Vinokulmainen kolmio Hannu Lehto Lahden Lyseon lukio
Yksikköympyrä ja suunnattu kulma Yksikköympyrä 1 y 0 x -1-1 0 1 Hannu Lehto 18. maaliskuuta 2008 Lahden Lyseon lukio 2 / 8
Yksikköympyrä ja suunnattu kulma Yksikköympyrä ja suunnattu kulma 1 y 0 >0 x β<0-1 -1 0 1 Hannu Lehto 18. maaliskuuta 2008 Lahden Lyseon lukio 2 / 8
Trigonometristen funktioiden määritelmät y 1 Kehäpiste P(x,y) 0 x -1-1 0 1 Hannu Lehto 18. maaliskuuta 2008 Lahden Lyseon lukio 3 / 8
Trigonometristen funktioiden määritelmät y 1 Kehäpiste P(x,y) 0 y = sin x -1-1 0 1 Määritelmä. sin = y (kehäpisteen y-koordinaatti) Sovelma Hannu Lehto 18. maaliskuuta 2008 Lahden Lyseon lukio 3 / 8
Trigonometristen funktioiden määritelmät y 1 Kehäpiste P(x,y) y = sin 0 x = os x -1-1 0 1 Määritelmä. sin = y (kehäpisteen y-koordinaatti) Sovelma os = x (kehäpisteen x-koordinaatti) Sovelma Hannu Lehto 18. maaliskuuta 2008 Lahden Lyseon lukio 3 / 8
Trigonometristen funktioiden määritelmät y 1 Kehäpiste P(x,y) y = sin 0 x = os x -1-1 0 1 Määritelmä. sin = y (kehäpisteen y-koordinaatti) Sovelma os = x (kehäpisteen x-koordinaatti) Sovelma tan = y x = sin os, x 0 Hannu Lehto 18. maaliskuuta 2008 Lahden Lyseon lukio 3 / 8
Suplementtikulman trigonometriset funktiot sin(180 ) = os(180 ) = tan(180 ) = 1 y 0 180 x -1-1 0 1 Hannu Lehto 18. maaliskuuta 2008 Lahden Lyseon lukio 4 / 8
Suplementtikulman trigonometriset funktiot sin(180 ) = sin os(180 ) = tan(180 ) = 1 y 0 180 x -1-1 0 1 Hannu Lehto 18. maaliskuuta 2008 Lahden Lyseon lukio 4 / 8
Suplementtikulman trigonometriset funktiot sin(180 ) = sin os(180 ) = os tan(180 ) = 1 y 0 180 x -1-1 0 1 Hannu Lehto 18. maaliskuuta 2008 Lahden Lyseon lukio 4 / 8
Suplementtikulman trigonometriset funktiot sin(180 ) = sin os(180 ) = os tan(180 ) = sin(180 ) os(180 ) = sin os = tan Hannu Lehto 18. maaliskuuta 2008 Lahden Lyseon lukio 4 / 8
Vastakulmien trigonometriset funktiot sin( ) = os( ) = tan( ) = 1 y 0 x -1-1 0 1 Hannu Lehto 18. maaliskuuta 2008 Lahden Lyseon lukio 5 / 8
Vastakulmien trigonometriset funktiot sin( ) = sin (pariton funktio) os( ) = tan( ) = 1 y 0 x -1-1 0 1 Hannu Lehto 18. maaliskuuta 2008 Lahden Lyseon lukio 5 / 8
Vastakulmien trigonometriset funktiot sin( ) = sin (sini on pariton funktio) os( ) = os (kosini on parillinen funktio) tan( ) = 1 y 0 x -1-1 0 1 Hannu Lehto 18. maaliskuuta 2008 Lahden Lyseon lukio 5 / 8
Vastakulmien trigonometriset funktiot sin( ) = sin (sini on pariton funktio) os( ) = os (kosini on parillinen funktio) tan( ) = sin( ) os( ) = sin os = tan Hannu Lehto 18. maaliskuuta 2008 Lahden Lyseon lukio 5 / 8
Kolmion ala Hannu Lehto 18. maaliskuuta 2008 Lahden Lyseon lukio 6 / 8
Kolmion ala h A = 1 2 h = 1 2 sin Hannu Lehto 18. maaliskuuta 2008 Lahden Lyseon lukio 6 / 8
Kolmion ala h A = 1 2 h = 1 2 sin Hannu Lehto 18. maaliskuuta 2008 Lahden Lyseon lukio 6 / 8
Kolmion ala h h 180 A = 1 2 h = 1 2 sin A = 1 2 h = 1 2 sin(180 ) = 1 2 sin Hannu Lehto 18. maaliskuuta 2008 Lahden Lyseon lukio 6 / 8
Kolmion ala h h 180 A = 1 2 h = 1 2 sin A = 1 2 h = 1 2 sin(180 ) = 1 2 sin A = 1 2 = 1 2sin 90 Hannu Lehto 18. maaliskuuta 2008 Lahden Lyseon lukio 6 / 8
Kolmion ala h h 180 A = 1 2 h = 1 2 sin Lause. A = 1 2 sin A = 1 2 h = 1 2 sin(180 ) = 1 2 sin A = 1 2 = 1 2sin 90 Hannu Lehto 18. maaliskuuta 2008 Lahden Lyseon lukio 6 / 8
Sinilause γ a β Hannu Lehto 18. maaliskuuta 2008 Lahden Lyseon lukio 7 / 8
Sinilause γ a a sin = sin β = sin γ β Hannu Lehto 18. maaliskuuta 2008 Lahden Lyseon lukio 7 / 8
Sinilause γ a a sin = sin β = sin γ β Esimerkki. Laske kulma. Ilmoita vastaus 0,1 :een tarkkuudella. 10 15 32,0 Hannu Lehto 18. maaliskuuta 2008 Lahden Lyseon lukio 7 / 8
Sinilause γ a a sin = sin β = sin γ β Esimerkki. Laske kulma. Ilmoita vastaus 0,1 :een tarkkuudella. 10 15 32,0 Vastaus. = 52,6 tai = 127,4 Hannu Lehto 18. maaliskuuta 2008 Lahden Lyseon lukio 7 / 8
Sinilause γ a a sin = sin β = sin γ β Esimerkki. Laske kulma. Ilmoita vastaus 0,1 :een tarkkuudella. 11 10 70 Hannu Lehto 18. maaliskuuta 2008 Lahden Lyseon lukio 7 / 8
Sinilause γ a a sin = sin β = sin γ β Esimerkki. Laske kulma. Ilmoita vastaus 0,1 :een tarkkuudella. Vastaus. = 58,7. 11 10 Huomaa, että 180 58,7 = 121,3 ei kelpaa ratkaisuksi, koska 121,3 + 70 > 180! 70 Hannu Lehto 18. maaliskuuta 2008 Lahden Lyseon lukio 7 / 8
Kosinilause eli laajennettu Pythagoraan lause a Hannu Lehto 18. maaliskuuta 2008 Lahden Lyseon lukio 8 / 8
Kosinilause eli laajennettu Pythagoraan lause a a 2 = 2 + 2 2 os Hannu Lehto 18. maaliskuuta 2008 Lahden Lyseon lukio 8 / 8
Kosinilause eli laajennettu Pythagoraan lause a a 2 = 2 + 2 2 os Kosinilauseella on kaksi seurausta: Hannu Lehto 18. maaliskuuta 2008 Lahden Lyseon lukio 8 / 8
Kosinilause eli laajennettu Pythagoraan lause a a 2 = 2 + 2 2 os Kosinilauseella on kaksi seurausta: 1. Jos = 90, niin os = os 90 = 0, joten kosinilauseen seurauksena saadaan Pythagoraan lause. Hannu Lehto 18. maaliskuuta 2008 Lahden Lyseon lukio 8 / 8
Kosinilause eli laajennettu Pythagoraan lause a a 2 = 2 + 2 2 os Kosinilauseella on kaksi seurausta: 1. Jos = 90, niin os = os 90 = 0, joten kosinilauseen seurauksena saadaan Pythagoraan lause. 2. Pythagoraan lauseen käänteislause. Jos kolmion kahden sivun neliöiden summa on kolmannen sivun neliö, niin kolmio on suorakulmainen. Hannu Lehto 18. maaliskuuta 2008 Lahden Lyseon lukio 8 / 8