MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus 9 3.11.009 alkavalle viikolle Ratkaisuedoituksia Rami Luisto Sivuja: 5 Näissä arjoituksissa saa käyttää kaikkia koulusta tuttuja koulusta tuttujen funktioiden ominaisuuksia kuten sinin jne. jatkuvuutta ja derivointisääntöä. 1. Määritellään f : R R ytälöllä f =. Millä on olemassa derivaatta f? Entä toinen derivaatta f? Entä kolmas derivaatta f? Ratkaisu: Aloitetaan ensimmäisestä derivaatasta ja tutkitaan eri tapauksissa. Kun < 0, niin f = = =, jolloin f = =. Kun > 0, niin f = = =, jolloin f = =. Kun = 0, niin tutkitaan erotusosamäärän raja-arvoa. Tarkastelemalla funktion f kuvaajaa arvataan, että f 0 = 0. Tämän voisi uomata myös siitä, että erotusosamäärä saadaan muotoon: joten eli f 0 = 0 = 0. Eli f =. f f0 f f0 0 = 0 0 = =, 0 = 0, kun 0, Tutkitaan seuraavaksi toista derivaattaa, taaskin eri tapauksissa. Kun < 0, niin f =, jolloin f =. Kun > 0, niin f =, jolloin f =. Kun = 0, niin tutkitaan taas erotusosamäärän raja-arvoa. Taas tarkastelemalla funktion kuvaajaa uomataan, että kuvaajassa on kodassa 0 'piikki', joten derivaattaa ei luultavasti ole kyseisessä kodassa olemassa. f f 0 0 = 0 =. Nyt jos läestyy nollaa vasemmalta, on =, jolloin erotusosamäärä läenee lukua -, mutta jos läenee nollaa oikealta, on =, jolloin erotus- 1
osamäärä läenee lukua. Eli: f f0 0 0+ 0+ 0 f f0 Toisin sanoen f 0 ei ole olemassa. = 0 0+ Kolmatta derivaattaa f 1 on järkevää tutkia ainoastaan, kun 0, sillä kuvaus f ei ole olemassa nollassa. Kun < 0, on f =, jolloin f =. Kun > 0, on f =, jolloin f =.. Derivoi a sin 3 4 ; b sin sin 3 4 ; c sin sin 3 4 + 1. Ratkaisu: Tässä tetävässä käytetään paljon derivoinnin ketjusääntöä. Täytyy pysyä tarkkana, ettei laskuiin tule uoattomuusvireitä. Tetävän työmäärä väenee uomattavasti jos uomaa, että kodissa b ja c esiintyy sisäfunktiona aiemman kodan funktio. Jonka on jo laskenut. a sin 3 4 = sin 4 3 : D sin 4 3 = 3 sin 4 D sin 4 = 3 sin 4 cos 4 D 4 = 3 sin 4 cos 4 4 3 = 1 sin 4 cos 4 3. b sin sin 3 4 = sinsin 3 4 : c D sinsin 3 4 = sinsin 3 4 D sinsin 3 4 a kota = sinsin 3 4 cossin 3 4 {}}{ D sin 3 4 = 4 sinsin 3 4 cossin 3 4 sin 4 cos 4 4 3 sin sin 3 4 + 1: b kota D sin sin 3 4 + 1 = 1 sin sin 3 4 + 1 { 1 }}{ D sin sin 3 4 sinsin 3 4 cossin 3 4 sin 4 cos 4 4 3 = 1 sin sin 3 4 + 1 1 Kun derivaatan kertaluku kasvaa, muuttuu 'pilkku-notaatio' vään ankalalukuiseksi. Miten mones funktion f derivaatta on f? Tämän takia korkeamman kertaluvun derivaattoja yleensä merkitään f n. n:s derivaatta
3. Tarkastellaan funktiota f :]0, [ ]1, 37[, jolle pätee f = 5 + + 1 kaikilla ]0, [. Miksi sillä on aidosti kasvava jatkuva ja derivoituva käänteisfunktio g :]1, 37[ ]0, [. Määritä g 3. Vije: laske ensin f1. Ratkaisu: Tiedämme entuudestaan, että aidosti kasvaville, välillä määritellyille jatkuville kuvauksille löytyy aina aidosti kasvava käänteiskuvaus. Koska kuvaus f on polynomifunktio, jonka olemme jo useamman kerran todistaneet jatkuvaksi, riittää meidän näyttää että kyseessä on aidosti kasvava kuvaus. Käytetään uusia työkalujamme ja tutkitaan kuvauksen derivaattaa: f = 5 4 + 5 0 + > 0 0 >0 Nyt koska f > 0, niin lauseen 8.6. aidon kasvavuuden lause perusteella kuvaus f on aidosti kasvava, ja siis myöskin injektio. Jotta voisimme olla varmoja, että käänteiskuvaus on tosiaan määritelty koko välillä ]1, 37[, pitää meidän tarkistaa, että kuvaus f on surjektio, eli että välin ]0, [ kuva kuvauksessa f on ]1, 37[. Käytetään tään Bolzanon lausetta. Huomataan, että kuvaus f on jatkuva myös, jos määrittelemme sen olevan kuvaus [0, ] [1, 37]. Nyt uomaamme, että f1 = 3 ja f = 5 + + 1 = 3 + 4 + 1 = 37, niin Bolzanon lauseen perusteella kuvaus saa välillä ]0, [ kaikki arvot väliltä ]f0, f[=]1, 37[. Nyt siis tiedämme, että käänteiskuvaus on määritelty koko välillä ]1, 37[. Huomasimme, että f > 0 kaikilla ]0, [, joten lauseen 7.4 nojalla funktio g on derivoituva, ja koska f1 = 1 5 + 1 + 1 = 3, niin g 3 = g f1 = 1 f 1 = 1 5 1 4 + 1 = 1 7 4. Oletetaan, että f 1 =. Selvitä raja-arvo 0 f1 + f1. Vije: täydennä tutkittava lauseke muotoon, missä esiintyvät erotusosamäärän muodot f1 + f1 f1 f1 ja. 3
Ratkaisu: f1 + f1 f1 + f1 + f1 f1 = f1 + f1 f1 f1 = + f1 + f1 f1 f1 = f1 + f1 f1 f1 = + Nyt koska oletuksen perusteella f 1 =, eli jolloin myöskin joten lauseen 5.4 perusteella ja edelleen f1 f1 = 0 f1 + f1 =, 0 f1 f1 =, 0 0 0 f1 + f1 0 f1 + f1 + 0 0 = + 4 = 6 f1 + f1 + 0 f1 f1 = 4 f1 f1 f1 f1 5. Tarkastellaan funktiota f = 4. Tulkitse ytälö a + 4 = a 4 + 4a 3 + 6a + 4a 3 + 4 karakterisaatiolauseen avulla. Mikä on tässä fa, mikä f a ja mikä ε? Voidaanko funktion derivaatta kodassa = a nädä suoraan kyseisestä ytälöstä? Ratkaisu: Karakterisaatiolauseen mukaan derivoituva funktio voidaan kirjoittaa muodossa f + = f + f + ε, 4
missä ε 0, kun 0. Etsitään annetusta ytälöstä karakterisaatiolauseen ytälöä vastaavat kodat. Seuraavaksi vään epäformaalia footnotetämä ei siis kuvaa mitään yleistä tekniikkaa karakterisaatiolauseen soveltamisessa, vaan ian vaan kuvastaa, miten tässä tetävässä voisi ratkaisua esimerkiksi akea. podintaa siitä, miten sopivat vastaavuudet voitaisiin löytää. Huomataan, että termissä f + ei pitäisi esiintyä lukua kertoimena ja termissä f ei pitäisi olla lukua laisinkaan. Termiksi f kelpaa jokin, jossa on kertoimena pelkkä ja viimein termiksi ε kelpaa jotain, jossa on luku kertoimena, mieluiten korkeammassa potenssissa. a + 4 fa+ = a 4 fa + } 4a {{ 3 } + 6a + 4a 3 + 4 f a ε Karakterisaatiolauseen perusteella siis f = 4 3. 6. Oletetaan, että p > 0. Osoita, että ytälöllä 4 + p + q + r = 0 on enintään kaksi erisuurta reaalijuurta. Vije: Merkitse ytälön vasen puoli = f. Osoita ensin toisen derivaatan avulla, että f on aidosti kasvava. Sovella sitten Rollen lausetta ytälön peräkkäisten juurten välissä. Ratkaisu: Toimitaan vijeen mukaisesti. Olkoon siis: f = 4 + p + q + r. Tutkitaan nyt funktion ensimmäistä ja toista derivaattaa: f = 4 3 + p + q f = 1 +p 0 + p = p > 0 0 Nyt siis kaikilla R pätee, että f > 0, joten lauseen 8.6. aidon kasvavuuden lause perusteella kuvaus f on aidosti kasvava. Koska f on aidosti kasvava, on sillä erityisesti enintään yksi nollakota. Seuraavaksi soveltamalla Rollen lausetta uomaamme, että mikäli luvut a ja b ovat kuvauksen f nollakotia, eli fa = fb = 0, niin Rollen lauseen mukaan löytyy piste y ]a, b[ siten, että f y = 0. Juuria voi siis olla kuvauksella f enintään kaksi, sillä mikäli löytyisivät juuret a < b < c, niin derivaatalle löytyisi nollakota sekä väliltä ]a, b[ että väliltä ]b, c[. 5