Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÆÁ Å Ä ÊÇ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Ì Ú Ø ÐÑ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ØØ Ð

Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÖÓ Æ Ñ Ð ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼

Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÆÁ Å Ä ÊÇ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Ì Ú Ø ÐÑ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ØØ Ðݺ Ì Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ Ö ¹ ØÝ Ø Ó Ø ÐÐ ÐÙ ÓÙÖ Ö¹ Ö Ò ¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ØØ Òº ÓÙÖ Ö¹ ÑÙÙÒÒÓ Ø Ò Ø ÓÖ ÙÙÐÙÙ ÝÐ ÑÔÒ ÓÙÖ Ö¹ Ò ÐÝÝ Ò Ô Ö Òº ÓÙÖ Ö¹ Ò ÐÝÝ Ò ÓÒ ØÙÐÓ ÓÒ ÑÙ Ò Ø ØÝØ ÓØ ØÝØØÚ ÙÒ Ø Ó¹ Ø ÚÓ Ò ÔÔÖÓ ÑÓ Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ø Ö Ø Ò Ò ÒÓØÙÒ ÓÙÖ Ö¹ Ö Ò ÚÙÐÐ º Ç Ó Ø ÑÑ ØØ ¹ ÓÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ä Ù ¹Ò Ð ÒØ ÖÓ ØÙÚÙÙ Ø ¹ ÙÔÔ Ò Ú Ò ÓÙÖ Ö¹ Ö Ø ÐÑÒ ÓÐ Ñ ÓÐÓÒº ÌÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ Ö ÓÒ Ô ÒÓØ ØØÙ ÙÑÑ ÓÑÔÐ ÔÓÒ ÒØØ ÙÒ Ø Ó Ø ÓØ ÑÙÓ¹ Ó Ø Ú Ø ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ò ÒÒ Ò Ä Ù ¹Ò Ð ÒØ ÖÓ ØÙÚ Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ú ¹ ÖÙÙ ÐÐ L 2 º ÅÖ ØØ Ð ÑÑ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ÑÝ ¹ ÓÐÐ ÐÐ ÙÒ ¹ Ø ÓÐÐ f L 2 º Ä ØØ Ð ÑÑ ÐÝ Ý Ø Ö Ø Ò ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Òº ÌÙØ ÐÑ Ò ØÖ ÑÔ Ò ØÙÐÓ Ø Ò ÒÒ ÐØ ÓÒ Ö ØØ Ò Ø ØØ L 2 ÓÒ À Ð ÖØ Ò Ú ÖÙÙ º Ñ Ö ÓÑÔÐ Ø Ò ÔÓÒ ÒØ Ð ÙÒ Ø Ó Ò ÓÙ¹ ÓÒ ÓÖØÓ ÓÒ Ð ÙÙ ÓÐ ÐÙÓÒØ Ú Ø ÑÖ Ø ÐØÚ ÐÑ Ò À Ð ÖØ Ò Ú ¹ ÖÙÙ Ò Ø Øغ ÌÓ Ø ÑÑ ÑÝ ØØ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ ÓÒ ÓÑÓÖ Ñ Ú ÖÙÙ ÐØ L 2 Ú ÖÙÙØ Ò L 2 º

Ë ÐØ ÂÓ ÒØÓ ½ ½ Î ÐÑ Ø Ð Ú Ø Ö Ø ÐÙ ¾ ½º½ ÆÓÖÑ ¹ ØÙÐÓ Ú ÖÙÙ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º¾ ÁÒØ ÖÓ ØÙÚÙÙ Ò Ð ÒØ ÖÓ ØÙÚÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾ Î ØÓÖ ¹ ÙÒ Ø Ó ÓÒÓ Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ø ½½ ¾º½ ÌÝ ÐÐ ÝÝ ÙÔÔ Ò Ñ Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ¾º¾ ÃÓÒÚ Ö Ò Ð Ù Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÓÙÖ Ö¹ Ö ½ º½ ÌÝ ÐÐ Ø ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ø ÓÙ Ó Ø º º º º º º º º º º º º º ¾¼ º¾ ÓÙÖ Ö¹ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º Ð Ø ØØÝ ÓÙÖ Ö¹ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ ¾ º½ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ÑÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º Ö ØØ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Î ØØ Ø

ÂÓ ÒØÓ ÓÙÖ Ö¹ Ö Ó Ò ¹ÑÙÙÒÒÓ Ø Ò Ø ÓÖ ÐÐ ÓÒ ÑÓÒ ÓÚ ÐÐÙ Ù ÐÐ Ö Ø ¹ Ò ÐÐ ÐÓ ÐÐ ÙØ Ò Ñ Ö Ø Ð Ò Ð Ò ØØ ÐÝ º Ì Ò ¹ Ø Ò ÐÓ Ò Ô ÖÙ ÙÖ Ò ÓÔÔ Ö ÐÐ ÙÙ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø Ø ÐÐÒ¹ Ò Ù Ò Ð ÒÒ ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò Ò ÙÐÑ Ø º ÓÙÖ Ö¹ Ò ÐÝÝ Ò Ý ÝÐÐ Ø ÓÚ ÐÐÙ Ø Ù Ø Ò Ò Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ø Ù Ø ÐÐ ÓÐ Ú Ò ÝÚÐÐ ÑÔÒ À Ð ÖØ Ò Ú ÖÙÙ Ò Ø ÓÖ Òº Ì ØÙØ ÐÑ ÔÝÖ ÑÑ Ø Ö Ø Ð Ñ Ò ÓÙÖ Ö¹ ÑÙÙÒÒÓ Ò ÑÖ ØØ ÐÝ ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ú ÐÐ ÓÒ Ø Ö Ó ØÙ ÓÒ ÝÚ Ò¹ Ø ÓÚ ÐÐÙ Ð Ø Ø Ò ÙÐÑ º ÐÙ ÝÑÑ ÐÔ ÒÓÖÑ ¹ ØÙÐÓ Ú ÖÙÙ Ò ÝÐ ÓÑ Ò ÙÙ º ÌÑÒ Ð Ò ØÑÑ ÑÖ Ø ÐÑØ ÙÒ Ø ÓÒ ÒØ ÖÓ ØÙÚÙÙ ÐÐ Ò Ð Ò¹ Ø ÖÓ ØÙÚÙÙ ÐÐ º ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÒÒ ÐØ ÓÒ ÚÐØØÑ ÒØ ÝØØ Ò¹ Ø ÖÓ ØÙÚÙÙ Ò ÑÖ ØØ Ð Ñ Ä Ù ¹ ÒØ ÖÓ ØÙÚÙÙ Ò Ø Øغ ѹ Ñ Ù Ø Ò Ò Ø Ö Ø Ð Ø Ä Ù ¹ ÒØ Ö Ð Ø Ä Ù ¹ ÒØ ÖÓ ØÙ¹ ÚÙÙØØ ÝÚÐÐ ÑÑ Ò Ú Ò ØØ Ð ÑÑ ØØ Ú Ò ÐØ Ó Ò Ù Ò ÓÒ ÚÐØØÑØ ÒØ Ø ÖÚ ØØ Ú Ò ØØ Ø Ò ÑÖ ØØ Ð Ñ º ÄÙÚÙ ¾ ØØ Ð ÑÑ Ú ØÓÖ ¹ ÙÒ Ø Ó ÓÒÓ Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ø º Ç Ó ¹ Ø ÑÑ Ñ Ö Ò ÚÙÐÐ ØØ Ö Ø ÒÙÐÓØØ Ø Ò ÒÓÖÑ Ú ÖÙÙ Ò ØÙØ ¹ Ñ Ò Ò ÖÓ ÓÐ ÒÒ Ø Ö ÐÐ ÙÐÓØØ Ø Ø Ô Ù Ø º ÌÑÒ Ð Ò Ñ¹ Ö ØØ Ð ÑÑ ÙÔÔ Ò Ñ Ø ØØ Ö Ø ÒÙÐÓØØ ÒÓÖÑ Ú ÖÙÙ ÓÒ Ð Ò ØØ Ð ÑÑ À Ð ÖØ Ò Ò Ò Ú ÖÙÙ Ò ØØ Øº Ë ÙÖ ¹ Ú ØÓ Ø ÑÑ Ó Ø Ò Ý ÝÐÐ ÙÒ Ø Ó ÓÒÓ Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ø Ó Ú Ð Ù Ø º Ë Ò Ð Ò ØÓ Ø ÑÑ ØØ Ö Ó Ø ØÙÐÐ Ö Ð ÐÙ ÙÚÐ ÐÐ Ä Ù ¹ Ò Ð ÒØ ÖÓ ØÙÚ Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ú ÖÙÙ L 2 ([a,b]) ÓÒ À Ð ÖØ Ò Ú ÖÙÙ º ÄÙÚÙ ØÓ Ø ÑÑ ÐÙ ØØ ÓÑÔÐ Ø Ò ÔÓÒ ÒØØ ÙÒ Ø Ó Ò ÓÙ Ó ÓÒ ØÝ ÐÐ Ò Ò Ú ÖÙÙ L 2 (T) Ñ T ÓÒ Ó Ò ¹Ñ ØØ Ò Ò Ö ¹ Ð ÐÙ ÙÚÐ º Ç Ó ØØ ÙØÙÙ ØØ ØÑÒ ØÝ ÐÐ ÝÝ ÓÑ Ò ÙÙ Ò ÒÓ ÐÐ Ó ¹ Ò Ò ÙÒ Ø Ó f L 2 (T) ÓÒ Ø ØØÚ Ò Ò ÒÓØÙÒ ÓÙÖ Ö¹ Ö Ø ÐÑÒ ÚÙÐÐ º ÓÙÖ Ö¹ Ö Ò ÖØÓ Ñ Ò Ñ Ø ØÒ ÐÝ Ý ÑÑ Ò ÓÙÖ Ö¹ ÖØÓ Ñ º Ð Ø ØØÝ ÓÙÖ Ö Ö ØØ Ð ÚÒ Ð ÐÙÚÙÒ Ý Ø Ý Ó Ó Ø ÑÑ ØØ Ó Ø Ä Ù ¹Ò Ð ÒØ ÖÓ ØÙÚ ÙÒ Ø ÓØ Ó Ø ÓÒ ÓÐ Ñ ÙÔÔ Ò Ú ÓÒÓ ÓÒ Ø ÖÑ Ø Ò ØÑÒ ÙÒ Ø ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ ÖØÓ Ñ Ø º ÄÙÚÙ ØÑÑ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ÑÖ Ø ÐÑÒº Ì Ý Ø Ý ¹ ½

ØÙÓÑÑ ÐÝ Ý Ø ÐÐ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ÓÐ Ñ ÓÐÓ Ó Ú ÔÖÓ Ð ¹ Ñ Ø º ÇÒ ÐÑ Ø Ð ØØÝÚØ Ð ÒÒ ÑÙÙÒÒÓ Ò ÑÖ ØØ Ð ÚÒ ÒØ Ö Ð Ò ÙÔÔ Ò Ñ Òº ÌÑÒ Ð Ò ØØ Ð ÑÑ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ØÖ ÑÔ ÓÑ Ò ÙÙ º Ç Ó Ø ÑÑ ØØ Ó Ò Ò Ò Ð ÒØ ÖÓ ØÙÚ ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÓÒ Ò Ò Ð ÒØ ÖÓ ØÙÚ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ º ÄÓÔÙ ØØ Ð ÑÑ ÐÝ Ý Ø ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò Ð ÒÒ ÐÐ Ø Ò ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÒÒ ÐØ ØÖ Ò Ö Ø Ò ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Òº ÄÙ ÐØ ÐÐÝØ ØÒ Ð Ò Ö Ð Ö Ò Ò ÐÝÝ Ò ÓÑÔÐ ÐÙ Ù Ò Ô ¹ ÖÙ Ø ØÓ Ò ÐÐ ÒØ º Ä Ù ¹ ÒØ Ö Ð Ò ØÙÒØ Ñ Ò Ò ÓÒ ÐÙ ÐÐ Ù ÑÙع Ø ÚÐØØÑØ Òغ ÃÓ À Ð ÖØ Ò Ú ÖÙÙ Ò Ø ÓÒ Ø Ö Ø Ð٠ѹ Ñ Ö ØÝ Ò ØÖ ÚÙ ØÙØ ÐÑ Ñ Ò ÑÝ ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ò ÐÝÝ Ò ¹ Ô Ö º Ä Ò Ö Ð Ö ÚÓ Ò Ô Ø ÓÔÔ Ò Ö ÐÐ ÙÐÓØØ Ø Ú ØÓÖ ¹ Ú ÖÙÙ Ø Ò Ò ÚÐ Ø Ð Ò Ö ÙÚ Ù Ø º ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ò ÐÝÝ Ò Ø ÓØ Ò ÓÐ Ú Ò Ö ØÝ Ø ØÝ ÐÐ Ø Ò ÒÓÖÑ ¹ ØÙÐÓ Ú ÖÙÙ Ò ÓÑ ¹ ÙÙ ØÙØ Ú Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ¹ ÐÙ ÓÒ Ô Ö Ò ÙÙÐÙÚ Ø ÑÝ Ö Ø Ò¹ ÙÐÓØØ Ø Ú ÖÙ٠غ ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ò ÐÝÝ Ò Ò ÙÐÑ Ø Ö Ø ÒÙÐÓØØ ÒÓÖÑ ¹ ØÙÐÓ Ú ÖÙÙ ÚÓ Ò Ò Ñ ØØ ÑÝ ÙÒ Ø Ó Ú ÖÙÙ º ѹ Ñ Ù Ø Ò Ò Ø ØÙØ ÐÑ ÔÐ ØØ Ø ÝØ ØØ Ò Ñ ØÝ Ø Ú ØÓ ÐÐ Ø ØÙÐ Ø ÑÑ Ò Ö Ø ÒÙÐÓØØ Ò ÒÓÖÑ ¹ Ø ØÙÐÓ Ú ÖÙÙ Ò Ð Ó Ø ÙÒ Ø Ó º ÌÙØ ÐÑ Ò ÔÐ Ø Ò ÓÒ ÄÓ Ò Ø Ò Ø Ò È ÓØÖ Å Ù Ò Ò Ö¹ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ À Ð ÖØ ËÔ Û Ø ÔÔÐ Ø ÓÒ ÓÒ ÐØ ÓÒ ÔÝÖ ØØÝ Ø ÖÔ Ò ÑÙ Ò ÓÚ ÐØ Ñ Ò ØÙØ ÐÑ Ò Ý Ø ÝØ Ò Ð ØÝÑ Ø Ô Ò ÓÔ Ú º ½ ½º½ Î ÐÑ Ø Ð Ú Ø Ö Ø ÐÙ ÆÓÖÑ ¹ ØÙÐÓ Ú ÖÙÙ Ø ÅÖ Ø ÐÑ ½º½º ÇÐ ÓÓÒ V Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ ÝÐ ÙÒÒ Ò Cº ÙÒ Ø ÓØ : V V R ÒÓØ Ò ÒÓÖÑ Ó ÙÖ Ú Ø ÓØ ÔØ ÚØ Ó Ð¹ Ð u v V Ð Ö ÐÐ c C ƽµ u = 0 u = 0 ¾

ƾµ Æ µ cu = c u u + v u + v. Î ØÓÖ Ú ÖÙÙØØ Ó ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ÒÓÖÑ ÙØ ÙØ Ò ÒÓÖÑ Ú ÖÙÙ º Î ØÓÖ Ø u V Ó ÐÐ u = 1 ÒÓØ Ò Ý Ú ØÓÖ º ØÓ Æ µ ÙØ ÙØ Ò ÝÐ Ø ÓÐÑ Ó ÔÝ ØÐ º ÅÖ Ø ÐÑ ½º¾º ÇÐ ÓÓÒ V Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ ÝÐ ÙÒÒ Ò C ÓÐ ÓÓØ x,y V º ÙÒ Ø ÓØ x, y : V V C ÒÓØ Ò ØÙÐÓ Ó ÙÖ ¹ Ú Ø ÓØ ÔØ ÚØ Ó ÐÐ u v w V Ð Ö ÐÐ c C Ë̽µ Ë̾µ ËÌ µ ËÌ µ ËÌ µ u, u 0 u, u = 0 u = 0 u + v, w = u, w + v, w cu, v = c u, v u, v = v, u. Î ØÓÖ Ú ÖÙÙØØ Ó ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ØÙÐÓ ÙØ ÙØ Ò ØÙÐÓ Ú ÖÙÙ ¹ º Î ØÓÖ Ú ÖÙÙ Ò ÒÒ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ Ò Ð Ò Ö Ø Ö Ô¹ ÔÙÑ ØÓÒØ Ó ÓÙ Ó Ó Ú Ö ØØ Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ Òº à ÒÒ Ò Ð Ó Ò ÐÙ¹ ÙÑÖ ÙØ ÙÑÑ Ò Ò Ú Ö ØØÑÒ Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ Ò Ñ Ò Ó º ÅÓ¹ Ò Ò Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ò ÒÒ ÐØ Ö Ø Ú ÓÒ ÓÒ Ó ÒØ Ö ÐÐ Ò Ò Ú Ö Ø Òº ÅÖ Ø ÐÑ ½º º ÇÐ ÓÓÒ V ØÙÐÓ Ú ÖÙÙ º Î ØÓÖ Ø u v V ÓÚ Ø ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ø ØÙÐÓÒ, Ù Ø Ò Ó u, v = 0. Î ØÓÖ ÓÙ Ó {ϕ 0,ϕ 1,...} V ÒÓØ Ò ÓÖØÓÒÓÖÑ Ð Ó Ò Ð ÓØ ÓÚ Ø ÒÒ ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ý Ú ØÓÖ Ø º Ä Ò Ö Ð Ö Ò Ô ÖÙ Ø Ø Ø ØÒ ØØ Ó Ò Ò Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ Ò Ð Ó Ø ÓÒ ÐÑ Ø Ú Ý ØØ Ø ÒÒ Ò Ú ØÓÖ Ò Ð Ò Ö Óѹ Ò Ø ÓÒ º Ö ÐÐ ÙÐÓØØ Ø Ô Ù Ñ ÐÐ ÓÒ ÝØ ØØÚ ÑÑ Ù¹ Ö Ú ØÙÐÓ Ó ÐÑ Ý Ø Ý Ò Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ú ÖÙ٠ѹ Ö Ø ÐÐÝÒ ØÙÐÓÒ ÚÐ Ðк

Ä Ù ½º½º ÇÐ ÓÓÒ {ϕ k } n ØÙÐÓ Ú ÖÙÙ Ò V ÓÖØÓÒÓÖÑ Ð ÒØ º ÂÓ v = c k ϕ k, Ò Ò c k = v, ϕ k º ÌÓ ØÙ º ÃÓ {ϕ k } n ÓÒ ÓÖØÓÒÓÖÑ Ð 0, ÙÒ i j, ϕ i, ϕ j = 1, ÙÒ i = j. ÆÝØ ØÓ Ò ËÌ µ ËÌ µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ v, ϕ i = c k ϕ k, ϕ i = c k ϕ k, ϕ i = c i ϕ i 2 = c i. Ì ØÝ ÓÐ ÑÑ ÒÒÓ ØÙÒ Ø Ñ ÓÐÐ ÙÙ Ø Ð ÒØ ÐÐ Ò Ò ØÙÐÓ Ó Ñ Ò ÑÝ Ö Ø ÒÙÐÓØØ Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ º Ö Ø ÒÙÐÓØØ ¹ Ø Ô Ù ÓÒ Ù Ø Ò Ò ÒÒ Ø ØØÚ ÙÓÑ ÓØ Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ ÑÖ ØØ Ð ÚÒ Ö Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ø Ó Ú Ò Ý ÝÑÝ Òº Æ Ø Ý ÝÑÝ Ø Ö Ø Ð ÑÑ ÑÝ ÑÑ Òº Ì Ú ÓØ ÑÑ ÐÐ Ñ Ö Ò Ó ÑÖ ØØ Ð ÑÑ ØÙÐÓÒ Ö Ø ÒÙÐÓØØ Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ º Ñ Ö ½º½º ÇÐ ÓÓÒ C(a,b) ÚÐ ÐÐ [a,b] R ÑÖ Ø ÐØÝ Ò Ø ÙÚ Ò ÓÑÔÐ ÖÚÓ Ø Ò ÙÒ Ø Ó Ò ÓÙ Óº ÆÝØ ÙÒ Ø Ó f, g = b a f(t)g(t)dt ÑÖ ØØ Ð ØÙÐÓÒ ÓÙ Ó C(a,b)º ÂÓ Ò Ò ØÙÐÓ Ú ÖÙÙ ÓÒ ÑÝ ÒÓÖÑ Ú ÖÙÙ Ó ÒÓÖÑ ÑÖ Ø ÐÐÒ u = u, u. À ÐÔÓ Ø ÙÓÑ Ø Ò ØØ ØÓ Æ½µ ÙÖ Ó Ø Ë̾µº Ä ÙÓÑ ¹ Ø Ò ØØ ØÙÐÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ cu = cu, cu = cc u, u = c u, ÓØ Ò ÑÝ ØÓ Æ¾µ ÓÒ ÚÓ Ñ ØÙÐÓ Ú ÖÙÙ º ÂÐ ÐÐ ÓÒ ÓÐÑ Ó¹ ÔÝ ØÐ Ò ÚÓ Ñ ÓÐÓ ÓØ Ú ÖØ Ò ØÓ Ø ÑÑ Ò Ò ÙÖ Ú Ò Ù ÝÒ¹ Ë Û ÖÞ Ò ÔÝ ØÐ Òº

Ä Ù ½º¾º ÇÐ ÓÓÒ V ØÙÐÓ Ú ÖÙÙ ÓÐ ÓÓØ u,v V º ÌÐÐ Ò u, v u v. ÌÓ ØÙ Ã º ¾ º ¼ µº ÂÓ v = 0 Ú Ø ÙÖ ÙÓÖ Òº ÇÐ Ø Ø Ò ØØ v 0º Ë ØÙÐÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ½º½µ 0 u + cv, u + cv = u, u + c u, v + c v, u + c 2 v, v. ÇÐ ÓÓÒ ÒÝØ c = u, v v, v 1 º Ì ÑÐÐ Ó ØÙ ÖØÓÑ ÐÐ ÔÝ ØÐ ÔÙÓÐ ØØ Ò ØÙÐÓÐÐ v, v Ò 0 u, u v, v u, v 2 = u 2 v 2 u, v 2, ÓØ Ò u, v u v º Ä Ù ½º º ÇÐ ÓÓÒ V ØÙÐÓ Ú ÖÙÙ ÓÐ ÓÓØ u,v V º ÌÐÐ Ò u + v u + v. ÌÓ ØÙ Ã º ¾ º ½ µº ÃÙÒ c = 1 Ò Ð Ù ½º½µ ÑÙÓØÓÓÒ x + y 2 = x + y, x + y = x, x + 2Ê x, y + y, y x, x + 2 x, y + y, y x 2 + 2 x y + y 2 Ä Ù Ò ½º¾ ÒÓ ÐÐ µ = ( x + y ) 2. ÃÓÐÑ Ó ÔÝ ØÐ Ý Ø ÙÙÖÙÙ ÓÒ ÚÓ Ñ ÐÐÓ Ò ÙÒ Ú ØÓÖ Ø x y ÓÚ Ø ÓÖØÓ ÓÒ Ð Øº ÌÐÐ Ò Ò ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù Ò ÝÐ ØÝ ÓÖØÓ¹ ÓÒ Ð ÐÐ Ú ØÓÖ ÓÙ ÓÐÐ º Ä Ù ½º º ÇÐ ÓÓÒ V ØÙÐÓ Ú ÖÙÙ ÓÐ ÓÓØ x 1,x 2,...,x n V ÒÒ ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ú ØÓÖ Ø º Ë ÐÐÓ Ò x k = x k 2. ÌÓ ØÙ º Î Ø ÙÖ Ò Ù Ø ÓÐÐ ÐÙÚÙÒ n Ù Ø Ò º ¾ º ½ º

Ë ÙÖ Ú Ñ Ö Ó Ó ØØ ØØ Ö Ø ÒÐÙÓØØ Ò ØÙÐÓ Ú ÖÙÙ Ò Ø ¹ Ô Ù ÓÒ Ñ Ð Ø ÔÙ Ù ÑÝ ÓÖØ ÓÒ Ð Ø ÙÒ Ø Ó Ø º Ñ Ö ½º¾º Ì Ö Ø ÐÐ Ò ØÙÐÓ Ú ÖÙÙØØ C( π,π)º ÇÐ ÓÓØ f(t) = sin(mt) g(t) = cos(nt) Ñ m,n Rº ÀÙÓÑ Ø Ò ØØ f, g = π π π sin(mt) cos(nt)dt = 1 sin(mt + nt) sin(mt nt)dt 2 π = 1 [ ] π cos(m n)t cos(m + n)t = 0, 2 m n m + n ÙÒ m n m nº ÌÓ ÐØ Ó m = n Ø m = n π π sin(mt) cos(nt)dt = 1 2 = 1 2 π π π π π sin(mt + nt) sin(mt nt)dt sin(2mt)dt = 1 [ cos(2mt) 2 2m ] π π = 0. ÙÒ Ø ÓØ f(t) = sin(mt) g(t) = cos(nt) ÓÚ Ø ÓÖØÓ ÓÒ Ð ØÙÐÓÒ, Ù Ø Òº Ë ÙÖ Ú ÓØ ÑÑ Ñ Ö Ò ÑÙÓ Ó ÐÐ ØÙÐÓ Ò Ó Ó Ó ØØ ÙØÙÙ Ñ Ö ØØÚ Ø Ö Ø ÐÙ ÑÑ ÑÝ ÑÑ Ú º Ñ Ö ½º ÚÖغ ½ º ½¼ Ѻ º µº Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÚÐ ÐÐ [ π,π] ÑÖ Ø ÐØÝ Ò Ø ÙÚ Ò ÓÑÔÐ ÖÚÓ Ø Ò ÙÒ Ø Ó Ò ÓÙ Ó C( π,π)º ÙÒ Ø Ó f, g = π π f(t)g(t)dt ÑÖ ØØ Ð ØÙÐÓÒ ÓÙ Ó C( π,π)º ÇÐ ÓÓÒ φ k (t) = eikt k Zº ÆÝØ φ m, φ n = 1 π e imt e int dt = 1 π 0, e i(m n)t ÙÒ m n dt = π π 1, ÙÒ m = n ÙÒ Ø ÓØ {φ k (t)} k Z ÓÚ Ø ÓÖØÓÒÓÖÑ Ð ÓÙ Ó C( π,π)º Ñ Ö Ò ½º ÓÑÔÐ Ø Ò ÔÓÒ ÒØØ ÙÒ Ø Ó Ò ÓÖØÓÒÓÖÑ Ð ÓÙ Ó ÓÒ ØÙÐ Ú Ò Ø Ö Ø ÐÙ Ò ÒÒ ÐØ Ò Òº Å Ö Ø ÑÑ Ò Ø Ø Ø Ò¹ Ô Ò φ k (t) = eikt, k Z.

ÅÖ Ø ÐÑ ½º º ÇÐ ÓÓÒ {ϕ k } n ØÙÐÓ Ú ÖÙÙ Ò V ÓÖØÓÒÓÖÑ Ð Ó ¹ ÓÙ Ó ÓÐ ÓÓÒ u V º Î ØÓÖ Ò u ÓÖØÓ ÓÒ Ð ÔÖÓ Ø Ó ÓÙ ÓÒ {ϕ k } n Ú Ö ØØÑÒ Ð Ú ÖÙÙØ Ò ÓÒ Ú ØÓÖ P n (u) = u, ϕ k ϕ k. Ä Ù ½º º ÇÐ ÓÓÒ V ØÙÐÓ Ú ÖÙÙ ÝÐ ÙÒÒ Ò C {ϕ k } n Ñ Ð Ó ÓÙ Óº ÇÐ ÓÓÒ Ú Ð u V º ÆÝØ Ò ÓÖØÓÒÓÖ¹ min γk F u γ k ϕ k = u u, ϕ k ϕ k = u P n (u). ÇÖØÓ ÓÒ Ð ÔÖÓ Ø Ó P n (u) ÓÒ Ô Ö Ñ ÓÐÐ Ò Ò ÔÔÖÓ Ñ Ø Ó Ú ¹ ÖÙÙ Ò Ð ÓÐÐ u Ò Ñ Ð ØØ Ñ Ò ÑÓ ÒÓÖÑ Ò u P n (u) º ÌÓ ØÙ º ½ º ½½¼ µº Î Ð Ø Ò Ú ØÓÖ u V Ñ Ö ØÒ u, ϕ k = c k º ÆÝØ u γ k ϕ k 2 = u γ k ϕ k, u γ k ϕ k = u, u u, = u, u = u, u = u 2 + = u 2 + γ k ϕ k γ k ϕ k, u + γ k ϕ k, γ k u, ϕ k γ k ϕ k, u + (γ k c k + γ k c k ) + γ k γ k (γ k γ k γ k c k γ k c k + c k c k ) γ k c k 2 c k 2. ÌÑ Ô Ò ÑÑÒ ÖÚÓÒ ÙÒ γ k = c k º j=1 c k 2 γ k ϕ k γ k γ j ϕ k, ϕ j Ä Ù Ò ½º ØÓ ØÙ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÙÓÑ ÑÑ ØØ u P n (u) 2 = u 2 u, ϕ k 2.

Ë ÐÚ Ø u 2 u, ϕ k 2 0. ÂÖ ØÑÐÐ ÔÝ ØÐ Ò Ø ÖÑ Ø ÙÙ ÐÐ Ò ÒØ Ñ ÐÐ n ÑÑ ÙÖ Ú Ò Ð Ò ÔÝ ØÐ Òº Ä Ù ½º º ÇÐ ÓÓÒ {ϕ k } ØÙÐÓ Ú ÖÙÙ Ò V ÓÖØÓÒÓÖÑ Ð Ó ÓÙ Óº ÆÝØ Ó ÐÐ u V u, ϕ k 2 u 2. Ð Ò ÔÝ ØÐ Ò ÑÙ Ò Ö u, ϕ k 2 ÓÒ ÝÐ ÐØ Ö Ó Ø ØØÙº Ë Ö ÓÒ ÑÝ ÔÓ Ø Ú Ø ÖÑ Ò Ò ÓØ Ò ÙÔÔ Ò º ½º¾ ÁÒØ ÖÓ ØÙÚÙÙ Ò Ð ÒØ ÖÓ ØÙÚÙÙ ÇÐ ÑÑ ÐÐ ØÓ ÒÒ Ø ØØ Ó Ò Ò ØÙÐÓ Ú ÖÙÙ ÓÒ ÒÓÖÑ Ú ÖÙÙ ØØ ÒÓÖÑ ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÚ ØÙÐÓÒ ÚÙÐÐ º Ñ Ö Ò ½º½ Ô ÖÙ Ø Ð¹ Ð ÚÓ ÑÑ Ò Ö Ó ØØ f = b b [ b 1/2 f, f = f(t)f(t)dt = f(t) 2 dt = f(t) dt] 2. a a a ÌØ ÒÓÖÑ ÙØ ÙØ Ò L 2 ¹ÒÓÖÑ º Ì Ú Ñ Ò Ø ÑÑ ÝÐ Ø ØÝÒ L p ¹ÒÓÖÑ Ò f p = [ b f, f = f(t) p dt ØØ Ò ÑÙØØ ØÙÐ ÑÑ Ø Ó Ø Ö Ø Ð Ñ Ò Ø Ô Ù Ø p = 2 ÐÐ ØÓ Ò Ñ Ò Ø º Å Ö Ø ÑÑ Ø Ó Ò L 2 ¹ÒÓÖÑ 2 ÐÑ Ò Ð Ò º ÃÓ ØÙÐÓ ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ÙÒ Ø ÓÒ f ÒØ Ö Ð Ò ÚÙÐÐ Ö Ø Ú ¹ Ý ÝÑÝ Ø Ñ ÐÐÓ Ò ØÑ ÒØ Ö Ð ÓÒ ÓÐ Ñ º ÃÝ ÝÑÝ ÓÒ ÓÐ Ò¹ Ò Ò Ò ÑÝ Ø Ó ÓØ Ò ØÑÑ ØÑÒ ÒØ Ö Ð Ò ÓÐ Ñ ÓÐÓÓÒ Ð ØØݹ ÚÒ ÑÖ Ø ÐÑÒº ÁÒØ ÖÓ ØÙÚÙÙ ÐÐ Ø Ö Ó Ø ÑÑ Ä Ù ¹ ÒØ ÖÓ ØÙÚÙÙØØ a ] 1/p

Ó ÓÒ Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ ÖÓ ØÙÚÙÙØØ ÝÐ ÑÔ ÒØ ÖÓ ØÙÚÙÙ Ò Ø º Ì Ö¹ Ó ØÙ Ò ÑÑ ÓÒ Ñ ÓÐÐ Ø Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ ÖÓ ØÙÚ ÙÒ Ø Ó Ø Ð Ñ¹ Ñ Ò ÙÒ Ø Ó ÓÙ ÓÒ Ø Ö Ø Ð Ñ Ò Òº ÌÑ ÓÒ Ø ÖÔ ÐÐ Ø ÐÐ Ä Ù ¹ ÒØ Ö Ð ÐÐ ÓÒ Ó Ø Ò Ø Ö Ø ÐÙ ÑÑ ÒÒ ÐØ ÓÑ Ò ÙÙ Ó Ø Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð ÐÐ ÓÐ º Ä Ù ¹ ÒØ Ö Ð Ò Ð ÑÔ ØØ ÐÝ ÓÒ Ù Ø Ò Ò Ô Ö ÑÑ ÙÐ ÓÔÙÓÐ ÐÐ ½ º ÅÖ Ø ÐÑ ½º º ÙÒ Ø Ó f ÓÒ ÒØ ÖÓ ØÙÚ ÓÙ Ó I Ó f(t) dt <. I ÐÐ Ò ÙÒ Ø Ó f ÓÒ Ò Ð ÒØ ÖÓ ØÙÚ Ó f 2 ÓÒ ÒØ ÖÓ ØÙÚ º Ì Ò¹ Ø Ö Ð ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò Ä Ù ¹ ÒØ Ö Ð ÓÙ ÓÒ I ÝÐ º Å Ö Ø ÑÑ I Ò ÓÙ Ó I ÒØ ÖÓ ØÙÚ Ò ÙÒ Ø Ó Ò ÓÙ Ó L 1 (I)º Æ Ð ÒØ ÖÓ ¹ ØÙÚ Ò ÙÒ Ø Ó Ò ÓÙ Ó Ñ Ö Ø ÑÑ Ú Ø Ú Ø L 2 (I)º ÎÓ Ò Ó Ó ØØ ØØ Ó Ò Ò Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ ÖÓ ØÙÚ ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÑÝ Ä Ù ¹ ÒØ ÖÓ ØÙÚ ØØ ÒØ Ö Ð Ø ÓÚ Ø ØÐÐ Ò Ñ Ø º ¾ º µº Å Ö ÒÒÐÐ f Ø Ö Ó Ø ÑÑ ÒØ Ö Ð Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ ÓÒ ÝÐ º Ñ Ö ½º º ¾ º Ø Øº µº ÇÐ ÓÓØ I = [0, 1] f = 1/ tº ÆÝØ ÒØ Ö Ð [0,1] f(t) 2 dt = [0,1] 1 t dt ÒØÙÙº Ë Ô f / L 2 (I)º ÃÙ Ø Ò Ò f L 1 (I) ÐÐ 1 [ f(t) dt = dt = 2 ] 1 t t = 2. t [0,1] [0,1] Ñ Ö ½º º ¾ º Ø Øº µº ÇÐ ÓÓÒ f g L 2 ([a,b]) Ñ a,b Rº Ù ÝÒ¹Ë Û ÖÞ Ò ÔÝ ØÐ Ò ÒÓ ÐÐ f(t)g(t) dt = f, g f g = f(t) 2 dt g(t) 2 dt. [a,b] [a,b] [a,b] ÇÐ ÓÓÒ g(t) = 1 ÐÐ t [a,b]º ÆÝØ f(t) dt f(t) 2 dt b a <, [a,b] [a,b] ÓØ Ò f L 1 ([a,b])º Ë Ó f L 2 ([a,b]) Ò Ò f L 1 ([a,b])º ½ Ä Ä Ù ¹ ÒØ Ö Ð Ø º Ѻ ¾ º º 0

Ë ÙÖ Ú ÑÖ ØØ Ð ÑÑ ÒÓÐÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ðº ÒÙÐÐ ÙÒØ ÓÒµ ÒÓÐÐ ¹ ÓÙ ÓÒ Ò Ðº ÒÙÐРص ÚÖغ ¾ º ¾ º µº ÅÖ Ø ÐÑ ½º º ÙÒ Ø ÓØ f ÒÓØ Ò ÒÓÐÐ ÙÒ Ø Ó Ó f ÓÒ ÒØ ÖÓ ØÙÚ f = 0. ÅÖ Ø ÐÑ ½º º ÂÓÙ Ó I R ÒÓØ Ò ÒÓÐÐ ÓÙ Ó Ø ÒÓÐÐ Ñ ØØ ¹ Ó Ò Ö Ø Ö Ø Ò Ò ÙÒ Ø Ó 1, ÙÒ x I χ I (x) = 0, ÙÒ x / I ÓÒ ÒÓÐÐ ÙÒ Ø Óº ÌÝ ÓÙ Ó ÒÙÑ ÖÓ ØÙÚ Ø ÓÙ ÓØ ÓÚ Ø Ñ Ö ¹ ÒÓÐÐ ÓÙ Ó Ø º ÂÓ ÙÒ Ø ÓÐÐ f ÓÒ Ó Ò ÓÑ Ò ÙÙ ÐÐ ÑÙÙ ÐÐ Ô Ø ÒÓÐÐ ÓÙ Ó ÒÓØ Ò ØÑÒ ÓÑ Ò ÙÙ Ò ÓÐ Ú Ò ÚÓ Ñ Ñ Ð Ò ÐÐ ÓÒ Ö Ó Ø Ñ ÐÝ Ý ÑÑ Ò Ñº º Ñ Ö ½º º Ê Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò Ö Ø Ö Ø Ò Ò ÙÒ Ø Ó ÚÐ ÐÐ [0, 1] 1, ÙÒ x Q χ Q [0,1] (x) = 0, ÙÒ x / Q ÓÒ ÒÓÐÐ ÙÒ Ø Ó ÓÙ Ó Q [0, 1] ÓÒ ÒÓÐÐ Ñ ØØ Ò Ò ÓÙ Óº Ä Ù ¹ ÒØ Ö Ð Ò Ñ ØØ Ø ÓÖ Ò ØÙØÙ ØÙÒÙØ ÐÙ ØØ ÙÓÑ ¹ Ø ØØ ÐÐ Ø ØØÝ ÒÓÐÐ Ñ ØØ ÙÙ Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ ØÝ ÑÙÓØÓ ÔÓ Ø Ú ÒÓÑ Ø º Ì Ö Ó ØÙ Ò ÑÑ ÓÒ Ò ÑÖ Ø ÐÐ ÒÓÐÐ Ñ ØØ ÙÙ Ò ¹ Ø ÐÑ Ò ØØ Ä Ù ¹ ÒØ Ö Ð Ò Ñ ØØ Ø ÓÖ Ò ÝÚÐÐ ÑÔ ØØ ÐÝ ØÙÐ Ø ÖÔ ÐÐ º Ì Ö Ø ÐÙ ÑÑ ÙÐÓØØ Ñ Ò Ò Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ ÖÓ ØÙÚ ÙÒ Ø Ó Ø Ð Ñ¹ Ô Ò ÐÙÓ Ò Ø Ù Ø Ò Ò Ø ÖÔ ÐÐ ÙÖ Ú Ò Ø Ñ ÒÒÝ Òº ¹ Ñ Ö ½º½ ÓÐ Ø ÑÑ ÙÒ Ø ÓÒ f Ø ÙÚ º ÌÓ ÐØ ÓÐ ÑÑ ÑÖ Ø ÐÐ Ø ÒÓÖÑ Ò Ä Ù Ò Ñ Ð ÒØ ÖÓ ØÙÚ ÐÐ Ò Ð ÒØ ÖÓ ØÙÚ ÐÐ ÙÒ Ø Ó ÐÐ ÓØ ÚØ ÚÐØØÑØØ ÓÐ Ø ÙÚ º Ñ Ö ÙÒ Ø ÓÒ 1, ÙÒ t = 0, f : [ 1, 1] {0, 1}, f(t) = 0, ÑÙÙÐÐÓ Ò ½¼

ÒÓÖÑ ÓÒ ÒÓÐÐ Ú ÙÒ Ø Ó f ÓÐ Ò ÒØØ Ø ÒÓÐÐ ÙØ Ò ÑÖ Ø Ð¹ ÑÒ ½º¾ Ó Ø (ST2) ÒÝØØ ÐÐÝØØÚÒº ÇÒ ÐÑ ÓÒ Ù Ø Ò Ò Ö Ø ¹ Ø Ú ÐÐ ÚÓ ÑÑ Ø Ö Ø ÐÐ ÙÒ Ø Ó Ø f L 1 (R) Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø ÓÒ { } f g g L 1 (R): f g = 0 ÑÖÑ Ò Ú Ú Ð Ò ÐÙÓ Ò º ÌÐÐ Ò Ò ÓÒ ØÖÙ Ø Ó ÓÒ Ø ÖÔ Ò ÓØØ Ä Ù ¹ ÒØ Ö Ð Ò ÚÙÐÐ ÑÖ ØØ Ð ÑÑÑ ÒÓÖÑ ØÓ ÐÐ ÓÒ ÒÓÖÑ º ¾ º ¾ ½ º ½½ µº ÃÙ Ø Ò Ò ÝØÒÒ ÒØ ÖÓ ØÙÚ Ò Ø Ò Ð Ò¹ Ø ÖÓ ØÙÚ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÒÓÖÑ ÚÓ Ò Ø Ó Ø Ö Ø ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ò Ø Ô Ò ÐÑ Ò ØØ ØÙÐ Ø ÑÑ ÙÒ Ø Ó Ø Ú Ú Ð Ò ÐÙÓ º ÃÙØ ÙÑÑ ÙÒ Ø Ó Ø f g Ú Ú Ð ÒØ Ó f g ÓÒ ÒÓÐÐ ÙÒ Ø Óº à ÒÒ Ú Ú Ð ÒØ Ø ÙÒ Ø ÓØ ÓÚ Ø Ñ Ø ØØ Ú ÝØ ÓÐ Ú Ò ÒÓÖ¹ Ñ Ò Ù Ø Òº ÂÓ ÙÒ Ø ÓØ f g ÓÚ Ø Ú Ú Ð ÒØ Ø ÚÓ ÑÑ ÑÖ Ø ÐÑÒ ½º Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ñ Ö Ø f = g Ѻ º ¾ ¾º½ Î ØÓÖ ¹ ÙÒ Ø Ó ÓÒÓ Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ø ÌÝ ÐÐ ÝÝ ÙÔÔ Ò Ñ Ò Ò Ë Ö Ð ¹ ØØ ÓÑÔÐ ÐÙ Ù Ò ÙÒÒ ØÝ ÐÐ ÝÝ ÓÒ ØÖ ÓÑ Ò ¹ ÙÙ º ÃÝ ÝÑÝ ØÝ ÐÐ ÝÝ Ø Ù ÝÒ ÓÒÓ Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ø ÓÒ ÓÐ Ò¹ Ò Ò Ò ÑÝ Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ º ËÙÔÔ Ò Ñ Ò Ò Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ ÓÒ ÐÙÓÒ¹ Ø Ú Ø ÑÖ Ø ÐØÚ ÒÓÖÑ Ò ÚÙÐÐ º ÎÓ Ò Ó Ó ØØ ØØ Ö ÐÐ ÙÐÓØØ ¹ Ò Ò Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ ÓÒ ØÝ ÐÐ Ò Ò Ñ Ò Ø Ò ÒÓÖÑ Ò Ù Ø Òº ÇÒ Ù ¹ Ø Ò Ò ÓÐ Ñ Ö Ø ÒÙÐÓØØ ÒÓÖÑ Ú ÖÙÙ ÓØ ÚØ ÓÐ ØÝ ÐÐ ¹ º ÌÑÒ Ó Ó Ø ÑÑ ÑÝ ÑÑ Ò Ñ Ö Ò ÚÙÐÐ º ÅÝ Ö Ø ÒÙÐÓØØ ¹ Ò ÒÓÖÑ Ú ÖÙÙ Ò Ø Ô Ù ØÝ ÐÐ ÝÝ ÒÓÖÑ Ò Ù Ø Ò ÑÖ Ø ÐÐÒ Ù ÝÒ ÓÒÓ Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò ÚÙÐÐ º à º º ¾ µº ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½º ÇÐ ÓÓÒ ØÙÐÓ Ú ÖÙÙ V ÑÖ Ø ÐØÝ ÒÓÖÑ º Î ØÓÖ ÓÒÓ {ϕ k } ÓÒ Ù ÝÒ ÓÒÓ ÒÓÖÑ Ò Ù Ø Ò Ó Ó ÐÐ ε > 0 ÓÒ ÓÐ Ñ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù N ε Ø Ò ØØ m,n > N ε ϕ m ϕ n < ε. ½½

ÅÖ Ø ÐÑ ¾º¾º ÇÐ ÓÓÒ ØÙÐÓ Ú ÖÙÙ V ÑÖ Ø ÐØÝ ÒÓÖÑ º Î ¹ ØÓÖ ÓÒÓ {ϕ k } ÙÔÔ Ò Ó Ø Ú ØÓÖ ϕ V ÒÓÖÑ Ò Ù Ø Ò Ó ϕ k ϕ 0 ÙÒ k º Ú ÖÙÙ ÓÒ ØÝ ÐÐ Ò Ò Ó Ú ÖÙÙ Ò Ó¹ Ò Ò Ù ÝÒ ÓÒÓ ÙÔÔ Ò º Ë ÑÓ Ò Ù Ò Ö Ð ¹ ÓÑÔÐ ÐÙÚÙ ÐÐ ÑÝ ÒÓÖÑ Ú ÖÙÙ ÑÖ ¹ Ø ÐØÝ Ö ÙÔÔ Ò Ó Ò Ó ÙÑÑ Ò ÓÒÓ ÙÔÔ Ò º Â Ø Ó ØÙÐ ÑÑ Ø ÖÚ Ø Ñ Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò ÒÓÖÑ Ò Ù Ø Ò Ð ÑÝ ØÓ Ø ÙÔÔ Ò Ñ Ø Øغ ÅÖ Ø ÐÑ ¾º º ÇÐ ÓÓÒ ÙÒ Ø Ó ÓÒÓ {f n } L 1 (R)º Ë ÒÓÑÑ ØØ ÓÒÓ {f n } ÙÔÔ Ò Ñ Ð Ò ÐÐ Ó Ø ÙÒ Ø Ó Ø f L 1 (R) Ó f n (x) f(x) ÐÐ Ô Ø ÒÓÐÐ Ñ ØØ ÓÙ Ó º ÌÐÐ Ò Ñ Ö Ø Ñ¹ Ñ f n f Ѻ º ÇÐ ÑÑ ÐÐ ØÓ ÒÒ Ø ØØ ÓÒ ÓÐ Ñ Ö Ø ÒÙÐÓØØ ÒÓÖÑ Ú ¹ ÖÙÙ Ó Ù ÝÒ ÓÒÓØ ÚØ ÚÐØØÑØØ ÙÔÔ Ò º Ë ÙÖ Ú Ñ Ö Ó Ó ØØ ØØ Ò Ò ØÓ ÐÐ Ò ÓÒº Ñ Ö ¾º½ º º ¾ µº Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÚÐ ÐÐ [0, 1] ÑÖ Ø ÐØÝ Ò Ø¹ ÙÚ Ò Ö Ð Ø Ò ÙÒ Ø Ó Ò ÓÙ Ó C(0, 1)º ÂÓÙ Ó C(0, 1) ÓÒ Ú ØÓÖ Ú ¹ ÖÙÙ Ó ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ L 1 ¹ÒÓÖÑ ÇÐ ÓÓÒ {f k } ÙÒ Ø Ó ÓÒÓ f 1 = 1 0 f(t) dt. 0, ÙÒ 0 t 1 1, 2 k ( f k (t) = k 2 t 1 + ) 1 2 k, ÙÒ 1 1 t 1 + 1, 2 k 2 k 1, ÙÒ 1 + 1 t 1. 2 k ÇÐ ÓÓÒ m nº Ë ÐÐÓ Ò ÐÐ t [0, 1] ÔØ f m (t) f n (t) f m (t) + f n (t) 2. Î Ð Ø Ò ε > 0º ÇÐ ÓÓÒ N ε ÐÐ Ò Ò ÐÙ Ù ØØ 1 N ε < ε 4 º ÃÙÒ m n N ε ½¾

Ò Ò 1 m 1 n 1 N ε < ε 4 º ÆÝØ f m (t) f n (t) 1 = 1 0 f m (t) f n (t) dt ( 1 2 + n) 1 = ( 1 2 n) f m(t) f n (t) dt 1 ( 1 2 + 1 n) ( 1 2 1 n) 2dt = 4 n < ε, ÓØ Ò ÓÒÓ {f k } ÓÒ Ù ÝÒ ÓÒÓº ÃÙ Ø Ò Ò ÓÒÓ ÙÔÔ Ò Ó Ø ÙÒ Ø ÓØ 0, 0 t < 1 2 f(t) = 1, t = 1 2 2 1 1, < t 1, 2 Ó ÓÐ Ø ÙÚ º ÈØØ Ð ÑÑ ØØ C(0, 1) ÓÐ ØÝ ÐÐ Ò Òº Ö Ø ÒÙÐÓØØ Ø Ò ÒÓÖÑ Ú ÖÙÙ Ò Ø Ö Ø Ð Ñ Ò Ò ÙØØ ÑÝ ÑÙ ¹ Ø Ò ÐÙÙ Ö ÐÐ ÙÐÓØØ Ò Ø Ô Ù Ò Ú ÖÖ ØØÙÒ º ÎÓ Ò Ò Ñ ØØ Ò Ó Ó ØØ ØØ Ö ÐÐ ÙÐÓØØ Ø Ô Ù ÒÓÖÑ Ø ÓÚ Ø Ú Ú Ð Òع Ø º Ѻ º¾ ¾ µº ÌÓ Ò ÒÓ Ò Ò ÑÖ ØØ Ð ÚØ Ñ Ò ÙÔÔ Ò Ñ ¹ ØØ Òº Ö Ø ÒÙÐÓØØ ÒÓÖÑ Ú ÖÙÙ Ø Ð ÒÒ ÓÐ Ò Ò Ý Ò Ö¹ Ø Ò Òº À Ú ÒÒÓÐÐ Ø ÑÑ ØØ Ñ Ö Ò ÚÙÐÐ º Ñ Ö ¾º¾º ÇÐ ÓÓÒ ÓÒÓ f k (t) = k 1 χ [k,2k] Ñ χ [k,2k] ÓÒ ÚÐ Ò [k, 2k] Ö Ø Ö Ø Ò Ò ÙÒ Ø Ó k Nº Ë ÐÚ Ø f k L 1 (R) L 2 (R)º ÂÓÒÓ f k ÙÔÔ Ò L 2 ¹ÒÓÖÑ Ò Ù Ø Ò ÐÐ f k 2 = [ 2k k 1/2 [ 1 f k (t) dt] 2 = k 2 2k k ] 1/2 dt = 1, k ÓØ Ò ÐÚ Ø f k 2 0 ÙÒ k º ÃÙ Ø Ò Ò f k 1 0 ÐÐ f k 1 = 2k k f k (t) dt = 1 k 2k k dt = 1. Ñ Ö ¾º½ Ó Ó Ø ÑÑ ØØ C(0, 1) ÓÐ ØÝ ÐÐ Ò Ò ÒÓÖÑ Ò L 1 Ù ¹ Ø Òº ÌÓ ÐØ ÓÐ ÑÑ ÙÙÖ ØÓ ÒÒ Ø ØØ Ö Ø ÒÙÐÓØØ Ø Ô Ù ÒÓÖÑ Ø ÚØ ÚÐØØÑØØ ÓÐ Ú Ú Ð ÒØØ º Ú ÖÙÙ C(0, 1) ÓÒ¹ Ò Ñ ÓÐÐ Ø ÑÖ Ø ÐÐ ÒÓÖÑ ÓÒ Ù Ø Ò ØÑ Ú ÖÙÙ ÓÒ ØÝ ÐÐ Ò Ò º ¾ º ¾¾ µº ½

ÅÖ Ø ÐÑ ¾º º ÌÝ ÐÐ Ø ÒÓÖÑ Ú ÖÙÙØØ ÙØ ÙØ Ò Ò Ò Ú ÖÙÙ¹ º ÌÝ ÐÐ Ø ØÙÐÓ Ú ÖÙÙØØ ÙØ ÙØ Ò À Ð ÖØ Ò Ú ÖÙÙ º Ä Ù ¾º½º L 1 (R) ÓÒ Ò Ò Ú ÖÙÙ º ÌÓ ØÙ º à º ¾ º º Ë ÙÖ Ú ÑÝ ÑÔ Ò Ø Ö Ø ÐÙ ÑÑ ÒÒ ÐØ Ö ØØ Ò Ò Ò Ú ¹ ÖÙÙ ÓÒ À Ð ÖØ Ò Ú ÖÙÙ º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º º Æ Ò ÓÑÔÐ ÐÙ Ù ÓÒÓ Ò {z n } n=1 ÓÙ Ó Ó ÐÐ ÔØ z n 2 <, n=1 ÙØ ÙØ Ò l 2 ¹ Ú ÖÙÙ º Ú ÖÙÙ l 2 ÓÒ Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ º ¾ º µ Ó ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ ¹ ØÙÐÓ a n, b n = a n b n. n=0 Ë ØÙÐÓÒ ÚÙÐÐ ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ l 2 ¹ÒÓÖÑ z = ( z n 2 ) 1/2. n=0 Ä Ù ¾º¾º Ú ÖÙÙ l 2 ÓÒ À Ð ÖØ Ò Ú ÖÙÙ º ÌÓ ØÙ º ¾ º ½ µº ÇÐ Ø ÑÑ ØÙÒÒ ØÙ ØØ l 2 ÓÒ ØÙÐÓ Ú ¹ ÖÙÙ º ÇÒ Ú Ð Ó Ó Ø ØØ Ú ØØ l 2 ÓÒ ÑÝ ØÝ ÐÐ Ò Òº ÇÐ ÓÓÒ ÓÒÓ a n = {α n,1,α n,2,...}, n = 1, 2,... Ù ÝÒ ÓÒÓ Ú ÖÙÙ l 2 º Ë ÐÐÓ Ò Ó ÐÐ ε > 0 ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÙ Ù M ε Ø Ò ØØ ÙÒ m,n > M ε ¾º½µ α m,k α n,k 2 < ε. Ë ÐÐÓ Ò ÐÐ k N ÓÒÓ {α n,k } ÓÒ Ù ÝÒ ÓÒÓ ÓÙ Ó C ÓØ Ò ÙÔÔ Ò º Å Ö ØÒ ÒÝØ α k = lim n α n,k a = {α n }. ½

ÇÒ Ó Ó Ø ØØ Ú ØØ a l 2 ØØ a = lim n {α n }º ÃÓ Ò ¾º½µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ó ÐÐ ÐÙÚÙÐÐ k 0 ÔØ k 0 k 0 ( α m,k α n,k ) 2 α m,k α n,k 2 < ε. ÃÙÒ m k 0 Ò ¾º¾µ ( α k α n,k ) 2 ε. ÃÓ α n,k 2 <, ÙÖ ÓÐÑ Ó ÔÝ ØÐ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ α k 2 = ( α k α n,k + α n,k ) 2 ( α k α n,k ) 2 + α n,k 2 <. ÌÑ Ó Ó ØØ ØØ a l 2 º ÃÓ ÔÝ ØÐ ¾º¾µ ÔØ Ñ Ð Ú ÐØ ÐÐ ÐÙ¹ ÚÙÐÐ ε ÓÒ lim n ( α k α n,k ) 2 = 0, ÓØ Ò a = lim n {α n }. Ì Ö Ø ÐÐ ÑÑ ÑÖ Ø ÐÑ ½º¾ ½º ÙÓÑ ÑÑ ØØ ÓÖØÓ ÓÒ ¹ Ð ÙÙ ÓÐ ÐÙÓÒØ Ú Ø ÑÖ Ø ÐØÚ Ò Ò Ú ÖÙÙ º ÃÓ ÓÖØÓ¹ ÓÒ Ð ÙÙ Ò Ø ÓÒ Ò Ò ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø Ò Ø ÓÖ ÓÒ À Ð Ö¹ Ø Ò Ú ÖÙÙ Ò Ø ÑÑ ÒÒ ÐØ ÚÐØØÑØ Òº È Ò Ó Ó Ø ÑÑ ØØ L 2 ([a,b]) ÓÒ À Ð ÖØ Ò Ú ÖÙÙ º Ë Ø ÒÒ Ò Ø ÖÚ Ø ÑÑ Ù Ø Ò Ò Ó Ø Ò ÙÒ Ø Ó ÓÒÓ Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ø Ó Ú ØÙÐÓ º ½

¾º¾ ÃÓÒÚ Ö Ò Ð Ù Ø ÐÐ ÓÐ ÑÑ ÑÖ Ø ÐÐ Ø ÙÔÔ Ò Ñ Ò ÒÓÖÑ Ò Ù Ø Ò ØØ ÙÔÔ ¹ Ò Ñ Ò Ñ Ð Ò ÐÐ º Ë ÙÖ Ú Ñ Ö Ó Ó ØØ ØØ Ò Ø Ø ÙÔÔ Ò Ñ Ø ØØ ÚÓ Ñ Ø º Ñ Ö ¾º º ¾ º µº ÇÐ ÓÓÒ 1 f n (x) = n, ÙÒ x [ n,n], 0, ÑÙÙÐÐÓ Ò. ÆÝØ f n (x) 0 ÐÐ x R ÓØ Ò f n 0 Ѻ º ÌÓ ÐØ f n (x) 1 = n n f n (x) dx = 2 n, ÓØ Ò ÓÒÓ f n ÙÔÔ Ò L 1 ¹ÒÓÖÑ Ò Ù Ø Òº Ä Ù ¾º Ù Ø Ò Ò ÐÑ Ý Ø Ý Ò ÒÓÖÑ Ò Ù Ø Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò Ñ Ð Ò ÐÐ ÙÔÔ Ò Ú Ò Ó ÓÒÓÒ ÓÐ Ñ ÓÐÓÒ ÚÐ Ðк Ä Ù ¾º º ÂÓ f n f ÒÓÖÑ Ò Ù Ø Ò Ò Ò ÐÐÓ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ ÓÒÓÒ {f n } Ó ÓÒÓ {f pn } ÓÐÐ ÔØ f pn f Ѻ º ÌÓ ØÙ º à º ¾ º º Ë ÙÖ Ú Ø Ð Ù Ø ÝØ ØÒ ÝÐ Ø Ò Ñ ØÝ Ø ÑÓÒÓØÓÒ Ò ÓÒÚ Ö¹ Ò Ò Ð Ù Ð ÅùР٠º ÙÒ Ø Ó ÓÒÓ ÓÒ ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ò Ó ÓÒ ¹ Ú Ú Ø ¹Ú Ò Úº Ä Ù ¾º º ÇÐ ÓÓØ f n L 1 (R)º ÇÐ ÓÓÒ Ú Ð ÓÒÓ {f n } ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ò ÓÐ ÓÓÒ f n M ÓÐÐ Ò Ú ÓÐÐ M ÐÐ n Nº Ë ÐÐÓ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ ÙÒ Ø Ó f L 1 (R) ÓÐÐ f n f ÒÓÖÑ Ò Ù Ø Ò f n f Ѻ º Ä ØÐÐ Ò f Mº ÌÓ ØÙ º à º ¾ º º Ä Ù ¾º ØÙÒÒ Ø Ò ÝÐ Ø Ä Ù Ò ÓÑ ÒÓ ÙÒ ÓÒÚ Ö Ò Ò Ð Ù¹ Ò Ø ÐÝ Ý ÑÑ Ò Ô Ð Ò ÓÑ ÒÓ ÙÒ ÓÒÚ Ö Ò Ò Ð Ù Ò Ð Ã¹ Ð Ù Ò º Ä Ù Ò ÑÙ Ò Ó Ò Ò ÒØ ÖÓ ØÙÚ Ò ÙÒ Ø Ó Ò ÓÒÓ ÓØ Ö ¹ Ó ØØ ÝÐ ÐØ ÒØ ÖÓ ØÙÚ ÙÒ Ø Ó ÙÔÔ Ò ÒÓÖÑ Ò Ù Ø Ò Ó Ø ÒØ ÖÓ ¹ ØÙÚ ÙÒ Ø Ó Ø º ½

Ä Ù ¾º º ÇÐ ÓÓØ f n L 1 (R) ÓÐ ÓÓÒ h L 1 (R)º ÂÓ f n f Ѻ º f n h ÐÐ n N Ò Ò ÐÐÓ Ò f L 1 (R) f n f ÒÓÖÑ Ò Ù Ø Òº ÌÓ ØÙ Ã º ¾ º ¼ µº ÇÐ ÓÓØ m,n N ÓÐ ÓÓÒ g m,n = max { f m,..., f m+n }. Î Ð Ø Ò m Nº ÆÝØ ÓÒÓ {g m,1,g m,2,...} ÓÒ ¹Ú Ò Úº ÃÓ g m,n = g m,n h <, ÓÒ Ð Ù Ò ¾º Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÓÐ Ñ ÐÐ Ò Ò ÒØ ÖÓ ØÙÚ ÙÒ Ø Ó g m ØØ ÙÒ n g m,n g m Ѻ º ÂÓÒÓ {g n } ÓÒ ¹ Ú Ú 0 g n ÐÐ n Nº ÇÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó g ØØ g n g ÐÐ ÓØ Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò ÓÒÚ Ö Ò Ò Ð Ù Ò ÒÓ ÐÐ f ÓÒ ÒØ ÖÓ ØÙÚ g n g ÒÓÖÑ Ò Ù Ø Òº Ç Ó Ø Ø Ò Ò Ò ØØ Ð Ù Ò Ú Ø ÔØ ÙÒ f = 0º ÇÐ ÓÓÒ f = 0º Ë ÐÐÓ Ò f n 0 Ѻ º ÓØ Ò g n 0 Ѻ º ÃÓ ÓÒÓ g n ÙÔÔ Ò ÑÝ ÒÓÖÑ Ò Ù Ø Ò ÓÒ ÓÐØ Ú g n 0 ÒÓÖÑ Ò Ù Ø Òº Ë Ô f n g n 0, ÓØ Ò f n 0 ÒÓÖÑ Ò Ù Ø Ò ØØ Ò Ð Ù ÓÒ ØÓ ÙÒ f = 0º ÇÐ ÓÓÒ ØØ Ò f 0º ÂÓ ÐÐ Ú Ú ÐÐ ÓÒÓÐÐ ÔÓ Ø Ú Ó ÓÒ ÐÙ¹ Ù {p n } ÔØ h n = f pn+1 f pn 0 Ѻ º ÐÐ Ò Ó ÐÐ n N ÔØ h n 2hº ÌÓ ØÙ Ò Ò ÑÑ Ò Ó Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÙÖ ØØ h n 0 ÒÓÖÑ Ò Ù Ø Òº ÂÓÒÓ {f n } ÓÒ Ù ÝÒ ÓÒÓ ÓØ Ò Ð Ù Ò ¾º½ Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ò Ò b L 1 (R) ØØ f n bº ÆÝØ Ð Ù Ò ¾º Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ò Ò ÓÒÓÒ {f n } Ó ÓÒÓ {f qn } ØØ f qn b Ѻ º ÌÓ ÐØ f qn f Ѻ º ÓØ Ò f = b Ѻ º Ë ÐÚ Ø ÒÝØ f n f ÒÓÖÑ Ò Ù Ø Ò ÐÐ f n f 1 = f n f = f n b f + b f n b + f b = f n b = f n b 1 0, ÓØ Ò Ð Ù ÓÒ ØÓ ÑÝ ÐÐÓ Ò ÙÒ f 0º ½

ÓÑ ÒÓ ÙÒ ÓÒÚ Ö Ò Ò Ð Ù Ò ØÙÐÓ Ø ØÒ Ù Ò ÑÝ ÙÖ ¹ Ú ÑÙÓ Ó º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ð Ù Ò ¾º ÓÐ ØÙ Ø ÓÚ Ø ÚÓ Ñ º ÆÝØ f L 1 (R) lim f n = lim f n. n n Ç Ó Ø ÑÑ ØØ ØÑ ØÙÐÓ ÙÖ Ð Ù Ò ¾º Ú ØØ Øº Ä Ù Ò ¾º ÑÙ¹ Ò f n f ÒÓÖÑ Ò Ù Ø Ò Ð lim n f n f = 0. ÌÓ ÐØ ÓÒ ÓÐ Ø ØØÙ ØØ f n f Ѻ º Ð lim f n (t) f(t) = 0 Ñ Ð Ò n ÐÐ t Rº ÇÒ ÓÐØ Ú lim n f n = lim f n. n ËÙÔÔ Ò Ñ Ø ÒÓÖÑ Ò Ù Ø Ò ÙÖ ØØ Ö ¹ ÖÚÓÒ ÒØ Ö Ð Ò Ö ØÝ ÚÓ Ò Ú Ø º ËÙÔÔ Ò Ñ ÐÐ Ñ Ð Ò ÐÐ ÓÐ ØØ ÓÑ ¹ Ò ÙÙØØ ¾ º µº Ë ÙÖ Ú ØÓÙÒ Ð ÑÑ ÙÖ ÑÓÒÓØÓÒ Ò ÓÒÚ Ö Ò Ò Ð Ù Ø º Ä Ù ¾º º ÇÐ ÓÓØ f n L 1 (R) ÓÐ ÓÓÒ {f n } ÓÒÓ ¹Ò Ø Ú ÙÒ Ø Ó Ø Ó ÐÐ ÔØ f n M ÓÐÐ Ò Ú ÓÐÐ M ÐÐ n Nº ÂÓ f n f Ѻ º Ò Ò ÐÐÓ Ò f L 1 (R) f Mº ÌÓ ØÙ º ¾ º ½ µº ÇÐ ÓÓÒ γ n,k = min {f n,f n+1,...,f n+k } Ñ n,k Nº Î Ð Ø Ò n Nº ÆÝØ ÓÒÓ {γ n,1,γ n,2,...} ÓÒ ¹ Ú Ú ÓÒÓ ÒØ ÖÓ ØÙÚ ÙÒ Ø Ó Ø º Ä γ n,k γ n,1 <. ÆÝØ ÑÓÒÓØÓÒ Ò ÓÒÚ Ö Ò Ò Ð Ù Ò ÒÓ ÐÐ γ n,k γ n Ѻ º ÓØ Ò γ n = inf {f n,f n+1,...} Ѻ º Ë ÐÚ Ø γ n f n M. ÃÓ γ 1 γ 2 γ 3... ÓÒ ÓÒÓ {γ n } ¹Ú Ò Úº ÆÝØ ÑÓÒÓØÓÒ Ò ÓÒ¹ Ú Ö Ò Ò Ð Ù Ò ÒÓ ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ò Ò ÒØ ÖÓ ØÙÚ ÙÒ Ø Ó f ØØ γ n f f M. ½

Ä Ù ¾º º L 2 ([a,b]) a,b R ÓÒ À Ð ÖØ Ò Ú ÖÙÙ º ÌÓ ØÙ º ¾ º µº ÇÐ Ø ÑÑ Ø ØÙÒÒ ØÙ ØØ L 2 ([a,b]) ÓÒ ÒÓÖÑ Ú ÖÙÙ ÓØ Ò Ó Ó Ø ÑÑ ØØ ÓÒ ÑÝ ØÝ ÐÐ Ò Òº ÇÐ ÓÓÒ {f n } Ú ÖÙÙ L 2 ([a,b]) ÑÖ Ø ÐØÝ Ù ÝÒ ÓÒÓº Ë ÐÐÓ Ò b a f m f n 2 0, ÙÒ m,n º ÃÙÒ m,n ÙÖ Ù ÝÒ¹Ë Û ÖÞ Ò ÔÝ ØÐ Ò ÒÓ ÐÐ b b b f m f n 1 f m f n 2 = b b a f m f n 2 0. a a a a Ë Ô {f n } ÓÒ Ù ÝÒ ÓÒÓ ÑÝ Ú ÖÙÙ L 1 ([a,b])º ÃÓ L 1 ([a,b]) ÓÒ ØÝ ÐÐ Ò Ò ÓÒ ÓÐ Ñ ÙÒ Ø Ó f L 1 ([a,b]) ÓÐÐ ÔØ b a f f n 0, ÙÒ n º Ä Ù Ò ¾º ÒÓ ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ò Ò ÓÒÓÒ {f n } Ó ÓÒÓ {f pn } ØØ f pn f Ѻ º Ë ÐÚ Ø ÐÐ ε > 0 b a f pm f pn 2 < ε, ÙÒ m n Ú Ð Ø Ò Ö ØØÚÒ ÙÙÖ º Ë Ô ÙÒ n b a f pm f 2 ε Ð Ù Ò ¾º ÒÓ ÐÐ º ÌÑ Ó Ó ØØ ØØ f L 2 ([a,b])º Ä b f f n 2 b f f pn 2 + b a a a f pn f n 2 < 2ε, ÙÒ n ÓÒ Ö ØØÚÒ ÙÙÖ º ÈØØ Ð ÑÑ ØØ f n f ÒÓÖÑ Ò Ù Ø Ò ÑÝ Ú ÖÙÙ L 2 ([a,b]) ÓØ Ò L 2 ([a,b]) ÓÒ ØÝ ÐÐ Ò Òº ÓÙÖ Ö¹ Ö Ä Ù Ò ½º½ Ý Ø Ý ØÓØ ÑÑ ØØ Ö ÐÐ ÙÐÓØØ Ò Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ Ò Ð ÓØ ÓÚ Ø Ø ØØÚ Ö ÐÐ Ò Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ º ÇÐ ÑÑ ÒÒÓ ¹ ØÙÒ Ø Ñ ÓÐÐ ÙÙ Ø ÐÑ Ø Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ Ò Ð Ó Ø ÙÑÑ Ò ÚÙй Ð ÑÝ Ö Ø ÒÙÐÓØØ Ø Ô Ù º Ö ÐÐ Ø Ò Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø Ó Ò ½

Ò ÓÙ ÙÑÑ Ù Ø Ò Ò ØØ Ð ÑÒ Ö ØØ Ñ ÙÑÑ ÓÐÐÓ Ò Ò ÒÓÙ Ý ÝÑÝ Ö Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ø º ÐÐ ÓÐ ÑÑ ÙÓÑ ÒÒ Ø ØØ Ú ÖÙÙ ÐÐ L 2 ÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ ÓØ ÓÚ Ø Ý ÝÐÐ ÙÔÔ Ò Ñ Ø Ö ¹ Ø ÐÙ Ò Ò ÙÐÑ Ø º Ç Ó ØØ ÙØÙÙ Ò ØØ Ú ÖÙÙ L 2 ÚÓ ÑÑ Ø ØÝ Ò Ö Ó ØÙ Ò ØØ ÙÒ Ø ÓÒ Ò º ÓÙÖ Ö¹ Ö Ò ÚÙÐÐ º Ì ÐÙÚÙ ØÑÑ ÓÙÖ Ö¹ Ö Ò ÑÖ Ø ÐÑÒº Ë Ò Ð Ò Øѹ Ñ Ó Ø Ò ÙÓÑ Ó Ø ÓÙÖ Ö¹ Ö Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ø º ØØ Ð ÑÑ ÑÝ ÓÙÖ Ö¹ Ö Ò Ö Ð Ò Ú Ö ÓÒº Ì ÔÔ Ð Ø Ö Ø ÐÙÑÑ Ö Ó ØØÙÚ Ø Óй Ð Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ó Ò ÓÒ Ô ØÙÙ ÓÒ º ÅÖ Ø ÐÑ º½º ÇÐ ÓÓÒ f ÓÙ Ó R ÑÖ Ø ÐØÝ ÙÒ Ø Óº ÙÒ Ø Ó f ÓÒ ÓÐÐ Ò Ò Ó ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ò Ò ÐÙ Ù P R ( 0) ØØ f(t) = f(t + P) t R. ÄÙ Ù P ÒÓØ Ò ÙÒ Ø ÓÒ f ÓÒ Ô ØÙÙ º ÃÙÒ P = Ñ Ö Ø ÑÑ ÙÒ Ø ÓÒ ÑÖ ØØ ÐÝ ÓÙ ÓÒ Ñ Ø Ø Ò ¹Ñ ØØ Ø ÚÐ Ö Ñ ÐÐ T º º½ ÌÝ ÐÐ Ø ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ø ÓÙ Ó Ø Ì Ð ÐÙÚÙ Ó Ó Ø ÑÑ ØØ ÔÓÒ ÒØØ ÙÒ Ø Ó Ò ÓÙ Ó {φ k } k Z ÓÒ ØÝ ÐÐ Ò Ò Ú ÖÙÙ L 2 (T)º ÌÑ ØÙÐÓ ÓÒ Ö ØØ Ò Ò Ò ÐÐ Ñ ÓÐÐ Ø Ò Ð ÒØ ÖÓ ØÙÚ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ØØÑ Ò ÓÙÖ Ö¹ Ö Ø ÐÑÒ ÚÙÐÐ º Ñ Ö ½º Ó Ó Ø ÑÑ ØØ ÓÑÔÐ Ø Ò ÔÓÒ ÒØØ ÙÒ Ø Ó Ò ÓÙ ¹ Ó {φ k } k Z ÓÒ ÓÖØÓÒÓÖÑ Ð ÑÖ ØØ Ð ÑÑÑ ØÙÐÓÒ Ù Ø Òº Ë ÙÖ Ú ÑÖ ØØ Ð ÑÑ Ñ Ø Ø Ö Ó Ø ÑÑ ÓÖØÓÒÓÖÑ Ð Ò ÓÙ ÓÒ ØÝ ÐÐ ÝÝ Ðк ÅÖ Ø ÐÑ º¾º ÇÐ ÓÓÒ H À Ð ÖØ Ò Ú ÖÙÙ º ÇÖØÓÒÓÖÑ Ð ÓÙ Ó {ϕ k } H ÓÒ ØÝ ÐÐ Ò Ò Ó Ó ÐÐ f H f = f, ϕ k ϕ k. ÇÐ ÑÑ Ô Ò Ú ÐÑ Ø ØÓ Ø Ñ Ò ÔÓÒ ÒØØ ÙÒ Ø Ó Ò ÓÙ ÓÒ ØÝ Ð¹ Ð ÝÝ Ò Ú ÖÙÙ L 2 (T)º ÌØ ØÓ ØÙ Ø Ú ÖØ Ò Ø ÖÚ Ø ÑÑ ÙÖ Ú Ò ØÙÐÓ Òº ¾¼

Ä Ù º½º ÂÓ ÙÒ Ø Ó f L 1 (T) f, φ n = 0 ÐÐ n N Ò Ò f = 0 Ñ Ð Ò ÐÐ º ÌÓ ØÙ º à º ¾ º ½½ º Ä Ù º¾º ÂÓÙ Ó {φ k } k Z ÓÒ ØÝ ÐÐ Ò Ò Ú ÖÙÙ L 2 (T)º ÌÓ ØÙ ÚÖغ ¾ º ½½ µº ÇÐ ÓÓÒ f L 2 (T)º Å Ö ØÒ ÒÝØ y = f, φ k φ k Ó Ó Ø Ø Ò ØØ ÙÑÑ ÓÒ ÓÐ Ñ ÓÙ Ó L 2 (T)º ÃÓ {φ k } k Z ÓÒ ÓÖØÓÒÓÖÑ Ð ÓÙ Ó ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù Ò Ð Ù ½º µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ f, φ k φ k 2 = f, φ k φ k 2, ÐÐ Ò f, φ k φ k 2 = f, φ k f, φ k φ k 2 = f, φ k 2. Ð Ò ÔÝ ØÐ Ò Ð Ù ½º µ ÒÓ ÐÐ Ö f, φ k 2 ÙÔÔ Ò ÓØ Ò ÓÒÓ S n = f, φ k φ k ÓÒ Ù ÝÒ ÓÒÓº ÃÓ L 2 (T) ÓÒ À Ð ÖØ Ò Ú ÖÙÙ Ø Ò ØÝ ÐÐ Ò Ò Ö f, φ k φ k ÙÔÔ Ò º Ë ØØ Ò Ó Ó Ø ÑÑ ØØ y = f Ѻ º ÃÓ f L 2 (T) Ò Ò Ñ Ö Ò ½º Ô ÖÙ Ø ÐÐ f L 1 (T)º Ë ÐÚ Ø ÐÐ n N ÔØ f y, φ n = f, φ n f, φ k φ k, φ n = f, φ n f, φ k φ k, φ n = f, φ n f, φ n = 0, ¾½

ÓØ Ò Ð Ù Ò º½ Ô ÖÙ Ø ÐÐ f y = 0 Ѻ º Ë Ô f = f, φ k φ k. Ë ÙÖ Ú È Ö Ú Ð Ò Ý ØÐ ÓÒ ÚÐØØÑØ Ò Ö ØØÚ ØÓ ÓÖØÓÒÓÖÑ Ð Ò ÓÙ ÓÒ ØÝ ÐÐ ÝÝ ÐÐ À Ð ÖØ Ò Ú ÖÙÙ º Ä Ù º º À Ð ÖØ Ò Ú ÖÙÙ Ò H ÓÖØÓÒÓÖÑ Ð Ó ÓÙ Ó {ϕ n } ÓÒ ØÝ Ð¹ Ð Ò Ò Ó Ú Ò Ó Ó ÐÐ u H º½µ u 2 = u, ϕ n 2. n=1 ÌÓ ØÙ º ¾ º ½¼ µº ÇÐ ÓÓÒ u Hº Ä Ù Ò ½º ØÓ ØÙ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ó ÐÐ n N ÔØ º¾µ u u, ϕ k ϕ k 2 = u 2 u, ϕ k 2. ÇÐ Ø Ø Ò Ò Ò ØØ {ϕ n } ÓÒ ØÝ ÐÐ Ò Òº Ë ÐÐÓ Ò Ë Ô Ú Ò º¾µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ lim u u, ϕ k ϕ k 2 = 0. n lim n ÓØ Ò º½µ ÓÒ ÚÓ Ñ º [ u 2 ] u, ϕ k 2 = 0, ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ò ØØ º½µ ÔØ º ÃÙÒ n Ú Ò º¾µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÓØ Ò {ϕ n } ÓÒ ØÝ ÐÐ Ò Òº lim u u, ϕ k ϕ k 2 = 0, n ¾¾

º¾ ÓÙÖ Ö¹ Ö Ä Ù Ò º¾ Ò Ò ÐØ ÓÒ ØØ Ò Ð ÒØ ÖÓ ØÙÚ ÙÒ Ø ÓØ ÚÓ Ò ÔÔÖÓ ÑÓ Ö Ø ÐÑÐÐ Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ø Ö Ø º ÌÑ Ø Ö Ó ØØ Ø¹ Ø ÓÙ ÓÒ {φ k } k Z Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø ÓØ ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø Ö Ò Ó ÙÔ¹ Ô Ò Ó Ø ÓØ Ò ÙÒ Ø ÓØ f L 2 (T)º ÇÐ ÑÑ Ó Ó ØØ Ò Ø ØØ Ð Ù Ò ½º½ ØÙÐÓ ÓÒ ÝØ ØØÚ ÑÑ ÑÝ Ö Ø ÒÙÐÓØØ Ò Ú ÖÙÙ Ò L 2 (T) Ø Ô Ù º ÇÐ ÓÓÒ f L 2 (T)º Ä Ù Ò º¾ Ñ Ö Ò ½º Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÚÓ Ò Ñ Ö¹ Ø f = c k φ k, k Z Ñ c k = f, φ k = 1 T f(t)e ikt dt. ÅÖ Ø ÐÑ º º ÇÐ ÓÓÒ f L 2 (T)º à ÖØÓ Ñ c k (f) = f, φ k = 1 f(t)e ikt dt, k Z ÙØ ÙØ Ò ÙÒ Ø ÓÒ f ÓÙÖ Ö¹ ÖØÓ Ñ º Ë Ö T c k (f)φ k k Z ÙØ ÙØ Ò ÙÒ Ø ÓÒ f ÓÙÖ Ö¹ Ö º ÃÙÒ ÐÙ ÑÑ ÒÓ ØØ ÙÒ Ø ÓÐÐ f ÓÒ Ø ØØÝ ÓÙÖ Ö¹ Ö Ø ÐÑ Ñ Ö Ø ÑÑ f k Z c k (f)φ k. ÃÓ Ö Ð ÖÚÓ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ Ö Ò ÑÖ ØØ Ð Ñ Ò Ò ÓÑÔÐ ¹ Ø Ò ÔÓÒ ÒØØ ÙÒ Ø Ó Ò ÚÙÐÐ ÓÐ ÓÚ Ò Ò ÐÙÓÒØ Ú Ó ÑÑ ÙÖ Ú Ö Ð Ò ÓÙÖ Ö¹ Ö Òº Ê Ð Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ Ö Ò Ø Ö¹ Ñ Ø c k φ k k Zµ ÐÑ Ø Ò Ù Ò Ò Ò Ó Ò Ò ÚÙÐÐ ÙÖ Ú Ø ÚÖغ ½ º µº ÀÙÓÑ Ø Ò ØØ c n e int + c n e int = c n (cos nt + i sin nt) + c n (cos nt i sin nt) = (c n + c n ) cos nt + i(c n c n ) sin nt, ¾

Ñ n Nº ÌÓ ÐØ ÙÓÑ Ø Ò ØØ c k φ k = c ke ikt. Å Ö ØÒ Ò ÙÖ Ú a n = c n + c n = 1 ( 1 = 1 π = 1 π T T T f(t) eint + e int dt 2 f(t)e int dt + 1 f(t) cos(nt)dt, n = 1, 2, 3,... T ) f(t)e int dt Ë ÑÓ Ò ÚÓ Ò Ñ Ö Ø b n = i(c n c n ) = 1 f(t) sin(nt)dt, n = 1, 2, 3,... π T ÌÓ Ø Ò Ú Ð ØØ ÙÒ k = 0 ÌÓ ÐØ Ó n = 0 Ò Ò c 0 φ 0 = c 0 = 1 a 0 = 1 π T T f(t)dt, ÓØ Ò a 0 = 2c 0 φ 0 º ÃÓÑÔÐ Ò ÓÙÖ Ö¹ Ö Ò c k (f)φ k k Z f(t)dt. Ø ÖÑ c 0 φ 0 Ú Ø Ö Ð ÓÙÖ Ö¹ Ö Ø ÖÑ a 0 2 º Ä ÐÚ Ø b o = 0º ÆÝØ ÙÒ Ø ÓÒ f ÓÙÖ Ö¹ Ö ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÑÙÓ Ó a 0 2 + (a n cos(nt) + b n sin(nt)). n=1 Ñ Ö º½º ÇÐ ÓÓÒ 1, ÙÒ π < t < 0, f(t) = 1, ÙÒ 0 < t < π. ÙÒ Ø ÓÒ f ÓÙÖ Ö¹ Ö ÓÒ a 0 2 + (a n cos(nt) + b n sin(nt)), n=1 ¾

Ñ ÃÙÒ n = 0 a n = 1 f(t) cos(nt)dt π T b n = 1 f(t) sin(nt)dt, n = 1, 2, 3,... π T a 0 = 1 π π ÇÐ ÓÓÒ ØØ Ò n 0º ÆÝØ π f(t)dt = 1 π a n = 1 π π π π 0 dt 1 π 0 π f(t) cos(nt)dt = 0. Î Ø Ú Ø b n = 1 π f(t) sin(nt) = 1 [ 0 sin(nt)dt + π π π π = 1 [ ] 0 cos(nt) 1 [ ] π cos(nt) = 4 π n π π n 0 πn, dt = 0. π 0 ] sin(nt)dt ÙÒ n = 2k 1 k = 1, 2,...µº Ë ÑÓ Ò ÙÓÑ Ø Ò ØØ b n = 0 ÙÒ n = 2k ÓØ Ò ÙÒ Ø ÓÒ f ÓÙÖ Ö¹ Ö ÓÒ b n = 4 π(2k 1). f(t) 4 π sin(2k 1)t. 2k 1 Ñ Ö º¾ º ½ º ½½ µº ÇÐ ÓÓÒ f L 2 (T)º Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ f ÓÖØÓ ÓÒ Ð ÔÖÓ Ø ÓØ Ú ÖÙÙ Ò L 2 (T) n¹ùðóøø Ò Ð Ú ÖÙÙØ Ò ÓÒ Ú Ö ØØ ÓÙ Ó {φ k } n º Ë ÓÒ P n (f) = f, φ k = f, φ k φ k = c k φ k, Ñ c k = f, φ k φ k = 1 T f(t)e ikt dt = c k (f). ¾

ÓÙÖ Ö¹ Ö Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ø ÒÓÖÑ Ò Ù Ø Ò ØÙÐ Ó ØØ Ô Ø ØØ ¹ Ò ÙÔÔ Ò Ñ Òº ËÙÔÔ Ò Ñ Ò Ò ÒÓÖÑ Ò Ù Ø Ò ÑÖ Ø ÐÐÒ ÒØ Ö Ð ¹ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ó Ó Ô Ö Ó Ò T ÝÐ Ø ÚÓ Ú Ø Ó ØÓÔØ Ö ¹ Ø ÐÑÒ ÙÔÔ Ò Ñ Ø Ô Ö Ó Ò Ý ØØ Ô Ø f(x) = f, φ n φ n (x). n=1 È Ø ØØ Ø ÙÔÔ Ò Ñ Ø Ó Ú ØÙÐÓ ÓÒ Ò ÙÓÑ ØØ Ú Ø Ú Ú ÑÔ º Ä ÒÒ ÖØ ÖÐ ÓÒ ØÓ Ø ÚÙÓÒÒ ½ ØØ Ò Ð ÒØ ÖÓ ØÙÚ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ Ö ÙÔÔ Ò Ñ Ð Ò ÐÐ º ÌÓ ØÙ ÓÒ Ö ØØ Ò Ú Ø Ú º º Ð Ø ØØÝ ÓÙÖ Ö¹ Ö ÐÐ Ð ÐÙÚÙ Ó Ó Ø ÑÑ ØØ ÓÙ ÓÒ {φ k } k Z Ð Ò Ö Óѹ Ò Ø ÓØ ÙÔÔ Ò Ú Ø Ó Ø ÓØ Ò ÙÒ Ø ÓØ f L 2 (T)º Ä Ù Ø ½º Ñ Ö Ø º¾ ÙÓÑ Ø Ò ØØ ÓÙÖ Ö¹ Ö Ø ÐÑ ÓÒ Ø ØÝ Ñ Ð Ô Ö ÔÔÖÓ Ñ Ø Ó ØÐÐ ÙÒ Ø ÓÐÐ º Ç Ó ØØ ÙØÙÙ ØØ ØÙÐÓ ÓÒ ÚÓ Ñ ÑÝ ÝÐ ÐÐ ÓÖØÓÒÓÖÑ Ð ÐÐ ÓÙ ÓÐÐ {ϕ k } À Ð ÖØ Ò Ú ÖÙÙ ÐÐ Hº ÇÐ ÓÓÒ {ϕ k } À Ð ÖØ Ò Ú ÖÙÙ Ò H ÓÖØÓÒÓÖÑ Ð Ó ÓÙ Óº Ð Ò ÔÝ ØÐ Ò ÒÓ ÐÐ u, ϕ k 2 u 2, ÓØ Ò Ö ÙÔÔ Ò Ó ÐÐ u Hº ÌÓ Ò ÒÓ Ò ÓÒÓ { u, ϕ k } l 2 º ÎÓ Ò ÒÓ ØØ ÓÖØÓÒÓÖÑ Ð ÓÙ Ó {ϕ k } Ú ÖÙÙ H Ò Ù Ó ÙÚ Ù Ò Ú ÖÙÙ ÐØ H Ú ÖÙÙØ Ò l 2 º Ë Ö Ø ÐÑ u u, ϕ k ϕ k ÙØ ÙØ Ò Ð ÓÒ u H ÝÐ Ø ØÝ ÓÙÖ Ö¹ Ö º Î Ø Ú Ø ÖØÓ Ñ u, ϕ k ÙØ ÙØ Ò ÓÖØÓÒÓÖÑ Ð Ò ÓÙ ÓÒ {ϕ k } ÑÖÑ ÝÐ Ø ØÝ ÓÙÖ Ö¹ ÖØÓ Ñ º Ú ÖÙÙ Ò H ØÝ ÐÐ ÝÝ Ø Ö Ò ÙÔÔ Ò Ñ Òº Ä Ù º º ÇÐ ÓÓÒ ÓÒÓ {ϕ k } Ú ÖÙÙ Ò H ÓÖØÓÒÓÖÑ Ð Ó ÓÙ Ó ÓÐ ÓÓÒ {α k } ÓÒÓ ÓÑÔÐ ÐÙ Ù º Ë Ö ¾

α k ϕ k ÙÔÔ Ò Ó Ú Ò Ó {a k } l 2 º Ë ÐÐÓ Ò ÑÝ a k ϕ k = a k 2. ÌÓ ØÙ º ¾ º ½¼ µº ÇÐ ÓÓØ m > n > 0º ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù Ò Ô ÖÙ ¹ Ø ÐÐ º µ n=1 m a k ϕ k = m a k 2. k=n ÂÓ {a k } l 2 Ò Ò ÐÚ Ø Ö a kϕ k ÙÔÔ Ò Ú ÖÙÙ Ò H ØÝ Ð¹ Ð ÝÝ Ò ÒÓ ÐÐ º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ò ØØ Ö a kϕ k ÙÔÔ Ò º ÃÓ Ò º½µ ÒÓ ÐÐ ÑÝ Ö a k 2 ÙÔÔ Ò ÐÐ Ö Ò Ó ÙÑÑ Ò ÓÒÓ S m = m a k 2 ÓÒ Ù ÝÒ ÓÒÓ ÓÙ Ó Rº ÃÙÒ k = 1 m Ý Ø¹ Ð º µ Ò k=n a k ϕ k = a k 2. n=1 ÅÖ Ø ÐÑ º º ÇÐ ÓÓØ H 1 H 2 À Ð ÖØ Ò Ú ÖÙÙ º Ú ÖÙÙ H 1 ÓÒ ÓÑÓÖ Ò Ò Ú ÖÙÙ Ò H 2 Ò Ó ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ò Ò Ð Ò Ö ÙÚ Ù L: H 1 H 2 ØØ L ÓÒ Ø Ó L(x), L(y) = x, y Ó ÐÐ x,y H 1 º ÌÐÐ Ò ÙÚ Ù Ø L ÙØ ÙØ Ò ÓÑÓÖ Ñ Ú ÖÙ٠й Ø H 1 Ú ÖÙÙØ Ò H 2 º ÇÐ ÓÓÒ ÒÝØ H À Ð ÖØ Ò Ú ÖÙÙ Ó ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ ÓÖØÓÒÓÖÑ Ð ÓÙ Ó {ϕ k } º ÌÓ Ø ÑÑ ÙÖ Ú ØØ H ÓÒ ÓÑÓÖ Ò Ò Ú ÖÙÙ¹ Ò l 2 Ò ØØ ÓÑÓÖ Ñ Ò ÑÖ ØØ ÙÚ Ù T : H l 2 Ñ T (x) = (α 1,α 2,...) α k = x, ϕ k k Nº Ë ÐÚ Ø T ÓÒ Ð Ò Ö ÙÚ Ù º ÐÓ Ø ÑÑ Ó Ó ØØ Ñ ÐÐ ØØ ÙÚ Ù T ÓÒ Ø Óº ¾

ÇÐ ÓÓØ U V ØÙÐÓ Ú ÖÙÙ ÓÐ ÓÓÒ L: U V Ð Ò Ö ÙÚ Ù º Ä Ò Ö ÙÚ Ù Ò L ÒÓÐÐ ¹ Ú ÖÙÙ ÓÒ ÓÙ Ó N(L) = {u U : L(u) = 0}. Ä Ò Ö Ð Ö Ø Ø ØÒ ØØ Ð Ò Ö ÙÚ Ù L ÓÒ Ò Ø Ó Ó Ú Ò Ó N(L) = 0º Ë ÐÚ Ø ÒÝØ Ð Ò Ö ÙÚ Ù T ÓÒ Ò Ø Ó ÐÐ Ú ÖÙÙ Ò H ØÝ ÐÐ ÝÝ Ò ÒÓ ÐÐ Ó ÐÐ x H x = x, ϕ k ϕ k = α k ϕ k, ÓØ Ò Ó α k = 0 ÐÐ k N ÓÒ ØÐÐ Ò ÓÐØ Ú x = 0º ÐÐ Ò T ÓÒ ÙÖ Ø Ó ÐÐ Ð Ù º ÔØ Ñ Ð Ú ÐØ ÐÐ ÓÒÓÐÐ {a k } l 2 º Ä Ù º º ÇÐ ÓÓÒ H Ö Ø ÒÙÐÓØØ Ò Ò À Ð ÖØ Ò Ú ÖÙÙ ÓÐÐ ÓÒ ØÝ ÐÐ ¹ Ò Ò ÓÖØÓÒÓÖÑ Ð Ó ÓÙ Óº Ú ÖÙÙ H ÓÒ ÓÑÓÖ Ò Ò Ú ÖÙÙ Ò l 2 Ò ¹ º ÌÓ ØÙ º ¾ º ½¾ µº ÇÐ ÓÓÒ ÓÒÓ {ϕ k } Ú ÖÙÙ Ò H ØÝ ÐÐ Ò Ò ÓÖ¹ ØÓÒÓÖÑ Ð Ó ÓÙ Ó ÓÐ ÓÓÒ x Hº ÇÐ ÓÓÒ Ú Ð Ð Ò Ö ÙÚ Ù T Ù¹ Ø Ò Ðк ÇÒ Ó Ó Ó Ø ØØÙ ØØ T ÓÒ Ø Óº Ê ØØ Ó Ó ØØ ØØ T (x), T (y) = x, y º Å Ö ØÒ β k = y, ϕ k º ÆÝØ T (x), T (y) = (α 1,α 2,...), (β 1,β 2,...) = α k β k = x, ϕ k y, ϕ k = x, y, ϕ k ϕ k = x, y, ϕ k ϕ k = x, y. ÇÐ ÑÑ Ó Ó ØØ Ò Ø ØØ Ó Ò Ò Ö Ø ÒÙÐÓØØ Ò Ò À Ð ÖØ Ò Ú ¹ ÖÙÙ Ó ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ ØÝ ÐÐ Ò Ò ÓÖØÓÒÓÖÑ Ð ÓÙ Ó ÓÒ ÓÑÓÖ ¹ Ò Ò Ú ÖÙÙ Ò l 2 Ò º ÓÙÖ Ö¹ Ö Ó Ò ÒÒ ÐØ ØÙÐÓ Ø Ö Ó ØØ Ø ØØ Ó Ø ÓÒÓ {a k } l 2 Ó Ø ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó f L 2 (T) ØØ f a k ϕ k, Ñ a k = f, ϕ k º ÑÝ ÙÓÑ ÙØÙ ½ º ½¾½ µº ÌØ ØÙÐÓ Ø ÙØ ÙØ Ò Ù Ò Ê Þ Ò¹ Ö Ò Ð Ù º ¾

º½ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ÑÖ Ø ÐÑ ÐÐ ÓÐ ÑÑ Ó Ó ØØ Ò Ø ØØ Ó ÐÐ ÓÒ T ÝÐ Ò Ð ÒØ ÖÓ ØÙÚ ÐÐ ÓÐÐ ÐÐ ÙÒ Ø ÓÐÐ f ÓÒ ÓÐ Ñ L 2 ¹ÒÓÖÑ Ò Ù Ø Ò ÙÔÔ Ò Ú ÓÙÖ Ö¹ Ö Ø ÐѺ Ë Ö Ò ÖØÓ Ñ Ø ÓÚ Ø ÑÖ Ø ÐÑÒ º ÑÙ Ò c k (f) = 1 f(t)e ikt dt, Ñ k Zº ÅÖ Ø ÐÐÒ ÒÝØ ÙÒ Ø Ó T ˆf(k) = 1 π π f(t)e ikt dt. ÌØ ÙÒ Ø ÓØ ÙØ ÙØ Ò ¹ ÓÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ º ÀÙÓ¹ Ñ Ø Ò ØØ ÓÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ø Ô Ù ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ Ú Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù ÖÚÓ ÐÐ º Ì ÐÙÚÙ ÑÖ ØØ Ð ÑÑ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ÑÝ ¹ ÓÐÐ ÐÐ ÙÒ Ø Ó ÐÐ º ÃÝØÒÒ ØÑ Ø Ô ØÙÙ ÒØ Ñ ÐÐ ÙÒ Ø ÓÒ ÓÒ Ô ØÙÙ Ò Ú Ö ØØ º Ѻ ½ º ½ µº ÇÒ ÐÑ ÑÙÓ Ó ØÙÚ Ø ¹ ÓÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ÓÐ Ñ ÓÐÓ Ó Ú Ø Óغ ÁÒØ Ö Ð Ò 1 f(t)e ikt dt ÝØØÑ Ò Ò Ò Ð ÒØ ÖÓ ØÙÚ Ò ÙÒ Ø Ó Ò ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ÑÖ Ø Ð¹ ÑÒ ÓÒ ÓÒ ÐÑ ÐÐ Ø ÐÐ Ò Ð ÒØ ÖÓ ØÙÚ Ø ÙÒ Ø ÓØ ÚØ ÓÐ Ò¹ Ø ÖÓ ØÙÚ Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó º ÌÓ ÐØ ÓÐ ÑÑ Ó ÑÑ Ò Ñ Ö ¹ ¾º¾ ÙÓÑ ÒÒ Ø ØØ ÙÔÔ Ò Ñ Ø L 1 ¹ L 2 ¹ÒÓÖÑ Ò Ù Ø Ò ÚÓ Ñ Ø º ÂÓ ÑÖ ØØ Ð ÑÑ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò Ö Ò ÓÙ Ó L 1 (R) L 2 (R) ÑÑ ÚÓ ÓÐÐ Ú ÖÑÓ Ò Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ò Ú Ø ÚÙÙ¹ Ø º ¾ º ½ µº ÃÝØÒÒ ÚÓ ÑÑ Ù Ø Ò Ò ÑÖ Ø ÐÐ ÓÙÖ Ö¹ ÑÙÙÒÒÓ Ò ÓÙ Ó L 1 (R) L 2 (R) ÓÙ Ó L 1 (R) L 2 (R) ÙÒ Ò ÓÐ ÑÑ Ø ØÓ Ò Ø Ö Ó ØÙ Ø º Ì Ö ÑÔ ÝÚ ÒØÝÑ Ò Ò Ò Ò Ý Ý¹ ÑÝ Ò ÓÐ Ñ ÓÐÐ Ø ØÑÒ ØÙØ ÐÑ Ò ÔÙ ØØ º ÅÖ Ø ÐÑ º½º ÇÐ ÓÓÒ f L 1 (R) L 2 (R)º ÙÒ Ø ÓÒ f ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ ÓÒ ÙÒ Ø Ó ˆf(k) = 1 ¾ f(t)e ikt dt.

ÅÖ ØØ Ð ÑÑ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ÑÓ Ò ÑÝ ÓÙ Ó L 1 (R) L 2 (R)º ÌÐÐ Ò ÓÐ Ø ÑÑ ÑÙÙÒÒÓ Ò ÑÖ ØØ Ð ÚÒ ÒØ Ö Ð Ò ÙÔÔ Ò Ú Òº ÙÒ ¹ Ø ÓÒ f ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÙÒÒÓ Ø ÝØ ØÒ ÑÝ Ñ Ö ÒØ F(f)º Ñ Ö º½º ÇÐ ÓÓÒ f ÙÒ Ø Ó ÙÒ Ø ÓÒ f ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ ÓÒ ˆf(k) = 1 e t, ÙÒ t 0, f(t) = e t, ÙÒ t < 0. = 1 [ 0 = 1 lim b = 1 lim b [ = 1 f(t)e ikt dt e t e ikt dt + [ 0 e (ik 1)t dt + b [ 1 e (ik 1)b 0 ] e t e ikt dt b 0 ] e (ik+1)t dt ] e (ik+1)b 1 ik 1 ik + 1 1 ik 1 + 1 ] 2ik = ik + 1 (k2 + 1). º¾ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ë ÙÖ Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø ÙÖ Ú Ø ÐÔÓ Ø ÙÓÖ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø º½º Ä Ù º½º ÇÐ ÓÓØ f,g L 1 (R) L 2 (R) a Cº Ë ÐÐÓ Ò µ µ µ µ µ F(f + g) = F(f) + F(g) F(af) = af(f) F { f(t) } = F {f( t)} F {f(t u)} = F {f(t)}e iku F {f(at)} = (1/a)F {f(t/a)}, a > 0. Ä Ù º¾º ÁÒØ ÖÓ ØÙÚ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ ÓÒ Ø ÙÚ ÙÒ Ø Óº ÌÓ ØÙ º ¾ º ½ µº ÇÐ ÓÓÒ f L 1 (R) ÓÐ ÓÓØ k,h Rº Ë ÐÐÓ Ò ¼

ˆf(k + h) ˆf(k) = 1 e ikt (e iht 1)f(t)dt ÇÒ Ó Ó Ø ØØ Ú ØØ 1 e iht 1 f(t) dt. lim ˆf(k + h) ˆf(k) 1 = lim e iht 1 f(t) dt = 0. h 0 h 0 ÀÙÓÑ Ø Ò ØØ e iht 1 f(t) 2 f(t) ØØ lim h 0 e iht 1 = 0 ÐÐ t Rº ÆÝØ ÓÑ ÒÓ ÙÒ ÓÒÚ Ö Ò Ò Ð Ù Ò Ð Ù ¾º µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ lim h 0 1 e iht 1 f(t) dt = 1 lim h 0 eiht 1 f(t) dt = 0. ÅÖ Ø ÐÑ º¾º ÇÐ ÓÓØ f,g L 1 (R) L 2 (R)º ÙÒ Ø Ó Ò f g ÓÒÚÓ¹ ÐÙÙØ Ó f g ÓÒ (f g)(t) = f g(t) = 1 = 1 f(y)g(t y)dy. f(t y)g(y)dy Ë ÙÖ Ú ÓÒÚÓÐÙÙØ ÓÐ Ù ÐÑ Ý Ò ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÙÒÒÓ Ò Ý Ýй Ð ÑÑ Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø º ÃÓÒÚÓÐÙÙØ Ó ÓÒ Ò Ñ ØØ Ò ÑÙÙÒÒ ØØ Ú ÖØÓ¹ Ð Ù ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ÚÙÐÐ º Ä Ù º º ÇÐ ÓÓØ f,g L 1 (R) L 2 (R)º Ë ÐÐÓ Ò F(f g) = F(f)F(g). ÌÓ ØÙ º ½ º ½ µº ØÑÑ Ø ÐÙÓÒÒÓ Ò ØÓ ØÙ ÐÐ º ÃÓÒÚÓ¹ ÐÙÙØ ÓÒ f g ÒØ ÖÓ ØÙÚÙÙ ÒØ ÖÓ ÒØ Ö ØÝ Ò Ú Ø Ñ Ò Ò Ó ¹ µ Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ù Ò Ò Ð Ù Ò º ¾ º µº ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ÓÒÚÓÐÙÙØ ÓÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ½

µ F(f g)(k) = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 e ikt ( 1 ( e ikt f(t y)g(y)dy g(y) g(y) e ikt f(t y)dtdy e ik(t+y) f(t)dtdy g(y)e iky dy 1 ) f(t y)g(y)dy ) dt dt e ikt f(t)dt = F(f)F(g). ÇÐ ÑÑ ÑÑ Ò ØÓ Ø Ò Ø È Ö Ú Ð Ò Ý ØÐ Ò ÓÙÖ Ö¹ Ö Ó ÐÐ º Î ¹ Ø Ú ØÙÐÓ ÓÒ ÚÓ Ñ ÑÝ Ø ÙÚ Ò ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò Ø Ô Ù º Ä Ù º º ÇÐ ÓÓÒ f L 1 (R) L 2 (R)º Ë ÐÐÓ Ò ˆf 2 = f 2. ÌÓ ØÙ º ¾ º ½ µº ÇÐ Ø Ø Ò Ò Ò ØØ f = 0 ÐÐ ÚÐ Ò [ π,π] ÙÐ ÓÔÙÓÐ ÐÐ º ÆÝØ ÑÖ Ø ÐÑÒ º Ô ÖÙ Ø ÐÐ f c k (f)e ikt, k Z Ñ Ä Ù Ò º Ô ÖÙ Ø ÐÐ f 2 2 = c k (f) = f, e ikt = 1 π k= π 1 f(t)e ikt dt f(t)e ikt dt. 2 = k= ÇÐ ÓÓÒ ØØ Ò g(t) = e iξt f(t)º Ë ÑÓ Ò ÙÒ Ø ÓÐÐ g ÔØ g 2 2 = = k= k= 1 g(t)e ikt dt 1 f(t)e i(k+ξ)t dt 2 2 = ˆf(k) 2. ˆf(k + ξ) 2. k= ¾

Ë ÐÚ Ø f 2 2 = g 2 2 ÓØ Ò º½µ f 2 2 = k= ˆf(k + ξ) 2. ÁÒØ ÖÓ Ñ ÐÐ Ð Ù º½µ ÔÙÓÐ ØØ Ò ÑÙÙØØÙ Ò ξ Ù Ø Ò ÚÐ Ò [0, 1] ÝÐ Ò f 2 2 = k= 1 0 ˆf(k + ξ) 2 dξ = ˆf(ξ) 2 dξ = ˆf 2 2. ÂÓ f 0 ÚÐ Ò [ π,π] ÙÐ ÓÔÙÓÐ ÐÐ ÚÓ Ò Ú Ð Ø ÐÐ Ò Ò ÐÙ Ù λ > 0 ØØ ÙÒ Ø Ó g(t) = f(λt) = 0 ÐÐ ÚÐ Ò [ π,π] ÙÐ ÓÔÙÓÐ ÐÐ º ÆÝØ Ð Ù Ò º½ Ó Ò µ ÒÓ ÐÐ ĝ(k) = 1 λ ˆf ÓØ Ò f 2 2 = λ g 2 2 = λ ĝ 2 2 = λ 1 λ ˆf ( ) k, λ ( ) ξ 2 dξ = λ ˆf(ξ) 2 dξ = ˆf 2 2. Ñ Ö º¾ º ½ º ½ ¾ Ø Øº º¾ µº Ä Ø Ò ÔÓÐ ÐÐ Ò Ò ÒØ Ö Ð x 2 (x 2 + 1) 2dx. Ñ Ö Ò º½ Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÙÒ Ø ÓÒ e t, ÙÒ t 0, f(t) = e t, ÙÒ t < 0 ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ ÓÒ ˆf(k) = 2ik (k2 + 1). ÌÓ ÐØ f(t) 2 dt = 0 = lim b e 2t dt + ( 0 0 e 2t dt + b e 2t dt b = lim b ( 1 e 2b ) = 1. 0 ) e 2t dt

È Ö Ú Ð Ò Ý ØÐ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ˆf 2 = f 2 ÓØ Ò 2ik (k2 + 1) 2 dk = 2 π k 2 (k 2 + 1) 2dk = 1. Ë Ô x 2 (x 2 + 1) 2dx = π 2. Ä Ù º º ÂÓ f,g L 2 (R) Ò Ò f(t)ĝ(t)dt = ˆf(t)g(t)dt. ÌÓ ØÙ º à º ¾ º ½ º Ë ÙÖ Ú ÔÙÐ Ù ÓÒ Ø ÖÔ ÐÐ Ò Ò ÒØ Ò ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò Ñ¹ Ö ØØ Ð Ñ º Ä ÑÑ º½º ÇÐ ÓÓÒ f L 1 (R) L 2 (R) ÓÐ ÓÓÒ g = ˆfº Ë ÐÐÓ Ò f = ĝº ÌÓ ØÙ º ¾ º ¾¼¼ µº ÇÐ ÓÓÒ g = ˆfº ÆÝØ Ð Ù Ò º º Ô ÖÙ Ø ÐÐ f, ĝ = ˆf, g = ˆf, ˆf = ˆf 2 2 = f 2 2. ÐÐ Ò È Ö Ú Ð Ò Ý ØÐ Ò ÒÓ ÐÐ ĝ 2 2 = g 2 2 = ˆf 2 2 = f 2 2. Ë Ò f ĝ 2 2 = f ĝ, f ĝ = ˆf 2 2 f, ĝ f, ĝ + ĝ 2 2 = 0, ÓØ Ò f = ĝº Ä Ù º º ÇÐ ÓÓÒ f L 2 (R)º Ë ÐÐÓ Ò 1 n f(t) = lim n n ˆf(k)e ikt dk, Ñ ÙÔÔ Ò Ñ Ò Ò ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ L 2 ¹ÒÓÖÑ Ò Ù Ø Òº

ÌÓ ØÙ º ¾ º ¾¼½ µº ÂÓ g = ˆf Ò Ò ÐÐÓ Ò Ð ÑÑ Ò º½ Ô ÖÙ Ø ÐÐ 1 n f(t) = ĝ(t) = lim e ikt g(k)dk n n 1 n = lim e ikt g(k)dk n n 1 n = lim e ikt ˆf(k)dk. n n ÐÐ Ò Ð Ù Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÙÓÑ Ø Ò ØØ ÙÒ f L 1 (R) L 2 (R) Ý Ø ÙÙÖÙÙ f(t) = 1 e ikt ˆf(k)dk ÓÒ ÚÓ Ñ Ñ Ð Ò ÐÐ ÓÙ Ó Rº Ä Ù ÑÖ Ø ÐØÝ ÑÙÙÒÒÓ ¹ Ø ÙØ ÙØ Ò ÒØ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ º ÙÒ Ø Ó f Ò ÓÙÖ Ö¹ ÑÙÙÒÒÓ ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø Ò º ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ô Ö Ò F {f(t)} = 1 F 1 { ˆf(k)} = 1 f(t)e ikt dt, ˆf(k)e ikt dk. ÇÐ ÑÑ ÑÑ Ò Ó Ó ØØ Ò Ø ØØ Ó Ò Ò Ö Ø ÒÙÐÓØØ Ò Ò À Ð ÖØ Ò Ú ÖÙÙ Ó ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ ØÝ ÐÐ Ò Ò ÓÖØÓÒÓÖÑ Ð ÓÒÓ ÓÒ ÓÑÓÖ¹ Ò Ò Ú ÖÙÙ Ò l 2 Ò º Ð Ø ØÝÒ ÓÙÖ Ö¹ Ö Ò Ø Ö Ø Ð Ñ Ò Ý Ø Ý¹ Ú Ø ÑÑ ØØ ÝÐ Ø ØØÝ Ò ÓÙÖ Ö¹ ÖØÓ Ñ Ò ÓÙ Ó Ò Ù Ó Ó¹ ÑÓ Ñ Ò Ú ÖÙÙ Ø H Ú ÖÙÙØ Ò l 2 º Ç Ó ØØ ÙØÙÙ ØØ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò Ù Ó ÓÑÓÖ Ñ Ò Ú ÖÙÙ Ø L 2 (R) Ú ÖÙÙØ Ò L 2 (R)º Ë ÙÖ Ú Ð Ù Ó Ó ØØ ØØ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ ÐÝØØ ØÙÐÓÒº Ä Ù º º ÂÓ f,g L 2 (R) Ò Ò f(t)g(t)dt = ˆf(k)ĝ(k)dk. ÌÓ ØÙ º à º ¾ º ¾¼½ º Ä Ù º º ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ F ÓÒ ÓÑÓÖ Ñ Ú ÖÙÙ ÐØ L 2 (R) Ú ÖÙÙ¹ Ø Ò L 2 (R)º

ÌÓ ØÙ º ¾ º ¾¼¾ µº Ä Ù Ò º Ô ÖÙ Ø ÐÐ F(f), F(g) = f, g. ÂÓ F(f) = 0 Ò Ò ÐÚ Ø ÙÒ Ø ÓÒ f ÓÒ ÓÐØ Ú ÒÓÐÐ ÙÒ Ø Óº ÌÐÐ Ò N(F) = 0 ÓØ Ò ÙÚ Ù F ÓÒ Ò Ø Óº ÇÒ Ú Ð Ó Ó Ø ØØ Ú ØØ ÙÚ Ù F ÓÒ ÙÖ Ø Óº ÇÐ ÓÓÒ f L 2 (R) ÓÐ ÓÓØ h = f g = ĥº ÆÝØ Ð ÑÑ Ò º½ ÒÓ ÐÐ f = h = ĝ ÓØ Ò f = ĝº ÇÐ ÑÑ ØÓ Ø Ò Ø ØØ ÙÚ Ù F : L 2 (R) L 2 (R) ÓÒ ÓÑÓÖ ¹ Ñ º ÌÑ Ó Ó ØØ ØØ Ó Ò Ò Ò Ð ÒØ ÖÓ ØÙÚ ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÓÒ Ò Ò Ð Ò¹ Ø ÖÓ ØÙÚ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ º ÌÓ ÐØ Ð Ù º Ó Ó Ø ÑÑ Ø¹ Ø Ó Ò Ò Ö Ø ÒÙÐÓØØ Ò Ò À Ð ÖØ Ò Ú ÖÙÙ ÓÒ ÓÑÓÖ Ò Ò Ú ÖÙÙ Ò l 2 Ò º ÎÓ Ò ÒÓ ØØ Ø ØÝ Ñ Ð ÓÒ ÓÐ Ñ Ú Ò Ý ¹ Ö Ø ÒÙÐÓØØ Ò Ò À Ð ÖØ Ò Ú ÖÙÙ º º Ö ØØ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ì Ò Ñ ÒÒ ÓÐ ÑÑ Ø Ö Ø ÐÐ Ø ÓÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ Ö ¹ ÝÐ ÑÑÒ ÙÒ Ø ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø º Ì Ð ÐÙÚÙ ØØ Ð ÑÑ Ö Ø Ò ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò Ó ÓÒ ÑÑ ÒÙÑ Ö Ø Ò ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÒÒ ÐØ ÒØ ØÖ Ò ÑÙÙÒÒÓ ØÝÝÔÔ º ÃÙØ Ò ÓÙÖ Ö¹ Ö ØØ Ð Ú Ó ÙÙ ÑÝ Ø Ð ÐÙÚÙ Ö ¹ Ó Ø ÑÑ Ø Ö Ø ÐÙÑÑ Ó Ñ Ò Ö Ð ÐÙ ÙÚÐ T ÓÒ Ô ØÙÙ ÓÒ º ÇÐ Ø ÑÑ Ð ØØ T ÓÒ ÚÐ [0, ]º ÇÐ ÓÓÒ ÒÝØ { } k G N = : k = 0, 1, 2,...,N 1 = {x k : k = 0, 1, 2,...,N 1} N ÚÐ Ò T Ó ÓÐ ÓÓÒ l N ÓÙ Ó ÙÒ Ø Ó Ø f : G N Cº ÂÓÙ Ó l N ÓÒ Ú ¹ ØÓÖ Ú ÖÙÙ ÝÐ Ð Ö ÙÒÒ Ò Cº ÌÐÐ Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ ÐÐ ÚÓ Ò ÐÔÓ Ø ÓÒ ØÖÙÓ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ò Ò ÒØ º ÇÐ ÓÓÒ 1, ÙÒ k = n, e n (x k ) = 0, ÙÒ k n. Ë ÐÚ Ø {e n } N 1 n=0 Ø Ó ÐÐ f l N ÔØ ÓÒ Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØÓÒ ÓÙ Óº Ä ÐÐ ÙÒ ¹ f = N 1 k=0 f(x k )e k,

ÓØ Ò ÓÙ Ó {e n } N 1 n=0 ÓÒ Ú ÖÙÙ Ò l N ÒØ Ú ÖÙÙ Ò l N Ñ Ò Ó ÓÒ Nº Ú ÖÙÙ l N ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ ØÙÐÓ º¾µ f, g = N 1 k=0 f(x k )g(x k ). ÇÐ ÓÓÒ ω = ω N = e (i/n) ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÒ Ø Ó ψ n (x k ) = e (in k N ) = ω nk. ÌÝ ÑÑ Ø Ò Ø Ñ Ô ØÙÐÓ ÓÒ ØØ ÓÙ Ó {φ k } k Z ÓÒ Ú ÖÙÙ Ò L 2 (T) ØÝ ÐÐ Ò Ò ÓÖØÒÓÒÓÖÑ Ð Ó ÓÙ Óº ÌÑ Ñ ÓÐÐ Ø ÙÒ Ø ÓÒ f L 2 (T) ØØÑ Ò ÓÙÖ Ö¹ Ö Ø ÐÑÒ ÚÙÐÐ º ÀÙÓÑ Ñ¹ Ñ ØØ Ú Ø Ú Ø ÙÒ Ø Ó ÓÙ Ó ψ n (x k ) ÑÙÓ Ó Ø ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ò ÒÒ Ò Ú ÖÙÙ ÐÐ l N º Ä Ù º º ÂÓÙ Ó {ψ n } N 1 n=0 ÓÒ Ú ÖÙÙ Ò l N ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ò Ò ÒØ º Ä ψ n 2 = Nº ÌÓ ØÙ º ½ º ¾ µº ÃÓ ÓÙ ÓÒ {ψ n } N 1 n=0 Ð Ó Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ N Ö ØØ Ó Ó ØØ ØØ ÓÙ Ó ÓÒ ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ò Ò Ó º¾µ ÑÖ Ø ÐÐÝÒ ØÙÐÓÒ Ù Ø Òº ÇÐ ÓÓÒ 0 m,n N 1º Ë ÐÐÓ Ò ψ m, ψ n = N 1 k=0 ω mk ω nk = N 1 k=0 ω (m n)k. ÃÙÒ m = n Ú Ø ÙÖ ÙÓÖ Ò ÐÐ ψ m, ψ n = ψ n 2 = Nº ÇÐ ÓÓÒ m nº Ë ÐÐÓ Ò N 1 k=0 ω (m n)k ÓÒ ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑÑ ÓÒ Ù ÐÙ Ù ÓÒ ω (m n) 1º ÓÑ ØÖ Ò Ùѹ Ñ Ò Ú Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ψ m, ψ n = 1 ω(m n)n ω (m n) = 1 ei(m n) ω (m n) = 0.

ÆÝØ ÚÓ ÑÑ Ñ Ò Ø ÐÐ ÓÐ ÒÒ Ø ÑÓ Ò Ù Ò Ø ÙÚ Ò ¹ ÓÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò Ý Ø Ý ÑÖ Ø ÐÐ Ö Ø Ò ÓÙÖ Ö¹ ÑÙÙÒÒÓ Ò ÙÖ Ú Ø º Ä Ù Ò ½º½ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò ÙÒ Ø Ó f l n ÚÓ Ò ÒÝØ ØØ Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ f = N 1 k=0 c k ψ k, Ñ c k = f, ψ k ψ k, ψ k = 1 N f, ψ k. ÅÖ Ø ÐÑ º º ÇÐ ÓÓÒ ÙÒ Ø Ó f l N º ÆÝØ ÙÒ Ø ÓÒ f Ö ØØ ÓÙÖ Ö¹ ÑÙÙÒÒÓ ÓÒ ÙÒ Ø Ó ˆf(n) = 1 N N 1 k=0 f(x k )e ikn/n, n N. Ö Ø Ò ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ÒØ ÑÙÙÒÒÓ ÓÒ Ú Ø Ú Ø f(x k ) = N 1 n=0 ˆf(n)e ikn/n. ÄÙ Ù ÓÒÓ ÐÐ ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ ÓÒÚÓÐÙÙØ Ó f(x k ) g(x k ) = N 1 n=0 f(x n )g(x k n ). Ã Ò ÐÙ Ù ÓÒÓÒ ÓÒÚÓÐÙÙØ Ó ÓÒ ÓÐ ÒÒ Ò Ò ÓÔ Ö Ø Ó Ñ Ö Ø ¹ Ð Ò Ð Ò ØØ ÐÝ º Ë Ò Ð Ò ÙÓ ØØ Ñ Ò Ò Ô ÖÙ ØÙÙ ÙÙÖ ÓÒ¹ ÚÓÐÙÙØ ÓÓÒº ÎÓ Ò Ó Ó ØØ ØØ ÑÝ Ö Ø Ò ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò Ø ¹ Ô Ù (f g)(n) = ˆf(n)ĝ(n). Ä ÒÒ ÐÐ Ø Ò ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò Ò ÙÐÑ Ø ØÑ ÓÒ Ñ Ö ØØÚ ÐÐ ¹ Ö Ø Ò ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò Ð Ñ ÓÒ ÓÐ Ñ ÒÓÔ Ø Ò Ò ÒÓØØ٠̹ Ð ÓÖ ØÑ º ÃÙÒ ÐÙ Ù ÓÒÓ Ò Ö Ø Ø ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÓÒ Ò Ò Ð ØØ٠̹ Ð ÓÖ ØÑ ÐÐ ÓÒ ÐÙ Ù ÓÒÓ Ò ÓÒÚÓÐÙÙØ Ó Ý Ò ÖØ Ø ÐÙ Ù¹ ÓÒÓ Ò ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø Ò ØÙÐÓº Ö ØØ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ñ ÓÐÐ ¹ Ø ÒÓÔ Ò ÓÒÚÓÐÙÙØ ÓÒ ÓÒ Ð ÒÒ ÐÐ Ò Ò ÓÑÔÐ ÙÙ ÓÒ ÙÓÑ ØØ ¹ Ú Ø ÑÙ Ø Ñ Ò Ø ÐÑ Ô Ò ÑÔ º

Î ØØ Ø ½ ÎÖ Ø Ð º ÓÙÖ Ö Ò ÐÝ Ò ÁØ ÔÔÐ Ø ÓÒ ËÔÖ Ò Ö¹Î ÖÐ Æ Û ÓÖ ¾¼¼ ¾ Ò Ø Äº ² Å Ù Ò Èº ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ À Ð ÖØ ËÔ Û Ø ÔÔÐ ¹ Ø ÓÒ Ñ ÔÖ Òº Ë Ò Ó ½ ¼ ÀÓÖÒ Êº ² ÂÓ Ò ÓÒ º Å ØÖ Ü Ò ÐÝ Ñ Ö ÍÒ Ú Ö ØÝ ÈÖ ½ ½ µ