FYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö Jari Partanen, Jani Komppula JYFL FL246, S118 japapepa@jyu.fi, jani.komppula@jyu.fi 16. lokakuuta 2013
Ohjaus Työn ja ohjelman esittely (15-30 min) Harjoitellaan ohjelman käyttöä Harmoninen potentiaali Etsitään kymmenen alinta ominaisenergiaa
Klassinen mekaniikka vs kvanttimekaniikka Klassinen systeemi: Newtonin lait ja Hamiltonin mekaniikka Eristetty systeemi, Etot = K + V = 1 2 mv 2 + V = p2 2m + V Etot voi saada mitä hyvänsä arvoja Kvanttimekaniikka: Schrödingerin yhtälö Eψ(x) = Ĥψ(x) Kokonaisenergiaoperaattori Ĥ = 2 2 2m + V (x) x 2 Etot voi saada vain tiettyjä arvoja Voidaan mitata vain observaabeleja: energia, pyörimismäärä, spin jne. Aaltofunktiota EI voida mitata NASA www.iun.edu
Mitä tutkitaan? Tässä työssä ei mitata mitään! Lasketaan potentiaalikuopien energiatiloja tasapohjainen äärettömän syvä potentiaalikuoppa porraspohjainen äärettömän syvä potentiaalikuoppa Esim. porraspotentiaalia ei voida ratkaista analyyttisesti Numeerinen ratkaisu mahdollista tietokoneella Ratkaisua voidaan verrata analyyttisiin approksimaatioihin suurilla ja pienillä energioilla häiriöteoria äärettömän syvä kuoppa L L/2 L/2
Äärettömän syvä tasapohjainen kuoppa Ominaisenergiat 2 2 ψ(x) + V (x)ψ(x) = Eψ(x) 2m x 2 (1) V (x) = {, x L 2 0, x < L 2, (2) E n = 2 π 2 2mL 2 (n + 1)2, n N, (3) Ominaistilat ( 2 L ψ n (x) = cos (n+1)π L ( 2 L sin (n+1)π L x ) x, n parillinen ), n pariton. (4)
1 kl differentiaaliyhtälön ratkaiseminen ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on muotoa f (x) = g(x, f (x)) (5) tiedetään funktion arvo jossain pisteessä f (x 0 ) = y derivaatan määritelmä f f (x + x) f (x) (x) = x f (x + x) = f (x) + xf (x) = ratkeaa x askel kerrallaan, x n = x 0 + n x f (x 0 ) = y f (x 1 ) = f (x 0 ) + x g(x 0, f (x 0 )) = y + x g(x 0, y) f (x 2 ) = f (x 1 ) + x g(x 1, f (x 1 )). f (x n ) = f (x n 1 ) + x g(x n 1, f (x n 1 )) Tämä on Eulerin menetelmä. Oikeasti käytetään parempia. (6) (7)
Schrödingerin yhtälön ratkaiseminen numeerisesti = 1 ja m = 1 1 2 ψ (x) + V (x)ψ = Eψ(x) ψ (x) = 2(V (x) E)ψ(x) (8) jaettu kahdeksi 1 kl differentiaaliyhtälöksi φ (x) = 2(V (x) E)ψ(x) = g(x, ψ(x)) ψ (x) = φ (9) laskettava samaan aikaan sekä ψ(x), ψ(x), että ψ(x) tarvitaan alkuarvot äärellinen potentiaalikuoppa upotettava äärettömän laatikkopontentiaaliin reunaehdot ψ(x0 ) = 0, ψ (x 0 ) = a, a 0 tiedetään V (x), iteroidaan E
Schrödingerin yhtälön ratkaiseminen numeerisesti differentiaaliyhtälöt ovat siis φ (x) = 2(V (x) E)ψ(x) = g(x, ψ(x)) ψ (x) = φ (10) joten φ(x 0 ) = 1 ψ(x 0 ) = 0 φ(x 1 ) = φ(x 0 ) + x φ (x 0 ) = φ(x 0 ) + x 2(V (x 0 ) E)ψ(x 0 ) ψ(x 1 ) = ψ(x 0 ) + x φ(x 0 ) (11). φ(x n ) = φ(x n 1 ) + x 2(V (x n 1 ) E)ψ(x n 1 ) ψ(x n ) = ψ(x n 1 ) + x φ(x n 1 )
Ohjelman ratkaisualgoritmi iteroi E:tä ratkaisee ψ:n jokaisella kerralla oikea E vain, jos ψ(l) = 0 äärettömän syvän kuopan toisessa reunassa ohjelmalle annetaan E lower ja E upper etsii ominaisenergiaa näiden välistä toisella oltava ψ(l) > 0 ja toisella ψ(l) < 0 jatka iterointi tällä ehdolla laskemalla ψ:n energialla E lower +E upper 2 0 0.2 0 0 0.2 0.5 0.4 0.5 ψ(x) ψ(x) 0.6 0.8 ψ(x) 1 1 1 1.2 1.5 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 x 1.4 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 x 1.5 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 x (a) ψ(l) < 0, E = 4.38 (b) ψ(l) > 0, E = 5.15 (c) ψ(l) 0, E = 4.93 Kuva: Äärettömän pot. kuopan 1. ominaistila. E 0 = π2 2
Numeerisen ratkaisun virhe Ratkaisun virhe δ h k askelkoko h ratkaisualgoritmin kertaluku k Euler: 1. kertaluvun algoritmi Puoliväli: 2. kertaluvun algoritmi Runge-Kutta: 4. kertaluvun algoritmi Cash-Karp Runge-Kutta: 5. kertaluvun algoritmi Kuva: http://en.wikipedia. org/wiki/file: Numerical_integration_ illustration,_h%3d1.png
Selkkari Normaali selkkari... paitsi Teoreettiset lähtökohdat Äärettömän syvän potentiaalikuopan ratkaisut Vähintään häiriöteorian antama ensimmäisen kertaluvun korjaus porraspotentiaalille Numeeriset menetelmät ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälön ratkaiseminen Eulerin menetelmän avulla Tulokset analyyttisten ja numeeristen ratkaisujen vertaaminen äärettömän syvälle potentiaalikuopalle 1. kertaluvun approksimaation ja numeeristen ratkaisujen vertaaminen porraspotentiaalille kahdella eri kuopan leveydellä voidaanko porraspotentiaalin tiloja approksimoida yksinkertaisten aproksimaatioiden avulla (äärettömän syvä potentiaalikuoppa ja häiriöteoria)? Milloin?
Ohjelma Kuva: Ohjelman käyttöliittymä
Harjoitustehtävä Ohjelma löytyy osoitteesta: http://users.jyu.fi/ japapepa/potkuoppa/potku.zip Pura johonkin kansioon Avaa Matlabilla gui.m Tarkastellaan harmonista potentiaalia Sovellus: molekyylien värähtely Energiatilat En = ω(n + 1 2 ), n = 0, 1, 2, 3,... = 1, ω = 1 Tehtävä: Etsi kymmenen alinta energiatilaa Laatikkopotentiaalin rajat aluksi ±4 Tuleeko ongelmia? Vertaa teoreettisiin arvoihin Selkkarit voi palauttaa osoitteeseen: japapepa@jyu.fi