1, 1, 2, 3, 5, 8,... Fibonacci-luvut ja matemaattinen kauneus luonnossa

Samankaltaiset tiedostot
Fibonaccin luvut ja kultainen leikkaus

Kuvasommittelun lähtökohta

Johdanto. Fibonacci, Filius Bonacci

Osa IX. Z muunnos. Johdanto Diskreetit funktiot

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6

Jonot. Lukujonolla tarkoitetaan ääretöntä jonoa reaalilukuja a n R, kun indeksi n N. Merkitään. (a n ) n N = (a n ) n=1 = (a 1, a 2, a 3,... ).

Lukujoukot. Luonnollisten lukujen joukko N = {1, 2, 3,... }.

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

KÄYTTÖLIITTYMÄT. Visuaalinen suunnittelu

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Evoluutio. BI Elämä ja evoluutio Leena Kangas-Järviluoma

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO

c) 22a 21b x + a 2 3a x 1 = a,

Luonnon arkkitehti. Kuvaus projektista: Aihe on jaettu kolmeen osaan:

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Luvut ja lukujonot. otavan matematiikka. Helsingissä Kustannusyhtiö Otava

Aritmeettinen summa Laske. a) b) 23 + ( 24) + ( 25) + ( 26) + ( 27) + ( 28) Ratkaisu.

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

Luonnon arkkitehti. Kuvaus projektista: Aihe on jaettu kolmeen osaan:

Arvo&Lahja Aktiivinen arki ikäihmisille ja nuorille. Hyvä kuva. Hannu Räisänen Kevät 2017 Osa 1

Matematiikka ja teknologia, kevät 2011

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn välikokeeseen

1 Luvut jonossa 1. Kuinka monta pikkuneliötä on a) neljännessä kuviossa b) seitsemännessä kuviossa c) kymmenennessä kuviossa?

luontopolkuja punaisilla naruilla

Kuinka määritellään 2 3?

Talven kasvit. LUMASUOMI Koulutuksesta kouluun hanke. AIHE: Tutkin ja toimin ympäristössäni (EOPS 2014)

Johdatus matematiikkaan

MATEMATIIKKA JA TAIDE II

Outoja funktioita. 0 < x x 0 < δ ε f(x) a < ε.

Logiikan kertausta. TIE303 Formaalit menetelmät, kevät Antti-Juhani Kaijanaho. Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos.

Tehtävä 1. Oletetaan että uv on neliö ja (u, v) = 1. Osoita, että kumpikin luvuista u ja v on. p 2j i. p j i

Metsän taikaa luontopolkureppu

Joukot. Georg Cantor ( )

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa.

1. a) Laske lukujen 1, 1 ja keskiarvo. arvo. b) Laske lausekkeen. c) Laske integraalin ( x xdx ) arvo. MATEMATIIKAN MALLIKOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

! 7! = N! x 8. x x 4 x + 1 = 6.

1. Otetaan perusjoukoksi X := {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Piirrä seuraaville kolmelle joukolle Venn-diagrammi ja asettele alkiot siihen.

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030

Casion fx-cg20 ylioppilaskirjoituksissa apuna

Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }?

1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.

Hanoin tornit. Merkitään a n :llä pienintä tarvittavaa määrää siirtoja n:lle kiekolle. Tietysti a 1 = 1. Helposti nähdään myös, että a 2 = 3:

Fibonaccin luvuista Zeckendorfin lukujärjestelmään. Jan Stenlund op.nro Ohjaaja Mika Koskenoja

SMG-4500 Tuulivoima. Ensimmäisen luennon aihepiirit. Ilmavirtojen liikkeisiin vaikuttavat voimat TUULEN LUONNONTIETEELLISET PERUSTEET

811120P Diskreetit rakenteet

4 LUKUJONOT JA SUMMAT

MAA02. A-osa. 1. Ratkaise. a) x 2 + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030

8 Joukoista. 8.1 Määritelmiä

Matematiikan tukikurssi

= = = 1 3.

Talousmatematiikan perusteet: Luento 1. Prosenttilaskentaa Korkolaskentaa Lukujonot: aritmeettinen ja geometrinen

Talousmatematiikan perusteet: Luento 4. Potenssifunktio Eksponenttifunktio Logaritmifunktio

2c Valokuvaa ekosysteemipalveluja

metsämatikkaa Sata käpyä Lukuja metsästä Laskutarina Mittaaminen punaisella narulla Päin mäntyä (metsän yleisin puu)

JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 3, MALLIRATKAISUT

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13

811312A Tietorakenteet ja algoritmit I Johdanto

HYVÄ TULEVA LUKIOLAINEN! Juuri nyt sinun kannattaa panostaa opiskeluun.

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030

811120P Diskreetit rakenteet

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Johdanto

T Studio 4. luento 3: laskennallista geometriaa virikkeitä harjoituksiin: luovuudesta. matemaattista/abstraktia taidetta tietokonetaidetta

Tietotekniikan valintakoe

Jäniksistä numeroihin Fibonaccin luvuista

Pelit matematiikan opetuksessa

Toimintavuosi oli yhdistyksen kuudes. Jäseniä yhdistyksessä on tällä hetkellä yhteensä 220.

Kirjoita ohjelma jossa luetaan kokonaislukuja taulukkoon (saat itse päättää taulun koon, kunhan koko on vähintään 10)

4.3. Matemaattinen induktio

Scifest-loppuraportti Jani Hovi kortin temppu

Lataa Luonnontarkkailijan kirja. Lataa

Johdatus matematiikkaan

MAB Jussi Tyni. Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää.

Matematiikan didaktiikka, osa II Prosentin opettaminen

Induktio, jonot ja summat

LUKUKORTIT Lukukorteista on moneksi Toiminnallista matematiikkaa luokille. Riikka Lyytikäinen Liikkuva koulu Helsinki 2016

Steven Kelly & Mia+Janne

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat

Laskennallinen menetelmä puun biomassan ja oksien kokojakauman määrittämiseen laserkeilausdatasta

Neljän alkion kunta, solitaire-peli ja

Alkulukujen harmoninen sarja

Pahkahomeen monet isäntäkasvit Asko Hannukkala Kasvinsuojelupäivä Hämeenlinna

Algoritmit 2. Luento 7 Ti Timo Männikkö

derivaatta pisteessä (YOS11) a) Näytä, että a n+1 > a n, kun n = 1, 2, 3,.

Signaalien generointi

Uhanalaisuusarvioinnin keskeiset käsitteet. Annika Uddström, Suomen ympäristökeskus,

4. Nokian osakkeen arvo oli eräänä päivänä 12,70 ja kaksi päivää myöhemmin 11,22. Kuinka monta prosenttia osakkeen arvo oli muuttunut?

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat

ENY-C2001 Termodynamiikka ja lämmönsiirto TERVETULOA!

= 3 = 1. Induktioaskel. Induktio-oletus: Tehtävän summakaava pätee jollakin luonnollisella luvulla n 1. Induktioväite: n+1

PROFESSORILUENTO. Professori Seppo Mattila. Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta. Tähtitiede

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat

Harjoitustehtävien ratkaisut. Joukko-opin harjoituksia. MAB1: Luvut ja lukujoukot 2

Transkriptio:

Jukka O. Mattila Puheenjohtaja, Suomen Lähilukioyhdistys Puheenjohtaja, Suomen Laatuyhdistys ry:n Osaamisen kehittämisfoorumi OKF Torpankuja 6 13880 Hattula October 2017 jukka.o.mattila@pp.inet.fi +358 (0)50 9101 596 1, 1, 2, 3, 5, 8,... Fibonacci-luvut ja matemaattinen kauneus luonnossa Fibonacci number sequence and mathematical beauty in nature Prof. Joonas Kokkonen: Perusoivallus koski oopperan kokonaisrakennetta: toisen näytöksen on suhtauduttava ensimmäiseen kuten ensimmäinen näytös suhtautuu koko oopperaan. Voikukat, kävyt, auringonkukat, ruusut, kaktukset, kotilot, tienvarren aurausmerkit, kanit, Joonas Kokkosen Viimeiset kiusaukset kaikissa yksinkertaisten lukujen ja kultaisen leikkauksen arvoituksellista kauneutta. Kymmeniä kirjoittajan omia valokuvia elämän varrelta. Jo lapsuudessa olemme tottuneet liittämään yksinkertaisia kokonaislukuja joihinkin luonnon kohteisiin. Tiedämme esimerkiksi, että apilanlehti on useimmiten kolmiosainen ja että mansikankukassa on viisi terälehteä. Myöhemmin olemme kenties oppineet, että elävän organismin rakenteet perustuvat usein 5-jakoiseen symmetriaan kun taas elottoman luonnon symmetrialuku on 6 (esim. lumikiteet). Edelläkerrottua enempää ei juuri yleisesti tiedetä luonnon rakenteiden ja kokonaislukujen välisestä säännönmukaisuudesta. Olemme tottuneet siihen, että luonto toimii enemmän tai vähemmän umpimähkäisesti. Esityksessä käsitellään erään yksinkertaisen lukujonon esiintymistä luonnossa. Tämän ns. fibonacci-jonon kukin jäsen on aina kahden edellisen summa: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,... Fibonacci-jonon luvut esiintyvät luonnon rakenteissa pareittain ja liittyvät useimmiten spiraalirakenteisiin. Kuten jokainen tietää, tavallisen kuusenkävyn peitinsuomut muodostavat käpyä sivulta tarkasteltaessa kaksi spiraalirakennetta, nousevan ja laskevan. Kuusenkävyssä näiden spiraalien lukumäärät (kävyn vyötäisten ympäri laskien) ovat tavallisesti 5 ja 8, joskus 8 ja 13, joka tapauksessa lähes poikkeuksetta fibonacci-jonon lukuja. Männyn kävyissä vastaavat luvut ovat tyypillisesti 3 ja 5 tai 5 ja 8. Esityksessä käsitellään fibonacci-lukujen esiintymistä lähes 20 eri kasvilajissa. Esityksen pienimmät luvut, 2 ja 3 ovat bulgarialaisesta ruususta, suurimmat, 89 ja 144, unkarilaisesta auringonkukasta. Esityksen erikoisin yksilö on pienen pieni keltainen päivänkakkara, jonka sisäkkäisissä teriöissä esiintyy peräti neljä peräkkäistä fibonacci-lukua: 8, 13, 21 ja 34. Fibonacci-lukujen esiintymistä eläinkunnassa käsitellään kahden esimerkin valossa: kaniinien lisääntyminen ja kotilon kuoren gnomoninen omaa muotoaan monistava rakenne. Kun fibonacci-jonon kukin jäsen jaetaan edeltäjällään, saadaan uusi lukujono, joka suppenee hämmästyttävän nopeasti kohti taiteilijain suosimaa kultaisen leikkauksen suhdetta 1,618... Esimerkkinä käsiteltävän bulgarialaisen pujon haarottuminen tarjoaa kultaiselle leikkaukselle luonnollisen perustelun: mahdollistaa sateen ja auringonvalon tasainen jakautuminen. Esityksen lopulla analysoidaan matemaattisen kauneuden käsitettä sekä otetaan kriittisesti kantaa eräisiin taiteilijanvapauksiin, jotka ovat ristiriidassa esitelmässä käsitellyn luonnontieteellisen todellisuuden kanssa.

Piirros: American Journal of Physics, Vol. 63, No 1, January 1995 Kirjoittajan luonnosta tapaamat suurimmat fibonacciluvut 89 ja 144, auringonkukan teriön ulkokehällä. Seuraavalla sivulla juttu taitelija Mario Merzin taideteoksesta Turun energialaitoksen savupiipussa

Turku-Energian asiakaslehti Valopilkku 4 / 2002, sivu 19: KIERTEISRAKENTEINEN KASVIKUNTA kiehtoo matemaatikkoa Teksti: Ulla-Maija Kantola Mitä yhteistä on kävyllä, auringonkukalla, kultaisella leikkauksella ja Turku Energian piipulla? Vihje löytyy viimeksi mainitun taideteoksesta. Turku Energian piipussa komeileva numerosarja on itse asiassa fibonacci-lukujono. Sama ilmiö löytyy lisäksi useasta kasvikunnan edustajasta, ja se liittyy myös taitelijoiden käyttämään kultaiseen leikkaukseen. - Fibonacci-lukujono on yksinkertaisesti jono, jossa kukin luku on kahden edellisen luvun summa. Tiettävästi ensimmäinen kirjallinen esitys aiheesta on 1200-luvulta, jolloin sen esitti Leonardo di Pisa, lempinimeltään Fibonacci. Fibonaccin kunniaksi luetaan se, että meillä on Euroopassa arabialainen numerojärjestelmä roomalaisen sijaan, kertoo Paraisten lukion rehtori, matemaatikko Jukka O. Mattila. - Fibonacci käytti lukujonosta kertoessaan esimerkkinä kaniinien lisääntymistä. Aina seuraavassa sukupolvessa olevien jälkeläisten lukumäärä noudatteli teoriassa fibonaccilukujonoa, Mattila jatkaa. 1980-luvun alkupuolella Jukka O. Mattila oli Bulgariassa pidettyjen fysiikkaolympialaisten Suomen joukkueen johtajana. Mattila kuvasi Bulgarian rannikkoseudulla erilaisia kasveja, joista hän etsi fibonacci-lukuja. Myöhemmin hän on kuvannut auringonkukkia Unkarissa ja lukuisia kasveja Suomessa. Mattilalla onkin ainutlaatuinen kokoelma väridioja, ja hän on pitänyt diaesityksiä ja luentoja aiheesta Suomen lisäksi ympäri Eurooppaa sekä Yhdysvalloissa. Mattila on tuottanut alkuperäismateriaalia fibonaccilukujen esiintymisestä kasveissa, kuten erilaisissa kävyissä ja mykerökukkaisissa. - Minkä tahansa metsästä poimitun, hyvin muodostuneen kävyn suomurakenteesta voi laskea fibonacciluvun. Kävyn vyötäisiltä kierteisrakenteisia suomujonoja voidaan laskea nousevaan suuntaan ja laskevaan suuntaan. Lukumäärät eivät koskaan ole samat. Männynkävyssä saattaa olla kolme kierrettä ylöspäin ja viisi kierrettä alaspäin, kuusenkävyssä viisi/kahdeksan tai kahdeksan/kolmetoista. Auringonkukan teriöstä olen löytänyt suurimmat kierrelukumäärät 55/89. Siitä, mistä tämä kasveissa vallitseva ilmiö johtuu, ei vielä ole tieteellistä yksimielisyyttä, Mattila toteaa. Kultainen leikkaus liitetään yleisimmin kuvataiteeseen. Kyseessä on se linja, johon taulua katsottaessa silmä ensin kohdistuu. Mattila liittää kultaisen leikkauksen myös matematiikkaan. - Kultaisessa leikkauksessa suuremman ja pienemmän osan suhde on 1,618 ja niin edelleen. Kun fibonacci-lukujonon luvun jakaa sitä edeltävällä luvulla, jonon luvut liikkuvat kultaisen leikkauksen suhdeluvun lähistöllä, kertoo Mattila.