MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio Olkoon a 1 = a 2 = 5 ja a n+1 = a n + 6a n 1 kun n 2. Todista induktiolla, että a n = 3 n ( 2) n, kun n on positiivinen kokonaisluku. L4 Lauselogiikkaa Tutki onko lauseskeema [(α β) (α γ)] [α (β γ)] tautologia. L5 Logiikkaa Osoita totuustaulutarkastelun avulla, että päättelysäännöt (a) Modus Tollendo Ponens: ehdoista β ja α β voidaan päätellä α (b) Hypoteettinen Syllogismi: ehdoista α β ja β γ voidaan päätellä α γ säilyttävät totuuden. L6 Predikaattilogiikkaa Mitkä seuraavista lauseista ovat tosia, mitkä epätosia? (a) x R : y R : x 3 2y > 0, (b) x R : y R : x 3 2y > 0, (c) y R : x R : x 3 2y > 0 (d) x R : y R : x 3 2y > 0, (e) x R : y R : x 3 2y > 0. M8 Matemaattinen induktio Todista induktiolla, että kaikille n N pätee n i=0 i2 = 1 6n(n + 1)(2n + 1). M9 Logiikkaa Osoita totuustaulutarkastelun avulla että päättelysäännöt (a) De Morgan laki 4: ehdoista (α β) voidaan päätellä α β (b) Disjunktiivinen Syllogismi: ehdoista α β, α γ ja β δ voidaan päätellä γ δ säilyttävät totuuden. M10 Matemaattinen induktio (a) Osoita, että kaikille luonnollisille luvuille n pätee n i=0 i = 1 2n(n + 1). (b) Todista induktiolla, että kaikille n N pätee (1 + x) n 1 + nx jokaiselle reaaliluvulle x 1. 1
T1. Reaaliluvuista Luku p N, p 2, kuuluu alkulukujen joukkoon P jos p on jaollinen vain itsellään ja luvulla 1. Todista, että alkuluvuille pätee p / Q. L2. Reaaliluvuista Määrää lukujoukon S supremum ja infimun, kun (a) S = {x R; x 2 < 9} ja (b) S = {x R; x = 1 n + [1 + ( 1)n ]n 2, n 1}. Kuuluuko supremum tai infimun joukkoon S? L6. Perusfunktioista (a) Määritä sin θ ja tan θ, kun cos θ = 2 3 (kaivataan tarkkoja arvoja ja perusteltuja vastauksia!) (b) Ratkaise yhtälö 5 cosh x + 3 sinh x = 4 L8. Perusfunktioista Määritä tan(arc cos 3 7 ). M9. Perusfunktioista Määritä (a) arc sin 3 2, (b) sin arc sin 0.7 ja (c) arc cos(sin( 0.2)). M10. Areafunktioista Ratkaise (a) ar sinh(0) = x, (b) ar cosh(0) = x ja (c) artanh( 1 2 ) = x 2
L3. Polynomeista Kuinka monta (a) positiivista, (b) negatiivista juurta polynomilla p(x) = x 7 + 5x 6 3x 3 + 9x 1 enintään on? Paljonko juuria on kaikkiaan ja (c) vähintään moniko niistä on kompleksinen? M4. Kompleksiluvuista (a) Sievennä [(2+3i) 2 +i](1 i). Ratkaise z C yhtälöstä (b) 2z 5i = (2+i)z 3 ja (c) z + 2i = 3iz 2z L5. Kompleksiluvuista Määritä (a) e iπ/6 summa- ja polaarimuodossa ja (b) 1 + i, 2 sekä 3i eksponettimuodossa. L6. Kompleksiluvuista Ratkaise yhtälö (a) z 3 = 1 + i ja (b) e z = 2 L7. Polynomeista Todista, että polynomilla p(x) = 3 2x 4 + 7x 5 on täsmälleen yksi positiivinen nollakohta. L8. Polynomeista Etsi polynomin p(x) = x 3 6x 2 + 11x 6 juuret. M9. Kompleksiluvuista Jos z = (1 i 3) 14 niin mitä on Re(z) ja Im(z)? M10. Polynomeista Todista, että polynomin p(x) = x 4 10x 3 32x 2 + 474x 945 eräs juuri on x = 9. Etsi muut juuret. 3
T2. Raja arvo Laske raja arvo lim x 2 x 3 8 x 2 L3. Raja arvo Laske raja arvo lim x 1 x 1 x 3 +x 2 2x M4. Toispuoleinen raja arvo Laske toispuoleiset raja arvot (a) lim x 0 + (a) kohdan tulos ɛδ tekniikalla. L5. Toispuoleinen raja arvo Laske toispuoleinen raja arvo lim x 2 + M6. Raja arvo x Laske raja arvo lim x 1 x 2 +1. L8. Raja arvot x ± Laske raja arvot lim x ± L9. Raja arvo Laske raja arvo lim x 2 x 3 8 x a. ja todista sitten tulos ɛδ tekniikalla. 2x 2 x+1 3x 2 +2x 1. x+ x x2 +x 1 x+2. x ja (b) lim x+ x x 0 x. Todista 4
L4. Funktion jatkuvuus joukossa Olkoon g(x) = x x 1. Millä seuraavista väleistä [0, 1), (0, 1), (0, 1], [1, ), (1, ) g(x)on jatkuva? Todistusta ei tarvita, perustely kylläkin. L5. Funktion jatkuvuus ɛδ tekniikalla Olkoon f(x) = ln x. Todista, että f(x) on jatkuva joukossa (1, ). Voit käyttää mm logaritmin laskusääntöjä. T6. Funktion jatkuvuus ɛδ tekniikalla Olkoon f(x) = e x. Todista, että f(x) on jatkuva joukossa (0, ). Voit käyttää mm potenssifunktion laskusääntöjä. M7. Funktion jatkuvuus joukossa Todista funktiot sinh(x) ja cosh(x) jatkuviksi määrittelyalueissaan. Vihje: T6. L8. Funktion jatkuvuus ɛδ tekniikalla Olkoon f(x) = sin x. Todista, että f(x) on jatkuva joukossa (, ). Voit käyttää trigonometristen funktioiden laskusääntöjä ja mm kaavaa sin(x) sin(y) = 2 cos x+y 2 sin x y 2. M9. Funktion tasainen jatkuvuus ɛδ tekniikalla Osoita tasaisen jatkuvuuden määritelmään nojautuen, että 100 + x on tasaisesti jatkuva joukossa S = {x 0 x}. L10. Käänteisfunktion olemassaolo Todista ensin, että funktiolla f(x) = x 2 + 6 on käänteisfunktio joukossa [0, ) ja etsi se sitten. 5
L4. Yhdistetyn funktion derivointi Derivoi (a) f(x) = e cos x (b) f(x) = sin 2 (ln x) (c) f(x) = ln(x 2 ) cos(e x ). L5. Derivoimissääntöjä Johda funktioiden (a) f(x) = sinh(x) ja (b) f(x) = ar sinh(x) derivaattafunktioiden lausekkeet. M6. Logaritminen derivointi Derivoi funktio f(x) = x sin(x) ( ) seuraavalla tavalla: Ota lausekkeesta ( ) logaritmit puolittain, derivoi erikseen vasen puoli ja sitten oikea puoli ja ratkaise lopuksi f (x):n lauseke. M7. Implisiittinen derivointi Implisiittinen derivointi on yhdistetyn funktion derivoimissäännön sovellus tapaukseen, missä funktiota ei ole annettu suoraan, vaan se tunnetaan yhtälönä, jonka argumentin arvot x ja funktion arvot y(x) toteuttavat. Jos löytyy pisteitä (x, y), jotka toteuttavat yhtälön, voidaan periaatteessa ratkaista y muuttujan x funktiona: y = y(x). (a) Ratkaise tämän vihjeen perusteella y (x):n lauseke, kun x 4 + y 4 = 2xy 5. (b) Totea, että piste (1, 1) toteuttaa em. implisiittifunktion lausekkeen ja laske arvo y (1). M8. Funktion ääriarvot Etsi funktion f(x) = sin x + x 2 L9. Funktion ääriarvot minimit ja maksimit, kun x [0, 2π]. Etsi funktion f(x) = x 1 2 x paikalliset minimit ja maksimit, kun x R +. M10. l Hospital Laske raja arvo lim x 0 4 4 cos x 2 sin 2 x x 4. 6