Tietokonegraikan geometriaa

Tietokonegraikan geometriaa Eero Hyry kevät 2015

i Sisältö 0 Lineaarialgebran kertausta 1 1 Ainit avaruudet 5 Ainit avaruudet vs. vektoriavaruudet.................... 7 2 Ainit aliavaruudet 12 Konveksi verho................................. 20 3 Ainit kannat 22 4 Ainit kuvaukset 28 Ainit kuvaukset käytännössä......................... 36 5 Keskusprojektio 40 Mitä ovat projektiivisen tason suorat?.................... 45 6 Projektiiviset avaruudet 48 7 Projektiiviset kuvaukset 56 8 Bernsteinin polynomeista 63 9 Bezier -käyrät 66 Casteljaun algoritmi.............................. 70

0 Lineaarialgebran kertausta Määritelmä 0.1. Vektoriavaruus on kolmikko + : V V V, (u, v) u + v : R V, (λ, u) λu ("yhteenlasku", "skalaarikertolasku") siten, että V 1: (V,+) on Abelin ryhmä ts. a) u + v = v + u kaikilla u, v V b) (u + v) + w = u + (v + w) kaikilla u, v, w V c) on olemassa 0 V, jolle v + 0 = 0 + v = v kaikilla v V d) jokaisella v V on olemassa alkio v V, jolle v + ( v) = ( v) + v = 0 V 2: λ(µv) = (λµ)v kaikilla λ, µ R ja v V V 3: (λ + µ)v = λv + µv kaikilla λ, µ R ja v V V 4: λ(u + v) = λu + λv kaikilla λ R ja u, v V V 5: 1 v = v kaikilla v V Määritelmä 0.2. Jos V on vektoriavaruus, niin joukko W V on V:n aliavaruus, mikäli 0 W u, v W u + v W λ R, v W λv W Sama toisin: W V :n aliavaruus, jos ja vain jos λ 1,..., λ n R ja v 1,..., v n W n λ i v i = λ 1 v 1 +... + λ n v n W Esimerkki. Jos V on vektoriavaruus ja S V, niin S:n virittämä aliavaruus < s > = span(s) := W, missä W V on aliavaruus ja S W. Konkreettisesti { } < s >= λ i v i λ 1,..., λ n R, v 1,..., v n S. 1

Määritelmä 0.3. Olkoon V vektoriavaruus. Joukko {v 1,..., v n } V on vapaa, mikäli λ i v i = 0, missä (λ 1,..., λ n R) λ 1 =... = λ n = 0. Muutoin {v 1,..., v n } on sidottu. Määritelmä 0.4. Olkoon V vektoriavaruus. Joukko {v 1,..., v n } on V:n kanta, mikäli V = < v 1,..., v n > {v 1,..., v n } on vapaa Huomautus. {v 1,..., v n } on kanta kun jokainen v V voidaan esittää yksikäsitteisesti muodossa v = λ i v i, missä λ i v i R. Esimerkki. R n :n standardikanta on {e 1,..., e n }, missä e 1 = (0,..., 0, 1, 0,..., 0). Lause 0.5. Jos V on äärellisviritteinen vektoriavaruus, niin 1. jokainen V:n virittäjistö sisältää kannan 2. kanta on minimaalinen virittäjäjoukko 3. jokainen vapaa joukko voidaan täydentää kannaksi 4. kanta on maksimaalinen vapaa joukko 5. kaikissa V:n kannoissa on sama määrä alkioita Määritelmä 0.6. Jos V on vektoriavaruus, jolla on kanta {v 1,..., v n }, niin sanotaan, että V on n-ulotteinen. Merkitään dim(v ) = n. Määritelmä 0.7. Olkoot V ja W vektoriavaruuksia. Kuvaus L : V W on lineaarinen, mikäli ( ) L λ i v i = λ i L(v i ), kaikilla λ 1,..., λ n R ja v 1,..., v n V. 2

Lause 0.8. Olkoot V ja W vektoriavaruuksia. Jos {v 1,..., v n } V on V:n kanta ja {w 1,..., w n } W, niin on olemassa yksikäsitteinen lineaarikuvaus L : V W siten, että L(v i ) = w i, missä i {1,..., n}. V W {v 1,..., v n } Seuraus. Jos V on vektoriavaruus, jolla on kanta {v 1,..., v n }, niin on olemassa yksikäsitteinen lineaarinen isomorsmi L : V R n siten, että L(v i ) = e i, missä i {1,..., n}. Olkoot V, W vektoriavaruuksia, joilla on kannat S := {v 1,..., v n }, T := {w 1,..., w m }. Jos L : V W on lineaarikuvaus, niin kirjoitetaan kaikilla j {1,..., n} L(v j ) = m λ ij w j missä λ ij R ja i {1,..., m}. Määritelmä 0.9. Edellä mainitun lineaarikuvauksen L matriisi on M(L j S i T ) := [λ ij ] = m n-matriisi, (i {1,..., m}, j {1,..., n}) jonka j:nnen sarakkeen muodostavat vektorin L(v j ) koordinaatit Jos S ja T ovat selviä voidaan merkitä λ ij. λ mj M(L) = M(L j S i T ) 3

Lause 0.10. Olkoon V, W, U vektoriavaruuksia, joilla on kannat S = {v 1,..., v n }, T = {w 1,..., w m } ja R = {u 1,..., u l }. Jos L : V W ja K : W U ovat lineaarikuvauksia, niin M(K L j S i R) = M(K j T i R) M(L j S i T ) }{{}}{{}}{{} l n l m m n W L V K K L U Todistus. Merkitään M(L j S i T ) := [λ kj ] M(K j T i R) := [µ ik ] Jos j {1,..., n}, niin (K L)(v j ) = K(L(v j )) ( m ) = K λ kj W k = = = k=1 m λ kj K(W k ) k=1 m (k {1,..., m}, j {1,..., n}) (i {1,..., l}, k {1,..., m}) µ ik u i ) l λ kj( k=1 l ( m ) µ ik λ kj k=1 }{{} M(K L j S i R) ij u i 4

1 Ainit avaruudet Ongelma: Onko avaruutemme R 3? Origo? Tietokonegraikka: Alla olevat kuviot ovat "graasia primitiivejä lokaalissa koordinaatistossa". y y y 1 1 x x 1 1 x Jos ajatellaan, että on olemassa "maailmankoordinaatisto", niin ei ole olemassa "luonnollista" origoa. Esimerkki. xy-taso {(x, y, 0) x, y R} R 3 aliavaruus. Mutta mikä on {(x, y, 1) x, y, 1 R}? Esimerkki. Taso H := {(x, y, z) R 3 z = 1} ei ole R 3 :n aliavaruus. Kuitenkin pisteitä (x, y, z) H voidaan "siirtää"ts. (t, s) R 2 (x, y, z) + (t, s, 0) = (x + t, y + s, z) H. Täten voidaan määritellä kuvaus σ : R 2 H H, ((t, s), (x, y, z)) (x + t, y + s, z) Määritelmä 1.1. Aini avaruus on kolmikko (E, V, σ), missä E on epätyhjä joukko, V vektoriavaruus ja σ : V E E siten, että A1: σ(0, P ) = P kaikilla P E A2: σ(w, σ(v, P )) = σ(v + w, P ) kaikilla P E ja v, w V A3: Kaikilla P, Q E on olemassa yksikäsitteinen v V siten, että σ(v, P ) = Q. Merkitään P Q := v. Sanotaan, että E:n alkiot ovat pisteitä ja V on siirtoavaruus. Ainin avaruuden (E, V, σ) dimensio on dim(v ). 5

Esimerkki. Edellä mainituin merkinnöin (H, R 2, σ) on aini avaruus. Esimerkki. Standardi aini avaruus on (R n, R n, σ), missä σ : R n R n R n, (u, v) u + v Esimerkki. Tarkastellaan suoraa E := {(x, y) R 2 x + y = 1}. Määritellään kuvaus σ : R E E asettamalla σ((t, (x, y)) = (x + t, y t), josta saadaan aini avaruus (E, R, σ). Nimittäin, A1: σ(0, (x, y)) = (x + 0, y 0) = (x, y) kaikilla (x, y) E A2: σ(s, σ(t, (x, y)) = σ(s, (x + t, y t)) = (x + t + s, y t s) = (x + (t + s), y (t + s)) A3: Olkoon (x, y), (x, y ) E. Jos t R siten, että Todellakin, σ(t, (x, y)) = (x, y ) (x + t, y t) = (x, y ) t = x x = y y σ(x x, (x, y)) = (x + x x, y x + x) = (x, y ). Esimerkki. Tarkastellaan paraboloidia E := {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 = z}. Määritellään kuvaus σ : R 2 E E, asettamalla σ((t, s), (x, y, z)) = (x + t, y + s, (x + t) 2 + (y + s) 2 ), josta saadaan aini avaruus (E, R 2, σ). Tässä tapauksessa määritelmän kohdat A1, A2 ovat selviä. A3: Olkoon (x, y, z), (x, y, z ) E. Jos (t, s) R 2 siten, että σ((t, s), (x, y, z)) = (x, y, z ), niin josta seuraa (x + t, y + s, (x + t) 2 + (y + s) 2 ) = (x, y, z ), { { x + t = x y + s = y t = x x s = y y 6

Kääntäen, σ((x x, y y), (x, y, z)) = (x + x x, y + y y, (x + x x) 2 + (y + y y) 2 ) = (x, y, x 2 + y 2 ) = (x, y, z ) Huomautus. Olkoon (E, V, σ) aini avaruus. Usein puhutaan vain ainista avaruudesta E ja merkitään E = V ja P + v := σ(v, P ) kaikilla P E ja v V. Tällöin aksioomat ovat: A1: P + 0 = P kaikilla P E A2: (P + v) + w = P + (v + w) kaikilla P E ja v, w E A3: Kaikilla P, Q E on olemassa yksikäsitteinen v E siten, että P + v = Q Ainit avaruudet vs. vektoriavaruudet Olkoon E aini avaruus E A P AP v E Valitaan A E ("origo"). Määritellään kuvaus ϕ A : E E asettamalla kaikilla P E. ϕ A (P ) A3 = AP Lause 1.2. Edellä mainittu kuvaus ϕ A : E E on bijektio. Erityisesti asettamalla jolloin P + A Q := ϕ 1 A (ϕ A(P ) + ϕ A (Q)), λ A P := ϕ 1 A (λϕ A(P )) kaikilla P, Q E ja λ R, saadaan joukosta E vektoriavaruus (merkitään E A ). Tällöin ϕ A on lineaarinen isomorsmi E A E. 7

Todistus. Osoitetaan, että kuvaus ψ A : E E, v A + v on ϕ A :n käänteiskuvaus. ψ A ϕ A = id E : Olkoon P E, jolloin (ψ A ϕ A )(P ) = ψ A (ϕ A (P )) = ψ A ( AP ) = A + AP A3 = P ϕ A ψ A = id E Olkoon v E, jolloin E on vektoriavaruus HT. ϕ A lineaarinen: (ϕ A ψ A )(v) = ϕ A (ψ(v)) Olkoon λ, µ R ja P, Q E, josta seuraa = ϕ A (A + v) = A(A + v) A3 = v ϕ A (λ A P + A µ A Q) = ϕ A (ϕ 1 A (λϕ A(P )) + A ϕ 1 A (µϕ A(Q))) = ϕ A (ϕ 1 A (λϕ A(P ))) + ϕ A (ϕ 1 A (µϕ A(Q))) = λϕ A (P ) + µϕ A (Q) Lause 1.3. Olkoon E aini avaruus. Tällöin (a) P Q = 0 P = Q (b) P Q = QP kaikilla P, Q E Todistus. (a) Nyt, Q A3 = P + P Q = P + 0 A1 = P 8

(b) Oletetaan sitten, että josta seuraa, että Tällöin, mistä, P A1 = P + 0 A3 P P = 0 P + P Q A3 = Q ja Q + QP A3 = P, P + P Q = (Q + QP ) + P Q A2 = Q + ( QP + P Q) = Q QP + P Q = QQ = 0, P Q = QP Lause 1.4. (Chasles) Jos E on aini avaruus, niin P Q + QR = P R kaikilla P, Q, R E Todistus. Nyt, P + ( P Q + QR) A2 = (P + P Q) + QR A3 = Q + QR A3 = R A3:n yksikäsitteisyydestä seuraa, että P Q + QR = P R Lause 1.5. Olkoon E aini avaruus. Jos P 1,..., P n E ja λ 1,..., λ n R siten, että λ 1 +... + λ n = 1, niin A + λ i APi = B + λ i BPi kaikilla A, B E 9

Todistus. Nyt, A + λ i APi = = A + =A + ( λ i ( AB + BP i ) (λ iab + λibpi ) λ iab + λ ibpi ) ( ( ) = A + λ i AB + }{{} =1 = (A + AB) + = B + λ i BPi λ i BPi ) ) λ ibpi Määritelmä 1.6. Olkoon E aini avaruus. Pisteiden P 1,..., P n E aini kombinaatio on piste λ i P i := A + λ iapi, missä A E ja λ 1,..., λ n R siten, että λ 1 +... + λ n = 1. Usein sanotaan myös, että n λ i P i on pisteiden P 1,..., P n massakeskipiste, kun näillä on painot λ 1,..., λ n R. Esimerkki. Olkoon E = R 2, n = 2. Olkoon lisäksi P 1, P 2 R 2 ja λ 1, λ 2 R siten, että λ 1 + λ 2 = 1. Merkitään P := λ 1 P 1 + λ 2 P 2. Valitaan A = P 1. Tällöin, P = P 1 + λ 1 P 1 P 1 + λ 2 P 1 P 2 = P 1 + λ 2 P 1 P 2 Siis, P on P 1 :n ja P 2 :n kautta kulkevalla suoralla (erityisesti λ 1, λ 2 0 P janalla P 1 P 2 ). Havaitaan, että P 1 P = λ 2 P 1 P 2. Sanotaan, että P jakaa janan P 1 P 2 suhteessa λ 2 : λ 1. 10

Esimerkki. Olkoon E = R 2 ja n = 3. Olkoon lisäksi P 1, P 2, P 3 R 2 ja λ 1, λ 2, λ 3 R siten, että λ 1 + λ 2 + λ 3 = 1. Merkitään P = λ 1 P 1 + λ 2 P 2 + λ 3 P 3. A = P 1 P = P 1 + λ 2 P 1 P 2 + λ 3 P 1 P 3 A = P 2 P = P 2 + λ 1 P 2 P 1 + λ 3 P 2 P 3 A = P 3 P = P 3 + λ 1 P 3 P 1 + λ 2 P 3 P 2 Tarkastellaan tapausta λ 1, λ 2, λ 3 0 ( λ 1, λ 2, λ 3 1) Toinen tulkinta. Kirjoitetaan: P = λ 1 P 1 + (λ 2 + λ 3 ) = λ 2 P 2 + (λ 1 + λ 3 ) = λ 3 P 3 + (λ 1 + λ 2 ) Tarkastellaan tapausta λ 1, λ 2, λ 3 0 ( λ2 P 2 + λ ) 3 P 3 λ 2 + λ 3 λ 2 + λ 3 P 1 + λ ) 3 P 3 λ 1 + λ 3 λ 1 + λ 3 P 1 + λ ) 2 P 2 λ 1 + λ 2 λ 1 + λ 2 ( λ1 ( λ1 11

2 Ainit aliavaruudet Määritelmä 2.1. Olkoon E aini avaruus. Joukkoa F E sanotaan E:n ainiksi aliavaruudeksi, mikäli P 1,..., P n F seuraa, että λ i P i F kaikilla λ 1,..., λ n R siten, että λ 1 +... + λ n = 1 Esimerkki. Olkoon a, b, c, d R. Taso H := {(x, y, z) R 3 ax + by + c = d} on R 3 :n aini aliavaruus. Todistus. Olkoot P 1,..., P n H ja λ 1,..., λ n R siten, että λ 1 +... + λ n = 1. Kirjoitetaan P i = (x i, y i, z i ), missä ax i + by i + cz i = d (i {1,..., n}). Tällöin, ( λ i P i = λ i x i, λ i y i, ) λ i z i 12

Nyt, ( a ) ( λ i x i + b ) ( λ i y i + c λ i z i ) = = λ i (ax i + by i + cz i ) λ i d ( = λ i )d = d Siis, λ i P i H Huomautus. Jotta F E olisi ainin avaruuden aini aliavaruus, riittää todeta: Jos P, Q F, niin λp + µq F kaikilla λ, µ R siten, että λ + µ = 1. Olkoon P 1,..., P n F ja λ 1,..., λ n R siten, että λ 1,..., λ n = 1 ja väitetään, että λ i P i F. Todistus. Voidaan olettaa, että esimerkiksi λ n 1. Kirjoitetaan, Tässä, Tällöin, n 1 ( n 1 ) λ i λ i P i = (λ 1 +... + λ n 1 ) P i + λ n P n. λ 1 +... + λ n 1 λ i λ 1 +... + λ n 1 = 1 induktio n 1 λ i λ 1 +... + λ n 1 P i F ( n 1 ) (λ 1 +... + λ n 1 ) + λ n = 1 n=2 λ i (λ 1 +... + λ n 1 ) P i +λ n P n F. λ 1 +... + λ n 1 }{{} 2 λ i P i 13

Todistetaan vielä edellä käytetty kaava: Valitaan A E. Tällöin ( n 1 ) λ i λ i P i = (λ 1 +... + λ n 1 ) P i + λ n P n λ 1 +... + λ n 1 ( n 1 ) λ i op = A + (λ 1 +... + λ n )A P i + λ napn λ 1 +... + λ n 1 Määritelmänsä mukaan n 1 λ i n 1 P i = A + λ 1 +... + λ n 1 λ i APi, λ 1 +... + λ n 1 josta seuraa ( n 1 A ) λ i n 1 P i = λ 1 +... + λ n 1 λ i APi. λ 1 +... + λ n 1 Siis, n 1 ( ) λ i op = A + (λ 1 +... + λ n 1 ) APi + λ napn λ 1 +... + λ n 1 n 1 = A + λ iapi + λ napn = λ i P i Merkintä: Olkoon E aini avaruus. Jos A E ja W E on aliavaruus, niin merkitään A + W := {A + w w W } 14

Lause 2.2. Olkoon E aini avaruus. Jos = F E, niin seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä 1. F on E:n aini aliavaruus 2. Joukko F A := { AP P F } E on E :n aliavaruus kaikilla A F. Tällöin F = A + F A 3. Joukko F := { P Q P, Q F } E on E :n aliavaruus ja F = F A kaikilla A F. Tällöin F = A + F. 4. On olemassa A F ja aliavaruus W E siten, että F = A + W. Tällöin W = F. Yllä mainittu aliavaruus F on F :n suunta-avaruus. Todistus. Suunnitelma 1) 2) 3) 4) 1). 1) 2): Olkoon P 1,..., P n F ja λ 1,..., λ n R. Väitetään, että λ iapi F A. Todistetaan tämä. Jos F on aini aliavaruus, niin ( ) P := 1 λ i A A + λ i P i F. Määritelmänsä mukaan ( P = A + 1 josta seuraa, että Lopuksi, ) λ i }{{} AA + =0 λ iap = A + λ iapi, λ i APi = AP F A. P A + F A P = A + AQ, missä Q F P = Q, missä Q F P F 15

Siis, 2) 3): F = A + F A Riittää osoittaa, että F = F A kaikilla A F. Tietenkin F A F. Todetaan, että F FA Olkoon P, Q F. Tällöin Siis F F A. Tällöin 3) 4): P Q L1.4 = P A + AQ L1.3b = AP + AQ F A F 2) = A + F A = A + F Valitaan A E ja W = F ja todetaan sitten, että F W : F = A + W W = F Olkoon P, Q F. Jos F = A + W, niin on olemassa w 1, w 2 W siten, että } P = A + w 1 Q = P + (w 2 w 1 ) P Q = w 2 w 1 W Q = A + w 2 W F : Olkoon w W. Merkitään P := A + W }{{} F F = A + W W = AP F 4) 1): Olkoon P 1,..., P n F ja λ 1,..., λ n R siten, että λ 1 +... + λ n = 1. Väitetään, että λ i P i F Jos F = A + W, niin on olemassa w 1,..., w n W siten, että P i = A + w i w i = AP missä i {1,..., n} 16

Täten, λ i P i = A + Mutta, jos W on aliavaruus, niin joten λ i APi = A + λ i w i W, λ i P i A + W λ i w i. Seuraus. Aini aliavaruus on aini avaruus. Nimittäin, kohdasta 3) seuraa, että siirtokuvaus E E E indusoi siirtokuvauksen F F F. Siirtoavaruus on siis suunta-avaruus F. Esimerkki. Olkoon E aini avaruus. Sen suora on aini aliavaruus F E siten, että dim(f ) = 1. Tällöin dim(f ) = 1 dim( F ) = 1 (suoran parametrimuotoinen esitys ). Merkitään on olemassa 0 v F s.e. F = span(v) F }{{} = A + F = {A + tv t R} kaikilla A F L2.2. 3) L(A, v) := {A + tv t R} Esimerkki. Olkoon E aini avaruus. Jos P, Q E, missä P Q, niin on olemassa yksikäsitteinen suora L E siten, että P, Q L. olemassaolo: Nyt, Tällöin P Q L.1.3a P Q 0 P = P + 0 } P Q Q = P + 1 P, Q L(P, P Q) P Q 17

yksikäsitteisyys: Olkoon L E suora siten, että P, Q L. Tällöin, P, Q L P Q L span( P Q) L span( P Q) = L L = P + L = P + span( P Q) = L(P, P Q) Esimerkki. Jos E on aini avaruus, niin sen taso on aini aliavaruus F E siten, että dim(f ) = 2. Kuten edellä F = {A + tv 1 + sv 2 t, s R}, missä A F ja {v 1, v 2 } on F :n kanta. Tämä on F :n parametrimuotoinen esitys. Esimerkki. Mitkä ovat R 3 :n ainit aliavaruudet? Jos F on tälläinen, niin F R 3 dim( F ) 3 F = {0}, origon kautta kulkeva suora, taso, tai R 3 Lauseen 2.2 kohdan 3) nojalla F on piste, suora, taso tai R 3 Lause 2.3. Olkoon E aini avaruus. Jos joukot F i, missä i I, ovat sen aineja aliavaruuksia siten, että F := i I F i, niin myös F on E:n aini aliavaruus. Sen suunta-avaruus on F = F. Todistus. H2T5. Määritelmä 2.4. Olkoon E aini avaruus. Joukon S E aini verho on Aff(S) := F i I F S, F E affiini aliavaruus = suppein E:n aini aliavaruus, joka sisältää S:n 18

Lause 2.5. Jos E on aini avaruus ja S E, niin { } Aff(S) = λ i P i P i S, λ i R, λ i = 1 Todistus. Merkitään F = op joukko. Ensinnäkin, jos Aff(S) on aini aliavaruus ja S Aff(S), niin F Aff(S). Täten, jos S F, niin riittää todeta, että F on aini aliavaruus. Käytetään Määritelmän 2.1 jälkeistä huomautusta. Toisin sanoen osoitetaan, että jos P, Q F, λ, µ R, λ + µ = 1, niin Nyt, P = λp + µq F. λ i P i, Q = λ i P i, missä P 1,..., P n S ja λ 1,..., λ n, µ 1,..., µ n R siten, että λ i = 1, µ i = 1. Tällöin, Tässä, Siis, λp + µq = (λλ i + µµ i )P i. ( ) ( ) (λλ i + µµ i )P i = λ λ i + µ µ i = λ + µ = 1 λp + µq F. Esimerkki. Jos E on aini avaruus ja P, Q E, P Q, niin Aff(P, Q) = {λp + µq λ, µ R, λ + µ = 1} = L(P, P Q) = P + span( P Q) 19

Lause 2.6. Jos E on aini avaruus ja S E, niin Aff(S) = A + span{ AP P S}, kaikilla A S. Todistus. Lauseen 2.2. kohdan 2) nojalla Aff(S) = A + { AP P Aff(S)} Pitää siis osoittaa, että Ensinnäkin { AP P Aff(S)} = span{ AP P S} S Aff(S) AP { AP P Aff(S)} kaikilla P S span{ AP P S} { AP P Aff(S)} }{{} vektoriavaruus Olkoon P Aff(S). Lauseen 2.5. nojalla P = λ i P i, missä λ 1,..., λ n R, λ 1 +... + λ n = 1 ja P 1,..., P n S. Nyt, josta seuraa Siis " "pätee. AP = P = A + λ i APi, λ i APi span{ AP P S}. Konveksi verho Määritelmä 2.7. Olkoon E aini avaruus. Pisteiden P 1,..., P n E konveksikombinaatio on λ i P i, missä λ 1,..., λ n R, λ i = 1 ja λ i 0 kaikilla i {1,..., n}. 20

Määritelmä 2.8. Olkoon E aini avaruus. Joukko K E on konveksi, mikäli P, Q K λp + µq K, kaikilla λ, µ R siten, että λ + µ = 1 ja λ, µ 0. Toisin sanoen, jana [P, Q] := {λp + µq λ, µ R, λ + µ = 1, λ, µ 0} K Esimerkki. Ei-konveksi joukko R 2 Konveksien leikkaus on konveksi, joten voidaan antaa seuraava määritelmä. Määritelmä 2.9. Olkoon E aini avaruus. Joukon S E konveksi verho Conv(S) := K K E K S = suppein E:n konveksi joukko, joka sisältää S:n. 21

Esimerkki. E = R 2 Lause 2.10. Olkoon E aini avaruus. Jos S E, niin Todistus. Osin H2T8. { Conv(S) = λ i P i P i S, λ i R, λ i 0, Esimerkki. Jos E on aini avaruus ja P 1, P 2, P 3 E, niin kolmio } λ i = 1 (P 1, P 2, P 3 ) = {t 1 P 1 + t 2 P 2 + t 3 P 3 t i R, t i 0, t 1 + t 2 + t 3 = 1} 3 Ainit kannat Määritelmä 3.1. Olkoon E aini avaruus. Pisteiden P 0,..., P n E sanotaan olevan ainisti riippumattomia mikäli vektorit P 0 P 1,..., P 0 P n E ovat lineaarisesti riippumattomia (eli { P 0 P 1,..., P 0 P n } on vapaa). Huomautus. Tämä ei riipu pisteiden järjestyksestä. Toisin sanoen kaikilla i 0 pätee P 0 P 1,..., P 0 P n ovat lineaarisesti riippumattomia, josta seuraa, että P i P j ovat lineaarisesti riippumattomia. Todistus. Oletetaan siis, että j i λ j Pi P j = 0, 22

missä λ j R (j i). Lauseen 1.4 nojalla P i P j = P i P 0 + P 0 P j = P 0 P i + P 0 P j kaikilla j i Tällöin, 0 = j i λ j Pi P j = j i,0 = j i,0 = j i,0 = j i,0 λ j Pi P j + λ 0 Pi P 0 λ j Pi P j λ 0 P0 P i λ j ( P 0 P i + P 0 P j ) λ 0 P0 P i ( λ j P 0 P j + ) λ j λ 0 j i,0 }{{} ( λ j +λ 0 ) j i,0 P 0 P i Oletuksesta seuraa, että josta puolestaan seuraa, että λ j = 0 kaikilla j 0, i ja λ j + λ 0 = 0, j i,0 λ j = 0 kaikilla j i. Esimerkki. Pisteet (1, 1), (2, 2) R 2 ovat ainisti riippumattomia, koska (1, 1), (2, 2) = (1, 1) 0 on lineaarisesti riippumaton. Vektorit (1, 1), (2, 2) = 2(1, 1) ovat tietenkin lineaarisesti riippuvia. Esimerkki. Pisteet (0, 0), (1, 0), (0, 1) R 2 ovat ainisti riippumattomia, koska vektorit (1, 0), (0, 1) R 2 ovat lineaarisesti riippumattomia. 23

Lause 3.2. Olkoon E aini avaruus ja P 0,..., P n E. Tällöin P 0,..., P n ovat ainisti riippumattomia, jos ja vain jos λ i P i = µ i P i, ( λ i, µ i R, λ i = 1 = µ i ), josta seuraa λ i = µ i kaikilla i {0,..., n} Todistus. " " Oletetaan, että λ i P i = µ i P i, missä λ i = µ i = 1. Tästä seuraa, että P 0 + λ i P0 P i = P 0 + λ i P0 P i = λ i P0 P i = (λ i µ i ) P 0 P i = 0 µ i P0 P i µ i P0 P i µ i P0 P i ( P 0 P 0 = 0) Nyt, koska P 0,..., P n ovat ainisti riippumattomia, niin P 0 P 1,..., P 0 P n ovat lineaarisesti riippumattomia, joten on oltava, että λ i = µ i kaikilla i {1,..., n} (myös λ 0 = 1 n λ i = 1 n µ i = µ 0 ). " " Oletetaan, että λ 1,..., λ n R siten, että n ( 1 λ i )P 0 + λ i P i = P 0 + ( 1 λ i P0 P i = 0. Havaitaan, että ) λ i P 0 P }{{} 0 + =0 λ i P0 P i } {{ } =0 = P 0 24

Oletuksen nojalla 1 n λ i = 1 λ 1 =... = λ n = 0 λ i = 0, missä i {1,..., n} Esimerkki. Jos E on aini avaruus ja P 0,..., P n E ainist riippumattomia, niin määritellään n-simpleksi { (P 0,..., P n ) := Conv(P 0,..., P n ) = λ i P i λ i R, λ i 0, } λ i = 1 Määritelmä 3.3. Olkoon E aini avaruus. Joukko {P 0,..., P n } E on E:n aini kanta mikäli 1. E = Aff(P 0,..., P n ) 2. P 0,..., P n ovat ainisti riippumattomia Huomautus. Lauseen 2.6. nojalla pätee Täten Aff(P 0,..., P n ) = P 0 + span( P 0 P 1,..., P 0 P n ) }{{} =suuntaavaruus =siirtoavaruus Aff(P 0,...,P n) Lause2.2.+huom E = Aff(P 0,..., P n ) E = span( P 0 P 1,..., P 0 P n ) Siis {P 0,..., P n } on E:n ani kanta 25

1. E = span( P 0 P 1,..., P 0 P n ) 2. P 0 P 1,..., P 0 P n ovat lineaarisesti riippumattomia { P 0 P 1,..., P 0 P n } on E :n kanta. Lause 3.4. Olkoon E aini avaruus. Tällöin joukko {P 0,..., P n } E on sen aini kanta, joss jokainen P E voidaan esittää yksikäsitteisellä tavalla muodossa P = λ i P i, missä λ 0,..., λ n R ja n λ i = 1. Todistus. Todetaan, että voidaan E = Aff(P 0,..., P n ) yksikäsitteisellä tavalla P 0,..., P n ovat ainisti riippumattomia Määritelmä 3.5. Olkoon E aini avaruus, jolla on aini kanta, joka muodostuu pisteistä {P 0,..., P n }. Jos P E ja P = n λ i P i, missä λ 0,..., λ n R siten, että λ 0 +... + λ n = 1, niin sanotaan, että λ 0,..., λ n ovat P :n barycentriset koordinaatit edellä mainitun kannan suhteen. Huomautus. Siis P = λ i P i P = P 0 + P 0 P = λ i P0 P i λ i P0 P i Täten, P 0 P :llä on koordinaatitλ 1,..., λ n, joss P :llä on barycentriset koordinaatit λ 0,..., λ n, missä λ 0 = 1 n λ i Olkoon n = 2, E = R 2, P 0 = (0, 0), P 1 = (1, 0), P 2 = (0, 1) 26

Esimerkki. R n standardi aini kanta on {e 0,..., e n }, missä e 0 = (0,..., 0), e i = (0,..., 0, 1, 0,..., 0) (i {1,..., n}). Lause 3.6. Jos E on aini avaruus siten, että dim(e) = n ja P 0,..., P n E, niin seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä 1. {P 0,..., P n } on E:n ani kanta 2. P 0,..., P n ovat ainisti riippumattomia 3. E = Aff(P 0,..., P n ) Todistus. Ensinnäkin dim(e) = dim( E ) Lineaarialgebrasta tiedämme, että seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä 1. { P 0 P 1,..., P 0, P n } on E :n kanta 2. P 0 P 1,..., P 0 P n ovat lineaarisesti riippumattomia 3. E = span( P 0 P 1,..., P 0 P 1 ) Mutta, nyt tiedetään, että 1 1. (Määritelmän 3.3. jälkeen olevan huomautuksen nojalla) 2 2. (Määritelmä 3.1.) 3 3. (Lauseen 3.4. todistus) 27

4 Ainit kuvaukset Määritelmä 4.1. Olkoot E, E aineja avaruuksia. Kuvauksen f : E E sanotaan olevan aini mikäli ( ) f : λ i P i = λ i f(p i ) kaikilla P 1,..., P n E ja λ 1,..., λ n R siten, että λ 1 +... + λ n = 1 P = λ 1 P 1 + λ 2 P 2 }{{} λ 1 +λ 2 =1 f(p ) = λ 1 f(p 1 ) + λ 2 f(p 2 ) Esimerkki. Olkoon E aini avaruus ja v E, jolloin translaatio on aini (H3T4) T : E E, P P + v Esimerkki. Jos E on aini avaruus ja A E, niin vakiokuvaus on aini (HT). f : E E, P A Esimerkki. Jos E on aini avaruus ja A E ja λ 0, niin A-keskinen venytys on aini. f : E E, P A + λ AP 28

Todistus. Olkoon P 1,..., P n E ja λ 1,..., λ n R siten, että λ 1 +... + λ n = 1, jolloin ( ) ( ) f λ i P i = A + λa λ i P i Tässä josta Siis λ i P i = A + ( ) A λ i P i = ( ) f λ i P i = A + λ = A + = A + = A + = λ i APi, λ i f(p i ) λ i APi λ i APi λ i λ AP i λ i A + λ AP i λ i Af(P i ) Konkreettisesti: Olkoon E = R 2, A = (1, 1) ja λ = 2. Tällöin f(x, y) = (1, 1) + 2((x, y) (1, 1)) = (2x 1, 2y 1) = 2(x, y) + ( 1, 1) 29

Esimerkki. Olkoot E, E aineja avaruuksia. Jos A E, B E ja L : E E on lineaarikuvaus, niin kuvaus f : E E, P B + L( AP ) on aini. Todistus. Olkoon P 1,...P n E ja λ 1,..., λ n R siten, että n λ i = 1. Tällöin ( ) ( ( )) f λ i P i = B + L A λ i P i ( λ i P i = A + = B + = B + = B + = λ i f(p i ) ) λ iapi λ i L( AP i ) λ i B(B + L( AP i )) λ i Bf(P i ) Lause 4.2. Olkoot E, E aineja avaruuksia. Jos f : E E on aini kuvaus, niin on olemassa yksikäsitteinen lineaarikuvaus L : E E siten, että f(a + v) = f(a) + L(v) kaikilla A E ja v E. 30

Merkitään f = L Tällöin siis f = f(a)f(a + v) Todistus. Yksikäsitteisyys on selvä. Olemassaolo: Valitaan A E ja määritellään kuvaus f = E E asettamalla Josta seuraa, että f (v) = f(a)f(a + v) kaikilla v E. f(a + v) = f(a) + f (v) f on lineaarinen: Olkoon v 1,..., v n E, λ 1,..., λ n R. Mitä on n λ i v i? Nyt f(a + λ i v i ) = f(a + ( = f( 1 = ( 1 = f(a) + = f(a) + ( 1 ) λ i AA + λ i A(A + v i )) λ i )A + λ i )f(a) + ( 1 λ i f (vi ) λ i (A + v i )) λ i f(a + v i ) λ i ) f(a)f(a) + λ i f(a)f(a + v i ) }{{} f (vi ) Toisaalta f(a + λ i v i ) = f(a) + ( ) f λ i v i 31

Täten on oltava f ( Tämä ei riipu A:sta. Toisin sanoen λ i v i ) = λ i f (vi ) f(a)f(a + v) = f(b)f(b + v) kaikilla A, B E ja v E. Nyt B + v = (A + AB) + v = A + ( AB + v) = A + ( AB + A(A + v)) = A + ( AA + AB + A(A + v)) = A + B + (A + v) Tästä seuraa, että f(b + v) = f(a) + f(b) + f(a + v) = f(b) + ( f(b)f(a)) + f(b)f(b) + f(b)f(a + v)) }{{} =0 L1.4 = f(b) + ( f(b)f(a)) + f(b)f(a) + f(a)f(a + v) = f(b) + f(a)f(a + v) Täten f(b)f(b + v) = f(a)f(a + v) Määritelmä 4.3. Olkoon E, E aineja avaruuksia. Ainia bijektiota f : E E sanotaan ainiksi isomorsmiksi eli aniteetiksi. Tällöin E ja E ovat isomorsia. Huomautus. f : E E aini bijektio f 1 : E E on myös aini Lause 4.4. Olkoon E, E aineja avaruuksia ja f : E E aini kuvaus. Tällöin f bijektio f bijektio 32

Todistus. Valitaan A E. Merkitään B := f(a). Lauseen 1.2 todistuksen nojalla meillä on bijektiot Lauseen 4.2 nojalla on voimassa ψ A : E E, v A + v ψ B : E E, v B + v f(a + v) = f(a) + f (v) f(ψ A (v)) = ψ B ( f (v)) kaikilla f ψ A = ψ B f Toisin sanoen meillä on kommutoiva kaavio kaikilla v E v E E ψ A E f f E ψ B E Täten f = ψ B f ψ 1 A f = ψ 1 B f ψ A josta voidaan päätellä, että f bijektio f bijektio f bijektio f bijektio Huomautus. Tällöin Lauseen 1.2 todistuksen nojalla ψ 1 B f 1 = (ψ B f ψ 1 A ) 1 = (ψ 1 A ) 1 f 1 ψ B = ψ A f 1 ψ 1 B = ψ B, missä ψ B : E E, Q BQ 33

Nyt, jos Q E, niin f 1 (Q) = (ψ A f 1 ψ B )(Q) = ψ A ( f 1 ( BQ)) = A + f 1 ( BQ) Lause 4.5. Olkoon E, E aineja avaruuksia. Jos {P 0,..., P n } E on E:n aini kanta, niin kaikilla Q 0,..., Q n E on olemassa yksikäsitteinen aini kuvaus f : E E, P i Q i kaikilla i {1,..., n}. Todistus. Lauseen 4.2 nojalla f määräytyy yksikäsitteisesti pisteestä f(p 0 ) = Q 0 ja lineaarikuvauksesta f : E E. Havaitaan, että jos i > 0, niin f(p i ) = Q i f(p 0 ) + f ( P 0 P i ) = Q i Q 0 + f ( P 0 P i ) = Q i f ( P 0 P i ) = Q 0 Q i kaikilla i {1,..., n} Nyt {P 0,..., P n } on E:n aini kanta { P 0 P 1,..., P 0 P n } on E :n kanta. Lauseen 0.8 nojalla on olemassa yksikäsitteinen lineaarikuvaus f : E E siten, että f ( P0 P i ) = Q 0 Q i kaikilla i {1,..., n}. 34

Esimerkki. Olkoon E = E = R 2, jolloin f : R 2 R 2 on missä siis f( (P 0, P 1, P 2 )) = (Q 0, Q 1, Q 2 ). Lause 4.6. Olkoon E, E aineja avaruuksia, joilla on kannat {P 0,..., P n } E ja {Q 0,..., Q n } E. Tällöin on olemassa yksikäsitteinen aniteetti f : E E, P i Q i kaikilla i {1,..., n}. Todistus. Lauseen 4.5 nojalla on olemassa ainit kuvaukset siten, että f : E E ja g : E E f(p i ) = Q i ja g(q i ) = P i kaikilla i {1,..., n}. H3T8 tuloksesta seuraa, että g f ja f g ovat aneja. Nyt kaikilla i {0,..., n}. Tietenkin id E, id E Siis g = f 1. (g f)(p i ) = g(f(p i )) = g(q i ) = P i (f g)(q i ) = f(g(q i )) = f(p i ) = Q i ovat aineja, joten lauseen 4.5 yksikäsitteisyyden nojalla oltava g f = id E ja f g = id E Seuraus. Jos E on aini avaruus ja tämän ainina kantana on {P 0,..., P n } E niin on olemassa yksikäsitteinen aniteetti f : E R n 35

siten, että f(p i ) = e i i {1,..., n}, missä {e 0,..., e n } on R n aini standardikanta, e 0 = (0,..., 0), e 1 = (1, 0,..., 0),..., e n = (0,..., 0, 1). Ainit kuvaukset käytännössä Olkoon f : R n R m aini kuvaus. Lauseen 4.2 nojalla on olemassa lineaarikuvaus f : R n R m siten, että kaikilla x R n f(x) = f(0) + f (x 0) = f(0) + f (x) Toisin sanoen missä T f(0) on translaatio f = T f(0) f y f(0) + y, R n R m Jos M = M( f ) R m n, niin f(x) = f(0) + Mx missä tulkitaan x R n 1 ja f(0), f(x) R m 1. Esimerkki. Peilaus f : R 2 R 2 suoran x + y = 1 suhteen. Tämä on f = T (0,1) g T (0, 1) missä T (0, 1), T (0,1) ovat translaatioita ja g : R 2 R 2 on peilaus x + y = 0 suhteen. Olisivatpahan nämä lineaarikuvauksia, sillä silloin olisi voimassa M(f) = M(T (0,1) )M(g)M(T (0, 1) ), 36

mutta näin ei ole! Olkoon f : R n R m aini kuvaus. Tarkastellaan seuraavia upotuksia ε : R n R n m, (x 1,..., x n ) (x 1,..., x n, 1) δ : R m R n, (y 1,..., y n ) (y 1,..., y n, 1) Jos x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ), niin käytetään seuraavia lyhennysmerkintöjä (x; 1) = ε(x), (y; 1) = δ(y). Lause 4.7. Jos f : R n R m on aini kuvaus, niin on olemassa yksikäsitteinen lineaarikuvaus g : R n+1 R m+1 siten, että g ε = δ f eli kaavio R n+1 ε R n g f R m+1 R m δ kommutoi. Todistus. Olemassaolo: Merkitään M = M( f ) R m n ja [ ] M f(0) M := R (m+1) (n+1) 0 1 On olemassa lineaarikuvaus g : R m+1 R m+1 siten, että M = M(g). Toisin sanoen g(x 1,..., x n+1 ) = M x 1. x n+1 37

Jos nyt x R n, niin Yksikäsitteisyys: g(ε(x)) = g(x; 1) = M(x; 1) [ ] [ ] M f(0) x = 0 1 1 [ ] Mx + f(0) 1 = x 0 + 1 1 [ ] Mx + f(0) = 1 [ ] f(x) = 1 = δ(f(x)) Olkoon {e 1,..., e n ja {e 1,..., e n+1} R n :n ja R n+1 :n standardikannat. Jos tällöin g on lineaarinen, niin g määräytyy alkiosta g(e i), missä i {1,..., n}. Havaitaan, että ja Tällöin ja e i = (0,..., 0, (i) 1, 0,..., 0) = (0,..., 0, 1, 0,..., 0, 1) (0,..., 0, 1) = ε(e i ) ε(0) kaikilla i {1,..., n} e n+1 = (0,..., 0, 1) = ε(0). g(e i) = g(ε(e i ) ε(0)) = g(ε(e i ) g(ε(0)) = δ(f(e i )) δ(f(0)) = (f(e i ); 1) (f(0); 1) = (f(0) + f (e i ); 1) (f(0); 1) = ( f (e i ); 0) kaikilla i {1,..., n} g(e n+1) = g(ε(0)) = δ(f(0)) = (f(0); 1) 38

Esimerkki. Tarkastellaan peilausta f : R 2 R 2 suoran x + y = 1 suhteen. Edellä todettiin, että f = T (0,1) g T (0, 1), missä g : R 2 R 2, (x, y) ( y, x) on peilaus suoran x + y = 0 suhteen. Täten f(x, y) = ( (y 1), (x + 0)) + (0, 1) = ( y + 1, x + 1) kaikilla (x, y) R 2 = f(x, y) = ( y, x) }{{} f (x,y) +(1, 1) kaikilla (x, y) R 2, josta seuraa, että f = g, f(0) = (1, 1). Tällöin Myös: 0 1 1 M = 1 0 1 0 0 1 ( M(g) = [ 0 ] ) 1 1 0 f = T (0,1) g T (0, 1) M(f) = M(T (0,1) M(g) M(T(0, 1) T (0,1) (x, y) = (x, y) + (0, 1) T (0,1) = id R 2 1 0 0 M(T (0,1) ) = 0 1 1 0 0 1 39

0 1 0 M(g) = 1 0 0 0 0 1 1 0 0 M(T (0, 1) ) = 0 1 1 0 0 1 Siis M(f) = = 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 5 Keskusprojektio Tarvitaan: projektiokeskus O R 3 kuvataso S R 3 Pisteen P R 3 projektio on P = OP S 40

Saadaan kuvaus π : R 3 \ H S, missä H on S:n suuntainen taso siten, että O H. Valitaan: O := (0, 0, 0) S := {(x, y, z) R 3 z = 1} Tällöin H = {(x, y, z) R 3 z = 0} Jos P = (x, y, z) R 3 \ H, niin Tarkastellaan suoraa π(p ) = t(x, y, z) t(x, y, z) S tz = 1 t = 1/z π(x, y, z) = ( x z, y z, 1) x = x 0 + tα L := y = y 0 + tβ z = z 0 + tγ, missä (x 0, y 0, z 0 ) R 3, 0 (α, β, γ) R 3 Mitä on π(l \ L H)? Tapaus γ 0: Nyt Merkitään Tällöin π(l \ L H) = u := { x0 + tα z 0 + tγ, y 0 + tβ z 0 + tγ, 1 1 z 0 + tγ t = 1 ( ) 1 γ u z 0 ( x 0 + tα z 0 + tγ = u x 0 + 1 ( ) ) 1 γ u z 0 α = α γ + (x 0 α γ z 0)u } z 0 + tγ 0 41

ja Täten y 0 + tβ z 0 + tγ = β γ + (y 0 β γ z 0)u {( ( α π(l \ L H) = γ + x 0 α γ z 0 )u, βγ ( + {( α = suora \ γ, β )} γ, 1 Havaitaan myös, että ja Huomataan, että x 0 + tα lim t ± z 0 + tγ = lim t ± y 0 + tβ lim t ± z 0 + tγ = lim t ± y 0 β γ z 0 x 0 t + α z 0 t + γ = y 0 t + β z 0 t + γ = (α, β, γ ) = λ(α, β, γ) (Toisin sanoen meillä on kaksi yhdensuuntaista suoraa) Tällöin ( ) ( α γ, β α γ, 1 = γ, β ) γ, 1 α γ β γ ) } u, 1) u 0 (L ja L jatkavat matkaansa äärettömyyteen) 42

( α Määritelmä 5.1. Edellä mainittu piste γ, β ) γ, 1 on suoran L pakopiste. Huomautus. Yhdensuuntaisilla suorilla on sama pakopiste. Tapaus γ = 0: z 0 = 0 π ei ole määritelty L:ssä z 0 0 L H = Nyt { x0 + tα π(l) =, y } 0 + tβ, 1 z 0 t R = suora z 0 Esimerkki. Jos (α, β, γ) = (0, 0, 1), niin pakopiste on (0, 0, 1). Lause 5.2. Tarkastellaan tasoa T := {(x, y, z) R 3 ax + by + cz = d}, missä a, b, c, d R 3 ja (a, b) 0. Jos L T on suora, joka ei ole kuvatason suuntainen, niin L:n pakopiste on suoralla { ax + by = c z = 1 Todistus. Oletetaan, että L on suora x = x 0 + αt y = y 0 + βt z = z 0 + γt, missä (α, β, γ) R 3 ja γ 0. Jos nyt L T, niin L (a, b, c), missä (a, b, c) on T :n normaali. Tällöin (α, β, γ) (a, b, c) = 0 αa + βb + γc = 0 α γ + bβ γ = c Määritelmä 5.3. Edellä mainittu taso T on pakosuora. 43

Esimerkki. XY-tason pakosuora? Jos yhtälö y = 0 on pakosuora, niin { y = 0 z = 1 } := horisontti Ongelma: Pakopisteellä ei ole alkukuvaa. Tarvitaan siis uusia pisteitä tasoon! Idea: Määritelmä 5.4. Projektiivinen taso P 2 := {L R 3 L on suora s.e. O L}. Merkintä: Jos 0 (u, v, w) R 3, niin (u : v : w) := {t(u, v, w) t R}. Luvut u, v, w ovat P 2 :n pisteen (u : v : w) homogeeniset koordinaatit. Huomautus. Jos (u, v, w), (u, v, w ) R 3 \ {0}, niin (u : v : w) = (u : v : w ) on olemassa 0 λ R s.e. (u, v, w ) = λ(u, v, w) Havainto: (x : y : 1) = (x, y, 1) (x, y) = (x, y ) (λ = 1!) Tällöin saadaan bijektio (x, y) (x : y : 1), R 2 {(u : v : w) P 2 w 0} 44

Erityisesti ( u w, v ) ( u w w : v ) w : 1 = (u : v : w) Jos (x, y) R 2, (u, v, w) R 3, w 0, x = u w ja y = v, niin sanotaan, että u, v, w w ovat (x, y):n homogeenisia koordinaatteja. Siis P 2 koostuu pisteistä: (u : v : w), missä w 0 = tavalliset tason pisteet (u : v : w) ( u w, v w ) (u : v : 0) = äärettömyyspisteet = tason suunnat Mitä ovat projektiivisen tason suorat? Määritelmä 5.5. Jos 0 (a, b, c) R 3, niin joukkoa {(u : v : w) P 2 au + bv + cw = 0} sanotaan projektiiviseksi suoraksi. Luvut a, b, c ovat sen homogeeniset koordinaatit. Huomautus. Joukko T := {(x, y, z) R 3 ax+by+cz = 0} on origon kautta kulkeva taso. Nyt Jos (a, b) 0, niin on R 2 :n suora. (u : v : w) on suoralla (u, v, w) T (u : v : w) T }{{} {(λu,λv,λw) λ R} T {(x, y, z) R 3 z = 1} = {(x, y, 1) R 3 ax + by + x = 0} 45

Huomautus. Jos (a, b, c), (a, b, c ) R 3 \ {0}, niin {(u : v : w) P 2 au + bv + cw = 0} = {(u : v : w) P 2 a u + b v + c w = 0} {(x, y, z) R 3 ax + by + cw = 0} = {(x, y, z) R 3 a x + b y + c z = 0} (a, b, c ) = λ(a, b, c) jollakin λ R ((a, b, c), (a, b, c ) ovat edellä mainittujen tasojen normaaleja) Esimerkki. Yhdensuuntaiset suorat leikkaavat toisensa P 2 :ssa! Lähdetään liikkeelle R 2 :n suorista: L : y =kx + a L : y =kx + a, missä k, a, a R ja a a. Vastaavat projektiiviset suorat ovat: Merkitään x = u w, y = v, jolloin saadaan projektiiviset suorat w v L : w =k u + a ku v + aw = 0 w L : v w =k u w + a ku v + a w = 0 L L? Nyt, u 0: v 0: Täten, joten, (u : v : w) L L ku v = 0 (u : v : w) = (u : ku : 0) = (1 : k : 0) u = 1 k v, k (u : v : w) = ( 1 λ k v : v : 0) = v (1 : k : 0) Siis L L = {(1 : k : 0)}. 46

Lause 5.6. (Dualiteetti) Piste (u 0 : v 0 : w 0 ) P 2 on suoralla au + bv + cw = 0, missä 0 (a, b, c) R 3, jos ja vain jos piste (a : b : c) P 2 on suoralla u 0 u + v 0 v + w 0 w = 0. Todistus. (u 0 : v 0 : w 0 ) mainitulla suoralla au 0 + bv 0 + cw 0 = 0 u 0 a + v 0 b + w 0 c = 0 (a : b : c) on halutulla suoralla Lause 5.7. a) P 2 :n kaksi eri suoraa leikkaavat toisensa täsmälleen yhdessä pisteessä b) P 2 :n kahden eri pisteen kautta kulkee täsmälleen yksi suora Todistus. b) Olkoot (u 1 : v 1 : w 1 ), (u 2 : v 2 : w 2 ) P 2 eri pisteitä. Tällöin (u 1 : v 1 : w 1 ), (u 2 : v 2 : w 2 ) L := {(u : v : w) P 2 au + bv + cw = 0}, missä (0 (a, b, c) R 3 ) (u 1, v 1, w 1 ), (u 2, v 2, w 2 ) T := {(x, y, z) R 3 ax + by + cz = 0} Nyt, (u 1 : v 1 : w 1 ), (u 2 : v 2 : w 2 ) ovat eri pisteitä, jolloin ei ole olemassa sellaista λ R, että (u 2, v 2, w 2 ) = λ(u 1, v 1, w 1 ), joten (u 1, v 1, w 1 ), (u 2, v 2, w 2 ) ovat lineaaristesti riippumattomia. Täten (u 1, v 1, w 1 ), (u 2, v 2, w 2 ) T, jolloin {(u 1, v 1, w 1 ), (u 2, v 2, w 2 )} on T :n kanta. Tällöin T = span((u 1, v 1, w 1 ), (u 2, v 2, w 2 ). Näin ollen T (ja siis myös L) on olemassa ja on yksikäsiteinen. a) Olkoot L i := {(u : v : w) P 2 a i u + b i v + c i w = 0} (0 (a i, b i, c i )R 3 ) eri P 2 :n suoria. Jos (u 0, v 0, w 0 ) P 2 ja L := {(u : v : w) P 2 u 0 u + v 0 v + w 0 w = 0}, niin lauseen 5.6 nojalla (u 0, v 0, w 0 ) L i (a i : b i : c i ) L (i = 1, 2) 47

Täten (u 0, v 0, w 0 ) L 1 L 2 (a 1 : b 1 : c 1 ), (a 2 : b 2 : c 2 ) L Kohdan b) nojalla L on olemassa ja se on yksikäsitteinen (L 1 L 2 (a 1 : b 1 : c 1 ) (a 2, b 2, c 2 )), jolloin (u 0, v 0, w 0 ) on olemassa ja se on yksikäsitteinen. Esimerkki. Määrää pisteiden (u 1 : v 1 : w 1 ), (u 2 : v 2 : w 2 ) P 2 kautta kulkevan suoran yhtälö ((u 1 : v 1 : w 1 ) (u 2 : v 2 : w 2 )). Etsistään siis suoraa L := {(u : v : w) P 2 au + bv + cw = 0}(0 (a, b, c) R 3 ) siten, että (u 1 : v 1 : w 1 ), (u 2 : v 2 : w 2 ) L Tällöin { au 1 + bv 1 + cw 1 = 0 au 2 + bw 2 + cw 2 = 0 { (a, b, c) (u 1, v 1, w 1 ) = 0 (a, b, c) (u 2, v 2, w 2 ) = 0 valitaan (a, b, c) = (u 1, v 1, w 1 ) (u 2, v 2, w 2 ) (u : v : w) L au + bv + cw = 0 (a, b, c) = 0 ((u 1, v 1, w 1 ) (u 2, v 2, w 2 )) (u, v, w) u v w u 1 v 1 w 1 u 2 v 2 w 2 = 0 6 Projektiiviset avaruudet Määritelmä 6.1. Jos V on vektoriavaruus, niin projektiivinen avaruus on P(V ) := {L V L aliavaruus s.e. dim(l) = 1}. Sen dimensio on dim(p(v )) := dim(v ) 1. Tapauksessa V = R n+1, merkitään P n := P(R n+1 ). 48

Merkintä: Jos 0 v V, niin [v] := span(v) = {λv λ R}. Jos tällöin 0 v, v V, niin [v] = [v ] v = λv jollakin λ R. Saadaan surjektio Tapauksessa V = R n+1 v [v], V \ {0} P(v). (x 1 :... : x n+1 ) := [(x 1,..., x n+1 )] kaikilla 0 (x 1,..., x n+1 ) R n+1 Esimerkki. P = P(R 2 ) = {L R 2 suora s.e. 0 L} Nyt siis P 1 = }{{} R { } }{{} = suoran = y=1 x akseli pisteet Määritelmä 6.2. Jos V on vektoriavaruus ja W V sen aliavaruus, niin projektiivinen aliavaruus on P(W ) := {L P(V ) L W }. Huomautus. Jos 0 v V, niin [v] P(W ) [v] W v W 49

Esimerkki. dim(p(w )) = 0 dim(w ) = 1 P(W ) on P(V ):n piste dim(p(w )) = 1 P(W ) on P(V ):n projektiivinen suora dim(p(w )) = 2 P(W ) on P(V ):n projektiivinen taso dim(p(w )) = dim(p(v )) 1 P(W ) on P(V ):n projektiivinen hypertaso Lause 6.3. Olkoon V vektoriavaruus. Jos X i aliavaruuksia, niin samoin on X i. i I (i I) ovat P(V ):n projektiivisia Todistus. Oletetaan, että W i V on aliavaruus X i = P(W i ) (i I). Tällöin L X i L X i kaikilla i I i I L W i kaikillai I L W i i I Mutta i I W i on aliavaruus. Täten i I ( ) X i = P W i i I Lause 6.4. Jos V on äärellisulotteinen vektoriavaruus ja W 1, W 2 V sen aliavaruuksia, niin Tässä dim(w 1 + W 2 ) = dim(w 1 ) + dim(w 2 ) dim(w 1 W 2 ) W 1 + W 2 := {w 1 + w 2 w 1 W 2, w 2 W 1 } = span(w 1 W 2 ) Todistus. Olkoon {w 1,..., w r } W 1 W 2 :n kanta. Täydennetään tämä: W 1 :n kannaksi {w 1,..., w r, u 1,..., u s } W 2 :n kannaksi {w 1,..., w r, v 1,..., v t } Tällöin } W 1 = span(w 1,..., w r, u 1,..., u s ) W 1 + W 2 = span(w 1,..., w r, u 1,..., u s, v 1,..., v t ) W 2 = span(w 1,..., w r, v 1,..., v t ) 50

Täten riittää osoittaa, että w 1,..., w r, u 1,..., u s, v 1,..., v t ovat lineaarisesti riippumattomia. Oletetaan siis, että α 1,..., α r, β 1,..., β s, γ 1,..., γ t R siten, että jolloin α 1 w 1 +... + α r w r + β 1 u 1 +... + β s u s + γ 1 v 1 +... + γ t v t = 0, α 1 w 1 +... + α r w r + β 1 u 1 +... + β s u }{{} s = γ 1 v 1... γ t v t. =:v Tässä v W 1, mutta op W 2, josta seuraa, että v W 2. Tällöin {w 1,..., w r } on W 1 W 2 :n kanta, jolloin v = {δ 1 w 1,..., δ r w r } jollakin δ 1,..., δ r R. Huomataan, että v:llä on W 1 :n kannassa {w 1,..., w r, v 1,..., v t } kaksi esitystä: v =α 1 w 1 +... + α r w r + β 1 v 1 +... + β s u s v =δ 1 w 1 +... + δ r w r + 0v 1 +... + 0v s, jolloin Näin ollen josta β 1 =... = β s = 0. α 1 w 1 +... + α r w r = γ 1 v 1... γ t v t, α 1 w 1 +... + α r w r + γ 1 v 1 +... + γ t v t = 0. Mutta, {w 1,..., w r, v 1,..., v t } on W 2 :n kanta, jolloin vektorit ovat lineaarisesti riippumattomat. Siis, α 1 =... = α r = γ 1 =... = γ t = 0. Merkintä: Olkoon V vektoriavaruus ja W 1, W 2 V aliavaruuksia. Projektiivisten aliavaruuksien, X 1 = P(W 1 ), X 2 = P(W 2 ) P(V ) yhdysavaruus X 1 + X 2 = P(W 1 + W 2 ). Esimerkki. Olkoon V vektoriavaruus ja P 1, P 2 P(V ) eri pisteitä. Mitä on {P 1 } + {P 2 }? Ensinnäkin P 1 = [v 1 ], P 2 = [v 2 ], missä v 1, v 2 V \ {0}. 51

Tällöin josta Nyt {P 1 } = P([v 1 ]), {P 2 } = P([v 2 ]), {P 1 } + {P 2 } = P([v 1 ] + [v 2 ]). [v 1 ] + [v 2 ] = {λ 1 v 1 + λ 2 v 2 λ 1, λ 2 R} = span(v 1, v 2 ). Havaitaan, että jos P 1 P 2, niin ei ole olemassa sellaista λ R, että v 2 = λv 1. Siis v 1, v 2 ovat lineaarisesti riippumattomia. Tästä seuraa, että {v 1, v 2 } on span(v 1, v 2 ):n kanta. Siis dim(span(v 1, v 2 )) = 2. Toisin sanoen dim([v 1 ], [v 2 ])) = 2, jolloin dimp([v 1 ], [v 2 ]) = 1, jolloin {P 1 } + {P 2 } on projektiivinen suora. Lause 6.5. Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus ja W 1, W 2 V sen aliavaruuksia. Jos X 1 := P(W i ), X 2 := P(W 2 ), niin dimx 1 X 2 = dimx 1 + dimx 2 dim(x 1 + X 2 ). Erityisesti dimx 1 + dimx 2 dimp(v ) X 1 X 2. Todistus. Koska X 1 X 2 L6.3. = P(W 1 W 2 ), X 1 + X 2 = P(W 1 + W 2 ), joten lauseen 6.4. nojalla väite pätee. Todetaan sitten, että dimx 1 + dimx 2 dimp(v ), jolloin dim(x 1 X 2 ) = dimx 1 + dimx 2 dim(x 1 + X 2 ) dimx 1 + dimx 2 dimp(v ) (dim(x 1 + X 2 ) dimp(v )) 0. Siis X 1 X 2. 52

Esimerkki. Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus, H P(V ) hypertaso, X P(V ) projektiivinen suora ja X H. Tällöin X leikkaa H:ta yhdessä pisteessä. Todistus. Käytetään lausetta 6.5. Mitä on dim(x H)? Mitä on dim(x + H)? Olkoon U, W V aliavaruuksia siten, että X = P(U) ja H = P. Tällöin X H P(U) P(W ) U W (U W P(U) P(W )) W U + W (W = U + W P(U) P(W )) W U + W dimw < dim(u + W ) dimv 1 < dim(u + W ) (dimh = dimp(v ) 1 dimw = dimv 1) dim(u + W ) = dimv U + W = V X + H = P(V ). Täten josta väite seuraa. dim(x H) = dimx + dimh dim(x + H) = 1 + dimp(v ) 1 dimp(v ) = 0, Esimerkki. (Kertausta) Tarkastellaan aliavaruutta W := {(x, y, z) R 3 z = 0} R 3, jolloin projektiivinen aliavaruus P(W ) = {(u : v : w) P 2 w = 0} =: äärettömyyssuora. Meillä on bijektio Kirjoitetaan W P 2 \ P(W ), (x, y, 0) (x : y : 1) (x : y : 1) = [(x, y, 1)] = [(x, y, 0) + (0, 0, 1)] 53

Lause 6.6. Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus W V sen aliavaruus siten, että dimw = dimv 1. Valitaan v 0 V \W. Tällöin ehto w [w +v 0 ] määrittelee bijektion ϕ : W P(V ) \ P(W ) Todistus. ϕ olemassa: Jos w W, niin [w + v 0 ] P(W ) w + v 0 W w + v 0 = w jollain w W v 0 = w w W. RR. Siis w W [w + v 0 ] P(V ) \ P(W ). ϕ injektio: Olkoot w, w W siten, että [w + v 0 ] = [w + v 0 ] w + v 0 = λ(w + v 0 ) jollakin λ R jollei ole λ = 1 saataisiin v 0 = 1 λ 1 (w λw) W. RR. Siis λ = 1 w = w. ϕ surjektio: 54

Havaitaan, että v 0 W W + [v 0 ] W (W + [v 0 ] = W [v 0 ] W v 0 W ) W W + [v 0 ] dimw }{{} < dim(w + [v 0 ]) =dimv 1 dim(w + [v 0 ]) = dimv V = W + [v 0 ] Olkoon 0 v V siten, että [v] P(V ) \ P(W ), jolloin v W. Havainto: jolloin Täten v = w + λv 0 jllakin w W ja 0 λ R, ( ) 1 ϕ = λ 1 λ v = 1 λ w +v 0. }{{} W [ ] [ ] 1 1 = λ λ v = [v] Esimerkki. Olkoon V = R 2, jolloin P(V ) = P 1 Esimerkki. Tarkastellaan avaruuksia W i := {(x 1,..., x n+1 ) R n+1 x i = 0} (i = 1,..., n + 1), jolloin H i = P(W i ) (i = 1,..., n + 1). 55

Lauseen 6.6 nojalla meillä on bijektiot Tapauksessa i = n + 1 R n W i P n \ H i. (x 1,..., x n ) (x 1,..., x n, 0) (x 1 :... : x n : 1) ( ) u1 u n,..., (u 1 :... : u n : u n+1 ) u n+1 u n+1 7 Projektiiviset kuvaukset Määritelmä 7.1. Olkoon V, V vektoriavaruuksia. Kuvaus f : P(V ) P(V ) on projektiivinen, mikäli on olemassa lineaarikuvaus g : V V siten, että kaikilla 0 v V pätee f([v]) = [g(v)]. Merkitään f = P(g). Huomautus. Onko tämä mielekästä? Jos v, v V \ {0}, niin [v] = [v ] v = λv jollakin 0 λ R glin. g(v ) = g(λv) = λg(v) [g(v )] = [g(v)] Pitää olla v 0 g(v) 0, joten oltava g injektio! Huomautus. f on välttämättä injektio: Nimittäin, jos v, v V \ {0}, niin f([v]) = f([v ]) [g(v)] = [g(v )] ginjektio g(v ) = λg(v) jollakin λ R glin. g(v ) = g(λv) v = λv [v] = [v ] Jos dimv = dimv, f on myös bijektio: 56

Nimittäin lineaarialgebran dimensiokaavasta seuraa, että Nyt dim(ker g) + dim(im g) = dimv g injektio Ker g = 0 dim(im g) = dimv = dimv dim(g) = V g surjektio f surjektio Projektiviteetti on bijektiivinen kuvaus. Esimerkki. Meillä on kaikilla m n lineaarinen injektio g : R m+1 R n+1, (x1,..., x m+1 ) (x 1,..., x n+1, 0,..., 0), jolloin projektiivinen kuvaus f = P(g) : P m P n, (u 1,..., u m ) (u 1 :... : u m : 0 :... : 0) Esimerkki. Jos V, V ovat vektoriavaruuksia ja f : P(V ) P(V ) projektiivinen kuvaus, niin X P(V ) projektiivinen aliavaruus. Täten f(x) P(V ) projektiivinen aliavaruus. Tällöin dimx = dimf(x) (esimerkiksi suoran kuva on suora!). Todistus. Olkoon g : V V lineaarikuvaus siten, että f = P(g). Jos W V aliavaruus siten, että X = P(W ), niin Tällöin f(x) = {f([v]) 0 v W } = {[g(v)] 0 v W } = {[v ] 0 v g(w )} (g injektio, joten g(v) 0 v = 0) = P(g(W )). dimf(x) = dimp(g(w )) = dimg(w ) 1 = dimw 1 = dimx (g injektio, joten saadaan isomora W g(w ) dimw = dimg(w )). 57

Esimerkki. Olkoon g : R 3 R 3 lineaarikuvaus siten, että 2 0 0 M(g) = 0 2 0. 1 0 1 Sarakkeet ovat lineaarisesti riippumattomia, joten g on bijektio. Täten saadaan projektiviteetti f = P(g), P 2 P 2. Mitä tapahtuu tason z = 1 neliölle ABCD, missä Meillä on bijektio Nyt 2 0 0 x 2x 0 2 0 y = 2y, 1 0 1 1 x + 1 jolloin f(x : y : 1) = (x, y, 1) (x : y : 1), taso z = 1 P 2 \ H 3. ( 2x x + 1 : ) 2y x + 1 : 1, josta f(0 : 0 : 1) = (0 : 0 : 1) =: A f(1 : 0 : 1) = (1 : 0 : 1) =: B f(1 : 1 : 1) = (1 : 1 : 1) =: C f(0 : 1 : 1) = (0 : 2 : 1) =: D 58

Tarkastellaan suoraa L 0 : y = 0, z = 1, jonka vastaava projektiivinen suora v = 0 ja suoraa L 1 : y = 1, z = 1, jonka vastaava projektiivinen suora on v = w. Nyt L 0 L 1 = {(1 : 0 : 0)}, jolloin f(l 0 ) f(l 1 ) = f(l 0 L 1 ) = f(1 : 0 : 0) = (2 : 0 : 0) Määritelmä 7.2. Olkoon V vektoriavaruus. Pisteiden P 1,..., P r P(V ) sanotaan olevan projektiivisesti riippumattomia, mikäli on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit v 1,..., v r V siten, että P i = [v i ] kaikilla i = {1,...r}. Esimerkki. Tarkastellaan lineaarikuvausta missä 0 λ R, jolloin projektiviteetti g : R 2 R 2, (x, y) (x, λy), f := P(g) : P 2 P 2, (u : v) (u : λv). Nyt f(1 : 0) = (1 : 0), f(0 : 1) = (0 : λ) = (0 : 1), kuitenkin f id P 1, mikäli λ 1. Määritelmä 7.3. Olkoon V (n+1)-ulotteinen vektoriavaruus. Jos P 0 P 1,..., P n+1 P(V ), niin sanotaan, että {P 0 P 1,..., P n+1 } on P(V ):n projektiivinen kanta, mikäli n+1 näistä ei ole projektiivisesti riippuvia. 59

Lause 7.4. Edellä mainitun määritelmän tilanteessa voidaan valita vektorit v 0,..., v n+1 V siten, että P i = [v i ] kaikilla i {1,..., n + 1} ja {v 1,..., v n+1 } on V :n kanta v 0 = v 1 +... + v n Todistus. Olkoot v 0,..., v n+1 \{0} siten, että P i = [v i] kaikilla i {0,..., n + 1}. Oletuksen perusteella, P 1,..., P n+1 projektiivisesti riippumattomia, joten on olemassa lineaarisesti riippumattomat v 1,..., v n+1 siten, että P i = [v i ] kaikilla i {1,..., n + 1}. Tällöin [v i] = [v i ], joten on olemassa λ i R siten, että v i = λ i v i (i {1,..., n + 1}). Havainto: v 1,..., v n+1 lineaarisesti riippumattomia, josta seuraa, että samoin ovat vektorit v 1,..., v n+1. Mutta dimv = n + 1, joten {v 1,..., v n+1} on V :n kanta. Nyt v 0 V v 0 = µ 1 v 1 +... + µ n+1 v n+1, joillakin µ 1,..., µ n+1 R. On oltava µ i 0 kaikilla i {1,..., n + 1}, koska muuten projektiivisesti riippuvia. µ i = 0 P 0,..., P i 1, P i+1,..., P n+1 Valitaan v 0 = v 0, v i = µ i v i, missä i {1,..., n + 1}. Lause 7.5. Olkoot V, V (n+1)-ulotteisia vektoriavaruuksia. Jos {P 0, P 1,..., P n+1 } P(V ), {P 0, P 1,..., P n+1} P(V ), ovat projektiivisia kantoja, niin on olemassa yksikäsitteinen projektiivinen kuvaus f : P(V ) = P (V ) siten, että kaikilla i {0,..., n + 1}. f : (P i ) = P i Todistus. Lauseen 7.4 nojalla on olemassa v 0,..., v n+1 V ja v 0,..., v n+1 V siten, että P i = [v i ] ja P i = [v i] (i {1,..., n + 1}), sekä {v 1,..., v n+1 } V ja {v 1,..., v n+1} V ovat kantoja 60

v 0 = v 1 +... + v n+1 ja v 0 = v 1 +... + v n+1 1) Olemassaolo: Lineaarialgebran nojalla on olemassa lineaarikuvaus g : V V siten, että g(v i ) = v i (i {1,..., n + 1}). Tällöin g(v 0 ) = g(v 1 +... + v n+1 ) = g(v 1 ) +... + g(v n+1 ) = v 1 +... + v n+1 = v 0 Havaitaan, että jos {v 1,..., v n+1 }, {v 1,..., v n+1}, niin g on bijektio, jolloin saadaan projektiivinen kuvaus f := P(g) : P(V ) P(V ) siten, että kaikilla i {1,..., n + 1}. 2) Yksikäsitteisyys: f(p i ) = f([v i ]) = [g(v i )] = [v i] = P i Oletetaan, että f : P(V ) P(V ) on projektiivinen kuvaus siten, että f(p i ) = P i (i {1,..., n + 1}). Olkoon g = P( g) lineaarikuvaus siten, että f = P( g). Tällöin f(p i ) = P i [ g(v i ] = [v i ] g(v i ) = λ i v i jollakin 0 λ i R, missä i {1,..., n + 1}. Erityisesti Tällöin v 0 = v 1 +... + v n+1 g(v 0 ) = g(v 1 ) +... + g(v n+1 ) λ 0 v 0 = λ 1 v 1 +... + λ n+1 v n+1 λ 0 (v 1 +... + v n+1) = λ 1 v 1 +... + λ n+1 v n+1 λ 0 v 1 +... + λ 0 v n+1 = λ 1 v 1 +... + λ n+1 v n+1 λ 0 = λ 1 =... = λ n+1 g(v i ) = λ i v i = λ 0 v i = λ 0 g(v i ) = (λ 0 g)(v i ) kaikilla i {(0), 1,..., n + 1}, 61

joten Mutta tällöin g = λ 0 g. f([v]) = [ g(v)] = [λ 0 g(v)] = [g(v)] = f([v]) kaikilla 0 v V. Siis f = f. Esimerkki. P n standardi projektiivinen kanta on {e 0, e 1,..., e n+1 }, missä e 0 = (1 :... : 1) ja e i = {0 :... : 0 : i 1 : 0 :... : 0} (i {1,..., n + 1}). Esimerkki. Määrää kaikki projektiiviset kuvaukset f : P 1 P 1 siten, että f(1 : 0) = (1 : 0) ja f(0 : 1) = (0 : 1). Olkoon f tälläinen ja g : R 2 R 2 lineaarikuvaus siten, että f = P(g). [ ] a c Kirjoitetaan M(g) =. b d Tässä g bijektio, joten ad bc 0. Nyt Samoin f(1 : 0) = (1 : 0) [g(1, 0)] = (1 : 0) (a : b) = (1 : 0) (a, b) = λ(1, 0) { a = λ b = 0. jollakin 0 λ R Siis M(g) = f(0 : 1) = (0 : 1) (c : d) = (0 : 1) [ ] λ 0. 0 µ (c, d) = µ(0, 1) { c = 0 d = µ. jollakin 0 µ R 62

Täten f(u : v) = [g(u, v)] [ [ ] [ ] ] λ 0 u = 0 µ v [ [ ] ] λu = µv = (λu : µv) kaikilla (u : v) P 1. Kääntäen f on f(1 : 0) = (1 : 0) ja f(0 : 1) = (0 : 1). Nyt f(1 : 1) = (λ : µ). 8 Bernsteinin polynomeista Määritelmä 8.1. Bernsteinin polynomi. ( ) n Bi n = t i (1 t) n 1 (t [0, 1], i, n N, 0 i n) i Esimerkki. B 0 0(t) = 1, B 1 0(t) = 1 t, B 1 1(t) = t, B 2 0(t) = (1 t) 2, B 2 1(t) = 2t(1 t), B 2 2(t) = t 2, kaikilla t [0, 1]. Tarkastellaan vektoriavaruutta V n, jonka alkioina ovat funktiot missä a 0,..., a n R. H1T1 nojalla funktiot t a 0 t n + a 1 t n 1 +... + a n, [0, 1] R, muodostavat tämän kannan. Erityisesti dimv n = n + 1. t t i, [0, 1] R (i {0,..., n}) 63

Lause 8.2. {B n 0,..., B n n} on V n :n kanta. Todistus. Riittää osoittaa, että B0 n,..., Bn n ovat lineaarisesti riippumattomia. Oletetaan siis, että λ i Bi n = 0, missä λ 0,..., λ n R. ( λ i Bi n Sijoitus s := ) (t) = 0 kaikilla t [0, 1] λ i Bi n (t) = 0 kaikilla t [0, 1] ( ) n λ i t i (1 t) n 1 = 0 kaikilla t [0, 1] i ( )( ) i n t λ i = 0 kaikilla t [0, 1[. i 1 t ( t ) 1 t (s = 1 1, t [0, 1[ s [0, [) 1 t ( ) n λ i s i = 0 kaikilla s [0, [ i λ 0 =... = λ n = 0. 1 (1 t) t 1 n Huomautus. Voidaan todistaa: Weierstrassin approksimaatiolause. Jos f : [0, 1] R on jatkuva funktio, niin kaikilla ε > 0 on olemassa n N siten, että ( ) i f(t) f Bi n (t) n < ε kaikilla t [0, 1]. Lause 8.3. a) Ykkösen ositus: b) Ei-negatiivisuus: Bi n (t) = 1 kaikilla t [0, 1] B n i (t) 0 kaikilla t [0, 1] 64