TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Tiina Pyykkö. Q-multinomikertoimet

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Tiina Pyykkö Q-multinomikertoimet Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Lokakuu 2008

Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos PYYKKÖ, TIINA: Q-multinomikertoimet Pro gradu -tutkielma, 41 s. Matematiikka Lokakuu 2008 Tiivistelmä Q-binomikertoimet ja q-multinomikertoimet ovat binomikerrointen ja multinomikerrointen yleistyksiä kokonaisluvuilta polynomeille. Tutkielmassa määritellään nämä kertoimet sekä esitetään niihin liittyviä lauseita. Lauseissa annetaan q-binomikertoimien ominaisuuksia sekä eräs niiden sovellus vektoriavaruuksiin. Myös permutaation inversion käsite on keskeinen tutkielmassa, sillä se liittyy q-multinomikertoimiin. Tutkielman keskeisenä näkökulmana onkin tutkia q-multinomikertoimia permutaatioiden lukumäärät niissä olevien inversioiden mukaan generoivana funktiona. Tutkielman alkupuolella määritellään permutaatiot, niissä olevat inversiot sekä generoiva funktio. Luvut 3 ja 4 käsittelevät inversioita. Kolmannessa luvussa käsitellään inversioiden erästä sovellusta lineaarialgebrassa. Inversioiden avulla voidaan nimittäin laskea neliömatriisin determinantti eksplisiittisesti. Neljännessä luvussa puolestaan annetaan generoiva funktio, joka tuottaa kaikkien n alkion pituisten permutaatioiden lukumäärät niissä olevien inversioiden lukumäärien mukaan. Luvussa 5 siirrytään q-binomikertoimiin tutkimalla aluksi niiden ja binomikerrointen yhteisiä ominaisuuksia. Samassa luvussa esitellään myös kaksi erilaista, käytännön läheistä tulkintaa q-binomikertoimille. Luvun 6 aiheena ovat q-multinomikertoimet multijoukon permutaatiot inversioittain generoivana funktiona. Aikaisempien lukujen aiheet luovat pohjaa lukujonojen muodon välttämisen teorialle, johon tutustutaan viimeisessä luvussa. Siinä laajennetaan inversion käsitettä permutaatiossa esiintyviin muotoihin. Luvussa perehdytään kysymykseen siitä, kuinka saadaan annettua muotoa välttävien permutaatioiden lukumäärä sekä tutkitaan esimerkinomaisesti, kuinka voidaan luoda permutaatioita, jotka välttävät erästä annettua muotoa. 2

Sisältö 1 Johdanto 4 2 Määritelmiä ja merkintöjä 5 2.1 Määritelmiä............................ 5 2.2 Permutaation merkintätapoja.................. 6 3 Inversiot 8 3.1 Inversion määritelmä....................... 8 3.2 Neliömatriisin determinantin eksplisiittinen määritelmä.... 9 4 Permutaatiot inversioittain generoiva funktio 12 4.1 Generoiva funktio......................... 12 4.2 Permutaatiot inversioittain generoiva funktio.......... 14 5 Q-binomikertoimet 16 5.1 Q-binomikerrointen määritelmä................. 16 5.2 Vektoriavaruuden aliavaruuksien lukumäärä.......... 20 6 Q-multinomikertoimet 24 6.1 Multinomikertoimet........................ 24 6.2 Q-multinomikertoimet...................... 25 7 Muodon välttämisestä 29 7.1 Muodon välttämisen alkeita................... 29 7.2 Muotoa 231 välttävien permutaatioiden generointi....... 34 Viitteet 39 Liite A 40 Liite B 41 3

1 Johdanto Tämän tutkielma käsittelee q-binomikertoimia ja q-multinomikertoimia, jotka ovat binomikerrointen ja multinomikerrointen yleistyksiä kokonaisluvuilta polynomeille. Tutkielmassa ollaan kiinnostuneita erityisesti q-kerrointen yhteyksistä tavallisiin binomi- ja multinomikertoimiin sekä näiden kerrointen erilaisista tulkintatavoista. Oleellisia ovat myös q-kerrointen sovellukset sekä kombinatorisiin numerointeihin että muihin matematiikan aihealueisiin. Q-binomikerrointen ja q-multinomikerrointen lisäksi muita keskeisiä käsitteitä ovat permutaatiot, niiden inversiot ja muodot sekä generoivat funktiot. Tutkielman keskeisin lause osoittaa, kuinka multijoukon n alkion pituisissa permutaatioissa olevien inversioiden lukumäärät, generoiva funktio sekä q-multionomikertoimet liittyvät yhteen. Permutaatiot inversioittain generoivan funktion löytäminen luo pohjaa paljon laajemman aiheen, muodon välttämisen, ymmärtämiselle. Kun inversiossa otetaan huomioon permutaation kaksi alkiota, tutkii muodon välttäminen useamman alkion keskinäisiä suhteita permutaatiossa. Muodon välttämisen teoria on sekä hyvin laaja että hyvin sovelluskelpoinen matematiikan aihealue. Sen tutkiminen oli kuitenkin päälähdeteokseni kirjoittamishetkellä (2004) vielä pahasti kesken, nimittäin yli neljän alkion muotoa välttävien n alkion permutaatioiden lukumäärälle ei oltu löydetty yleistä tulosta. Tutkielman viimeisessä luvussa esitetään tulos kolmen alkion muotoa välttävien n-permutaatioiden lukumäärälle. Tutkielman sisältö löytyy suureksi osaksi kirjasta Bóna: Combinatorics of Permutations. Lähdeteoksessa useat todistukset jäävät kuitenkin niin lyhyiksi, että tutkielman kirjoittaja on ottanut vapauksia päätellä itse todistuksen kulkua ja täydentää kirjan todistuksia tarkentavilla lisäyksillä. Suurinta osaa tutkielman esimerkeistä ei myöskään ole itse keksitty, vaan ne on lainattu lähdekirjoista pienin muutoksin. Muita lähdeteoksia ovat Burton: Abstract and Linear Algebra, Grimaldi: Discrete and combinatorial mathematics, an applied introduction, Halmos: Finite-Dimensional Vector Spaces ja Simion: Restricted permutations. Tutkielman lukemista helpottaa, jos lukija tuntee hyvin kombinatoriikan, lineaarialgebran ja algebran peruskäsitteistön. 4

2 Määritelmiä ja merkintöjä 2.1 Määritelmiä Tässä luvussa annetaan tutkielmassa esiintyviä merkintöjä selityksineen sekä määritellään tutkielman peruskäsitteitä. Aloitamme määrittelemällä positiivisen kokonaisluvun osituksen ja kertoman sekä joukon A permutaation. Määritelmä 2.1. Olkoot 1 a 1 a 2 a m sellaisia positiivisia kokonaislukuja, että a 1 + a 2 + + a m n. Silloin (a 1, a 2,, a m ) on eräs luvun n m-ositus. Kaikkien luvun n ositusten lukumäärästä käytetään merkintää p(n). Esimerkki 2.1. Luvulla 5 on 7 ositusta, jotka ovat (1, 1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 2), (1, 2, 2), (1, 1, 3), (2, 3), (1, 4) ja (5). Positiivisen kokonaisluvun kertomaa merkitään n! ja se määritellään n! 1 2... n. Määritellään vielä permutaatio, joka on hyvin keskeinen käsite tutkielmassa ja jonka eri tulkintoja ja merkintätapoja tutkitaan seuraavassa kappaleessa. Määritelmä 2.2. Olkoon f : A A bijektio. Silloin sanomme, että f on on joukon A permutaatio. Joukon [n] {1, 2,..., n} kaikkien permutaatioiden joukosta käytetään merkintää S n. Käsitteet kertoma ja permutaatio liittyvät toisiinsa siten, että n alkioisella joukolla on yhteensä n! permutaatiota. Tämä voidaan perustella luonnollisella päättelyllä. Huomataan, että muodostettaessa permutaatiota ensimmäinen alkio voi kuvautua mille tahansa kaikista joukon n alkiosta, toinen alkio voidaan kuvata jollekin jäljelle jääneistä (n 1) alkioista ja niin edelleen. Kun kaikille muille alkioille on jo valittu kuva, kuvautuu viimeinen alkio jäljelle jääneelle alkiolle. Esitetään vielä permutaation ja kertoman välinen yhteys hieman äskeistä yleisemmässä muodossa seuraavassa lauseessa. Todistusta varten määritellään joukkojen tulojoukko sekä esitetään tuloperiaate. Määritelmä 2.3. Joukkojen A ja B tulojoukko eli karteesinen tulo on A B {(x, y) x A y B}. Siis A B koostuu kaikista niistä järjestetyistä pareista (x, y), joilla x A ja y B. 5

Merkitköön N(A) äärellisen joukon A alkioiden lukumäärää ja samoin N(B) äärellisen joukon B alkioiden lukumäärää. Silloin on voimassa N(A B) N(A)N(B). Tätä yhtälöä kutsutaan tuloperiaatteeksi. Tuloperiaate on yksinkertaisuudestaan huolimatta keskeinen kombinatoriikan teoriassa. Käytetään sitä seuraavan lauseen todistuksessa. Lause 2.1. Olkoon A äärellinen joukko. Jos N(A) n ja 0 k n, niin joukon A k-permutaatioiden lukumäärä on n(n 1)(n 2) (n (k 1)) n! (n k)!. Todistus. Olkoon k 0, jolloin väitteen vasemmanpuolisen tulon arvoksi määritellään 1 ja oikeanpuoliseksi tuloksi saadaan n! (n k)! n! n! 1. Olkoon sitten k > 0. Tulkitsemme k-permutaation k-alkioiseksi jonoksi. Sen ensimmäinen alkio voidaan valita n eri tavalla (mikä tahansa joukon A alkio), toinen alkio n 1 tavalla ja niin edelleen. Vihdoin k. alkio voidaan valita n (k 1) eri tavalla. Väitös seuraa nyt tuloperiaatteesta. Lauseen 2.1 tulos saadaan koskemaan joukon [n] n-permutaatioita, kun asetetaan k n. 2.2 Permutaation merkintätapoja Permutaatiolla esiintyy matematiikassa useita tulkintoja. Tässä tutkielmassa permutaatio tulkitaan useimmiten äärellisen joukon, erityisesti joukon [n], alkioiden järjestyksenä ja siitä käytetään merkintää p p 1 p 2... p n, missä p i [n] ja jokainen p i esiintyy permutaatiossa vain kerran. Seuraava permutaatiosta käytetty merkintä muistuttaa edellistä merkintätapaa enemmän permutaation määritelmää: f : [n] [n], f(1) p 1, f(2) p 2,..., f(n) p n. Funktiona voidaan ajatella myös seuraavaa permutaation kaksirivistä merkintää, jossa ylemmällä rivillä olevat alkiot kuvautuvat alemman rivin alkioiksi: 6 ( ) 1 2 n. p 1 p 2 p n

Esitellään vielä yksi permutaation esitystapa, joka korostaa kuvauksen sisäisiä syklejä. Tarkoittakoon merkintä f m (x) saman kuvauksen m peräkkäistä soveltamista muuttujaan x, toisin sanoen määritellään f m (x) f(f(...f(x))), missä kuvaus f toistuu m kertaa. Valitaan sitten esimerkkipermutaatioksi f 34152. Funktiossa f : [5] [5], f(1) 3, f(2) 4, f(3) 1, f(4) 5, f(5) 2 alkiot 1 ja 3 kuvautuvat toisilleen sekä samoin alkiot 2, 4 ja 5 kuvautuvat toinen toisilleen. Siis riippumatta siitä, kuinka monesti kuvausta f sovelletaan, saamme f m (1) 3 tai f m (1) 1. Samoin saadaan f m (2) 4, f m (2) 5 tai f m (2) 2. Funktio f siis permutoi syklisesti alkiot 1 ja 3 sekä alkiot 2, 4 ja 5. Tällaista permutaatiota voidaan merkitä p (13)(245). Merkintätapaa tulkitaan siten, että syklin sisällä alkio kuvautuu oikealla puolellaan olevaksi alkioksi, ja syklin viimeinen alkio kuvautuu syklin ensimmäiseksi alkioksi. Esimerkiksi permutaation p (1)(62)(7354) kaksirivinen merkintä on p ( ) 1 2 3 4 5 6 7. 1 6 5 7 4 2 3 On huomattava, että p (13)(245) (245)(13) (452)(31) ja niin edelleen, sillä alkiot kuvautuvat samoiksi alkioiksi riippumatta esitystavan järjestyksestä. Syklisen notaation kanonisoitu muoto on sellainen, että syklin sisällä kirjoitetaan suurin luku ensin, ja järjestetään sitten sulkeet ensimmäisen luvun mukaan nousevasti. Esimerkkipermutaatiomme syklisen esitystavan kanonisoitu muoto on siis p (31)(524). Permutaatioiden joukko S n voidaan tulkita myös abstraktin algebran näkökulmasta. Vaikka näkökulma ei olekaan keskeinen tulkielman myöhempien tulosten kannalta, on se esitelty tässä, koska se syventää permutaation käsitettä. Aiheeseen liittyvät määritelmät on liitetty tutkielman loppuun liitteeseen A. Algebrallista struktuuria (S n, ) kutsutaan symmetriseksi ryhmäksi, kun määritellään S n {α : [n] [n] α on bijektio} ja laskutoimitus määritellään kuvausten α yhdistämiseksi. Lisäksi sykliset permutaatiot muodostavat algebrallisen struktuurin (S n, ) aliryhmiä. Tämän väitteen yleinen todistus sivuutetaan tässä tutkielmassa, mutta tarkastellaan mielenkiinnon vuoksi aihetta yksittäisen esimerkin avulla. Esimerkki 2.2. Ks. [2, s. 128]. Olkoon joukon [4] kaikkien permutaatioiden muodostama symmetrinen ryhmä (S 4, ), missä S 4 {α : [4] [4] α on bijektio} ja laskutoimitus merkitsee relaatioiden α yhdistämistä. Silloin joukko 7

S {α 1, α 2, α 3, α 4 } ( ) 1 2 3 4 {, 1 2 3 4 on ryhmän (S 4, ) aliryhmä. ( ) 1 2 3 4, 2 1 4 3 ( ) 1 2 3 4, 3 4 1 2 ( ) 1 2 3 4 } 4 3 2 1 Todistus. Joukko S 4 on äärellinen ryhmä, koska neljän alkion permutaatioiden lukumäärä on 4! 24. Joukko S on epätyhjä joukon S 4 osajoukko, joten todistuksessa voidaan soveltaa äärellisten joukkojen aliryhmäkriteeriä 1. Valitaan ensin alkiot α 2 ja α 4 ja osoitetaan, että α 2 α 4 S. Koska α 2 (α 4 (1)) α 2 (4) 3, α 2 (α 4 (2)) α 2 (3) 4, α 2 (α 4 (3)) α 2 (2) 1 ja α 2 (α 4 (4)) α 2 (1) 2, niin huomataan, että α 2 α 4 ( ) 1 2 3 4 α 3 4 1 2 3 S. Samalla tavoin käydään läpi kaikki yhdistelmät α i α j ja huomataan, että α i α j S aina, kun i, j {1, 2, 3, 4}. Siis aliryhmäkriteerin nojalla (S, ) on ryhmän (S 4, ) aliryhmä. Mainitaan vielä, että symmetrisen ryhmän (S n, ) aliryhmiä kutsutaan permutaatioryhmiksi. Niin kutsutun Cayleyn lauseen kautta permutaatioryhmät liittyvät erääseen ryhmäteorian perustuloksista. Tämä tutkielma ei kuitenkaan syvenny aiheeseen. 3 Inversiot 3.1 Inversion määritelmä Inversion käsite liittyy permutaatioihin, sillä sen avulla kuvataan permutaation alkioiden keskinäistä järjestystä. Joukon [n] permutaatioista p 12 n on "parhaiten järjestetty", sillä siinä ei ole yhtään alkiota, joka olisi "epäjärjestyksessä". Tässä kappaleessa määritellään hieman tarkemmin, mitä permutaation alkioiden järjestyksellä tarkoitetaan määrittelemällä permutaation nousun, laskun ja inversion käsitteet. Määritelmä 3.1. Olkoon p p 1 p 2 p n joukon [n] jokin permutaatio. Sanotaan, että i on permutaation p lasku, jos p i > p i+1. Vastaavasti sanotaan, että i on permutaation p nousu, jos p i < p i+1. Kaikkien permutaation laskujen joukkoa merkitään D(p) ja tämän joukon kardinaalilukua merkitään d(p). 1 Ks. lause 7.7 liitteessä A 8

Esimerkki 3.1. Olkoon p 1432, jolloin permutaation nousukohta on 1 sekä laskukohdat 2 ja 3. Siis D(p) {2, 3} ja d(p) 2. Määritelmä 3.2. Olkoon p p 1 p 2 p n permutaatio. Sanotaan, että (p i, p j ) on permutaation p inversio, jos i < j mutta p i > p j. Permutaation p inversioiden lukumäärästä käytetään merkintää i(p). Kaikille n-permutaatioille pätee, että 0 i(p) ( n 2). Selvästi inversioiden lukumäärä ei voi olla negatiivinen. Inversioiden lukumäärä ei voi myöskään ylittää joukon [n] kaikkien 2-kombinaatioiden määrää. Inversioiden lukumäärä saa pienimmän arvonsa, kun p 12... n ja suurimman mahdollisen arvon, kun p n(n 1)... 1. Esimerkki 3.2. Olkoon p 4312, jolloin i(p) 5. Permutaation p inversiot ovat (4, 3), (4, 1), (4, 2), (3, 1) ja (3, 2). 3.2 Neliömatriisin determinantin eksplisiittinen määritelmä Joukon [n] permutaatioille ja niiden inversioiden lukumäärille löytyy kiinnostavia sovelluksia kombinatoriikan ulkopuolelta, kuten esimerkiksi lineaarialgebrasta. Tämän kappaleen aiheena on neliömatriisin determinantin eksplisiittinen määritelmä, joka on yksi näistä sovelluksista. Eksplisiittisessä määritelmässä esiintyvät sekä kaikki joukon S n permutaatiot että niiden inversioiden lukumäärät. Neliömatriisin A n n determinantilla on useita erilaisia laskutapoja, jotka usein perustuvat rekursiiviseen lähestymistapaan. Toisin sanoen determinantti määritellään käyttäen laskennassa matriisin A osamatriisien determinantteja. Ennen eksplisiittistä määritelmää esitetään monien tuntema matriisin determinantin rekursiivinen määritelmä, jota käytetään eksplisiittisen määritelmän todistuksessa. ( ) a11 a Määritelmä 3.3. Olkoot A 2 2 12 ja A a 21 a n n (a ij ) matriiseja. 22 Silloin determinantti deta määritellään i) deta 2 2 a 11 a 22 a 12 a 21 ja ii) deta n n n j1 ( 1)j 1 a 1j deta 1j, missä A 1j on sellainen (n 1) (n 1)-matriisi joka saadaan matriisista A n n poistamalla siitä 1. rivi ja j. sarake. Determinantin eksplisiittisen määritelmän vahvuutena on, että laskenta ei vaadi useita iteraatiokierroksia isonkaan matriisin tapauksessa, vaan kertoimet voidaan valita suoraan alkuperäisestä matriisista selkeän logiikan 9

mukaan. Seuraavassa lauseessa esitetään kyseinen määritelmä, jossa kokoa n n olevan matriisin determinantti määritellään joukon [n] permutaatioiden ja niissä olevien inversioiden lukumäärän avulla. Lause 3.1. Olkoon A (a ij ) kokoa n n oleva matriisi. Silloin matriisin A determinantti saadaan kaavalla deta p S n ( 1) i(p) a 1p1 a 2p2 a npn. Kaavassa siis käydään läpi jokainen permutaatio p S n. Kunkin permutaation alkiot p 1, p 2,..., p n sijoitetaan järjestyksessä tulon tekijöiden toisen indeksin paikalle. Näillä sijoituksilla saadaan matriisista A poimittua tuloon juuri sellaiset n alkion kombinaatiot, joissa on täsmälleen yksi alkio mukana kultakin matriisin riviltä ja sarakkeelta. Esimerkiksi matriisin alkiot a 11, a 22,..., a nn täyttävät hyväksyttävän kombinaation kriteerin. Alkioiden tulon etumerkki määräytyy kombinaatiota vastaavan permutaation inversioiden lukumäärän mukaan, sillä kertoimen ( 1) potenssina on i(p). Nyt determinantiksi saadaan näiden tulojen summa. Todistus. Vrt. [1, s. 56]. Todistetaan lause induktiolla muuttujan n suhteen. Valinnalla n 1 lause 3.1 pätee selvästi. Osoitetaan vielä, että lause on voimassa matriisille A 2 2. Joukossa S 2 on 2! 2 permutaatiota, joille pätee, että i(12) 0 ja i(21) 1. Sijoittamalla permutaatiot kaavaan saadaan aluksi deta p S 2 ( 1) i(p) a 1p1 a 2p2 ( 1) i(p) a 11 a 22 + ( 1) i(p) a 12 a 21. Kun sijoitetaan vielä permutaatioiden inversioiden lukumäärät kaavaan, saadaan deta ( 1) 0 a 11 a 22 + ( 1) 1 a 12 a 21 a 11 a 22 a 12 a 21, mikä pätee determinantin rekursiivisen määritelmän nojalla. Siis lause 3.1 pätee, kun n 2. Oletetaan sitten, että lause pätee kokoa (n 1) olevalle matriisille ja osoitetaan tästä seuraavan, että se pätee myös matriisille A n n. Jos A 1j on sellainen matriisi, joka on saatu matriisista A poistamalla siitä 1. rivi ja j. sarake, niin induktio-oletuksen nojalla deta 1j q ( 1) i(q) a 2q2 a 3q3 a nqn, missä permutaatio q q 2 q 3 q n on erään permutaation p S n osittaispermutaatio. Toisin sanoen se on alkioiden 1, 2,, j 1, j + 1,, n jokin järjestys kun j 1, 2,..., n. Kertomalla yllä oleva yhtälö alkiolla a 1j täydentyy 10

osittaismatriisin A 1j alkioista laskettavat tulot sellaisilla alkuperäisen matriisin alkioilla, jotka eivät ole tuloissa jo olevien alkioiden kanssa samalla rivillä eivätkä sarakkeella. Muuttujan j käydessä läpi kaikki mahdolliset arvot 1, 2,..., n muodostuu kertolaskusta a 1j deta 1j lauseen 3.1 kaavassa esiintyvät termit. Siis sijoittamalla induktio-oletuksen mukainen kaava matriisin A n n determinantin rekursiiviseen kaavaan saadaan deta n n n ( 1) j 1 a 1j deta 1j j1 n [ ( 1) j 1 a 1j ( q ( 1)i(q) a 2q2 a 3q3 a nqn ) ] j1 n [ ( 1) j 1 ( q ( 1)i(q) a 1j a 2q2 a 3q3 a nqn ) ]. j1 Todistus täydentyy osoittamalla, että termien etumerkit vastaavat determinantin molemmissa esitystavoissa toisiaan riippumatta muuttujan j valinnasta. Huomataan, että permutaatiossa p jq 2 q 3 q n on täsmälleen j 1 inversiota enemmän kuin permutaatiossa q q 2 q 3 q n, sillä alkion j jälkeen permutaatiossa on j 1 sitä pienempää alkiota. Siis i(p) i(q) + (j 1) kaikilla muuttujan j arvoilla. Tätä yhteyttä permutaatioiden p ja q inversioiden lukumäärien välillä hyödynnetään todistuksen loppuun saattamisessa. Jatkamalla determinantin deta n n lauseekkeen muokkaamista siitä, mihin jäätiin, saadaan n j1( 1) j 1 ( ( 1) i(q) a 1j a 2q2 a 3q3 a nqn ) q n ( 1) i(q)+(j 1) a 1j a 2q2 a 3q3 a nqn ) p j1( q n j1( q ( 1) i(p) a 1j a 2q2 a 3q3 a nqn ) ( 1) i(p) a 1j a 2q2 a 3q3 a nqn. Todistimme siis lauseen 3.1 väitteen osoittamalla suoraan laskemalla, että on voimassa deta n n n j1( 1) j 1 a 1j deta 1j p ( 1) i(p) a 1j a 2q2 a 3q3 a nqn. 11

Esimerkki 3.3. Lasketaan determinantti matriisille 7 1 5 M 2 3 0. 8 11 6 Joukolla [3] on 3! 6 permutaatiota, joista permutaatioissa 123, 312 ja 231 on parillinen määrä inversioita. Permutaatioissa 132, 213 ja 321 puolestaan inversioita on pariton määrä. Siis matriisin M determinantiksi saadaan detm p S 3 ( 1) i(p) m 1p1 m 2p2 m np3 m 11 m 22 m 33 + m 13 m 21 m 32 + m 12 m 23 m 31 m 11 m 23 m 32 m 12 m 21 m 33 m 13 m 22 m 31 7 3 6 + 5 2 11 + 1 0 8 7 0 11 1 2 6 5 3 8 104 4 Permutaatiot inversioittain generoiva funktio 4.1 Generoiva funktio Generoiva funktio on sarja, jonka termien kertoimilla ja potensseilla on erityinen merkitys. Ennen generoivan funktion varsinaista määritelmää annetaan esimerkki, joka valaisee tapaa, jolla generoivaa funktiota voidaan hyödyntää ongelmien ratkaisuissa. Esimerkkiä vastaavia generoivan funktion sovelluksia löytyy lisää lähteestä [3, s. 323-325]. Esimerkki 4.1. Kuinka monella tavalla 10 identtistä palloa voidaan jakaa henkilöiden A, B ja C kesken niin, että henkilö B saa vähintään 1 ja korkeintaan 3 palloa, kun taas henkilö C saa vähintään 2 ja korkeintaan 6 palloa? Tehtävä voidaan ratkaista muodostamalla generoiva funktio, joka on muotoa a i x i a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + i0 Sarjassa esiintyvien termien potenssit osoittavat jaossa olevien pallojen lukumäärän ja sen kertoimista löytyy vastaus tehtävän kysymykseen. Aloitetaan generoivan funktion etsintä muodostamalla kunkin henkilön saamien pallojen lukumäärästä polynomi siten, että muutujan x potenssi käy läpi kaikki mahdolliset henkilölle annettujen pallojen lukumäärät, ja asetetaan jokaisen termin kertoimeksi 1. Siis henkilön B polynomiksi saadaan 12 b(x) x 1 + x 2 + x 3

ja henkilön C polynomi on muotoa c(x) x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6. Henkilön A pallojen lukumäärää ei ole etukäteen rajoitettu, mutta koska henkilö B voi saada korkeintaan kolme palloa ja henkilö C korkeintaan kuusi palloa, on Henkilön A saatava vähintään 1 pallo. Vastaavasti päätellään, että A voi saada korkeintaan 7 palloa. Siis henkilön A polynomiksi muodostuu a(x) x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7. Kertomalla polynomit a(x),b(x) ja c(x) keskenään saadaan etsimämme generoiva funktio p(x) x 4 + 3x 5 + 6x 6 + 9x 7 + 12x 8 + 14x 9 + 15x 10 + 14x 11 + 12x 12 + 9x 13 + 6x 14 + 3x 15 + x 16. Nyt polynomin p(x) jokaisen termin kerroin ilmoittaa, kuinka monella tavalla tehtävän alussa annettujen ehtojen rajoissa pallot voidaan jakaa, kun jaossa on termin potenssin osoittaman muuttujan verran palloja. Tällöin vastaus esimerkin kysymykseen saadaan termistä, jonka muuttuja korotetaan potenssiin 10. Siis pallot voidaan jakaa henkilöiden A, B ja C kesken 15 tavalla, kun palloja on kymmenen ja annetut ehdot rajoittavat jakamista. Kaikki mahdolliset jakotavat on vielä esitetty seuraavassa listassa, josta voidaan tarkistaa, että mahdollisten jakotapojen lukumäärä on todellakin 15. A B C 1 3 6 2 2 6 2 3 5 3 1 6 3 2 5 3 3 4 4 1 5 4 2 4 4 3 3 5 1 4 5 2 3 5 3 2 6 1 3 6 2 2 7 1 2 13

Esimerkissä muodostettua polynomia p(x) voidaan kutsua "erilaiset jakotavat pallojen lukumäärien mukaan generoivaksi funktioksi". Seuraavaksi annetaan generoivan funktion varsinainen määritelmä. Määritelmä 4.1. Olkoon (a i ) i0 a 0, a 1, a 2,... jono reaalilukuja. Tällöin funktiota f(x) a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a i x i kutsutaan annetun jonon generoivaksi funktioksi. Generoivan funktion voidaan siis ajatella olevan myös eräs lukujonon esitysmuoto. Kuten edellisen esimerkin avulla huomasimme, generoivaksi funktioksi muodostuu usein äärettömän sarjan sijasta äärellinen polynomi. Esimerkki 4.2. [3, s. 327] Binomilauseen mukaan kaikilla n Z + pätee i0 (x + 1) n n k0 ( ) n x k 1 n k k ( ) n x 0 + 0 ( ) n x 1 + 1 ( ) n x 2 + + 2 ( ) n x n. n Polynomi (1 + x) n on siis jonon ( n 0), ( n 1), ( n 2),..., ( n n) generoiva funktio. 4.2 Permutaatiot inversioittain generoiva funktio Seuraavassa lauseessa annetaan funktio, joka generoi joukon [n] n alkion pituisten permutaatioiden lukumäärät sen mukaan, kuinka monta inversiota permutaatiossa on. Käytetään tästä generoivasta funktiosta merkintää I n (x). Lause 4.1. Jokaisella positiivisella kokonaisluvulla n 1 pätee, että I n (x) p S n x i(p) (1 + x)(1 + x + x 2 ) (1 + x + x 2 + + x n 1 ). Ennen varsinaista todistusta tarkastellaan, miten generoivan funktion termit ja joukon [n] permutaatioiden inversiot liittyvät toisiinsa intuitiivisella tasolla. Tehdään niin tutkimalla joukon [3] permutaatiot generoivaa funktiota, joka on I 3 (x) (1 + x)(1 + x + x 2 ) 1 1 + 1 x + 1 x 2 + x 1 + x x + x x 2 1 + x + x 2 + x + x 2 + x 3. Joukossa S 3 on kuusi erilaista 3-permutaatiota, jotka ovat p 1 123, p 2 132, p 3 312, p 4 213, p 5 231 ja p 6 321. Vastaavat inversioiden lukumäärät ovat i(p 1 ) 0, i(p 2 ) 1, i(p 3 ) 2, i(p 4 ) 1, i(p 5 ) 2 ja i(p 6 ) 3. 14

Nyt esimerkiksi funktion I 3 (x) ensimmäinen termi voidaan kirjoittaa muotoon 1 x 0 ja se vastaa permutaatiota p 1 123, jossa ei ole yhtään inversiota. Seuraava termi x 1 x 1 vastaa permutaatiota p 2 132, jossa on yksi inversio. Samalla tavalla voidaan todeta kaikkien generoivan funktion termien vastaavan joukosta [3] muodostettuja permutaatioita. Suorittamalla vielä funktion I 3 (x) yhteenlaskut saadaan generoivan funktion lopullinen muoto I 3 (x) 1 + 2x + 2x 2 + x 3. Funktion toisen termin 2 x 1 perusteella voidaan päätellä, että yhden inversion sisältäviä permutaatioita on joukossa S 3 yhteensä 2 kappaletta. Tämä todella pätee, sillä vain permutaatioissa p 2 ja p 4 on 1 inversio. Toinen huomio ennen varsinaista todistusta on, että joukon [n] permutaatiot saadaan muodostettua joukon [n 1] permutaatioista lisäämällä niihin luku n jokaiselle mahdolliselle paikalle. Esimerkiksi joukon [3] kaikki permutaatiot saadaan permutaatioista 12 ja 21 lisäämällä luku 3 permutaatioiden alkuun, keskelle ja loppuun. Nyt olemme valmiit siirtymään varsinaiseen todistukseen. Todistus. Vrt.[1, s. 43-44]. Lauseen 4.1 todistus tehdään induktiolla muuttujan n suhteen. Aloitetaan todistus tarkastelemalla tapausta n 2, toisin sanoen tarkastellaan permutaatioita p 1 12 ja p 2 21. Nyt joukossa [n] on olemassa yksi sellainen permutaatio, jossa ei ole yhtään inversiota ja vastaavasti yksi sellainen, jossa on yksi inversio. Siis generoivassa funktiossa sekä termin x 0 että termin x 1 kertoimena on oltava luku 1. Näin onkin, sillä p S 2 x i(p) 1 + x. Tehdään sitten induktio-oletus, että lause 4.1 pätee luvulle n 1 ja todistetaan, että se pätee tällöin myös luvulle n. Olkoon p joukon [n 1] permutaatio. Muodostetaan permutaatio q S n lisäämällä alkio n permutaatioon p satunnaiselle paikalle. Jos n sijoitetaan permutaation p loppuun, ei synny uusia inversioita, sillä sen jälkeen permutaatiossa ei ole sitä pienempiä alkioita. Jos se puolestaan sijoitetaan toiseksi viimeiselle paikalle, syntyy yksi uusi inversio, sillä n on suurempi kuin yksikään muista permutaation q alkioista. Voidaan yleistää, että uusien inversioiden lukumäärä on sama kuin permutaatiossa q alkion n jälkeen tulevien alkioiden lukumäärä. Tämä johtuu siitä, että n muodostaa inversion jokaisen sen jälkeen tulevan itseään pienemmän alkion kanssa, mutta ei yhdenkään vasemmanpuoleisen alkion kanssa. Uusi permutaatio q sisältää siis 0, 1,... tai n 1 kappaletta enemmän inversioita kuin alkuperäinen permutaatio p riippuen paikasta, jolle alkio n sijoitetaan. Oletetaan sitten, että joukon S n 1 alkiota p vastaa generoivan funktion termi x a1 x a2 x a n 1 todistusta edeltävää tarkastelua vastaavalla tavalla. 15

Permutaatiossa on siis a 1 + +a n 1 inversiota. Sijoitetaan alkio n permutaatioon p siten, että se edeltää permutaatiossa täsmälleen i alkiota. Tällöin joukon S n permutaatiota q vastaa generoivan funktion termi x a1 x a2 x a n 1 x i, sillä permutaatiossa q on täsmälleen i inversiota enemmän kuin permutaatiossa p. Saamme siis jokaista permutaatiosta p muodostettua permutaatiota vastaavan generoivan funktion termin kertomalla x a1 x a2 x a n 1 termeillä x 0, x 1, x 2,, x n 2 tai x n 1. Sama päättely pätee kaikille permutaatioille p S n 1 ja q S n. Siispä kaikista permutaatioista p muodostettuja permutaatioita q vastaavat generoivan funktion termit saadaan muodostettua kertomalla koko permutaatioita p vastaava generoiva funktio termeillä x 0, x 1, x 2,, x n 2 ja x n 1. Näin saadaan permutaatiot q inversioittain generoiva funktio I n (x) I n 1 (x)(1+x+ +x n 1 ) (1+x)(1+x+x 2 ) (1+x+x 2 + +x n 1 ). On siis todistettu, että kun lause 4.1 pätee (n 1)-permutaatioille, se pätee myös n-permutaatioille. Tällöin induktioperiaatteen nojalla lause on tosi aina, kun 2 n. Esimerkki 4.3. Olkoon S 6 joukon [6] kaikkien permutaatioiden joukko. Muodostetaan generoiva funktio I 6 (x) (1 + x)(1 + x + x 2 )(1 + x + x 2 + x 3 )(1 + x + x 2 + x 3 + x 4 ) (1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ) 1 + 5x + 14x 2 + 29x 3 + 49x 4 + 71x 5 + 90x 6 + 101x 7 + 101x 8 + 90x 9 + 71x 10 + 49x 11 + 29x 12 + 14x 13 + 5x 14 + x 15. Laskemalla kaikkien termien kertoimet nähdään, että joukossa S 6 on 720 permutaatiota. Sama tulos saadaan tietysti myös laskemalla kertoma 6!. Generoivasta funktiosta löytyy muun muassa vastaus kysymykseen, kuinka monessa joukon S 6 permutaatiossa on yli kymmenen inversiota. Vastaus on 49 + 29 + 14 + 5 + 1 98 permutaatiossa. 5 Q-binomikertoimet 5.1 Q-binomikerrointen määritelmä Tässä luvussa tutustutaan q-binomikerrointen käsitteeseen, todistetaan kertoimia koskevia lauseita ja tutkitaan niiden yhteyksiä tavallisiin binomikertoimiin. Seuraavat lukijalle kenties tuntemattomat merkinnät liittyvät q- binomikertoimiin: 16 [n] 1 + q + q 2 + + q n 1

[n]! [1] [2] [n] Lisäksi määrittelemme, että [0] 1. Joukon [n] ja polynomin [n] merkintätavat muistuttavat toisiaan, joten ne saattavat sekaantua keskenään, ellei lukija ole huolellinen. Jos sijoitamme polynomiin [n] muuttujan paikalle q 1, saamme [i] 1 + 1 + 1 2 + 1 i 1 i. Samoin [n]! [1] [2] [n] q 0 (q 0 + q 1 )(q 0 + q 1 + q 2 ) (q 0 + q 1 + + q n 1 ) 1(1 + 1)(1 + 1 + 1) (1 + 1 + + 1) 1 2 n n!. Kertoma n! on siis merkinnän [n]! erikoistapaus, kun q 1. Ennen q-binomikertoimien määrittelemää palautetaan mieleen vielä tavalliset binomikertoimet. Määritelmä 5.1. Olkoot k ja n sellaiset ei-negatiiviset kokonaisluvut joille pätee k n. Silloin binomikerroin lasketaan kaavalla ( ) n n! k k!(n k)!. Binomikertoimen avulla voidaan laskea, kuinka monella eri tavalla voidaan n alkion joukosta muodostaa sellainen osajoukko, jossa on k alkiota. Tälläista osajoukkoa kutsutaan k-kombinaatioksi. Binomikerrointen ja q-binomikerrointen tulkinnoissa on joitakin yhteyksiä, kuten kerrointen nimet vihjaavatkin. Myös q-binomikerrointen määritelmä muistuttaa paljon binomikerrointen määritelmää. Määritelmä 5.2. Olkoot k ja n sellaiset positiiviset kokonaisluvut, joille pätee k n. Silloin q-binomikerroin lasketaan kaavalla [ ] n k [n]! [k]![(n-k)]!. Kuten aikaisemmin todettiin, sijoittamalla q-binomikerrointen kaavaan q 1 huomataan, että [n]! n!, [k]! k! ja [n-k]! (n k)! Määritelmän 5.2 kaavan oikea puoli typistyy siis tavalliseksi binomikeroimeksi tällä sijoituksella. Seuraavassa lauseessa osoitetaan edelleen uusi yhteinen ominaisuus näiden kerrointen välille. [ ] [ ] n n Lause 5.1. Q-binomikertoimille pätee yhtälö. k n-k Todistus. Koska [k]! [1] [2] [k] 1 (1 + q) (1 + q + + q k 1 ) 1 (1 + q) (1 + q + + q n (n k) 1 ) [n-(n-k)]!, 17

niin [ ] n k [n]! [k]![n-k]! [n]! [n-k]![k]! [ ] [n]! n [n-k]![n-(n-k)]!. n-k Seuraavassa lauseessa on esitetty q-binomikerrointen eräs tulkinta, joka binomikerrointen lailla liittyy n-alkioisen joukon k-kombinaatioihin. Lause 5.2. Olkoot n ja k sellaiset ei-negatiiviset kokonaisluvut, joille pätee k n. Käytetään merkintää a i joukon [n] sellaisten k-alkioisten osajoukkojen lukumäärästä, joiden alkioden summa on i + ( ) k+1 2. Silloin saadaan 2 [ ] k(n k) n a k i q i. i0 Toisin sanoen q-binomikerroin on joukon [n] k-alkioiset osajoukot niiden alkioiden summien mukaan generoiva funktio. Ennen lauseen 5.2 todistusta esitetään kuitenkin vielä eräs apulause. Apulause on helppo todistaa suoraan laskemalla q-binomikerrointen määritelmää käyttäen, mutta todistus on pituutensa vuoksi liitetty tutkielman loppuun liitteeksi B. Apulause 5.1. Q-binomikertoimille pätee, että [ ] [ ] n n-1 q n k + k k-1 [ n-1 k Lauseen 5.2 todistuksessa hyödynnetään juuri esitettyä apulausetta. Nyt voimme siis siirtyä käsittelemään lauseen 5.2 todistusta. Todistus. Vrt.[1, s. 59-60]. Todistus tehdään induktioperiaatteen avulla muuttujan n suhteen. Aloitetaan muuttujan arvosta n 1. Joukosta [1] voidaan muodostaa vain yhden alkion kombinaatio {1}. Lisäksi mahdollisia osajoukkojen summia on vain yksi, joten osajoukkojen lukumäärät niiden summien mukaan generoivassa funktiossa on oltava yksi termi jonka kerroin on 1. Nyt voidaan huomata, että lause 5.2 pätee kun n 1 ja k 1, sillä q- binomikerrointen avulla generoivaksi funktioksi saadaan ]. [ ] 1 [1]! 1 [1]![0]! [1] [1][1] 1 1 1 1 1 q0. Lauseen 5.2 väite pätee, kun i 0, koska tällä sijoituksella saadaan myös osajoukon summaksi i + ( ) ( k+1 2 0 + 2 ) 2 1. 2 Lähdekirjassa kaava esitetään muodossa i ( ) k+1 2. Tämä tarkoittaisi kuitenkin, että joukon [n] eräiden osajoukkojen alkioiden summat olisivat negatiivisia, mikä ei ole tietenkään mahdollista. 18

Oletetaan sitten, että väite pätee joukolle [n 1] ja todistetaan väite joukolle [n]. Apulauseen 5.1 nojalla q-binomikertoimet voidaan hajoittaa rekursiiviseksi kaavaksi, joten riittää todistaa, että polynomit k(n k) i0 toteuttavat saman rekursiivisen suhteen. Merkitään todistusta varten kirjaimella b i joukon [n 1] sellaisten k-alkioisten osajoukkojen lukumäärää, joiden alkioiden summa on i+ ( ) k+1 2. Olkoon vastaavasti ci joukon [n 1] niiden (k 1)-alkioisten osajoukkojen lukumäärä, joiden alkioiden summa on i+ ( k 2). Oletukset siitä, että b i ja c i todella vastaavat edellä määriteltyjä osajoukkojen lukumääriä voidaan tehdä nojautuen induktio-oletukseen, jonka mukaan lauseen 5.2 väite pätee joukolle [n 1]. Osoitetaan nyt, että q-binomikertoimet voidaan kirjoittaa rekursiivisesti b i :n ja c i :n avulla seuraavalla tavalla: k(n k) i0 a i q i k(n k 1) i0 a i q i b i q i + q n k (k 1)(n k) i0 c i q i. Riittää osoittaa, että a i b i +c i q n k kaikilla i, missä määrittelemättömät termit tulkitaan nolliksi. Nyt b i sisältää kaikkien niiden k-kombinaatioiden lukumäärät, joissa ei ole mukana lukua n ja joiden summa on i + ( ) k+1 2. Tarvitsee enää siis osoittaa, että termissä c i q n k tulevat lasketuksi kaikki sellaiset joukon [n] kombinaatiot, joissa on mukana luku n ja joiden alkioiden summa on i + ( ) ( k+1 2. Lasketaan ensiksi lukujen i + k+1 ) ( 2 ja i + k ) 2 erotus, joksi saadaan ( ( i + k+1 )) ( ( 2 i + k (k + 1)k k(k 1) 2)) k. 2 2 Palautetaan vielä mieleen, että c i ilmaisee kaikkien sellaisten joukon [n 1] (k 1)-kombinaatioiden lukumäärän, joiden summa on i + ( k 2). Kun näihin kombinaatioihin lisätään alkio n ja ( ) ( k kirjoitetaan muotoon k+1 ) k, niin 2 huomataan, että nyt c i ilmaisee niiden joukon [n] k-kombinaatioiden lukumäärän, joiden summa on (i + n k) + ( ) k+1 2. Koska meitä kiinnostaa tietää niiden kombinaatioiden lukumäärä, joiden summa on i + ( ) k+1, meidän on valittava c i :n sijasta c i (n k), jotta laskemalla yhteen b i ja c i (n k) saadaan haluttu tulos a i. Generoivassa funktiossa muutos indeksien valinnassa vaikuttaa seuraavalla tavalla: c i (n k) q i c i q i+n k, joten a i q i b i q i + c i q i+n k b i q i + c i q i q n k. Näin ollen lause 5.2 on todistettu. Esimerkki 5.1. Olkoot n 4 ja k 2. Joukon [4] 2-alkioiset osajoukot ovat {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4} ja {3, 4}. Vastaavat osajoukkojen alkioden 2 2 19

summat ovat 3, 4, 5, 5, 6 ja 7. Siis osajoukot summien mukaan generoivan funktion tulisi saada muoto 1 + q + 2q 2 + q 3 + q 4. Näin tapahtuukin, sillä [ ] n [4]! k [2]![2]! [1][2][3][4] [1][2][1][2] (1 + q)(1 + q + q2 )(1 + q + q 2 + q 3 ) (1 + q)(1 + q) (1 + 2q + 3q2 + 3q 3 + 2q 4 + q 5 ) (1 + q) (1 + q)(1 + q + 2q2 + q 3 + q 4 ) (1 + q) (1 + q + 2q 2 + q 3 + q 4 ). Sekaannuksen varalta huomautetaan vielä, että generoivassa funktiossa muuttuja i ei siis osoita alkioiden summaa. Sen sijaan edellisen esimerkin avulla huomataan, että i 0 osoittaa kohdan, josta löytyy pienimmän mahdollisen summan 3 kerroin. Samoin i k(n k) 4 osoittaa suurimman mahdollisen summan 7 sijainnin. 5.2 Vektoriavaruuden aliavaruuksien lukumäärä Q-binomikertoimen polynomilla on muitakin tulkintoja kuin joukon [n] osajoukot summien mukaan generoiva funktio. Tässä kappaleessa esitetään kiinnostava q-binomikertoimen sovellus vektoriavaruuksiin. Ennen sitä määritellään muutamia sovellukseen liittyviä käsitteitä. Seuraavan käsitteen määritelmä löytyy alkuperäisenä lähteestä [4, s. 1-2]. Määritelmä 5.3. Skalaarien joukkoa F yhdessä laskutoimitusten summa ja tulo sanotaan kunnaksi, jos joukon alkioille pätevät seuraavat ehdot: (A) Jokaista mielivaltaista skalaariparia x ja y vastaa skalaari x + y, jolle pätee, että A1. x + y y + x (summa on kommutatiivinen), A2. (x + y) + z x + (y + z) (summa on assosiatiivinen), A3. on olemassa sellainen yksikäsitteinen skalaari 0, että x + 0 x kaikilla x ja A4. kaikilla x on olemassa sellainen yksikäsitteinen skalaari x, että x + ( x) 0. (B) Jokaista mielivaltaista skalaariparia x ja y vastaa skalaari xy, jolle pätee, että 20

B1. xy yx (tulo on kommutatiivinen), B2. (xy)z x(yz) kaikilla (tulo on assosiatiivinen), B3. on olemassa sellainen yksikäsitteinen skalaari 1, että x1 x kaikilla x ja B4. kaikilla nollasta eroavilla skalaareilla x on olemassa sellainen yksikäsitteinen x 1, että xx 1 1. Lisäksi joukon F alkioille on oltava voimassa ehto C1. x(y + z) xy + xz. Tunnettuja kuntia muodostavat esimerkiksi reaalilukujen ja kompleksilukujen joukot. Jos kunta on äärellinen ja siinä on q kappaletta alkioita, sitä kutsutaan usein Galois n kunnaksi ja sitä merkitään GF (q). Seuraavassa kunnan määritelmää hyödyntävässä määritelmässä esitetään vektoriavaruuden käsite. Määritelmä 5.4. Kolmikko (V, +, ) on vektoriavaruus yli kunnan F, jos V on epätyhjä joukko, jonka alkioille on määritelty laskutoimitukset summa X + Y (funktio V V V ) ja skalaarimonikerta ax (funktio F V V ). Lisäksi operaatioiden on toteutettava seuraavat ehdot: V1. X +Y Y +X kaikilla X, Y V (kommutatiivisuus eli vaihdantalaki), V2. (X + Y ) + Z X + (Y + Z) kaikilla X, Y, Z V (assosiatiivisuus eli liitäntälaki), V3. on olemassa sellainen 0 V, että X + 0 X kaikilla X V (nollaalkio), V4. kaikilla X V on olemassa sellainen X V, että X + ( X) 0 (vasta-alkio), V5. a(x + Y ) ax + ay kaikilla a F ja X, Y V, V6. (a + b)x ax + bx kaikilla a, b F ja X V, V7. a(bx) (ab)x kaikilla a, b R ja X V, V8. 1X X kaikilla X V (luku 1 on kunnan F neutraalialkio kertolaskun suhteen) Vektoriavaruuteen (V, +, ) viitatessa voidaan lyhyesti puhua vain vektoriavaruudesta V, jos vektoriavaruuden operaatiot ovat selviä asiayhteydestä. 21

Määritelmä 5.5. Vektoriavaruuden V osajoukkoa W sanotaan joukon V aliavaruudeksi, jos W on vektoriavaruudessa V määriteltyjen operaatioiden + ja suhteen vektoriavaruus. Määritelmä 5.6. Vektoriavaruuden V alkioiden lineaarikombinaatiot ovat muotoa ai u i olevia summia, missä vektorit u i ovat vektoriavaruuden V alkioita ja a i :t mielivaltaisia kunnan F skalaareita. Määritelmä 5.7. Vektoriavaruuden V osajoukko S on lineaarisesti riippuva, jos on olemassa sellaiset vektorit u 1, u 2..., u n S ja skalaarit a 1, a 2,... a n F, että n a i u i 0, i1 missä ainakin yksi a i 0. Lisäksi sanotaan, että osajoukko S V on lineaarisesti riippumaton, jos se ei ole lineaarisesti riippuva. Määritelmä 5.8. Vektoriavaruuden V osajoukkoa B {X 1, X 2,..., X n } sanotaan vektoriavaruuden kannaksi, jos (i) B generoi vektoriavaruuden V, toisin sanoen jokainen alkio X V voidaan lausua joukon B alkioiden lineaarikombinaationa ja (ii) B on lineaarisesti riippumaton joukko. Kannan alkioiden lukumäärää kutsutaan verktoriavaruuden dimensioksi. Jos vektoriavaruuden V dimensio on n, sanotaan vektoriavaruuden olevan n-ulotteinen. Nyt olemme valmiit esittämään q-binomikertoimien sovelluksen vektoriavaruuksiin. Seuraavan lauseen mukaan kertoimien avulla voidaan laskea n-ulotteisen vektoriavaruuden k-ulotteisten aliavaruuksien lukumäärä, kun vektoriavaruuden kunta on äärellinen. Lause 5.3. Olkoon q p k eli q on jonkin alkuluvun potenssi ja olkoon V n-ulotteinen vektoriavaruus yli q-alkioisen kunnan GF (q). [ ] Silloin vektoriavaruuden V k-ulotteisten aliavaruuksien lukumäärä on. n k Todistus. [1, s. 63]. Todistuksessa osoitetaan, että kantavektoreiden valinnasta voidaan muodostaa polynomi, joka osoittautuu q-binomikertoimeksi. Aloitetaan valitsemalla k kappaletta sellaisia vektoriavaruuden V vektoreita, jotka muodostavat k-ulotteisen aliavaruuden kannan. Toisin sanoen valitaan k lineaarisesti riippumatonta vektoriavaruuden V vektoria. Ensimmäiseksi kantavektoriksi v 1 voidaan valita mikä tahansa vektoriavaruuden V vektori, 22

lukuunottamatta valintaa v 1 0. Kaikkiaan erilaisia n komponentin vektoreita voidaan q-alkioisesta kunnasta muodostaa q n kappaletta, sillä jokainen vektorin komponentti voidaan valita vapaasti q alkiosta. Eri vaihtoehtoja aliavaruuden ensimmäiseksi kantavektoriksi on siis yhteensä q n 1. Toiseksi kantavektoriksi ei voida valita vektorin v 1 kerrannaisia, joita ovat kaikki vektorit a v 1, a GF (q). Vektoriksi v 2 ei myöskään voida valita nollavektoria, mikä tulee otetuksi huomioon kun vektori v 1 kerrotaan skalaarilla a 0. Kerrannaisia on siis q kappaletta, joten vaihtoehtoja kantavektoriksi v 2 on yhteensä q n q. Kolmanneksi kantavektoriksi ei voida valita vektoreiden v 1 ja v 2 lineaarikombinaatiota a 1 v 1 +a 2 v 2, missä a 1, a 2 GF (q). Näitä on yhteensä q 2, joten kantavektori v 3 voidaan valita q n q 2 tavalla. Päättelyä voidaan iteroida samalla tavalla k. kantavektoriin saakka. Näin ollen järjestettyjä kantoja k-ulotteiselle aliavaruudelle voidaan valita vektoriavaruudesta V yhteensä (q n 1)(q n q) (q n q k 1 ) tavalla. Tämä luku ei kerro kuitenkaan vielä aliavaruuksien lukumäärää, sillä jokaisella vektoriavaruuden V aliavaruudella on monta järjestettyä kantaa. Itse asiassa, k-ulotteisen aliavaruuden järjestettyjen kantojen lukumäärä saadaan käyttäen samaa päättelyä kuin vektoriavaruuden V tapauksessa. Siis ensimmäinen kantavektori v 1 voidaan valita q k 1 tavalla ja niin edelleen. Tällöin k-ulotteisen aliavaruuden järjestettyjen kantojen lukumääräksi saadaan (q k 1)(q k q) (q k q k 1 ). Tämä luku kertoo, kuinka monesti jokainen aliavaruus tulee lasketuksi ylemmässä kaavassa. K-ulotteisten aliavaruuksien lukumäärä saadaan siis jakamalla ensimmäinen polynomi jälkimmäisellä, jolloin saadaan (q n 1)(q n q) (q n q k 1 ) (q k 1)(q k q) (q k q k 1 ) (qn 1)(q n 1 1)q (q n (k 1) 1)q n k (q k 1)(q k 1 1)q (q 1)q k 1 (qn 1)(q n 1 1) (q n (k 1) 1). (q k 1)(q k 1 1) (q 1) Koska (q n 1) (q n 1 + q n 2 + + q + 1)(q 1), niin saadaan 23

(q n 1 + + 1)(q n 1 + + 1) (q n (k 1) 1 + + 1)(q 1) k (q k 1 + + 1) (q + + 1)(q 1) k (qn 1 + + 1) (q n (k 1) 1 + + 1) (q k 1 + + 1) (q + + 1) [ ] [n]! n [k]![n-k]!. k (q(n k) 1 + + 1) (q + 1) (q (n k) 1 + + 1) (q + 1) Esimerkki 5.2. [4, s. 2,6]. Olkoon (Z 7, +, ) algebrallinen struktuuri, missä Z 7 {0, 1, 2,..., 6} on niin kutsuttujen jäännösluokkien joukko (modulo 7). Kolmikko (Z 7, +, ) muodostaa äärellisen kunnan GF (7), kun laskutoimitus x + y määritellään pienimmäksi positiiviseksi jakojäännökseksi, kun lukujen x ja y tavallinen summa jaetaan luvulla 7. Vastaavasti x y määritellään lukujen x ja y tavallisen tulon ja luvun 7 jakojäännökseksi. Olkoon nyt Z 4 7 vektoriavaruus yli kunnan GF (7). Lasketaan tämän vektoriavaruuden 2-ulotteisten aliavaruuksien lukumäärä lauseen 5.3 avulla. Nyt kunnan alkioiden lukumäärä on 7 1 eli erään alkuluvun potenssi ja Z 4 7 on 4- ulotteinen vektoriavaruus. Aikaisemmin tutkielmassa laskimme q-binomikertoimen [ ] n k [ ] 4 (1 + q + 2q 2 + q 3 + q 4 ). 2 Koska kunnan alkioiden lukumäärä q 7, saamme aliavaruuksien lukumääräksi 1 + q + 2q 2 + q 3 + q 4 1 + 7 + 2 7 2 + 7 3 + 7 4 2850. 6 Q-multinomikertoimet Tämän luvun tulokset liittyvät multijoukkoihin ja niiden inversiohin, jotka määritellään luvun ensimmäisessä kappaleessa. Luvun viimeisessä kappaleessa esitetään multijoukon permutaatiot inversioittain generoiva funktio. Sitä ennen kuitenkin määritellään q-multinomikertoimet ja tutkitaan niiden yhteyksiä multinomikertoimiin. 6.1 Multinomikertoimet Ennen q-multinomikerrointen esittelyä palautetaan mieleen multinomikerrointen määritelmä ja tulkinta. 24

Määritelmä 6.1. Alkiot x 1, x 2,..., x k muodostavat multijoukon {x a 1 1, x a 2..., x a k k }, jossa luku x i esiintyy a i kertaa ja i [k]. Lukua a i kutsutaan kantaluvun x i toistoluvuksi. Multijoukko on siis sellainen alkioiden kombinaatio, jonka alkioden järjestyksellä ei ole merkitystä, mutta saman alkion esiintymiskerrat otetaan huomioon. Esimerkki 6.1. Eräs multijoukon K {4 2, 2 4 } permutaatioista on p 242242. Multijoukon kaikkien permutaatioiden joukkoa merkitään S K. Tämän tutkielman tulokset koskevat sellaista multijoukkoa, jonka alkiot kuuluvat joukkoon [k]. Seuraavassa määritelmässä esiteltävien multinomikerrointen intuitiivinen merkitys on, että ne antavat multijoukon K {1 a 1, 2 a 2,..., k a k }, missä 0 ai, kaikkien permutaatioiden lukumäärän. Määritelmä 6.2. Olkoot K {1 a 1, 2 a 2,..., k a k } multijoukko ja a1 + a 2 + + a k n. Silloin kaikkien permutaatioiden p S K lukumäärä saadaan kaavasta ( ) n a 1, a 2,..., a k n! a 1!a 2! a k!. Määritellään seuraavaksi multijoukon permutaation inversio. Se on idealtaan samanlainen kuin joukon [n] permutaation inversio. Multijoukon inversioita merkitään kuitenkin hieman eri tavalla. Määritelmä 6.3. Olkoon p p 1 p 2... p n multijoukon permutaatio. Silloin pari (i, j) on inversio jos i < j mutta p i > p j. Esimerkki 6.2. Multijoukon permutaatiolla p 3341 on kolme inversiota, jotka ovat (1, 4), (2, 4) ja (3, 4). Huomataan, että inversiot merkitään indeksien avulla. Jos ne merkittäisiin permutaatioiden alkioiden p 1, p 2..., p n avulla, kuten joukon [n] inversioita, syntyisi toistoa: (3, 1), (3, 1), (4, 1). 2, 6.2 Q-multinomikertoimet Tässä kappaleessa määritellään q-multinomikertoimet sekä esitetään kaksi lausetta, joista ensimmäistä tarvitaan jälkimmäisen todistuksessa. Jälkimmäinen lause on tutkielman kannalta olennainen, sillä siinä yleistetään lauseen 4.1 tulos multijoukkoon. Toisin sanoen lauseessa 6.2 annetaan multijoukon permutaatiot inversioittain generoiva funktio. Seuraavassa määritelmässä annetaan q-multinomikerrointen kaava. Määritelmä 6.4. Olkoot a 1, a 2,, a k sellaiset positiiviset kokonaisluvut, joille pätee k i1 a i n. Silloin q-multinomikerroin lasketaan kaavalla [ ] n [n]! a 1, a 2,..., a k [a 1 ]![a 2 ]! [a k ]!. 25

Multinomikerroin on q-multinomikertoimien erikoistapaus aikaisempia tapauksia vastaavalla tavalla. Q-multinomikertoimet näyttävät muuttujan q rationaalifunktiolta, mutta ne ovat itse asiassa polynomeja, joiden kertoimet ovat positiivisia kokonaislukuja. Seuraavassa lauseessa annetaan yhteys q- multinomikerrointen ja q-binomikerrointen välille. Lause 6.1. Q-multinomikertoimet voidaan jakaa q-binomikertoimiksi seuraavalla tavalla: [ ] [ ] [ ] [ ] n n n a1 n a1 a 2 a 1, a 2,..., a k a 1 a 2 a 3 Todistus. [ ] [ ] [ ] n n a1 n a1 a 2 a 1 a 2 a 3 [ ak a k ] [ ak [n]! [a 1 ]![n a 1 ]! [n a 1 ]! [a 2 ]![n a 1 a 2 ]! [n a 1 a 2 ]! [a 3 ]![n a 1 a 2 a 3 ]! [n a 1 a k 2 ]! [a k 1 ]![n a 1 a 2 a k 1 ]! [n a 1 a k 1 ]! [a k ]![n a 1 a 2 a k ]! [ ] [n]! [a 1 ]![a 2 ]! [a k ]![n n]! n. a 1, a 2,..., a k a k ]. Lause 6.2. Olkoon K {1 a 1, 2 a 2,, k a k } multijoukko, jolle pätee k a i n, i1 missä 0 < n. Silloin multijoukon K permutaatiot inversioittain generoiva funktio on [ ] n q i(p). a 1, a 2,..., a k p S K Todistus. Ks. [1, s. 60-61]. Todistuksessa käytetään kahta sisäkkäistä induktiotodistusta. Todistuksen päälinja kulkee induktiotodistuksessa muuttujan k, toisin sanoen multijoukon kantalukujen lukumäärän, suhteen. Tämän todistuksen sisällä käytetään myös induktiotodistusta, joka tehdään muuttujan n eli multijoukon kaikkien alkioden lukumäärän suhteen. Lause pätee selvästi muuttujan arvolla k 1, toisin sanoen kun K {1 a 1 } jollakin 1 a 1, sillä tällaisella multijoukolla on vain yksi permutaatio. Osoitetaan vielä induktiotodistuksella muuttujan n suhteen, että lause pätee 26

erikoistapauksessa k 2. Tällöin K on multijoukko, joka koostuu a 1 kappaleesta lukua 1 ja a 2 kappaleesta lukua 2 siten, että a 1 + a 2 n. Joukon K permutaatioiden inversiot ovat tapauksia, joissa luku 2 esiintyy luvun 1 vasemmalla puolella. On osoitettava, että on voimassa (6.1) [ ] [ ] n n q i(p) a 1, a 2 a 1 p S K [ a2 a 2 ] [ ] n. a 1 Osoitetaan tämä induktiotodistuksella muuttujan n suhteen. Jos n 1 eli joukossa K on vain yksi alkio, niin voidaan valita a 1 1, a 2 0 rajoittamatta todistuksen yleisyyttä. Koska multijoukossa on vain yksi alkio, siitä voidaan muodostaa yksi permutaatio, jossa ei ole yhtään inversiota. Joukon K permutaatiot inversioittain generoivaksi funktioksi tulisi siis muodostua Näin tapahtuukin, sillä p S K q i(p) 1 q 0. [ ] 1 [1]! 1 [1]![0]! [1] [1][1] 1. Oletetaan sitten, että kaava 6.1 pätee, kun a 1 + a 2 n 1, ja osoitetaan että näin ollen se pätee myös silloin, kun a 1 + a 2 n. Jaetaan joukon K n-permutaatiot niihin, jotka päättyvät lukuun 1 sekä vastaavasti niihin, jotka päättyvät lukuun 2. Jos n-permutaatio päättyy lukuun 2, sen viimeinen alkio ei ole mukana yhdessäkään inversiossa. Tällaisen permutaation inversioiden lukumäärä on sama kuin vastaavan (n 1)-permutaation, joka saadaan poistamalla n-permutaatiosta viimeinen luku. Jos puolestaan n- permutaatio päättyy lukuun 1, sen viimeinen alkio on mukana täsmälleen a 2 n a 1 inversiossa. Koska n-permutaation inversioiden lukumäärä voidaan lausua (n 1)-permutaation inversioiden lukumäärän avulla, voimme soveltaa induktio-oletusta. Tällöin saadaan p S K [ ] n-1 q i(p) + q n a1 a 1 ja edelleen lauseen 5.1 perusteella p S K [ ] n-1 q i(p) + q n a1 a 1 [ ] n-1 a 1 1 [ ] n-1 a 1 1 [ ] n. Näin todistimme alkuperäisen induktio-todistuksen alku-askeleen, toisin sanoen sen, että lauseen 5.1 pätee, kun kantalukujen lukumäärä k 2. a 1 27

Seuraavaksi siirrymme käsittelemään kantalukujen lukumäärän yleistä tapausta. Tehdään induktio-oletus, jonka mukaan väite pätee joukolle K {1 a 1, 2 a 2,, k a k } eli [ ] n q i(p). a 1, a 2,..., a k p S K Osoitetaan, että tällöin väite pätee myös joukolle K + {1 a 1, 2 a 2,, k a k, (k + 1) a k+1 }. Ennen sitä teemme kuitenkin vielä seuraavan huomion. Olkoon joukko K + sellainen kuin sen yllä määrittelimme. Jokaista joukon K + permutaatiota p vastaa pari (p, p ), missä permutaatio p on muodostettu permutaatiosta p korvaamalla kaikki sen alkiot, jotka ovat pienempiä kuin (k + 1) alkioilla 1. Permutaatio p puolestaan on saatu permutaatiosta p poistamalla kaikki alkiot (k + 1). Koska permutaatiossa p on jäljellä kaikki ne alkuperäisen permutaation inversiot, joissa suurin alkio (k + 1) on mukana ja vastaavasti permutaatiossa p on kaikki ne alkuperäisen permutaation inversiot, joissa suurin alkio ei ole mukana, niin näiden permutaatioiden inversioiden summasta saadaan alkuperäisen permutaation inversioiden lukumäärä, siis i(p) i(p ) + i(p ). Nyt voimme jatkaa todistusta. Tarkastellaan ensin permutaatiota p. Siinä esiintyy vain kahta kantalukua, nimittäin lukuja 1 ja (k+1) jolloin sen alkioista saadaan multijoukko K {1 a 1+a 2 + +a k, (k+1) a k+1}. Koska a1 +a k+1 n, niin huomataan, että tämä tarkastelu on identtinen tapauksen k 2 kanssa, joten saamme [ ] n q i(p ). a k+1 p Etsitään vielä p q i(p ). Koska permutaatiosta p on poistettu kaikki alkiot (k + 1), palautuu multijoukko K + joukoksi K. Nyt voidaan käyttää induktio-oletusta sekä lausetta 6.1 ja huomata, että [ ] [ ] [ ] n q i(p ) ak+1 n ak+1 n ak+1 a 1 a 1, a 2,..., a k a 1 a 2 p Lopuksi yhdistämme nämä tulokset. Nyt siis p koostuu a 1 + a 2 + + a k kappaleesta lukua 1 ja a k+1 kappaleesta lukua (k + 1). Permutaatiossa p on a 1 lukua 1, a 2 lukua 2 ja niin edelleen lukuun k saakka. Mikä tahansa p voidaan liittää minkä tahansa p kanssa siten, että alkiot (k + 1) sijoitetaan permutaatioon p permutaation p osoittamille paikoille. Näin saamme muodostettua kaikki joukon S K + alkiot. Siis joukon S K + permutaatiot inversioittain generoivaksi funktioksi saadaan 28 [ ak a k ].