Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus, malliratkaisut 1.-5.9.009 1. Muodosta joukot A B, A B ja A\B sekä laske niiden alkioiden lukumäärät (mikäli kyseessä on äärellinen joukko), kun A = {1, 4, 6, 7} ja B = {, 3, 4, 7}. b) A = [, 1] ja B = [1, ). c) A = {x R : 1 x < } ja B = Z ( 3, 3). b) c) A B = {1,, 3, 4, 6, 7}, A B = 6 A B = {4, 7}, A B = A \ B = {1, 6}, A \ B = A B = [, ) A B = {1}, A B = 1 A \ B = [, 1) A B = [, 1] {0} [1, ] A B = { 1, 1}, A B = A \ B = (, 1) (1, ). Olkoon A = {1, { }}. Mitkä seuraavista väittämistä pitävät paikkansa? A. b) A. c) {{ }} A. d) {1} A. Tilanne hahmottuu helpommin kun merkitään a = { }, jolloin A = {1, a}. A pitää paikkansa: tyhjä joukko on jokaisen joukon osajoukko. b) A ei pidä paikkaansa: ei ole kumpikaan A:n alkioista 1 tai a. c) {{ }} A pitää paikkansa: { } = a ja koska a A, niin {a} A. d) {1} A ei pidä paikkaansa: {1} ei ole kumpikaan A:n alkioista 1 tai a. 1
3. Olkoot A, B ja C joukkoja. Osoita, että A (B C) = (A B) (A C) käyttämällä Venn-diagrammeja. b) näyttämällä, että x A (B C) jos ja vain jos x (A B) (A C). Ylläolevassa diagrammissa vasemmanpuolimmainen kuva esittää joukkoa A, keskimmäinen joukkoa B C ja oikeanpuolimmainen edellisten yhdistettä, eli joukkoa A (B C). Tässä diagrammissa vasemmanpuolimmainen kuva esittää puolestaan juokkoa A B, keskimmäinen joukkoa A C ja oikeanpuolimmainen näiden leikkausta, eli joukkoa (A B) (A C). Diagrammeista huomataan, että oikeanpuolimmaiset joukot ovat samat, mikä oli todistettava. b) Jaetaan todistus kahteen osaan tarkastelemalla sisältyvyyttä molempiin suuntiin. A (B C) (A B) (A C): Olkoon x mielivaltainen joukon A (B C) alkio (jos A (B C) =, niin asia selvä), toisin sanoen x kuuluu joukkoon A tai joukkoon B C (tai molempiin). Tarkastellaan eri vaihtoehtoja: Jos x kuuluu joukkoon A, niin joukon A ollessa sekä joukon A B, että joukon A C osajoukko, näemme, että x A B ja x A C. Siis x kuuluu näiden leikkaukseen (A B) (A C). Jos taas x kuuluu joukkoon B C, toisin sanoen molempiin joukoista B ja C, näemme,
että x B A B ja x C A C. Siis jälleen x kuuluu leikkaukseen (A B) (A C). Molemmissa tapauksissa x kuuluu joukkoon (A B) (A C) ja alkion x valinnan ollessa mielivaltainen, olemme osoittaneet, että A (B C) (A B) (A C). (A B) (A C) A (B C): Olkoon x mielivaltainen joukon (A B) (A C) alkio (jälleen, jos (A B) (A C) =, on asia selvä). Nyt siis x kuuluu sekä joukkoon A B, että joukkoon A C. Tarkastellaan ensin tapausta x A. Tällöin myös x A (B C), sillä A on joukon A (B C) osajoukko. Oletetaan sitten, että x ei kuulu joukkoon A. Koska se kuitenkin kuuluu joukkoihin A B ja A C, on oltava voimassa x B ja x C. Toisin sanoen x kuuluu leikkaukseen B C ja edelleen joukon B C ollessa joukon A (B C) osajoukko, näemme, että x A (B C). Jälleen molemmissa tapauksissa nähtiin, että mielivaltaisesti joukosta (A B) (A C) valittu alkio x kuuluu joukkoon A (B C). On siis osoitettu, että (A B) (A C) A (B C). Yhdistämällä nämä kaksi sisältyvyyttä, voimme päätellä, että itseasiassa A (B C) = (A B) (A C). 4. Laske funktion f : R R arvo pisteissä x =, x = 0, x = 1 ja hahmottele sen kuvaajaa, kun f(x) = 3x +. b) f(x) = x x +. c) f(x) = x + a, a > 0. f( ) = 3 ( ) + = 3 + = 1 f(0) = 3 0 + = f(1) = 3 1 + = 7 b) f( ) = ( ) ( ) + = 4 + + = 0 f(0) = 0 0 + = f(1) = 1 1 + = 0 3
c) f( ) = ( ) + a = 4 + a f(0) = 0 + a = a f(1) = 1 + a = 1 + a Kuvassa a = 1. 5. Onko funktio f : A B injektio, surjektio tai bijektio, kun A = {a, b, c, d}, B = {1,, 3, 4} ja f( =, f(b) = 3, f(c) = 1, f(d) =? b) A = {a, b, c}, B = {1,, 3} ja f( = 3, f(b) = 1, f(c) =? c) A = {a, b, c}, B = {1,, 3, 4} ja f( = 3, f(b) =, f(c) = 4? Piirrä lisäksi f:n nuolikaavio! f ei ole injektio, sillä a ja d kuvautuvat samalle alkiolle, tarkemmin f( = f(d) = f ei ole surjektio, sillä mikään lähtöjoukon A alkioista ei kuvaudu maalijoukon B alkiolle 4 f ei ole bijektio, sillä se ei ole injektio eikä surjektio b) 4
f on injektio, sillä kaikki lähtöjoukon alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille, ts. f( f(b), f(b) f(c) ja f(c) f( f on surjektio, sillä kaikki maalijoukon alkiot saavutetaan: f:n arvojoukko = {f(, f(b), f(c)} = {1,, 3} = B f on bijektio, sillä se on sekä injektio että surjektio c) f on injektio, sillä kaikki lähtöjoukon alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille, ts. f( f(b), f(b) f(c) ja f(c) f( f ei ole surjektio, sillä mikään lähtöjoukon alkioista ei kuvaudu maalijoukon alkiolle 1 f ei ole bijektio, sillä se ei ole surjektio 6. Etsi bijektio joukolta {1, 3, 5, 7,...} joukolle {1, 4, 9, 16,...}. Todistus: Merkitään A = {1, 3, 5, 7,...} = {n 1 : n Z + } ja Osoitetaan, että kuvaus on bijektio. B = {1, 4, 9, 16,...} = {n : n Z + }. ( k + 1 f : A B, f(k) = 5 )
Ensinnäkin se on hyvin määritelty, sillä jos k A, niin se on muotoa n 1 jollakin n Z +. Niinpä k+1 = (n 1)+1 = n Z +, joten f(k) = n todellakin kuuluu joukkoon B. f on injektio, sillä jos f(k 1 ) = f(k ) joillakin k 1, k A, niin ( k1 + 1 ) ( k + 1 ) k 1 + 1 = = k + 1 k 1 = k. f on myös surjektio: Jos m B, niin m = n jollakin n Z +. Siten m 1 = n 1 A ja eli m 1 kuvautuu m:lle. f( ( ( m 1) + 1 ) m 1) = = m = m, Koska löydettiin bijektio joukolta A joukolle B, niin A ja B ovat yhtä mahtavat. 6