x = [ x 1 x 2 x n (x i K) x = K (n) = {(x 1, x 2,...,x n ) : x i K} e 1 = (1, 0,..., 0) Ø, e 2 = (0, 1,..., 0) Ø,..., e n = (0, 0,...

¼¼ Ë Å ØÖ Ø ÓÖ Ì ÖÓ Î Ò ÙÓ Ù ¾º ØÓÙ Ó ÙÙØ ¾¼¼

Ë ÐØ ½ Ä Ò Ö Ð Ö ½º½ Å Ö ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ È ÖÙ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º Å ØÖ Ò ÐÓ ÓÑÙÓ ÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º Î ØÓÖ Ú ÖÙÙ Ð Ú ÖÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º Ð Ú ÖÙÙ Ò ÙÑÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ½º Ä Ò Ö ÙÚ Ù Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ ½º ÈÖÓ Ø ÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾ Å ØÖ Ò Ø ÓØ ÐÑ LU¹ ÓØ ÐÑ ½ ¾º½ Ø ÖÑ Ò ÒØØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º¾ Ò Ø¹ Ù Ý ¹ Ú º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º Å ØÖ Ò Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º Å ØÖ Ò Ø ÓØ ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ¾º LU¹ ÓØ ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÇÑ Ò ÖÚÓØ ÓÑ Ò Ú ØÓÖ Ø º½ ÁÒÚ Ö ÒØ Ø Ð Ú ÖÙÙ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ä Ò Ö Ø Ò ÙÚ Ù Ò ÙÓÖ ÙÑÑ º º º º º º º º º º º º º º º Ä Ò Ö Ò ÙÚ Ù Ò ÓÑ Ò ÖÚÓØ º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º ÁÒÚ Ö ÒØ Ø Ð Ú ÖÙÙ Ø Ñ ØÖ Ø º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Å ØÖ Ò ÓÑ Ò ÖÚÓØ Ö Ø Ö Ø Ò Ò ÔÓÐÝÒÓÑ º º º º º º ¾ º ÇÑ Ò ÖÚÓ Ò ÖØ ÐÙÚÙØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Å ØÖ ÔÓÐÝÒÓÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ë Ñ Ð Ö ÙÙ ÑÙÙÒÒÓ Ø ½

ËÁË ÄÌ ¾ º½ Ë Ñ Ð Ö ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÓÒ Ð Ó ØÙÚ Ø Ñ ØÖ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º Å ØÖ ØÝÝÔÔ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÍÒ Ø Ö Ø Ñ Ð Ö ÙÙ ÑÙÙÒÒÓ Ø º º º º º º º º º º º º º º Ë Ò ÙÐ Ö ÖÚÓ ÓØ ÐÑ ÅÓÓÖ ¹È ÒÖÓ ¹ ÒÚ Ö ¾ º½ À ÖÑ ØØ Ø Ò Ø Ø Ñ ØÖ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾ Ë Ò ÙÐ Ö ÖÚÓ ÓØ ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÈÓÐ Ö Ò Ò ÓØ ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÅÓÓÖ ¹È ÒÖÓ ¹ ÒÚ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ÈÓÐÝÒÓÑ Ñ ØÖ Ø ÒÓÖÑ Ð ÑÙÓ ÓØ º½ ÈÓÐÝÒÓÑ Ñ ØÖ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Å Ò Ñ Ð ÔÓÐÝÒÓÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÈÓÐÝÒÓÑ Ñ ØÖ Ò Ú Ú Ð Ò ÑÙÙÒÒÓ Ø º º º º º º º º º º ¾ º ÁÒÚ Ö ÒØ Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ËÑ Ø Ò ÒÓÒ Ò Ò ÑÙÓØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ò ÑÑ Ò Ò ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ò Ò ÒÓÖÑ Ð ÑÙÓØÓ º º º º º º º º º º º ¾ º Ð Ø Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÌÓ Ò Ò ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ò Ò ÒÓÖÑ Ð ÑÙÓØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º ÂÓÖ Ò¹ÑÙÓØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Å ØÖ ÙÒ Ø ÓØ ½¼½ º½ Å ØÖ ÙÒ Ø ÓÒ ÑÖ ØØ ÐÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼½ º¾ ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÔÓÐÝÒÓÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º ËÔ ØÖ Ð ÓØ ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ÂÓÖ Ò¹ÑÙÓØÓ ÝÐ Ø ØÝØ ÓÑ Ò Ú ØÓÖ Ø ½¼

½ Ä Ò Ö Ð Ö ½º½ Å Ö ÒØ ÃÝØÑÑ ÙÖ Ú Ñ Ö ÒØ K n Ø Ö Ó ØØ Ñ Ò n¹ô ØÙ Ø Ò ÔÝ ØÝÚ ØÓ¹ Ö Ò x 1 x 2 x = º (x i K) x n ÑÙÓ Ó Ø Ñ ÓÙ Ó º Î Ø Ú Ø K (n) Ø Ö Ó ØØ n¹ô ØÙ Ø Ò Ú Ú ØÓ¹ Ö Ò x = [ x 1 x 2 x n ] (x i K) ÑÙÓ Ó Ø Ñ ÓÙ Ó º Å Ö Ø ÑÑ ÑÝ K n = {(x 1, x 2,...,x n ) Ø : x i K} K (n) = {(x 1, x 2,...,x n ) : x i K} Ð ÓØ x i ÓÚ Ø Ú ØÓÖ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØØ º ÌÐÐ Ò (K n, +, ) (K (n), +, ) ÓÚ Ø K¹ ÖØÓ Ñ Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ ÙÒ ÓÔ Ö Ø ÓØ ÑÖ Ø ÐÐÒ ÒÓÖÑ Ð Ò Ø ¹ Ô Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ ØØ Òº Ú ÖÙÙ Ò K n ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ò Ò ÒØ ÓÓ ØÙÙ Ú ØÓÖ Ø e 1 = (1, 0,..., 0) Ø, e 2 = (0, 1,..., 0) Ø,..., e n = (0, 0,..., 1) Ø

½º½º Å ÊÃÁÆÌ Â ÃÙÒ m n ÓÚ Ø ÔÓ Ø Ú Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò ÐÐ Ø Ò m n¹ñ ØÖ Ò a 11 a 12 a 1n A = [ a ij ]m n = a 21 a 22 a 2n º º º º º º, a m1 a m2 a mn ÓÙ Ó Ñ Ð ÓØ a ij K ÐÐ i = 1, 2,..., m j = 1, 2,..., n Ñ Ö ØÒ K m n º ÂÓ m = n Ò Ò Ñ ØÖ A = [ a ij ]m n ÓÒ Ò Ð Ñ ØÖ º Ë ÒÓÑÑ ØØ a ij ÓÒ Ñ ØÖ Ò A = [ a ij (i, j)¹ Ð Óº ]m n Ã Ò Ñ ØÖ Ò A K m n B K n k ØÙÐÓ AB ÓÒ Ñ ØÖ [ c ij ]m k K m k Ñ c ij = n a il b lj l=1 = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a in b nj = (A Ò i Ú Ö Ú ) (B Ò j ÔÝ ØÝÖ Ú ). Ñ Ö ½º½º ÇÐ ÓÓÒ A = [a ij ] n n B = [b ij ] n n n n¹ñ ØÖ º Ì Ö¹ Ø ÐÐ Ò Ú ØÓÖ Ø x = (x 1,...,x n ) Ø y = (y 1,...,y n ) Ø z = (z 1,...,z n ) Ø Ñ { yk = n i=1 a kix i z k = n i=1 b kiy i (k = 1, 2,..., n). Ø ØÒ Ú ØÓÖ z Ñ ØÖ Ò A B ÚÙÐÐ º ÆÝØ y = Ax z = By ÓØ Ò z = By = BAxº ÀÙÓÑ ÙØÙ º Å ØÖ Ò ØÙÐÓ ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ØÐÐ Ø Ú ÐÐ Ó Ø ÐØ Ñ ØÖ Ð Ò Ö Ò ÙÚ Ù Ò Ñ ØÖ Ò ØÙÐÓ ÓÒ Ø Ð Ò Ö Ø Ò ÙÚ Ù Ø Ò Ý Ø º Å ØÖ Ò A = [ a ij ]m n K m n ØÖ Ò ÔÓÓ ÓÒ n m¹ñ ØÖ a 11 a 21 a m1 A Ø = [ a ji ]n m = a 12 a 22 a m2 º º º ºº º. a 1n a 2n a mn

½º¾º È ÊÍËÇÅÁÆ ÁËÍÍÃËÁ Å ØÖ Ò A = [ a ij ]m n K m n ÓÒ Ù Ó ØÙ ØÖ Ò ÔÓÓ A ÓÒ n m¹ñ ØÖ a 11 a 21 a m1 A = [ ] Ø a ij = a 12 a 22 a m2 n m º º º ºº º, a 1n a 2n a mn Ñ a ij ÓÒ Ð ÓÒ a ij Ð ØØÓÐÙ Ùº Ë Ó A R m n Ò Ò A = A Ø º ÅÖ Ø ÐÑ ½º¾º Æ Ð Ñ ØÖ A = [ a ij ]n n K n n ÓÒ ÝÐ ÓÐÑ ÓÑ ØÖ Ó a ij = 0 Ò ÙÒ i > j Ð ÓÐÑ ÓÑ ØÖ Ó a ij = 0 Ò ÙÒ i < j ÓÒ Ð Ñ ØÖ Ó a ij = 0 Ò ÙÒ i jº ÓÒ Ð Ñ ØÖ Ñ Ö ØÒ ÑÝ A = diag(a 11, a 22,...,a nn )º ÅÖ Ø ÐÑ ½º º Å ØÖ I = I n = diag(1, 1,..., 1) ÒÓØ Ò Ý Ñ Ø¹ Ö Ð ÒØ Ø ØØ Ñ ØÖ º ÂÓ B K m n Ò Ò I m B = BI n = B. ÅÖ Ø ÐÑ ½º º Æ Ð Ñ ØÖ A = [ a ij ]n n K n n ÓÒ ÒÒ ÐÐ Ò Ò Ø ÒØÝÚ ÒÓÒ Ò ÙÐ Ö ÒÚ ÖØ Ð µ Ó ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ò Ò Ñ ØÖ B K n n ØØ AB = BA = Iº ÌÐÐ Ò Ñ Ö ØÒ B = A 1 º Ì ØÚ ½º Ç Ó Ø ØØ Ó Ý Ó Ø AB = I BA = I Ö ØØ Ø Ñ Ò Ò ØØ A ÓÒ ÒÒ ÐÐ Ò Ò B = A 1 º ½º¾ È ÖÙ ÓÑ Ò ÙÙ Å ØÖ Ò Ú ØÓÖ Ò Ô ÖÙ ÓÑ Ò ÙÙ Ø ÓÐ Ø Ø Ò ØÙÒÒ ØÙ º Ç ÓÒ Ù Ø Ò Ò Ð Ø ØØÙÒ ÑÙÙØ Ñ Ù Ò ÝØ ØØÝ ÓÑ Ò ÙÙ º Ë ÙÖ Ú Ò Ñ ØÖ ØÙÐÓ Ò ¹ ÙÑÑ Ò ÓÐ Ø Ø Ò ÓÐ Ú Ò ÑÖ Ø ÐØÝ

½º¾º È ÊÍËÇÅÁÆ ÁËÍÍÃËÁ ½µ A + B = B + A ÑÙØØ ÝÐ Ø AB BA ØÙÐÓØ AB BA ÚØ ÓÐ ÚÐØØÑØØ Ñ Ó Ó µº ¾µ Ó Ø AB = 0 ÝÐ Ø ÙÖ ØØ A = 0 Ø B = 0 Ñ Ö Ð Ò Ö Ò Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ AX = 0µº µ ÐÐ Ò Ó Ò ÒÓ ÐÐ ÚÓ ÓÐÐ A C Ú AB = CBº ÙÔ Ø ÒÓ Ø Ò Ó B ÓÒ ÒØÝÚµº µ ÂÓ A, B K n n ÓÚ Ø ÝÐ ÓÐÑ ÓÑ ØÖ Ò Ò ÑÝ AB A 1 Ó A ÓÒ ÒÒ ÐÐ Ò Òµ ÓÚ Ø ÝÐ ÓÐÑ ÓÑ ØÖ º Î Ø Ú ÒØ ÔØ Ð Óй Ñ ÓÑ ØÖ ÐÐ º µ (AB) Ø = B Ø A Ø (AB) = B A º µ (A ) = A (A + B) = A + B (A ) 1 = (A 1 ) (za) = za (z C)º Ñ Ö ½º º ÇÐ ÓÓÒ A C n n B C n n Ó Ó Ø Ø Ò (AB) = B A º ÆÝØ Ñ ØÖ Ò AB (i, j)¹ Ð Ó c ij ÓÒ c ij = = = n a iv b vj v=1 n a iv b vj v=1 n a iv b vj, v=1 Ó ÓÒ Ñ ØÖ Ò A B (i, j)¹ Ð Óº Ë AB = A B ÓØ Ò (AB) = (AB) Ø = (A B) Ø = B Ø A Ø = B A. Ç Ó Ø Ø Ò Ð ØØ (A ) 1 = (A 1 ) º ÌÑ ÙÖ Ø ØØ A (A 1 ) = (A 1 A) = I = I.

½º º Å ÌÊÁÁËÁ Æ ÄÇÀÃÇÅÍÇ ÇÌ ½º Å ØÖ Ò ÐÓ ÓÑÙÓ ÓØ Å ØÖ ÐÐ A K m n Ò ÐÓ ÓÑÙÓØÓ ÙÒ Ó Ø Ø Ò A Ö ÙÒ Ø Ö Ù¹ Ò Ò ÙÐÓØØÙÚ ÐÐ Ú ¹ ÔÝ ØÝÚ ÚÓ ÐÐ º A 11 A 12 A 1q A A = 21 A 22 A 2q º º º ºº º A p1 A p2 A pq ÂÓ ÐÓ Ó A ij ÓÒ Ó Ó m i n j Ò Ò m = m 1 + m 2 + + m p n = n 1 + n 2 + + n q ½º½µ ÅÖ Ø ÐÑ ½º º Æ Ð Ñ ØÖ A K n n ÓÒ Ú ÓÒ Ð Ñ ØÖ Ó ÐÐ ÓÒ ÐÐ Ò Ò ÐÓ ÓÑÙÓØÓ ½º½µ Ñ p = q ÐÓ ÓØ A 11, A 22,...,A pp ÓÚ Ø Ò Ð Ñ ØÖ A ij = 0 Ò ÙÒ i jº ÌÐÐ Ò Ñ Ö ØÒ A = diag(a 11, A 22,...,A pp )º Î Ø Ú ÐÐ Ø Ú ÐÐ ÑÖ Ø ÐÐÒ Ú ÝÐ ÓÐÑ Ó¹ Ú Ð ÓÐÑ ÓÑ ØÖ Ø Ñ Ö ½º º µ Ö Ù Ò ÝØ ØØÝ ÐÓ ÓÑÙÓØÓ ÙÒ A K n n ÓÒ Ù¹ Ö Ú a 11 a 12 a 1,n 1 a 1n a 21 a 22 a 2,n 1 a 2n A = º º º º º º = A n 1 u, a n 1,1 a n 1,2 a n 1,n 1 a n 1,n v a nn a n1 a n2 a n,n 1 a nn Ñ u, v Ø K n 1 º ÌØ ÐÓ ÓÑÙÓØÓ ÝØ ØÒ Ù ÑѺ ØÓ ØÙ ¹ Ø ÚÓ Ò ÝØØ ÝÚ ÑÝ ÒØ Ñ ØÖ Ö Ø Ø ¹ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ AB = I ÐÓ ÓØ Ò B ÙØ Ò Aº ÌÐÐ Ò Ò Ñ ØÖ Ý ØÐ ÖÝ Ñ Ñ ØÖ Ò B ÐÓ Ó ÐÐ º µ Ð ÐÓ ÓÑÙÓ Ó ÓÐ Ú Ò Ñ ØÖ Ò ØÙÐÓ ÚÓ Ò ÑÙÓ Ó Ø Ú ¹ Ø Ú Ø ÙØ Ò ÒÓÖÑ Ð Ñ ØÖ ØÙÐÓº ÇÐ ÓÓÒ A 11 A 12 A 1q B 11 B 12 B 1s A 21 A 22 A 2q B 21 B 22 B 2s A = º º º ºº B = º º º º ºº º. A p1 A p2 A pq B q1 B q2 B qs

½º º Å ÌÊÁÁËÁ Æ ÄÇÀÃÇÅÍÇ ÇÌ ÌÐÐ Ò ØÙÐÓÒ AB (i, j)¹ðó Ó ÓÒ q A iv B vj v=1 ÙÒ Ò ÒØÝÚØ ÐÓ Ó Ò ØÙÐÓØ ÓÚ Ø ÑÖ Ø ÐØÝ Ø º ÐÓ Ó Ò ÓÓØ ÓÔ ¹ Ú Ø Ý Ø Ò º Ë ØÙÐÓÒ AB (i, j)¹ðó Ó ÓÒ Ñ ØÖ Ò A i ÐÓ ÓÚ Ö Ú ÖØ Ñ ØÖ Ò B j ÐÓ ÓÔÝ ØÝÖ Ú º Ð ÐÓ ÓÑÙÓØÓ Ø Ò Ñ ØÖ Ò Ö¹ ØÓÑ Ò Ò ÓÒÒ ØÙÙ ÙØ Ò Ø Ú ÒÓÑ Ò Ò Ñ ØÖ ØÙÐÓ Ò ÙÒ Ø ÖÚ ØØ Ú Ø ÐÓ ÓØÙÐÓØ ÓÚ Ø ÑÖ Ø ÐØÝ º µ ÇÐ ÓÓÒ A K m n B K n k º Ì Ò Ñ ØÖ ÐÐ A B ÔÝ Øݹ Ú Ö Ú Ó ØÙ Ø ÌÐÐ Ò ÑÑ A = [ ] A 1 A 2 A n = A 1 A 2 º A m B 1 B 2 B n B = [ ] B 1 B 2 B k = º (a 1, a 2,...,a n )B = a 1 B 1 + a 2B 2 + + a nb n ; b 1 b 2 A º = b 1A 1 + b 2 A 2 + b n A n ; b n A 1 B A 2 AB = º = A [ B 1 B 2 ] B k A m B = [ AB 1 AB 2 ] AB k ÂÓ Ò Ò A i B ÓÒ B Ò Ú Ö Ú Ò Ó Ò Ò AB i ÓÒ A Ò ÔÝ ØÝÖ Ú Ò Ð Ò Ö Ò Ò Ý Ø º Ë Ñ ØÖ Ò AB Ú Ö Ú Ø ÓÚ Ø Ñ ØÖ Ò B Ú ¹ Ö Ú Ò Ð Ò Ö Ý Ø ÐÑ ÔÝ ØÝÖ Ú Ø ÓÚ Ø Ñ ØÖ Ò A ÔÝ ØÝÖ Ú Ò Ð Ò Ö Ý Ø ÐÑ º

½º º Î ÃÌÇÊÁ Î ÊÍÍË Â ÄÁ Î ÊÍÍË ½º Î ØÓÖ Ú ÖÙÙ Ð Ú ÖÙÙ ÇÐ ÓÓÒ V ÔØÝ ÓÙ Ó K ÙÒØ º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ÙÖ Ú Ø Ð ÙØÓ ¹ Ñ ØÙ Ø ÓÚ Ø ÑÖ Ø ÐØÝ (x, y) x + y : V V V (α, x) αx : K V V ÅÖ Ø ÐÑ ½º º ÔØÝ ÓÙ Ó V ÓÒ K¹ ÖØÓ Ñ Ò Ò Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ Ð Ð Ò Ö Ò Ò Ú ÖÙÙ Ó ÐÐ ÑÖ Ø ÐÐÝØ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø ØÓØ ÙØØ Ú Ø Ù¹ Ö Ú Ø ÓØ Î½µ x + (y + z) = (x + y) + z ξµ x + y = y + x Î µ ÓÒ ÓÐ Ñ 0 V V ÒÓÐÐ Ú ØÓÖ µ ÓÐÐ x + 0 V = x Î µ ÂÓ x V Ò Ò ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ò Ò y V ØØ x + y = 0 V Ñ Ö ØÒ y = xµº Î µ α(x + y) = αx + αy Î µ (α + β)x = αx + βx Î µ (αβ)x = α(βx) Î µ 1 K x = x Ñ 1 K ÓÒ ÙÒÒ Ò K Ý Ð Óº ÐÐ x, y, z V α, β Kº ÀÙÓÑ ÙØÙ º Â Ø Ó ÓÐ Ø Ø Ò ØØ Ø Ö Ø ÐØ Ú ÙÒØ K ÓÒ Ö Ð ÐÙ Ù¹ Ò ÙÒØ R Ø ÓÑÔÐ ÐÙ Ù Ò ÙÒØ C ÔÙ ÙÑÑ Ô Ð ØÒ Ú ØÓÖ ¹ Ú ÖÙÙ Ø V º Î ØÓÖ Ú ÖÙÙ Ò Ô ÖÙ ÓÑ Ò ÙÙ Ø ÓÐ Ø Ø Ò ØÙÒÒ ØÙ º Ä Ò Ö Ð Ö Á ² ÁÁµº ÅÖ Ø ÐÑ ½º º ÇÐ ÓÓÒ V Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ U V º ÌÐÐ Ò U ÓÒ Ú ÖÙÙ¹ Ò V Ð Ú ÖÙÙ Ó Î ½µ x + y U ÐÐ x, y U

½º º Î ÃÌÇÊÁ Î ÊÍÍË Â ÄÁ Î ÊÍÍË ½¼ Î ¾µ αx U ÐÐ α K x U Î µ 0 U Ø º U º ÇÐ ÓÓÒ S V ÔØÝ º ÂÓÙ ÓÒ S Ú Ö ØØÑ Ú ÖÙÙ Ò V Ó ÓÙ Ó L(S) Ø span(s)µ ÓÓ ØÙÙ Ø ÓÙ ÓÒ S Ú ØÓÖ Ò Ð Ò Ö Ø Ý Ø Øº Ë L(S) = {y V : y = α 1 x 1 + α 2 x 2 +... + α k x k, Ñ x i S, α i K} ÅÖ Ø ÐÑ ½º½¼º Ú ÖÙÙ Ò V Ú ØÓÖ ÓÙ Ó S = {x 1, x 2,...,x k } ÓÒ Ð ¹ Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÚ Ó Ý ØÐ ÐÐ α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α k x k = 0 ÓÒ ÔØÖ Ú Ð Ö Ø Ù Ø º α i 0 ÓÐÐ Ò i = 1, 2,..., kº Î Ø Ú Ø Ó ÝÓº Ý ØÐ ÐÐ ÓÒ Ú Ò ØÖ Ú Ð Ö Ø Ù α 1 = α 2 =... = α k = 0µ Ò Ò ÓÙ Ó S ÓÒ Ð Ò Ö Ø Ú Ô Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØÓÒµº Ä Ù ½º½½º Î ØÓÖ ÓÙ Ó S ÓÒ Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÚ Ó Ú Ò Ó Ó Ò ÓÙ ÓÒ S Ú ØÓÖ Ø ÓÒ ÑÙ Ò ÓÙ ÓÒ S Ú ØÓÖ Ò Ð Ò Ö Ý Ø º ÌÓ ØÙ º à º Ä Ò Ö Ð Ö Á ² ÁÁµ ÅÖ Ø ÐÑ ½º½¾º ÇÐ ÓÓÒ U Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ Ò V Ð Ú ÖÙÙ º ÌÐÐ Ò Ú ¹ ØÓÖ ÓÙ Ó S = {x 1, x 2,..., x k } U ÓÒ Ð Ú ÖÙÙ Ò U ÒØ Ó µ U = L(S) µ S ÓÒ Ð Ò Ö Ø Ú Ô º Î ØÓÖ Ú ÖÙÙ Ò V ÒØ ÓÒ Ð Ò Ö Ø Ú Ô Ú ØÓÖ ÓÙ Ó S Ó¹ Ú Ö ØØ Ú ÖÙÙ Ò V º ÂÓ Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ Ò V ÒÒ ÓÒ n Ú ØÓÖ ÒÓØ Ò Ú ÖÙÙ Ò V ÓÐ Ú Ò n¹ùðóøø Ò Ò Ø n¹ Ñ Ò Ó Ò Ò Ñ Ö ØÒ dim V = nº ÂÓ Ú ÖÙÙ ÐÐ V ÓÐ Ö ÐÐ Ø Ú Ö ØØ ÓÙ Ó Ò Ò V ÓÒ Ö Ø ÒÙÐÓØØ Ò Òº Ñ Ö ½º½ º Î ØÓÖ Ú ÖÙÙ K n = L{e 1, e 2,...,e n } Ñ Ú ØÓÖ Ø e i ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø Ú ÖÙÙ Ò K n ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ò ÒÒ Òº

½º º ÄÁ Î ÊÍÍÃËÁ Æ ËÍÅÅ Ì ½½ Ä Ù ½º½ º ÇÐ ÓÓÒ V {0} Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ S = {x 1, x 2,...,x n } V º ÂÓÙ Ó S ÓÒ Ú ÖÙÙ Ò V ÒØ Ó Ú Ò Ó Ó Ò Ò Ú ÖÙÙ Ò V Ú ØÓÖ ÚÓ Ò ØØ Ý ØØ Ø ÓÙ ÓÒ S Ú ØÓÖ Ò Ð Ò Ö Ý Ø Òº ÌÓ ØÙ º à º Ä Ò Ö Ð Ö Á ² ÁÁµ ½º Ð Ú ÖÙÙ Ò ÙÑÑ Ø ÅÖ Ø ÐÑ ½º½ º ÇÐ ÓÓÒ U Z Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ Ò V Ð Ú ÖÙÙ º Ìй Ð Ò Ñ Ö Ø ÑÑ U + Z = {x V : x = u + z, u U, z Z} ÒÓÑÑ ØØ U + Z ÓÒ Ð Ú ÖÙÙ Ò U Z ÙÑÑ º Ä Ù ½º½ º ÂÓ U Z ÓÚ Ø Ú ÖÙÙ Ò V Ð Ú ÖÙÙ Ò Ò U + Z ÓÒ Ú ÖÙÙ Ò V Ð Ú ÖÙÙ º ÅÖ Ø ÐÑ ½º½ º ÇÐ ÓÓÒ U Z Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ Ò V Ð Ú ÖÙÙ º ÂÓ Ó ÐÐ Ú ØÓÖ ÐÐ x U + Z ÓÒ Ý ØØ Ò Ò ØÝ ÑÙÓ Ó x = u + z Ñ u U z Z Ò Ò U + Z ÓÒ Ð Ú ÖÙÙ Ò U Z ÙÓÖ ÙÑÑ Ñ Ö ØÒ U Zº Ë ÙÖ Ú Ð Ù ÓÒ Ý ÝÐÐ Ò Ò ØÙÐÓ Ó Ó Ø ØØ ÒÒ ØØÙ Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙØØ Ð Ú ÖÙÙ Ò ÙÓÖ ÙÑÑ º Ä Ù ½º½ º ÂÓ U Z ÓÚ Ø Ú ÖÙÙ Ò V Ð Ú ÖÙÙ Ò Ò V = U Z Ó Ú Ò Ó U + Z = V U Z = {0}º ÀÙÓÑ ÙØÙ º ÂÓ U = {0} Z = V Ò Ò ØÐÐ Ò V = U Zº Ë ÙÖ Ú Ø ØÙÐÓ Ø Ð ÝØÝÚØ ÙÖ Ø Ä Ò Ö Ð Ö ÁÁº Ä Ù ½º½ º ÇÐ ÓÓÒ U Z Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ Ò V Ö ÐÐ ÙÐÓØØ Ð Ú ¹ ÖÙÙ º ÌÐÐ Ò ÑÝ U + Z ÓÒ Ö ÐÐ ÙÐÓØØ Ò Ò dim (U + Z) = dim U + dim Z dim (U Z).

½º º ÄÁÆ ÊÁÃÍÎ ÍÃË Ì ½¾ Ë ÙÖ Ù ½º¾¼º ÂÓ Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ V ÓÒ Ö ÐÐ ÙÐÓØØ Ò Ò V = U + Z Ò Ò µ dimv dim U + dim Z µ dim V = dim U + dim Z Ó Ú Ò Ó V = U Zº Ä Ù ½º¾½º ÂÓ U ÓÒ Ö ÐÐ ÙÐÓØØ Ò Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ Ò V Ð Ú ÖÙÙ Ò Ò ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ò Ò Ú ÖÙÙ Ò V Ð Ú ÖÙÙ Z ØØ V = U Zº Ñ Ö ½º¾¾º ÇÐ ÓÓÒ V = R 3 Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ð Ú ÖÙÙ U = {(x, y, 0) R 3 : x, y R} Z = {(x, 0, z) R 3 : x, z R}. ÌÐÐ Ò V = U + Z U Z = {(x, 0, 0) R 3 : x R} {0} ÓØ Ò ÙÑÑ ÓÐ Ù Ø Ò Ò ÙÓÖ º Ä dim V < dim U + dim V ÑÙØØ dim V = dim U + dim Z dim (U Z). Ø ØÒ Ð Ù Ò ½º¾½ ÑÙ Ò Ò Ð Ú ÖÙÙ Z Ø Ò ØØ V = U Z º ÇÐ ÓÓÒ Z = {(0, 0, z) R 3 : z R}, ÓÐÐÓ Ò Ó Ò Ò x V = R 3 ÓÒ Ý ØØ Ø ÑÙÓØÓ Ë V = U Z º x = (x, y, 0) + (0, 0, z) U + Z. ½º Ä Ò Ö ÙÚ Ù Ø Ä Ò Ö Ø ÙÚ Ù Ø ÓÚ Ø ØÖ Ø Ñ Ø Ñ Ø Ò ØÝ ÐÙ º Ñ Ö Ò ¹ ÐÝÝ Ò Ô ÖÙ ÓÔ Ö Ø ÓØ ÑѺ Ö Ú ØØ ÒØ Ö Ð µ ÓÚ Ø Ð Ò Ö ÙÚ Ù ¹ º Ä Ð Ò Ö Ø Ý ØÐ ÖÝ ÑØ ÓÚ Ø ØÙÐ ØØ Ú Ð Ò Ö ÙÚ Ù Ó Ú Ò Ý ØÐ Òº Â Ø Ó Ú ÖÙÙ Ø V W ÓÚ Ø K¹ ÖØÓ Ñ Ö ÐÐ ÙÐÓØØ Ú ØÓÖ Ú ¹ ÖÙÙ ÐÐ ØÓ Ò Ñ Ò Ø º ÃÙÒ Ú ÖÙÙ Ò V W ÒÒ Ø ÓÚ Ø ÒÒ Ø ¹ ØÝØ ÚÓ ÑÑ Ñ Ø Ð Ò Ö Ø ÙÚ Ù Ø Ú Ø Ú Ò ÙÚ Ù Ø Ò Ñ ØÖ Ò Ò º

½º º ÄÁÆ ÊÁÃÍÎ ÍÃË Ì ½ ÅÖ Ø ÐÑ ½º¾ º ÃÙÚ Ù Ø A: V W ÒÓØ Ò Ð Ò Ö Ñ Ð µ A(x + y) = A(x) + A(y) µ A(cx) = ca(x) ÐÐ x, y V c Kº Ä Ò Ö Ø ÙÚ Ù Ø ÒÓØ Ò Ù Ò ÑÝ Ð ¹ Ò Ö ÓÔ Ö ØØÓÖ º ÂÓ W = K Ò Ò Ð Ò Ö Ø ÙÚ Ù Ø ÒÓØ Ò Ð Ò Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ð º Ð Ø Ð Ò Ö Ò ÙÚ Ù Ò Ý Ø Ý Ú ØÓÖ A(x) Ñ Ö ØÒ Ù Ò ÐÝ Ý ÑÑ Ò Axº ÂÓ A: V W B: V W ÓÚ Ø Ð Ò Ö ÙÚ Ù Ò Ò A = B Ø ÑÐÐ Ò ÐÐÓ Ò ÙÒ Ax = Bx ÐÐ x V º ÂÓ A: V W ÓÒ Ð Ò Ö Ò Ò ÙÚ Ù U V ÓÒ Ð Ú ÖÙÙ Ò Ò Ñ Ö¹ Ø ÑÑ ÙÚ Ù Ò A Ö Ó ØØÙÑ Ð Ú ÖÙÙØ Ò U ÝÑ ÓÐ ÐÐ A U º Ë ÐÚ Ø ÑÝ Ö Ó ØØÙÑ A U : U W ÓÒ Ð Ò Ö Ò Òº Ä Ù ½º¾ º ÂÓ A: V W ÓÒ Ð Ò Ö Ò Ò ÙÚ Ù Ò Ò A0 V = 0 W º ÌÓ ØÙ º ÃÓ Ax = 0 V Ó Ú Ò Ó x = 0 V Ø a = 0 K Ö Ó ØÙ Ø Ø¹ Úµ Ò Ò A0 V = A(0 K 0 V ) = 0 K A(0 V ) = 0 W º Ñ Ö ½º¾ º µ ÇÐ ÓÓÒ I = I V : V V ÒØØ Ò Ò ÙÚ Ù Ø º Ix = x ÐÐ x V º ÌÐÐ Ò ÒØØ Ò Ò ÙÚ Ù I ÓÒ Ð Ò Ö Ò Òº µ ÇÐ ÓÓÒ N : V W Ò º ÒÓÐÐ ÙÚ Ù Ð Nx = 0 W ÐÐ x V º ÌÐÐ Ò ÙÚ Ù N ÓÒ Ð Ò Ö Ò Òº ÅÖ Ø ÐÑ ½º¾ º ÇÐ ÓÓÒ A: V W Ð Ò Ö Ò Ò ÙÚ Ù º ÌÐÐ Ò ÙÚ Ù ¹ Ò A ÙÚ ¹ Ú ÖÙÙ R(A) ÓÒ ÓÙ Ó R(A) = {y W : y = Ax ÓÐÐ Ò x V } = A(V ) ÙÚ Ù Ò A Ý Ò ÓÒ ÓÙ Ó N(A) = {x V : Ax = 0} = A 1 ({0}) Ä Ù ½º¾ º Ä Ò Ö Ò ÙÚ Ù Ò A: V W ÙÚ ¹ Ú ÖÙÙ R(A) Ý Ò N(A) ÓÚ Ø Ð Ú ÖÙÙ º

½º º ÄÁÆ ÊÁÃÍÎ ÍÃË Ì ½ ÌÓ ØÙ º à º Ä Ò Ö Ð Ö Á ² ÁÁµ [ ] 1 1 0 Ñ Ö ½º¾ º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ñ ØÖ A = K 2 3 º ÌÐÐ Ò 1 1 1 Ñ ØÖ A ÚÓ Ò Ø ÐÐ Ð Ò Ö Ò ÙÚ Ù Ò A: K 3 K 2 º ÅÖ¹ ØÒ ÙÚ Ù Ò A Ý Ò N(A)º ÂÓ x = (x 1, x 2, x 3 ) Ø N(A) Ò Ò { x1 x 2 = 0, x 1 + x 2 + x 3 = 0 Ð x 1 = x 2 x 3 = 2x 2 º Ë Ó Ò Ò Ú ØÓÖ x N(A) ÓÒ ÑÙÓØÓ x = (x 2, x 2, 2x 2 ) Ø = x 2 (1, 1, 2) Ø Ñ x 2 Kº Ð Ú ÖÙÙ N(A) ÓÒ ÓÖ ÓÒ ÙØØ ÙÐ Ú Ú ØÓÖ Ò (1, 1, 2) Ø ÙÙÒØ Ò Òµ ÙÓÖ º Ä Ù ½º¾ º Ä Ò Ö Ò Ò ÙÚ Ù A: V W ÓÒ Ò Ø Ó Ó Ú Ò Ó N(A) = {0}º ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ N(A) = {0}º ÂÓ Ax = Ay Ò Ò A(x y) = Ax Ay = 0º Ë x y N(A)º ÌØ Ò x y = 0 Ð x = y ÙÚ Ù A ÓÒ Ò Ø Óº ÇÐ Ø Ø Ò ØØ A: V W ÓÒ Ò Ø Ó x N(A)º ÌÐÐ Ò Ax = 0 = A0 ÓØ Ò Ò Ø Ú ÝÝ Ò ÒÓ ÐÐ x = 0º Ë N(A) = {0}º Ñ Ö ½º ¼º ÇÐ ÓÓÒ P = {x : x ÓÒ R¹ ÖØÓ Ñ Ò Ò ÔÓÐÝÒÓÑ }º ÂÓ x P u(t) = t x(t) Ñ t R Ò Ò ÑÝ u P º ÂÓ ÐÐ x P Ñ Ö ØÒ Ax = u ÓÐÐÓ Ò ÑÑ ÙÚ Ù Ò A: P P º Ç Ó Ø Ø Ò ØØ P ÓÒ Ð Ò Ö Ò Òº Â Ø Ó ÐÙ ÒÒÓÐÐ µ Ä Ù ½º ½º ÇÐ ÓÓÒ A: V W Ð Ò Ö Ò Ò ÙÚ Ù S V º µ ÂÓ S ÓÒ Ú ÖÙÙ Ò V Ú Ö ØØ ÓÙ Ó Ò Ò A(S) ÓÒ Ú ÖÙÙ Ò R(A) = A(V ) Ú Ö ØØ ÓÙ Óº µ ÂÓ A ÓÒ Ò Ø Ó S ÓÒ Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØÓÒ Ò Ò A(S) ÓÒ Ð Ò ¹ Ö Ø Ö ÔÙÑ ØÓÒº µ ÂÓ A ÓÒ Ò Ø Ó S ÓÒ V Ò ÒØ Ò Ò A(S) ÓÒ ÙÚ ¹ Ú ÖÙÙ Ò R(A) ÒØ º ÌÓ ØÙ º à º Ä Ò Ö Ð Ö Á ² ÁÁµ

½º º ÄÁÆ ÊÁÃÍÎ ÍÃË Ì ½ ÀÙÓÑ ÙØÙ º Â Ø Ó Ø Ö Ø Ð ÑÑ Ö ÐÐ ÙÐÓØØ Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ ÓÐÐÓ Ò Ð Ò Ö Ø ÙÚ Ù Ø Ñ ØÖ Ø ÚÓ Ò Ñ Ø ÙÒ Ø Ö Ø ÐØ ¹ Ú Ò Ú ÖÙÙ Ò ÒÒ Ø ÓÚ Ø ÒÒ Ø ØÝغ ÇÐ ÓÓÒ V W Ö ÐÐ ÙÐÓØØ Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ º Ä Ù ½º ¾º ÇÐ ÓÓÒ {v 1, v 2,..., v n } Ú ÖÙÙ Ò V ÒØ {w 1, w 2,...,w n } W º ÌÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ Ý ØØ Ò Ò Ð Ò Ö Ò Ò ÙÚ Ù A: V W Ø Ò ØØ Av 1 = w 1, Av 2 = w 2,...,Av n = w n. ÌÓ ØÙ º Ç Ó Ø Ø Ò Ò Ò ÙÚ Ù Ò ÓÐ Ñ ÓÐÓº ÂÓ x V x = a 1 v 1 + a 2 v 2 +... + a n v n Ò Ò ÓÐ ÓÓÒ Ax = a 1 w 1 +... + a n w n. ÌÐÐ Ò A ÓÒ ÙÚ Ù Ú ÖÙÙ ÐØ V Ú ÖÙÙ ÐÐ W º Ä Av 1 = w 1 Av 2 = w 2 º º º Av n = w n º ÇÒ Ó Ó Ø ØØ Ú ØØ ÙÚ Ù A: V W ÓÒ Ð Ò Ö ¹ Ò Òº ÂÓ x = a 1 v 1 + a 2 v 2 +... + a n v n y = b 1 v 1 + b 2 v 2 +... + b n v n, Ò Ò ØÐÐ Ò ÑÑ A(x + y) = A((a 1 + b 1 )v 1 + (a 2 + b 2 )v 2 +... + (a n + b n )v n ) = a 1 w 1 + a 2 w 2 +... + a n w n + b 1 w 1 + b 2 w 2 +... + b n w n = Ax + Ay. Î Ø Ú Ø Ó c K Ò Ò A(cx) = A((ca 1 )v 1 + (ca 2 )v 2 +... + (ca n )v n ) = c(a 1 w 1 + a 2 w 2 +... + a n w n ) = cax, ÓØ Ò ÙÚ Ù A ÓÒ Ð Ò Ö Ò Òº Ç Ó Ø Ø Ò Ú Ð ÙÚ Ù Ò Ý ØØ ÝÝ º ÇÐ ÓÓÒ A B Ð Ò Ö Ø ÙÚ Ø ÓØ ØÓØ ÙØØ Ú Ø Ð Ù Ò ÓÒ

½º º ÈÊÇ ÃÌÁÇÌ ½ Ø º Av i = w i = Bv i ÐÐ i = 1, 2,..., nº ÂÓ x = a 1 v 1 +a 2 v 2 +...+a n v n V Ò Ò Ax = a 1 Av 1 +... + a n Av n = a 1 Bv 1 +... + a n Bv n = Bx. Ë A = B Ñ ØÓ Ø Ð Ù Òº Ä Ù ½º º ÂÓ A: V W ÓÒ Ð Ò Ö Ò Ò ÙÚ Ù Ò Ò dim V = dim N(A) + dim R(A). ÌÓ ØÙ º à º Ä Ò Ö Ð Ö ÁÁµ ½º ÈÖÓ Ø ÓØ ÅÖ Ø ÐÑ ½º º Ä Ò Ö Ø ÙÚ Ù Ø P : V V ÒÓØ Ò ÔÖÓ Ø Ó Ó P 2 = P P 2 = P P µ Ø º P ÓÒ ÑÔÓØ ÒØØ º Ñ Ö ½º º ÆÓÐÐ ÙÚ Ù ÒØ Ø ØØ ÙÚ Ù ÓÚ Ø ÔÖÓ Ø Ó Ø ØÖ Ú ¹ Ð Ø Ô Ù µº 1 0 0 Ñ Ö ½º º ÇÐ ÓÓÒ P = 0 1 0 R 3 3 º Ç Ó Ø Ø Ò ØØ P ÓÒ ÔÖÓ¹ 0 0 0 Ø Óº ÆÝØ P(x 1, x 2, x 3 ) Ø = (x 1, x 2, 0) Ø ÓØ Ò P 2 (x 1, x 2, x 3 ) Ø = P(P(x 1, x 2, x 3 ) Ø ) = P(x 1, x 2, 0) Ø = (x 1, x 2, 0) Ø º Ë P 2 = P Ð P ÓÒ ÔÖÓ Ø Óº Ä Ù ½º º ÇÐ ÓÓÒ P : V V ÔÖÓ Ø Óº ÌÐÐ Ò µ I P ÓÒ ÔÖÓ Ø Ó µ R(I P) = N(P) µ N(I P) = R(P)º

½º º ÈÊÇ ÃÌÁÇÌ ½ ÌÓ ØÙ º µ ÆÝØ (I P) 2 = (I P)(I P) = I 2 2P +P 2 = I 2P +P = I P ÓØ Ò I P ÓÒ ÔÖÓ Ø Óº µ ÂÓ x R(I P) Ò Ò ÓÒ ÓÐ Ñ y V Ø Ò ØØ (I P)y = xº ÌØ Ò Px = P((I P)y) = Py P 2 y = Py Py = 0 ÓØ Ò x N(P)º ÌÓ ÐØ Ó x N(P) Ò Ò ØÐÐ Ò Px = 0º Ë (I P)x = Ix Px = x ÓØ Ò x R(I P)º ÌØ Ò R(I P) = N(P)º µ Ë ÐÚ Ø P ÓÒ ÔÖÓ Ø Ó Ó Ú Ò Ó I P ÓÒ ÔÖÓ Ø Óº ÆÝØ P = I (I P) ÓÒ ÔÖÓ Ø Ó Ñ ÑÝ I P ÓÒ µ¹ Ó Ò ÑÙ Ò ÔÖÓ Ø Óº ÌØ Ò µ¹ Ó Ò ÒÓ ÐÐ N(I P) = R(I (I P)) = R(P)º ÌÓ ØÙ ÓÒÒ ØÙÙ ÑÝ µ¹ Ó Ò ÑÙ ÐÐ ÔØØ ÐÝÐкµ Ä Ù ½º º ÂÓ P : V V ÓÒ ÔÖÓ Ø Ó Ò Ò V = N(P) R(P)º ÌÓ ØÙ º ÆÝØ N(P) R(P) ÓÚ Ø Ð Ú ÖÙÙ º ÇÐ ÓÓÒ x V ÓÐÐÓ Ò ÚÓ Ò ØØ ÑÙÓ Ó x = x 1 + x 2 Ñ { x1 = (I P)x x 2 = Px. Ä Ù Ò ½º ÚÙÐÐ Ò x 1 R(I P) = N(P) x 2 R(P)º Ë x = x 1 + x 2 N(P) + R(P) ÓØ Ò V = N(P) + R(P)º Ç Ó Ø Ø Ò Ú Ð ØØ N(P) R(P) = {0}º ÂÓ x N(P) R(P) Ò Ò x N(P) x R(P) = N(I P)º ÌØ Ò (I P)x = 0 Ó Ú Ò Ó Px = x Px = 0, ÓØ Ò x = Px = 0º Ë V = N(P) R(P)º Ñ Ö ½º º ÇÐ ÓÓÒ Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ V = U Zº ÂÓ x V Ò Ò ÐÐ ÓÒ Ý ØØ Ò Ò ØÝ x = u + z Ñ u U z Zº ÂÓ x V Ò Ò Ñ Ö ØÒ u = Px ÓÐÐÓ Ò ÑÑ ÙÚ Ù Ò P : V Uº Ç Ó Ø Ø Ò ØØ ÙÚ Ù P ÓÒ ÔÖÓ Ø Ó ÒÓØ Ò ÔÖÓ Ø Ó Ð Ú ÖÙÙ ÐÐ U Ð Ú ÖÙÙ Ò Z ÙÙÒØ Òµº

¾ Å ØÖ Ò Ø ÓØ ÐÑ LU¹ ÓØ ÐÑ ¾º½ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÇÐ ÓÓÒ A K n n A 1, A 2,..., A n Ò Ú ¹ Ø ÔÝ ØÝÖ Ú Øº Å Ö ØÒ ÙÑÑ Ò Ø Ô Ù A = (A 1, A 2,...,A n )º ÃÙÒ ÔÓ Ø Ø Ò Ñ ØÖ Ø A Ò i Ú Ö Ú j ÔÝ ØÝÖ Ú Ò (n 1) (n 1)¹Ñ ØÖ ÓØ Ñ Ö ØÒ A(i j) Ðк Å ØÖ Ò A Ø ÖÑ Ò ÒØØ Ñ Ö ØÒ det A Ø Ó Ù ÑÝ A º È Ð ÙØ Ø Ò Ñ Ð Ò Ð Ò Ö Ð Ö Ò ÙÖ ÐÐ Ó Ó Ø ØÙØ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ø ½º Ä ÔÐ ¹ Ø ÐÑ Ú Ö Ú Ò i ÔÝ ØÝÖ Ú Ò j ÑÙ Ò det A = det A = n ( 1) i+j a ij det A(i j) j=1 n ( 1) i+j a ij det A(i j) i=1 ¾º det(a 1,...,A i,...,a j,...,a n ) = det(a 1,...,A j,...,a i,...,a n ) Ð Ò Ö Ú Ò Ô ÒÚ ØÓ ÑÙÙØØ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò Ñ Ö Òµ º det A = 0 Ó A i = A j ÓÐÐ Ò Ò ÐÐ i jº º ÂÓ Ó Ò Ö Ú A i ÓÒ ÑÙÓØÓ aa i + ba i a, b Kµ Ò Ò det A = a det A + b det A, Ñ A = (A 1,...,A i,..., A n) A = (A 1,...,A i,...,a n)º º det(c A) = c n det A Ò ÙÒ c Kº ½

¾º¾º ÁÆ Ì¹ Í À ¹Ã Î ½ º det(a 1,...,A i + ca j,..., A n ) = det A Ò ÙÒ i jº º det A Ø = det A º ÇÐ ÓÓÒ adja = [ b ij ] Ø Ñ bij = ( 1) i+j det A(i j) ÓÒ Ò º Ð ÓÒ a ij ÓØ Ó ØÓÖµº ÌÐÐ Ò A adj A = ( adja) A = det A I, Ñ adj A ÓÒ Ñ ØÖ Ò A Ò º ÙÒ ØØ Ð Ð ØØÓÑ ØÖ º º A ÓÒ ÒÒ ÐÐ Ò Ò Ó Ú Ò Ó det A 0º Ë Ó A ÓÒ ÒÒ ÐÐ Ò Ò Ò Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ò º ÒÓ ÐÐ ½¼º ÂÓ A, B K n n Ò Ò A 1 = 1 det A adja. det AB = det A det B = det B det A = det BA. Ë ÓÑ Ò ÙÙ Ò º ÚÙÐÐ ÑÑ det A 1 = 1 det A. ¾º¾ Ò Ø¹ Ù Ý ¹ Ú ÇÐ ÓÓÒ k 1 < k 2 <... < k n Ó ÓÒ ÐÙ Ù º Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ Ò Ö Ö ØÝ ¹ Ò Ò n! ÔÔ Ð ØØ Ö Ô ÖÑÙØ Ø Ó Ø (j 1, j 2,...,j n )º È ÖÑÙØ Ø Ó (j 1, j 2,..., j n ) ÐÙ ÙÔ Ö (j r, j s ) ÑÙÓ Ó Ø ÒÚ Ö ÓÒ Ó r < s j r > j s º Å Ö Òغ ÂÓ p ÓÒ Ô ÖÑÙØ Ø Ó Ò Ò τ(p) ÓÒ Ô ÖÑÙØ Ø Ó p ÒØÝÚ Ò ÒÚ Ö Ó Ò ÐÙ ÙÑÖº ÀÙÓÑ ÙØÙ º ÂÓ Ò Ò ÐÙ Ù Ò k 1 < k 2 <... < k n Ô ÖÑÙØ Ø Ó p = (j 1, j 2,..., j n ) ÚÓ Ò ÑÙÙØØ Ô ÖÙ Ô ÖÑÙØ Ø Ó (k 1, k 2,...,k n ) ÙÓÖ Ø¹ Ø Ñ ÐÐ Ô Ö Ò τ(p) ÔÔ Ð ØØ Ú Ö Ø Ò Ð Ó Ò Ô ÒÚ ØÓ º ÇÑ Ò ÙÙ Ò ½º ½¼º Ð Ñ ØÖ Ò A K n n Ø ÖÑ Ò ÒØ ÐÐ det A ÓÒ ÙÖ Ú ØÖ ÓÑ Ò ÙÙ Ð ØØÝ Ò Ô ÖÑÙØ Ø Ó Ò

¾º¾º ÁÆ Ì¹ Í À ¹Ã Î ¾¼ Ä Ù ¾º½º ÂÓ A K n n Ò Ò det A = ( 1) τ(p) a j1 1a j2 2 a jnn, p=(j 1,j 2,...,j n) Ñ ÙÑÑ ÓØ Ø Ò ÐÙ Ù Ò 1, 2,..., n Ò Ô ÖÑÙØ Ø Ó Ò ÝÐ º ÌÓ ØÙ º Ç Ó Ø Ø Ò Ú Ø Ò Ù Ø ÓÐÐ Ñ ØÖ Ò ÓÓÒ Ù Ø Òº ÂÓ n = 1 Ò Ò det A = det[a 11 ] = a 11 º Ä Ù Ò ÙÑÑ ÓÒ Ú Ò Ý Ø ÖÑ ( 1) 0 a 11 = a 11 ÓØ Ò Ú Ø ÓÒ Ó ÙÒ n = 1º ÁÒ Ù Ø Ó¹ÓÐ ØÙ Î Ø ÓÒ ØÓ (n 1) (n 1)¹Ñ ØÖ ÐÐ º ÇÐ ÓÓÒ A K n n Ñ Ö ØÒ S(A) = ( 1) τ(p) a j1 1a j2 2 a jnn. p=(j 1,j 2,...,j n) ÇÐ ÓÓÒ 1 i n Ñ Ð Ú ÐØ Ø Ú Ð ØØÙ Ñ Ö ØÒ c 1i ÐÐ Ð ÓÒ a 1i Ö¹ ÖÓ ÒØ ÙÑÑ S(A)º Ë ÙÑÑ S(A) ÔÓ Ñ Ø Ò Ò Ø ÖÑ Ø Ó j i = 1 ÔÓ Ø Ø Ò ÖÖÓ Ò a ij º ÌÐÐ Ò Ò c 1i = p=(j 1,j 2,...,jn) j i =1 ( 1) τ(p) a j1 1a j2 2 a jnn. }{{} Ø a 1i ÀÙÓÑ ØØ ÒÝØ ÙÑÑ Ó ÓÐ ÖÖÓ ÒØ a 1i ÓÒ n 1 ÔÐ Ø ÖÑ ¹ º Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÖÖÓ ÒØ c 1i Ñ Ö ØÒ q = (j 1,...,j i 1, j i+1,...,j n )º È ÖÑÙØ Ø Ó q ÓÒ Ô ÖÑÙØ Ø Ó p Ó Ø ÓÒ ÔÓ Ø ØØÙ ÐÙ Ù 1º ÆÝØ q ÓÒ ÐÙ Ù Ò 2, 3,...,n Ô ÖÑÙØ Ø Ó τ(q) = τ(p) (i 1) Ó p Ò ÒÚ Ö ÓØ (j 1, 1),..., (j i 1, 1) i 1 ÔÔ Ð ØØ µ ÚØ ÔÓ º ÌØ Ò c 1i = q ( 1) τ(q)+(i 1) a j1 1a j2 2 a jnn ( 1) 2 }{{} Ø a 1i = ( 1) i+1 q ( 1) τ(q) a j1 1a j2 2 a jnn. }{{} Ø a 1i ÃÓ A(1 i) = a 21 a 2,i 1 a 2,i+1 a 2n º º º º, a n1 a n,i 1 a n,i+1 a nn

¾º¾º ÁÆ Ì¹ Í À ¹Ã Î ¾½ Ò Ò ÑÑ ÖØÓ Ñ Ò c 1i ÑÙÓØÓÓÒ c 1i = ( 1) i+1 q ( 1) τ(q) a j1 1a j2 2 a }{{ jnn = S(A(1 i)). } Ø a 1i ÁÒ Ù Ø Ó¹ÓÐ ØÙ Ò ÒÓ ÐÐ ÝÓº ÙÑÑ Ø Ò S(A(1 i)) = det A(1 i) ÓØ Ò S(A) = = n a 1i c 1i i=1 n ( 1) 1+i a 1i det A(1 i) i=1 D10. = det A. [ ] a11 a Ñ Ö ¾º¾º 12 ÇÐ ÓÓÒ A = º ÌÐÐ Ò ÐÙ Ù Ò 1 2 Ô ÖÑÙØ ¹ a 21 a 22 Ø Ó Ø p = (j 1, j 2 ) ÓÚ Ø Ø ÑÐÐ Ò p 1 = (1, 2) p 2 = (2, 1)º ÆÝØ τ(p 1 ) = 0 τ(p 2 ) = 1 ÓØ Ò Ð Ù Ò ¾º½ ÑÙ Ò Ò ÙÑÑ ÓÒ Ó ÓÒ det Aº a 11 a 22 a 21 a 12, ÅÖ Ø ÐÑ ¾º º ÇÐ ÓÓÒ A = [ ] a ij Km n º Å ØÖ Ò A Ó Ó p p ÓÐ Ú Ñ ÒÓÖ ÓÒ a i1 j ( ) 1 a i1 j 2 a i1 j p i1 i A 2 i p a i2 j 1 a i2 j 2 a i2 j p = det j 1 j 2 j p º º º ºº º, a ipj 1 a ipj 2 a ipj p Ñ p = 1, 2,..., min{m, n}º Å ØÖ Ø A ÔÓ Ø Ø Ò Ò Ò ÑÙÙØ Ú Ö Ú Ø Ô Ø i 1, i 2,...,i p i 1 < i 2 < < i p µº Ë Ò Ð Ò ÔÓ Ø Ø Ò Ù Ø p n¹ñ ØÖ Ø ÑÙÙØ ÔÝ ØÝÖ Ú Ø Ô Ø Ö Ú Ø j 1, j 2,...,j p j 1 < j 2 < < j p µº ÃÓ Ó p p¹ Ñ ÒÓÖ ÓÒ ØÑÒ ÙÒ p p¹ñ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ ( ) i1 i 2 i p A. j 1 j 2 j p

¾º¾º ÁÆ Ì¹ Í À ¹Ã Î ¾¾ Æ Ð Ñ ØÖ Ò A K n n Ó Ó p ÓÐ Ú ÔÑ ÒÓÖ ÔÖ Ò Ô Ð Ñ ÒÓÖ µ ÙØ ÙØ Ò Ñ ÒÓÖ Ø ( ) i1 i 2 i p A. i 1 i 2 i p Æ Ð Ñ ØÖ Ò A K n n Ó Ó 1 ÓÐ Ú Ø ÔÑ ÒÓÖ Ø ÓÚ Ø ÓÒ Ð Ð ÓØ a 11 a 22 º º º a nn Ó Ó n ÓÐ Ú ÔÑ ÒÓÖ ÓÒ det Aº Ä Ù ¾º Ò Ø¹ Ù Ý ¹ Ú µº ÂÓ A K m n B K n m Ñ m n Ò Ò det AB = 1 k 1 <k 2 < <k m n ( 1 2 m A k 1 k 2 k m ) B ( ) k1 k 2 k m. 1 2 m ËÙÑÑ ÓØ Ø Ò Ò Ò Ò Ô ÖÑÙØ Ø Ó Ò (k 1, k 2,...,k n ) Ø º k ν ¹Ý ¹ ÐÑ Òµ ÝÐ ÓØ ØÓØ ÙØØ Ú Ø ÒÒ ØÙÒ ÓÒ 1 k 1 < k 2 < < k m nº ÌÓ ØÙ º Ã Ö Ó Ø Ø Ò Ñ ØÖ ØÙÐÓ AB ÙÖ Ú Ø AB = [ n i 1 =1 b i 1 1A i1 n i 2 =1 b i 2 2A i2 i 1 =1 i 2 =1 ] n i b n=1 i mma im, m m Ñ A ik ÓÒ Ñ ØÖ Ò A k ÔÝ ØÝÖ Ú ÙÒ k = 1, 2,..., m ÙÓÑ Ùѹ Ñ Ù Ò Ò Ú Ð ÒØ µº ÂÓ Ò Ò ÔÝ ØÝÖ Ú ÓÒ n Ò Ñ ØÖ Ò A ÔÝ ØÝÖ Ú ¹ Ú ØÓÖ Ò ÙÑÑ ÓØ Ò ÓÚ ÐØ Ñ ÐÐ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÓÑ Ò ÙÙØØ ØÓ ØÙ¹ Ú Ø Ò n n n det AB = b i1 1b i2 2 b imm det [ ] A i1 A i2 A im = n n i m=1 i 1 =1 i 2 =1 i m=1 n ( ) 1 2 m b i1 1b i2 2 b imm A i 1 i 2 i m ÆÝØ ÝÓº ÙÑÑ Ò Ò Ø ÖÑ Ø Ó Ñ i ν ÒØÝÝ Ò Ò Ø ÓÚ Ø ÒÓÐÐ ÓÑ Ò ÙÙ Ò º ÒÓ ÐÐ º ÌØ Ò Ò ÚÓ Ò ØØ ÔÓ ÓÐÐÓ Ò Ò det AB = 1 k 1 < <k m n p ( ) 1 2 m b i1 1b i2 2 b imm A, ¾º½µ i 1 i 2 i m Ñ Ð ÑÑ Ò Ò ÙÑÑ ÓØ Ø Ò ÐÙ Ù Ò k 1 < k 2 < < k m Ò Ô ÖÑÙØ Ø Ó Ò p = (i 1, i 2,...,i m ) ÝÐ º

¾º¾º ÁÆ Ì¹ Í À ¹Ã Î ¾ ÂÓ Ò Ò Ô ÖÑÙØ Ø Ó p = (i 1, i 2,...,i m ) ÚÓ Ò ÑÙÙØØ Ø Ò Ô ÖÙ Ô Ö¹ ÑÙØ Ø Ó ÙÓÖ ØØ Ñ ÐÐ τ(p) ÔÔ Ð ØØ Ú Ö Ø Ò Ð Ó Ò Ô ÒÚ ¹ ØÓ º ÂÓ Ø Ô ÒÚ ØÓ Ú Ø Ò ÔÝ ØÝÖ Ú Ò Ú ØÓ Ø ÖÑ Ò ÒØ ( ) 1 2 m A, i 1 i 2 i m ÓØ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò Ñ Ö Ú ØÙÙ τ(p) ÖØ º ÌØ Ò ( ) ( ) 1 2 m 1 2 m A = ( 1) τ(p) A. i 1 i 2 i m k 1 k 2 k m Ë ÖØÓ Ñ Ò c 1i Ð ÙÔ Ö Ø Ð Ù Ø ¾º½µ Ò ( ) 1 2 m det AB = A ( 1) τ(p) b i1 1b i2 2 b imm k 1 k 2 k m 1 k 1 < <k m n p=(i 1,i 2,...,i m) ( ) ( ) 1 2 m k1 k 2 k m = A B k 1 k 2 k m 1 2 m 1 k 1 < <k m n Ð Ù Ò ¾º½ ÒÓ ÐÐ º ÌÑ ÓÐ ÐÙØØÙ ÑÙÓØÓº Ë ÙÖ Ù ¾º º ÂÓ A K n n B K n n Ò Ò ÒÓ k ν ¹Ý ÐÑ Ó ØÓØ ÙØØ ÒÒ ØÙÒ ÓÒ ÓÒ Ý ÐÑ 1, 2,..., nº ÌÐÐ Ò det AB = det A det B. Ñ Ö ¾º º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ñ ØÖ ÚÖغ Ö Ó ØÙ ¾ Ø ØÚ µ [ ] c 1 d 1 a1 a 2 a 3 A = K 2 3 B = c 2 d 2 K 3 2. b 1 b 2 b 3 c 3 d 3 ÌÐÐ Ò ØÙÐÓÒ AB Ø ÖÑ Ò ÒØØ Ò Ò Ø¹ Ù Ý ¹ Ú ÝØØÑÐÐ ÑÙÓØÓÓÒ det AB = 1 k 1 <k 2 3 ( 1 2 = A 1 2 = a 1 a 2 b 1 b 2 ( ) ( ) 1 2 k1 k 2 A B k 1 k 2 1 2 ) ( ) ( ) 1 2 1 2 B + A B 1 2 1 3 c 1 d 1 c 2 d 2 + a 1 a 3 b 1 b 3 c 1 d 1 c 3 d 3 ( ) ( ) 1 3 1 2 + A B 1 2 2 3 + a 2 a 3 b 2 b 3 c 2 d 2 c 3 d 3 ( ) 2 3 1 2

¾º º Å ÌÊÁÁËÁÆ ËÌ ¾ ¾º Å ØÖ Ò Ø Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ò Ò Ð Ò Ö Ø ÙÚ Ø A: V W º ÌÐÐ Ò Ð Ò Ö Ò Ù¹ Ú Ù Ò A Ø r(a) ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÚ ¹ Ú ÖÙÙ Ò R(A) Ñ Ò ÓÒ Ø º r(a) = dim R(A). ÂÓ A K m n Ò Ò ÝØ ØÒ Ñ ØÖ Ò ÝØ Ñ ÐÐ ÙÚ ¹ Ú ÖÙÙ ÐÐ ÑÓ Ñ Ö ÒØ Ù Ò Ð Ò Ö ÐÐ ÙÚ Ù ÐÐ º Ë N(A) = {x K n : Ax = 0} R(A) = {y K m : Ax = y ÓÐÐ Ò x K n }. ÅÝ Ñ Ö ÒÒØ Ker (A) Im (A) ÓÚ Ø ÝÐ Ø ÝØ ØØÝ º Å ØÖ Ò A K m n Ø ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ Ù ÐÐ Ý ØÔ ØÚÐе Ø Ú ÐÐ º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º º ÇÐ ÓÓÒ A K m n º µ Å ØÖ Ò A Ú Ö Ú Ø ÓÒ A Ò Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ò Ú ¹ Ö Ú Ò Ñ Ñ ÑÖº Ë A Ò Ú Ö Ú Ø ÓÒ dim Row (A) = dim L{A (1), A (2),...,A (m) }, Ñ A (i) ÓÒ Ñ ØÖ Ò i Ú Ö Ú º µ Å ØÖ Ò A ÔÝ ØÝÖ Ú Ø ÓÒ A Ò Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ò ÔÝ ¹ ØÝÖ Ú Ò Ñ Ñ ÑÖº Ë A Ò ÔÝ ØÝÖ Ú Ø ÓÒ dim Col (A) = dim L{A 1, A 2,...,A n }, Ñ A j ÓÒ Ñ ØÖ Ò j ÔÝ ØÝÖ Ú º µ Å ØÖ Ò A Ø ÖÑ Ò ÒØØ Ø ÓÒ ÙÙÖ Ò ÐÐ Ò Ò k ØØ Ñ ØÖ Ò A k k¹ñ ÒÓÖ ÓÒ Ö Ù Ò ÒÓÐÐ Ø º Ó Ò Ñ ÒÓÖ ( ) i1 i 2 i k A 0. j 1 j 2 j k

¾º º Å ÌÊÁÁËÁÆ ËÌ ¾ Ñ Ö ¾º º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ñ ØÖ 1 3 3 2 A = 2 6 9 5 R 3 4. 1 3 3 0 ÌÐÐ Ò Ñ ØÖ A ÓÒ Ð Ò Ö Ò Ò ÙÚ Ù A: R 4 R 3 º ÇÐ ÓÓÒ A (i) Ñ ØÖ Ò A i Ú Ö Ú A j Ñ ØÖ Ò A j ÔÝ ØÝÖ Ú º ÆÝØ A (3) = 2A (2) 5A (1) Ú Ö Ú Ø A (1) A (2) ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øº ÌØ Ò Ñ ØÖ Ò A Ú Ö Ú Ø ÓÒ ¾º Î Ø Ú Ø A 2 = 2A 1 A 4 = A 1 + 1 3 A 3 Ñ A 1 A 3 ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ º Ë Ñ ØÖ Ò A ÔÝ ØÝÖ Ú Ø ÓÒ ÑÝ ¾º Ä ( ) [ ] 1 3 1 2 A = det = 2 0, 1 4 1 0 ÓØ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ Ø ÓÒ Ú ÒØÒ ¾º ÌÓ ÐØ 3 3 ¹Ñ ÒÓÖ Ø Ôе ÓÚ Ø ÒÓÐÐ ÓØ Ò Ñ ØÖ Ò A Ø ÖÑ Ò ÒØØ Ø ÓÒ ¾º ÐÐ Ò Ñ Ö Ú Ö Ú ¹ ÔÝ ØÝÖ Ú Ø ÖÑ Ò ÒØØ Ø Ø ÓÚ Ø ÑÓ¹ º ÌÑ ÓÐ ØØÙÑ ÐÐ Ð Ù Ò ¾º ¾º½¼ ÒÓ ÐÐ ÒÑ Ø Ø ÓÚ Ø Ò ÑÓ º Ä Ù ¾º º ÂÓ A K m n Ò Ò dim R(A) = dim Row (A) = dim Col (A) Ø º Ú ¹ ÔÝ ØÝÖ Ú Ø Ø ÓÚ Ø Ñ Øº ÌÓ ØÙ º à º Ä Ò Ö Ð Ö Á ² ÁÁºµ Ç Ó Ø Ø Ò Ú Ð ØØ Ñ ØÖ Ò A K m n Ø ÖÑ Ò ÒØØ Ø ÓÒ Ñ Ù Ò Ñ ØÖ Ò A Ú ¹ ÔÝ ØÝÖ Ú Ø º Ä Ù ¾º½¼º ÂÓ Ñ ØÖ Ò A K m n Ø ÖÑ Ò ÒØØ Ø ÓÒ k ( ) i1 i 2... i k A 0, j 1 j 2... j k Ò Ò Ñ ØÖ Ò A ÔÝ ØÝÖ Ú Ø j 1, j 2,...,j k ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ó Ò Ò ÔÝ ØÝÖ Ú ÓÒ Ò Ò Ð Ò Ö Ò Ò Ý Ø º ÌØ Ò Ñ ØÖ Ò A Ø ÖÑ ¹ Ò ÒØØ Ø ÓÒ Ñ Ù Ò Ñ ØÖ Ò A ÔÝ ØÝÖ Ú Ø º

¾º º Å ÌÊÁÁËÁÆ ËÌ ¾ ÌÓ ØÙ º ÃÓ Ú ¹ ÔÝ ØÝÖ Ú Ò Ö ØÝ Ò Ú Ø Ñ Ò Ò Ñ ØÖ A Ú ÙØ Ø ÖÑ Ò ÒØØ Ø Ò ÔÝ ØÝÖ Ú Ø Ò Ö ØØ Ø Ö Ø ÐÐ Ñ ÒÓÖ ÆÝØ Ò A A ( ) 1 2 k 0. 1 2 k a 11 a 1k a 1s ( ) 1 2 k t º = det º ºº º º 1 2 k s a k1 a kk a ks a t1 a tk }{{ a ts } Ñ Ö º B Ò ÙÒ t = 1, 2,..., m s = 1, 2,..., nº ÂÓ t k Ø s k Ò Ò ÝÓº det B = 0 ÐÐ ØÐÐ Ò Ñ ØÖ B ÓÒ Ñ Ú ¹ Ø ÔÝ ØÝÖ Ú º ÂÓ t > k s > k Ò Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ Ø Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ ÒÓ ÐÐ det B = 0º ÇÐ ÓÓÒ c 1, c 2,...,c k c s Ú Ñ Ò Ú Ö Ú Ò Ð Ó Ò ÓØ Ø Ø º c j = ( 1) t+j det B(t j)º ÌÐÐ Ò det B = A c s = A ÐÐ t = 1, 2,..., mº ÌØ Ò ( ) 1 2 k 0 1 2 k ( ) 1 2 k t = a t1 c 1 +... + a tk c k + a ts c s = 0 1 2 k s c 1 A 1 + c 2 A c +...c k A k + c s A s = 0, ¾º¾µ Ñ A i ÓÒ Ñ ØÖ Ò A i ÔÝ ØÝÖ Ú º ÃÓ ¾º¾µ ÑÙ Ò c s 0 Ò Ò ÑÑ ( A s = c ) ( 1 A 1 + c ) ( 2 A 2 +... + c ) k A k c s c s c s Ò ÙÒ s = 1, 2,..., nº ÌØ Ò Ð Ù Ò Ð ÑÑ Ò Ò Ú Ø ÓÒ ØÓ Ø Ø¹ ØÙº Ç Ó Ø Ø Ò Ú Ð ÔÝ ØÝÖ Ú Ò A 1, A 2,...,A k Ð Ò Ö Ò Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ α 1 A 1 + α 2 A 2 +... + α k A k = 0,

¾º º Å ÌÊÁÁËÁÆ ËÌ ¾ Ñ α i Kº ÌÐÐ Ò α 1 a 11 a 21 a 12 a 22 a 1k a 2k º + α 2 º +... + α k º = 0, a k1 a k2 a kk Ð a 11 a 12 a 1k α 1 a 21 a 22 a 2k α 2 º º º ºº = 0. º º ÃÓ det C = A a k1 a k2 a kk α k }{{}}{{} Ñ Ö º C Ñ Ö º x ( ) 1 2 k 0 Ò Ò Ñ ØÖ C ÓÒ ÒØÝÚº Ë ÓÒ 1 2 k ÓÐØ Ú x = 0 Ð α 1 = α 0 =... = α k = 0º Å ØÖ Ò A K m n Ø ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ Ú Ö Ú ¹ ÔÝ ØÝÖ Ú ¹ Ø Ø ÖÑ Ò ÒØØ Ø Ò ÚÙÐÐ Ñ Ö ØÒ r(a)º Ä ÑÑ ÙÖ Ú Ò ØÙ¹ ÐÓ Ò ÝØØÑÐÐ ÝÚ Ð Ò Ö Ð Ö Ø ØÙØØÙ ØÙÐÓ Ø Ó A: V W dim V < µ ÓÒ Ð Ò Ö Ò Ò ÙÚ Ù Ò Ò dim V = dim R(A) + dim N(A)º Ä Ù ¾º½½º ÂÓ A K m n Ò Ò r(a) = dim R(A) = n dim N(A). Ë ÙÖ Ù ¾º½¾º ÇÐ ÓÓÒ A K n n º ÌÐÐ Ò ÙÖ Ú Ø ÓØ ÓÚ Ø Ý ØÔ ØÚ µ Å ØÖ A ÓÒ ÒÒ ÐÐ Ò Ò µ ÃÒØ Ñ ØÖ A 1 ÓÒ ÓÐ Ñ µ det A 0 µ r(a) = n µ Å ØÖ Ò A Ú Ö Ú Ø ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø µ Å ØÖ Ò A ÔÝ ØÝÖ Ú Ø ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø

¾º º Å ÌÊÁÁËÁÆ ËÌ ¾ µ dim R(A) = n µ dim N(A) = 0 µ ØÐ ÐÐ Ax = b ÓÒ Ø ÑÐÐ Ò Ý Ö Ø Ù Ò ÙÒ b K n µ ØÐ ÐÐ Ax = 0 ÓÒ Ú Ò ØÖ Ú Ð Ö Ø Ù x = 0º Ä Ù ¾º½ º µ r(a+b) r(a)+r(b) Ò ÙÒ A+B ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ µ r(ab) min{r(a), r(b)} Ò ÙÒ AB ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ µ r(ab) = r(a) r(ba) = r(a) Ò ÙÒ B ÓÒ ÒÒ ÐÐ Ò Ò Ñ Ø¹ Ö Ò ØÙÐÓ ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ Ø º ÒÒ ÐÐ ÐÐ Ñ ØÖ ÐÐ ÖØÓÑ Ò Ò Ú ÙØ Ñ ØÖ Ò Ø Ò Úµ N(A) = N(A A) r(a) = r(a A)º ÌÓ ØÙ º µ ÇÐ ÓÓÒ A = [ A 1 A 2 A n ] Km n B = [ B 1 B 2 B n ] K m n ÔÝ ØÝÖ Ú Ó ØÙ º ÌÐÐ Ò ÓØ Ò A + B = [ A 1 + B 1 A 2 + B 2 A k + B k ], r(a + B) = dim R(A + B) = dim L{A 1 + B 1, A 2 + B 2,...,A k + B k } dim L{A 1, A 2,..., A k, B 1, B 2,...,B k } dim L{A 1, A 2,..., A k } + dim L{B 1, B 2,..., B k } = dim R(A) + dim R(B) = r(a) + r(b). µ Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ñ ØÖ A K m p B K p n Ñ Ö ØÒ Ñ ØÖ ¹

¾º º Å ÌÊÁÁËÁÆ ËÌ ¾ Ò A B Ú ¹ ÔÝ ØÝÖ Ú Ó ØÙ Ø ÙÖ Ú Ø A = [ ] A 1 A 2 A p = A 1 A 2 º A m B 1 B 2 B p B = [ ] B 1 B 2 B n = º ÆÝØ Ñ ØÖ Ò AB i ÔÝ ØÝÖ Ú ÓÒ b 1i b 2i AB i = [ ] A 1 A 2 A p º = b 1iA 1 + b 2i A 2 +... + b pi A p, b pi ÓØ Ò ÔÝ ØÝÖ Ú Ø AB i L{A 1, A 2,..., A p } i = 1, 2,..., nµº Ë Ò Ò ÔÝ ØÝÖ Ú Ø Ò ÚÙÐÐ ØØ r(ab) r(a)º ÌÓ ÐØ Ñ ØÖ Ò AB j Ú Ö Ú ÓÒ B 1 B 2 A j B = [ ] a j1 a j2 a jp º = a j1b 1 + a j2b 2 +... + a jpb p. B p Ë Ñ ØÖ Ò AB Ú Ö Ú Ø A jb L{B 1, B 2,..., B p} j = 1, 2,..., mµ ÓØ Ò r(ab) r(b) Ú Ö Ú Ø Ò º ÌØ Ò Ò r(ab) min{r(a), r(b)}. µ ÐÐ Ò Ó Ò ÒÓ ÐÐ r(a) = r(abb 1 ) r(ab) r(a), ÓØ Ò r(a) = r(ab) Ò ÙÒ B ÓÒ ÒÒ ÐÐ Ò Ò ØÙÐÓ AB ÓÒ Ñ¹ Ö Ø ÐØݺ Î Ø Ú ÔØØ ÐÝ Ó Ó ØØ ØØ r(a) = r(ba) ÙÒ ØÙÐÓ ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ B ÓÒ ÒÒ ÐÐ Ò Òº

¾º º Å ÌÊÁÁËÁÆ ËÌ À ÂÇÌ ÄÅ ¼ Úµ ÇÐ ÓÓÒ x K n A K m n º ÂÓ x N(A) Ò Ò Ax = 0 ÓØ Ò A Ax = 0º ÌØ Ò x N(A A)º ÌÓ ÐØ Ó x N(A A) Ò Ò A Ax = 0º Ë x A Ax = 0 ÓØ Ò (Ax) Ax = (Ax Ax) = 0º ÌØ Ò Ax = 0 ÓØ Ò x N(A) N(A) = N(A A)º Ç Ó Ø Ø Ò Ú Ð ØØ R(A) = R(A A)º ÆÝØ A A K n n A K m n ÓØ Ò r(a) = dim R(A) = n dim N(A) = n dim N(A A) = dim R(A A) = r(a A). ¾º Å ØÖ Ò Ø ÓØ ÐÑ Ë ÙÖ Ú Ð Ù Ó Ó ØØ ØØ Ó Ò Ò Ñ ØÖ A K m n ÚÓ Ò ØØ ØÝØØ Ø ØØ ÓÐ Ú Ò Ñ ØÖ Ò ØÙÐÓÒ º Ä Ù ¾º½ Ø ÓØ ÐÑ µº ÇÐ ÓÓÒ Ñ ØÖ Ò A K m n Ø r(a) = rº ÌÐÐ Ò Ñ ØÖ A ÚÓ Ò ØØ ÑÙÓ Ó A = PQ Ñ P K m r Q K r n r(p) = r(q) = rº Ä ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ø ÒÒ ÐÐ Ø Ñ ØÖ Ø B K m m C K n n ØØ [ ] Ir 0 A = B C. 0 0 ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ A K m n r(a) = rº ÌÐÐ Ò r n r mº Ì ¹ Ò Ñ ØÖ ÐÐ A ÔÝ ØÝÖ Ú Ó ØÙ A = [ ] A 1 A 2 A n º ÃÓ r = r(a) Ò Ò ÔÝ ØÝÖ Ú Ø Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ ÑÙ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ÔÝ ØÝÖ Ú Ø A k1, A k2,...,a kr ØØ α 1i α 2i A i = α 1i A k1 + α 2i A k2 +... + α ri A kr = [ ] A k1 A k2 A kr º α ri

¾º º LU¹À ÂÇÌ ÄÅ ½ Ò ÙÒ i = 1, 2,..., nº ÌØ Ò A = [ ] A 1 A 2 A n α 11 α 12 α 1n = [ ] α 21 α 22 α 2n A k1 A k2 A kr }{{} º º º ºº º Ñ Ö º P α r1 } α r2 {{ α rn } Ñ Ö º Q ÆÝØ P K m r Q K r n º ÂÓ r(q) < r Ò Ò r = r(a) = r(pq) min{r(p), r(q)} < r Ñ ÓÒ Ö Ø Ö Ø º Ë ÔÝ ØÝÖ Ú Ø Ò ÑÙ Ò r(p) = r r(q) = rº ÌÝ ÒÒ ØÒ Ñ ØÖ P m m¹ñ ØÖ B Ð ÑÐÐ Ð Ò Ö Ø Ö Ô¹ ÔÙÑ ØØÓÑ ÔÝ ØÝÖ Ú m p ÔÔ Ð ØØ º ÌÐÐ Ò r(b) = m ÔÝ ØÝÖ Ú Ø Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ ÒÓ ÐÐ º Ë ÑÓ Ò ÚÓ Ò ØÝ ÒØ Ñ ØÖ Q ÐÐ n n¹ Ñ ØÖ C ØØ r(c) = n Ú Ö Ú Ø Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ ÒÓ ÐÐ º ÌØ Ò B C ÓÚ Ø ÒÒ ÐÐ Ñ B = [ P R ] C = [ ] Q. S µ Ä B [ ] Ir 0 C = [ P R ][ ][ ] I r 0 Q 0 0 0 0 S = PQ = A. ¾º LU¹ ÓØ ÐÑ ÂÓ Ñ ØÖ A K n n ÚÓ Ò ÓØØ Ð ¹ ÝÐ ÓÐÑ ÓÑ ØÖ Ò ØÙÐÓ A = LU Ò Ò Ñ Ö Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò Ý ØÐ ÖÝ ÑÒ Ax = b Ö Ø ¹ Ñ Ò Ò ÐÔÓØØÙÙ ÙÓÑ ØØ Ú Ø º ØÐ ÖÝ Ñ Ax = b ÚÓ Ò Ö Ø Ø Ö Ø Ñ ÐÐ Ò Ò Ý ØÐ Ly = b ÓÒ Ð Ò Ý ØÐ Ux = y º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½ º Å ØÖ Ò A K n n Ó Ø Ú Ø ÔÑ ÒÓÖ Ø ÓÚ Ø ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 2 n A, A,..., A. 1 1 2 1 2 n

¾º º LU¹À ÂÇÌ ÄÅ ¾ Ä Ù ¾º½ LU¹ ÓØ ÐÑ µº ÇÐ ÓÓÒ A K n n A ( ) 1 2 k 0 (k = 1, 2,..., n 1). 1 2 k ÌÐÐ Ò Ñ ØÖ ÐÐ A ÓÒ ØÙÐÓ ÓØ ÐÑ A = LU Ñ U ÓÒ ÝÐ ÓÐÑ ÓÑ Ø¹ Ö L ÓÒ ÐÐ Ò Ò Ð ÓÐÑ ÓÑ ØÖ ÓÒ ÓÒ Ð Ð ÓØ ÓÚ Ø Ý º Ä Ñ ØÖ Ø L U ÓÚ Ø Ý ØØ º ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ A i Ñ ØÖ Ò A Ú Ò i i¹ýð ÙÐÑ Ø º a 11 a 1i A i = º º ºº º. a i1 a ii ÌÐÐ Ò A = A n ÙÒ Ò ÝÐ ÙÐÑ Ò A i Ó Ø Ú Ø ÔÑ ÒÓÖ Ø ÓÚ Ø ÑÝ Ñ ØÖ Ò A Ó Ø Ú ÔÑ ÒÓÖ º Ä ÓÐ ØÙ Ò ÑÙ Ò Ò ÓÚ Ø ÒÓÐÐ Ø ÖÓ Ú Ó ÓÓÒ n 1 º Ç Ó Ø Ø Ò Ò Ù Ø ÓÐÐ ØØ Ð Ù Ò Ú Ø Ô Ø Ô Ò Ó ÐÐ A i ÓÐÐÓ Ò Ú Ø Ò ÙÒ i = nº ÂÓ i = 1 Ò Ò Ú Ø ÓÒ ÐÚ ÐÐ A 1 = [a 11 ] = [1][a ii ] ÓÒ Ú ØØÙ ÑÙÓØÓ ÓÐ Ú ØÝ º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ð Ù ÓÒ ØÓ Ñ ØÖ ÐÐ A k 1 k 1 < nµ Ø º A k 1 = L k 1 U k 1 Ñ Ñ ØÖ Ø L k 1 U k 1 ÓÚ Ø Ý ØØ Ø Ú ØØÙ ÑÙÓØÓ ÓÐ Ú Ø Ñ ØÖ Øº ÃÓ Ð Ù Ò ÓÐ ØÙ Ø Ò ÑÙ Ò 0 det A k 1 = det L k 1 det U k 1 = 1 k 1 det U k 1, Ò Ò ÑÝ det U k 1 0 Ø º Ñ ØÖ Ø U k 1 L k 1 ÓÚ Ø ÒÒ ÐÐ º Ì Ö ¹ Ø ÐÐ Ò Ð Ù Ò Ú Ø ØØ ÝÐ ÙÐÑ ÐÐ A k º ÄÓ ÓØ Ò Ñ ØÖ Ø A k L k U k ÙÖ Ú Ø A k = A k 1 v u a kk k k L k = L k 1 0 x 1 k k U k = U k 1 y 0 α Ç Ó Ø Ø Ò ØØ Ý Ø ÙÙÖÙÙ A k = L k U k ÔØ ÓÔ Ú ÐÐ Ú ØÓÖ Ò x K 1 (k 1) y K (k 1) 1 Ú Ó α K Ú Ð ÒÒÓ ÐÐ º ÆÝØ A k = L k U k Ó k k

¾º º LU¹À ÂÇÌ ÄÅ Ú Ò Ó A k 1 = L k 1 U k 1 xu k 1 = v L k 1 y = u xy + α = a kk º Ë A k 1 = L k 1 U k 1 x = vu 1 k 1 y = L 1 k 1 u α = a kk xy (ØÓ Ò Ù Ø Ó¹ÓÐ ØÙ Ò ÒÓ ÐÐ ) (ØÓ Ó U k 1 ÓÒ ÒÒ ÐÐ Ò Ò) (ØÓ Ó L k 1 ÓÒ ÒÒ ÐÐ Ò Ò) (ØÓ Ó ØÙÐÓ xy ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ) Ä ÝÓº ÓØ ØÓØ ÙØÙÚ Ø Ý ØØ Ø ÓØ Ò Ñ ØÖ A k ÓÒ Ý Ø¹ Ø Ø ÐÙØØÙ ÑÙÓØÓ A k = L k U k Ò ÙÒ k nº Ë Ú Ø ÓÒ ØÓ ÑÝ Ñ ØÖ ÐÐ A = A n º ÀÙÓÑ ÙØÙ º Ä Ù Ò ¾º½ ÚÙÐÐ ÚÓ Ò Ó Ó ØØ ØØ Ó ( ) 1 2 k A 0 Ò ÙÒ k = 1, 2,..., r(a), 1 2 k Ò Ò A = LU Ñ L ÓÒ Ð ¹ U ÝÐ ÓÐÑ ÓÑ ØÖ º Ä ØÓ Ò Ò Ò Ø ÚÓ Ò Ú Ð Ø ÒÒ ÐÐ ÓÐÐÓ Ò ØÑÒ Ø ÓÒ Ñ Ù Ò r(a)º Å ØÖ Ò LU¹ ÓØ ÐÑ ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ ÑÝ ØÓ ÒÐ Ò Ò Ú Ö Ó ÙÒ Ñ Ø¹ Ö A K n n ÓÒ ÖÑ ØØ Ò Ò Ø º A = Aµ ÔÓ Ø Ú Ø Ò ØØ Ø º x Ax > 0 Ò ÙÒ x K n \ {0}µº ÌÐÐ Ò Ñ ØÖ ÐÐ A Ò Ò º ÓÐ ¹ ÝÒ ÓØ ÐÑ A = LL Ñ L ÓÒ Ð ÓÐÑ ÓÑ ØÖ º ÌÓ ØÙ ÓÒ Ú Ø Ú Ù Ò Ð Ù Ò ¾º½ ØÓ ØÙ º ÀÙÓÑ ÙØÙ º ÂÓ A = [ a ij ] Kn n ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ø Ò ØØ Ò Ò a ii > 0 ÐÐ i = 1, 2,..., n Ó a ii = e iae i > 0 Ñ e i K n ÓÒ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ò ÒÒ Ò Ú ØÓÖ º Ä ÑÑ ¾º½ º ÂÓ A K n n ÓÒ ÖÑ ØØ Ò Ò ÔÓ Ø Ú Ø Ò ØØ Ò Ò Ó Ò Ò ÐÓ ÓÑ ØÖ a 11 a 12 a 1p a 21 a 22 a 2p A p = º º ººº º a p1 a p2 a pp p p ÓÒ ÑÝ ÖÑ ØØ Ò Ò ÔÓ Ø Ú Ø Ò ØØ º (p n)

¾º º LU¹À ÂÇÌ ÄÅ ÌÓ ØÙ º À ÖÑ ØØ ÝÝ ÓÒ ÐÚº ÇÐ ÓÓÒ x p K p ØÝ ÒÒ ØÒ Ú ØÓÖ x p Ú ÖÙÙ Ò K n Ú ØÓÖ x Ð ÑÐÐ ÓÓÖ Ò ØØ Ò p + 1, p + 2,..., n ÒÓÐÐ º ÌÐÐ Ò ÓÐ ØÙ Ò ÒÓ ÐÐ º x pa p x p = x Ax > 0 Ä ÑÑ ¾º½ º ÂÓ A K n n ÓÒ ÖÑ ØØ Ò Ò ÔÓ Ø Ú Ø Ò ØØ Ò Ò det A > 0º ÌÓ ØÙ º Ã Ø Ó ÔÔ Ð º Ñ ØÖ Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ Ø ÓÑ Ò Ú ØÓÖ ¹ Ø ºµ À ÖÑ ØØ Ò Ñ ØÖ Ò A K n n ÓÑ Ò ÖÚÓØ ÓÚ Ø Ö Ð Ø Ö Ó ØÙ Ø ¹ ØÚµº ÃÓ A ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ø Ò ØØ Ò Ò 0 < x Ax = x (λx) = λ x x = λ(x x) Ò ÙÒ λ ÓÒ Ñ ØÖ Ò A ÓÑ Ò ÖÚÓ x ÓÒ Ø Ú Ø Ú ÓÑ Ò Ú ØÓÖ º ÌØ Ò ÔÓ Ø Ú Ø Ò Ø Ò Ñ ØÖ Ò ÓÑ Ò ÖÚÓØ λ ÓÚ Ø ÑÝ Ó Ø ÔÓ¹ Ø Ú º ÃÓ det A ÓÒ ÓÑ Ò ÖÚÓ Ò ØÙÐÓ Ø Ó ÙÓÑ ÙØÙ ÚÙÐÐ µ Ò Ò det A > 0º Ë ÙÖ Ù ¾º½ ÓÐ ÝÒ ÓØ ÐÑ µº ÇÐ ÓÓÒ A K n n ÖÑ ØØ Ò Ò ¹ ÔÓ Ø Ú Ø Ò ØØ º ÌÐÐ Ò A = LL Ñ L ÓÒ Ð ÓÐÑ ÓÑ ØÖ ÓÒ ÓÒ Ð Ð ÓØ ÓÚ Ø Ó Ø ÔÓ Ø Ú º Ä ÓØ ÐÑ ÓÒ Ý ¹ ØØ Ò Òº ÌÓ ØÙ º Ç Ó Ø Ø Ò Ð Ù Ò Ù Ø ÓÐÐ Ñ ØÖ Ò A K n n ÓÓÒ Ù Ø Òº ÂÓ A ÓÒ 1 1¹Ñ ØÖ A = [ a 11 ] R1 1 µ Ò Ò Ú Ø ÓÒ ÐÚº Å Ö ØÒ Ñ ØÖ Ò A K n n i i¹ýð ÙÐÑ a 11 a 12 a 1i a 21 a 22 a 2i A i = º º º ºº º. a i1 a i2 a ii ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ú Ø ÓÒ ØÓ Ñ ØÖ ÐÐ A k 1 (k 1 < n) Ó ÓÒ ÖÑ ØØ Ò Ò ÔÓ Ø Ú Ø Ò ØØ º Ë A k 1 = L k 1 L k 1 º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ñ ØÖ A k

¾º º LU¹À ÂÇÌ ÄÅ Ø ØÒ ÐÓ ÓÑÙÓ Ó A k = A k 1 b b a kk k k = L k 1 0 c α = L k 1 L k 1 c L k 1 L k 1 c 0 α L k 1 c c c + α α ÆÝØ ÝÓº ÐÓ ÓÑÙÓØÓ Ò Ò ØÙÐÓ ÓÒ ÚÓ Ñ Ó ÚÓ ÑÑ Ú Ð Ø Ú ØÓÖ Ò c K k 1 Ú ÓÒ α K Ø Ò ØØ L k 1 c = b a kk = c c + α 2 º ÃÓ det L k 1 > 0 Ò Ò L k 1 ÓÒ ÒØÝÚº ÌØ Ò ÚÓ ÑÑ Ú Ð Ø Ú ØÓÖ Ò c = L 1 k 1 b Ý ØØ Ø º Ç Ó Ø Ø Ò Ú Ð ØØ Ú Ó α K ÚÓ Ò Ú Ð Ø Ø Ò ØØ α 2 = a kk c c. Ê ØØ Ó Ó ØØ ØØ a kk c c > 0 ÓÐÐÓ Ò ÚÓ ÑÑ Ú Ð Ø α = a kk c cº ÆÝØ Ð ÑÑ Ò ¾º½ ÒÓ ÐÐ 0 < det A k = det = det = det = det = det A k 1 b A k 1 b a kk = det A k 1 b b A 1 b 0 a kk b (L k 1 L k 1 ) 1 b A k 1 0 a kk b (L 1 k 1 ) L 1 A k 1 b k 1 b b 0 a kk (L 1 k 1 }{{} b ) L 1 k 1 }{{} b =c =c A k 1 k 1 A k 1 b = det A k 1 (a kk c c). 0 a kk c c b a kk b A 1 k 1 b

¾º º LU¹À ÂÇÌ ÄÅ Ä ÑÑ Ò ¾º½ ÒÓ ÐÐ ÑÝ det A k 1 > 0 ÓØ Ò a kk c c = det A k det A k 1 > 0º ÌØ Ò ÑÝ α K Ø α Rµ ÚÓ Ò Ú Ð Ø Ø Ò ØØ A k = L k L k ÓÒ ÐÙØØÙ ÑÙÓØÓ º Î Ø ÙÖ Ò Ù Ø ÓÔ Ö ØØ Ò ÒÓ ÐÐ Ó A n = Aº

ÇÑ Ò ÖÚÓØ ÓÑ Ò Ú ØÓÖ Ø º½ ÁÒÚ Ö ÒØ Ø Ð Ú ÖÙÙ Ø ÇÐ Ø Ø Ò ØØ V ÓÒ Ö ÐÐ ÙÐÓØØ Ò Ò K¹ ÖØÓ Ñ Ò Ò Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ ÙØ Ò ÑÑ Ò Òº ÅÖ Ø ÐÑ º½º ÇÐ ÓÓÒ A: V V Ð Ò Ö Ò Ò ÙÚ Ù S V Ò Ð Ú ÖÙÙ º Ð Ú ÖÙÙ S ÓÒ ÒÚ Ö ÒØØ ÙÚ Ù Ò A Ù Ø Ò A¹ ÒÚ Ö ÒØØ µ Ó Ax S ÐÐ Ú ØÓÖ ÐÐ x Sº Ñ Ö º¾º ÌÖ Ú Ð Ø Ø Ô Ù Ø {0} V ÓÚ Ø Ú ÖÙÙ Ò V ÒÚ Ö Òع Ø Ð Ú ÖÙÙ Ñ Ò Ø Ò Ð Ò Ö Ò ÙÚ Ù Ò Ù Ø Òº Ä Ù º º ÂÓ A: V V ÓÒ Ð Ò Ö Ò Ò ÙÚ Ù Ò Ò Ð Ú ÖÙÙ Ø N(A) R(A) ÓÚ Ø A¹ ÒÚ Ö ÒØØ º Ä Ó Ò Ò Ú ÖÙÙ Ò R(A) Ð Ú ÖÙÙ ÓÒ A¹ ÒÚ Ö ÒØØ º ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ x N(A) ÓÐÐÓ Ò Ax = 0º ÃÓ ÑÝ 0 N(A) Ò Ò N(A) ÓÒ A¹ ÒÚ Ö ÒØØ º ÇÐ ÓÓÒ y R(A) ÓÐÐÓ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ x V Ø Ò ØØ Ax = yº ÃÓ Ay = A(Ax) R(A) Ò Ò Ay R(A)º Ë R(A) ÓÒ A¹ ÒÚ Ö ÒØØ º Ì ØÚ ¾º ÇÐ ÓÓÒ A, B: V V Ð Ò Ö ÙÚ Ù º Ç Ó Ø ØØ Ó AB = BA ÙÚ Ù Ø Ò Ý ØÑ Ò Òµ Ò Ò N(B) R(B) ÓÚ Ø A¹ ÒÚ Ö ÒØØ º Ì ØÚ º ÇÐ ÓÓÒ A: V V Ð Ò Ö Ò Ò ÙÚ Ù º Ç Ó Ø ØØ A¹ ÒÚ Ö ÒØØ Ò Ð Ú ÖÙÙ Ò ÙÑÑ Ø Ð Ù Ø ÔÝ ÝÚØ A¹ ÒÚ Ö ÒØØ Ò º Ä Ù º º ÇÐ ÓÓÒ {x 1, x 2,...,x k } Ú ÖÙÙ Ò V Ð Ú ÖÙÙ Ò S ÒØ ÓÐ ÓÓÒ A: V V Ð Ò Ö Ò Ò ÙÚ Ù º ÌÐÐ Ò Ð Ú ÖÙÙ S ÓÒ A¹ ÒÚ Ö ÒØØ Ó Ú Ò Ó Ax i S ÐÐ i = 1, 2,..., kº

º½º ÁÆÎ ÊÁ ÆÌÁÌ ÄÁ Î ÊÍÍ Ì ÌÓ ØÙ º ÂÓ S ÓÒ A¹ ÒÚ Ö ÒØØ Ð Ú ÖÙÙ Ò Ò Ax i S ÐÐ i = 1, 2,..., kº ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ax i S ÐÐ i = 1, 2,..., k Ñ {x 1, x 2,...,x k } ÓÒ Ð Ú ÖÙÙ Ò S ÒØ º ÂÓ x S Ò Ò x = α 1 x 1 + α 2 x 2 +... + α k x k Ñ α i K ÐÐ i = 1, 2,..., kº ÌØ Ò Ax = α 1 Ax 1 + α 2 Ax 2 +... + α k Ax k. ÃÓ Ax i S ÐÐ i = 1, 2,..., k S ÓÒ Ð Ú ÖÙÙ Ò Ò ÑÝ Ò Ò Ð Ò Ö Ø Ý Ø Ø ÙÙÐÙÚ Ø Ú ÖÙÙØ Ò Sº Ë Ax S ÓØ Ò S ÓÒ A¹ ÒÚ Ö ÒØØ º ÀÙÓÑ ÙØÙ º ÇÐ ÓÓÒ A: V V Ð Ò Ö Ò Ò ÙÚ Ù S V A¹ ÒÚ Ö ÒØØ Ð Ú ÖÙÙ º ÌÐÐ Ò Ð Ù Ò ½º¾½ ÑÙ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ Ð Ú ÖÙÙ S V Ø Ò ØØ V = S S º Ð Ú ÖÙÙ S Ù Ø Ò Ò ÝÐ Ò ÓÐ A¹ ÒÚ Ö ÒØØ º ÙÖ Ú Ñ Ö µº Ñ Ö º º ÇÐ ÓÓÒ Ð Ò Ö Ò Ò ÙÚ Ù A: K 2 K 2 ÑÖ Ø ÐØÝ ÙÖ ¹ Ú Ø [ ] [ ] x1 x1 + x 2 A =. x 2 [ ] 1 1 Ë ÙÚ Ù Ò A Ñ ØÖ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ò ÒÒ Ò Ù Ø Ò ÓÒ Â = º Ë Ð¹ 0 1 Ú Ø Ð Ú ÖÙÙ S = L{(1, 0) Ø } ÓÒ A¹ ÒÚ Ö ÒØØ Ð Ú ÖÙÙ ÐÐ A(α, 0) Ø = (α, 0) Ø ÐÐ α Kº ÆÝØ S = L{(0, 1) Ø } ÓÒ ÐÐ Ò Ò Ð Ú ÖÙÙ ØØ S S = K 2 º ÃÙ Ø Ò Ò x 2 A(0, α) Ø = (α, α) Ø S ÙÒ α 0º Ë S ÓÐ A¹ ÒÚ Ö ÒØØ Ð Ú ÖÙÙ º ÀÙÓÑ ÙØÙ º Î Ø Ú Ø ÑÖ Ø ÐÑØ ØÙÐÓ Ø ÓÚ Ø ÚÓ Ñ Ñ ØÖ ÐÐ A K n n ÙÒ Ò ÒÒ Ø Ó Ò Ù Ø Ò Ø Ö Ø ÐÙ Ø Ò ÓÒ Ú Ð ØØÙº

º¾º ÄÁÆ ÊÁËÌ Æ ÃÍÎ ÍÃËÁ Æ ËÍÇÊ ËÍÅÅ º¾ Ä Ò Ö Ø Ò ÙÚ Ù Ò ÙÓÖ ÙÑÑ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ú ÖÙÙ V ÚÓ Ò ØØ ÙÓÖ Ò ÙÑÑ Ò V = S 1 S 2... S k k = S i. i=1 ÇÐ Ø Ø Ò Ð ØØ A: V V ÓÒ Ð Ò Ö Ò Ò ÙÚ Ù ØØ Ð Ú ÖÙÙ Ø S 1, S 2,...,S k ÓÚ Ø A¹ ÒÚ Ö ÒØØ º ÃÓ ÒÝØ Ó Ò Ò x V ÓÒ Ý Ø¹ Ø Ø ÑÙÓØÓ x = x 1 + x 2 +... + x k, Ñ x i S i ½ ¾ º º º µ Ò Ò ÑÑ Ax = Ax 1 + Ax 2 +...Ax k = A S1 x 1 + A S2 x 2 +... + A Sk x k k = A i x i, i=1 Ñ A i ÓÒ ÙÚ Ù Ò A Ö Ó ØØÙÑ Ð Ú ÖÙÙØ Ò S i Ø º A i = A Si º ÆÝØ Ó Ò Ò A i ÓÒ ÑÝ Ð Ò Ö Ò Ò ÙÚ Ù ÓØ Ò ÚÓ ÑÑ ÑÖ Ø ÐÐ ÙÖ Ú Ø ÅÖ Ø ÐÑ º º ÇÐ ÓÓÒ A: V V Ð Ò Ö Ò Ò ÙÚ Ù V = k i=1 S iº Å Ö ØÒ Ð A Si = A i º ÌÐÐ Ò Ð Ò Ö Ò Ò ÙÚ Ù A: V V ÓÒ Ð Ò ¹ Ö Ø Ò ÙÚ Ù Ø Ò A i ÙÓÖ ÙÑÑ º Å Ö ØÒ A = k A i = A 1 A 2... A k. i=1 ÀÙÓÑ ÙØÙ º ËÙÓÖ Ò ÙÑÑ Ò ÑÖ ØØ ÐÝÒ ØÙ Ò ÓÒ ÓØØ Ð Ò Ö ¹ Ò ÙÚ Ù Ò A Ø Ö Ø ÐÙ Ó Ò A i Ð Ö Ó ØØ Ø Ö Ø ÐÙ Ò ÒÚ Ö ÒØØ ¹ Ò Ð Ú ÖÙÙ Òº ÀÙÓÑ ÙØÙ º Î Ø Ú Ø ÑÖ Ø ÐÑØ ØÙÐÓ Ø ÓÚ Ø ÚÓ Ñ Ñ ØÖ ÐÐ A K n n ÙÒ Ò ÒÒ Ø Ó Ò Ù Ø Ò Ø Ö Ø ÐÙ Ø Ò ÓÒ Ú Ð ØØÙº

º º ÄÁÆ ÊÁË Æ ÃÍÎ ÍÃË Æ ÇÅÁÆ ÁË ÊÎÇÌ ¼ º Ä Ò Ö Ò ÙÚ Ù Ò ÓÑ Ò ÖÚÓØ ÇÐ ÓÓÒ A: V V Ð Ò Ö Ò Ò ÙÚ Ù Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ú ÖÙÙ Ò V 1¹ ÙÐÓØØ A¹ ÒÚ Ö ÒØØ Ð Ú ÖÙÙ º Ä Ù º º ÇÐ ÓÓÒ A: V V Ð Ò Ö Ò Ò ÙÚ Ù ÓÐ ÓÓÒ {0} S V A¹ ÒÚ Ö ÒØØ Ð Ú ÖÙÙ ÓÐÐ dim S = 1º ÌÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ Ý ØØ Ò Ò λ K Ø Ò ØØ Ax = λx ÐÐ x S \ {0}º ÌÓ ØÙ º ÃÓ dim S = 1 Ò Ò S = {αx 0 : x 0 S \ {0} α K}. ÆÝØ Ax S ÐÐ x S Ó S ÓÒ A¹ ÒÚ Ö ÒØØ º ÂÓ x S Ò Ò x = α 0 x 0 α 0 Kµº ÌÐÐ Ò Ax = A(α 0 x 0 ) = βx 0 S. ÂÓ Ú Ð Ø Ò λ = β/α 0 Ò Ò Ax = λx ÙØ Ò ÐÙØØ Òº Ç Ó Ø Ø Ò Ý ØØ ÝÝ ÇÐ ÓÓÒ x, y S \ {0} ÐÐ Ú ØÓÖ Ø ØØ x = α 0 x 0 y = β 0 x 0 = β 1 x Ax = λxº ÌÐÐ Ò Ay = A(β 1 x) = β 1 Ax = β 1 λx = λy. Ì ØÚ º Ç Ó Ø ØØ Ó ÓÐÐ Ò ÒÓÐÐ Ú ØÓÖ Ø ÖÓ Ú ÐÐ Ú ØÓÖ ÐÐ x 0 V ÔØ Ax 0 = λx 0, ½µ ÓÐÐ Ò λ K Ò Ò Ð Ú ÖÙÙ S = L{x 0 } ÓÒ A¹ ÒÚ Ö ÒØØ º ÆÓÐÐ Ú ØÓÖ Ø ÖÓ Ú Ò Ú ØÓÖ Ò ÓØ ØÓØ ÙØØ Ú Ø ÓÒ ½µ Ð ÝØÑ ¹ Ò Ò ÓÒ ÓÐ ÒÒ Ø Ñ Ð ÐÙØ Ò Ð ÝØ Ý ÙÐÓØØ ÒÚ Ö ÒØØ Ð ¹ Ú ÖÙÙ º ÅÖ Ø ÐÑ º º µ ÇÐ ÓÓÒ A: V V Ð Ò Ö Ò Ò ÙÚ Ù º ÂÓ x V \ {0} ØÓØ ÙØØ Ý ØÐ Ò Ax = λx ÓÐÐ Ò λ K Ò Ò λ K ÓÒ ÙÚ Ù Ò A ÓÑ Ò ÖÚÓ Ú ØÓÖ x ÓÑ Ò ÖÚÓ λ Ú Ø Ú ÓÑ ¹ Ò Ú ØÓÖ º

º º ÁÆÎ ÊÁ ÆÌÁÌ ÄÁ Î ÊÍÍ Ì Â Å ÌÊÁÁËÁÌ ½ µ Ä Ò Ö Ò ÙÚ Ù Ò Ô ØÖ σ(a) ÓÒ Ò ÙÚ Ù Ò A ÓÑ Ò ¹ ÖÚÓ Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ ÓÙ Óº ØÐ ½µ ÚÓ Ò ØØ ÑÝ Ú Ú Ð ÒØ ÑÙÓ Ó (λi A)x 0 = 0, (x 0 0) ¾µ Ñ I ÓÒ ÒØ Ø ØØ ÙÚ Ù º Ä Ò Ö ÐÐ ÙÚ ÐÐ A: V V ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ Ò º ÓÑ Ò Ú ÖÙÙ N(λI A) ÓÒ ÒÓÐÐ Ú ØÓÖ Ø ÖÓ Ú Ø Ð ÓØ ÓÚ Ø ÓÑ Ò ÖÚÓ λ Ú Ø Ú ÓÑ Ò Ú ØÓÖ Ø º º ÁÒÚ Ö ÒØ Ø Ð Ú ÖÙÙ Ø Ñ ØÖ Ø Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ð Ò Ö Ø ÙÚ Ù Ø T : K n K n º Å Ø Ð Ò Ö Ø Ò ÙÚ Ù Ø Ò ÙÓÖ Ø ÙÑÑ Ø Ø Ö Ó ØØ Ú Ø Ñ ØÖ Ø Ø Ö Ø ÐØ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ S 1 S 2 ÓÚ Ø Ú ÖÙÙ Ò K n T ¹ ÒÚ Ö ÒØØ Ð Ú ÖÙÙ Ó ÐÐ K n = S 1 S 2 º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ú ÖÙÙØØ K n ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ò ÒÒ Ò Ù ¹ Ø Òº ÇÐ ÓÓÒ Ú ÖÙÙ Ò S 1 ÒØ Ú ØÓÖ Ø {z 1, z 2,..., z k } Ú ÖÙÙ Ò S 2 ÒØ Ú ØÓÖ Ø {z k+1, z k+2,...,z n } ÓÐÐÓ Ò Ú ØÓÖ Ø {z 1, z 2,...,z n } ÑÙÓ Ó Ø ¹ Ú Ø Ú ÖÙÙ Ò K n ÓÒ Ò ÒÒ Òº ÃÓ ÓÐ ØÙ Ò ÑÙ Ò S 1 S 2 ÓÚ Ø T ¹ ÒÚ Ö ÒØØ Ò Ò Tz j S 1 Ò ÙÒ j = 1, 2,..., k Tz j S 2 Ò ÙÒ j = k+1, k+2,..., nº ÌØ Ò ÑÑ ÙÖ Ú Ø Ý ØÐ Ø Tz j = Tz j = k a ij z i i=1 n i=k+1 a ij z i (j = 1, 2,...,k) (j = k + 1, k + 2,...,n) Ä Ò Ö Ò ÙÚ Ù Ò T Ñ ØÖ Ò Ñ ØÖ A = [a ij ] n n Ñ Ð ÓØ a ij ÑÖÝØÝÚØ Ý ØÐ Ø Tz j = n i=1 a ijz i j = 1, 2,..., nµº ÌØ Ò Ñ ØÖ A ÓÒ ÑÙÓØÓ [ ] A1 0, 0 A 2 Ñ A 1 K k k A 2 K (n k) (n k) º

º º Å ÌÊÁÁËÁÆ ÇÅÁÆ ÁË ÊÎÇÌ Â Ã Ê ÃÌ ÊÁËÌÁÆ Æ ÈÇÄ ÆÇÅÁ ¾ ÀÙÓÑ ÙØÙ º Ì Ö Ø ÐÙ ØÓ Ñ ÑÝ ÝÐ ÑÑ ÑÙÓ Ó Ð ÝÐ Ø Ð ¹ Ò Ö Ø ÙÚ Ù Ø T : V V Ø Ö Ø ÐØ º ÀÙÓÑ ÙØÙ º ÂÓ Ð Ò Ö Ò Ò ÙÚ Ù T : K n K n ÚÓ Ò ØØ ÙÓÖ Ò ÙÑÑ Ò T = T 1 T 2 Ñ T 1 : S 1 S 1 T 2 : S 2 S 2 Ò Ò ÙÚ Ù Ø T ØØÚ Ñ ØÖ Ò ÓÒ Ú ÓÒ Ð Ñ ØÖ A K n n º Ä Ñ ØÖ Ò A ÓÒ Ð ÐÓ ÓØ ÓÚ Ø ÙÚ Ù Ø Ò T 1 T 2 Ñ ØÖ Øº º Å ØÖ Ò ÓÑ Ò ÖÚÓØ Ö Ø Ö Ø Ò Ò ÔÓÐÝÒÓÑ ÇÐ ÓÓÒ K Ð Ö ÐÐ Ø ÙÐ ØØÙ ÙÒØ Ø º Ó Ò Ò K¹ ÖØÓ Ñ Ò Ò ÔÓÐÝÒÓÑ p(λ) = a 0 λ n + a 1 λ n 1 +... + a n 1 λ + a n ÚÓ Ò ØØ Ø ØØ 1 ÓÐ Ú Ò Ø Ò ØÙÐÓÒ a 0 λ n + a 1 λ n 1 +... + a n 1 λ + a n = a 0 (λ λ 1 )(λ λ 2 ) (λ λ n ), Ñ a 0 0 λ 1, λ 2,..., λ n Kº Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ñ ØÖ A K n n Ð Ð Ò Ö Ø ÙÚ Ù Ø A: K n K n º ÌØ Ò ÚÓ ÑÑ ÑÖ Ø ÐÐ ÓÑ Ò ÖÚÓØ ÓÑ Ò Ú ØÓÖ ÙØ Ò ÝÐ Ø Ð Ò ¹ Ö ÐÐ ÙÚ Ù ÐÐ º ÅÖ Ø ÐÑ º º µ ÇÐ ÓÓÒ A K n n º ÌÐÐ Ò λ K ÓÒ Ñ ØÖ Ò A ÓÑ Ò ÖÚÓ Ó ÓÒ ÓÐ Ñ x K n \ {0} ÓÐÐ Ax = λxº Î ØÓÖ x K n ÓÒ ÔÙÓÐ Ø Ò Ñ ØÖ Ò A ÓÑ Ò ÖÚÓ λ Ú Ø Ú ÓÑ Ò Ú ØÓÖ º µ Å ØÖ Ò A Ô ØÖ σ(a) ÓÒ Ñ ØÖ Ò A Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ Ò ÑÙÓ¹ Ó Ø Ñ ÓÙ Óº Å ØÖ Ò ÓÑ Ò Ú ØÓÖ Ø Ò Ý ØÐ Ø Ax = λx Ó ÚÓ Ò Ø¹ Ø ÑÙÓ Ó (λi A)x = 0. ÑÑ Ø Ø ØÒ ØØ Ý ØÐ ÐÐ ÓÒ ¹ØÖ Ú Ð Ø º ÒÓÐÐ Ú ØÓÖ Ø ÖÓ Ú Ö Ø Ùµ Ó Ú Ò Ó det(λi A) = 0º Ë Ò ÙÖ Ú ØÙÐÓ Ä Ù º½¼º ÇÐ ÓÓÒ A K n n º ÌÐÐ Ò λ K ÓÒ Ñ ØÖ Ò A ÓÑ Ò ÖÚÓ Ó Ú Ò Ó det(λi A) = 0º

º º Å ÌÊÁÁËÁÆ ÇÅÁÆ ÁË ÊÎÇÌ Â Ã Ê ÃÌ ÊÁËÌÁÆ Æ ÈÇÄ ÆÇÅÁ ÅÖ Ø ÐÑ º½½º Å ØÖ Ò A K n n Ö Ø Ö Ø Ò Ò ÔÓÐÝÒÓÑ ÓÒ c A (λ) = det(λi A) = λ n + a 1 λ n 1 +... + a n 1 λ + a n. ÐÐ Ò Ð Ù Ò ÑÙ Ò Ñ ØÖ Ò A K n n ÓÑ Ò ÖÚÓØ ÓÚ Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ò c A (λ) ÒÓÐÐ Ó Ø Ø º Ý ØÐ Ò c A (λ) = 0 Ö Ø Ùغ ÃÓ K ÓÐ Ø ØØ Ò Ð Ö ÐÐ Ø ÙÐ ØÙ Ò Ò { ca (λ) = (λ λ 1 )(λ λ 2 ) (λ λ n ) λ 1, λ 2,...,λ n ÓÚ Ø Ñ ØÖ Ò A ÓÑ Ò ÖÚÓØ. ËÙÓÖ ØØ Ñ ÐÐ Ú c A (λ) = (λ λ 1 )(λ λ 2 ) (λ λ n ) ÖØÓÑ Ò Ò Ò ÙÖ Ú ØÙÐÓ Ä Ù º½¾º ÂÓ A K n n Ò Ò c A (λ) = λ n + a 1 λ n 1 +... + a n 1 λ + a n, Ñ a k = ( 1) k q 1 <q 2 < <q k λ q1 λ q2 λ qk º ÐÐ Ò Ð Ù Ò ÒÓ ÐÐ Ò { a1 = (λ 1 + λ 2 + + λ n ) a n = ( 1) n λ 1 λ 2 λ n. Ä ÑÑ º½ º ÂÓ A K n n Ò ÔÝ ØÝÖ Ú Ø q 1, q 2,...,q k (q 1 < q 2 <... < q k ) ÓÚ Ø e q1, e q2,...,e qk Ò Ò det A = A Ò ÔÑ ÒÓÖ ÙÒ ÔÓ Ø Ø Ò Ú ¹ ÔÝ ØÝÖ Ú Ø q 1, q 2,..., q k º ÌÓ ØÙ º Ã Ø ØÒ Ø ÖÑ Ò ÒØØ det A ÔÝ ØÝÖ Ú Ò q 1 Ù Ø Ò ØÙ Ø Ö¹ Ñ Ò ÒØØ Ö Ú q 2 Ú Ø Ú Ò ÔÝ ØÝÖ Ú Ò Ù Ø Ò Ò Ò ÐÐ Òº Æ Ò Ò ÐÙØØÙ ÔÑ ÒÓÖ º Ä Ù º½ º ÂÓ A K n n Ò Ò c A (λ) = λ n + a 1 λ n 1 +... + a n 1 λ + a n, Ñ a k = ( 1) k (A Ò Ò k k¹ôñ ÒÓÖ Ò ÙÑÑ )º

º º Å ÌÊÁÁËÁÆ ÇÅÁÆ ÁË ÊÎÇÌ Â Ã Ê ÃÌ ÊÁËÌÁÆ Æ ÈÇÄ ÆÇÅÁ ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ A = [ A 1 A 2 A n ] Ñ ØÖ Ò A ÔÝ ØÝÖ Ú Ó ØÙ º ÃÓ λi = [ λe 1 λe 2 λe n ] Ò Ò c A (λ) = det(λi A) = det [ λe 1 A λe 2 A λe n A ] = ÙÑÑ Ó ÓÒ 2 n ÔÐ Ø ÖÑ Ò ÒØØ Ó i ÔÝ ØÝÖ Ú ÓÒ λe i Ø A i (i = 1, 2,..., n) = λ n + ÑÙÙØ 2 n 1 ÔÐ Ø ÖÑ, Ñ λ n = det [ λe 1 λe 2 λe n ] º Å Ø ÓÚ Ø ÑÙÙØ Ø ÖÑ Ø ÇÐ ÓÓÒ 1 k n ÒÒ Ø ØØÝ ÔÓ Ñ Ø Ò ÝÓº ÙÑÑ Ø Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ø Ó ÑÙÓØÓ λe i ÓÐ Ú Ö Ú ÓÒ Ø Ö ÐÐ Ò n k ÔÔ Ð ØØ º Æ Ò Ò Ø Ö ÐÐ Ò Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ø ÓØ ÝÒØÝÚØ Ó Ñ ØÖ A ÓÖÚ Ø Ò n k ÔÔ Ð ØØ ÔÝ ØÝÖ Ú A j ÔÝ ØÝÖ Ú ÐÐ λe j º Ä ÑÑ Ò º½ ÑÙ Ò Ò Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ Ò ÙÑÑ ÓÒ λ n k ( A Ò k k¹ôñ ÒÓÖ Ò ÙÑÑ ) = ( 1) k c k λ n k Ñ c k ÓÒ Ñ ØÖ Ò A k k¹ôñ ÒÓÖ Ò ÙÑÑ º ÃÙÒ k = 1, 2,..., n Ò Ò Ò c A (λ) = λ n c 1 λ n 1 +... + ( 1) n 1 c n 1 λ + ( 1) n c n = λ n + a 1 λ n 1 +... + a n 1 λ + a n, Ñ a k = ( 1) k c k ÙÒ k = 1, 2,..., nº ÀÙÓÑ ÙØÙ º Ä Ù Ò º½¾ º½ ÒÓ ÐÐ { a1 = (a 11 + a 22 +... + a nn ) = (λ 1 + λ 2 +... + λ n ) a n = ( 1) n det A = ( 1) n λ 1 λ 2 λ n. ÌØ Ò ÑÑ { det A = λ1 λ 2 λ n tra = a 11 + a 22 +... + a nn = λ 1 + λ 2 +... + λ n, Ñ tra ÓÒ Ò º Ñ ØÖ Ò A Ð º ÀÙÓÑ ÙØÙ º Å ØÖ A K n n ÓÒ Ô ÒÒ ÐÐ Ò Ò Ó Ú Ò Ó a n = det A = 0 Ð Ù Ò º½¾ Ñ Ö ÒÒ Òµº ÌÑ ÓÒ Ý ØÔ ØÚ Ò Ò ØØ 0 ÓÒ Ñ ØÖ Ò A ÓÑ Ò ÖÚÓº

º º ÇÅÁÆ ÁË ÊÎÇÂ Æ Ã ÊÌ ÄÍÎÍÌ º ÇÑ Ò ÖÚÓ Ò ÖØ ÐÙÚÙØ ÂÓ ÐÐ Ñ ØÖ ÐÐ A K n n ÓÒ n ÔÔ Ð ØØ ÓÑ Ò ÖÚÓ ÓØ Ò Ö Ø Ö Ø Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò c A (λ) ÙÙÖ Ò º ÇÐ ÓÓÒ λ 1, λ 2,...,λ s Ñ ØÖ Ò A K n n Ö ÙÙÖ Ø ÓÑ Ò ÖÚÓغ ÌÐÐ Ò { ca (λ) = (λ λ 1 ) k 1 (λ λ 2 ) k2 (λ λ s ) ks k 1 + k 2 +... + k s = n (k i 1) ÅÖ Ø ÐÑ º½ º ÇÐ ÓÓÒ A K n n λ i K Ñ ØÖ Ò A ÓÑ Ò ÖÚÓº ÌÐÐ Ò ÓÑ Ò ÖÚÓÒ λ i Ð Ö ÐÐ Ò Òµ ÖØ ÐÙ Ù ÓÒ ÖÖÓ Ò k i Ö Ø Ö ¹ Ø ÔÓÐÝÒÓÑ º ÝÐеº ÇÑ Ò ÖÚÓÒ ÓÑ ØÖ Ò Ò ÖØ ÐÙ Ù ÓÒ Ø Ú Ø Ú Ò ÓÑ Ò Ú ÖÙÙ Ò N(λI A) Ñ Ò Ó Ø º ÓÑ Ò ÖÚÓÒ λ Ó¹ Ñ ØÖ Ò Ò ÖØ ÐÙ Ù ÓÒ dim N(λI A)º ÐÐ Ø ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÙÖ ØØ ÓÑ Ò ÖÚÓÒ λ ÓÑ ØÖ Ò Ò ÖØ ÐÙ Ù ÓÒ Ø Ú Ø Ú Ò Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ò ÓÑ Ò Ú ØÓÖ Ò Ñ ¹ Ñ ÑÖº Ä Ù º½ º ÂÓ Ò ÓÑ Ò ÖÚÓÒ λ Ð Ö ÐÐ Ò Òµ ÖØ ÐÙ Ù ÓÒ ÙÙÖ ÑÔ Ø Ý Ø ÙÙÖ Ù Ò ( ) Ò ÓÑ ØÖ Ò Ò ÖØ ÐÙ Ùº ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ A K n n λ 0 Ò Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò ÓÑ Ò ÖÚÓº Å Ö ØÒ k = dim N(λ 0 I A) ÓÐÐÓ Ò ÑÝ dim N(A λ 0 I) = kº Ä Ù Ò ¾º½½ ÑÙ Ò r(a λ 0 I) = n dim N(A λ 0 I) = n k, ÓØ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ Ø Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ ÒÓ ÐÐ Ñ ØÖ Ò A λ 0 I й Ð Ø Ñ ÒÓÖ Ø ÓÚ Ø ÒÓÐÐ Ó Ò Ó Ó ÓÒ ÙÙÖ ÑÔ Ù Ò n kº ÌØ Ò Ð Ù Ò º½ ÑÙ Ò c A λ0 I(λ) = λ n + a 1 λ n 1 +... + c n k λ k + 0 λ k 1 +... + 0 = λ k (λ n k + c 1 λ n k 1 +... + c n k ) = λ k p(λ),

º º ÇÅÁÆ ÁË ÊÎÇÂ Æ Ã ÊÌ ÄÍÎÍÌ Ñ p(λ) = λ n k + c 1 λ n k 1 +... + c n k º ÌÓ ÐØ c A (λ) = det(λi A) = det ( (λ λ 0 )I (A λ 0 I) ) = c A λ0 I(λ λ 0 ) = (λ λ 0 ) k p(λ λ 0 ). ÌØ Ò λ = λ 0 ÓÒ Ò Ò k¹ ÖØ Ò Ò ÒÓÐÐ Ó Ø Ý ØÐ ÐÐ c A (λ) = 0 ÓØ Ò ÓÑ Ò ÖÚÓÒ λ 0 Ð Ö ÐÐ Ò Òµ ÖØ ÐÙ Ù ÓÒ ÙÙÖ ÑÔ Ø Ý Ø ÙÙÖ Ù Ò Ò ÓÑ ØÖ Ò Ò ÖØ ÐÙ Ù kº Ä Ù º½ º ÇÐ ÓÓÒ λ 1, λ 2,...,λ s Ñ ØÖ Ò A K n n Ö ÙÙÖ Ø ÓÑ Ò ¹ ÖÚÓØ ÓÐ ÓÓÒ x (1) i,...,x (n i) i ÓÑ Ò ÖÚÓ λ i Ú Ø Ú Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙ¹ Ñ ØØÓÑ ÓÑ Ò Ú ØÓÖ Ø i = 1, 2,..., sµº ÌÐÐ Ò Ú ØÓÖ Ø x (1) 1,...,x(n 1) 1, x (1) 2,..., x(n 2) 2,...,x (1) s,...,x(ns) s ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ º (n 1 + n 2 +... + n s ÔÐ) ÌÓ ØÙ º À Ö Ó ØÙ Ø ØÚº ÀÙÓÑ ÙØÙ º ÇÐ ÓÓÒ A K n n ÙØ Ò Ðк Å ØÖ Ò A Ö ÓÑ Ò ÖÚÓ Ú Ø Ú Ø ÓÑ Ò Ú ØÓÖ Ø ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ä Ò Ö Ð Ö Á ² ÁÁµº Î Ð Ø Ñ ÐÐ n i = dim N(λ i I A) Ò Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙ¹ Ñ ØØÓÑ ÓÑ Ò Ú ØÓÖ Ø s dim N(λ i I A) i=1 ÔÔ Ð ØØ º Å ÐÐÓ Ò ØÑ ÙÑÑ ÓÒ Ø ÑÐÐ Ò n Ä Ù Ò º½ ÒÓ ÐÐ dim N(λ i I A) k i, Ñ k i ÓÒ ÓÑ Ò ÖÚÓÒ λ i ÖØ ÐÙ Ùº ÃÓ k 1 + k 2 +... + k s = n Ò Ò s dim N(λ i I A) = n dim N(λ i I A) = k i (i = 1, 2,...s). i=1 Ë ÑÑ ÙÖ Ú Ò ØÙÐÓ Òº Ä Ù º½ º Å ØÖ ÐÐ A K n n ÓÒ n ÔÔ Ð ØØ Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ Ø¹ ØÓÑ ÓÑ Ò Ú ØÓÖ Ø Ó Ú Ò Ó Ó Ò ÓÑ Ò ÖÚÓÒ Ð Ö ÐÐ Ò Ò ÓÑ ØÖ Ò Ò ÖØ ÐÙ Ù ÓÚ Ø Ý Ø ÙÙÖ Øº

º º Å ÌÊÁÁËÁÈÇÄ ÆÇÅ ÁËÌ º Å ØÖ ÔÓÐÝÒÓÑ Ø ÇÐ ÓÓÒ p(λ) = c 0 λ m + c 1 λ m 1 +... + c m 1 λ + c m K¹ ÖØÓ Ñ Ò Ò ÔÓÐÝÒÓÑ A K n n º ÌÐÐ Ò Ñ Ö ØÒ p(a) = c 0 A m + c 1 A m 1 +... + c m 1 A + c m I. ÅÖ Ø ÐÑ Ø ÙÖ ÙÓÖ Ò ÙÖ Ú ØÙÐÓ Ä Ù º½ º ÂÓ p 1 (λ),...,p k (λ) ÓÚ Ø K¹ ÖØÓ Ñ ÔÓÐÝÒÓÑ p(λ) = p 1 (λ) + p 2 (λ) +... + p k (λ) q(λ) = p 1 (λ)p 2 (λ) p k (λ) Ò Ò { p(a) = p1 (A) + p 2 (A) +... + p k (A) q(a) = p 1 (A) p 2 (A) p k (A) ÑÑ Ø Ø ØÒ ØØ det A = λ 1 λ 2 λ n Ò ÙÒ A K n n º ÌÑ ØÙÐÓ ÚÓ Ò ÝÐ Ø Ó Ñ Ò ÑÝ Ñ ØÖ ÔÓÐÝÒÓÑ º Ä Ù º¾¼º ÂÓ A K n n p(λ) ÓÒ K¹ ÖØÓ Ñ Ò Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ò det p(a) = p(λ 1 )p(λ 2 ) p(λ n ), Ñ λ 1, λ 2,..., λ n ÓÚ Ø Ñ ØÖ Ò A ÓÑ Ò ÖÚÓغ ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ A K n n Ñ K ÓÒ Ð Ö ÐÐ Ø ÙÐ ØØÙº ÇÐ ÓÓÒ c A (λ) = (λ λ 1 )(λ λ 2 ) (λ λ n ) p(λ) = b 0 (λ α 1 )(λ α 2 ) (λ α m ) = c 0 (α 1 λ)(α 2 λ) (α m λ) m = c 0 (α i λ), Ñ c 0 = ( 1) m b 0 º Ä Ù Ò º½ ÒÓ ÐÐ p(a) = c 0 I(α 1 I A)(α 2 I A) (α m I A). i=1

º º Å ÌÊÁÁËÁÈÇÄ ÆÇÅ ÁËÌ ÆÝØ det p(a) = det(c 0 I) det(α 1 I A) det(α 2 I A) det(α m I A) = c n 0c A (α 1 )c A (α 2 ) c A (α m ) = c n 0 (α 1 λ 1 ) (α 1 λ n ) (α 2 λ 1 ) (α 2 λ n ) º (α m λ 1 ) (α m λ n ) m m m = c 0 (α i λ 1 ) c 0 (α i λ 2 ) c 0 (α i λ n ) i=1 i=1 i=1 = p(λ 1 )p(λ 2 ) p(λ n ). ÀÙÓÑ ÙØÙ º ÐÐ Ò Ò Ð Ù ÙÓÖ Ò ÖÖÓ Ñ Ø ÓÚ Ø Ñ ØÖ ÔÓÐÝÒÓÑ p(a) ÓÑ Ò ÖÚÓغ Ä Ù º¾½º ÇÐ ÓÓÒ λ 1, λ 2,...,λ n ÓÚ Ø Ñ ØÖ Ò A ÓÑ Ò ÖÚÓغ ÂÓ p(λ) ÓÒ K¹ ÖØÓ Ñ Ò Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ò Ñ ØÖ Ò p(a) ÓÑ Ò ÖÚÓØ ÓÚ Ø p(λ 1 ) p(λ 2 )... p(λ n )º ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ λ K ÓÚ ÐÐ Ø Ò Ð Ù ØØ º¾¼ ÔÓÐÝÒÓÑ Ò q(x) = λ p(x)º ÌÐÐ Ò det q(a) = q(λ 1 )q(λ 2 ) q(λ n ) = (λ p(λ 1 )(λ p(λ 2 )) (λ p(λ n )). ÌÓ ÐØ q(a) = λi p(a) ÓØ Ò Ò det q(a) = c p(a) (λ)º Ë ÐÐ λ K ÔØ c p(a) (λ) = (λ p(λ 1 )(λ p(λ 2 )) (λ p(λ n )), Ó Ø ÙÖ Ú Ø º Ë ÙÖ Ù º¾¾º Å ØÖ Ò A k k = 1, 2,...µ ÓÑ Ò ÖÚÓØ ÓÚ Ø λ k 1, λ k 2,...,λ k n tra k = λ k 1 + λk 2 +... + λk nº

Ë Ñ Ð Ö ÙÙ ÑÙÙÒÒÓ Ø º½ Ë Ñ Ð Ö ÙÙ ÅÖ Ø ÐÑ º½º Å ØÖ Ø A, B K n n ÓÚ Ø Ñ Ð Ö Ø Ñ Ö º A Bµ Ó ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ò Ò ÒÒ ÐÐ Ò Ò Ñ ØÖ C K n n ØØ A = CBC 1. ÇÒ ÐÔÔÓ Ó Ó ØØ ØØ Ñ ØÖ Ò Ñ Ð Ö ÙÙ ÓÒ Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø Óº Šع Ö ÐÐ A, B, C K n n ÔØ ÙÖ Ú Ø ÓØ µ A A µ Ó A B Ò Ò B A µ Ó A B B C Ò Ò A Cº Ä Ù º¾º ÂÓ Ñ ØÖ Ø A B ÓÚ Ø Ñ Ð Ö Ø Ò Ò ÙÖ Ú Ø ÓØ ÔØ ÚØ µ det A = det B r(a) = r(b) µ c A (λ) = c B (λ) tr A = trb µ A Ø B Ø ÓÚ Ø Ñ Ð Ö Ø µ p(a) p(b) ÓÚ Ø Ñ Ð Ö Ø Ó ÐÐ K¹ ÖØÓ Ñ ÐÐ ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÐ p(λ)º ÌÓ ØÙ º À Ö Ó ØÙ Ø ØÚº

º¾º Á ÇÆ ÄÁËÇÁÌÍÎ Ì Å ÌÊÁÁËÁÌ ¼ Å Ø Ñ ØÖ Ò Ñ Ð Ö ÙÙ Ø Ö Ó ØØ Ð Ò Ö Ø Ò ÙÚ Ù Ø Ò ÒÒ ÐØ Çй ÓÓÒ A, B K n n Ñ Ð Ö Ñ Ö ØÒ y = Ax Ñ x K n º ÇÐ ÓÓÒ A = CBC 1 Ñ C = [ z 1 z 2 z n ] Ú ØÓÖ Ø {z1, z 2,...,z n } ÑÙÓ¹ Ó Ø Ú Ø Ú ÖÙÙ Ò K n ÓÒ Ò ÒÒ Òº Å ØÖ C = [ z 1 z 2 z n ] Kn n ÓÒ ÒÒ ÐÐ Ò Ò Ð r(c) = nµº ÃÓ {z 1, z 2,...,z n } ÓÒ Ú ÖÙÙ Ò K n Ó Ò ÒØ Ò Ò ÓÒ ÓÐ Ñ a i, b i K i = 1, 2,..., nµ Ø Ò ØØ x = n a i z i = Ca y = i=1 n b i z i = Cb, i=1 Ñ a = (a 1, a 2,...,a n ) Ø b = (b 1, b 2,...,b n ) ÓÚ Ø Ú ØÓÖ Ò x y ØÝ Ø ÒÒ Ò {z 1, z 2,...,z n } Ù Ø Òº ÆÝØ Cb = ACa b = C 1 ACa. Î ØÓÖ Ò y = Ax ØÝ ÒÒ Ò {z 1, z 2,...,z n } Ù Ø Ò Ò Ø Ñй Ð Ñ ØÖ ÐÐ A ÓÔ Ú Ñ Ð Ö ÙÙ ÑÙÙÒÒÓ º ÎÓ Ò ÒÓ ØØ ¹ Ñ Ð Ö Ø Ñ ØÖ ÓÚ Ø Ý Ò ÖØ Ø Ñ Ð Ò Ö Ø ÙÚ Ù Ø ØØÚ Ñ ØÖ Ö ÒØÓ Ò Ù Ø Òº ÀÙÓÑ ÙØÙ º ÃÙÒ ØÙÐÓ Ñ ØÖ ØÙÐÓ AB ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ Ò Ò B 1 B 2 AB = [ ] n A 1 A 2 A n º = A i B i. B n i=1 º¾ ÓÒ Ð Ó ØÙÚ Ø Ñ ØÖ Ø ÅÖ Ø ÐÑ º º Å ØÖ A K n n ÓÒ ÓÒ Ð Ó ØÙÚ Ó ÓÒ Ñ Ð ¹ Ö Ò Ò ÓÒ Ò ÓÒ Ð Ñ ØÖ Ò Ò º Ä Ù º º Ë ÙÖ Ú Ø ÓØ ÓÚ Ø ÒÒ Ý ØÔ ØÚ Ò ÙÒ A K n n µ Å ØÖ A ÓÒ ÓÒ Ð Ó ØÙÚ

º¾º Á ÇÆ ÄÁËÇÁÌÍÎ Ì Å ÌÊÁÁËÁÌ ½ µ Å ØÖ ÐÐ A ÓÒ n Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØÓÒØ ÓÑ Ò Ú ØÓÖ µ Å ØÖ Ò A Ó Ò ÓÑ Ò ÖÚÓÒ ÖØ ÐÙ Ù ÓÒ Ý Ø ÙÙÖ Ù Ò Ò Ó¹ Ñ ØÖ Ò Ò ÖØ ÐÙ Ùº ÌÓ ØÙ º Ä Ù Ò º½ ÓØ µ µ ÓÚ Ø Ý ØÔ ØÚغ Ë ÙÖ Ú ÔØØ ÐÝ Ó Ó ØØ ØÓ Ò µ µ Ý ØÔ ØÚÝÝ Ò µ A = CDC 1, Ñ D = diag(d 1, d 2,..., d n ) C = [ ] x 1 x 2 x n ÓÒ ÒÒ ÐÐ Ò Ò A [ ] [ ] x 1 x 2 x n = x1 x 2 x n D Ax i = d i x i (i = 1, 2,..., n) Ú ØÓÖ x 1, x 2,...,x n ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ µ Ð d i Ø ÓÚ Ø ÓÑ Ò ÖÚÓ Ë ÙÖ Ù º º ÂÓ A ÓÒ ÓÒ Ð Ó ØÙÚ x 1, x 2,...,x n ÓÚ Ø Ò Ð Ò Ö ¹ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ÓÑ Ò ÖÚÓ λ 1, λ 2,...,λ n Ú Ø Ú Ø ÓÑ Ò Ú ØÓÖ Ò Ò A = CDC 1, Ñ C = [ x 1 x 2 x n ] D = diag(λ1, λ 2,...,λ n )º ÌÓ ØÙ º Î Ø ÙÖ ÙØ Ò Ð Ù Ò º Ó Ø Ò µ µ Ý ØÔ ØÚÝÝ Ø ÑÐÐ ÔØØ ÐÝ Ð ÐØ ÝÐ ÙÒ d i = λ i º ÀÙÓÑ ÙØÙ º ÂÓ Ñ ØÖ ÐÐ A K n n ÓÒ n Ö ÙÙÖØ ÓÑ Ò ÖÚÓ Ò Ò ÐÐ ÓÒ n Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØÓÒØ ÓÑ Ò Ú ØÓÖ Ø º Ñ ØÖ A ÓÒ ¹ ÓÒ Ð Ó ØÙÚ º ÌÑ Ù Ø Ò Ò Ô ÒØ Òº à ÔÔ Ð º ÑÖ Ø ÐØ Ò Ñ ØÖ Ò A K n n ÓÑ Ò Ú ØÓÖ Ø ÓØ ØÓ¹ Ø ÙØØ Ú Ø Ý ØÐ Ò Ax = λx ÓÐÐ Ò λ Kº Å ØÖ Ò A ÓÑ Ò Ú ØÓÖ x Ó ØÓØ ÙØØ ÒÒ ØÙÒ Ý ØÐ Ò ÓÒ Ò º Ó ÓÑ Ò Ú ØÓÖ º Å ØÖ ÐÐ A K n n ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ Ú Ø Ú Ø ÑÝ Ú ÑÑ Ø ÓÑ Ò Ú ØÓÖ Ø Ð Ú ØÓÖ Ø y K n ÓØ ØÓØ ÙØØ Ú Ø Ý ØÐ Ò y Ø A = λy Ø (λ K \ {0}).