Logiikka I 7. harjoituskerran malliratkaisut 19. - 23.3.07 Ratkaisut laati Miikka Silfverberg. Olkoon L = {Lontoo, P ariisi, P raha, Rooma, Y hteys(x, y)}. Kuvan 3.1. kaupunkiverkko vastaa seuraavaa L-mallia M: dom(m) = {B, Lontoo, M, Pariisi, Praha, Rooma} Lontoo M = Lontoo, P ariisi M = Pariisi P raha M = Praha, Rooma M = Rooma Y hteys M = {(B, Lontoo), (B, Praha), (Lontoo, B), (Lontoo, M), (Lontoo, Pariisi), (M, Lontoo), (M, Rooma), (Pariisi, Lontoo)(Pariisi, Praha), (Pariisi, Rooma), (Praha, B), (Praha, Rooma), (Rooma, M), (Rooma, Pariisi), (Rooma, Praha)} 1. Kirjoita symbolikielellä ja osoita Tarskin totuusmääritelmän nojalla tosiksi tai epätosiksi seuraavat väitteet. (a) Jokainen Lontooseen yhteydessä oleva kaupunki on yhteydessä Roomaan tai Prahaan. L 1 : x(y hteys(x, Lontoo) (Y hteys(x, Rooma) Y hteys(x, P raha))) Lause L 1 on tosi jos jokainen mallin M tulkintajono w toteuttaa sen. Olkoon w jokin tulkintajono. Tarskin totuusmääritelmän nojalla w toteuttaa lauseen, joss w(x/a) toteuttaa kaavan L 2 : Y hteys(x, Lontoo) (Y hteys(x, Rooma) Y hteys(x, P raha)) jokaisella a dom(m) (W9). Jos a {M, B, Pariisi}, niin (a, Lontoo) Y hteys M ja (a, Rooma) Y hteys M tai (a, Praha) Y hteys M siispä w(x/a) toteuttaa kaavan L 2 (W6 ja W5). Jos taas a {Lontoo,Praha, Rooma}, niin (a,lontoo) / Y hteys M, siispä 1
taas w(x/a) toteuttaa kaavan L 2 (W6). Nytpä w(x/a) toteuttaa kaavan L 2 kaikilla a dom(m). Tarskin totuusmääritelmän nojalla w toteuttaa lauseen L 1. Koska mielivaltainen mallin M tulkintajono toteuttaa lauseen L 1, se on tosi. (b) Mikään Roomaan yhteydessä oleva kaupunki ei ole yhteydessä Lontooseen. x(y hteys(x, Rooma) Y hteys(x, Lontoo)) Olkoon w tulkintajono. Nyt w toteuttaa lauseen x(y hteys(x, Rooma) Y hteys(x, Lontoo)), koska (M,Rooma) Y hteys M ja (M,Lontoo) Y hteys M (W8 ja W4). Siispä w ei toteuta alkuperäistä lausetta, eikä lause niin muodoin ole tosi. 2. Tutki seuraavia lauseita edellisen tehtävän kaupunkiverkossa. (a) Jokainen kaupunki on yhteydessä kaupunkiin, josta ei ole yhteyttä Prahaan. L : x y(y hteys(x, y) Y hteys(p raha, y)) Olkoon w jokin tulkintajono. Jos lause on tosi, niin w(x/praha) toteuttaa kaavan y(y hteys(x, y) Y hteys(p raha, y)) (W9). Siispä on jokin sellainen a dom(m), että w(x/praha)(y/a) toteuttaa Y hteys(x, y) Y hteys(p raha, y). Tämä kuitenkin merkitsisi Tarskin totuusmääritelmän (W4 ja W2) mukaan, että (Praha, a) Y hteys M ja (Praha, a) / Y hteys M, mikä on mahdotonta. Siis Tarskin totuusmääritelmän nojalla lause L on epätosi. 2
(b) Jokainen Prahaan yhteydessä oleva kaupunki on yhteydessä kaupunkiin, josta on yhteys Pariisiin. L 1 : x y(y hteys(x, P raha) (Y hteys(x, y) Y hteys(y, P ariisi))) Olkoon w jokin mallin M tulkintajono. Tuttuuun tapaan w toteuttaa lauseen L 1, jos w(x/a) toteuttaa kaavan L 2 : y(y hteys(x, P raha) (Y hteys(x, y) Y hteys(y, P ariisi))) kaikilla a dom(m). Jos a {Lontoo, M, Praha}, niin w(x/a) toteuttaa kaavan L 2, koska (a, Praha) / Y hteys M. Jäljelle jäävät tapaukset, missä a {B, Pariisi, Rooma}. Yritetään nyt löytää sellainen b dom(m), että w(x/a)(y/b) toteuttaa Y hteys(x, y) Y hteys(y, P ariisi). Valitaan tähän tarkoitukseen Praha, koska (Praha, Pariisi) Y hteys M ja kaikilla a {B, Pariisi, Rooma} pätee (a, Praha) Y hteys M. Nyt w(x/a) toteuttaa lauseen L 2 kaikilla a dom(m). Lause on tosi L 1, koska mielivaltainen tulkintajono toteuttaa sen. 3. Oppikirjassa edellisen tehtävän a-kohta kuuluu seuraavasti (pilkkuvirheineen): Jokainen kaupunki, paitsi Praha, on yhteydessä kaupunkiin, josta ei ole yhteyttä Prahaan. Perustele intuitiivisesti, miksi tätä väitettä ei voi esittää symbolisesti tähän asti opitulla kielellä. Yllä olevassa lauseessa sanotaan jotain kaikista mallin M alkioista paitsi alkiosta Praha. Pitäisi siis ilmaista, että: Jos alkio a ei ole Praha, niin sille pätee jotain. Toistaiseksi ainoa tapa ilmaista mitään kahden alkion a ja Praha suhteesta kaupunkimallissa M on käyttää atomikaavoista Y hteys(x, y) muodostettuja kaavoja. 3
Itse asiassa kaupunkiverkossa 3.1. Praha on erotettavissa kaikista muista alkioista. Se on nimittäin ainoa sellainen alkio x, että pätee Y hteys(x, P ariisi) ja Y hteys(x, Rooma). Kaikissa kaupunkiverkossa ei kuitenkaan ole mahdollista tällä lailla erottaa alkioita toisistaan. Jos M on sellainen malli, että joukko Y hteys M =, niin mitään kaupunkeja ei voi edellä kuvatulla tavalla erottaa toisistaan. 4. Esitä seuraava väitelause symbolisesti perhemallien kielessä: Kaikki paitsi isä ovat naispuolisia. x((v anhempi(x, Isä) V anhempi(isä, x)) (N ainen(x))) 5. Tutki, mitä Tarskin totuusmääritelmä sanoo kaavasta x xn ainen(x) mielivaltaisessa perhemallissa mielivaltaisella tulkintajonolla. Kumpi kvanttori on ylimääräinen? Olkoon M perhemalli. Kaava on tosi, jos w(x/a) toteuttaa kaavan xn ainen(x) jokaisella a dom(m). Siis jos on olemassa sellainen b dom(m), että w(x/a)(x/b) toteuttaa lauseen N ainen(x). Merkintätavan määrittelystä seuraa, että w(x/a)(x/b) on sama tulkintajono kuin w(x/a) paitsi että w(x/a)(x/b)(x) = b. Siispä lause on tosi joss on sellainen b dom(m), että b Nainen M. Huomattiin, että uloin kvantifikaatio on turha. 6. Tutki kaavaa xn ainen(y). Kuinka sitä voi yksinkertaistaa ilman, että sen merkitys muuttuu? Olkoon M perhemalli ja w mallin tulkintajono. Tarskin totuusmääritelmän mukaan w toteuttaa kaavan xn ainen(y), 4
joss kaikilla a dom(m) tulkintajono w(x/a) toteuttaa kaavan Nainen(y). Edelleen Tarskin totuusmääritelmän mukaan w(x/a) toteuttaa kaavan joss w(x/a)(y) = w(y) Nainen M. Tulkintajono w toteuttaa siis kaavan xn ainen(y) joss w toteuttaa kaavan Nainen(y). Kaavaa voi siis yksinkertaistaa pudottamalla kvantifioinnin pois. Kaava on tosi tietyssä mallissa, jos kaikille a dom(m) pätee a Nainen M. 5