityispiirteet tulevat esiin mm. tasaisen jatkuvuuden, täydellisyyden ja kompaktiuden yhteydessä. Sovelluksissa esiintyy sisätuloavaruuksia ja muita normiavaruuksia. Esitiedot: Usean muuttujan funktiot. Suoritustapa: Luennot (28 h, Ylinen), demonstraatiot (14 h), tentti. Luennoidaan syyslukukaudella. Kirjallisuus: Luentomoniste. Linja ja taso: A, LA, MM; aineopinnot. 235

18 SMAT5091 Mittateoria (2,5 ov) Sisältö: Kurssilla käsitellään oleelliset perustiedot Mittateoriasta, joka on tärkeä matemaattisen analyysin osa-alue. Mittateoria antaa matemaattisen perustan todennäköisyyslaskennalle ja tilastotieteelle. Esitiedot: Analyysi II, Metriset avaruudet. Suoritustapa: Luennot (28 h, Anttila), demonstraatiot (14 h), tentti. Luennoidaan syyslukukaudella. Kirjallisuus: Luentomoniste. Linja ja taso: A, MM; syventävät opinnot. MATE5135 Modulimuodot (5 ov) Sisältö: Modulimuotojen teoria on analyyttisen lukuteorian ja funktioteorian välimaastoon sijoittuva perinteinen ja toisaalta moderni matematiikan ala, joka esimerkiksi näytteli osaa A. Wilesin todistuksessa Fermat n väittämälle. Kurssin eräitä pääkohtia ovat Möbiuksen kuvaukset, hyperbolinen geometria, elliptiset funktiot ja niiden yhteys elliptisiin käyriin sekä modulimuotojen perusominaisuudet lukuteoreettisine sovelluksineen. Esitiedot: Lukuteoria, Lukuteorian jatkokurssi, Funktioteoria. Suoritustapa: Luennot (56 h, Jutila), demonstraatiot (28 h), tentti. Luennoidaan syyslukukaudella. Kirjallisuus: Luentomoniste; Tom M. Apostol: Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory; Max Koecher, Alois Krieg: Elliptische Funktionen und Modulformen. Linja ja taso: A, LA; syventävät opinnot. SMAT5031 Numeerinen analyysi I (2,5 ov) Sisältö: Tavoitteena on numeerisen ratkaisun luonteen ymmärtäminen ja yksinkertaisimpien ratkaisualgoritmien johtaminen ja soveltaminen. Esitiedot: Analyysi II, Lineaarialgebra, Ohjelmoinnin peruskurssi tai Matemaattiset ohjelmistot. Suoritustapa: Luennot (26 h, Leipälä), demonstraatiot (6 h), tentti, tietokonetyö. Luennoidaan syyslukukaudella. Kirjallisuus: Haataja, J., Käpyaho, J., Rahola, J.: Numeeriset menetelmät käytännössä. Linja ja taso: MM; aineopinnot. MATE5158 p-adiset luvut (5 ov) Sisältö: p-adiset luvut ovat reaalilukujen analogioita, jotka saadaan, kun rationaalilukujen kuntaa laajennetaan käyttäen sen ns. p-adista metriikkaa (itseisarvon antaman metriikan sijasta). p-adisten lukujen teoria tarjoaa uuden näkökulman klassiseen reaalilukujen maailmaan ja on ennen kaikkea osoittautunut hyödylliseksi monissa algebran ja lukuteorian kysymyksissä. Niinpä teorian alkeet sisältyvät useimpiin näiden alojen moderneihin yleisoppikirjoihin. Esitiedot: Algebran peruskurssi, Lukuteorian peruskäsitteitä. Suoritustapa: Luennot (56 h, Metsänkylä), demonstraatiot (28 h), välikokeet tai loppukuulustelu. Luennoidaan kevätlukukaudella. Opintojaksoon liittyvä kirjallisuus: Luentomoniste; Koblitz, N.: p-adic numbers, p-adic analysis and zeta-functions ; Mahler, K.: p-adic numbers and their functions. Ala ja taso: LA; syventävät opinnot. MATE5108/SMAT5127/MATE5207/SMAT5128 Pro gradu -tutkielma (10 tai 7,5 ov) Sisältö: Matematiikasta tehtävä pro gradu -tutkielma perustuu pääasiassa kirjallisuuteen. Sovelletusta matematiikasta tehtävä pro gradu -tutkielma voi liittyä esim. teollisuudesta tai 236

19 liike-elämästä saatuun ongelmaan. Pro gradu -tutkielmassa opiskelija harjaannutetaan tekemään teoreettisia ja käytännöllisiä selvityksiä tieteellisen kirjallisuuden avulla sekä esittämään tulokset kirjallisessa muodossa. Lisäksi syvennetään opiskelijan tietoa tutkielmassa käsiteltävästä aiheesta ja luodaan pohja jatko-opintojen suorittamiseen. Matematiikan opettajan linjalla pro gradu -tutkielma on hieman suppeampi (7,5 ov) kuin muiden linjojen pro gradu -tutkielmat (10 ov). Esitiedot: Aihetta haettaessa on Kolmannen (matematiikan opettajan linjalla Toisen ) aineen oltava hyväksytty. Aihe haetaan tietyltä linjalta, jota tukevia syventäviä opintoja on oltava suoritettuna matemaatikon linjoilla vähintään 10 ov ja matematiikan opettajan linjalla vähintään 5 ov. Suoritustapa: Ohjauksen alainen omakohtainen työ, mahdolliset tietokonetyöt ja laaja matemaattinen kirjoitustyö. Opiskelijan hakiessa pro gradu -tutkielman aihetta määrätään opettaja, joka ohjaa tutkielman kirjoittamista. Pro gradu -tutkielman tarkastaa ohjaajan lisäksi toinen opettaja ja sen hyväksymisestä päättää laitosneuvosto. Pro gradu -tutkielma voidaan laatia myös kahden tai useamman opiskelijan ryhmätyönä tai osana laajempaa tutkimusta edellyttäen, että kunkin opiskelijan itsenäinen osuus voidaan osoittaa ja arvioida. Pro gradu -tutkielmaan liittyy erillinen kirjallinen kypsyysnäyte. Tätä varten järjestetään yleensä noin kahden tunnin pituinen tilaisuus, jossa opiskelija laatii selostuksen annetusta tutkielman piiriin kuuluvasta aiheesta osoittaakseen hallitsevansa omaan ammattialaansa liittyvää suomen kieltä. MATE5262 Semigroup Theory I (2,5 credits) Contents: The course is an introduction to Semigroup Theory. Besides basic notions, Green s relations, semigroups that are unions of groups, regular semigroups, as well as completely regular semigroups and their generalisation, Archimedean semigroups, will be discussed. Free semigroups and transformation semigroups will be used as important examples. Special attention will be devoted to the part of the software package GAP developed for studying finite semigroups. Preliminary knowledge: A basic course of abstract algebra. Performance: Lectures (28 h, Petkovic), exercises (14 h), examination. Offered in the autumn term. Recommended literature: Lecture notes; J. M. Howie: An Introduction to Semigroup Theory (1976); A. H. Clifford and G. B. Preston: The Algebraic Theory of Semigroups I, II (1961,1967). Field and level: TM, LA; syventävät opinnot MATE5236 Semigroup Theory II (2,5 credits) Contents: This is an advanced course based on the course Semigroup Theory I. It is mainly devoted to composition and decomposition methods used for constructing semigroups or analysing their structure. Our attention will be focused mostly on semilattice decompositions, various ideal extensions and band decompositions. Moreover, the connections between the structure of semigroups and the identities satisfied by them will be considered. Preliminary knowledge: Any course equivalent to the course Semigroups Theory I. Performance: Lectures (26 h, Petkovic), exercises (12 h), examination. Offered in the autumn term. Recommended literature: Lecture notes; M. Petrich: Introduction to Semigroups (1973); M. Petrich: Lectures in Semigroups (1977). Field and level: TM, LA; syventävät opinnot 237

20 MATE5241 Sovelluksia koulumatematiikkaan (2,5 ov) Sisältö: Kurssi on tarkoitettu opettajalinjalaisille ja se on vaihtoehtoinen toisen aineen kanssa. Kurssilla syvennetään ja täsmennetään tulevien opettajien näkemystä koulumatematiikassa vastaan tulevissa ongelmakohdissa. Samalla pohditaan mihin yliopisto-opintoja koulussa tarvitaan, miten motivoida koululaisia, mitä puutteita koululaisten matematiikan taidoissa on viime vuosina ilmennyt yms. Esitiedot: Mitä enemmän aineopintojen kursseja on suoritettuna sen parempi. Ensimmäisen aineen ei kuitenkaan tarvitse olla valmis ennen tälle kurssille osallistumista. Suoritustapa: Ei luennoida lukuvuonna Taso: syventävät opinnot / aineopinnot. SMAT5092 Sumea päätöksenteko (2,5 ov) Sisältö: Tarkastellaan sumeuden käsitettä ja sen sovelluksia käytännön ongelmiin. Suoritustapa: Luennot (30 h, Leipälä), tentti. Luennoidaan syyslukukaudella. Ala ja taso: A, MM; syventävät opinnot MATE5264 Tree automata and tree languages (2,5 ov) Contents: This is an introduction to the theory of tree automata and tree languages with a main emphasis on finite tree automata and regular tree languages. However, we will also consider the connections between regular tree languages and context-free languages as well as tree transformations and tree transducers. Preliminary knowledge: Basics of finite automata, context-free languages and abstract algebra. Performance: Lectures (28h Steinby), exercises (12h), examination. Offered in the spring term. Recommended literature: Lecture notes. Field and level: TM; syventävät opinnot MATE5259 Tietotekninen algebra (5 ov) Sisältö ja tavoitteet: Tarkastellaan tietotekniikan kannalta tärkeitä algebrallisia käsitteitä ja menetelmiä. Näitä ovat vektorit ja matriisit, ominaisvektorit, koordinaattimuunnokset, lineaarikuvaukset, ryhmäteorian alkeet ja kongruenssit. Suoritustapa: Luennot (56 h, E. Jurvanen), demonstraatiot (28 h), välikokeet tai tentti. Kurssi luennoidaan syksyisin. SMAT5003 Todennäköisyyslaskennan perusteet (2,5 ov) Sisältö: Tavoitteet: Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen perusteet. Sisältö: Todennäköisyys, ehdollinen todennäköisyys, kombinatoriikkaa, satunnaismuuttujat, odotusarvo, tärkeimmät jakautumat, keskeinen raja-arvolause, parametrien estimointi, hypoteesien testaus. Esitiedot: Analyysi II tai Analyysi B tai Matematiikan peruskurssi II. Suoritustapa: Luennot (28 h, ilm. myöh.), demonstraatiot (14 h), tentti. Luennoidaan syyslukukaudella. Kirjallisuus: Luentomoniste; Tuominen, Norlamo: Todennäköisyyslaskenta ; Grimmel & Welsh: Probability, an Introduction. SMAT5001 Todennäköisyyslaskenta I (2,5 ov) Sisältö: Perehdytään todennäköisyyteen ja diskreetteihin ja jatkuviin satunnaismuuttujiin. Tarkastellaan monia todennäköisyysmalleja. Esitiedot: Analyysi I, Analyysi II. 238