Peruskäsitteet Y-peilaus X-peilaus Pistepeilaus Muistikulmat Muistikolmio 1 Muistikolmio 2 Jaksollisuus Esimerkki 5.A Esimerkki 5.B1 Esimerkki 5.B2 Esimerkki 5C.1 Esimerkki 5C.2 (1/2) (2/2) Muunnelmia 1 / 42
Peruskäsitteet Peruskäsitteet Y-peilaus X-peilaus Pistepeilaus Muistikulmat Muistikolmio 1 Muistikolmio 2 Jaksollisuus Esimerkki 5.A Esimerkki 5.B1 Esimerkki 5.B2 Esimerkki 5C.1 Esimerkki 5C.2 (1/2) (2/2) Muunnelmia Kertaa kulman käsite ja radiaanit. Kertaa trigonometristen funktioiden sin x, cos x ja tan x määritelmät. Yksikköympyrä on symmetrinen peilattaessa sitä kumman tahansa akselin suhteen sekä peilattaessa sitä origon suhteen. Seuraavaksi katsotaan, mitä nämä symmetriat kertovat sinin ja kosinin arvoista. 2 / 42
Y-peilaus Peruskäsitteet Y-peilaus X-peilaus Pistepeilaus Muistikulmat Muistikolmio 1 Muistikolmio 2 Jaksollisuus Esimerkki 5.A Esimerkki 5.B1 Esimerkki 5.B2 Esimerkki 5C.1 Esimerkki 5C.2 (1/2) (2/2) Muunnelmia ( x, y) α 1.0 0.5 π α 1.0 0.5 0.5 1.0 0.5 1.0 α (x, y) sin α = sin(π α) (= y) cos α = cos(π α) (= x) 3 / 42
X-peilaus Peruskäsitteet Y-peilaus X-peilaus Pistepeilaus Muistikulmat Muistikolmio 1 Muistikolmio 2 Jaksollisuus Esimerkki 5.A Esimerkki 5.B1 Esimerkki 5.B2 Esimerkki 5C.1 Esimerkki 5C.2 (1/2) (2/2) Muunnelmia 1.0 0.5 1.0 0.5 0.5 1.0 0.5 1.0 α α (x, y) (x, y) sin α = sin( α) (= y) cos α = cos( α) (= x) 4 / 42
Pistepeilaus Peruskäsitteet Y-peilaus X-peilaus Pistepeilaus Muistikulmat Muistikolmio 1 Muistikolmio 2 Jaksollisuus Esimerkki 5.A Esimerkki 5.B1 Esimerkki 5.B2 Esimerkki 5C.1 Esimerkki 5C.2 (1/2) (2/2) Muunnelmia 1.0 0.5 0.5 1.0 ( x, y) π + α 1.0 0.5 0.5 1.0 α (x, y) sin α = sin(π + α) (= y) cos α = cos(π + α) (= x) 5 / 42
Muistikulmat Peruskäsitteet Y-peilaus X-peilaus Pistepeilaus Muistikulmat Muistikolmio 1 Muistikolmio 2 Jaksollisuus Esimerkki 5.A Esimerkki 5.B1 Esimerkki 5.B2 Esimerkki 5C.1 Esimerkki 5C.2 (1/2) (2/2) Muunnelmia π/2 = 90 π = 180 3π/2 = 270 2π = 360 π/6 = 30 π/4 = 45 π/3 = 60 2π/3 = 120 6 / 42
Muistikolmio 1 Peruskäsitteet Y-peilaus X-peilaus Pistepeilaus Muistikulmat Muistikolmio 1 Muistikolmio 2 Jaksollisuus Esimerkki 5.A Esimerkki 5.B1 Esimerkki 5.B2 Esimerkki 5C.1 Esimerkki 5C.2 (1/2) (2/2) Muunnelmia 1 π/4 1 2 π/4 sin π 4 = 1 2, cos π 4 = 1 2 7 / 42
Muistikolmio 2 Peruskäsitteet Y-peilaus X-peilaus Pistepeilaus Muistikulmat Muistikolmio 1 Muistikolmio 2 Jaksollisuus Esimerkki 5.A Esimerkki 5.B1 Esimerkki 5.B2 Esimerkki 5C.1 Esimerkki 5C.2 (1/2) (2/2) Muunnelmia π/3 1 2 3 π/6 sin π 6 = 1 2 = cos π 3 sin π 3 = 3 2 = cos π 6 8 / 42
Jaksollisuus Peruskäsitteet Y-peilaus X-peilaus Pistepeilaus Muistikulmat Muistikolmio 1 Muistikolmio 2 Jaksollisuus Esimerkki 5.A Esimerkki 5.B1 Esimerkki 5.B2 Esimerkki 5C.1 Esimerkki 5C.2 (1/2) (2/2) Muunnelmia 1.0 0.5 1.0 0.5 0.5 1.0 0.5 1.0 α α + 2π (x, y) sin α = sin(α + 2π) (= y) cos α = cos(α + 2π) (= x) 9 / 42
Esimerkki 5.A Peruskäsitteet Y-peilaus X-peilaus Pistepeilaus Muistikulmat Muistikolmio 1 Muistikolmio 2 Jaksollisuus Esimerkki 5.A Esimerkki 5.B1 Esimerkki 5.B2 Esimerkki 5C.1 Esimerkki 5C.2 (1/2) (2/2) Muunnelmia Tehtävä: Laske sin 315 ja cos 5π/6. Ratkaisu: 315 = 360 45 = 2π π 4, joten sin 315 = sin( π/4) = sin(π/4) = 1/ 2, missä ensimmäinen yhtäsuuruus seurasi jaksollisuudesta, toinen x-symmetriasta ja kolmas muistikolmiosta. Samoin 5π 6 = π π 6, joten cos(5π/6) = cos(π π/6) = cos(π/6) = 3/2. Tässä toinen yhtäsuuruus seurasi y-symmetriasta ja viimeinen muistikolmiosta. 10 / 42
Esimerkki 5.B1 Peruskäsitteet Y-peilaus X-peilaus Pistepeilaus Muistikulmat Muistikolmio 1 Muistikolmio 2 Jaksollisuus Esimerkki 5.A Esimerkki 5.B1 Esimerkki 5.B2 Esimerkki 5C.1 Esimerkki 5C.2 (1/2) (2/2) Muunnelmia Tiedetään, että Maan etäisyys Auringosta on 150 milj.km. Maasta katsottuna Merkuriuksen ja Auringon välinen kulma on enimmillään α = 22,7 astetta. Arvioi Merkuriuksen ja Auringon välistä etäisyyttä. Ratkaisu: Kulma on suurimmillaan, kun Maa-Aurinko-Merkurius kolmion Merkuriuksessa oleva kulma on suora. Jos kysytty etäisyys on x, niin oheisen kuvan perusteella sin α = x 150 = x = 150 sin 22,7 58, joten vastaukseksi tulee 58 miljoonaa kilometriä. 11 / 42
Esimerkki 5.B2 Peruskäsitteet Y-peilaus X-peilaus Pistepeilaus Muistikulmat Muistikolmio 1 Muistikolmio 2 Jaksollisuus Esimerkki 5.A Esimerkki 5.B1 Esimerkki 5.B2 Esimerkki 5C.1 Esimerkki 5C.2 (1/2) (2/2) Muunnelmia α x 12 / 42
Esimerkki 5C.1 Peruskäsitteet Y-peilaus X-peilaus Pistepeilaus Muistikulmat Muistikolmio 1 Muistikolmio 2 Jaksollisuus Esimerkki 5.A Esimerkki 5.B1 Esimerkki 5.B2 Esimerkki 5C.1 Esimerkki 5C.2 (1/2) (2/2) Muunnelmia Lennät pienkoneella (O) kilometrin vakiokorkeudella. Suoraan edessä näkyy ympyrän muotoinen järvi, jonka kauempi ranta (K) on 5 astetta horisontin alapuolella, ja lähempänä oleva ranta (L) 6 astetta horisontin alapuolella. Arvioi järven halkaisijaa. Ratkaisu: O 5 6 B A L K 13 / 42
Esimerkki 5C.2 Peruskäsitteet Y-peilaus X-peilaus Pistepeilaus Muistikulmat Muistikolmio 1 Muistikolmio 2 Jaksollisuus Esimerkki 5.A Esimerkki 5.B1 Esimerkki 5.B2 Esimerkki 5C.1 Esimerkki 5C.2 (1/2) (2/2) Muunnelmia Tässä ja OA = AK = OA 11,43 km, tan 5 OB = BL = OB 9,51 km, tan 6 Järven halkaisija on näin ollen noin KL = AB = OA OB 1, 92 km. 14 / 42
(1/2) Peruskäsitteet Y-peilaus X-peilaus Pistepeilaus Muistikulmat Muistikolmio 1 Muistikolmio 2 Jaksollisuus Esimerkki 5.A Esimerkki 5.B1 Esimerkki 5.B2 Esimerkki 5C.1 Esimerkki 5C.2 (1/2) (2/2) Muunnelmia Johdetaan kaava cos(α + β):lle. Valitaan kuvassa OR = 1. Tällöin OQ = OR cos β ja OP = OQ cos α = cos α cos β. O β α S T R Q P 15 / 42
(2/2) Peruskäsitteet Y-peilaus X-peilaus Pistepeilaus Muistikulmat Muistikolmio 1 Muistikolmio 2 Jaksollisuus Esimerkki 5.A Esimerkki 5.B1 Esimerkki 5.B2 Esimerkki 5C.1 Esimerkki 5C.2 (1/2) (2/2) Muunnelmia Samoin RQ = sin β OR = sin β. Suorat OP ja SQ ovat molemmat vaakasuoria, joten samankohtaisina kulmina OQS = QOP = α. Suorakulmaisesta kolmiosta RSQ saadaan sitten QRS = π/2 (π/2 α) = α. Näin ollen SQ = sin α RQ = sin α sin β. Lopuksi päättelemme (suorakaide), että TP = SQ = sin α sin β, ja näin ollen cos(α + β) = OT = OP PT = cos α cos β sin α sin β. 16 / 42
Muunnelmia Peruskäsitteet Y-peilaus X-peilaus Pistepeilaus Muistikulmat Muistikolmio 1 Muistikolmio 2 Jaksollisuus Esimerkki 5.A Esimerkki 5.B1 Esimerkki 5.B2 Esimerkki 5C.1 Esimerkki 5C.2 (1/2) (2/2) Muunnelmia Monisteessa on johdettu summan kosinin kaavan seurauksena lukuisa joukko muita trigonometristen funktioiden identiteettejä. Mainitaan nämä luennolla: Summan sini ja tangentti Kaksinkertaisen ja puolen kulman sini, kosini ja tangentti Tulot summiksi -kaavat Summat tuloiksi -kaavat Näitä tarvitaan mm. aalto-opissa (sen voi tosin tehdä usein helpommin kompleksilukujen avulla) sekä trigonometrisia funktioita integroitaessa (sama huomautus koskee sitäkin). 17 / 42
Kosiniaalloista Amplitudi Vaihe Jakso/Taajuus Aaltojen summa Metodi Esimerkki 5.D Esimerkki 5.E1 Esimerkki 5.E2 Esimerkki 5.E3 Esimerkki 5.E4 Esimerkki 5.E5 Kommentteja 18 / 42
Kosiniaalloista Kosiniaalloista Amplitudi Vaihe Jakso/Taajuus Aaltojen summa Metodi Esimerkki 5.D Esimerkki 5.E1 Esimerkki 5.E2 Esimerkki 5.E3 Esimerkki 5.E4 Esimerkki 5.E5 Kommentteja Sini- ja kosiniaallot ovat periaatteessa kaikki "samanmuotoisia". Ne kuitenkin eroavat toisistaan seuraavien parametrien suhteen: amplitudi (=aallon korkeus) vaihe (=aallon harjojen sijainti) jakso/aallonpituus (= aallonharjojen välimatka, taajuus on tälle käänteinen suure). Tarkastellaan näihin liittyviä laskuja trigonometristen identiteettiemme sovelluksena. 19 / 42
Amplitudi Kosiniaalloista Amplitudi Vaihe Jakso/Taajuus Aaltojen summa Metodi Esimerkki 5.D Esimerkki 5.E1 Esimerkki 5.E2 Esimerkki 5.E3 Esimerkki 5.E4 Esimerkki 5.E5 Kommentteja Aallon korkeutta voidaan helposti säätää kertomalla se vakiolla. Oheisessa kuvassa on tavallisen kosiniaallon y = cos x lisäksi skaalattu versio y = 1,5 cos x. 1 Π Π 2Π 3Π 4Π 5Π 1 20 / 42
Vaihe Kosiniaalloista Amplitudi Vaihe Jakso/Taajuus Aaltojen summa Metodi Esimerkki 5.D Esimerkki 5.E1 Esimerkki 5.E2 Esimerkki 5.E3 Esimerkki 5.E4 Esimerkki 5.E5 Kommentteja Aallon harjoja voidaan siirtää vaakasuunnassa tekemällä ns. vaihesiirto. Oheisessa kuvassa on tavallisen kosiniaallon y = cos x lisäksi vaihesiirretty versio y = cos(x φ). 1 Π Π 2Π 3Π 4Π 5Π 1 φ 21 / 42
Jakso/Taajuus Kosiniaalloista Amplitudi Vaihe Jakso/Taajuus Aaltojen summa Metodi Esimerkki 5.D Esimerkki 5.E1 Esimerkki 5.E2 Esimerkki 5.E3 Esimerkki 5.E4 Esimerkki 5.E5 Kommentteja Aallon jakso kertoo huippujen etäisyyden. Normaalisti se on 2π, mutta funktiolla cos kx on jaksona 2π/k. Oheisessa kuvassa on tavallisen kosiniaallon y = cos x lisäksi versio y = cos 3x, jolla aallonharjoja on kolminkertainen määrä samalla matkalla. 1 Π Π 2Π 3Π 4Π 5Π 1 22 / 42
Aaltojen summa Kosiniaalloista Amplitudi Vaihe Jakso/Taajuus Aaltojen summa Metodi Esimerkki 5.D Esimerkki 5.E1 Esimerkki 5.E2 Esimerkki 5.E3 Esimerkki 5.E4 Esimerkki 5.E5 Kommentteja Luonnossa esiintyy aaltojen summia. Katsomme lähemmin samajaksoisten aaltojen yhteenlaskua. Ohessa aaltojen y = sin x ja y = 0,7 cos x summa-aalto y = 0,7 cos x + sin x. 1 Π Π 2Π 3Π 4Π 5Π 1 23 / 42
Metodi Kosiniaalloista Amplitudi Vaihe Jakso/Taajuus Aaltojen summa Metodi Esimerkki 5.D Esimerkki 5.E1 Esimerkki 5.E2 Esimerkki 5.E3 Esimerkki 5.E4 Esimerkki 5.E5 Kommentteja Tehtävä: Laske yhteen muotoa f i (x) = A i cos(x φ i ) olevia aaltoja. A i, φ i vakioita, i = 1, 2,..., n. f i (x) voidaan kirjoittaa muodossa C i cos x + S i sin x A i cos(x φ i ) = A i cos φ i cos x + A i sin φ i sin x, missä siis C i = A i cos φ i ja S i = A i sin φ i. Ne yhteen laskemalla summa-aalto saa muodon C cos x + S sin x. Määrätään vakiot A ja φ siten, että C = A cos φ ja S = A sin φ: A = C 2 + S 2 ja φ ratkaistaan käänteisfunktioiden avulla (neljännes erikseen). Vastaus: C cos x+s sin x = A cos φ cos x+a sin φ sin x = A cos(x φ). 24 / 42
Esimerkki 5.D Kosiniaalloista Amplitudi Vaihe Jakso/Taajuus Aaltojen summa Metodi Esimerkki 5.D Esimerkki 5.E1 Esimerkki 5.E2 Esimerkki 5.E3 Esimerkki 5.E4 Esimerkki 5.E5 Kommentteja Tehtävä: Kirjoita 0,7 cos x + sin x muodossa, josta aallon amplitudi ja vaihe on luettavissa. Ratkaisu: Nyt C = 0,7 ja S = 1. Tilanne on oheisen kuvan kaltainen, ja saamme A = C 2 + S 2 1,22, φ 0,96 = 55. A S = A sin φ φ C = A cos φ Vastaus: y = 1,22 cos(x 0,96). Sopii yhteen kuvan kanssa! 25 / 42
Esimerkki 5.E1 Kosiniaalloista Amplitudi Vaihe Jakso/Taajuus Aaltojen summa Metodi Esimerkki 5.D Esimerkki 5.E1 Esimerkki 5.E2 Esimerkki 5.E3 Esimerkki 5.E4 Esimerkki 5.E5 Kommentteja Kolmivaihevirrassa samasta jännitteestä on kolme erivaiheista versiota U 1 (t) = U cos ωt, U 2 (t) = U cos(ωt + 2π 3 ), U 3 (t) = U cos(ωt 2π 3 ) (tässä U on jokin vakio). Näillä kaikilla on jakso T = 1/f = 2π/ω. Laske erotuksen U 1 (t) U 2 (t) amplitudi ja vaihe. Suomessa ω = 2πf, f = 50 Hz, U = 220 V. U T 2T U 26 / 42
Esimerkki 5.E2 Kosiniaalloista Amplitudi Vaihe Jakso/Taajuus Aaltojen summa Metodi Esimerkki 5.D Esimerkki 5.E1 Esimerkki 5.E2 Esimerkki 5.E3 Esimerkki 5.E4 Esimerkki 5.E5 Kommentteja Kosinin summakaavan nojalla U 2 (t) = U (cos 2π 3 cos ωt sin 2π ) 3 sin ωt. Tässä cos(2π/3) = 1/2 ja sin(2π/3) = 3/2, joten U 1 (t) U 2 (t) = U [ 3 2 cos ωt + Nyt siis C = 3/2 ja S = 3/2, joten A = C 2 + S 2 = 3 2 sin ωt 9 4 + 3 4 = 3. ]. 27 / 42
Esimerkki 5.E3 Kosiniaalloista Amplitudi Vaihe Jakso/Taajuus Aaltojen summa Metodi Esimerkki 5.D Esimerkki 5.E1 Esimerkki 5.E2 Esimerkki 5.E3 Esimerkki 5.E4 Esimerkki 5.E5 Kommentteja 1.5 1.0 0.5 A φ 1.5 1.0 0.5 0.5 1.0 1.5 0.5 1.0 1.5 (C, S) Kuvan avulla φ = π/6, ja siitä saadaan vastaukseksi: U 1 (t) U 2 (t) = 3U cos(ωt π 6 ) = 3U cos(ω[t T 12 ]). 28 / 42
Esimerkki 5.E4 Kosiniaalloista Amplitudi Vaihe Jakso/Taajuus Aaltojen summa Metodi Esimerkki 5.D Esimerkki 5.E1 Esimerkki 5.E2 Esimerkki 5.E3 Esimerkki 5.E4 Esimerkki 5.E5 Kommentteja Funktion y = U [cos ωt cos(ωt + 2π 3 ) ] kuvaajasta näkyvät amplitudi A = 3U ja vaihe-ero t = T/12 ainakin summittaisesti. A U t U T 2T 29 / 42
Esimerkki 5.E5 Kosiniaalloista Amplitudi Vaihe Jakso/Taajuus Aaltojen summa Metodi Esimerkki 5.D Esimerkki 5.E1 Esimerkki 5.E2 Esimerkki 5.E3 Esimerkki 5.E4 Esimerkki 5.E5 Kommentteja Voidaan myös edetän summat tuloksi kaavan cos x cos y = 2 sin x + y 2 avulla (x = ωt, y = ωt + 2π/3) sin x y 2 cos ωt cos(ωt + 2π/3) = 2 sin(ωt + π/3) sin( π/3) = 3 sin(ωt + π/3) = 3 cos(ωt π/6), missä käytettiin kaavaa cos x = sin(x + π/2). Tästä saadaan sama vastaus kuin kalvolla 5.E3. 30 / 42
Kommentteja Kosiniaalloista Amplitudi Vaihe Jakso/Taajuus Aaltojen summa Metodi Esimerkki 5.D Esimerkki 5.E1 Esimerkki 5.E2 Esimerkki 5.E3 Esimerkki 5.E4 Esimerkki 5.E5 Kommentteja Kuvattu menetelmä toimii vain samajaksoisia (-taajuisia) aaltoja yhteenlaskettaessa. Menetelmä on helpommin (?) kuvattavissa kompleksilukujen avulla. Siitä myöhemmillä kursseilla. Erijaksoisia aaltoja yhdistelemällä saadaan mutkikkaampaa aaltoliikettä. Fourier-analyysi on tällöin tarvittava matemaattien työkalu. Alla kuvattu funktion f(x) = cos 8x + cos 9x kuvaaja. Näet, että aallonharjat välillä vahvistavat toisiaan, välillä vaimentavat. 2 1 5 10 15 1 2 31 / 42
Esimerkki 5.F1 Esimerkki 5.F2 Esimerkki 5.F3 32 / 42
Esimerkki 5.F1 Esimerkki 5.F1 Esimerkki 5.F2 Esimerkki 5.F3 Säännöllinen n-kulmio on monikulmio, jonka kaikki sivut ovat yhtä pitkiä (=a), js jonka kaikki kärjet ovat kaikki samalla ympyrällä (säde = r). Kyseisen ympyrän keskipisteestä katsoen kärkien väliset kulmat ovat tällöin kaikki yhtäsuuria, α = 2π/n. Johdetaan kaava tällaisen monikulmion alalle. α α α α 33 / 42
Esimerkki 5.F2 Esimerkki 5.F1 Esimerkki 5.F2 Esimerkki 5.F3 Säännöllinen n-kulmio jakautuu n:ään yhtenevään kolmioon. Kuvan perusteella h = r cos(π/n) ja a = 2r sin(π/n). Yhden kolmion alaksi tulee näin A = 1 2 ah = r2 sin(π/n) cos(π/n) ja koko n-kulmion alaksi A = na = nr 2 sin(π/n) cos(π/n) = 1 2 nr2 sin(2π/n). r π/n h a 34 / 42
Esimerkki 5.F3 Esimerkki 5.F1 Esimerkki 5.F2 Esimerkki 5.F3 Ala voidaan lausua myös sivun pituuden a avulla. Kuvan perusteella h = a cot(π/n)/2. Yhden kolmion alaksi tulee näin A = 1 2 ah = a2 cot(π/n)/4 ja koko n-kulmion alaksi A = na = na2 cos π/n 4 sin π/n. π/n h a 35 / 42
Arkusfunktioista Arkussini- ja kosini Arkustangentti Polar Esimerkki 5.G Moivre 36 / 42
Arkusfunktioista Näitä käytetään laskemaan kulma, jonka sini/kosini/tangentti tiedetään. Arkusfunktioista Arkussini- ja kosini Arkustangentti Polar Esimerkki 5.G Moivre c b φ a φ = arcsin b c = arccos a c = arctan b a. 37 / 42
Arkussini- ja kosini Arkusfunktioista Arkussini- ja kosini Arkustangentti Polar Esimerkki 5.G Moivre 2Π Π Π 2 2Π Π Π 2 1 0.5 0.5 1 1 0.5 0.5 1 Π 2 Π 2 Π Π 2Π 2Π 38 / 42
Arkustangentti Arkusfunktioista Arkussini- ja kosini Arkustangentti Polar Esimerkki 5.G Moivre y = arctan x x = tan y y 1.5 1.0 0.5 4 2 0.5 2 4 1.0 1.5 x 39 / 42
Napakoordinaatit Arkusfunktioista Arkussini- ja kosini Arkustangentti Polar Esimerkki 5.G Moivre Jos pisteestä P = (x, y) tiedetään sen etäisyys origosta r ja suuntakulma φ, niin kuvan perusteella nähdään, että x = r cos φ ja y = r sin φ. y P = (x, y) r φ x 40 / 42
Esimerkki 5.G Arkusfunktioista Arkussini- ja kosini Arkustangentti Polar Esimerkki 5.G Moivre Tehtävä: Määrää pisteen P = ( 3, 1) napakoordinaatit. Ratkaisu: Kuvan suorakulmaisesta kolmiosta näemme, että α = arctan(1/3) 0,32175 18,4. Täten φ = π α = 161,6. Pythagoraan lauseen nojalla r = 3 2 + 1 2 = 10. P α 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 φ 41 / 42
Moivre Arkusfunktioista Arkussini- ja kosini Arkustangentti Polar Esimerkki 5.G Moivre Tehtävä: Esitä cos 4x luvun cos x polynomina. Ratkaisu: cos 4x + i sin 4x = (cos x + i sin x) 4 ( ) 4 4 = cos 4 j xi j sin j x j j=0 = cos 4 x + 4i cos 3 x sin x + 6i 2 cos 2 x sin 2 x + 4i 3 cos x sin 3 x + i 4 sin 4 x. Tässä termi on reaalinen, jos i:n potenssi on parillinen, joten cos 4x = cos 4 x 6 cos 2 x sin 2 x + sin 4 x = cos 4 x 6 cos 2 x(1 cos 2 x) + (1 cos 2 x) 2 = 8 cos 4 x 8 cos 2 x + 1. 42 / 42