MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla f() sellaisia löytyy yksi ( = -,5), funktion g() kuvaajilla nollakohtia on kaksi ( = 1 ja = -3)
b) Piirtämällä etsitään: f (1) = 7, g (-1) = -4, g (-4) = 5, f (-) = 1 1.3 Aloitetaan piirtämällä koordinaatisto ja sijoittamalla siihen pisteet. Kahden pisteen välinen etäisyys on sama, kuin niitä yhdistävän janan pituus. Piirretään kuvaan myös janan. Samalla huomataan, että meitä kiinnostavan janan AB pituus on suorakulmaisen kolmion hypotenuusa. Janan pituuden laskemiseen voimme tällöin käyttää Pythagoraan teoreemaa, jonka mukaan suorakulmaisessa kolmiossa kateettien neliöiden summa on yhtä suuri, kuin hypotenuusan neliö: c = a + b eli AB = a + b AB = a + b Kateettien pituuden voidaan löytää pisteiden A ja B - ja y- koordinaattien erotuksena: a = 1 b = y y 1 Sijoittamalla nämä edellisen lausekkeeseen saadaan:
3 AB = a + b = 1 + y y1 AB = 1 + y y1 = 5 + 5 = 3 + 3 = 3 Vastaus: AB = 3. Ensimmäisen asteen polynomifunktio.1 Muistetaan, että kulmakerroin k on sama kuin luku, jolla muuttuja on kerrottu ja vakiotermi on siihen lisätty luku. a) k = 9; b =,5 4 b) k = 1; b = 5 c) k = 7; b = 0 d) k = 3 ; b = 8 7 e) k = 0, 5; b = 0,1 f ) k = 3; b = 4.. a) f ( ) = = 4 = 6 f (0) = 0 = f (10) = 10 = 0 = 18 b) f ( ) = 4, 4 + 3 = 8,84 + 3 = 11,84 f (0) = 4, 4 0 + 3 = 3 f (10) = 4,4 10 + 3 = 44, + 3 = 41, 1 1 c) f = + 4 1 1 1 1 f ( ) = ( ) + = 5 + = 5 4 4 4 1 1 1 f (0) = 0 + = 4 4 1 1 1 3 f (10) = 10 + = 5 + = 4 4 4 4.3 a) Pystymme määrittämään ensimmäisen asteen polynomifunktion yhtälön kun tiedetään sen kulmakerroin ja vakiotermi. Yhtälön yleinen muotohan on f = k + b Kuvaajan ja y-akselin leikkauspisteen koordinaatti vastaa vakiotermin arvoa. Eli b = 5. Kun tiedetään, että funktion kuvaaja on samansuuntainen funktion
4 f = 3 + kanssa, voimme päätellä, että kulmakertoimen on oltava yhtä suuri kuin funktion f() kulmakerroin, eli k = 3. Voimme nyt kirjoittaa funktion yhtälö: g = 3 + 5 Vastaus: g = 3 + 5 b) Kirjoita yhtälö sellaiselle funktiolle, jonka kuvaaja on kohtisuora funktion f = 6 + 1kuvaajan kanssa ja leikkaa sitä pisteessä (-1, -5). Jälleen aloitetaan siitä, että saadaksemme funktion määritettyä, tarvitaan kulmakertoimen ja vakiotermin arvoa. Jos etsimämme funktion kuvaaja on kohtisuorassa funktion f = 6 + 1 kuvaajan kanssa, niiden kulmakertoimet täyttävät ehto: k1 k = 1. Tämän perusteella kirjoitetaan: 6 k = 1 : 6 k 1 = 6 1 Funktio g() on siis muotoa g = + b. Enää ei puutu kuin vakiotermi ja sen 6 voimme etsiä käyttämällä hyväksi tietoa, että funktioiden kuvaajat leikkaavat pisteessä ( -1, -5). Piste kuuluu kummallekin funktiolle, toisin sanoin, pisteen koordinaatit täyttävät kummankin funktion yhtälön. Sijoitetaan koordinaatit etsimäämme funktion yhtälöön: 1 g = + b 6 1 g( 1) = ( 1) + b = 5 6 1 + b = 5 6 1 1 b = 5 = 5 6 6 Tällöin etsimämme funktion yhtälö on 1 1 g = 5 6 6 1 1 Vastaus: g = 5 6 6.4 Tiedetään, että ensimmäisen asteen polynomifunktion kuvaaja kulkee pisteiden A (5, 8) ja B (-, -6) kautta. Kirjoita funktion yhtälö. Ratkaisu: Aloitetaan piirtämällä koordinaatisto ja sijoittamalla siihen pisteet:
5 Heti sijoitettuamme pisteet ja piirrettyjä kuvaajan, huomaamme, että kuvaaja leikkaa y-akselin pisteessä. Vakiotermin arvo on tällöin saatu selville. Seuraavaksi meitä kiinnostaa kulmakerroin. Käyttämällä kappaleessa 3 annettuja tietoja, voimme ratkaista: k = y y 1 1 8 ( 6) 14 k = = = 5 ( ) 7 Funktion yhtälö on tällöin muotoa: f = Vastaus: f =
6.5 Ratkaise graafisesti yhtälöpari: y = 1 a) y = + 7 y = 3 b) y = y = 4 + 3 c) y = 4 Yhtälöparin graafisessa ratkaisemisessa on kyseessä kahden funktion kuvaajien leikkauspisteen tai pisteiden löytäminen. a) f() = --1 (,y) 0 f(0) =0-1 =-1 (0, -1) 1 f(1) = -1-1=- (1, -) -1 f(-1) = -(-1)-1= 0 (-1, 0) Vastaavalla tavalla laaditaan taulukko toisen funktion kuvaajaa varten: f() = - +7 (,y) 0 f(0) =7 (0, 7) 1 f(1) = 5 (1, 5) -1 f(-1) =9 (-1, 9) Piirretään koordinaatisto ja sijoitetaan pisteet siihen: Yhtälöparin ratkaisu löytyy kuvaajien leikkauspisteen koordinaateista. Koordinaatit ovat (8, -9) ja, vastaavasti, = 8 ja y = 9 Vastaus: = 8 ja y = 9
7 b) Samalla tavalla, kuin edellisessäkin kohdassa lasketaan funktioille muutaman pisteen koordinaatit: ja f() = 3 (,y) 0 f(0) =0 (0, 0) 1 f(1) = 3 (1, 3) -1 f(-1) = -3 (-1, -3) f() = - (,y) 0 f(0) =- (0, -) 1 f(1) = -1 (1, -1) -1 f(-1) = -3 (-1, -3) Sijoitetaan pisteet koordinaatistoon, piirretään kuvaajat ja etsitään niiden leikkauspiste: Kuvaajat leikkaavat toisiaan pisteessä (-1, -3), eli yhtälöparin ratkaisu on = 1 ja y = 3. Vastaus: = 1 ja y = 3 c) Tässä kohdassa olisi mahdollista menetellä samalla tavalla, mutta yhtälöistä voimme nähdä, että kuvaajien kulmakertoimet ovat yhtä suuria, mikä tarkoittaa, että kuvaajat ovat samansuuntaisia, eikä yhteisiä pisteitä ole. Tämän perusteella voimme päätellä, että yhtälöparilla ei ole ratkaisua.
8 3 Toisen asteen polynomifunktiot 3.1 a) 1) a = 3; b = 5; c = 9 1 ) a = ; b = 4; c = 0,6 3) a = 1; b = 0; c = 4) a = 1; b = 4; c = 0 b) 1 1 5 5 5 1) f = + 7 ; a = < 0, joten paraabeli on alaspäin aukeava. Paraabelin ja y akslein leikkauspiste on (0,7 ) 5 ) f = 5 6 + 8; a = 5 > 0, joten paraabeli on ylöspäin aukeava. Paraabelin ja y akslein leikkauspiste on (0,8). 3) f = 0, 1; a = 0, < 0, joten paraabeli on alaspäin aukeava. Paraabelin ja y akslein leikkauspiste on (0, 1) 4) f = 15 + 3 7; a = 15 > 0, joten paraabeli on ylöspäin aukeava. Paraabelin ja y akslein leikkauspiste on (0, 7). 5) f = 7 + 1; a = 1 < 0, joten paraabeli on alaspäin aukeava. Paraabelin ja y akslein leikkauspiste on (0,1) 6) f = 10 + 5, ; a = 10 > 0, joten paraabeli on ylöspäin aukeava. Paraabelin ja y akslein leikkauspiste on (0,0) ( huomaa, että funktion yhtälössä vakiotermi on 0)
9 3. a ) + 1 = 0 1, ( ) b ± b ac ± 4 1 ± ± 1, )5 15 0 5 15 : 5 1, 4 8 = = = = = 1± a Vastaus : = 1± b = = 5 = ± 5 Vastaus : = ± 5 c = 1, )3 = 0 3 1 = 0 = 0 tai 3 1 = 0 1 = 0 tai = 3 1 Vastaus : = 0 tai = 3 )8 3 5 0 d + = b b ac 3 3 4 8 5 b ± b 4ac ± 3± 169 3± 13 1, = = = = a 8 16 16 5 1 = 1, = 8 5 Vastaus : 1 = 1, = 8 4 e) 3 + = 0 3t + = 0 4 :. : Tehdään muuttujan vaihto merkitään = t Silloin = t t ± 4 t1, = a t =, t = 1 1 Nyt ratkaistaan : = ja = 1 = ± ja = ± 1 Vastaus : = ± ja = ± 1 3± 3 4 3± 1 = =
3.3 Piirretään funktioiden kuvaajat: 10
11
1 3.4 a f ja g ) = 3 + 4 = + + 4 b) f = 1 ja g = + 5 Ratkaistaan tehtävää ensin algebrallisesti: f = 3 + 4 a) g = + + 4 Koska funktioiden arvojen leikkauspisteissä on oltava yhtä suureet, kirjoitetaan : f = g + = + + 3 4 4 Siirretään kaikki termit samalle puolelle : + + + = 4 3 4 0 + = 5 0 ( + 5) = 0 = 0 tai + 5 = 0 = 0 =,5 Nyt voidaan laskea funktioiden saavuttama arvo sijoittamalla : n arvot jompaankumpaan funktion yhtälöön : f (0) = 3 0 + 4 = 4 f (,5) = 3,5 + 4 = 7,5 + 4 = 11, 5 Tällöin leikkauspisteiden koordinaatit ovat = 1 = + 5 + + = + = 0, 4 ja,5; 11,5 f = 1 b) g = + 5 Koska funktioiden arvot ovat yhtä suureet, kirjoitetaan : f g Siirretään kaikki termit samalle puolelle : 5 1 0 6 0 b ± b 4ac 1± 1 4 1 6 1± 5 1, = = = a 1+ 5 1 = = 3 1 5 = = Nyt voidaan taas laskea funktioiden saavuttama arvo sijoittamalla : n arvot jompaankumpaan funktion yhtälöön : f ( 3) = 3 1 = 4 f () = 1 = 1 Tällöin leikkauspisteiden koordinaatit ovat ( 3, 4) ja(,1) Piirretään funktioiden kuvaajat taulukoiden tai laskimen avulla:
13 Tästä näemme, että graafisesti löytämämme leikkauspisteiden koordinaatit ovat samoja, kuten algebrallisesti määritettyjä. Samoin käy myös kohdan b) ratkaisun etsimisessä:
14 Kun olemme kumpaakin menetelmää käyttämällä päätyneet samoihin ratkaisuihin, voimme olla varmoja siitä, että tehtävä on ratkaistu oikein. Vastaus: Leikkauspisteiden koordinaatit ovat: a) A(-,5; 11,5) ja B (0,4) b) A (-3,-4) ja B (,1) 3.5 Aloitetaan muutamalla nopeuden yksiköt km/h metreiksi sekunnissa: 54000 54 km = m = 15 m h 3600s s 5t s( t) = 15t + Seuraavaksi sijoitetaan annettuun matkaa kuvaavan yhtälöön suureiden arvot: at s( t) = v0t + 5 5 s( t) = 15 5 + = 75 + 6,5 = 137,5m Auton kulkema matka on tällöin 137,5m. Kirjoitetaan nyt matkaa kuvaavan lausekkeen: 5t s( t) = 15t + Tämän lausekkeen avulla pystymme laskemaan kiihdytysmatkaa millä tahansa ajan arvolla. Vastaus: a) Auton kiihdytyksen aikana kulkema matka on 137,5m b) Kiihdytysmatkaa kuvaava lauseke on muotoa: 3.6 Etsi kaksi peräkkäistä luonnollista lukua, joiden tulo on 40. Ratkaisu: Merkitään pienemmän luvuista :llä. Silloin, tehtävän ehtojen mukaan, toinen luku on + 1. Lukujen tulo on 40, eli: ( + 1) = 40 Ratkaistaan yhtälö:
+ 1 = 40 + = 40 + 40 = 0 15 b ± b 4ac 1± 1+ 4 40 1± 31 1, = = = a 1 31 1 = = 16 < 0, ei sovi, koska tehtävässä puhutaan kahdesta luonnollisesta luvusta 1+ 30 = = 15 Toinen luku etsitään lisäämällä 1: 15 + 1 = 16 Vastaus : luvut ovat 15 ja 16.
16 4. Eksponenttifunktio 4.1 Vertaile keskenään: a) ja 5 4 Kantaluvut ovat yhtä suuria ja positiivisia. Tällöin mitä suurempi on eksponentti, sitä suuremman arvon saadaan. Oikea ratkaisu siis löydämme vertaamalla keskenään eksponentteja : 5 > 4 > b 5 4 ( ) 3 )( 5) ja 5 Ratkaisu : Kantalukuna toimii negatiivinen kokonaisluku. Muistetaan, että korottamalla negatiivinen luku parillisella luvulla ilmaistuun potenssii5 n saadaan positiivinen luku. Jos eksponentti on pariton, niin tulos on negatiivinen. Tämän perusteella : ja 3 5 > 0 5 < 0, eli ( 5) > ( 5) 3 5 < 5 ( 3 c) 5 ja 5 3 Tässä tapauksessa kantalukuna toimii luku 5. Miinusta ei ole laitettu sulkujen sisään( kuten, esim. tehtävässä ( b)), joten eksponentti ei siihen vaikuta. 3 10 9 10 9 ks. kohta a)) ja miinusmerkki huomioon ottaen : 5 > 5 d)4 ja 4 Kuten kohdassa a) : 4 > 4 3 4 1 1 e) ja Tässä tapauksessa kantalukuna toimii murtoluku. Tämä taas tarkoittaa sitä, että mitä isompi on eksponentti, sitä pienempi on saamamme arvo, eli : 3 4 1 1 >
17 4. Vertaile keskenään: a) ja 8 10 3 Kaksi potenssia voimme verrata keskenään silloin, kun niiden kantaluvut ovat samoja Aloitetaan siitä että kirjoitetaan kantaluku 3 3 3 3 3 9 8 = = = Nyt voimme verrata lausekkeet keskenään : > 10 9 eli > 8 10 3 b)10 ja 100 6 Samalla periaatteella : 4 100 = 10 = 10 = 10 10 > 10 10 > 100 6 4 6 c)3 ja 7 7 3 3 3 3 3 3 9 7 = 3 = 3 = 3 3 < 3 3 < 7 d 7 9 7 3 )0,5 ja 0, 5 0, 5 = 0,5 0,5 0, 5 0,5 0, 5 e)11 ja 11 6 3 11 = = 3 3 3 6 = 11 = 11 = 11 11 = 11 11 = 11 6 6 6 3 f )4 ja 64 8 3 3 6 64 = 4 = 4 = 4 4 > 4 4 > 64 8 6 8 kuten 3., 8 :
18 4.3 Ratkaise seuraavat yhtälöt: a + ) = 18 y + y Muistetaan, että a a = a, joten : 18 4 = 18 : 4 = 3 = 5 = 5 Vastaus : = 5 b ) 4 3 = 3 4 3 + 4 3 = 5 5 5 = 5 = 1 Vastaus : = 1 c = + ) 5 4 5 1050 5 5 = = = = 4 5 = 1050 5 5 4 = 1050 5 1 = 1050 : 4 5 = 5 5 = 5 = Vastaus : = d 1 3 )3 + 3 + 15 3 = 81 Siirretään 3 sulkujen ulkopuolelle : 1 3 3 3 + 3 + 15 3 = 81 1 1 1 3 + + 15 81 1 3 = 3 3 3 1 1 15 3 + + = 81 3 9 7 9 3 15 3 + + = 81 7 7 7 3 = 81 3 = 3 4 = 4 Vastaus : = 4
19 4.4 a) Tilannetta voimme kuvata seuraavalla tavalla: Jos alkuhetkellä bakteerien määrä on N 0, niin: 4 tunnin kuluttua bakteerien määrä on N, 8 tunnin kuluttua bakteereita on N = N,..., t t tunnin kuluttua 4 bakteereita on N 0 0 0 0 4 Näin ollen bakteerimäärän kasvua kuvaa lauseke : t 4 N = N b) 0 0 t 4, t 4 = 3 t 4 5 = 0 Kun bakteerimäärä on kasvanut 3 ker ta, voimme kirjoittaa : N N = 3 Toisaalta, N N = josta seuraa : t = 5 4 t = 5 4 t = 0 4 Vastaus: a) populaation kasvua kuvaava lauseke on muotoa N = N b) populaatio kasvaa 3 kerta 0 tunnin kuluessa. t 0
0 5. Logaritmifunktio 5.1 Vertaile keskenään: a) log < log 3 4 4 b)log 5 > log 5 4 6 c) ln 5 > ln 5 d)lg 0 > lg14 5. Etsi funktioiden f()=ln(+1) ja g()= -5 leikkauspisteiden koordinaatit graafisesti. Ratkaisu: Vastaus: funktioiden f()=ln (+1) ja g()=-5 leikkauspisteiden koordinaatit ovat A (7,09;,09) ja B (-1, -6) 5.3 Radioaktiivisen hajoamisen prosessin seurauksena hajoavan aineen ytimien määrän vähenemistä kuvaa yhtälö: N t = N e λt 0 Tehtävänannossa puhutaan ytimien määrän puolittumisesta, joka tarkoittaa, että N ( t) 1 N = 0 Käytetään se hyväksemme muuttamalla hajoamista kuvaava yhtälö muotoon:
1 N( t) λt = e N o Yhtälön vasemmalla puolella meillä on Neperin luvun potenssi, josta voimme päästä eroon ottamalla yhtälön kummaltakin puolelta luonnollisen logaritmin: N( t) λt ln = ln( e ) N0 1 ln = λt 1 ln = λt ln = λt ln = λt ln t = λ ln t = = 1019, 3vk 4 1 6,8 10 vk Vastaus: Aikaa ytimien määrän puolittumiseen kuuluu siis 1019,3 vuorokautta, eli likimain kolme vuotta.
5.4 Ratkaise seuraava yhtälö: ( ) = ( + ) log 1 log log 7 7 7 Määritellään määrittelyjoukko( t. s. muuttuja. n " sallitut " arvot) : 1 > 0 > 0 + > 0 > 0,5 > 0 > 0,5 > 1 log7 = log7 ( + ) Koska kantaluvut ovat yhtä suuria, voidaan kirjoittaa : 1 = + 1 = ( + ) 1 = + + 1 = 0 1 = 0 = 1 = 1tai = 1 Jälkmmäinen arvo joudutaan jättämään pois, koska se ei kuulu määrittelyjoukkoon, joten = 1. Vastaus : = 1
3 5.5 a e )e 10 = 60 ln( e ) ln 60 = ln 60 = ln 60,047 b) log = 3 3 4 Määrielmän mukaan : = 4 = 64 = = c) log + log 3 = log (5 + 4) Tarkastellaan määrittelyjoukko : > 0 3 > 0 5 + 4 > 0 > 0 > 0 > 0 4 > 5 Ratkaistaan yhtälö : log 3 = log (5 + 4) 6 5 4 = + 6 5 4 0 = b ± b 4ac 5 ± 5 + 4 6 5 ± 11 5 ± 11 1, = = = = a 1 1 1 5 + 11 16 1 `0 1 = = = 1 1 1 3 5 11 1 = = 1 Kahdesta löytämästämme arvosta jälkimmäinen ei sovi määrittelyjoukkoon, 1 joten yhtälöillä on ainut juuri = 1. 3 d) log 5 log = log + 5 5 5 5 5 5 5 = 5 + Aloitetaan taas määrittelyjoukon tarkistamisella : 5 > 0 > 0 + > 0 0 > 0 > 0 > 1 Ratkaistaan yhtälö : log 5 log = log + ( ) log log 5 = + 5 = 3 = = 3
4 0 > 0 > 0 > 1 Ratkaistaan yhtälö : 5 5 5 5 = 5 + log 5 log = log + ( ) log log 5 = + 5 = 3 = = 3