TAMPEREEN YLIOPISTO Pr gradu -tutkielma Emilia Kaikknen Lineaarisista taikaneliöistä ja niiden knstruinnista Infrmaatitieteiden yksikkö Matematiikan maisteripinnt Kesäkuu
Tampereen ylipist Infrmaatitieteiden yksikkö KAIKKONEN, EMILIA: Lineaarisista taikaneliöistä ja niiden knstruinnista Pr gradu -tutkielma, s. Matematiikan maisteripinnt Kesäkuu Tiivistelmä Tässä pr gradu -tutkielmassa tutustutaan lineaarisiin taikaneliöihin ja lineaaristen taikaneliöiden knstruintiin. Tutkielman sisällön ymmärtämisen kannalta keskeisimmät aihealueet käsitellään vain kertauksenmaisesti massa luvussaan, sillä lukijalta dtetaan aiempaa tietämystä lineaarialgebrasta ja algebrasta. Äärellisiin kuntiin, vektriavaruuksiin ja lukujärjestelmiin phjautuva luku timii samalla matemaattisen ajattelun herättäjänä, jsta lukija vi sujuvasti jatkaa taikaneliöiden sisältämän matematiikan pariin. Taikaneliöitä ei enää nykypäivänä pidetä ylilunnllisia minaisuuksia sisältävinä mystisinä asiina, vaan niillä n ihmisten keskuudessa enää lähinnä viihteellinen merkitys. Tässä tutkielmassa rajitutaan kertaluvun p taikaneliöihin, missä p n alkuluku. Luvussa klme tarkastellaan ensin tavallisia taikaneliötä, jnka jälkeen siirrytään lineaaristen taikaneliöiden käsittelyyn. Neljännessä luvussa esitellään menetelmä, jta vidaan hyödyntää kertaluvun p lineaaristen taikaneliöiden laadinnassa, sekä samalla perehdytään kertaluvun p lineaaristen taikaneliöiden lemassaln. Tutkielman päälähteenä n käytetty Jhn Lrchin artikkelia Magic Squares and Sudku, jka n julkaistu The American Mathematical Mnthly -lehden marraskuun numerssa vunna.
Sisältö Jhdant Herättelyä matemaattiseen ajatteluun. Äärellisistä kunnista........................ Vektriavaruuksista, aliavaruuksista ja kannista.......... Vektriavaruus........................ Aliavaruus......................... 9.. Kanta ja dimensi..................... Lukujärjestelmistä........................ Lineaariset taikaneliöt. Taikaneliö.............................. Lineaarinen taikaneliö...................... Lineaaristen taikaneliöiden knstruinti ja niiden lemassal. Lineaaristen taikaneliöiden knstruinti.............. Lineaaristen taikaneliöiden lemassal............. Viitteet
Jhdant Taikaneliö n n n-neliö (n Z + ), jka sisältää jukn numerita, tavallisesti {,,..., n } siten, että jkaisen rivin, sarakkeen ja mlempien lävistäjien sisältämät luvut summautuvat samaksi luvuksi. Tällaiset neliöt vat kiehtneet niin matemaatikkja, kuin muitakin ihmisiä j mnien vusisatjen ajan. Niiden alkuperästä ja syntyhistriasta ei tiedetä juurikaan mitään. Mnet näkemykset asiasta vat ristiriitaisia ja jpa liiiteltuja, jten varmaa tai yksikäsitteistä histriakatsausta n vaikea löytää. Seuraavissa kappaleissa esitellään taikaneliöiden histriaa lähdetesten Befre Sudku, The Wrld f Magic Squares [] ja The Zen f Magic Squares, Circles and Stars [] avulla. Nykytietjen mukaan Kiina, Intia ja arabimaat vat lleet vahvasti mukana taikaneliöiden lumisessa. Kaikille näille kulttuureille yhteistä n se, että taikaneliöiden n ajateltu pitävän sisällään ylilunnllisia minaisuuksia. Nimitys taikaneliö spii myös hyvin yhteen niiden käyttötarkitukseen antiikissa ja keskiajalla, jllin taikaneliöitä kaiverrettiin talismaaneihin ja amuletteihin tumaan nnea ja sujelemaan pahalta. Usknnllisten ja sujelusymblien lisäksi taikaneliöitä n käytetty muun muassa tulevaisuuden ennustamisen välineenä ja tähtitieteen maailmassa. Kun taikaneliöt myöhemmin menettivät mystiset merkityksensä, ne jäivät kuitenkin pysyvästi ihmisten keskuuteen. Matemaatikt jatkivat niiden tarkastelua lukutereettiselta kannalta ja muut ihmiset ttivat ne lähinnä viihteelliseen käyttöön. Kuva. L Shu -taikaneliö. Vasemmanpuleisessa kuvassa hahmtelma kilpiknnan kilpikuviinnista ja ikealla mderni esitys samasta asiasta. Vanhin tunnettu taikaneliö ajittuu mnen tuhannen vuden takaiseen Kiinaan. Erään tarinan mukaan tullin muinaisessa Kiinassa ihmisten riesana livat valtavat tulvat, jtka tuhsivat viljelyksiä ja asuinmaata. Ihmiset kkivat tulvat jen jumalien vihana ja yrittivät hillitä tätä vihaa antamalla uhrilahjja. Yksi tulvivista jista li nimeltään L-jki, jnka jumalaa ihmiset yrittivät uhrilahjin lepyttää. Jka kerta uhrauksen jälkeen jesta nusi suuri kilpiknna, jka liikkui uhrilahjan ympärillä palaten kuitenkin aina takaisin jkeen. Tulvat jatkuivat ja näytti siltä, että jen jumala ei hyväksynyt uhrausta. Eräänä päivänä jku ihmisistä kiinnitti humin kilpiknnan kilvessä levaan ainutlaatuiseen kuviintiin. Kilvessä esiintyi pieniä pisteryppäitä, jista mudstui kknaisluvut yhdestä yhdeksään. Pisteryppäät livat
asettuneet -ruudukn mutn, jnka rivien, sarakkeiden ja lävistäjien summaksi tuli. Tämä havaint autti ihmisiä selviytymään tulvivan jen kanssa. Yhden tarinan mukaan tulviva jki saatiin aisihin uhrilahjan turvin, tinen tarina kert luvun liittyvän Kiinan aurinkkalenteriin, jka timi ihmisille apukeinna. Tämä taikaneliö tunnetaan L Shu-neliönä, ja n vanhin tiedssamme leva eli kertaluvun klme taikaneliö. Tdennäköisimmin taikaneliöt kulkeutuivat Kiinasta Intian kautta arabimaihin ja sieltä Eurppaan. Vanhimmat taikaneliöhavainnt Intiasta vat ensimmäiseltä ja arabimaista kahdeksannelta vusisadalta, kunnes tiettävästi -luvun tietämillä Manual Mschpulksen jhdlla taikaneliöt rantautuivat Eurppaan. Ensimmäiset tdisteet taikaneliöiden esiintymisestä länsimaissa paljastui kuuluisan saksalaisen taidemaalarin Albrecht Dürerin kaiverruksesta. Hänen vunna tekemän kuparikaiverrustyön Melanklia ikeaan yläkulmaan n sisällytetty -taikaneliö. Kaiverruksessa esiintyvä Dürerin neliö n yksi tunnetuimpia eurppalaisia taikaneliöitä. Kuva. Vasemmalla Albrecht Dürerin Melanklia -taidetes ja ikealla Dürerin neliö. Taikaneliöiden laatimissääntöihin alettiin ttaa vapauksia 9-luvun tienilla, ja nämä vapaammat säännöt vat mahdllistaneet uudenlaisten taikaneliövariaatiiden synnyn. Tätä ennen taikaneliöt laadittiin pitkälti käyttäen peräkkäisiä kknaislukuja luvusta yksi eteenpäin siten, että mikään luku ei tistu neliössä kahta kertaa. Uudet säännökset mahdllistivat esimerkiksi nllan sijittamisen taikaneliön alkiksi, samin kuin lukujen tistuvuus tai pis jättäminen li nyt mahdllista. Yksi tällainen vapaamman menetelmän taikaneliö n espanjalaisen kuvanveistäjä Jsep Subirachin suunnittelema taikaneliö, jka tunnetaan Sagrada Familia -taikaneliönä. Se sijaitsee Sagrada Familia -katedraalin julkisivulla Barcelnassa Espanjassa. Kyseessä n Dürerin taikaneliön tapaan -taikaneliö, jka alkaa luvusta yksi, mut-
ta sisältää luvut ja kaksi kertaa, sekä luvut ja puuttuvat. Tämän neliön rivien, sarakkeiden ja lävistäjien luvut summautuvat luvuksi, jta pidetään Jeesuksen kulinikänä. Kuva. Sagrada Familia -taikaneliö. On syytä humata, että edellä esitetyt -taikaneliöt tuttavat keskenään erisuuruiset rivi-, sarake-, ja diagnaalisummat. Dürerin neliössä nämä alkit summautuvat luvuksi, ja Sagrada Familia -neliössä kyseinen summa n. Tämä jhtuu puhtaasti siitä, että nämä taikaneliöt n laadittu eri laatimissäännöillä. Yhtenevin säännöin laaditut saman kertaluvun taikaneliöt tuttavat aina yhtä suuret rivi-, sarake- ja diagnaalisummat. Kuten j edellä n tdettu, nykyisin taikaneliöillä ei le enää ylilunnllisia tai mystisiä merkityksiä, vaan niiden rli ihmisten keskuudessa n lähinnä viihteellinen. Tässä tutkielmassa tutustutaan lineaarisiin taikaneliöihin ja katstaan, millaisella menetelmällä niitä n mahdllista knstruida suhteellisen yksinkertaisesti. Tutkielmassa rajitutaan kertaluvun p taikaneliöihin, missä p n alkuluku, ja taikaneliöön sijitetaan kknaislukuja nllasta alkaen. Tutkielman päälähteenä n käytetty Jhn Lrchin artikkelia Magic Squares and Sudku [], jka n julkaistu The American Mathematical Mnthly -lehden marraskuun numerssa vunna. Artikkelista käsitellään sivujen 9- sisältö. Luvussa kaksi n käsitelty kertauksenmaisesti keskeisimmät matemaattiset sisällöt, jtka lukijan n hallittava ymmärtääkseen tutkielman myöhempää sisältöä. Luku klme keskittyy lineaarisiin taikaneliöihin, jsta jatketaan lukuun neljä, missä perehdytään lineaaristen taikaneliöiden knstruintiin ja lemassaln.
Herättelyä matemaattiseen ajatteluun Tässä luvussa käsitellään kertauksenmaisesti keskeisimmät matemaattiset sisällöt, jtka lukijan n hallittava ymmärtääkseen tutkielman myöhempää sisältöä. Ensin käsitellään äärellisiä kuntia, jnka jälkeen siirrytään vektriavaruuksiin ja aliavaruuksiin. Lpuksi käsitellään jakyhtälöitä ja lukujärjestelmiä. Tässä luvussa useimmat tdistukset tullaan sivuuttamaan.. Äärellisistä kunnista Tässä aliluvussa kerrataan, mitä äärellisellä kunnalla tarkitetaan. Määritelmät ja lauseet phjautuvat Mark Rinta-ahn Oulun ylipistssa luennimaan Äärelliset kunnat -kurssin luentmateriaaliin vudelta []. Määritelmä.. Kmmutatiivinen rengas R {} n kunta, mikäli jkainen nllasta erava alki n kääntyvä, eli jkaisella x R n käänteisalki x R. Esimerkki.. Q, R ja C vat kuntia. Esimerkki.. Kknaislukujen jukk Z ei mudsta kuntaa, sillä esimerkiksi alkilla ei le käänteisalkita jukssa Z. Lause.. Z n n kunta, js ja vain js n n alkuluku. Määritelmä.. Olkn K kunta. Pienintä psitiivista kknaislukua n, jlle pätee + + =, } {{ } n kpl kutsutaan K:n karakteristikaksi ja merkitään char K. Lause.. Kunnan karakteristika n aina tai alkuluku. Määritelmä.. Äärellinen kunta n kunta, jnka alkiiden lukumäärä n äärellinen. Merkintä.. Äärelliselle kunnalle F, jnka kertaluku n q, käytetään merkintää F q. Esimerkki.9. Yksinkertaisin esimerkki äärellisestä kunnasta n binäärikunta F = (Z, +, ). Esimerkki.. Jäännöslukkarengas (Z p, +, ) mudstaa kunnan, jssa n p alkita. Tisin sanen Z p = {,,..., p }. Määritelmä.. Äärellisen kunnan kertaluvulla tarkitetaan kunnan alkiiden lukumäärää.
Esimerkki.. Äärellisen kunnan Z p = {,,..., p } kertaluku n p. Äärellisen kunnan rakenne n määrätty tarkin. Seuraavassa lausesssa annetaan rajitus äärellisen kunnan alkiiden lukumäärälle. Lause.. Äärellisen kunnan F kertaluku n muta p k, missä k Z + ja p = char F. Esimerkki.. Äärellisen kunnan F kertaluku n ja char F =. Taikaneliön rivit ja sarakkeet indeksöidään äärellisen kunnan F alkiiksi siten, että rivien ja sarakkeiden numerinti alkaa kunnan pienimmän alkin mukaan kasvavassa järjestyksessä ylhäältä alas, ja vasemmalta ikealle mentäessä. Näin llen, kun jatkssa taikaneliöiden yhteydessä käsittelemme kuntaa Z p, rivit ja sarakkeet vat jukn {,,..., p } alkiita. Samin alkin paikka taikaneliössä vidaan ilmaista krdinaattina (x, y) F, missä x ilmaisee rivin ja y sarakkeen. Humautus.. Taikaneliö vidaan ajatella matriisin kaltaisena rakenteena, jlle ei kuitenkaan määritellä laskutimituksia, tai jta ei perida kuten matriisia. Rivien ja sarakkeiden indeksöinnissä käytetään tavanmaista matriisien indeksöintitapaa. Esimerkki.. Jhdannssa esiintyneessä L Shu -neliössä (Kuva ) (a) rivi sisältää alkit,, (b) sarake sisältää alkit,, (c) luku 9 sijaitsee paikassa (, ).. Vektriavaruuksista, aliavaruuksista ja kannista Tässä aliluvussa määritellään vektriavaruus, aliavaruus ja vektriavaruuden kanta. Määritelmät phjautuvat Jseph J. Rtmanin kirjaan Advanced Mdern Algebra []. Terian tueksi n esitetty myös muutama helphk esimerkkitehtävä... Vektriavaruus Määritelmä.. Olkn V epätyhjä jukk, K äärellinen kunta ja jukk V varustettu laskutimituksilla + : V V V (yhteenlasku) ja : K V V (skalaarilla kertminen). Tällöin klmikka (V, +, ) santaan K-vektriavaruudeksi V, js. u + v = v + u kaikilla u, v V. (u + v) + w = u + (v + w) kaikilla u, v, w V
. yhteenlaskulla n neutraalialki, jlle kaikilla u V pätee u + = u. kaikille u V n lemassa vastavektri u V siten, että u + ( u) =. k(u + v) = ku + kv kun u, v V ja k K. (k + l)u = ku + lu kaikilla u V ja k, l K. k(lu) = (kl)u kaikilla u V ja k, l K. u = u kaikilla u V. Jukn V alkiita santaan vektreiksi ja kunnan K alkiita skalaareiksi. Esimerkki.. Olkn K n = {x = (x, x,..., x n ) x i K}, missä K n äärellinen kunta ja n N. Olkt x, y K n ja k, l K ja määritellään yhteenlasku ja skalaarilla kertminen siten, että ja x + y = (x, x,..., x n ) + (y, y,..., y n ) = (x + y, x + y,..., x n + y n ) kx = k(x, x,..., x n ) = (kx, kx,..., kx n ). Tällöin kunnan K minaisuuksista seuraa, että K n n K-kertiminen vektriavaruus, sillä se tteuttaa vektriavaruuden aksimat... Aliavaruus Määritelmä.9. Olkn V vektriavaruus ja W V epätyhjä. Js W n vektriavaruus avaruuden V peraatiiden suhteen, W n avaruuden V aliavaruus. Lause.. (Aliavaruuskriteeri) Vektriavaruuden V epätyhjä sajukk W mudstaa aliavaruuden, js ja vain js. u + v W. ku W aina, kun u, v W ja k K. Esimerkki.. Olkn W = {(k, k) k R}. Nyt W n avaruuden R alivaruus lauseen. njalla, sillä. (l, l) + (m, m) = (l + m, l + m) = (l + m, (l + m)) W. n(l, l) = (nl, n(l)) = (nl, (nl)) W, kun (l, l), (m, m) W ja n R. Esimerkki.. Vektriavaruus W = {(k, k + ) k R} ei le avaruuden R aliavaruus. Tämä vidaan tdeta sittamalla, että rig = (, ) ei kuulu jukkn W. Tarkastellaan esimerkiksi vektria (l, l + ) W. Nyt, js l =, niin l + =, jllin = (, ) / W. Näin llen W ei le aliavaruus. 9
.. Kanta ja dimensi Määritelmä.. Olkn S = {v, v,..., v n } V. Merkitään Lin(S) = {k v + k v + + k n v n k, k,..., k n K}. Vektrit, jtka kuuluvat Lin(S):ään, vat jukn S vektrien lineaarikmbinaatiita. Määritelmä.. Lineaarikmbinaatiiden jukka eli Lin(S):ää santaan jukn S virittämäksi aliavaruudeksi. Merkintä.. Jukn S virittämälle aliavaruudelle käytetään Lin(S):n lisäksi myös merkintää S. Humautus.. Aliavaruuden määritelmästä n jukn S aliavaruus..9 seuraa, että Lin(S) Määritelmä.. Olkn S = {v, v,..., v n } V. Jukk S n vapaa, mikäli seuraava eht n vimassa: js n k i v i =, i= niin Muullin S n sidttu. k = k = = k n =. Määritelmä.. Olkn S = {v, v,..., v n } V. Jukk S n vektriavaruuden V kanta, mikäli S n vapaa ja virittää V :n. Määritelmä.9. Olkn vektriavaruudella V kanta S, missä S = n <. Kannan alkiiden lukumäärää n santaan vektriavaruuden V dimensiksi ja sitä merkitään dim V = n. Santaan myös, että V n n-ultteinen. Määritelmä.. Js vektriavaruudella V n äärellinen kanta, V n äärellisultteinen. Muussa tapauksessa vektriavaruuden dimensi n ääretön. Lause.. Jkaisella vektriavaruudella V {} n kanta. Js V n äärellisultteinen, niin jkaisessa kannassa n yhtä mnta alkita. Edellisen lauseen tulksesta seuraa, että vektriavaruuden V dimensi n hyvinmääritelty. Esimerkki.. Olkn V vektriavaruus ja W sen aliavaruus. Oletetaan, että aliavaruuden W kanta n {x}, x. Kska dim W =, santaan, että W n yksiultteinen. Esimerkki.. Js aliavaruuden W kanta n, niin W n nlla-avaruus.
Esimerkki.. Tarkastellaan seuraavaksi -ruudukka, jnka rivit ja sarakkeet indeksöidään äärellisen kunnan Z alkiiksi aliluvussa. esitetyllä tavalla. Nyt pisteen (, ) virittämä yksiultteinen aliavaruus n (, ) = {r(, ) r F} = {(r, r) r F} = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, )}, jllin aliavaruuden (, ) tisistaan erilliset sivulukat vat (, ) + (, ) = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, )} (, ) + (, ) = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, )} (, ) + (, ) = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, )} (, ) + (, ) = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, )} (, ) + (, ) = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, )}. Seuraavaksi n esitetty näistä klmen ensimmäisen sivulukan sisältämät pisteet -ruudukssa niin, että kirjain X kuvastaa aina sivulukan yhtä pistettä. X X X X X X X X X X X X X X X Pisteen (, ) virittämä yksiultteinen aliavaruus (, ) pulestaan n (, ) = {r(, ) r F} = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, )}, ja aliavaruuden (, ) tisistaan erilliset sivulukat vat (, ) + (, ) = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, )} (, ) + (, ) = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, )} (, ) + (, ) = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, )} (, ) + (, ) = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, )} (, ) + (, ) = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, )}. Alla n esitetty jälleen näistä klmen ensimmäisen sivulukan pisteet ruudukkn sijitettuna. X X X X X X X X X X X X X X X
. Lukujärjestelmistä Yleisesti n ttuttu siihen, että luvut esitetään kymmenjärjestelmässä, eli luku esitetään kantaluvun ptenssisummana. Kantaluvuksi vidaan kuitenkin valita jkin muu nllasta erava lunnllinen luku n, jllin lukujärjestelmä vaihtuu n-järjestelmäksi. Kknaislukujen jakyhtälöt helpttavat lukumuunnksia lukujärjestelmien välillä, jten alitetaan aliluku jakyhtälöiden käsittelyllä. Tämän aliluvun sisältö phjautuu Jseph J. Rtmanin kirjaan A First Curse in Abstract Algebra [] sekä lauseen. tdistuksessa n hyödynnetty Eer Hyryn Tampereen ylipistssa luenniman Algebra -kurssin luentmuistiinpanja []. Määritelmä.. Olkn d N, x, q, r Z ja r < d. Tällöin yhtälöä x = qd + r santaan jakyhtälöksi. Määritelmä.. Jakyhtälön luku x n jaettava, d jakaja, q samäärä ja luku r n jakjäännös. Lause.. Olkn d N. Js x Z, niin n lemassa yksikäsitteiset q, r Z siten, että x = qd + r ja r < d. Tdistus. Ositetaan ensin lemassal. Tarkastellaan jukka M := {x qd q Z} N. Pitää sittaa, että M, eli että n lemassa q Z siten, että x qd. Js x, niin q = kelpaa. Js taas x <, niin valitaan q = x, jllin x qd = x xd = x( d). Täten N n hyvin järjestetty, jten jukssa M n pienin luku r. Nyt r M, jten jllakin q Z pätee r = x qd eli x = qd + r. Ja kska js r M, niin r. On vielä sitettava, että r < d. Tehdään vastaletus r d. Js nyt r d, niin r d ja r d = (x qd) d = x (q + )d. Siis r d M. Tämä jhtaa kuitenkin ristiriitaan, sillä nyt r d < r ja r li jukn M pienin luku. Näin llen ltava r < d. Ositetaan vielä, että jakyhtälön esitys n yksikäsitteinen. Oletetaan, että x = q d + r = q d + r, missä r < d ja r < d. Tehdään lisäletus, että r r. Tällöin r r = x q d (x q d) = (q q )d. Nyt kska r r r < d, niin (q q )d < d. Tästä seuraa, että q q <. Kska q, q Z, niin n ltava, että q = q. Näin llen r r = (q q )d =, jten r = r. []
Jakyhtälön yksikäsitteisyydestä seuraa, että jkainen lunnllinen luku n N n mahdllista esittää yksikäsitteisenä ptenssisummana valitun kantaluvun avulla niin, että n = x k d k + x k d k + + x d + x =: (x k,..., x, x ) d, missä k ja x i {,..., d } kaikilla i =,..., k. Kyseinen ptenssisumma saadaan mudstettua jakyhtälön avulla tistamalla luvulla d jakamista useamman kerran peräkkäin. Mikäli kantaluku d, se merkitään alaindeksinä näkyviin, tai sitetaan muulla tavin mitä kantalukua n käytetty (vrt. esimerkki.). Esimerkki.. Vaihdetaan Dürerin neliön alkit vastaamaan tässä tutkielmassa käytettyjä merkintöjä, jten vähennetään jkaisesta ruudusta yksi. Nyt neliö sisältää alkit λ {,,..., }. Nämä kknaisluvut vidaan esittää -järjestelmässä siten, että λ = λ + λ = λ + λ, missä λ = λ/ ja λ n jakyhtälön jakjäännös. Kknaisluku λ vidaan esittää -järjestelmässä myös niin, että λ = (λ, λ ). Dürerin neliö -järjestelmässä kirjitettuna n esitetty alla. (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,)
Lineaariset taikaneliöt Perinteisesti taikaneliöt n laadittu käyttäen peräkkäisiä kknaislukuja luvusta yksi eteenpäin siten, että mikään luku ei tistu neliössä kahta kertaa. Mutta kuten aiemmin n j llut esillä, taikaneliöiden laadinta n myös mahdllista erilaisin variaatiin. Tässä tutkielmassa taikaneliöön sijitetaan peräkkäiset kknaisluvut nllasta eteenpäin niin, että sama luku ei esiinny taikaneliön alkina kuin kerran. Tässä luvussa määritellään ensin taikaneliö ja taikasumma, jnka jälkeen siirrytään lineaarisiin taikaneliöihin, jita käsitellään alaluvussa.. Tästä eteenpäin tutkielman taustalla levana lähdekirjallisuutena n käytetty Jhn Lrchin artikkelia Magic Squares and Sudku []. Artikkelin sisältöä n täydennetty niin terian kuin esimerkkitehtävienkin salta.. Taikaneliö Määritelmä.. Taikaneliöksi kutsutaan q q-ruudukka, q >, jnka ruudut täytetään tisistaan eriävillä kknaisluvuilla {,,..., q } niin, että ruutujen sisältämien lukujen summa n sama jkaisella rivillä, sarakkeella ja lävistäjällä. Määritelmä.. Kertaluvun q taikaneliöksi santaan q q-taikaneliötä, missä q N. Esimerkki.. Pienin ei-triviaali taikaneliö n kertaluvun klme taikaneliö, sillä kertaluvun kaksi taikaneliötä ei le lemassa. Ositetaan seuraavaksi knstruimalla, että kertaluvun kaksi taikaneliö ei tsiaankaan le mahdllinen. Oletetaan, että kertaluvun kaksi taikaneliö lisi lemassa ja sisältää tisistaan eriävät kknaisluvut a, b, c, d {,,, } kuten alla n esitetty. a c b d Nyt, kska taikaneliön määritelmän mukaan jkaisen rivin, sarakkeen ja lävistäjän sisältämien alkiiden täytyy summautua samaksi luvuksi, vidaan kirjittaa, että a + b = a + c. Tästä seuraa selvästi, että b = c, mikä jhtaa ristiriitaan letuksen kanssa. Näin llen, kertaluvun kaksi taikaneliötä ei le lemassa. Kertaluvun klme taikaneliö saadaan mudstettua esimerkiksi jhdannssa esiintyneestä L Shu -neliöstä (Kuva ) vähentämällä jkaisen ruudun alkista yksi.
Kertaluvun q taikaneliön alkiiden summasta saadaan q :n alkin mudstama aritmeettinen sarja + + + + q = q ( + (q )) = q (q ). Jakamalla tämä taikaneliön alkiiden summa rivien ja sarakkeiden lukumäärällä q, saadaan q(q ), jka n yhden rivin, sarakkeen ja lävistäjän sisältämien lukujen summa. Määritelmä.. Kertalukua q levan taikaneliön rivien, sarakkeiden ja lävistäjien sisältämät luvut summautuvat luvuksi q(q )/. Tätä lukua kutsutaan taikasummaksi. Esimerkki.. Seuraava ruudukk n kertaluvun viisi taikaneliö, jnka taikasumma n, sillä jkaisen rivin, sarakkeen ja lävistäjän sisältämät alkit summautuvat luvuksi. Esimerkissä. käydään läpi vaihtehtinen tapa sittaa rivien, sarakkeiden ja lävistäjien sisältämien lukujen summa samaksi. 9 9 Tämä taikaneliö timii pääesimerkkinä tutkielman myöhemmässä vaiheessa ja siihen palataan useaan tteeseen. Esimerkki.. Tämä ruudukk ei le taikaneliö. Miksi? 9 9 Ruudukk ei tteuta taikaneliön määritelmää, sillä sivulävistäjän alkit eivät summaudu taikasummaksi. Rivi- ja sarakesummat, sekä päädiagnaalin alkiiden summa täyttää kuitenkin taikaneliön ehdt.
. Lineaarinen taikaneliö Määritelmä.. Kertaluvun q taikaneliö, jka sisältää kknaisluvut {,,..., q }, n lineaarinen taikaneliö, js (i) jkaisen rivin ja sarakkeen summa n q(q )/ (ii) jkaisen yksiultteisen aliavaruuden (, ) F sivulukan sisältämien lukujen summa n q(q )/ (iii) jkaisen yksiultteisen aliavaruuden (, ) F sivulukan sisältämien lukujen summa n q(q )/. Esimerkki.. Ositetaan, että esimerkin. taikaneliö n lineaarinen taikaneliö. 9 9 (i) Tämä n tdettu esimerkissä.. (ii) Pisteen (,) virittämän yksiultteisen aliavaruuden (, ) tisistaan erilliset sivulukat n käsitelty esimerkissä.. Näiden sivulukkien sisältämien lukujen summat tarkasteltavassa taikaneliössä vat (, ) + (, ) : + + + + = (, ) + (, ) : + + + + = (, ) + (, ) : + + + + 9 = (, ) + (, ) : + + + + = (, ) + (, ) : + 9 + + + =. (iii) Pisteen (, ) virittämän yksiultteisen aliavaruuden (, ) tisistaan erilliset sivulukat n niin ikään käsitelty esimerkissä., sillä (md ), jllin (, ) = (, ).
Näiden sivulukkien sisältämien lukujen summat tarkasteltavassa taikaneliössä vat (, ) + (, ) : + + + + 9 = (, ) + (, ) : + 9 + + + = (, ) + (, ) : + + + + = (, ) + (, ) : + + + + = (, ) + (, ) : + + + + =. On sitettu, että määritelmän. khdat (i)-(iii) tteutuvat, jten esimerkin. taikaneliö n lineaarinen taikaneliö. Esimerkki.9. Tämä taikaneliö ei le lineaarinen taikaneliö, sillä sivulukka (, ) + (, ) sisältää alkit,,, 9, ja + + + 9 + =, missä n taikasumman arv kertaluvun viisi taikaneliössä. 9 9 Määritelmä.. Katkeavaksi diagnaaliksi santaan lävistäjää, jka mudstuu diagnaalisesti pää- tai sivudiagnaalin ylä- tai alapulelle yhden tai useamman ruudun erlla, ja jka sisältää neliön kertaluvun verran alkiita. Katkeavaa diagnaalia vi visualisida esimerkiksi piirtämällä kaksi samanlaista neliötä rinnakkain tai vaihtehtisesti allekkain ja alittaa diagnaalisesti eteneminen tisesta neliöstä, jatkaen tisen neliön pulelle, kunnes mudstuu diagnaali, jka sisältää neliön kertaluvun sittaman määrän alkiita. Havainnllistetaan tätä seuraavaksi esimerkkikuvien avulla. Esimerkki.. Alla levassa neliössä kirjaimella X merkityt alkit mudstavat katkeavan diagnaalin. X X X X
Asettamalla kaksi identtistä neliötä rinnakkain, ja etenemällä diagnaalisesti tisesta neliöstä tiseen neliöön, niin saadaan yksi katkeava diagnaali. Vertaamalla nyt kirjaimella X merkittyjä ruutuja edellä levaan kuvaan, katkeavan diagnaalin idea vi hahmttua selkeämmin. X X X X Esimerkki.. Alla levassa taikaneliössä katkeavia diagnaaleja vat esimerkiksi,,,, ; 9,,,, ja,,,,. 9 9 Määritelmä.. Taikaneliö n yleisdiagnaalinen taikaneliö, js kaikkien rivien, sarakkeiden, pää- ja sivudiagnaalien sekä katkeavien diagnaalien sisältämät luvut summautuvat taikasummaksi. Esimerkki.. Esimerkin. taikaneliö n yleisdiagnaalinen taikaneliö. Aliavaruuksien (, ) ja (, ) sivulukat sisältävät neliön pää- ja sivudiagnaalit, sekä kaikki katkeavat diagnaalit kertaluvun q = p neliöissä. Siispä kertaluvun q = p lineaarinen taikaneliö n yleisdiagnaalinen taikaneliö. Lause.. Kaikki kertaluvun q = p lineaariset taikaneliöt vat yleisdiagnaalisia taikaneliöitä. Tdistus. Äärellinen kunta F = Z p n syklinen yhteenlaskun suhteen mdul p, jten aliavaruuksien (, ) ja (, ) sivulukat sisältävät taikaneliön pää- ja sivudiagnaalit sekä kaikki katkeavat diagnaalit. Lineaarisen taikaneliön määritelmästä seuraa, että aliavaruuksien (, ) ja (, ) sivulukkien sisältämät alkit summautuvat taikasummaksi, jten kertaluvun q = p lineaarinen taikaneliö n yleisdiagnaalinen taikaneliö.
Erilaisia taikaneliöitä saadaan kiertämällä ja peilaamalla ruudukka. Tämä pätee yleisesti kaikille taikaneliöille mukaan lukien lineaariset ja yleisdiagnaaliset taikaneliöt. Yhdestä taikaneliöstä saadaan mudstettua kahdeksan taikaneliötä. Alkuperäisen taikaneliön lisäksi saadaan seitsemän uutta symmetriaan perustuvaa taikaneliötä, sillä neliön symmetriaryhmään sisältyy identtisen kuvauksen lisäksi klme kierta ja neljä peilausta. Esimerkki.. Tässä tutkielmassa käytetyin merkinnöin L Shu -neliötä vastaa ensimmäinen taikaneliö vasemmalta katsen. Muut ylemmän rivin taikaneliöt n saatu kiertämällä ja alemman rivin taikaneliöt peilaamalla alkuperäistä taikaneliötä. On hyvä humiida, että edellä esiintyneiden kertaluvun klme taikaneliöiden lisäksi, ei le lemassa muita tämän kertaluvun taikaneliöitä. Mikään näistä kahdeksasta taikaneliöstä ei täytä lineaarisen taikaneliön, eikä myöskään yleisdiagnaalisen taikaneliön ehtja. Näin llen lineaarisia ja yleisdiagnaalisia taikaneliöitä löytyy vain kertaluvusta klme eteenpäin. Yleisdiagnaalisten taikaneliöiden tapauksessa kiertjen ja peilausten lisäksi uusia yleisdiagnaalisia taikaneliöitä vidaan mudstaa myös rivien ja sarakkeiden syklisellä permutaatilla. Rivejä ja sarakkeita vidaan vierittää vasemmalta ikealle tai ylhäältä alas sekä näistä tietenkin myös vastakkaisiin suuntiin. Syklisen permutinnin vuksi kahdesta katkeavasta diagnaalista mudstuvat taikaneliön lävistäjät, ja lävistäjillä levat alkit mudstavat vurstaan kaksi katkeavaa diagnaalia. Näin llen, js alkuperäisellä taikaneliöllä n llut yleisdiagnaalisen taikaneliön minaisuudet, permutinnin jälkeisellä taikaneliöllä n edelleen nämä minaisuudet. On kuitenkin humiitava, että tämä minaisuus ei le yleistettävissä kaikille taikaneliöille. 9
Esimerkki.. Vasemmanpuleinen yleisdiagnaalinen taikaneliö n saatu esimerkin. taikaneliöstä vierittämällä sarakkeita yhden kerran ikealle. Oikeanpuleinen yleisdiagnaalinen taikaneliö n pulestaan saatu vierittämällä saman taikaneliön rivejä kaksi kertaa alaspäin. 9 9 9 9 Lineaaristen taikaneliöiden knstruinti ja niiden lemassal Pienen kertaluvun taikaneliöitä n helphka laatia, mutta lunnistuuk lineaaristen taikaneliöiden laatiminen yhtä hyvin. Entäpä js neliön kertalukua aina vain kasvatetaan? Seuraavaksi esitetään menetelmä, jlla kertaluvun q = p lineaarisia taikaneliöitä vidaan knstruida suhteellisen yksinkertaisella tavalla. Lisäksi myöhemmin tässä luvussa sitetaan, että lineaarisia taikaneliöitä n lemassa, kun q = p >.. Lineaaristen taikaneliöiden knstruinti On mahdllista määritellä kuvaus, jlla saadaan kertaluvun q = p taikaneliön alkiille {,,..., q } yksikäsitteinen sijainti taikaneliössä. Tätä kuvausta varten, jkainen taikaneliön alki λ {,,..., q } n muutettava q-järjestelmään ja esitettävä se F :n alkina. Tätä aihetta n j käsitelty esimerkissä., mutta yleistetään sama teria nyt kertaluvun q taikaneliölle. Määritelmä.. Olkn taikaneliö kertalukua q = p. Tällöin jkainen taikaneliön alki λ {,,..., q } vidaan esittää q-kantaisen lukujärjestelmän alkina siten, että λ = λ q q + λ, missä λ q = λ/q ja λ n jakyhtälön jakjäännös. Kknaisluku λ vidaan kirjittaa vektrina siten, että λ = (λ q, λ ). Kska λ q, λ F = {,,..., q }, niin λ = (λ q, λ ) F.
Nyt, kun taikaneliön sisältämät kknaisluvut saadaan esitettyä q-järjestelmässä halutussa vektrimudssa, n mahdllista edetä kuvaukseen T. Kuvaus T tuttaa lineaarisen taikaneliön määrittämällä taikaneliön alkille yksikäsitteisen sijainnin taikaneliössä. Määritelmä.. Olkt A, B, C ja D skalaareja jukssa Z p. Nyt kertaluvun q = p neliölle vidaan määritellä kuvaus T : {,,..., q } F siten, että ( ) ( ) ( ) A B λq Aλq + Bλ T (λ) = =. C D λ Cλ q + Dλ Kuvaus T (λ) tuttaa -matriisin, missä ensimmäinen rivi kert millä rivillä, ja tinen, missä sarakkeessa alki λ sijaitsee kyseisessä neliössä. Lause.. Kuvaus T (λ) määrittää kertaluvun q = p lineaarisen taikaneliön, js skalaarit ( A, ) B, C, D, A ± C, B ± D vat nllasta eravia Z p :ssä, ja js A B matriisi n kääntyvä Z C D p :ssä. ( ) A B Tdistus. Olkn S kuvauksen T tuttama neliö. Kska matriisi C D letetaan kääntyväksi, kuvaus T (λ) määrittää jkaiselle alkille λ yksikäsitteisen sijainnin tässä neliössä. Siirrytään seuraavaksi tarkastelemaan neliön S taikasummia. Olkn µ F = Z p neliön µ:s rivi. Nyt tällä rivillä levat alkit λ = (λ q, λ ) vat yhtälön Aλ q + Bλ = µ ratkaisuja. Kska sekä A että B vat nllasta eravia, yhtälölle Aλ q = µ Bλ n lemassa yksikäsitteinen ratkaisu λ q jkaisella mahdllisella λ :n arvlla. Kun neliön alki λ kirjitetaan määritelmän. mukaisesti, sekä λ q ja λ saavat arvt {,,..., q } täsmälleen kerran rivillä µ. Siispä, kun µ:nnen rivin alkit summataan yhteen, summaksi saadaan ( + + + (q )) q + ( + + + (q )) = q (q ) q(q ) + = q(q ), mikä vastaa aiemmin taikasummalle annettua määritelmää.. Samalla tavin vidaan sittaa, että neliön S sarakkeiden alkit summautuvat taikasummaksi, kun A ja B krvataan skalaareilla C ja D. Lisäksi n vielä sitettava, että aliavaruuksien (, ) ja (, ) sivulukkien sisältämät alkit summautuvat taikasummaksi. Olkn µ, µ F = Z p. Tällöin alkille λ, jka sijaitsee sivulukassa (µ, µ ) + (, ), n ltava vimassa eht ( ) ( ) µ α T (λ) = + α µ
jllakin α F = Z p. Lisäksi kuvauksen T määritelmän. njalla pätee, että jllin µ = Aλ q + Bλ ja µ = Cλ q + Dλ, µ µ = (A C)λ q + (B D)λ. Kska A C ja B D, ( niin ) n lemassa yksikäsitteinen ( ) ( ) ratkaisu λ q jkaisella λ :n arvlla, jllin ja siten myös + n yksikäsitteinen µ µ α µ µ α jkaiselle sivulukan alkille. Tällöin saadaan samanlainen väite kuin edellä, jllin tarkasteltiin neliön S rivien sisältäminen alkiiden taikasummia. Vidaan siis aikaisempien tietjen phjalta tdeta, että (, ) sivulukkien sisältämät alkit summautuvat taikasummaksi. Vastaavalla tavalla vidaan käsitellä (, ) sivulukat, jllin päädytään tilanteeseen µ µ = (A + C)λ q + (B + D)λ, missä nyt A + C ja B + D. Näin llen kuvauksen T tuttama neliö S n lineaarinen taikaneliö. Katstaan seuraavaksi vielä esimerkin avulla, miten taikaneliön rivien, sarakkeiden, lävistäjien tai katkeavien diagnaalien sisältämien alkiiden summia lasketaan, js alkit n esitetty vektrimudssa λ = (λ q, λ ). Esimerkki.. Ohessa n esitetty esimerkissä. esiintynyt taikaneliö niin, että kknaisluvut λ {,,..., } n esitetty vektrina (λ, λ ). (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) Jkainen rivi, sarake, lävistäjä ja katkeava diagnaali sisältää alkit λ, λ {,,,, } täsmälleen kerran. Sivudiagnaalilla sijaitsee alkit (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), ja kska esimerkiksi alki (, ) = +, kaikkien sivudiagnaalilla sijaitsevien alkiiden summaksi saadaan ( + + + + ) + ( + + + + ).
Käyttäen hyödyksi aritmeettista sarjaa, summalauseke saadaan mutn ( + ) ( + ) + = + = ( ) =. Sivudiagnaalilla sijaitsevien alkiiden summaksi saadaan siis, jka vastaa taikasumman arva kertaluvun viisi taikaneliössä. Seuraavassa esimerkissä n laadittu kertaluvun viisi ja seitsemän lineaariset taikaneliöt lauseen. mukaisesti. ( ) ( ) λ Esimerkki.. (a) Kuvaus T (λ) = määrittää kertaluvun λ viisi lineaarisen taikaneliön, missä λ {,,..., }. 9 9 Esimerkiksi alkiiden ja sijainnit tässä taikaneliössä n saatu seuraavasti: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) T () = = ja T () = =. ( ) ( ) λ (b) Kuvaus T (λ) = määrittää kertaluvun seitsemän lineaarisen taikaneliön, missä λ {,,..., λ }. 9 9 9 9
. Lineaaristen taikaneliöiden lemassal Lineaaristen taikaneliöiden knstruinti kuvauksen T avulla tuttaa minaisuuksiltaan tivtun lpputulksen, mikäli matriisit A, B, C ja D tteuttavat niille lauseessa. asetetut ehdt. Kertaluvun q = p > lineaarisia taikaneliöitä n aina mahdllista knstruida edellä esitetyllä tavalla. Lause.. Kertaluvun q = p > lineaarinen taikaneliö n aina lemassa. Tdistus. Lauseen tdistamiseksi n näytettävä, että kertaluvun q = p > lineaarisen taikaneliön knstruimiseksi löytyvät sellaiset skalaarit A, B, C ja D, jtka tteuttavat niille asetetut ehdt. Kun p >, määritellään A =, B = C = ja D =. Näin kuvauksen T kerrinmatriisiksi saadaan = ( ) ( ) A B C D. Matriisi n kääntyvä Z p :ssä, kun p >, sillä ( ) det =. Tästä seuraa, että lineaarisia taikaneliöitä löytyy kertaluvusta q = p > eteenpäin. ( ) ( ) λ Esimerkki.. Kuvaus T (λ) = määrittää kertaluvun viisi λ lineaarisen taikaneliön, missä λ {,,..., }. 9 9 Nyt esimerkiksi alkin sijainti saadaan seuraavasti: ( ) ( ) ( ) ( ) T () = = =. Tässä siis ja = (md ). Kuvaus T ei svellu kertaluvun q = p lineaarisen taikaneliön knstruintiin kahdesta syystä. Ensinnäkin kertaluvun klme taikaneliö n pienin mahdllinen taikaneliö, jten kertaluvun kaksi lineaarista taikaneliötä ei siten vi lla lemassa. Tisaalta tapauksen q = p = mahdttmuus n käyty läpi esimerkin. yhteydessä.
Viitteet [] Blck S. S., Tavares, A. S., Befre Sudku, The Wrld f Magic Squares, Oxfrd University Press, 9. [] Hyry E., Algebra [Luentmuistiinpant] Tampereen ylipist,. [] Lrch J., Magic Squares and Sudku, The American Mathematical Mnthly, Vl. 9. N. 9 (Nvember ). pp. 9-. [] Pickver C. A., The Zen f Magic Squares, Circles, and Stars, Princetn, New Jersey; Princetn University Press,. [] Rinta-ah M., Äärelliset kunnat [Luentmniste] Oulun ylipist,. Saatavissa sitteessa: http://cc.ulu.fi/ mrinta/ff/ff_luent.pdf [viitattu..]. [] Rtman J., Advanced Mdern Algebra. :nd printing. Prentice Hall,. [] Rtman J., A First Curse in Abstract Algebra. :rd editin. University f Illinis at Urbana-Champaign. Prentice Hall,.