2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.2 Kulman tangentti 2.3 Sivun pituus tangentin avulla 2.4 Kulman sini ja kosini 2.5 Trigonometristen funktioiden käyttöä 2.7 Avaruuskappaleita 2.8 Lieriö 2.9 Ympyrälieriö 2.10 Kartio 2.11 Ympyräkartio 2.12 Pallo 2.13 Yhdistettyjä avaruuskappaleita 2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot A1. Nimeä viereisestä kolmiosta a) kateetit b) hypotenuusa. A2 Nimeä viereisestä kolmiosta a) kulman β viereinen kateetti b) sivun c vastainen kulma. A3 Selvitä tuntemattoman sivun pituus a) b) A4 Kolmiot KON ja STA ovat yhdenmuotoisia. Ratkaise sivun a) ON b) AS pituus. 1

B1. Laske suorakulmaisen kolmion a) hypotenuusan pituus, kun kateettien pituudet ovat 12 m ja 19m. b) toisen kateetin pituus, kun toinen kateetti on 23cm ja hypotenuusa on 32 cm. B2 Laske sivun x pituus C1. Tasasivuisen kolmion sivun pituus on 3,5cm. Kuinka paljon on kyseisen kolmion pinta ala? C2 Piirrä kolme yhtenevää suorakulmaista kolmiota. a) Piirrä ensimmäiselle kolmiolle sivujen korkeusjanojen kautta kulkevat suorat ja merkitse suorien leikkauspiste kirjaimella P. b) Piirrä toisen kolmion ympärille ympyrä siten, että ympyrä sivuaa kolmion jokaista kärkeä. Käytä apuna keskinormaalien leikkauspistettä. c) Piirrä kolmannen kolmion sisälle ympyrä, joka sivuaa kolmion jokaista sivua. Käytä apuna kulmien puolittajien leikkauspistettä. 2

2.2 Kulman tangentti A5 Muodosta kulman β tangentin lauseke ja laske kulman β tangentin arvo kolmen desimaalin tarkkuudella. a) b) A6 Määritä likiarvo laskimella kolmen desimaalin tarkkuudella a) tan 31 o b) tan 0 o c) tan 70 o A7 Laske kulman β suuruus asteen tarkkuudella tehtävästä A5. A8 Laske kulmien α ja β suuruudet asteen tarkkuudella. a) b) B3. Suorakulmaisen kolmion kateettien pituudet ovat a) 6,8 cm ja 3,4cm b) 47 cm ja 23 cm c) 87 cm ja 1,1m. Laske terävien kulmien suuruudet. B4. Laske terävien kulmien suuruudet 3

C3 Suorakulmaisen kolmion kateettien pituudet ovat 4x ja 5x. Laske kolmion terävien kulmien suuruudet. C4 Suorakulmaisen kolmion terävän kulman α viereisen kateetin pituus on 4,5 cm ja vastaisen kateetin pituus on 2,3cm. Vastaisen kateetin pituus kasvaa 50%. Kuinka monta prosenttia muuttuu kulman α suuruus? 2.3 Sivun pituus tangentin avulla A9. Ratkaise x:llä merkityn sivun pituus. a) b) A10 Ratkaise x:llä merkityn sivun pituus. a) b) A11 Laske kuinka kaukana tikkaiden alin kohta on talon seinästä. 4

B5 Ratkaise kateetin x pituus. a) b) B6 Laske puun pituus B7 Laske kolmion korkeusjanan pituus. 5

C5 Suorakulmion lävistäjän ja kannan välinen kulma on 39 astetta. Laske kannan pituus, kun korkeus on 5,7 cm. C6 Tasakylkisen kolmion kantasivun pituus on 5,2 cm ja kantakulman suuruus 58 astetta. Laske kolmion pinta ala. C7 Suorakulmaisen kolmion kateettien pituuksien suhde on 3:7. Laske terävien kulmien suuruudet. 2.4 Kulman sini ja kosini A12 a) Muodosta kulman β sinin lauseke ja laske kulman β sinin arvo kolmen desimaalin tarkkuudella. b) Muodosta kulman β cosinin lauseke ja laske kulman β cosinin arvo kolmen desimaalin tarkkuudella. A13 Määritä likiarvo laskimella kolmen desimaalin tarkkuudella a) sin 31 o b) sin 0 o c) sin 7 o d) cos 31 o e) cos 0 o f) cos 7 o A14 Laske kulmien α ja β suuruudet asteen tarkkuudella. a) b) 6

A15 Ratkaise x:llä merkityn sivun pituus. a) b) B8 Suorakulmaisen kolmion hypotenuusan pituus on 5,7cm ja toisen terävän kulman suuruus on 41 astetta. Laske kateettien pituudet. B9 Mikä on alla olevan suorakulmion korkeus ja leveys? B10 Missä kulmassa 72 m korkean Olympiastadionin tornin huippu näkyy 150 m vaakasuoralla etäisyydellä tornin juuresta? B11 Suorakulmaisen kolmion toisen kateetin pituus on 14 cm ja sen viereisen terävän kulman suuruus on 29 astetta. Laske toisen kateetin ja hypotenuusan pituus. 7

C8 Laske kolmion pinta ala C9 Suorakulmiossa kannan ja korkeuden pituuksien suhde on 5:12 ja lävistäjän pituus on 26m. Laske a) suorakulmion pinta ala b) kannan ja lävistäjän välinen kulma. C10 Tasakylkisen suorakulmaisen kolmion pinta ala on 25 cm 2. Laske kolmion hypotenuusan pituus. 2.5 Trigonometristen funktioiden käyttöä A16 Laske kulmien α ja β suuruudet 8

A17 Laske x:llä merkityn sivun pituus B12 Missä kulmassa 12m korkean tornin huippu näkyy 25m vaakasuoralla etäisyydellä tornin juuresta? B13 Auringon paistaessa 42 asteen kulmassa horisontin yläpuolella, lipputangosta syntyy vaakasuoralle maanpinnalle 20m pitkä varjo. Laske lipputangon pituus. C11 Tasakylkisen kolmion kannan pituus on 8,0cm ja huippukulman suuruus 40 astetta. Laske kolmion pinta ala. C12 9

2.7 Avaruuskappaleita A18 Muunna sulkeissa merkityksi yksiköksi a. 60 897m (km) b. 17 mm (cm) c. 0,054 m (mm) d. 15,8 dm (m) A19 Muunna sulkeissa merkityksi yksiköksi a. 530 m 2 (a) b. 0,0012 km 2 (a) c. 7500000 mm 2 (dm 2 ) d. 0,0000461 km 2 (m 2 ) B14 Muunna sulkeissa merkityksi yksiköksi a.0,02 m 3 (dm 3 ) b. 3785900 cm 3 (m 3 ) c. 0,6m 3 (cm 3 ) d. 0,6 dm 3 (mm 3 ) C13 Muunna sulkeissa merkityksi yksiköksi. a. 238 ml (dl) b. 0,2 l (cm 3 ) c. 1,75 dl (ml) d. 1,5 dm 3 (l) C14 Muunna sulkeissa merkityksi yksiköksi. a. 0,4m 3 (l) b. 20 cm 3 (l) c. 25 m 3 (hl) d. 0,014 kl (cm 3 ) 2.8 Lieriö A20 Mitä osaa kappaleessa nuolet A,B ja C osoittavat? Nimeä. 10

A21 Laske yllä olevan kappaleen tilavuus. A22 Laske tehtävän A20 kappaleen kokonaispinta ala. A23 Laske alla olevan kappaleen tilavuus. B15 Laske alla olevien kappaleiden tilavuudet. Ylä ja alapohjat ovat yhtenevät kummassakin kappaleessa. 11

B16 Laske tilavuus ja kokonaispinta ala suorakulmaiselle särmiölle, minkä mitat ovat 32,4 cm x 12,5 cm x 22,1 cm. B17 Lieriön tilavuus on 310 litraa ja pohjan pinta ala 78 dm 2. Laske lieriön korkeus. C15 Suoran särmiön tilavuus on 25 cm 3 ja korkeus 4,5 cm. Särmiön pohjana on tasakylkinen suorakulmainen kolmio. Laske pisimmän pohjasärmän pituus. C16 Särmiön kärjestä vastakkaiseen kärkeen piirrettyä janaa sanotaan avaruuslävistäjäksi. Suorakulmaisen särmiön särmien pituudet ovat 6,0 cm, 5,0 cm ja 8,0 cm. Laske avaruuslävistäjän pituus. 2.9 Ympyrälieriö A24 Ympyrälieriön korkeus on 5,0m ja pohjan pinta ala on 6,0m 2. Mikä on kyseisen lieriön tilavuus? A25 Laske alla olevan kappaleen tilavuus. 12

A26 Laske A25 tehtävän lieriön kokonaispinta ala. B18 Laske ympyrälieriön tilavuus, kun lieriön korkeus on 12,5m ja pohjan halkaisija on 9,0m. B19 Laske B18 tehtävän kappaleen kokonaispinta ala. B20 Suoran ympyrälieriön tilavuus on 57 litraa ja pohjan säde 18 cm. Laske lieriön korkeus. C17 Matikaisen talossa on kuparinen vesijohtoputki, jonka ulkohalkaisija on 15mm ja kuparikerroksen paksuus 2,0 mm. Kuinka monta litraa 23 metriä pitkään putkeen mahtuu vettä? C18 Täydestä suoran ympyrälieriön muotoisesta tynnyristä otetaan vettä 35%, jonka jälkeen sinne jää 450 litraa vettä. Laske tynnyrin pohjan halkaisija, kun tynnyrin korkeus on 1,1m. C19 Suoran ympyrälieriön pohjan halkaisija on 1,0 metriä ja korkeus 1,5 metriä. Sen sisällä on mahdollisimman suuri suorakulmainen särmiö. Kuinka monta prosenttia ympyrälieriön tilavuus on suurempi kuin suorakulmaisen särmiön tilavuus. 2.10 Kartio A27 Kartion pohjan pinta ala on 8,0 cm 2 ja korkeus 12,0 cm. Mikä on kyseisen kartion tilavuus? A28 Laske alla olevan kappaleen tilavuus. Pyramidin pohja on neliö, jonka sivun pituus on 8m. 13

A29 Laske yllä olevan kappaleen kokonaispinta ala. B21 Laske alla olevan kartion tilavuus. B22 Pyramidin pohjaneliön sivun pituus on 7,5 cm ja pyramidin korkeus on 5,0 cm. Laske pyramidin kokonaispinta ala. C20 Neliöpohjaisen pyramidin pohjan sivun pituus on 55m ja korkeus 62m. Mikä on kyseisen pyramidin tilavuus ja kokonaispinta ala. 14

C21 Neliöpohjaisen pyramidin korkeus on kaksi kertaa enemmän mitä pohjaneliön sivun pituus. Pyramidin tilavuus on 128 cm 3. Mikä on kyseisen pyramidin kokonaispinta ala? 2.11 Ympyräkartio A30 Laske alla olevan kartion tilavuus. A31 Suoran ympyräkartion säde on 5,0m ja korkeus 5,0m. Mikä on kyseisen kartion tilavuus? B23 Laske tehtävän A30 kartion vaipan pinta ala. B24 Laske tehtävän A31 vaipan pinta ala. B25 Ympyrälieriön korkeus on 14,0 cm ja pohjan halkaisija on 1,5 dm. Ympyrälieriön vieressä on ympyräkartio. Kuinka korkea ympyräkartion täytyy olla, jotta sillä olisi sama tilavuus kuin ympyrälieriöllä. Ympyräkartion pohjan halkaisija on 3,5dm. C22 Suoran ympyräkartion sivujananpituus on 8,5cm ja vaipan ala on 120cm 2. Laske kartion pohjaympyrän halkaisijan pituus ja kartion korkeus. C23 Muovailuvahasta on muotoiltu suora ympyrälieriö. Vaha muotoillaan uudestaan suoraksi ympyräkartioksi. Kuinka monta prosenttia säde kasvaa, jos korkeus pysyy samana. 2.12 Pallo A32 Pallon säde on 5,0 cm. Laske pallon pinta ala ja tilavuus. A33 Pallon halkaisija on 12,4m. Laske pallon pinta ala ja tilavuus. B26 Pallon säde on 28 cm. Laske pallon tilavuus litroina. B27 Pallon tilavuus on 480cm 3. Mikä on pallon säteen pituus? C24 Puolipallon muotoiseen pataan mahtuu vettä 15 litraa. Laske padan kannen halkaisija. 15

C25 Kuution sisällä on mahdollisimman iso pallo. Kuinka monta prosenttia pallon tilavuus on kuution tilavuudesta. 2.13 Yhdistettyjä avaruuskappaleita A34 Suorakulmaisen särmiön särmien pituudet ovat 95cm, 1,3m ja 78cm. Laske särmiön tilavuus ja pinta ala. A35 Puu on likimain suoran ympyräkartion muotoinen. Sen pohjan halkaisija on 45cm ja puun korkeus on 19m. Mikä on puun tilavuus? A36 Kheopsin pyramidi on 138,8m korkea ja sen neliömuotoisen pohjasivun pituus on 230m. Mikä on pyramidin tilavuus? B28 Suoran ympyräkartion pohjan säde on 2,5cm ja korkeus 3,2 cm. Laske kartion kokonaispinta ala. B29 Pallon muotoisen rautakuulan halkaisija on 15cm. Laske pallon massa, kun raudan tiheys on 7,9kg/dm 3 B30 Suoran ympyrälieriön muotoisesta säiliöstä otettiin vettä 120 litraa. Kuinka paljon veden pinta laski, kun säililön halkaisija oli 85cm? C26 Neliöpohjaisen pyramidin pohjasärmän pituus on 150m ja korkeus 120 m. Laske pyramidin tilavuus ja vaipan pinta ala. C27 Suorakulmaisen särmiön muotoisen huoneen pituus on 6,3m, leveys 4,7m ja korkeus 2,8m. Keskellä huoneen katossa on lamppu. Hämähäkki lähtee lattianurkasta seinää ja kattoa pitkin kohti lamppua. Laske lyhimmän mahdollisen reitin pituus. 16