Mapu I Viikko 4 tehtävä malli Millä q:n arvoilla vektori A(q) (, q, q ) on kohtisuora vektorin B (, 0, ) kanssa? Ovatko A:n eri ratkaisut keskenään kohtisuoria? Jos eivät, määrää niiden välinen kulma! Vektorit A ja B ovat kohtisuoria joss A B 0. Lasketaan ensin pistetulo: Ratkaistaan nollakohdat: A B (, q, q ) (, 0, ) q q 0 q q ± A(±) (, ±, ) Nyt tutkitaan ovatko kaksi A:n ratkaisua kothisuorat, eli onko A() A( ) 0 A() A( ) (,, ) (,, ) + 0 ratkaisut eivät ole kohtisuorat. Kulman ratkaisemiseksi käytetään pistetulon geometristä määritelmää: a b a b cos θ, missä θ on vektorien a ja b välinen kulma. Siispä: A() A( ) A() A( ) cos(θ) A() cos(θ) A( ) A() A( ) + + + ( ) + ( ) ( ) θ arccos arccos 3 3 3 0.945 Vastaus: A on kohtisuora vektorin B kanssa kun q ±. Näiden kahden eri ratkaisun kulma on noin 0.945 radiaania.
Tehtävä : Tehtävänannossa annettiin vektorit: A (, 3, ), B (0, 4, 4) () Tehtävänä on jakaa vektori A vektori B:n suuntaiseen ja sitä vastaan kohtisuoraan oleviksi komponenteiksi. Eli: a) A A + A () Vektorin B suuntainen komponentti saadaan laskemalla A:n vektoriprojektio B:n suuntaan. A ˆB( ˆB A) (3) Lasketaan ensin yksikkövektori ˆB: B ˆB B (4) (0, 4, 4) 0 + 4 + 4 (5) (0, 4, 4) 3 (6) (0, 4, 4) 3 (7) (0, 4, 4) 4 (8) (0,, ) (9)
Nyt: A ˆB( A ˆB) (0, (0, (0,, )((, 3, ) (0,, )), )( 0 + 3 + ), )(5 ) (0, 5, 5 ) b) Kohtisuora komponentti saadaan vähentämällä vektorista A vektorin B:n suuntainen komponentti. A A A (, 3, ) (0, 5, 5 ) (,, )
H4 Malliratkaisut - Tehtävä 3 Eelis Mielonen. syyskuuta 07 Tehtävässä pitäisi löytää r n ja w n arvo, mutta emme osaa jakaa vektoreilla. Voimme kuitenkin olla ovelia, ja ottaa r n ristitulon molemmista puolista ja sitten w n ristitulon (kuten tehtävässä on ohjeistettu). Tästä saadaan ensimmäisessä tapauksessa: r v r ( w r) joka vektoreiden kolmitulon (vector triple product) avulla saadaan muotoon r v w( r r) r( r w) Nyt koska r ja w ovat kohtisuoria, niiden pistetulosta tulee nolla. Saadaan siis r v w( r r) r( r w) r v w r w r v r Ja nyt toistamalla prosessin w v laskemiseen saadaan samanlainen yhtälö vektori r n suhteen w v w ( w r) w v w( w r) r( w w) w v r w v w r w r v w w Jotta löydämme jonkun näistä suureista kun toiset ovat annettu meidän pitää käyttää yllä-olevia kaavoja. Huomaamme että oikean käden säännön mukaan v w osoittaa r n suuntaan, mutta sen pituus on skaalattava w tekijällä jotta sen pituus täsmäisi. r v pitää taas skaalata tekijällä r jotta se antaisi w n.
Tehtävä 4. Eräissä kidesysteemeissä kantavektoreina käytetään s a (,, 0) s a (, 0, ) s 3 a (0,, ) missä a on nk. hilavakio ja (x, y, z) on vektorin komponentit karteesisessa koordinaatistossa. Laske kantavektoreiden virittämän suuntaissärmiön tilavuus. Ratkaisu: Kolme vektoria, jotka lähtevät samasta pisteestä, virittävät suuntaissärmiön. Esimerkiksi vektorit a (a, a, a 3 ), b (b, b, b 3 ) ja c (c, c, c 3 ) virittävät suuntaissärmiön kuvan mukaisesti. Kuva : Suuntaissärmiö, jonka virittävät vektorit a, b ja c. Lähde: wikipedia.org Tällöin suuntaissärmiön tilavuus V on sama kuin näiden vektorien skalaarikolmitulon itseisarvo: V a (b c) b (c a) c (a b) () Kaava () perustuu siihen, että kahden vektorin virittämä pinta-ala A saadaan vektoreiden ristitulon itseisarvona. Esimerkiksi kuvassa harmaan base-alueen ala: A b c b c sin θ () missä θ on vektoreiden välinen kulma. Toisaalta suuntaissärmiön korkeus h saadaan vektorin a pituuden kohtisuorana projektiona alaa base vasten: h a cos α (3)
Tilavuus V saadaan pinta-alan ja korkeuden tulona, ja lauseke voidaan vektoreiden laskusäännöillä muokata skalaarikolmitulomuotoon: V Ah b c a cos α a (b c) (4) Vektoreiden s, s ja s 3 virittämän suuntaissärmiön tilavuus saadaan siis esimerkiksi seuraavalla skalaarikolmitulolla: V s ( s s 3 ) Lasketaan yllä olevasta lausekkeesta ensin ristitulo: s s 3 a a î ĵ ˆk 0 0 a 4 (î(0 ) ĵ( 0) + ˆk( 0 0)) a 4 ( î ĵ + ˆk) a (,, ) 4 Joten koko tilavuudeksi saadaan: V s ( s s 3 ) a a (,, 0) (,, ) 4 a3 8 a3 4
Skalaarikolmitulo voitaisiin laskea myös suoraan kantavektoreista muodostetusta determinantista: s ( s s 3 ) a3 8 a3 8 a3 8 a3 8 a3 4 0 0 0 ((0 ) ( 0) + 0( 0 0)) ( ) Tilavuus on vielä itseisarvo tästä, joten vastaukseksi saatiin sama arvo kuin aiemmin. Vastaus: Suuntaissärmiön tilavuus on V a3 4.
. Laske seuraavat integraalit. Ohje: Sievennä ensin integrandi, jolloin integraali palautuu alkeisfunktion integraaliksi: x + x ( ) x + x a) dx b) dx c) + dx x + x4 x + x + Ratkaisu: a) ln x + + x + C, missä C vakio. b) arctan(x) + C, missä C vakio. c) 3 x3/ + C, missä C vakio. Kuten tehtäviä ratkoessa huomataan, hankalan näköiset integraalit saadaan usein pienellä integrandin pyörittelyllä huomattavasti helpompaan muotoon. Käytetyt taulukkointegraalit ovat tulleet jo vastaan aiemmin derivoinnin yhteydessä. a) Huomataan, että osoittaja saadaan muotoon x+ x++. Nyt integrandi saa helpomman muodon x + x + + x + dx dx a + b a x + c c + b c x + x + + x + dx + x + dx dx + x + dx x + C + ln x + + C C + C C 3 vakio ln x + + x + C 3, C 3 vakio, missä on huomioitu tunnettu taulukkointegraali f (x) dx ln f(x) + C. f(x)
b) Huomataan, että nimittäjä saadaan muotoon x 4 ( + x )( x ). Nyt integrandi saa helpomman muodon x x 4 dx x ( + x )( x ) dx + x dx arctan(x) + C, C vakio, missä on huomioitu tunnettu taulukkointegraali dx arctan(x) + C. + x c): Huomataan, että voimme yhdistää lausekkeet (sama nimittäjä), ja ottaa yhteisen tekijän: ( ) ( ) x + x x + + x + dx dx x + x + x + ( ) x + x dx x x x + ( ) x + x dx x x x x + ( ) x( x + ) x + x dx x / dx dx 3 x3/ + C, C vakio.
Mapu I Laskuharjoitus 4, tehtävä 6 6. Tunnista seuraavissa integrandit yhdistetyn funktion derivaataksi ja laske integraalit: a. xe x dx b. x(x + ) dx x c. x + dx Ratkaisu Tehtävässä siis riittää tunnistaa, mitä yhdistettyä funktiota derivoimalla tehtävän integroitavat funktiot on saatu. a. Huomataan, että xe x dx on selvästi funktion e x derivaatta, joten saadaan integraalin vastaukseksi xe x dx e x + C Voidaan tarkistaa tulos vielä derivoimalla e x d dx ex xe x sillä d dx ex e x ja d dx x x. b. x(x + ) dx (x + ) + C x + + C Tarkistetaan derivoimalla vastaus d x + (x + ) dx x(x + ) x(x + ) c. x x + dx Huomataan, että integrandi olisi funktion ln(x + ) derivaatta, jos se olisi kerrottuna sisäfunktion derivaatalla d dx (x + ) x Integroitavassa funktiossa on valmiina jo x, ja sen eteen saadaan jakamalla puolella, joten: x x + dx ln(x + ) + C