Tehtävä 0 : Kuvassa Etelä-Amerikan valtioita vastaavat solmut on sijoitettu toisiinsa nähden niiden pääkaupunkien keskinäistä sijaintia vastaavalla tavalla. Kuvioon on joukon {0,, 2, 3 alkioilla merkitty eräs mahdollinen väritys neljällä värillä. 0 0 2 0 2 3 2 0 Kuvassa on merkitty katkoviivoilla kuusi eri särmää, jotka yhdessä virittävät neljän solmun täydellisen aliverkon. Kyseisen aliverkon värittäminen vaatii neljä eri väriä, jolloin Etelä-Amerikan karttaa ei voida värittää halutulla tavalla ilman jonkin neljännen värin käyttämistä. Näin ollen myöskään maailmankarttaa ei ole mahdollista värittää pelkästään kolmea väriä käyttäen. Tehtävä 0 : 2 Todistetaan eräs yleinen havainto äärellisen verkon väritysluvun ja astelukujen välisestä yhteydestä. Tuloksen muotoiluun on lisäksi yhdistetty kurssikirjassa ja luennoilla esitettyjä tuloksia. Lemma. Olkoon H mielivaltainen äärellinen verkko. Tällöin kirjoluku col(h) on vähintään luvun δ(h)+ suuruinen sekä korkeintaan luvun (H)+ suuruinen. Lisäksi ehto χ(h) col(h) toteutuu.
Todistus. Olkoon kirjoluvun määritelmän mukaisesti relaatio H jokin sellainen joukon V(H) lineaarijärjestys, että verkon H jokaisella solmulla x pätee ehto { y N H (x) : y< H x + col(h). Verkon H jokaisen solmun naapurustossa on korkeintaan (H) solmua, joten väite col(h) (H)+ toteutuu. Olkoon joukon V(H) alkio a lineaarijärjestyksen H suhteen suurin alkio. Tällöin havainnon δ(h) N H (a) { y N H (a) : y< H a nojalla myös väite δ(h) + col(h) on voimassa. Lisäksi tehtävän 4 yhteydessä esitetyllä menettelyllä voidaan lineaarijärjestyksen H avulla määritellä sellainen verkon H väritys, jolla on joukko{0,..., col(h) arvojoukkonaan. Näin ollen väite χ(h) col(h) toteutuu. Erona edellisen aputuloksen ja tehtävän 4 tilanteen välillä kannattaa huomata, että ahneen algoritmin toiminnan kannalta parhaat mahdolliset lineaarijärjestykset eivät välttämättä toteuta kirjoluvun määritelmän vaatimusta. Väritysluku voi olla aidosti kirjolukua pienempi. Tehtävässä kysytyksi ensimmäiseksi verkoksi voidaan valita esimerkiksi jokin äärellinen epätyhjä täydellinen verkko. Olkoon nimittäin G 0 epätyhjä täydellinen verkko sekä olkoon kokonaisluku n verkon G 0 solmujen määrä. Verkon G 0 kaikki solmut ovat toistensa naapureita, jolloin verkon G 0 jokainen väritys on injektio. Siten ehto χ(g 0 )=n on voimassa. Täydellisen verkon jokaisella solmulla on n naapuria, jolloin ehdot δ(g 0 )+ = n sekä (G 0 )+ = n toteutuvat. Edellisen aputuloksen perusteella myös väite col(g 0 )=n on siis voimassa. Olkoon G jokin ainakin kolme solmua sisältävä äärellinen puu. Verkossa G 0 ei ole syklejä, joten sen kaikki syklit ovat parillista pituutta. Tällöin kurssikirjan lauseen.6. nojalla verkko G on kaksijakoinen, jolloin väite χ(g )=2 pätee. Toisaalta kurssikirjan korollaarin.5.2 mukaisesti puun G kaikki solmut voidaan luetella järjestyksessä siten, että ensimmäistä solmua lukuun ottamatta jokaisella solmulla on täsmälleen yksi naapuri, joka edeltää kyseistä solmua luettelossa. Nyt 2
ehto col(g )=2 on siis voimassa. Lisäksi puussa G on vähintään kolme solmua, jolloin sen kaikki solmut eivät ole lehtiä. Siten väite (G )+ 3 pätee. Valitaan verkoksi G 2 jokin parillista pituutta oleva sykli. Suoraan kurssikirjan lauseen.6. nojalla verkko G 2 on kaksijakoinen, joten ehto χ(g 2 )=2 toteutuu. Verkon G 2 jokaisella solmulla on tasan kaksi naapuria, joten ehdot δ(g 0 )+=3 ja (G 0 )+=3 ovat voimassa. Siis myös väite col(g 2 )=3 toteutuu. Toisaalta tehtävän 3 ratkaisun lopussa esitetään eräs vaihtoehtoinen verkon G 2 valinta. Etsitään vielä jokin verkoksi G 3 kelpaava esimerkki. Olkoon aluksi C jokin parillista pituutta oleva sykli ja olkoon a sen jokin solmu. Valitaan jokin alkio b joukon V(C) ulkopuolelta. Olkoon G 3 tällöin verkko, jolla on joukko V(C) {b solmujoukkonaan ja joukko E(C) { {a, b särmäjoukkonaan. Verkko G 3 on nyt kaksijakoinen, joten väite χ(g 3 )=2 toteutuu. Ehto (G 3 )+=4 on voimassa, sillä solmulla a on kolme naapuria ja muilla solmuilla on enintään kaksi naapuria. Lisäksi tarkastelemalla joukon V(G 3 ) jotakin sellaista lineaarijärjestystä, jolla on solmu b suurimpana alkionaan, havaitaan väitteen col(g 3 ) 3 pätevän. Tällöin tiedosta δ(g 3 )+=3 seuraa ehdon col(g 3 )=3 olevan voimassa. Tehtävä 0 : 3 OlkoonA kaikkien niiden joukon N N parien (m, n) joukko, joilla on olemassa jokin äärellinen verkko G siten, että molemmat ehdoista χ(g)=m ja col(g)=n toteutuvat. Osoitetaan väitteen { (0, ) ( ) A (m, ) = 0,, { n N N : 2 m n olevan voimassa. Väite (0, 0) A pätee väritysluvun ja kirjoluvun määritelmien nojalla, sillä tyhjän verkon solmujoukolta on olemassa kuvaus tyhjälle joukolle ja jokaisella tyhjän solmujoukon alkiolla on väite 0 < 0 voimassa. Toisaalta jokaisen ehdon χ(g)=0 toteuttavan verkon G solmujoukolta on olemassa kuvaus tyhjälle joukolle, jolloin verkko G on tyhjä verkko ja väite col(g)=0 toteutuu. Käytetään kirjainta U verkon ( {0, ) merkitsemiseen. Joukolta V(U) ei ole olemassa kuvausta tyhjälle joukolle, mutta siltä on olemassa injektio jokaiselle 3
yhden alkion joukolle. Siten ehto χ(u)= on voimassa. Verkon U ainoan solmun naapurustossa ei ole yhtään solmua, jolloin havaintojen 0 0 ja 0< perusteella väite col(u)= pätee. Siten väite(, ) A toteutuu. Toisaalta jokaisella ehdon χ(g) = toteuttavalla verkolla G ovat ehdot V(G) ja E(G) = voimassa, jolloin verkon G jokaisen solmun naapurustona on tyhjä joukko, mistä edelleen seuraa väitteen col(g)= olevan voimassa. Olkoon luku m N jatkossa sellainen, että ehto m 2 on voimassa. Luentojen ja kurssikirjan nojalla jokaisella ehdon χ(g) = m toteuttavalla verkolla G on myös ehto col(g) m voimassa. Olkoon toisaalta ehdon n m toteuttava luku n N mielivaltainen. Muodostetaan seuraavaksi äärellinen verkko H siten, että väitteet χ(h) = m ja col(h) = n toteutuvat. Käytetään kirjainta M joukon {k Z + : k m 2 merkitsemiseen, jolloin tapauksessa m=2 myös väite M = on voimassa. Käytetään kirjainta R joukon {m,..., n lyhenteenä ja kirjainta S joukon {n,..., 2n m lyhenteenä. Tällöin joukoissa R ja S on kummassakin yhteensä n m+ alkiota. Olkoon H sellainen verkko, jonka solmujoukko on M R S ja jonka särmäjoukko on { {x, y [ M R S ] 2 : { x, y \ R { x, y \ S. Tällöin esimerkiksi joukko M {m, n virittää verkon H täydellisen aliverkon, jossa on yhteensä m solmua. Kyseisen aliverkon värittämiseen tarvitaan m väriä, jolloin myös ehto χ(h) m toteutuu. Toisaalta joukon S solmulla n pätee NH (n) = M R = (m 2)+(n m ) = n, jolloin erityisesti ehto δ(h) n on voimassa. Näin ollen tehtävän 2 yhteydessä esitetyn aputuloksen perusteella väite col(h) n pätee. Määritellään seuraavaksi kuvaus c: V(H) {,..., m siten, että jokaisella solmulla x V(H) on vaatimus x, jos x M c(x) = m, jos x R m, jos x S 4
voimassa. Tällöin kuvaus c on verkon H eräs väritys, jolloin väite χ(h) = m on osoitettu oikeaksi. Olkoon toisaalta relaatio joukon V(H) lineaarijärjestys, joka saadaan suoraan luonnollisten lukujen tavallisen järjestysrelaation rajoittumana. Nyt jokaisella solmulla a S pätee { y N H (a) : y<a = M R = n. Vuorostaan jokaisella joukon M R solmulla on lineaarijärjestyksen suhteen aidosti pienempiä naapureita enintään n 2 kappaletta. Väittämä col(h) = n siis toteutuu, jolloin väite(m, n) A on todistettu. Lukujen m ja n valinnan perusteella joukona kaikki eri alkiot on nyt määritetty. Kurssin harjoitusryhmän kokoontumisessa Tuomo Lempiäinen esitti tehtävän loppuosalle vaihtoehtoisen ja lyhyemmän ratkaisun. Olkoot luvut m N ja n N edelleen sellaisia, että ehdot m 2 ja n m ovat voimassa. Olkoon R sellainen kahdesta komponentista koostuva verkko, jonka yksi komponentti on isomorfinen verkon K m kanssa ja jonka toinen komponentti on vuorostaan isomorfinen verkon K 2,n kanssa. Verkko K 2,n on sellainen täydellinen kaksijakoinen verkko, että sen molemmissa jako-osissa on n solmua. Tällöin ehdot χ(k m ) = m sekä χ(k 2,n ) = 2 ovat voimassa, jolloin haluttu väite χ(r)=m toteutuu. Lisäksi ehdot δ(k 2,n )=n sekä (K 2,n )=n ovat voimassa, jolloin väite col(k 2,n )=n toteutuu. Tällöin tiedon col(k m )=m perusteella myös väite col(r)=n pätee. Tehtävä 0 : 4 Olkoon G epätyhjä äärellinen verkko ja olkoon c : V(G) {0,..., χ(g) sen jokin väritys. Tällainen väritys on olemassa luvun χ(g) määritelmän nojalla. Nimittäin jokaiselta χ(g) alkiota sisältävältä joukolta on olemassa jokin joukkoon {0,..., χ(g) vievä injektio. Verkko G on äärellinen, joten sen solmuista koostuvat joukot ovat äärellisiä. Olkoon jokaisella k {0,..., χ(g) kuvaus f k : c {k N jokin injektio. Määritellään kuvaus f : V(G) N niin, että jokaisella solmulla a V(G) on ehto 5
f(a)= f c (a)(a) voimassa. Olkoon seuraavaksi joukon V(G) relaatio sellainen, että jokaisella solmuparilla (x, y) V(G) 2 ehto ( ) x y c (x)<c (y) c (x)=c (y) f(x) f(y) on voimassa. Merkinnällä tarkoitetaan joukon N tavallista lineaarijärjestystä. Näytetään aluksi relaation olevan joukon V(G) lineaarijärjestys. Olkoon u jokin joukon V(G) alkio. Väitteet c (u) = c (u) ja f(u) f(u) toteutuvat suoraan. Olkoon solmu v V(G) mielivaltainen. Jos ehdot u v ja v u toteutuvat, niin väitteet c (u)=c (v) ja f(u)= f(v) ovat voimassa, jolloin kuvauksen f c (u) injektiivisyyden nojalla myös väite u=v pätee. Toisaalta alkiot u ja v ovat vertailtavissa relaation suhteen. Nimittäin tapauksessa c (u) c (v) toinen ehdoista c (u)<c (v) ja c (v)<c (u) on voimassa. Lisäksi tapauksessa c (u)=c (v) vähintään toinen ehdoista f(u) f(v) ja f(v) f(u) toteutuu. Olkoon seuraavaksi ehto u v voimassa ja olkoon solmu w V(G) sellainen, että väite v w toteutuu. Jos ehto c (u)<c (w) on voimassa, niin väite u w pätee suoraan. Oletetaan seuraavaksi ehdon c (u)=c (w) toteutuvan. Tällöin ehto c (u)=c (v) toteutuu, jolloin ehdot f(u) f(v) ja f(v) f(w) ovat voimassa. Siten väitteet f(u) f(w) sekä u w toteutuvat. Relaatio on osoitettu erääksi joukon V(G) lineaarijärjestykseksi. Olkoon nyt c: V(G) N tehtäväpaperissa määritelty relaatioon liittyvä kuvaus, jolla jokaisella joukon V(G) solmulla x vaatimus c(x) = min (N\ { c(y) : y N G (x) y< x ) toteutuu. Tällöin kuvaus c on verkon G väritys. Olkoot nimittäin verkon G solmut a ja b toistensa naapureita niin, että vertailtavuuden nojalla oletetaan ehdon a b olevan voimassa. Kuvaus c on verkon G väritys, joten ehto c (a) c (b) pätee. Siten väite a< b toteutuu, jolloin myös haluttu ehto c(a)<c(b) on voimassa. Todistetaan kuvauksen c kuvajoukon olevan joukon {0,..., χ(g) eräs osajoukko. Luvun χ(g) määritelmän mukaan joukko{0,..., χ(g) on tällöin täsmälleen sama joukko kuin kuvauksen c kuvajoukko. Jokaisella x V(G) on ehto c (x) {0,..., χ(g) voimassa. Riittää siis osoittaa, että jokaisella joukon V(G) solmulla x myös väite c(x) c (x) toteutuu. 6
Tehdään vastaoletus, että haluttu tilanne ei toteudu verkon G jokaisella solmulla. Olkoon tällöin joukon V(G) solmu r lineaarijärjestyksen suhteen pienin alkio, jolla väite c (r)<c(r) on voimassa. Olkoon s N G (r) jokin ehdon s< r toteuttava solmu. Nyt väite c(s) c (s) on voimassa. Kuvaus c on verkon G väritys, joten oletuksen s N G (r) perusteella ehto c (r) c (s) pätee. Oletuksen s < r mukaan väite c (s) < c (r) toteutuu, jolloin havainto c (s)+2 c(r) on näytetty oikeaksi. Saadaan tulos ( min N\ { c(y) : y N G (r) y< r ) + c(r), mikä on ristiriidassa kuvauksen c määritelmän kanssa. Siten verkon G jokaisella solmulla x on väite c(x) c (x) voimassa. Näin ollen joukko {0,..., χ(g) on halutusti värityksen c arvojoukko. Tehtävä 0 : 5 Olkoon luku n N\{0, jatkossa kiinnitetty. Merkitään kirjaimella A joukon {0,..., 2n kaikkien parillisten alkioiden kokoelmaa ja edelleen kirjaimella B joukon {0,..., 2n parittomien alkioiden kokoelmaa. Olkoon G nyt sellainen verkko, jonka solmujoukko on{0,..., 2n ja jonka särmäjoukko on { {a, b : ( a, b ) A B a+ b. Verkko G on tällöin äärellinen kaksijakoinen verkko. Lisäksi luonnollisten lukujen tavallisen suuruusjärjestyksen rajoittuma on joukon V(G) eräs lineaarijärjestys. Olkoon c: V(G) N tehtävän 4 mukainen joukon V(G) relaatioon liittyvä väritys. Tavoitteena on näyttää kuvauksen c kuvajoukossa olevan tasan n alkiota. Osoitetaan verkon G jokaisella solmulla x väitteen { c(y) : y N G (x) y<x = {i N : i< x/2 olevan voimassa. Verkon G solmuilla 0 ja kyseinen väite pätee, sillä niillä ei ole lineaarijärjestyksen suhteen aidosti edeltäviä naapureita. Olkoon seuraavaksi solmu r A sellainen, että solmut r ja r+ toteuttavat halutun väitteen. Suoraan 7
värityksen c määritelmän nojalla ehdot c(r)= r/2 sekä c(r+ )= (r+ )/2 ovat tällöin voimassa. Jos ehto r+ 2 A toteutuu, niin saadaan tulos { { c(y) : y N G (r+ 2) y<r+ 2 = i N : i< r/2 (r+ { )/2. Siten solmulla r+ 2 on haluttu ehto voimassa. Vastaavasti huomataan, että ehdon r+ 2 A toteutuessa myös joukon B alkio r+ 3 toteuttaa halutun ehdon. Haluttu väite on induktioperiaatteen nojalla voimassa joukon V(G) jokaisella solmulla. Saman todistuksen perusteella havaitaan solmua 2n tarkastelemalla, että kuvauksen c arvojoukossa on täsmälleen n erilaista arvoa. Tehtävä 0 : 6 Käsitellään tehtävänannon väite suoraan myös hieman yleisemmässä tapauksessa, mutta tehdään edelleen eräitä yksinkertaistavia oletuksia. Olkoon G jokin epätyhjä verkko, jolla on numeroituva määrä lohkoja ja jolla ehto χ(g) N on voimassa. Todistetaan, että verkon G väritysluku saadaan verkon G lohkojen värityslukujen pienimpänä ylärajana. Jatkossa jokaisella osajoukolla A N ja jokaisella osajoukolla B N sanotaan joukon A olevan joukon B alkuosa, jos jokaisella joukon A alkiolla x on väittämä {y N : y x A B voimassa. Erityisesti jokaiselta numeroituvalta joukolta on olemassa bijektio täsmälleen yhdelle joukon N alkuosalle. Olkoon nyt joukonnalkuosa S G sellainen, että kuvaus c G : V(G) S G on eräs verkon G väritys ja että ehto S G = χ(g) toteutuu. Tällöin verkon G jokaisella lohkolla B kuvauksen c G rajoittuma joukkoon V(B) on lohkon B väritys, jolloin väite χ(b) χ(g) toteutuu. Olkoon jatkossa S + joukonnpienin alkuosa, jolla on jokaisella verkon G lohkolla olemassa jokin sellainen väritys, jonka arvojoukko on joukon S + alkuosa. Edellinen päättely osoittaa ehdon S + S G pätevän. Oletuksen nojalla on olemassa jokin surjektio f joukolta N verkon G kaikkien lohkojen joukolle. Toisaalta kurssin aikana on osoitettu, että jokaisen yhtenäisen verkon lohkoverkko on puu. Tulos on voimassa myös äärettömillä verkoilla, joten verkon G lohkoverkko on metsä. Muodostetaan nyt lohkoverkon syklittömyyden avulla kuvauksesta f eräs toinen verkon G lohkojen numerointi. 8
Voidaan määritellä kuvaus g joukoltanverkon G lohkojen joukolle siten, että jokaisella luvulla k N arvoksi g(k) asetetaan kuvauksen f saama arvo joukonn pienimmässä mahdollisessa alkiossa l siten, että jos joukko{g(i) : i N i<k ei sisällä verkon G kaikkia lohkoja, niin lohko f(l) on eri komponentissa kuin yksikään kyseisen joukon lohkoista tai sillä on täsmälleen yksi sellainen solmu, joka on mukana jossakin kyseisen joukon lohkossa. Jos verkolla G on äärellinen määrä lohkoja, niin lohko f(0) on kuvauksen g arvona äärettömän monesti. Kuvauksen g osalta verkon G jokaisen komponentin lohkoverkossa edetään järjestyksessä siten, että joukon N alkuosia vastaavien kuvajoukkojen yhdisteenä olevat verkot rajoitettuna kulloinkin tarkasteltavaan komponenttiin muodostavat kasvavan jonon yhtenäisiä aliverkkoja. Verkon G jokainen lohko on myös mukana kuvauksen g arvojoukossa. Jos nimittäin B on jokin lohko, niin on olemassa pienin luku m N siten, että lohko f(m) on lohkon B kanssa samassa komponentissa, jolloin lohkoja B ja f(m) vastaavien lohkoverkon solmujen välillä on olemassa äärellinen polku. Tällaisella polulla sijaitsevat lohkot numeroituvat suoraan polun etenemisjärjestyksen mukaisesti. Peräkkäisillä lohkoilla on yksi yhteinen solmu. Määritellään vaiheittain kuvausta g hyödyntäen kuvaus c joukolta N eräiden verkon G aliverkkojen värityksille. Olkoon c (0) jokin lohkon g(0) väritys, jonka arvojoukko S 0 on kooltaan pienin mahdollinen väritysehdon toteuttava joukon S + alkuosa. Erityisesti ehto S 0 S + pätee. Olkoon seuraavaksi luku k N sellainen, että väritys c (k) on jo määritelty ja että c (k) on joukon{g(i) : i N i k lohkojen yhdisteenä olevan aliverkon sellainen väritys, että sen arvojoukko S k on joukon S + alkuosa. Ehto S k S + siis toteutuu. Määritellään kuvaus c (k+ ) tapauksittain. Jos ehto g(k+)=g(0) toteutuu, niin valitaan ehdon c (k+)=c (k) olevan voimassa. Olkoon muutoin c eräs lohkon g(k+) väritys, jonka arvojoukko S on kooltaan pienin kyseiseen väritykseen riittävä joukon S + alkuosa. Jos kuvausten c (k) ja c joukko-opillinen yhdiste on joukon{g(i) : i N i k+ lohkojen yhdisteen väritys, niin valitaan arvoksi c (k+ ) kyseinen väritys. Muutoin on olemassa lohkon g(k+) solmu x siten, että solmu x sisältyy myös värityksen c (k) määrittelyjoukkoon ja että värityksen c (k) solmulle x antamalla 9
värillä s on ehto s c (x) voimassa. Lohkon B ohella solmu x on tällöin myös jonkin toisen lohkon solmu. Olkoon nyt kuvaus q: S {s S {s sellainen, että se vaihtaa alkiot s ja c (x) keskenään ja pitää muut alkiot paikallaan. Tällöin kuvaus q c on lohkon g(k+ ) väritys riippumatta ehdon s S toteutumisesta ja sen arvojoukko on joukon S + alkuosa. Jos ehto s / S nimittäin toteutuu, niin alkio s on kuitenkin joukon S k alkio. Kuvausten c (k) ja q c yhdisteenä saadaan joukon{g(i) : i N i k+ sisältämien lohkojen yhdisteenä olevan verkon väritys. Kyseisen verkon jokaisen särmän molemmat päätepisteet sisältyvät kuvauksista c (k) ja q c täsmälleen toisen määrittelyjoukkoon. Kuvaukset antavat määrittelyjoukkojensa leikkauksen muodostavalle alkiolle x lisäksi saman värin. Edellisen rekursiivisen määrittelyn perusteella jokaisella luvulla k N pätee, että väritys c (k) on värityksen c (k+) eräs rajoittuma ja että kuvauksen c (k) arvojoukko on joukon S + alkuosa. Toisaalta verkon G jokainen solmu sisältyy johonkin lohkoon sekä siten myös kokoelman {c (k) : k N jonkin kuvauksen määrittelyjoukkoon. Lisäksi jokainen verkon G solmupari sisältyy jonkin kyseisen kokoelman värityksen määrittelyjoukkoon. Siten kuvaus c (k) k N on verkon G väritys, jonka arvojoukko on joukon S + alkuosa. Tällöin väritysluvun määritelmän perusteella ehto S + χ(g) on voimassa. Nyt väitteet S + S G ja S G S + toteutuvat, joten alkuosan määritelmästä seuraa ehdon S G = S + olevan voimassa. Lisäksi joukko S + on joukon N pienin alkuosa, joka sisältää verkon G jokaisen lohkon jonkin värityksen arvojoukon. Siten joukon S + koko on lohkojen värityslukujen pienin yläraja. Haluttu tulos on siis osoitettu oikeaksi. Jos verkossa G on vain äärellinen määrä lohkoja, niin todistuksessa voidaan käyttää induktiota verkon lohkojen lukumäärän suhteen. Induktioaskeleessa riittää tällöin tarkastella jotakin sellaista lohkoa, jolla on lohkoverkossa korkeintaan yksi naapuri. Toisaalta myös rajoitukset verkon lohkojen määrästä sekä värityslukujen numeroituvuudesta voidaan poistaa valinta-aksioomaa käyttäen. 0