P F [L θ U] P F [L θ U] 1 α, 0 < α < 1,

Samankaltaiset tiedostot
ÈÖÓ Ð Ø Ø ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÈÖÓ Ð Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Å ÓÒ ÖÒÐ Ò Ò Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ó Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ø ÐØ ÙØ ÙØ Ò ÓÐ ÓÒ ØØÓ ¹ Ð º ÂÓ Ò Å Ò Ö Ò Ý

ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÃÙÒ Ô ÖÖ ØÒ Ð Ó ÙÐ ÓÒ ÝÑ ÓÒ Ò ØØ Ú Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ø ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ú Ò Ð Ò ÙÙÖ ÓÚ ÐØÙ Ò Ö Ð Ò Ô ÖØÑ Ò Ñº Ó Ñ ÐÐ ÒÒ Ø Ò ½¼ Ü ½¼ Ñ ÐÙ ½¼ Ñ Ø Ö Ù

f(x 1,x 2 ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) x 2 f(x 1,x 2,...,x n ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) f n (x n ) f 1 (x 1 ) = 1 6, ÙÒ x 1 S 1 f 2 (x 2 ) = = 2 x 2

f(x) =, x = 0,1,...,100. P(T 20) = P( X 50 20) 0.

139/ /11034 = 0.58

Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø Á ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ : Æ Ê ÙÒ Ø Óº Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø ËÈ ( (Ò)) ÆËÈ ( (Ò)) ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø ËÈ ( (Ò)) ÓÒ Ò Ò ÐØ Ò Ä ÓÙ Ó ÓØ ÚÓ Ò ØÙÒÒ Ø Ø

ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º Ñ Ö ÒÖ ÔÙÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ú ØØ Ø Ò ÒÖ ÔÙÙ ÓÒ Ó Ó ØÝ Ø ÓÐÑÙ Ó ÓÒ Ð Ó ÓÒ Ú Ò Ó Ð ÔÙÙ ÓÚ Ø ÑÝ ÒÖ ÔÙ Ø º Ë ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÙÓÖ Ò Ø Ò ÖÝÌÖ ÑÔØÝ Æ

Kuvan piirto. Pelaaja. Maailman päivitys. Syötteen käsittely

MSE(ˆθ) = Var(ˆθ)+[E(ˆθ) θ] 2,

p q = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 + (z 1 z 2 ) 2. x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2


139/ /11034 = 0.58

F n (a) = 1 n { i : 1 i n, x i a }, P n (a, b) = F n (b) F n (a). P n (a, b) = 1 n { i : 1 i n, a < x i b }.

À Ö Ö Ð Ù Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) = O(ÐÓ Ò) ÓÒ Ø Ð ÓÒ ØÖÙÓ ØÙÚ Ó ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ó ÙÚ Ñ Ö ÓÒÓÒ ½ Ò (Ò) Ò ÒÖ ØÝ ÐÐ ÓÒ Ð ØØ Ú Ø Ð O( (Ò))º Ä Ù Å Ø Ø

A B P(A B) = P(A B) P(K) = 4 ( 52 5) =

Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ½»

f(x;n,θ) = θ x (1 θ) n x, x = 0,1,...,n; 0 θ 1. Θ = {θ 0 θ 1}. ˆθ = x n.

º F(+, + ) = 1 F(, ) = F(, y) = F(x, ) = 0 й

ÓÑ ØÖ Ò Ø Ò Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ã ÙÖ Ú Ø ÐØÚØ Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ ÒØÝÝÔ¹ Ô Ò Ò ÖÓØ ÐÐ Ò Ú ÖÙÙ Ø Ó Ó Ò ÐÐ ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ó Ò Ò ÐÐ Ú Ð Ô Ò ÑÔ Ó Ò º ÒÑ Ö Ø ØÒ Ö Ö

el. konsentraatio p puolella : n p = N c e (E cp E F ) el. konsentraatio n puolella : n n = N c e (E cn E F ) n n n p = e (Ecp Ecn) V 0 = kt q ln (

d 00 = 0, d i0 = i, 1 i m, d 0j

Symmetriatasot. y x. Lämmittimet

Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ ¾º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½»

F n (a) = 1 n {i : 1 i n, x i a}, P n (a,b) = F n (b) F n (a). P n (a,b) = 1 n {i : 1 i n, a < x i b}.

Ð Ù Ò Ø ÌÑ ÔÐÓÑ ØÝ ÓÒ Ø Ó Ì ÑÔ Ö Ò Ø Ò ÐÐ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ Ò ÀÝÔ ÖÑ Ð ÓÖ ØÓÖ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔ ØÙ Ò ØØÑ ØÙع ÑÙ ÐÐ º ÌÝ Ý ØÝÚØ Ø Ò ÒÒÓ Ø Ú Ø Ø

È Ú Ö Ù ÆÈ ÁÁ Ë ÑÓ Ò Ó Ò Ý ÝÑÝ ÚÙØ ØØ Ò ØÝ Ø ÙÒ ËØ Ô Ò ÓÓ Ä ÓÒ Ä Ú Ò ØØ Ð ÚØ ÆȹØÝ ÐÐ ÝÝ Ò ØØ Òº µ º Ù Ø ÙÙØ ¾¼¼ ¾»

F(x) = P(X x), x R. F(x) = 1º

Ð ØÖÓÒ Ò Ú Ø Ò Ô ÓÒ Ö Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ú Ð ÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÖÑ Ò ØÙØ ÑÙ ¹ Ð ØÓ ½ ¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ù Ø Ó ÐÙ Ð ØÖÓÒ Ô Ð ºËº ÓÙ Ð Ø ½ ¾ Ñ Ö Ú Ø Ö Ò Ñ Ò ÓÒ Ò ÚÙÓÖÓÚ ÙØÙ Ø

1, x 0; 0, x < 0. ε(x) = p i ε(x i).

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç Å ÓÐ ÓØ ØÓ ÒØ Ø Ò Ö ¾ ¾º½ ÇÅ ÓÐ ÓÑ ÐÐ Ç Ä ÓÐ ÓÒÑÖ ØÝ Ð º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÇÉÄ ÓÐ Ó Ý ÐÝ Ð º º º º º º º º º º º º

X = 0I A0 +1I A1 +2I A2 +3I A3 = 1I A1 +2I A2 +3I A3. {X(ω) = r}º

F(x) = P(X x), x R. F(x) = 1º

(a,b)(c,d) = (ac bd,ad + bc).

:: γ1. g 1. :: γ2. g 2

Å Ø Ñ ØØ ¹ÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ò Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ Á Å Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ì Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò ØÓ Ò ËÖ ÔØ ¹Ô Ó Ñ ÇÔÔ Ò ÄÖÓÑÒ ËÙ Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ ÌÝ Ò Ö Ø Ø ÖØ

a b = abº Z Q R C + : N N N, +(m,n) = m + n ( Ð (m,n) m + n), : N N N, (m,n) = m n (= mn) ( Ð (m,n) mn). A B (A,B) A Bº

ÁÁ Ì Ö Ø Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼ º¾¼¼

{(x, y) x {1,2,3,... }, y {2,4,6,...,10}, x < y}.

º A, B E A B E. A B = A B. A k E, k N k=0 A k E. p(b) = m N,

Pr(θ = 1)Pr(Y > y 0 θ = 1) Pr(θ = 1)Pr(Y > y 0 θ = 1)+Pr(θ = 0)Pr(Y > y 0 θ = 0) γ[1 F 1 (y 0 )] γ[1 F 1 (y 0 )]+(1 γ)[1 F 0 (y 0 )].

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ¾ ¾º½ ÅÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ Ý ÒØØ Ð Ø Ò ÒÖ Ð Ò ÓÒ Ð

ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º

º F(+,+ ) = 1 F(, ) = F(,y) = F(x, ) = 0 й

k(x,x ) K N(µ, Σ) GP(m(x), k(x,x )) X x p diag(x)

0 ex x = e 1. x + 3a 2x a = 2a xº. 1 3 (uvy) 3 (uxy) 3 (wxy) uvwxy (uvw) 1 3 (vwx)

 ΠËÃ Ä Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÙÒØ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Ð Ø ÐÓ ÒÒ ¹Ã Ë ÐÑÒÐ Ò Ø Ó Ò Ø Ð ØÓÐÐ Ò Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ Ð

ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÃÍÄ ÊÁÁÃà ÔÝ ØÐ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ¾ Ð Ø º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÔÝ ØРغ Ì Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ö Ð ÔÝ ¹ Ø

ÄÙ ÙØ ÓÖ Ë Ô Ö ÒØ ÐÐ Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ð Ù Ò ØØ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù Ò Ý Ø Ý Ø ÖÚ Ø Ò Ø ØÓ ÑÓ ÙÐÓ Ö ØÑ Ø Ø Ö ÐÐ Ø ÙÒÒ Ø º Ì ÐÙÚÙ ÐÙÓ Ò Ø Ù Ò Ò ÐÙ Ò ØÖ ÑÔ Ò ØØ Òº Ø

λ (i,j) (i 1,j) = µ R j, i = 1,... N B, j = 0,... N R λ (i,j) (i,j 1) = µ B i, i = 0,... N B, j = 1,... N R λ (i,j) (k,l) = 0, muulloin.

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö


º F(+,+ ) = 1 F(, ) = F(,y) = F(x, ) = 0 й

Ì Đ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ø Ý Ø ÓØ ÓÖÔÔÙº ÝÙº ÌÝĐÓÒ Ò Ñ Ç ÐÑ ØÓÒ ØØĐ Ñ Ò Ò ÔÙÙØØ ÐÐ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ú ÒØÓ Ò ØÓÒ Đ ØØ ÐÝÝÒ Ì ØÐ Ò Ò Ð ËÓ ØÛ Ö Ú ÐÓÔÑ ÒØ ÓÖ Ñ Ò Ò ÖÖÓÒ

N = A A A S(A) Aº 0 = 1 = { } 2 = {, { }} 3 = {, { }, {, { }}} 4 = {, { }, {, { }}, {, { }, {, { }}}} A = Nº. i=1 n N n > 0º

x 1 x 2 x n u 1 + v 1 u 2 + v 2 u n + v n λu 1 λu 2 λu n

M Pv + q = 0, M = EIκ = EIv, (EIv ) + Pv = q. v(x) = Asin kx + B cos kx + Cx + D + v p. P kr = π2 EI L n


½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ¹ÔÙÙ ¾ ¾º½ Ì Ø ÝØ ØØÝ ¹ÔÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÌÖ ¹ØÖ º½ ÑÔÖ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

2x1 + x 2 = 1 x 1 + x 2 = 3. x1 = 2 x 2 = 5. 2 ( 2)+5 = = 3. 5x1 x 2 = 1 10x 1 2x 2 = 2. ax1 +bx 2 = e cx 1 +dx 2 = f

¾º C A {N A } K N A º A B N B

Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÆÁ Å Ä ÊÇ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Ì Ú Ø ÐÑ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ØØ Ð

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ ½ ¾º½ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ Ò ØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ËØÓ Ø Ò Ò Ø Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ º º º º º º º º º º º º

ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÁÆÆÍÆ Æ ÌÇÈÁ Ê ÒÒÙ Ø Ò Ø Ò ÓÐÓ Ø Ò ÐÑ ØÓÐÐ Ø Ò Ø Ò Ú ÙØÙ ÙÒØÓ Ò ÐÑ Ò Ö ÓÒÔ ØÓ ÙÙØ Òº ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ½

Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Á ÔÖÓ Ó ÒØ ÃÙÒ Ð ÙØ Ò ÓÒ Ò Ö ÒÒÙ Ò ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò ÖÖ ÐÐ Ò Ú Ò Ô Ò Ó Ö ÒÒÙ Ò Ø ÐÓ Ø Ò ÝÚ Ñ ÐÐ ÓÒ Ù Ø ÐÐ Ò ÙÙÖ ÑÖ Ò Ø Ø ÓÐÙ Ö µ Ã ÙÐÓØØ Ò Ò Ñ

ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÇÀÇ Ì ÊÇ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º º Å Ø Ñ Ø ÐÓ ÙÙ ¾¼½ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÓÒ ÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ¹ ÐÙ Ó

q(x) = T n (x, x 0 ) p(x) =

ÌÑ ØÙØ ÐÑ ØØ Ð Ð Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÝÑ Ø ØØÑ Øº ÐÙ ¹ ØØ Ð ÑÑ Ñ Ø Ñ ØØ Ø Ñ ÐÐ Ó Ò ÚÙÐÐ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔÔ Ñ ÐÐ ÚÐØØÑØØ ÑØ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ÚÓ Ò ÓÒ ØÖÙÓ ÓÐÑ Ô Ý

x = [ x 1 x 2 x n (x i K) x = K (n) = {(x 1, x 2,...,x n ) : x i K} e 1 = (1, 0,..., 0) Ø, e 2 = (0, 1,..., 0) Ø,..., e n = (0, 0,...

ÂÓ ÒØÓ ½ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ ÓÖ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ÙÖ ØØ Ð Ö Ð Ø Ð ÒØ Ñ ÐÐ º ØÝ Ó Ø ÚÙÙØ Ø Òºµ Ç ÐÑÓ ÒÒ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ØØ Ð Ö Ð Ø Ó ÐÑÓ ÒØ ¹ Ó ÐÑ Ò ÙÙÒÒ ØØ ÐÙØ Ô º

P(E i ) P( ) = 0. P(A A c ) = P(A)+P(A c ) = 1. P( ) = 1 P(Ω) = 0. P(E 1 E n ) = P(E 1 )+ +P(E n ). i=1. i=1

½µ newstate := 0. µ state := goto[state,p i [j]] µ state := 0;j := 0. µ j := j + 1 µ newstate := newstate + 1

Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÇÐÐ Ë ÚÓÐ Ò Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø À Ò ÙÙ ¾¼¼

Ë ÐØ ½ Ð Ø Ê Ø ¾ ¾ Ê Ò ÝÒØ ØÝ ÒØ ÐÝÒ ÐÓ ØØ Ñ Ò Ò ¾º½ Ç Ò ÝØØ Ê¹ ØÙÒÒÓÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ä Ô Ø Ø Ò ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º

Ì È ÚÓ È Ö Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÔÔ Ö Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ Ö Ø ÐÑÒ ÑÙ Ø Ò ÐÐ ÒÒ Ì ØÐ Ò Ò Ð Å Ö Ø¹ ÑÓ Ð ÓÖ ÓÔ Ö Ø Ò Ý Ø Ñ Ñ ÑÓÖÝ Ñ Ò Ñ ÒØ ÌÝ Ì Ø

Ì ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö Ø Ý Ø ÓØ ÈÙ Ð Ò ¼ ¼½¾ ½ ÔÓ Ø ÒÙÐ º ÌÝ Ò Ò Ñ ÅÓ Ð ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÖÖ ØØÚÝÝ ØÓØ ÙØÙ Ò ØÖ Ø ÓØ Ó Ì ØÐ Ò Ò Ð ÈÓÖØ Ð ØÝ Ó ÅÓ Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò ÁÑÔÐ Ñ Ò

Ð Ø Ù ÁÈË Ò ÁÈË ÓÒ ÁÈ¹Ú Ö ÓÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ð ÒÒÙ Ñ ÐÐ Ø ØÒ ÁÈ¹Ô ØØ Ò ÙÖ Ñ Ò Ò ÑÙÙÒØ Ñ Ò Òº ÁÈË ÓÒ ÝÒØÝÒÝØ ÙÙ Ò ÁÈÚ ¹ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ý Ø Ý ÁÈÚ ÓÒ Ò ÁÈË Ò ÐÙÓÒØ

Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Á Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò


Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç ÐÑ ØÓ Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ó ÒØ ½ ÄÔ Ð Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ô Ø Ó ÐÑÓ ÒØ Ô Ø º½ Ä ØÓ Ó Ø Ð ØÓ Ó Ø ÑÖ ØØ ÐÝØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾

x (t) = f(x(t)) u B δ (p) = ϕ t (v) = p, v B d (p) = lim e t AT e t A dt W =

ËÚÝØÝ Ò µ ÓÒ Ñ Ò ÔÑÖ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ÝØØ Ø ØÓ ÓÒ Ö ÓÒ ÐÓ ØÓÒÒÙØ Ñ Ð Ó Ù Ò Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ñ Ö ØÝ Ø Ã ØØ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÒÝ ÝÒ Ø Ò Ó Ø Ó ÐÐ Ð Ø Ò ÚÖ Ú Ð ØÙ Ø ÔÔ


ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓÐ ÒÒ ¹ Ð ØÖÓÒ Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÂÇÆÁ È ÀÄ Å Ë Ò Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ ÑÙ Ò ÝÒØ Ã Ò Ø ÒØÝ ¾ ÚÙ ÌÓÙ Ó ÙÙ ¾¼¼ È

ÁÆÇ Å ÌË Ä ÅÇÇ Ä ÅÇÆÁÃÍÄÌÌÍÍÊÁË Æ ÇÈÈÁÅÁË ÅÈ ÊÁËÌ Æ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø ÔÖÓ ÓÖ À ÒÒÙ Â ÓÐ Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ Ì ØÓ¹ Ø Ò Ò Ø ÙÒØ ¹ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼½º¾¼½¼

A c t a U n i v e r s i t a t i s T a m p e r e n s i s 1061

ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÄÌÁÇ ËÍÎÁ È Ö ÒÑ ÐÐ ¾¼¼ ¾¼¼ Ø Ô ØÙÒ Ò Ð ÒÒ ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ ¹ Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ Ý Ú

Referenced. Object. StateSet. Node. Geode

Aktiivisten DNA-muutosten seulonta riippuvuusmalleilla Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta

Ì Å ÈÙÐ Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ñ ºÔÙÐ Ò Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù ÝÑÔÖ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÙØÓÑ Ø ÍÒ Ø Ì Ø Ò Ò ÆÍÒ Ø Ì Ø Ò ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò

Hajasijoitettujen päätelaitteiden ohjelmistojen etähallintaratkaisu Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö

T 2. f T (x)e i2π k T x dx. c k e i2π k T x = x dx. c k e i2π k T x = k Z. f T (x) =

arvostelija Elliptisen käyrän salauksen perusteita Mikko Alakunnas Helsinki HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos

Ì Ú Ø Ñ Ò Ó ÔÓÒ ÒØØ Ò Ô Ö Ò Ø ¹ Ú ÖÙÙ Ñ Ò ÓÚ Ù Ó Ó ÙÓ ÙÙ ¹ Ò ØÓÓÒº Ì ØÓØ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ Ñ ÂÝÚ ÝÒ Ý ÓÔ ØÓ ½º Ó ÙÙØ ¾¼¼ º Ë ÚÙ ½ Ø º Ì ¹ Ú ÖÙÙ Ñ Ò Ý Ó

Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö¹ Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò

(AB) ij = p. k=1 a ikb kj. AA 1 = A 1 A = I.

ÅÙÙÖ Ý Ý ÙÒØ ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ä À Ø Ö ÒØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ À ÐÑ ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ

(xy)z = x(yz) λx = xλ = x.

284 = º Î Ø Ú Ø. A = kanta korkeus. A 1/2suunn = kanta+kanta 2

Simulointityökalu saarekekäytön säädön kehityksen tueksi Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta

Transkriptio:

ËÁË ÄÌ º º½ º º¾ º º º º Ú Å Ö ÓÚ Ò Ì Ý Ú Ò ÔÝ ØÐ Ø ÙÙÖØ Ò ÐÙ Ù¹ Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Â Ò Ò Ò ÔÝ ØÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ËØÓ Ø Ò Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ËÙÔÔ Ò Ñ Ò Ò ÙÑ Ñ Ð º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¼ Í ÓØØ ÚÙÙ ÔØØ ÐÝÒ Ô ÖÙ Ø Ø ¾ ½¼º½ Í ÓØØ ÚÙÙ Ò ÑÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¼º½º½ Ö Ø Ø Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¼º½º¾ Â Ø ÙÚ Ø Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¼º¾ Ñ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¼º Í ÓØØ ÚÙÙ Ò Ý ØÑ Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¼º Ø Ý Ý Ð Ò Ð ØÝÑ Ø Ô Ò º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¼º Í ÓØØ ÚÙÙ Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¼º Í ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÒ Ñ Ñ Ö ÚÙÙ º º º º º º º º º º º ¾ ½¼º Í ÓØØ ÚÙÙ Ò ÒÚ Ö Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¼º º½ Í ÓØØ ÚÙÙ ÙÙ Ô Ö Ñ ØÖ Ó ÒÒ º º º º º º º º ¾ ½¼º È Ø ÙÙÖ Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¼º ËÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ ½¼º º½ Ç ÓØ ØØÙ Ò ÓÖÑ Ø Ó Ó Ò ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ º º º º º ¾ ¾ ½¼º º¾ È Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÓÖÑ Ø Ó ÙÒ Ø ÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ º º ¾ ½¼º º Ö Ñ Ö Ò Ê ÓÒ Ð Ö º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¼º º ËÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ ØØÓÖ Ò ÓÑ Ò ÙÙ ¾ ½½ È Ø ¹ Ø ÑÓ ÒØ ¾ ½½º½ È Ø ¹ Ø Ñ ØØÓÖ Ò ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½½º½º½ À Ö ØØÓÑÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½½º½º¾ Ì Ó ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼¼ ½½º½º Ì Ö ÒØÙÚÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½½º¾ Ø ÑÓ ÒØ Ñ Ò Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½½º¾º½ ÅÓÑ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½½º¾º¾ Ý Ò Ñ Ò Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½½º¾º ËÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ ØØÓÖ Ò ËÍ µ ÓÑ ¹ Ò ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½½º ÐØ ¹Ñ Ò Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½½º ÌÝ ÒØÚÝÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ½½º º½ È ÖÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ½½º º¾ Ì Ð Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ½½º º Å Ò Ñ Ð Ò Ò ØÝ ÒØÚÝÝ º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ ½½º ÔÓÒ ÒØ Ð Ò Ò Ô Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½¾ ÎÐ Ø ÑÓ ÒØ ¾½ ½¾º½ à ÖÚÓ Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½ ½¾º½º½ Æ Ô ÙÙÖ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¾º¾ Ã Ò ÖÚÓÒ ÖÓØÙ Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ø º º º º º º º º º º ¾

Ú ËÁË ÄÌ ½¾º ËÙ Ø ÐÐ Ø Ò Ó ÙÙ Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¾º ÇØÓ Ó Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½¾º Å Ò Ò ÙÑ Ø Ú Ô ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½¾º Ò Ð ØØ Ò Ð Ò Ö Ò Ò Ö Ö ÓÑ ÐÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¾º º½ ÓÐÐ Ò Ò ÒÓÖÑ Ð Ñ ÐÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¾º º¾ Ò ÖØ Ò Ò Ð Ò Ö Ò Ò Ö Ö Ó º º º º º º º º º º º ½ ÀÝÔÓØ Ò Ø Ø Ù ½ º½ Ì Ø ÙÙÖ Ø p¹ ÖÚÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ Ì Ø Ò ÖÚ Ó ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾º½ Ì Ø Ò ÚÓ Ñ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾º¾ Ì Ø Ò ÓÒ ØÖÙÓ ÒØ Ý Ò ÖØ Ø ÝÔÓØ Ø º º º º º ½ º Í ÓØØ ÚÙÙ Ù Ø Ø Ø Ò ÖØ Ø ÝÔÓØ Ø º º º º º º º ¾ ½ º º½ Ô Ö Ñ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½ º º¾ Í Ø Ô Ö Ñ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Í ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÒ ÚÙÐÐ ÓÒ ØÖÙÓ ØÙ Ø Ø ÙÙÖ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Í ÓØØ ÚÙÙ Ù Ø Ø Ø Ø ØÝØ ÝÔÓØ Ø º º º º º º º º º ½ º º½ p¹ ÖÚÓÒ ÑÖ ØØÑ Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º¾ Ã Ô Ö Ñ ØÖ Ó Ø ØÓ Ø Ø Ø Ø Ò º º º º º º º º ¼ ½ º º ÀÓÑÓ Ò ÙÙ Ò Ø Ø Ù º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½ º º ÒÓÑ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ø Ø Ñ Ò Ò º º º º º º º º º ½ º º ÅÙÐØ ÒÓÑ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ø Ø Ñ Ò Ò º º º º º º º ½ º º Ê ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Ò Ø Ø Ù ÓÒØ Ò Ò Ø ÙÐÙ Ó º º

ÄÙ Ù ½¾ ÎÐ Ø ÑÓ ÒØ Ø Ñ ØØ Ò Ð ØØÝÝ Ò Ø ØØÝ ÔÚ ÖÑÙÙ Ó Ó ØÙÙ ÑѺ ÓØÓ Ú Ø ÐÙ ¹ Ø º ÂÓ Ø Ñ ØØÓÖ ÓÒ Ö ØÓÒ Ò Ú Ö Ò Ô Ò ÚÓ Ò Ø Ñ ØØ Ò Ó ÓØØ Ó ÙÚ Ò Ð ÐÐ Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÖÚÓ º ÎÐ Ø ÑÓ ÒÒ ÐÑÓ Ø Ø Ò Ú¹ Ð ÓÐÐ Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÖÚÓÒ ÖÚ Ó Ò ÙÙÐÙÚ Ò Ð ÐÑÓ Ø Ø Ò ÚÐ Ò Ð ØØÝÚ ÐÙÓØØ ÑÙ Ø Ú ÖÑÙÙ Ò Ø º Ì ÐÙÚÙ Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÐÙØÓØØ ¹ ÑÙ ÚÐ º Å Ö ØÒ ÓØÓ Ø X 1,...,X Ð ÚÓ ÙÐÐ ÓÐÐ Ö Ñ ÐÐ X Ú ØØÙ ÓØÓ ÖÚÓ x 1,...,x Ð ÚÓ ÙÐÐ Ô Ù Ö Ñ ÐÐ xº ÐÓ Ø ÑÑ ÚÐ Ø Ñ Ø Ò ÑÖ Ø ÐÑÐк ÅÖ Ø ÐÑ ½¾º½ ÇÐ ÓÓÒ X ÓØÓ Ó Ø Ò ÙÑ Ø F θ = θ(f) ÓÒ Ò Ö Ð ÖÚÓ Ò Ò Ô Ö Ñ ØÖ º ÇÒ Ú ØØÙ X = xº È Ö Ñ ØÖ Ò θ ÚÐ Ø Ñ ØØÓÖ ÓÒ Ñ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÓØÓ Ò ØÙÒÒÙ ÐÙ ÙÔ Ö l(x) u(x) ØØ l(x) u(x) ÐÐ Ñ ÓÐÐ ÐÐ ÓØÓ ÖÚÓ ÐÐ X = xº À Ú ØØÙ ÚÐ [l(x),u(x)] ÓÒ θ Ò ÚÐ Ø Ñ ØØ [l(x),u(x)] ÚÐ Ø Ñ ØØÓÖ º Å Ö ØÒ ÐÝ Ý Ø l(x) = L, l(x) = l, u(x) = U u(x) = uº ÇÐ ÑÑ ÒÒÓ ØÙÒ Ø Ø ÓÒ Ó Ô Ö Ñ ØÖ θ ÚÐ ÐÐ [l,u] Ð Ô ØØ ÚÐ Ô Ö ¹ Ñ ØÖ Ò ÖÚÓÒº È Ö Ñ ØÖ Ò θ ÖÚÓ ÓÒ ÒØ ÚÐ Ø Ñ ØØ Ò ÓÒ Ò ØÙÒÒ Ó Ò ØÙÐÓ Ò º ÌÓ ÒÒ ÝÝ P F [L θ U] ÓÒ ÚÐ Ø Ñ ØØÓÖ Ò[L,U] Ô Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ º Å Ö ÒØ P F Ø Ö Ó ØØ ØØ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ð Ø Ò ÙÑ Ø F Ó Ø ÓØÓ ÓÒ Ø Øݺ Ë ØÙÒÒ ÚÐ [L,U] ÒÓØ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò θ ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ ÐÙÓØØ ÑÙ Ø ÓÐÐ (1 α)100± Ó P F [L θ U] 1 α, 0 < α < 1, ÐÐ θ Θº ÄÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ò Ô Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ Ö ÔÔÙÙ Ø Ú ÐÐ Ø Ø ¹ ÑÓ Ø Ú Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò θ ÖÚÓ Ø º ½¾º½ à ÖÚÓ Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ø ÇÐ ÓÓÒ X 1,...,X ÓØÓ ÙÑ Ø ÓÒ ÖÚÓ ÓÒ µ Ú Ö Ò σ 2 )º Ì Ö Ø Ð ÑÑ ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ø ÖÚÓÐÐ µº ¾½

¾¾ ÄÙ Ù ½¾º ÎÐ Ø ÑÓ ÒØ Ñ Ö ½¾º½ ÇÐ ÓÓÒX 1,...,X ÓØÓ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ø N(µ,σ 2 )º ÇØÓ ¹ ÖÚÓ X N(µ,σ 2 /) ÓÒ ÙÑ Ò ØÙÒØ Ñ ØØÓÑ Ò ÖÚÓÒ µ Ö¹ ØÓÒ Ø Ñ ØØÓÖ º ÅÙÓ Ó Ø ÑÑ X Ò ÚÙÐÐ ØÙÒØ Ñ ØØÓÑ ÐÐ µ ÐÐ ÐÙÓع Ø ÑÙ ÚÐ Ò ÙÒ Ú Ö Ò σ 2 = σ 2 0 ØÙÒÒ Ø Òº ÎÓ ÑÑ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ò ÚÙÐÐ ÑÖ ØØ ÐÐ Ò ÐÙÚÙÒ z α/2 ØØ P( z α/2 X µ σ 0 / z α/2) = 1 α. ÀÙÓÑ ØØ P(Z z α/2 ) = P(Z z α/2 ) = α/2º ÂÓ Ñ Ö 1 α = 0.95 Ò Ò z α/2 = z 0.025 = 1.96º ÌÓ ÒÒ ÝÝ ØØ ØÙÒÒ ÚÐ [ X z α/2 σ 0, X +zα/2 σ 0 ] ÐØ ØÙÒØ Ñ ØØÓÑ Ò ÖÚÓÒ µ ÓÒ 1 αº ÃÙÒ ÓØÓ ÓÒ Ú ØØÙ ØÙ Ú ÒØÓ ÖÚÓØ x 1,...,x ÚÓ Ò Ð µ Ò Ø Ñ ØØ x = 1 x iº Ë Ø Ò ØÙÒÒ ØØÙ ÚÐ [ x z α/2 σ 0, x+z α/2 σ 0 ], ÓØ ÒÓØ Ò µ Ò 100(1 α)± Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ º ÄÙ Ù 1 α Ø Ú ¹ Ø Ú Ø ÔÖÓ ÒØØ ÐÙ Ù 100(1 α)± ÒÓØ Ò ÚÐ Ò ÐÙÓØØ ÑÙ Ø Ó Ø ÐÙÓØØ ÑÙ ÖØÓ Ñ º ÂÓ Ñ Ö x = 3.25, σ = 1 = 20 Ò Ò 3.25±1.96 1 20 = [2.81,3.69] ÓÒ µ Ò 95± Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ º Î ÚÓ Ø Ò ÓÐ ØØ ØØ ÓØÓ ÓÒ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ø ÚÓ Ò ÐØ Ù Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ò Ð ÖÚÓº Ã Ò Ö Ú ØØÑÒ ÒÓ ÐÐ X µ σ/ ÒÓÙ ØØ Ð Ñ Ò ÒÓÖÑ Ð ÙÑ N(0,1) ÙÒ ÓÒ ÙÙÖ º Ë ÐÐÓ Ò P( z α/2 X µ σ 0 / z α/2) 1 α. ÚÐ [ x z α/2 σ 0, x+z α/2 σ 0 ], ÓÒ Ð Ñ Ò100(1 α)± Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ º Ä ÖÚÓÒ Ø ÑÐÐ ÝÝ Ö ÔÔÙÙ ÓØÓ ¹ ÓÓ Ø ÙÑ Ø Ó Ø ÓØÓ ÓÒ Ô Ö Òº ÂÓ σ 2 ÓÒ ØÙÒØ Ñ ØÓÒ ÓØÓ Ó Ó Ó ØÙÙÐÐ Ò ÙÙÖ 30µ ÒÓÙ ØØ X µ S/ Ð Ñ Ò ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ú ÓØÓ ÓÐ Ô Ö Ò ÒÓÖÑ Ð Ù¹ Ñ Ø º ÃÓ ÓØÓ Ú Ö Ò S 2 ÓÒ σ 2 Ò Ø Ö ÒØÙÚ Ø Ñ ØØÓÖ Ð S 2 P σ 2 ÓØÓ ÓÓÒ Ú ÙÖ ØÙÐÓ Ø Ö Ú ØØÑ Ø ËÐÙØ ÝÒ Ð Ù Ø Ä Ù º¾¾µº ÂÓ Ô ÖÙ ÙÑ Ó Ø ÓØÓ Ø Ò ÓÒ Ñ Ö ÚÓ Ñ Ø Ú ÒÓ ØØ Ú Ð ÓØÓ Ó Ó 30 ÓÐÐ Ð Ò Ô Ò ÓØØ Ð ÖÚÓ ÓÐ ÝÚº

½¾º½º à ÖÚÓ Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ø ¾ Ñ Ö ½¾º¾ ÂÓ ÓØÓ ÓÒ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ø N(µ,σ 2 ) Ò Ò T = X µ S/ ÒÓÙ ØØ t¹ ÙÑ Ú Ô Ù Ø Ò 1º Ë ÐÐÓ Ò t¹ ÙÑ Ø Ú Ô Ù Ø Ò 1 ÚÓ Ò ÑÖ ØØ ÐÙ Ù t α/2; 1 Ø Ò ØØ P( t α/2; 1 X µ S/ t α/2; 1) = 1 α. ÇØÓ Ø Ð ØØÙ Ò Ø Ñ ØØ Ò x s 2 Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ò µ Ò 100(1 α)± Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ ½¾º½º½µ [ x t α/2; 1 s, x+t α/2; 1 s ]. ÂÓ ÚÓ ÓØ Ù ÓØÓ Ò ÓÐ Ú Ò ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ø ÓÒ ÚÐ ½¾º½º½µ Ú Ò Ð Ñ Ò µ Ò 100(1 α)± Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ º Ä ÖÚÓ ÓÐ Ö ÔÓ ¹ Ñ ÐÐ ÒÓÖÑ Ð ÙÙ ÓÐ ØÙ Ø º ÂÓ Ò ÓÚ ÐÐÙ Ø ÖÚ Ø Ò Ú Ò Ñ Ö µ Ò Ð Ö Ò ÝÐÖ Òµ ÖÚ Óº ÇÐ ÓÓÒ ÓØÓ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ø N(µ,σ 2 )º Ë ÐÐÓ Ò P( X µ σ/ z α) = 1 α Ø Ú Ø Ú Ø P[ X z α σ µ] = 1 α. ÃÙÒ X Ò ÖÚÓ ÓÒ Ú ØØÙ µ Ò Ý ÔÙÓÐ Ò Ò 100(1 α)± Ò ÐÙÓØØ ¹ ÑÙ ÚÐ ( x z α σ, )º ÌÑ Ý ÔÙÓÐ Ò Ò ÚÐ ÒØ µ ÐÐ Ð Ö Òº Í Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ ÚÓ Ò ÑÙÓ Ó Ø Ð ÒÒ ÐÐ Ø ÐÔÓ ÑÑ Ò ÙÙ¹ Ö ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ ØØÓÖ Ò ÙÑ Ò Ð ÖÚÓÒ ÚÙÐÐ º ÌÙÐÓ Ò ½½º¾º¾µ ÒÓ ÐÐ ÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ ØØÓÖ ÒÓÙ ØØ ÝÑÔ¹ ØÓÓØØ Ø ÒÓÖÑ Ð ÙÑ º ÎÐ Ò [ Ô Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ ( P θ ˆθ c I(ˆθ) θ ˆθ+ ˆθ± ] c I(ˆθ) ) c ( ) = P θ c (ˆθ θ) I(ˆθ) c. I(ˆθ) ÌÙÐÓ Ò ½½º¾º µ ÑÙ Ò ) P θ ( c (ˆθ θ) I(ˆθ) c P( c Z c),

¾ ÄÙ Ù ½¾º ÎÐ Ø ÑÓ ÒØ Ñ Z N(0,1)º ÂÓ Ô Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ø Ò 0.95 Ò Ò ÚÐ [ ] ½¾º½º¾µ ˆθ 1.96, ˆθ + 1.96 I(ˆθ) I(ˆθ) ÓÒθ Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ ÓÒ ÐÙÓØØ ÑÙ Ø Ó ÓÒ Ð Ñ Ò95 ± Ò Ó P( 1.96 Z 1.96) = 0.95º Ñ Ö ½¾º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ÙÑ Ø Bi(100,θ) ÓÒ ØÙ Ú ÒØÓ x = 17º Ä Ø Ò θ Ò Ð ÑÖ Ò Ò 95 ± Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ º ÆÝØ θ Ò ÙÙÖ Ñ¹ Ñ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ ØØ ÓÒ ˆθ = x/ = 0.17 l(θ) l(ˆθ) = 17logθ +83log(1 θ)+45.581, 0 < θ < 1. Ä Ñ ÐÐ ÚÓ Ò ØÓ Ø ØØ l(θ) l(ˆθ) log0.147 ÙÒ 0.105 θ 0.251º ÌÑ ÓÒ θ Ò 14.7 ± Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ ÚÐ Ð Ñ Ò 95 ± Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ¹ ÚÐ º ÁÒ ÓÖÑ Ø Ó ÙÒ Ø Ó ÓÒ I(θ) = x θ + x 2 (1 θ) 2, 0 < θ < 1. Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ Ò ÓÖÑ Ø Ó ÙÒ Ø ÓÓÒ θ = ˆθ Ò I(ˆθ) = xˆθ2 + x (1 ˆθ) 2 = ṋ θ + 1 ˆθ = ˆθ(1 ˆθ). ÆÝØ ½¾º½º¾µ Ò ÑÙ Ò ˆθ(1 ˆθ±1.96 ˆθ) = 0.17±0.0736 ÓÒ θ Ò Ð ÑÖ Ò Ò 95 ± Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ º ÎÐ Ù Ø Ò Ò ÓÐ Ù ÓØØ ¹ ÚÙÙ ÚÐ ÐÐ ÚÐ Ò Ð Ö Ò 0.096 Ù Ø ÐÐ Ò Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ R(0.096) = 0.072 ÓÒ Ô Ð ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ù Ò ÝÐÖ Ò 0.244 Ù Ø ÐÐ Ò Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ R(0.244) = 0.200º Ñ Ö ½¾º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ X Bi(3,θ)º Ë ÐÐÓ Ò l(θ) = xlogθ+(3 x)log(1 θ) = 3[ˆθlogθ+(1 ˆθ)log(1 θ)] l(ˆθ) = 3[ˆθlog ˆθ+(1 ˆθ)log(1 ˆθ)], Ñ ˆθ = x/3 0 θ 1º Ø Ñ ØØÓÖ ˆθ ÚÓ ÖÚÓØ 0 1 3 2 3 È Ö Ñ ØÖ Ò 10 ± Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ ÚÐ ÓÒ 1º uv(x;10%) = {θ l(θ) l(ˆθ) log0.1}.

½¾º½º à ÖÚÓ Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ø ¾ ÂÓ Ñ Ö x = 1 Ò Ò uv(x;10%) = {θ logθ+2log(1 θ) 0.39} = [0.015,0.869]. Ö x Ò ÖÚÓ ÐÐ Ò ÙÖ Ú Ø θ Ò 10 ± Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ ÚÐ Ø uv(0) = [0, 0.536], uv(1) = [0.015, 0.869], uv(2) = [0.131, 0.985], uv(3) = [0.464, 1]. ÌÓ ÒÒ ÝÝ ØØ ÚÐ Ô ØØ Ô Ö Ñ ØÖ Ò ØÓ ÐÐ Ò ÖÚÓÒ Ö ÔÔÙÙ ÒÝØ Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÖÚÓ Ø º r(θ) 1/3 2/3 1 θ 1 2 x = 3 x = 0 x = 1 x = 2 r(θ) = log(0.1) ÃÙÚ Ó ½¾º½º ÄÓ Ö ØÑÓ ØÙ ÒÓÖÑ Ø ØØÙ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó r(θ) = l(θ) l(ˆθ) ÙÒ x = 0,1,2 3º ÆÓÖÑ Ð ÙÑ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ Ò Ð ÖÚÓÒ ÚÙÐÐ Ó ØØÙ Ø Ú ÒÓÑ Ò Ò 95 ± Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ ÓÒ ÑÙÓØÓ ÃÓ ˆθ Ò Ñ ÓÐÐ Ø ÖÚÓØ ÓÚ Ø 0 1 ÓÚ Ø l V (ˆθ) = ˆθ±1.96 ˆθ(1 ˆθ). 3 2 3 3 1 Ò Ò Ñ ÓÐÐ Ø ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ø 0, [0.061,0.605], [0.395,0.939] 1. À Ú ÒØÓ ÖÚÓ ÐÐ X = 0 X = 3 ÚÐ Ò ÖÓ ØÙÙ Ý Ô Ø º ÃÙÒ 0 < θ < 0.061 Ø 0.939 < θ < 1 ÓÒ ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ò Ô Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ 0º

¾ ÄÙ Ù ½¾º ÎÐ Ø ÑÓ ÒØ ½¾º½º½ Æ Ô ÙÙÖ Ø ÇÐ ÓÓÒ X 1,...,X ÓØÓ Ø ÙÑ Ø Tas(0,θ) ÓÐ ÓÓÒ Y = X () Ú Ò¹ ØÓ Ò Ñ Ñ º ÅÙÓ Ó Ø Ø Ò ØÙÒØ Ñ ØØÓÑ ÐÐ Ô Ö Ñ ØÖ ÐÐ θ ÚÐ Ø Ñ Ø¹ ØÓÖ º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ø Ú ØÓ ØÓ [Y,aY], a > 1; [Y,Y +b], b > 0, Ñ a b ÓÚ Ø ÒÒ ØØÙ Ú Ó Ø º Ò ÑÑ Ò ÚÐ Ò Ô Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ ( 1 P(θ [Y,aY]) = P(Y θ ay) = P a Y ) θ 1. ÃÓ Y Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ f Y (y) = y 1 /θ 0 y θ Ò Ò ØÙÒÒ ¹ ÑÙÙØØÙ Ò T = Y/θ Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ f T (t) = t 1 0 t 1º Ë Ô Ø ¹ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ ( ) 1 1 P a T 1 = 1/a t 1 dt = 1 ( ) 1. a È Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ Ö ÔÙ θ Ø ÚÐ Ò [Y,aY] ÐÙÓØØ ÑÙ Ø Ó ÓÒ 1 (1/a) ÐÐ θ > 0º ÌÓ Ò ÚÐ Ò Ô Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ P(θ [Y,Y +b]) = P(Y θ Y +b) = P (1 bθ ) T 1 = 1 t 1 dt = 1 ( 1 b θ). 1 b/θ Ì Ø Ô Ù Ô Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ Ö ÔÔÙÙ Ô Ö Ñ ØÖ Ø θº Ë ÒÓÑÑ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ T = t(ˆθ;θ) Ò Ô ÙÙÖ Ô ÚÓØ Ð ÕÙ ÒØ ØÝ Ø Ô ÚÓص Ó T Ò ÙÑ Ö ÔÙ Ô Ö Ñ ØÖ Ø θº Ì ˆθ = ˆθ(X 1,...,X ) ÓÒ θ Ò Ø Ñ ØØÓÖ º Æ Ô ÙÙÖ Ò ÚÙÐÐ ÚÓ Ò ÓÒ ØÖÙÓ ÐÙÓØØ ÑÙ ¹ ÚÐ Ó Ò Ô Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ Ö ÔÙ Ø ÑÓ Ø Ú Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ø º Ñ Ö ½¾º Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÒÝØ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ò N(µ,σ 2 ) Ô Ö Ñ ØÖ Ò σ 2 ÚÐ Ø ÑÓ ÒØ º ÃÓ ÓÒ Ò Ô ÙÙÖ Ò Ò 1 α = P(a V b), ( = P V = ( 1)S2 σ 2 a < b a ( 1)S 2 1 σ 2 b ( 1)S 2 Khi2( 1) ) ( ( 1)S 2 = P b ) σ 2 ( 1)S2 a ÓÒ σ 2 Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ò [ ( 1)S2, ( 1)S2 ] ÐÙÓØØ ÑÙ Ø Óº b a

½¾º¾º Ã Ò ÖÚÓÒ ÖÓØÙ Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ø ¾ ½¾º¾ Ã Ò ÖÚÓÒ ÖÓØÙ Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ¹ ÚÐ Ø ÇÐ ÓÓØX 1,...,X Y 1,...,Y m Ö ÔÔÙÑ ØÓÒØ ÓØÓ Ø Ó Ø Ò ÑÑ ¹ Ò Ò ÓÒ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ø N(µ X,σX 2 ) ØÓ Ò Ò ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ø N(µ Y,σY 2)º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ú Ö Ò Ø σx 2 σ2 Y ØÙÒÒ Ø Òº ÃÓ ÓØÓ Ø ÓÚ Ø Ö ÔÔÙ¹ Ñ ØØÓÑ Ø Ò Ò ÑÝ ÓØÓ ÖÚÓØ X Ȳ ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ò Ò ÙÑ Ø ÓÚ Ø X N(µ X,σX 2 /) Ȳ N(µ Y,σY 2 /m)º ÇØÓ ÖÚÓ Ò ÖÓØÙ Ò W = X Ȳ ÙÑ ÓÒ N(µ X µ Y,σX 2 /+σ2 Y /m) ( P z α/2 ( X ) Ȳ) (µ X µ Y ) σ 2 X /+σy 2/ z α/2 = 1 α. ÃÙÒ Ú ÒÒÓØ ÓÒ Ø ØÝ Ò Ú ØÙØ ÓØÓ ÖÚÓØ x ȳ Ö¹ ÚÓ Ò ÖÓØÙ Ò 100(1 α)± Ò ÐÙÓØØÑÙ ÚÐ ÓÒ [ x ȳ z α/2 σ W, x ȳ +z α/2 σ W ], Ñ σ W ÓÒ W Ò ÓÒØ º ÂÓ Ú Ö Ò σx 2 σy 2 ØÙÒÒ Ø ÑÙØØ ÓØÓ ÓÓØ m ÓÚ Ø ÙÙÖ Ø Ò Ò Ú Ö Ò Ø σx 2 σ2 Y ÚÓ Ò ÓÖÚ Ø Ú Ö Ò Ò Ö ØØÓÑ ÐÐ Ø Ñ ¹ Ø ÐÐ s 2 x s 2 yº Ë ÐÐÓ Ò Ò Ð ÑÖ Ò Ò 100(1 α)± Ò ÐÙÓØØÑÙ ÚÐ x ȳ z α/2 σ W, x ȳ +z α/2 s W, s Ñ s W = 2 x + s2 y ÓÒ W Ò ÓÒÒ Ò Ø Ñ ØØ º m Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÙÖ Ú Ò ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ò ÖÚÓ Ò ÖÓØÙ ¹ Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ò ÑÖ ØØÑ Ø ÙÒ Ú Ö Ò ØÙÒÒ Ø ÓØÓ ÓÓØ ÓÚ Ø Ô Ò Øº ÇÐ ÓÓÒ X 1,...,X ÓØÓ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ø N(µ X,σX 2 ) Y 1,...,Y m ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ø N(µ Y,σY 2 ) ÓØÓ Ø ÓÚ Ø ØÓ Ø Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øº Ã Ø ÐÐÒ Ò Ò Ø Ð ÒÒ ØØ Ó ÚÓ Ò ÓÐ ØØ σx 2 = σ2 Y = σ2 º Ë ÐÐÓ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Z = X Ȳ (µ X µ Y ) σ 2 + σ2 m ÒÓÙ ØØ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ N(0,1)º ÃÓ ÓØÓ Ø ÓÚ Ø ØÓ Ø Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ò Ò U = ( 1)S2 X σ 2 + (m 1)S2 Y σ 2 ÓÒ Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ ÒKhi2¹ ÙÑ ÒÓÙ ØØ Ú Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÙÑÑ U Khi2(+m 2)º ÅÖ Ø ÑÒ ÑÙ Ò T = Z U/(+m 2)

¾ ÄÙ Ù ½¾º ÎÐ Ø ÑÓ ÒØ ÒÓÙ ØØ t¹ ÙÑ Ú Ô Ù Ø Ò +m 2º ÃÙÒ Ø Ò Ó Ø Ø Ò ÐÐ Ø ØÝØ Z Ò U Ò Ð Ù Ø Ò T = X Ȳ (µ X µ Y ), 1 S P + 1 m Ñ ÆÝØ S P = ( 1)SX 2 +(m 1)S2 Y. +m 2 P(t α/2;+m 2 T t α/2;+m 2 ) = 1 α P ( X Ȳ (µ X µ Y ) t α/2;+m 2 S P 1 + 1 m) = 1 α. ÂÓ x,ȳ s P ÓÚ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X,Ȳ S P Ú ØÙØ ÖÚÓØ Ò Ò ¹ Ò (µ X µ Y ) Ò 100(1 α)± Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ [ x ȳ t α/2;+m 2 s P 1 + 1 m, x ȳ +t α/2;+m 2s P 1 + 1 m ]. ÂÓ ØÙÒÒ Ø Ò Ú Ö Ò Ò Ù σ 2 X /σ2 Y ÚÓ Ò ÖÚÓ Ò ÖÓØÙ ÐÐ (µ X µ Y ) Ó Ø ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ t¹ ÙÑ Ò ÚÙÐÐ Ú Ø Ú Ø Ù Ò Ø Ð ÒØ ¹ σ 2 X = σ2 Y º ÂÓ Ù Ø Ò Ò Ú Ö Ò Ò Ù ØØ ØÙÒÒ Ø Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÙÙÖ ØØ W = ( X Ȳ) (µ X µ Y ) S 2 X /+S 2 Y /m. ÂÓ m ÓÚ Ø Ø ÖÔ ÙÙÖ Ò Ò W ÒÓÙ ØØ Ð Ñ Ò ÒÓÖÑ Ð Ù¹ Ñ P(z α/2 W z α/2 ) 1 α. ÂÓ m ÚØ ÓÐ ÓÚ Ò ÙÙÖ ÝØ ØÒt¹ ÙÑ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ Ï Ð Ò Ð ÖÚÓ º Ä Ø Ò r = (s2 x /+s2 y /m)2 (s 2 x /)2 + (s2 y/m) 2 1 m 1 r ÔÝ Ö Ø ØÒ Ð Ô Ò Ð ÑÔÒ Ó ÓÒ ÐÙ ÙÙÒ = r µº Ë ÐÐÓ Ò (µ X µ Y ) Ò Ð ÑÖ Ò 100(1 α)± Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ ÓÒ x ȳ ±t α/2; r s 2 x/+s 2 y/m. ÂÓ Ò ÓÚ ÐÐÙ Ñ ØØ Ù Ø X Y ÓÚ Ø ØÓ Ø Ò Ö ÔÔÙÚ Øº Å ¹ Ø Ø Ò Ñ Ö Ò Ò Ð Ò Ô ÒÓ ÒÒ Ò Ð Ò Ð ÙØÙ ÙÙÖ Ò Ò Ñ ØØ Ù Ø (X 1,Y 1 ),(X 2,Y 2 ),...,(X,Y ) Ó ÓÒ ÓØÓ ÙÐÓع Ø Ø ÙÑ Ø º Ë ÐÐÓ Ò Ö Ñ ØØ Ù Ô Ö Ø (X i,y i ) (X j,y j ), i j, ÓÚ Ø

½¾º º ËÙ Ø ÐÐ Ø Ò Ó ÙÙ Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ø ¾ ØÓ Ø Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ÑÙØØ Ñ ØØ Ù Ø X i Y i ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÚ º ÅÙÓ¹ Ó Ø Ø Ò ÖÓØÙ Ø D i = X i Y i, i = 1,2,...,º Í Ò ÚÓ Ò ÓÐ ØØ ØØ D 1,D 2,...,D ÓÒ ÓØÓ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ø N(µ X µ Y,σ 2 D ) Ñ σ2 D ÓÒ ÖÓ¹ ØÙ Ø Ò Ú Ö Ò º Ö ØÝ Ø Ó (X 1,Y 1 ),(X 2,Y 2 ),...,(X,Y ) ÓÒ ÓØÓ ¹ ÙÐÓØØ Ø ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ø N(µ X,µ Y,σ X,σ Y,ρ) Ò Ò D 1,D 2,...,D ÓÒ ÓØÓ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ø N(µ X µ Y,σ 2 D )º Ë ÐÐÓ Ò (µ X µ Y ) Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ¹ ÚÐ ÚÓ Ò ÑÙÓ Ó Ø ÙÙÖ Ò T = D (µ X µ Y ) S D / ÚÙÐÐ Ñ D ÓÒ ÖÓØÙ Ø Ò ÓØÓ ÖÚÓ S 2 D ÖÓØÙ Ø Ò ÓØÓ Ú Ö Ò º ÖÓØÙ Ò µ X µ Y ) 100(1 α± Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ ÓÒ d±t α/2; 1 s d Ñ d ÓÒ Ú ÒØÓ Ò ÖÚÓ s d Ò Ò ÓÒØ º ½¾º ËÙ Ø ÐÐ Ø Ò Ó ÙÙ Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ø ÇÐ ÓÓÒ X 1,X 2,...,X ÓØÓ ÖÒÓÙÐÐ Ò ÙÑ Ø Ber(p)º Ë ÐÐÓ Ò ÓÒÒ ØÙ¹ Ñ Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ Y = X 1 + X ÒÓÙ ØØ ÒÓÑ ÙÑ Bi(,p)º ÇØÓ ÖÚÓ Y/ ÓÒ Ô Ö Ñ ØÖ Ò p Ö ØÓÒ Ø Ñ ØØÓÖ º ËÙÙÖ Y p = Y/ p p(1 p) p(1 p)/ ÒÓÙ ØØ Ò Ö Ú ØØÑÒ ÒÓ ÐÐ Ð Ñ Ò ÒÓÖÑ Ð ÙÑ N(0,1) ÙÒ ÓÒ Ø ÖÔ ÙÙÖ º ÎÓ ÑÑ ÓÐ ØØ ØØ ½¾º º½µ P ( z α/2 Y/ p p(1 p)/ z α/2 ) 1 α, Ó Ø Ò P [ Y p(1 p) z α/2 p Y p(1 p) +z ] α/2 1 α. ÃÓ ÔÝ ØÐ Ò ÔØ Ô Ø ÒØÝÝ Ø ÑÓ Ø Ú ØÙÒØ Ñ ØÓÒ Ô Ö Ñ ØÖ p Ø Ø ØÙÐÓ Ø ÙÓÖ Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ º Ì ÖÚ Ø Ò ØÓ Ò Ò Ð Ö¹ ÚÓ ÓÖÚ Ø Ò ÔØ Ô Ø p Ö ØØÓÑ ÐÐ Ø Ñ ØÓÖ ÐÐ Y/º ËÙÙÖ ÐÐ Ú ÒØÓ Ò ÐÙ ÙÑÖÐÐ Ô Ø ÐÐ Ò Ô Ò ØØ P [ Y (Y/)(1 Y/) z α/2 p Y (Y/)(1 Y/) +z ] α/2 1 α.

¼ ÄÙ Ù ½¾º ÎÐ Ø ÑÓ ÒØ ÂÓ Ú Ø Ò Y = y Ò Ò ÙÙÖ ÐÐ Ò ÖÚÓ ÐÐ p Ò Ð ÑÖ Ò Ò 100(1 α)± Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ ÓÒ y (y/)(1 y/) ±z α/2. ÅÙÓ Ó Ø ÑÑ ÒÝØ ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ò Ò ÓÒÒ ØÙÑ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò p 1 p 2 ÖÓØÙ ÐÐ p 1 p 2 º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ÓÒÒ ØÙÑ Ø Ò ÐÙ ÙÑÖØ Y 1 Y 2 Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ó ÒÓÙ ØØ Ú Ø ÒÓÑ ÙÑ Ø Ò ØØ Y i Bi( i,p i ), i = 1,2º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø Y 1 Y 2 ÓÚ Ø Ö ÔÔÙ¹ Ñ ØØÓÑ Øº ÃÓ Y i / i ÓÒ p i Ò i = 1,2 Ö ØÓÒ Ø Ñ ØØÓÖ Y 1 Y 2 ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ò Ò Y 1 / 1 Y 2 / 2 ÓÒ p 1 p 2 Ò Ö ØÓÒ Ø Ñ ØØÓÖ Var(Y 1 / 1 Y 2 / 2 ) = p 1(1 p 1 ) + p 2(1 p 2 ). 1 2 ÎÓ Ò Ó Ó ØØ ØØ ÙÙÖ (Y 1 / 1 Y 2 / 2 ) (p 1 p 2 ) p1 (1 p 1 )/ 1 +p 2 (1 p 2 )/ 2 ÒÓÙ ØØ Ð Ñ Ò ÒÓÖÑ Ð ÙÑ N(0,1) ÙÒ ÓÒ ÙÙÖ º ÂÓ Ò Ñ Øع p 1 p 2 ÓÖÚ Ø Ò Ø Ñ ØØÓÖ ÐÐ Ò ÓÒ P( z α/2 (Y 1 / 1 Y 2 / 2 ) (p 1 p 2 ) Y1 / 1 (1 Y 1 / 1 )/ 1 +Y 2 / 2 (1 Y 2 / 2 )/ 2 z α/2 ) 1 α. ÙÙÖ ÐÐ Ò ÖÚÓ ÐÐ º Ì Ø Ò ÖÓØÙ Ò p 1 p 2 Ð Ñ Ò100(1 α)± Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ y 1 y 2 y 1 (1 y 1 ) ±z α/2 + y 2(1 y 2 ). 1 2 1 2 ½¾º ÇØÓ Ó Ó ÂÓ ÐÙ ÑÑ ØØ Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ µ ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ x ± z α/2 (σ/ ) ÓÐ Ô ÑÔ Ù Ò ÒÒ ØØÙ ÚÐ x±ε Ò Ò Ø Ø Ò ε = z α/2σ, Ó Ø ÙÖ = z2 α/2 σ2 ε 2. ËÙÙÖ ØØ ε = z α/2σ ÙØ ÙØ Ò Ù Ò Ø Ñ Ø Ò Ñ Ñ Ú Ö º ËÙ Ø ÐÐ Ò Ó ÙÙ Ò p Ð ÑÖ Ò 100(1 α)± Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ ÓÒ ˆp(1 ˆp) ˆp±z α/2,

½¾º º Å Ò Ò ÙÑ Ø Ú Ô ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ ½ Ñ ˆp = y/º À ÐÙ ÑÑ ÑÖ ØØ ÓØÓ ÓÓÒ Ò Ò ØØ Ø Ñ Ø Ò ˆp = y/ Ñ Ñ Ú Ö ÓÒε = z α/2 ˆp(1 ˆp)/º ÃÓ ˆp ÓÒ ØÙÒØ Ñ ØÓÒ ÒÒ Ò Ó ØØ Ø ÓÐ Ý ØÝ ÓØÓ ÓÓÒ ÑÖ ØØÑ º ÂÓ Ø ØÒ ØØ p Ò ÖÚÓ ÓÒ ÒÓ Ò p Ø ÓÖ ÒØ Ò p Ò Ò ÐÐÓ Ò Ø ÖÚ ØØ Ú ÓØÓ Ó Ó = z2 α/2 p (1 p ) ε 2. ÂÓ Ñ ÐÐ ÓÐ Ö ØØÚÒ ÐÙÓØ ØØ Ú ÒÒ Ó ÖÚ ÓØ p Ò ÖÚÓ Ø ÚÓ Ò ÝØØ Ú ÖÓÚ Ø Ö ØØÚÒ ÙÙÖØ µ ÓØÓ ÓÓÒ ÖÚ ÓØ ÐÐ p(1 p) 1/4 ÐÐ p [0,1]º = z2 α/2 4ε 2, ½¾º Å Ò Ò ÙÑ Ø Ú Ô ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ ÇÐ ÓÓÒ X 1,X 2,...,X ÓØÓ Ø ÙÚ Ø ÙÑ Ø ÓØ Ø Ö ÑÑ Ò ØÙÒÒ ¹ Ø º ÅÙÓ Ó Ø Ø Ò ÒÝØ ÙÑ Ò Ñ Ò ÐÐ ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ º ÀÙÓÑ ØØ ÓÓÒ ØØ ÙÑ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÓÐ ÚÐØØÑØØ ÓÐ Ñ º ÃÙÒ ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ ÑÙÓ Ó Ø Ø Ò ÙÑ Ó Ú Ò Ú Ö Ò Ò Ù Ó Ò ÓÐ ØÙ Ø Ò Ú Ö Ñ ¹ Ò Ø ÐÑ ÒÓØ Ò ÙÑ Ø Ú Ô º ÄÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ ÝØ ØÒ Ö ØÝ ÙÙÖ Ø º ÇÐ ÓÓÒ X (1),X (2),...,X () Ö Ø ØØÝ ÓØÓ Ó X (1) > X (2) > > X () º Å Ò Ò m ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ ÚÓ Ò Ø ÐÐ Ñ Ö Ú ÒØÓ Ò Ú Ø ÐÙÚÐ (X (1),X () ) Ñ X (1) ÓÒ Ô Ò Ò X () ÙÙÖ Ò Ú ÒØÓ ÖÚÓº ÎÐ Ò ÐÙÓØØ ÑÙ Ø Ó ÓÒ ÐÐÓ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ P(X (1) < m < X () ) Ñ m ÓÒ ÑÖ Ø ÐÑÒ ÑÙ Ò ÙÑ Ò 50± Ò Ö Ø Ð π 0.5 Ð P(X < m) = 0.5º ÇØÓ ÒX 1,X 2,...,X ÚÙÐÐ ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ØÙÒÒ ¹ ÑÙÙØØÙ Ø I 1,I 2,...,I Ø Ò ØØ I j = 1, ÙÒ X j < m ÑÙÙØÓ Ò I j = 0º ÇÒÒ ØÙÑ Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ L = I 1 +I 2 + +I ÓÒ Ñ Ò Ô Ò ÑÔ Ò Ú ÒØÓ Ò ÐÙ ÙÑÖ L Bi(,1/2)º ÇÐ ÓÓÒ Ñ Ö = 5º ÂÓ Ú ÒÒÓØ ÓÚ Ø Ñ Ò Ô Ò ÑÔ L = 5µ Ø Ú ÒÒÓØ ÓÚ Ø Ñ Ò ÙÙÖ ÑÔ L = 0µ Ò Ò Ñ Ò ÓÐ ÚÐ ÐÐ (X (1),X (5) )º ÅÙÙØÓ Ò Ñ Ò ÓÒ ÚÐ ÐÐ (X (1),X (5) )º Æ Ò P(X (1) < m < X (5) ) = 1 P(L = 0) P(L = 5) = 1 (1/2) 5 (1/2) 5 = 15/16 (x (1),x (5) ) ÓÒ 94± Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ 15/16 0.94µº

¾ ÄÙ Ù ½¾º ÎÐ Ø ÑÓ ÒØ Ð Ø ÚÐ Ò (X (1),X () ) ÐÙÓØØ ÑÙ Ø Ó ÓÒ P(X (1) < m < X () )) = 1 P(L = 0) P(L = ) 1 ( ) = (1/2) k (1/2) k k k=1 = 1 (1/2) (1/2) = 1 (1/2) 1. Ã Ú ØØ Ñ ÐÐ ÓØÓ Ó Ó Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ P(X (1) < m < X () ) Ñ Ð ¹ Ú ÐØ Ò Ð ÐÐ Ý Øº ÇÒ Ù Ø Ò Ò ÙÓÑ ØØ Ú ØØ ÑÝ ÚÐ Ò(x (1),x () ) Ô ØÙÙ Ú Ò Ú º ÄÝ ÑÔ ÚÐ Ø Ö ÑÔ Ø Ñ ØØ µ ¹ Ò ÝØØÑÐÐ ÓØ Ò ÑÙÙØ Ö ØÝ ÙÙÖ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ ÚÐ (X (i),x (j) ) Ñ i < jº Ñ Ö ÚÓ Ø Ò Ó ÐÐ ÚÐ (X (2),X ( 1) ) Ø (X (3),X ( 2) )º Î Ø Ú ÐÐ ÔØØ ÐÝÐÐ Ù Ò ÐÐ Ò ÚÐ Ò (X (i),x (j) ) ÐÙÓØØ ÑÙ Ø Ó j 1 ( ) P(X (i) < m < X (j) )) = (1/2) k (1/2) k = 1 α. k k=i ÐÐ Ø ØØÝ Ñ Ò Ø ÐÑ ÚÓ Ò ÝØØ Ñ Ò Ø Ò Ø ÙÚ Ò ÙÑ Ò ÔÖÓ ÒØØ Ô Ø Ò π p ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ò ÑÖ ØØÑ Òº Å Ò Ò Ø ¹ Ô Ù ÝØ ØØÝ ÓÒÒ ØÙÑ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ú Ò ÓÖÚ Ø Ò ÓÒÒ ØÙÑ ØÓ¹ ÒÒ ÝÝ ÐÐ P(X < π p ) = pº ½¾º ½¾º º½ Ò Ð ØØ Ò Ð Ò Ö Ò Ò Ö Ö ÓÑ ÐÐ ÓÐÐ Ò Ò ÒÓÖÑ Ð Ñ ÐÐ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø Y 1 º º º Y ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ½¾º º½µ Y i N(α+βx i,σ 2 ), 1 i. À Ú ØØÙ Ò ØÓ ÑÙÓ Ó ØÙÙ Ø ÖÚÓÔ Ö Ø (x 1,y 1 ) º º º (x,y )º ÒÒÙ ¹ Ø ÑÙÙØØÙ Ò x ÖÚÓØ x 1 º º º x Ø ÐÐ Ò ØÙÒÒ ØÙ Ú Ó º Ê Ö Ó¹ ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÑÙÓØÓ E(Y x) = α+βx ÐÐ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÐÐ Y i ÓÒ Ñ Ú Ö Ò σ 2 º Å ÐÐ ½¾º º½µ ÚÓ ¹ Ò ÑÝ Ð Ù Ù ÑÙÓ Ó Y i = α+βx i +ε i, 1 i, Ñ ε 1 º º º ε ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ε i N(0,σ 2 ) 1 i º

½¾º º Ò Ð ØØ Ò Ð Ò Ö Ò Ò Ö Ö ÓÑ ÐÐ À Ú ÒØÓ Ò Y 1 º º º Y Ý Ø ÙÑ Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ f(y 1,...,y α,β,σ 2 ) = = f 1 (y i α,β,σ 2 ) [ 1 exp 1 ] 2πσ 2σ 2(y i α βx i ) 2 [ = (2πσ 2 ) /2 exp Ì Ø Ò Ò ØØ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ÓÒ [ L(α,β,σ 2 ) = (2πσ 2 ) /2 exp 1 2σ 2 ÐÓ Ö ØÑÓ ØÙ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ÓÒ 1 2σ 2 (y i α βx i ) ]. 2 ] (y i α βx i ) 2 ½¾º º¾µ l(α,β,σ 2 ) = 2 log(2πσ2 ) 1 2σ 2 (y i α βx i ) 2. ÙÒ Ø Ó Ø ½¾º º¾µ ÚÓ Ò Ö Ø Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ò α,β σ 2 ÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ ØØÓÖ Ø (x i x) ˆβ = Y i, S xx ˆα = Ȳ ˆβ x ˆσ 2 = 1 (Y i ˆα ˆβx i ) 2, Ñ x ÓÒ Ó Ú Ó Ò x 1,...,x Ȳ ÓÒ Ú ÒØÓ Ò Y 1,...,Y ÖÚÓ S xx = (x i x) 2 º Ø Ñ ØØÓÖ Ø ˆα ˆβ ÓÚ Ø Ö ØØÓÑ ÑÙØØ ˆσ 2 ÓÒ σ 2 Ò Ö Ò Ò Ø Ñ ØØÓÖ º Ë Ò Ò Ø Ñ ØØÓÖ S 2 = 2ˆσ2 = 1 2 (Y i ˆα ˆβx i ) 2 ÓÒ σ 2 Ö ØÓÒ Ø Ñ ØØÓÖ º ÂÓØØ ÚÓ Ò ØØ Ò Ò Ø Ñ ØØÓÖ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ø ÑÓ ÒØ Ø Ø Ù Ñ Ò ØØ ÐÝØ ØÝØÝÝ ØÙÒØ Ø Ñ ØØÓÖ Ò ÓØ ÒØ ÙÑ Øº ÇØ ÒØ ÙÑ Ó Ú Ø ØÙÐÓ Ø ÓÒ Ø ØØÝ ÙÖ Ú Ð Ù º Ä Ù ½¾º½ ÆÓÖÑ Ð Ñ ÐÐ ½¾º º½µ Ø Ñ ØØÓÖ Ò ˆα, ˆβ ˆσ 2 ÓØ ÒØ ¹ ÙÑ Ø ÓÚ Ø ˆα N(α, σ 2 S xx x 2 i ), σ ˆβ 2 N(β, S xx ), Ñ Cov(ˆα, ˆβ) = σ2 x S xx.

ÄÙ Ù ½¾º ÎÐ Ø ÑÓ ÒØ Ä (ˆα, ˆβ) S 2 ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ( 2)S 2 σ 2 Khi2( 2). Æ Ò ÙÑ ØÙÐÓ Ø Ò ÚÙÐÐ ÚÓ Ò Ó Ø Ô Ö Ñ ØÖ ÐÐ ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ø Ø ÐÙÚÙ Ø ØØÝ Ò Ô Ö ØØ Ò ÑÙ Ø º ½¾º º¾ Ò ÖØ Ò Ò Ð Ò Ö Ò Ò Ö Ö Ó Ä Ò Ö Ö Ö Ó ÓÐ Ø Ø Ò ØØ Ú Ø ÑÙÙØØÙ Ö ÔÔÙÙ Ð Ò Ö Ø Ð ØØ Øº Å ÐÐ ÓÒ ÑÙÓØÓ Y i = α+βx i +ε i, 1 i, Ñ Y i ÓÒ Ú ØØ Ú ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ε i ÓÒ Ú Ö Ø ÖÑ α β ÓÚ Ø ØÙÒØ Ñ ØØÓÑ Ú Ó Ø x 1 º º º x ÓÚ Ø ØÙÒØ Ñ ØØÓÑ Ó Ú Ó Ø º ÇÐ ¹ Ø ÑÑ ØØ E(ε i ) = 0 ÓØ Ò ½¾º º µ E(Y i ) = α+βx i. ÁØ ½¾º º µ ÓÒ ÓÐÐ Ò Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ E(Y i x i ) = α+βx i. ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ö Ö Ó ÙÒ Ø Ó ÓÒ Ð Ò Ö Ò Ò ÑÙØØ Ø ÒÓÖÑ Ð ¹ ÙÙ ÓÐ ØÙ Ø ÙØ Ò ÐÐ Ð ÐÙÚÙ º È Ò ÑÑÒ Ò Ð ÙÑÑ Ò ÒÓÐÐ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò Ø Ñ Ø ˆβ = (xi x)y i (xi x) 2 = s xy s 2 x ˆα = ȳ ˆβ x, = rs xs y s 2 x = s y s x r Ñ s xy ÓÒ ÓØÓ ÓÚ Ö Ò s 2 x s 2 y ÓÚ Ø ÓØÓ Ú Ö Ò º ÎÓ Ò Ó Ó Ø¹ Ø ØØ ˆα ˆβ ÓÚ Ø Ñ Ò Ñ Ú Ö Ò Ò α Ò β Ò Ð Ò Ö Ø Ò Ö¹ ØØÓÑ Ò Ø Ñ ØØÓÖ Ò ÓÙ Ó º ÎÓ Ò Ó Ó ØØ ØØ Ø Ò Ø Ô Ù ¹ Ø Ñ ØØÓÖ Ø ˆα ˆβ ÒÓÙ ØØ Ú Ø Ð Ñ Ò ÒÓÖÑ Ð ÙÑ ÙÙÖ Ð¹ Ð Ò ÖÚÓ ÐÐ º Ë ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ò ÚÙÐÐ ÚÓ Ò Ó Ø Ð ÑÖ Ø ÐÙÓØØ ÑÙ ÚРغ

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