MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS

f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Funktionaalianalyysi Ei harjoituksia 1.4.2015 Funktionaalista viihdettä pääsiäistauolle: viikolla 14 (ma 30.3., ti 31.3. ja ke 1.4.) ei ole luentoja eikä harjoituksia Jatkuu... *1. Olkoot (X, d) metrinen avaruus ja x 0 X kiinteä piste. Merkitään C b (X; R) := {f : X R f on jatkuva ja rajoitettu } f := sup{ f(y) y X}, kun f C b (X; R) Jokaiselle x X olkoon f x : X R, f x (y) := d(x, y) d(y, x 0 ). Osoita, että a) f x C b (X; R) kaikille x X; b) f x f z = d(x, z) kaikille x, z X; c) jokainen metrinen avaruus voidaan upottaa isometrisesti Banachin avaruuden tiheäksi osajoukoksi. *2. (Samaistaako vaiko eikö samaistaa?) Fréchet n ja Rieszin esityslauseen nojalla Hilbertin avaruus H ja sen duaali H voidaaan samaistaa: H = H, kun samaistetaan a H ja jatkuva lineaarifunktionaali ( a) H. Aina näin ei kuitenkaan voida tehdä. Kaikille s R asetetaan h s := {x = (x n ) n=1 n=1 n2s x n 2 < } sekä (x y) s := n=1 n2s x n y n, kun x = (x n ) n=1, y = (y n) n=1 hs. Tällöin (h s, ( ) s ) on Hilbertin avaruus. Lisäksi h 0 = l 2 ja ( ) 0 on l 2 :n tavallinen sisätulo. a) Osoita, että kaikille y = (y n ) n=1 h 1, kuvaus f 1,y : h 1 K, (x n ) n=1 n=1 x n y n, on jatkuva lineaarifunktionaali, jonka operaattorinormi on y 1. b) Olkoon f : h 1 K jatkuva lineaarifunktionaali. Osoita, että on olemassa y h 1 siten, että f = f 1,y. [Vihje: Aseta y j := f(e j ), kun j Z +, missä (e j ) j=1 on l2 :n standardikanta, sekä y = (y n ) n=1. Kun y(n) := (y 1, y 2,..., y n, 0, 0,...), on y (n) 2 1 = f( n j=1 j 2 y j e j ) f y (n) 1, joten y h 1. Lisäksi f(x) = f 1,y (x) kaikille x h 1.] c) Osoita yleisemmin, että kaikille y = (y n ) n=1 h s, kuvaus f s,y : h s K, (x n ) n=1 n=1 x n y n, on jatkuva lineaarifunktionaali, jonka opetaattorinormi on y s. Siis y f s,y on konjugaattilineaarinen isometria h s (h s ). d) Osoita, että jos f : h s K on jatkuva lineaarifunktionaali, niin on olemassa y h s siten, että f = f s,y. Tässä esimerkissä siis (h 0 ) = h 0 = l 2, mutta kun s 0, niin duaali (h s ) samaistuu avaruuteen h s ; samaistetaan ( y h s ja f s,y (h s ). Jos asetetaan f y (xn ) n=1) := n=1 n2s x n y n, kun x = (x n ) n=1 hr ja y = (y n ) n=1 h 2s r, niin kuvaus y f y : h 2s r (h r ) on konjugaattilineaarinen isometria. Tällöin voidaan samaistaa (h s ) = h s, jolloin (l 2 ) = (h 0 ) = h 2s. *3. Olkoot E ja F normiavaruuksia, D E aliavaruus ja T : E F lineaarikuvaus. Osoita, että T :n kuvaaja Gr(T ) on suljettu, jos ja vain jos ehdoista x n D, n Z +, x n x E ja T x n y F seuraa, että x D ja T x = y.

... jatkuu 2 *4. Olkoon z l 2 vektori, jolle (z e j ) 0 äärettömän monelle j Z +. Olkoot D := {z} {e j j Z + } ja T : D l 2, T (x 0 z + ) x j e j := x 0 z. j Z + Osoita, että T on lineaarikuvaus. Perustele aluksi, miksi T on hyvin määritelty. (Huomaa, että kun x 0 z + j Z + x j e j D, summassa vain äärellisen monta x j 0.) Osoita, että a) T :n kuvaaja ei ole suljettu; b) T :n kuvaajan sulkeuma Gr(T ) ei ole minkään lineaarikuvauksen kuvaaja. [Vihje: Osoita, että (z, z) Gr(T ) ja (z, 0) Gr(T ).] Tehtävän opetus? Ensin määritelmä: Rajoittamaton operaattori on sulkeutuva, jos sen kuvaajan sulkeuma on jonkin rajoittamattoman operaattorin kuvaaja. Jos T on sulkeutuva ja S on operaattori, jolle Gr(T ) = Gr(S), on S rajoittamattoman operaattorin T sulkeuma. Tehtävä siis sanoo, että kaikki rajoittamattomat operaattorit eivät ole sulkeutuvia. *5. Olkoon (E n ) n=1 avaruuden L2 Hilbertin kanta. Olkoot D := C c (R) kompkatikantajaisten C -funktioiden joukko ja T : D L 2 (R), T f := f(n) e n. n=1 Osoita, että T on hyvin määritelty lineaarikuvaus. Seuraavassa hahmotellaan todistusta sille, että rajoittamattoman operaattorin T adjungaatin T määrittelyjoukko D = {0}. Valitse g L 2 (R), g 0. Osoitetaan, että lineaarimuoto f (T f g) ei tällöin ole jatkuva: Koska g 0, on (g e N ) 0 jollekin N Z +. Valitse f k D siten, että supp f k [N 1 2, N + 1 2 ], f k(n) = 1 ja f k 2 0, kun k. Osoita, että (T f k g) 0, kun k, vaikka f k 2 0. *6. Olkoon x = (x n ) n Z C siten, että n Z x n < (t.s. x l 1 (Z)). Osoita, että sarja n Z x n e i n t suppenee itseisesti ja tasaisesti, ja sen summa f(t) on siis jatkuva, 2πjaksoinen funktio f : R C. [Vihje: Weierstrassin M-testi.] *7. Olkoon x = (x n ) n Z C siten, että n Z n x n < (t.s. (n x n ) n Z l 1 (Z)). Osoita, että sarja n Z x n e i n t suppenee itseisesti ja tasaisesti, ja sen summa f(t) on jatkuvasti derivoituva, 2π-jaksoinen funktio f : R C. [Vihje: idem.] *8. Olkoon x = (x n ) n Z C siten, että n Z n 2s x n 2 < jollekin s > 1/2 (t.s. ( n s x n ) n Z l 2 (Z)). Osoita, että sarja n Z x n e i n t suppenee itseisesti ja tasaisesti, ja sen summa f(t) on jatkuva, 2π-jaksoinen funktio f : R C. [Vihje: CSB, yliharmoninen sarja ja Weierstrassin M-testi.] *9. Olkoon x = (x n ) n Z C siten, että n Z n 2s+2 x n 2 < jollekin s > 1/2 (t.s. ( n s n x n ) n Z l 2 (Z)). Osoita, että sarja n Z x n e i n t suppenee itseisesti ja tasaisesti, ja sen summa f(t) on jatkuvasti derivoituva, 2π-jaksoinen funktio f : R C. [Vihje: idem.]

Sobolevin avaruuksien jonoversio. Kaikille s R asetetaan... jatkuu 3 h s := { x = (x k ) k Z x 2 π,s = k Z(1 + k 2 ) s x k 2 < }, (x y) π,s := k Z(1 + k 2 ) s x k y k, kun x = (x k ) k Z h s ja y = (y k ) k Z h s. Huomaa, että h 0 = l 2 (Z) ja π,0 = 2. *10. Osoita, että kuvaus I s : h s l 2 (Z), I s x := ((1 + k 2 ) s/2 x k ) k Z, kun x = (x k ) k Z h s, on isometrinen lineaarinen bijektio. Päättele tämän avulla, että (h s, ( ) π,s ) on Hilbertin avaruus. *11. Kaikille s, r R asetetaan I s,r : h s h r, I s,r x := ((1 + k 2 ) (s r)/2 x k ) k Z, kun x = (x k ) k Z h s. Osoita, että I s,r on isometrinen lineaarinen bijektio. Osoita lisäksi, että I s,r I r,t = I s,t ja I s,r I r = I s. *12. Olkoon D π,1 : h 1 l 2 (Z), D π,1 x := (k x k ) k Z, kun x = (x k ) k Z h 1. Osoita, että kuvaus D π,1 on jatkuva lineaarikuvaus, ja x 2 π,1 := x 2 2 + D π,1x 2 2. *13. Kun n N, olkoon D π,n : h n l 2 (Z), D π,n x := (k n x k ) k Z, kun x = (x k ) k Z h n. Osoita, että kuvaus D π,n on jatkuva lineaarikuvaus. Osoita lisäksi, että x ( x 2 2 + D π,nx 2 2 on normi h n :ssä, ja että se on ekvivalentti normin π,n kanssa. *14. Olkoot D := s R hs ja D π : D D, D π x := (k x k ) k Z, kun x = (x k ) k Z D. Kun j N, olkoon Dπ j : D D, Dπx j := (k j x k ) k Z, kun x = (x k ) k Z D. Huomaa, että D π h 1 = D π,1 ja Dπ n h n = D π,n. Olkoon n N. Osoita, että h n = {x l 2 (Z) Dπx j l 2 (Z) kaikille j = 1,..., n}. Osoita lisäksi, että x ( x 2 2 + n j=1 Dj πx 2 1/2 2) on normi h n :ssä, ja että se on ekvivalentti normin π,n kanssa. *15. a) Olkoot y = (y k ) k Z l 2 ja λ > 0. Osoita, että yhtälöllä D π,2 x + λ x = y on tasan yksi ratkaisu x h 2. b) Olkoot y = (y k ) k Z D ja λ > 0. Osoita, että yhtälöllä D 2 πx + λ x = y on tasan yksi ratkaisu x D. Osoita myös, että jos y h s, niin x h s+2. *16. Osoita, että kun s > r, on h s h r vektorialiavaruutena. Asetetaan kaikille s, r R, joille s r, U s,r : h s h r, U s,r x := x (upotus). Osoita, että U s,r on jatkuva. *17. Osoita, että kun s > 0, on h s tiheä l 2 (Z):n aliavaruus. [Vihje: f := {x = (x n ) n Z x n 0 vain äärellisen monelle n} h s kaikille s R.] *18. Osoita, että kun s > r, on h s tiheä h r :n aliavaruus. *19. Kaikille x = (x k ) k Z h s, y = (y k ) k Z h s asetetaan f y : h s C, f y (x) := k Z x ky k. Osoita, että f y (h s ), ja että kuvaus h s (h s ), y f y on lineaarinen isometria, vieläpä isomorfismi. Huomaa, että tässä ei ole kyse Fréchet n ja Rieszin lauseen isomorfiasta Hilbertin avaruuden ja sen duaalin välillä. Tässä l 2 (Z):n duaali samastetaan itseensä, jolloin h s :n duaali tulee samastumaan avaruuden h s kanssa. Ks. tehtävää *2, Samaistaako vaiko eikö samaistaa? ) 1/2

... jatkuu 4 *20. ( Sobolevin upotuslause ) Olkoon C 2π kaikkien 2π-jaksoisten jatkuvien funktioiden f : R C muodostama Banachin avaruus, normina f := sup{ f(t) t R}. Kun s > 1/2, olkoon S s : h s C 2π, (S s x)(t) := n Z x ne i n t, kun x = (x n ) n Z. Osoita, että kuvaus on hyvinmääritelty ja jatkuva. *21. Kun k N, olkoon C k 2π := {f C 2π f (j) on jatkuva kaikille j = 1,..., k}, missä f (j) := f:n j. derivaatta. Olkoon f k, := k j=0 f (j), missä f (0) := f. Olkoon s > k + 1/2. Osoita, että S s x C k 2π, kun x hs, ja että S s : h s C k 2π on jatkuva. *22. (Vastaisen varalle, kun on opiskeltu kompakteja operaattoreita; vrt. moniste, luku IX, Kompaktit operaattorit.) Olkoot λ = (λ k ) k Z l (Z) ja T : l 2 (Z) l 2 (Z), T x := (λ k x k ) k Z, kun x = (x k ) k Z l 2 (Z). Tällöin T on jatkuva lineaarikuvaus. Lisäksi T on kompakti, jos ja vain jos λ c 0 (Z), t.s. λ k 0, kun k. *23. ( Rellichin lemma ) Olkoon s > 0. Osoita, että upotus U s,0 : h s l 2 (Z), x x, on kompakti. [Vihje: U s,0 Is 1 : l 2 (Z) l 2 (Z) on edellisen tehtävän perusteella helppo osoittaa kompatiksi. Muista, että kuvaus I s : h s l 2 (Z) on isometrinen isomorfismi.] *24. Olkoon s > r. Osoita, että upotus U s,r : h s h r, x x, on kompakti. [Vihje: I r U s,r Is 1 : l 2 (Z) l 2 (Z) on helppo osoittaa kompatiksi.] Selityksiä: Rieszin ja Fisherin lauseen nojalla funktion f L 2 ([ π, π]) Fourier-kertoimien jono x k = 1 π 2π π f(t) e i k t dt, kuuluu avaruuteen l 2 (Z), ja kääntäen jos (x k ) k Z l 2 (Z), niin on olemassa f L 2 ([ π, π]) s.e. x k = 1 π 2π π f(t) e i k t dt, f(t) = k Z x k e ikt. Muodollisesti termeittäin derivoimalla saadaan f (t) = k Z i k x k e i k t. Siis derivaattaa vastaa kerrointa i lukuunottamatta jono (k x k ) k Z. Jotta derivaatta f L 2 ([ π, π]), on siis oletettava, että (k x k ) k Z l 2 (Z). Ehdot f L 2 ([ π, π]), f L 2 ([ π, π]), voidaan Fourierkertoimille x k korvata yhdellä ehdolla (x k ) k Z π,1 <. Koska funktion f L 2 ([ π, π]) Fourier-kertoimien jono (x k ) k Z l 2 (Z), on x k 0, kun k. Olkoon f C 1 2π. Näytä osittaisintegroimalla y k := 1 π 2π π f (t) e i k t dt, että y k = i k x k. Näytä edelleen, että (k x k ) k Z l 2 (Z) sekä (x k ) k Z h 1 1. Lisäksi 2π f 2 1,2 = (x k ) k Z 2 π,1, missä f 2 1,2 = π π ( f 2 + f 2 ) dt. Käyttämällä Cauchyn jonoja päättele, että 1 2π f 2 1,2 = (x k) k Z 2 π,1 kaikille f H1,2 π := C 1 2π :n täydentymä normin 1,2 suhteen. Kuvaus D π,1 vastaa Fourier-kertoimille Sobolevin avaruuden Hπ 1,2 heikkoa derivaattaa (tekijää i lukuunottamatta). Vastaavasti, jos f on n kertaa jatkuvasti derivoituva, saadaan osittaisintegroinnilla π π f (n) (t) e i k t dt = (i k) n x k, ja (x k ) k Z h n. Operaattori D π,n vastaa Fourier-kertoimille 1 2π Sobolevin avaruuden H n,2 π heikkoa n. kertaluvun derivaattaa, kun H n,2 π := C n 2π :n täydentymä normin n,2 suhteen, missä f 2 n,2 = π n π j=0 f (j) 2 dt. Jaksollisten funktioiden tilanteessa ei ole eri avaruuksia H 1,2 ja H 1,2 0, koska 2π-jaksoiset funktiot voidaan samastaa yksikköympyrän kehän funktioiden kanssa, ja yksikköympyrän kehällä ei ole reunaa. Avaruuksien h s leikkaus h s = { ( (x k ) k Z (1 + k 2 ) s/2 ) x k k Z l (Z) kaikille s R } s R vastaa C 2π -funktioita: Jos (x n) n Z s R hs, niin t n Z x ne i n t on 2π-jaksoinen, C - funktio.

... jatkuu 5 Yhdiste D = h s = { ( (x k ) k Z (1 + k 2 ) s/2 ) x k k Z l (Z) jollekin s R } s R vastaa 2π-jaksoisten distribuutioiden joukkoa ja D π distribuutioderivaattaa. Yhtälö D π,2 x + λ x = y vastaa yhtälöä f + λ f = g. Myös tässä tilanteessa operaattorilla D π,2 on ominaisarvoja. Mitkä? Mitkä ovat vastaavat ominaisvektorit? Aliavaruus f (=jonot (x n ) n Z, joille x n 0 vain äärellisen monelle n) vastaa trigonometristen polynomien joukkoa. Seuraavissa tehtävissä E, F ja G ovat normiavaruuksia, U E avoin ja x 0 U. *25. määritelmä: Kuvaus f : U F on differentioituva pisteessä x 0, jos on olemassa A B(E; F ) siten, että (D) f(x 0 + h) f(x 0 ) = Ah + h ε(h), missä ε f,x0 (h) = ε(h) 0, kun h 0. Lineaarikuvaus A on kuvauksen f derivaatta pisteessä x 0 ja sitä merkitään Df(x 0 ). Kuvaus f on differentioituva, jos se on differentioituva jokaisessa pisteessä x U. Differentioituva kuvaus f : U F on jatkuvasti differentioituva, jos derivaatta Df : U B(E; F ) on jatkuva. *26. Osoita, että ehto (D) määrää derivaatan A yksikäsitteisesti. *27. Olkoot U E avoin, x 0 U ja f : U F annettu kuvaus. Osoita, että jos f on differentioituva pisteessä x 0, niin f on jatkuva pisteessä x 0. *28. Olkoot U E avoin, F = F 1 F m normiavaruuksien tulo ja f = (f 1,..., f m ): U F annettu kuvaus. Osoita, että f on differentioituva pisteessä x 0 U, jos ja vain jos jokainen f j on differentioituva pisteessä x 0 ; tällöin on Df(x 0 ) = (Df 1 (x 0 ),..., Df m (x 0 )). 1 *29. Olkoon B : E F G jatkuva bilineaarikuvaus. Osoita, että B on differentioituva ja DB(x, y)(u, v) = B(x, v) + B(u, y). *30. (Ketjusääntö) Olkoot U E avoin, V F avoin, f : U V differentioituva pisteessä x 0 U ja g : V G differentioituva pisteessä y 0 := f(x 0 ) V. Osoita, että g f : U G on differentioituva pisteessä x 0 ja D(g f)(x 0 ) = Dg(y 0 ) Df(x 0 ). *31. Olkoot U E avoin ja f : U R differentioituva. Osoita, että jos funktiolla f on pisteessä a U lokaali ääriarvo (määrittele), niin Df(a) = 0. *32. Olkoot E Banachin avaruus ja U := {A B(E; E) A on kääntyvä ja A 1 B(E; E)}. Osoita, että U on Banachin avaruuden B(E; E) avoin osajoukko. [Ks. H 3/T 7.] Olkoon I: U B(E; E), I(A) := A 1. Osoita, että I on differentioituva ja DI(A)H = A 1 H A 1 kaikille H B(E; E). 1 Väitetyssä kaavassa B(E; F ) samaistetaan tulon L(E; F 1 ) L(E; F m ) kanssa seuraavasti: Kun A B(E; F ) on annettu, asetetaan A j := p j A B(E; F j ), missä p j : F F j on projektio. Tällöin Au = (A 1 u,..., A m u) kaikille u E. Kääntäen, kun A j B(E; F j ), 1 j m, on annettu, määrittelee Au := (A 1 u,..., A m u) jatkuvan lineaarikuvauksen E F.