Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5 Rationaalifunktion kulku. Funktion f määrittelyehto on. Muodostetaan symbolisen laskennan ohjelman avulla derivaattafunktio f ja ratkaistaan sen nollakohdat. Symbolisen laskennan ohjelmalla derivaattafunktioksi saadaan f( ) 0. Derivaattafunktion määrittelyehto on + 0 eli. Derivaattafunktion nollakohdiksi saadaan symbolisen laskennan ohjelmalla,58 ja 5,58. Selvitetään kulkukaaviota varten derivaattafunktion merkki. Derivaattafunktio on rationaalifunktio, jonka merkki voi vaihtua nollakohdissa ja kohdissa, joissa funktiota ei ole määritelty. Testataan derivaattafunktion merkki eri puolilla nollakohtia sekä kohtaa =. f ( 4) = 0,6 > 0 f (0) = 0 < 0 f () = 4,5 < 0 f (0) 0,74 > 0 f () + + f()
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Kulkukaavion perusteella funktion f paikallinen maksimiarvo on f ( ) ja paikallinen minimiarvo on f ( ). Vastaus: Paikallinen maksimiarvo on ja paikallinen minimiarvo on.. a) Sievennetään funktioiden lausekkeet. f( ) ( ), g D ( ) D ( ) ( ), Funktio g ei ole funktion f derivaattafunktio, sillä D =. Vastaus: Funktion f derivaattafunktio ei ole funktio g.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 b) Erotusosamäärän avulla funktion h derivaattafunktio on h ( ) ha ( ) h( a) lim a a a ) ) lim a a a a lim a a a lim a a a( a) ( a )( a) lim a a ( a) lim a a a a a a 4 aa a a Vaihtamalla muuttujaksi saadaan h( ). Koska funktiota h ei ole määritelty kohdassa = 0, ei myöskään derivaattafunktiota ole määritelty tässä kohdassa. Vastaus: h( ), 0
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5. Rationaalifunktion derivoiminen YDINTEHTÄVÄT 50. a) D D b) c) 4 4 D D(4 ) 4 ( ) 4 4 6 7 7 8 4 D( ) D( 6 ) 6 ( 7) 4 4 7 8 8 50. a) Funktion f( ), 0, derivaattafunktio: f( ) D( ) = D( + + ) = + 0 + () () = + =, 0. b) Derivaatta eli muutosnopeus kohdassa = on f ( ). ( ) ( ) 50. a) D( )( ) ( ) ( ) 4 4 b) D( )( ) D( ) 4
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 ( ) D( ) 504. a) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 b) D( ) () () () c) ( ) ( ) D( ) ( ) ( ) ( ) 505. Derivoidaan ensin funktio f. ( ) ( ) f( ) D( ) ( ) ( ) Sijoitetaan :n arvo derivaattafunktion lausekkeeseen. f ( ) ( ( )) ( ) 9 VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 506. a) Lausekkeella B ja D. A: 4 B: 4 4 4 C: 4 D: (4) = 4 4 D D( ) ( ) b) 4 4 4 4 4 D D 4 4 4
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 507. a) b) 0 ( 4) 4 4 D( ) 4 (4) (4) (( )) 4 4 ( ) ( ) 4 4 D( ) D( ) D( ) 508. a) 0 4 ( ) D( ) b) D( ) D( ) 509. Tangentti on nouseva suora, jos sen kulmakerroin on positiivinen. Tangentin kulmakerroin on derivaattafunktion arvo tangentin sivuamiskohdassa. ( ) () ( ) 99 6 f ( ) ( ) ( ) ( ) Derivaattafunktion lausekkeen osoittaja 6 on aina positiivinen ja nimittäjä ( ) on positiivinen, kun. Tällöin f saa vain positiivisia arvoja ja jokainen funktion nouseva suora. f( ),, kuvaajalle piirretty tangentti on
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 50. a) f( ), Derivaattafunktio ( ) f( ),. ( ) ( ) ( ) Funktion f muutosnopeus on nolla, kun sen derivaattafunktio f ꞌ saa arvon nolla. 0, kun ( ) 0 ( ) 0 0 tai Molemmat ratkaisut toteuttavat määrittelyehdon. Muutosnopeus on nolla kohdissa = 0 ja =. b) f( ), 0 Derivaattafunktio: () 6 f( ) 4 4 ( ) ( ) 4, 0. Derivaattafunktion nollakohdat: 0, kun 0. Ratkaisu toteuttaa määrittelyehdon 0. Muutosnopeus on nolla kohdassa =.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5. Tangentit ovat vaakasuoria, jos tangenttisuorien kulmakertoimet saavat arvon nolla. Tangentin kulmakerroin on derivaatan arvo sivuamiskohdassa. D( + ) = =. Ratkaistaan kohdat, joissa derivaatta on nolla. 0, 0 4 : 4 4 Molemmat ratkaisut toteuttavat määrittelyehdon 0. Kohtiin = ja = piirretyt tangentit ovat vaakasuorassa. Näitä kohtia vastaavat y-koordinaatit ovat y = + = ja y = ( ) + ( ) =. Vastaavat pisteet ovat (, ) ja (, ). 5. Lasketaan funktion f( ) 0 0 0 0 ) f( ), 0 nollakohdat. Molemmat ratkaisut toteuttavat määrittelyehdon 0. Käyrän ja -akselin välinen kulma on leikkauspisteeseen piirretyn tangentin suuntakulma.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Suuntakulman määrittämiseen tarvitaan tangenttien kulmakertoimet, eli derivaattafunktion arvot kohdissa = ja =. f( ), 0 k f() k f( ) ( ) Molempien tangenttien kulmakerroin on sama, joten myös suuntakulmat ovat samat. tan = 6,4
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5. Geogebra-ohjelmalla ratkaistuna leikkauspisteet ovat (, 0) ja (;,5) ja kulmat ovat noin 65 ja 7. Ratkaistaan kulmat tarkasti laskemalla leikkauskohtiin piirretyjen tangenttien suuntakulmien avulla. Leikkauskohta: y, 0 y, 0 ) 0 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 0 ( )(( ) ) 0 ( )( ) 0 0 tai 0 tai 0 0
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Ratkaisu = 0 ei toteuta määrittelyehtoa. : y 0 ja y 0 : y ja y Leikkauspisteet ovat (, 0) ja (, ). Määritetään kummallekin käyrälle leikkauspisteeseen (, 0) piirretyn tangentin kulmakerroin. ( ) D Kun =, saadaan kulmakerroin k ( ). D( ) D( ) Kun =, saadaan kulmakerroin k. ( ) Määritetään tangenttien suuntakulmat. Kun k = tan =, niin = 45. Kun k = tan =, niin = 6,4. Tangenttisuorien välinen kulma on 6,4 + 45 = 08,4. Käyrien välinen kulma on syntyvistä kulmista pienempi eli 80 08,4 = 7,6 Määritetään kummallekin käyrälle leikkauspisteeseen tangentin kulmakerroin. Kun =, saadaan kulmakerroin k 4. (, ) piirretyn
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5 Kun =, saadaan kulmakerroin k. 4 Määritetään tangenttien suuntakulmat. Kun k = tan = 4, niin = 4,0. 5 Kun k = tan = 4, niin = 5,4. Tangenttisuorien välinen kulma on 5,4 + 4,0 = 65,4. Käyrien välinen kulma on 65,4. Leikkauspisteet ja kulmat ovat (, 0) ja 7,6 sekä (;,5) ja 65,4. 54. y, 0 Merkitään tangentin sivuamispisteen -koordinaattia = a, jolloin y- koordinaatti on a Sivuamispiste on (a, a ). Tangentin kulmakerroin on derivaatan arvo sivuamispisteessä.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 D D k a Tangentin yhtälö: y ( a ) a a y a a a y. a a Muodostuvan kolmion kanta on tangentin ja -akselin leikkauspiste ja korkeus on y-akselin leikkauspiste. Kanta: 0 a a ( a ) a a a. Korkeus: y 0 a a a. Pinta-ala: a a. Pinta-alan arvo ei riipu luvun a valinnasta, eli siitä, mihin pisteeseen tangentti on piirretty, vaan pinta-alan arvo on aina.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 55. Käyrät y = ja y,. Ratkaistaan käyrien leikkauskohdat. y y, ) 0 0 0 ( ) 0 0 tai 0 ( ) 0 Leikkauskohtia on kaksi. Ratkaistaan leikkauspisteiden y-koordinaatit. Kun = 0, y = 0 = 0, joten leikkauspiste on (0, 0). Kun =, y = =, joten leikkauspiste on (, ).
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Ratkaistaan leikkauspisteeseen piirrettyjen tangenttien kulmakertoimet. Käyrän y = derivaatta on, joten tangentin kulmakerroin pisteessä (0, 0) on derivaatan arvo tässä pisteessä, eli k = 0 = 0 ja pisteessä (, ) kulmakerroin k = =. Käyrän y,, derivaatta on ( )( ) ( )( ) D 6 ( ) ( ) 6. ( ) Tangentin kulmakerroin pisteessä (0, 0) on k = ja pisteessä (, ) on 9 k = 6. 4 Pisteessä (, ) molempien käyrien tangenttien kulmakertoimet ovat samat, joten niillä on yhteinen tangentti ja käyrät sivuavat toisiaan. Pisteessä (0, 0) tangenttien kulmakertoimet ovat erisuuret, joten käyrät leikkaavat toisensa. 56. Muutosnopeuden ilmoittaa derivaattafunktion arvo. Määritetään molempien funktioiden derivaattafunktiot. ( ) ( ) 44 f( ) D, ( ) ( ) ( ) g () = D( + ) = Funktion f muutosnopeus on suurempi kuin funktion g, kun epäyhtälö toteutuu. ( ) Epäyhtälö toteutuu, kun vasemmalla puolella olevassa lausekkeessa nimittäjän arvo on nollan ja yhden välissä. Tällöin osamääräksi tulee lukua suurempi luku. Nimittäjä ( ) > 0, kun, jolloin riittää ratkaista epäyhtälö < <.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 < < < < 0 : ( ) > > 0 Funktion f muutosnopeus on suurempi kuin funktion g, kun 0 < <,. SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 57. f( ), Erotusosamäärän raja-arvona: a) ) f( ) f( a) ( ) ( ) lim lim a a f a lim :( a) a a a a a ( a)( ) a lim lim a( a)( )( a) a( a)( ) ( a) f( ), ( ) Derivoimissääntöjen avulla: 0 ( ) f ( ),. ( ) ( ), joten 8 58. a) Agnesin noita y 4 (yleisesti y 8a ) 4a
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 8 8 Kun =, y, joten tangentin sivuamispiste on (, 8 4 5 5 ). Kohdassa =, tangentin kulmakerroin saadaan derivaatan arvona. 8 0( 4) 8 D 6 4 ( 4) ( 4) k 6 6 ( 4) 5 Tangentin yhtälö: y 8 6 ( ) 5 5 5) y 6 6 8 5 5 5 y 6 56 5 5 5 normaalimuodossa 65y56 0. b) Newtonin atrain y (yleisesti y = a + b + c + d). Kun =, y 4, joten tangentin sivuamispiste on (, 4).
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Tangentin kulmakerroin kohdassa = : D( ) k Tangentin yhtälö: y 4 = ( ) y = +. a 59. Käyrä y b. Käyrä kulkee pisteen (0, ) kautta, joten pisteen koordinaatti toteuttaa käyrän yhtälön. a Kun = 0, y 0, joten b =. 0 b b a Käyrä on siis y. Tangentilla on pisteet (0, ) ja (, 0), joten käyrälle pisteeseen (0, ) piirretyn tangentin kulmakerroin on k = 0. 0 Tangentin kulmakerroin saadaan myös derivaatan avulla. ( ) ( ) D a a a a a a ( ) ( ). ( a a) a ( ) ( a a) 0 0a Kun = 0, tangentin kulmakerroin on a. (0 ) Kertoimet ovat a = ja b =.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Appletin perusteella tulos on oikea. a 50. a) Käyrät f( ), 0, ja g ( ), sivuavat toisiaan, jos niillä on yhteinen tangentti kohdassa =, eli jos kummallekin käyrälle piirretyn tangentin kulmakerroin on sama käyrien sivuamiskohdassa =. Jotta käyrät sivuaisivat toisiaan kohdassa =, tulee olla f() = g() ja f () = g () f () g() a a a 4 Selvitetään funktion a f( ) a a f( ) a, 0, derivaattafunktio.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Selvitetään funktion g ( ),, derivaattafunktio ( ) ( ) g( ) ( ) ( ) ( ) f() g() a ( ) a ( 4) 4 a 4 Molemmat ehdot toteutuvat, kun a = 4. b) Käyrät leikkaavat toisensa kohtisuorasti, jos niiden tangenttien kulmakertoimien tulo on kohdassa =, eli f () g () =. a ( ) a ( 4) 4 a 4 Tämä yhtälö toteutuu, kun a = 4. Tällöin kuitenkaan ehto f() = g(), eli a = 4 ei toteudu. Käyrät eivät leikkaa toisiaan kohtisuorasti millään parametrin a arvolla.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5. Selvitetään tangentin kulmakerroin derivaatan avulla. ( ) D, ( ) ( ) ( ) Pisteeseen (, 4) piirretyn tangentin kulmakerroin k = ( ) Tangentin yhtälö on y 4 = ( ) y = + 8.. Pisteeseen (, 4) piirretyn normaalin ja tangentin kulmakertoimien tulo on. Normaalin kulmakerroin k =, koska. Normaalin yhtälö on y4 ( ) y. Ratkaistaan piste B, joka on tangentin ja -akselin leikkauskohta. Leikkauskohdassa y = 0. + 8 = 0 = 4 Piste B on (4, 0). Ratkaistaan piste C, joka on normaalin ja y-akselin leikkauspiste. Leikkauskohdassa = 0.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 y y 0 Piste C on (0, ). Kolmion sivut AB ja AC ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Ratkaistaan sivujen AB ja AC pituudet pisteiden välisenä etäisyytenä. AB (4) (04) 46 0 5 AC (0 ) (4) 4 5 Kolmion pinta-ala on 5 5 5. 5. Määritetään funktiolle f( ), 0, pisteeseen (a, f (a)) = (a, a ), a 0 piirretyn tangentin yhtälö. f. a ( ), joten tangentin kulmakerroin on f ( a) Tangentin yhtälö: y ( a ) a a y. a a Lasketaan koordinaattiakselien leikkauspisteet.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 -akselin leikkauspisteessä y = 0. y a a 0 a a : ( ) a a a :( ) a a a a a Piste on (a, 0). y-akselin leikkauspisteessä = 0. y 0 a a a. Piste on (0, a ). Leikkauspisteiden puoliväli: 0 ( a 0, a ) ( a, ). a Tämä on piste, johon tangentti piirrettiin riippumatta vakion a arvosta.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5. Rationaalifunktion ääriarvot 5. a) Tutkitaan funktion f ( ), 0 kulkua derivaattafunktion avulla. ( ) f( ) 4 4, 0 4 4 ( ) Nimittäjä 4 on positiivinen, kun 0. Kulkukaaviota varten riittää tarkastella osoittajan 4 merkkiä. Lasketaan osoittajan nollakohdat. 4 = 0 ( + 4) = 0 = 0 tai + 4 = 0 = 4 Tehdään kulkukaavio 4 0 + + + 4 + + f () + f() b) Funktiolla on paikallinen minimikohta = 4. Paikallinen minimiarvo on f ( 4) 4. ( 4) 6 8
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 54. Funktio f ( ), 0, on määritelty koko välillä [, ] ja on jatkuva ja derivoituva välillä ], [. Lauseen mukaan suljetulla välillä jatkuva ja derivoituva funktio saa suurimman ja pienimmän arvonsa välin päätepisteissä tai välillä olevissa derivaatan nollakohdissa. ) f( ) D( ) D( ) () 6 4 4 4 4, 0 ( ) Lasketaan derivaatan nollakohdat. 40 (4) 0 0 tai 4 0 4 Derivaatan nollakohta = 4 kuuluu välille [, ]. f() = pienin f() = pienin f( 4 ) = 9 8 suurin Suurin arvo on 9 8 ja pienin arvo on. 55. a) Tutkitaan funktion f ( ), kulkua kulkukaavion avulla. ( ) ( ) f( ),. ( ) ( ) ( ) Nimittäjä ( ) on positiivinen, kun. Kulkukaaviota varten riittää tarkastella osoittajan merkkiä. Lasketaan osoittajan nollakohdat. = 0 = tai =
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Tehdään kulkukaavio. + + f () + + f() Funktio vähenee väleillä [, [ ja ], ] ja kasvaa väleillä ], ] ja [, [. b) Funktiolla on paikallinen maksimiarvo kohdassa = ja paikallinen minimiarvo kohdassa =. ( ) 4 Paikallinen maksimiarvo on f ( ) ja paikallinen minimiarvo on f () 6. c) Funktio f on määritelty ja jatkuva välillä [, 4] ja saa suurimman ja pienimmän arvonsa välin päätepisteissä tai välillä olevissa derivaatan nollakohdissa =. Kulkukaavion perusteella funktio saa välillä [, 4] pienimmän arvonsa kohdassa =. f () 6 Funktion f pienin arvo välillä [, 4] on 6.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 4 56. a) Funktio f( ), 0, on kasvava, kun derivaatta on positiivinen ja vähenevä, kun derivaatta on negatiivinen. Tutkitaan derivaatan merkkiä. ) 4 4 ( 4) 4 f( ) D( ) D( ), 0 Nimittäjä > 0, kun 0. Derivaatan merkin tutkimiseen riittää tarkastella osoittajan 4 merkkiä. 4 = 0 ( )( + ) = 0 = 0 tai + = 0 = = Tehdään kulkukaavio. 0 f () + + f() Funktio f on kasvava väleillä ja. Funktio f on vähenevä väleillä < 0 ja 0 <. b) Funktiolla on paikallinen maksimiarvo, kun =. 4 f ( ) 4 Funktiolla on paikallinen minimiarvo, kun =. 4 f () 4 Funktion f paikallinen maksimiarvo on 4 ja paikallinen minimiarvo on 4.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 57. a) Lyhin mahdollinen pituus appletin perusteella on 40 m. b) Merkitään suorakulmion leveyttä muuttujaksi ja korkeutta y. Molemmat saavat vain positiivisia arvoja, eli > 0 ja y > 0. y Pinta-ala: y = 00 (m ), josta y 00 (m). Aidan pituus: p() = + y = + 00 = + 400 (m), > 0.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 c) Määritetään aidan pituuden p pienin arvo. p( ) 400 400 Laaditaan kulkukaavio. Derivaatan lausekkeen nimittäjä > 0, kun > 0. Derivaatan merkin tutkimiseen riittää tarkastella osoittajan 400 merkkiä. 400 = 0 = 400 = ±0 0 0 400 + f () + f() Kulkukaavion perusteella piirin pienin arvo saavutetaan, kun = 0, y 00 0. jolloin 0 Alueen joen suuntainen sivu on 0 m ja sitä vastaan kohtisuora sivu on 0 m. Alueen piiri on tällöin 0 m + 0 m + 0 m = 40 m. 58. a) Kuvaajassa on nollakohta =. Tässä kohdassa funktion merkki vaihtuu negatiivisesta positiiviseksi. Kuvaajassa on kohdassa = paikallinen minimikohta, joten kuvaaja voisi olla derivaattafunktion f kuvaaja ja kuvaaja funktion f kuvaaja. Lisäksi, kun < 0, kuvaajan funktio saa positiivisia arvoja ja tällöin kuvaajan funktio on kasvava. Tämä tukee havaintoa, että kuvaaja on funkion f kuvaaja ja kuvaaja derivaattafunktion f kuvaaja. b) Kuvaajassa on ainut nollakohta =. Tässä kohdassa derivaattafunktion merkki vaihtuu negatiivisesta positiiviseksi. Kuvaajassa on kohdassa = paikallinen minimikohta. Paikallinen minimiarvo on noin,5.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 59. y Merkitään laatikon pohjan toista sivua kirjaimella ja korkeutta kirjaimella y. Koska pohjan sivujen suhde on :, on pohjan toinen sivu. Kaikki sivujen pituudet ovat positiivisia, joten > 0 ja y > 0. a) Laatikon tilavuus on y = 500 (dm ), josta voidaan ratkaista: y 500. Laatikkoon tarvittavan vanerin määrä on pienin, kun laatikon pinta-ala on pienin. A = + y + y 4 500 500 500 500 Saadaan pinta-alafunktio: A ( ) 500, > 0. Etsitään pinta-alafunktion pienin arvo. Laaditaan derivaatan avulla funktion kulkukaavio. 6 ( 500) A( ) 4 500, 0 Derivaatan lausekkeen nimittäjä > 0, kun > 0. Derivaatan merkin tutkimiseen riittää tarkastella osoittajan 4 500 merkkiä.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 4 500 = 0 500 75 4 75 7, Tehdään kulkukaavio. Lasketaan derivaatan arvo testipisteissä = ja = 0 f () = 496 < 0 f (0) = 5 > 0 0 7, 4 500 + f () + f() Pinta-ala on pienin, kun 7,. Vaneria kuluu vähiten, kun laatikon pohjan toinen sivu on noin 7, dm = 7 cm, muut sivut ovat noin 44 cm ja 500 4,8 dm 48 cm. b) Laatikon pienin pinta-ala on A( 75) 75 500 dm, m. 75. Laatikon massa on 6,8 kg/m, m kg. 50. Käyrälle y, 0, asetettu tangentti on suoran y = 8 + 5 suuntainen, kun tangentin kulmakerroin on 8. Määritetään tangentin kulmakerroin derivaatan avulla. D D, 0
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Kulmakertoimen tulee olla 8, joten saadaan yhtälö: 8 0 8 : ( 8) 4 Koska > 0, vain ratkaisu = kelpaa vastaukseksi. Kohtaan = piirretty tangentti on suoran y = 8 + 5 suuntainen. Tarkistetaan piirtämällä kuva.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5. Tehdään funktion f () kulkukaavio. ( ) ( ) f( ) ( ) ( ) ( ) Nimittäjä ( + ) > 0 kaikilla muuttujan arvoilla. Derivaatan merkin tutkimiseen riittää tarkastella osoittajan + merkkiä. + = 0 = tai =. + + f () + f() Paikallinen minimiarvo on f( ) =. ( ) 6 Paikallinen maksimiarvo on f() =. 4
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5. a) Funktio f (), kun 0 ja 5, on vähenevä, kun f () < 0 5 tai f () = 0 yksittäisissä kohdissa ja kasvava, kun f () > 0 tai f () = 0 yksittäisissä kohdissa. 0 (5 ) ( ) ( ) f( ) D( ) 5 (5 ) (5 ) (5 ) (5 ) (5 ) 75 0 (5 ) 75 0, kun 0 ja 5, (5 ) Koska nimittäjä (5 ) on aina positiivinen, kun 0 ja 5, derivaattafunktion merkkiin vaikuttaa vain osoittajan 75 + 0 merkki. 75 + 0 = 0 75 5 0 Tehdään kulkukaavio. 0 5 75 + 0 + + 5 f () + + f() Funktio f() on vähenevä väleillä < 0 ja 0 < 5 ja kasvava väleillä 5 < 5 ja > 5.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5 6 6 b) Funktiolla f() on miniarvo f ( ). 5 5 5 5 5 5 5 Funktiolla ei ole paikallista maksimiarvoa. c) Piirretään kuvat. Kuvaajista huomataan, että funktio on vähenevä, kun 5 lukuun ottamatta kohtaa = 0, jossa funktiota ei ole märitelty. Tällöin derivaattafunktion arvo on negatiivinen. Kuvaajan perusteella funktio f on kasvava, kun, lukuun ottamatta kohtaa = 5, jossa funktiota 5 ei ole määritelty. Tällöin derivaattafunktion arvo on positiivinen. 4 5. Funktio f( ), 0, 4on vähenevä, kun f () < 0 tai 4 f () = 0 yksittäisissä kohdissa. ( 4 ) ( 4)(4) 8 ( 4 86) f( ) ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) 4 8 6, 0, 4 Derivaattafunktion merkkiin vaikuttaa vain osoittajan merkki, koska nimittäjä ( 4) on aina positiivinen, kun 0 ja 4.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 4 + 8 6 = 0 Yhtälöllä ei ole ratkaisua. Derivaattafunktio saa vain negatiivisia arvoja, joten funktio f on vähenevä, kun < 0, 0 < < 4 ja kun > 4 eli väleillä ], 0[, ]0, 4[ ja ]4, [. a) f () f ( ) Voidaan päätellä, että epäyhtälö on tosi, koska funktio on määritelty koko välillä [, ] ja funktio on vähenevä tällä välillä. b) f( ) f() Ei voida päätellä mitään, koska funktio ei ole määritelty koko välillä [, ]. 54. Piirretään kuva tilanteesta. Merkitään funktion f () 4,0 4, kuvaajalla olevan 4 pisteen P koordinaatteja (, f()) = (, 4 4 ). Pisteen P -koordinaatti ilmoittaa suorakulmion kannan pituuden ja y-koordinaatti korkeuden.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Suorakulmion pinta-ala on y. Muodostetaan pinta-alafunktion lauseke. 4 (4 ) 4 A ( ),0 4. 4 4 4 Pinta-alan suurin arvo suljetulla välillä löytyy välin päätepisteissä tai välillä olevassa derivaatan nollakohdassa. (4 )(4) (4 ) 86 A( ),0 4 (4) (4) Lasketaan derivaatan nollakohdat. 86 0, kun ( 4) 860 4 4 tai Derivaatan nollakohdista välillä [0, 4] on 4. Lasketaan funktion A() arvo välin päätepisteissä = 0 ja = 4 4 sekä välillä olevassa derivaatan nollakohdassa. 400 0 A(0) 0 0 4 4 444 0 A(4) 0 4 4 6 4 4 6 6 4 4 ( ) 4 9 9 4 A( ) suurin 4 4 8 8 9 8 9 Suurin pinta-ala on 4 9, kun pisteen P -koordinaatti on 4.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 55. a) Pohja on ympyrän muotoinen, joten pohjan pinta-alaa kuvaa lauseke. Merkitään tölkin korkeutta kirjaimella h. Tölkin vaipan pinta-alan lauseke on h. Koko tölkin pinta-ala on + h. Tölkin tilavuus 0,5 dm on kuutiosenttimetreinä 500 cm. Astian pinta-alan lausekkeessa on kaksi muuttujaa ja h. Esimerkiksi muuttuja h voidaan esittää säteen avulla tölkin tilavuuden lausekkeesta, kun tiedetään, että tölkin tilavuus on 500 cm. V π h 500 : π h 500 π Nyt astian pinta-ala voidaan esittää pohjan säteen funktiona: 500 π 500 A ( ) π π π π π π 000. b) Tölkin pohjan säteen tulee olla positiivinen, eli > 0. Funktion A kulkukaavion muodostamiseen tarvitaan derivaatan A merkki. ) A( ) 4π 000 4π 000 Derivaattafunktion lausekkeessa nimittäjä > 0, kun > 0, joten derivaatan merkkiin vaikuttaa vain osoittajan 4π 000 merkki. 4π 000 = 0 = 000 50 4π π = 50 4, π
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Tehdään kulkukaavio testipisteiden avulla. A () < 0 A (5) > 0 A () A() 0 4, + Pinta-ala on pienin, kun säde on 4, cm. c) Materiaalia kuluu vähiten, kun tölkin pinta-ala on pienin. Tällöin pohjan säde on 4, cm. Tällöin korkeus on h 500 cm π (4, cm) h 8,6 cm. Pinta-ala on pienin, kun pohjan säde on noin 4, cm ja korkeus noin 8,6 cm. 56. Merkitään tölkin pohjan sädettä kirjaimella. Pohjan ja kannen yhteenlaskettu pinta-ala on. Tölkin vaipan pinta-ala on h, missä h on tölkin korkeus. 0 Tölkin tilavuus on h = 0 (cm ), mistä h. Tölkkiin tarvittavan materiaalin menekki, eli tölkin pinta-ala on: A ( ) 0 4 660, 0. Haetaan menekille pienin arvo. A( ) 8 660, 0
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Derivaatan nollakohdat: ) 8 660 0 8 660 0, kun 8 6600 8 660 660 8 660,97 (cm) 8 Tehdään kulkukaavio testipisteiden avulla. A () < 0 A (4) > 0 A () A() 0,97 + Pinta-ala on pienin, kun säde on,97 cm. Tällöin halkaisija on n. 5,9 cm ja korkeus on,9 cm. 57. Merkitään suorakulmion leveyttä muuttujaksi ja korkeutta y. Molemmat saavat vain positiivisia arvoja, eli > 0 ja y > 0. y Suorakulmion pinta-ala on A = y, josta y A. Piiri p = + y = + A. Saadaan piiriä kuvaava funktio p() = + A, > 0. Etsitään funktion p suurin arvo.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 p( ) A A p( ) 0 A 0 A0 A Koska > 0, vain positiivinen arvo kelpaa derivaatan nollakohdaksi. p () 0 A + p() Piiri on pienin, kun = A ja kun sivujen pituudet ovat samat. A ) y A A A A A A, eli 58. a) Luvun käänteisluku on. ),5 ),5 0,5 0 Koska on positiivinen, lausekkeen merkki riippuu vain osoittajan merkistä.,5 + = 0 = 0,5 tai =,5 0, kun 0,5 < <.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 b) Muodostetaan summaa kuvaava funktio. ) f( ), 0 Tutkitaan funktion arvoja kulkukaavion avulla. ( ) f( ), 0 Nimittäjä on positiivinen, kun > 0. Derivaatan merkkiin vaikuttaa vain osoittajan merkki. = 0 = f () f() 0 + Summa on pienin, kun =. Summa on tällöin + =. 59. a) f( ) 5 0,00 0,05 5 900 Optimaalisin matkanopeus olisi se nopeus, jolla kulutus olisi pienin. Nopeuden tulee olla positiivinen, eli > 0. Etsitään pienin arvo kulkukaavion avulla. f '( ) 5 500 75000 000 50000 65000 0,
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 kun = 65,7899 65,8 (km/h). f () f() 0 65,8 + Funktiolla f on pienin arvo, kun 65,8. Optimaalisin matkanopeus olisi täten noin 66 km/h. b) Jotta polttoaineen kulutus olisi enintään 0 % suurempi kuin pienin kulutus, tulee kulutuksen olla alle, f(65,789 ) =, 4,56 5,0. 0,00 0,05 5900 5,0, > 0 5 Ratkaistaan epäyhtälö symbolisen laskennan ohjelmalla. 5,4 < < 79,. Nopeuden tulee olla välillä 54 km/h 79 km/h, jotta kulutus olisi enintään 0 % pienimmän kulutuksen yli. 7,4 540. f( ),0 8, 0,5, 40, Funktio f on jatkuva ja derivoituva, kun 0 8, joten lauseen mukaan funktio saa suurimman ja pienimmän arvonsa suljetun välin päätepisteissä tai välillä olevissa derivaatan nollakohdissa.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06,7, f( ),0 8 (0,5,40,) f ( ) 0, kun,70, 0,,70 5 Derivaatan nollakohdista on välillä [0, 8] = f(0) = 0 f(8) = 59,6 45 f( 5 ),4 5 0,77. Eniten kofeiinia on hetkellä 0,77 h 46 min, jolloin pitoisuus on,4 mg/l. Kofeiinipitoisuus vähenee nopeimmin, kun derivaatan arvo on pienin. Määritetään derivaattafunktion pienin arvo. 9, 6(,8, 68) f( ),0 8 (,80,6) f () = 0, kun,67 f (0) 4,7 f (8) 0, f (,67) 0,5 pienin Kofeiinipitoisuus vähenee nopeimmin kohdassa =,67 h h 40 min, muutosnopeus on tällöin 0,5 (mg/l)/h.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 54. a) Käyrä on symmetrinen y-akselin suhteen, jos muuttujan arvoilla ja saadaan sama y:n arvo. Arvolla on y ja arvolla, y ( ). Käyrä on symmetrinen y-akselin suhteen. b) Merkitään suorakulmion -akselilla olevia nurkkapisteitä koordinaateilla (, 0) ja (, 0), missä > 0. Kuvaajalla olevien nurkkapisteiden koordinaatit ovat vastaavasti (, ) ja (, ). Suorakulmion kannan pituus on ja korkeus on. Suorakulmion pinta-alafunktio on A ( ), missä > 0. Määritetään pinta-alafunktion suurin arvo kulkukaavion avulla. Laaditaan kulkukaavio derivaatan avulla. ( ) 4 A( ), 0 ( ) ( ) ( ) Derivaattafunktion lausekkeen nimittäjä ( + ) on aina positiivinen, kun > 0, joten merkki riippuu vain osoittajan + merkistä. + = 0 =
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 A () A() 0 + Suurin arvo saavutetaan, kun =, jolloin pinta-ala on A(). Tällöin kanta on ja korkeus on. c) Tangentti nousee jyrkimmin, kun tangentin kulmakerroin on suurin. Tutkitaan tangentin kulmakerrointa, eli derivaattaa. Merkitään f( ). f( ) ( ) Tangentti nousee, kun tangentin kulmakerroin on positiivinen. Derivaattafunktion lausekkeen nimittäjä ( + ) on aina positiivinen. Osoittaja on positiivinen, kun < 0. Määritetään tangentin kulmakertoimen f suurin arvo kulkukaavion avulla. Muodostetaan kulkukaavio derivaatan f avulla. ( ) ( )( ) f( ) 4 ( ) ( )(( ) 4 ) 4 ( ) ( )( ) ( ) 4 ( ) ( ) ( ) ( ) Nimittäjä ( + ) on aina positiivinen, koska + on aina positiivinen. Derivaatan merkkiin vaikuttaa vain osoittajan ( ) merkki.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 ( ) = 0 = Tehdään kulkukaavio. Lausekkeen kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. f () f () + 0 Tangentin kulmakertoimen suurin arvo on f ( ). ( ) 4 Piste, jossa tangentti nousee jyrkimmin on (, ). 4 54. Laaditaan funktion f( ) kulkukaavio. Funktio f on määritelty koko reaalilukujoukossa. Muodostetaan kulkukaavio derivaatan avulla. ( ) f( ). ( ) ( ) Nimittäjä ( + ) on aina positiivinen. Derivaatan merkkiin vaikuttaa vain osoittajan + merkki. + = 0 = tai =
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 f () f () + Funktiolla on paikallinen minimikohta = ja paikallinen maksimikohta =. Paikallinen minimiarvo on f ( ) ja paikallinen ( ) maksimiarvo on f (). Tutkitaan, voiko funktio f saada minimiarvoaan pienempiä arvoja. Funktion arvot pienenevät, kun >. Tällöin osoittaja on positiivinen ja samoin nimittäjä + on positiivinen. Funktion f arvot eivät voi pienentyä negatiivista minimiarvoa Funktion pienin arvo on siten. pienemmiksi. Tutkitaan samoin, voiko funktio saada maksimiarvoaan suurempia arvoja. Funktion arvot voivat kasvaa maksimiarvoa suuremmiksi, kun <. Tällöin osoittaja on negatiivinen ja nimittäjä + on positiivinen. Funktio f saa vain negatiivisia arvoja, kun <, joten se ei voi saada maksimiarvoaan suurempia arvoja. Funktion suurin arvo on. Funktio saa arvot väliltä [, ]. Kuvaaja vahvistaa havainnot.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 54. a) Tutkitaan funktion avulla. f( ), 0kulkua välillä ], [ derivaatan f ( ) D, 0 Derivaattafunktion arvo on aina negatiivinen, kun 0, joten funktio on vähenevä välillä ], [. Tällöin funktio saa suurimman arvonsa kohdan = läheisyydessä ja pienimmän arvonsa kohdan = läheisyydessä. f () f () Funktio saa välillä ], [ arvot väliltä ], [. b) 4 ( )( ) f( ), Funktion kuvaaja on suoran +, kuvaaja. Kuvaaja on nouseva suora. f() = + = f() = + = 5 Funktio saa arvot väliltä ], 5[. Funktiota f ei kuitenkaan ole määritelty kohdassa =, joten se ei saa arvoa + = 4. Täten funktio f saa välillä ], [ arvot väleiltä ], 4[ ja ]4, 5[.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 544. a) Piirretään kuva. Suoran yhtälö on y = k( ) y = k k + Kolmion kanta on suoran ja -akselin leikkauspisteen -koordinaatti. y = k k + k k + = 0 k k Korkeus on suoran ja y-akselin leikkauspisteen y-koordinaatti. y = k 0 k + = k + Pinta-ala on k ( k ) k (k ) A. k Pinta-alan tulee olla pienempi kuin 4,5 ja koska suora on laskeva, k < 0.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 (k ) 4,5 k (k ) k ) 4,5 0 k 4k 5k 0 k Tutkitaan rationaalilausekkeen merkkiä merkkikaavion avulla. 4k 5k = 0, kun k = tai k = 4 4 0 4k 5k k + 4k 5k + + k 4k 5k 0, kun < k <. k 4 ( ) 4 4 k b) Pinta-alan funktio Ak ( ) k k, k 0. k k Tutkitaan funktion A kulkua kulkukaavion avulla. ( 8k 4) k ( 4k 4k ) A( k) 6k 8k 8k 8k ( k) 4k 8k 4k 4k k Nimittäjä on aina positiivinen, kun k < 0, joten derivaatan merkki riippuu vain osoittajan merkistä. 4k + = 0, kun k =
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Pinta-ala on pienin, kun k =. Tällöin kanta on k 4 = ja k korkeus k + = + = = y. Kolmion pinta-ala on tällöin 4 4. Kolmion kärjet ovat (0, 0), (4, 0) ja (0, ). 545. Kuutio jakaa kartion kahteen yhdenmuotoiseen osaan. Ylemmän osan pohjan halkaisija on kuution tahkon lävistäjän pituinen. Tahkon lävistäjän pituus on. Merkitään kartion korkeutta kirjaimella. Pienemmän kartion korkeus on. Merkitään ison kartion pohjan sädettä kirjaimella r. Kartion tulee olla korkeampi kuin kuutio, jotta kuutio mahtuu kartion sisälle. Tällöin >.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Koska poikkileikkauskuviossa kolmiot ovat yhdenmuotoiset, saadaan verranto r r( ) r ( ) r Kartio on pienin, kun sen tilavuus on pienin. V( ) r ( ), ( ) ( ) Määritetään tilavuuden pienin arvo kulkukaavion avulla. ( ) V( ), 6( ) Derivaatan nollakohdat: = 0 ja = Tehdään merkkikaavio testikohtien avulla. V () < 0 V (4) > 0 V () V() + Funktio V saa pienimmän arvonsa, kun =. Kartion korkeus on siten ja pohjan säde on, 4. Kuution tilavuuden suhde kartion tilavuuteen: 8 eli : 9 9 π 9π 8. ( ) 4 8
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 546. A E r D z F r y y B Merkitään pyramidin huippua kirjaimella A, pohjaneliön sivun keskipistettä kirjaimella B ja pohjan keskipistettä kirjaimella D. Pyramidin sisällä olevan pallon keskipiste E on on pyramidin korkeusjanalla AD kuvan mukaisesti. Pallo koskettaa pyramidin sivutahkoa pisteessä F. Merkitään pallon sädettä kirjaimella r, pallon keskipisteen etäisyyttä pyramidin huipusta kirjaimella. Koska pallo sivuaa pyramidin tahkoa, on poikkileikkauskuvassa jana BA ympyrän tangentti ja siten säde EF on kohtisuorassa janaa BA vastaan. Pyramidin korkeusjana DA on kohtisuorassa pohjaa vastaan. Kolmiot ABD ja AFE ovat yhdenmuotoiset, koska niissä on molemmissa suorakulma sekä kulma A on yhteinen. Merkitään AF = z. Symmetrian perusteella jana DB = BF = y.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Pythagoraan lauseen mukaan z = + r ja (z + y) = y + ( + r) Näistä saadaan y r ( r) r. Pyramidin pohjaneliön sivun pituus on y. ( ) Pyramidin tilavuus on ( ) ( ) 4 r V y r r r ( ) Selvitetään funktion ( ) 4 r V r r 4 rr V( ) r ( r)., > 0 suurin arvo. Derivaatan nollakohdat ovat = r ja = r. Näistä vain = r käy, koska mittojen tulee olla positiivisia. Laaditaan derivaatan merkkikaavio. Derivaatan merkkiin vaikuttaa vain osoittajan r r merkki. Osoittajan kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. V () V() 0 r + Tilavuuden arvo on pienin, kun = r.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 ( ) Tilavuus on tällöin 4 r r V( r) r 4 r 6r r r r r. Pallon tilavuus on 4 r. Tilavuuksien suhde on 4 r. 8 r