Ydin- ja hiukkasfysiikka: Harjoitus Ratkaisut Tehtävä i) Isotoopeilla on sama määrä protoneja, eli sama järjestysluku Z, mutta eri massaluku A. Tässä isotooppeja keskenään ovat 9 30 3 0 4Be ja 4 Be, 4Si, 4Si ja 4Si sekä 50 Sn ja 50 Sn. ii) Isotoneilla on sama määrä neutroneja, eli N = A Z on sama. Tässä isotoneja ovat: N = 5: 3 3Li, 6 C ja O N = 63: 0 3 47 Ag ja 50 Sn N = 70: 0 4 50 Sn ja 54 Xe iii) Isobaareilla on sama massaluku A, joten isobaareja ovat 3 Li ja 4 4 4Be sekä 54 Xe ja 5 Te Tehtävä Alueessa jossa on sekä sähkö- että magneettikenttä läpipääseviksi ioneiksi valikoituvat sellaiset joiden nopeus on v = E B =. 0 4 V m 0.70 T = 6.304 m/s. (Suoraan kulkeviin elektroneihin kohdistuva Lorenz-voima F = q(e +v B) = 0. Tällöin ionin nopeusvektori on kohtisuorassa sekä sähkö- että magneettikenttää kohtaan ja voidaan laskea suoraan skalaareilla E = vb.) Alueessa, jossa on magneettikenttä, ioniin kohdistuva Lorenz-voima toimii keskeisvoimana ja ioni päätyy ympyräradalle: qvb = Mv R = Mv R eb. Koska radat yhtyvät samassa kohdassa, mutta ovat eri säteisiä, ovat ne myös eri keskisiä. Näin ollen, jotta saadaan etäisyydet kohteessa, tarkastellaan säteen sijaan halkaisijaa d = R. Kyseessä ovat kertaalleen ionisoidut atomit, joten kaikkien varaus on e. Massat ovat M( 36Kr) =, 9344 u, M( 4 36Kr) = 3, 9507 u ja M( 6 36Kr) = 5, 906 u. Huomaa että massat täytyy vielä muuttaa kilogrammoiksi: u =, 660540 0 7 kg. Näillä tiedoilla voidaan laskea erot osumispaikoissa: d = v qb [M(4 36Kr) M( 36Kr)] =, 5 mm d = v qb [M(6 36Kr) M( 4 36Kr)] =, 59 mm Tehtävä 3 Ytimen säde varaustiheyden avulla saadaan kaavasta R e = CA /3, () jossa C =, 07 fm. Massatiheyden avulla säde on jossa r 0 =, 4 fm. a) R m = r 0 A /3, ()
Ydin- ja hiukkasfysiikka: Harjoitus Ratkaisut ydin R e R m O, 07 fm /3 =, 696 fm, 4 fm /3 = 3, 5 fm 0 Sn, 07 fm 0 /3 = 5, 7 fm, 4 fm 0 /3 = 6, 905 fm 0 Pb, 07 fm 0 /3 = 6, 340 fm, 4 fm 0 /3 =, 95 fm b) = R x = A/3 x R P u A /3 P u A /3 x = A/3 P u A x = 3 A P u = 40 = 30 Eli ytimessä tulee olla 30 nukleonia, joten vaihtoehdot ovat 30 30 4Si ja 5 P Tehtävä 4 Massakato: Sidosenergia: Sidososuus: M = M( H) + M n M( O) =, 00750 u +, 006650 u 5, 994946 u = 0, 370054 u E b = Mc = 0, 370054 uc = 0, 370054 93, 4943 MeV = 7, 6975 MeV 7, 6 MeV E b A = 7, 6975 MeV = 7, 9 MeV Kun ydin hajotetaan yhtäsuureen osaan, saadaan neljä 4 He-ydintä. Tällöin reaktion massakato: m = 4m( 4 He) m( O) = 4 4, 0060334 u 5, 9949464 u = 0, 05496 u Jolloin tästä saatava energia on: E = mc = 0, 05496 uc = 0, 05496 93, 4943 MeV 4, 4 Mev. Tehtävä 5 i) Kun protoni irrotetaan 5 O:sta, jää jäljelle 7 protonia ja ydin on 7 N. Tarvittava energia: E = mc = [M( 5 7 N) + M( H) + m e M( O)]c = [5, 000 u +, 0077647 u + 0, 00054579903 u 5, 9949 u]c Kun protoni irrotetaan 7 = 0, 0305049 uc =, MeV O:sta, jää ydin N, tällöin energiaa tarvitaan: E = mc = [M( 7 N) + M( H) + m e M( 7 O)]c = [, 0045 u +, 0077647 u + 0, 00054579903 u, 9993 u]c = 0, 0745049 uc =, 0 MeV
Ydin- ja hiukkasfysiikka: Harjoitus Ratkaisut 3 ii) Kun irrotetaan neutroni 5 O:sta, jää jäljelle ydin O ja energiaa tarvitaan: E = mc = [M( 5 O) + M( H) + m e M( O)]c = [5, 00307 u +, 0077647 u + 0, 00054579903 u 5, 9949 u]c Kun irrotetaan neutroni 7 = 0, 049 uc = 5, 7 MeV O:sta, jää jäljelle ydin O ja energiaa tarvitaan: E = mc = [M( O) + M( H) + m e M( 7 O)]c = [5, 9949 u +, 0077647 u + 0, 00054579903 u, 9993 u]c = 0, 0044549 uc = 4, MeV Tehtävä 6 Heliumin sidosenergia: E b ( 3 He) = [m p + m n + m e m( 3 He)]c = 0, 0047 uc = 7, 77 MeV Tritiumin sidosenergia: E b ( 3 H) = [m n + m p + m e m( 3 H)]c = 0, 009047 uc =, 40 MeV Sidosenergioiden erotus: E b = 0, 763 MeV Kahden protonin sähköstaattinen potentiaalienergia, kun etäisyys on, 7 fm: E p = q q 4πɛ 0 r = (, 607733 0 9 As) 4π(, 5 0 As Vm )(, 7 0 5 m) =, 35775 0 3 J = 0,47 MeV Potentiaalienergia ja sidosenergioiden erotus ovat samaa suuruusluokkaa, joten ero voidaan tulkita protonien välisen Coulombin repulsion aiheuttamaksi. Tehtävä 7 Spin-kvanttiluku I on kokonaisluku, jos massaluku A on parillinen. Jos A on pariton, I on parittoman kokonaisluvun puolikas (, 3, 5...). Jos sekä järjestysluku Z että neutroniluku N ovat parillisia, on ytimen spin 0. Näiden tietojen perusteella voidaan päättely koostaa taulukkoon: Nuklidi Z N A Spin I 6 C 6 6 0 3 6 C 6 7 3 puoliluku 4 7 N 7 7 4 kokonaisluku O 0 4Si 4 4 0 9 4Si 4 5 9 puoliluku 50 3V 3 7 50 kokonaisluku 3 9 U 9 46 3 0 Tehtävä a) 7 3Al:n spin I = 5. Spinimpulssimomentin vektorin pituus saadaan I = 5 I(I + ) = (5 + ) = 35 3, 0 34 Js
Ydin- ja hiukkasfysiikka: Harjoitus Ratkaisut 4 Kuva : Spinimpulssimomenttivektori b) Spinimpulssimomentin z-komponentti I z saa arvot m l, missä m l = I, I,..., I +, I, eli tässä tapauksessa arvot 5, 3,,, 3, 5. Spinimpulssimomenttivektorin ja z-akselin välinen kulma voidaan laskea trigonometrian avulla kuvasta. cos α = I z I = m l = m l 35 35 Tästä saatavat mahdolliset kulmien arvot vastaten m l :n arvoja: 3, 3, 59, 5, 0, 3, 99, 7, ja 4. c) Taulukoidaan edellä saatuja kulmia vastaavat spinimpulssimomentin z-komponentin arvot: α m l I z = m l 3, 3 5 5/ =, 636 0 34 Js 59, 5 3 3/ =, 5 0 34 Js 0, 3 / = 0, 57 0 34 Js 99, 7 / = 0, 57 0 34 Js 3/ 3 =, 5 0 34 Js 4 5/ 5 =, 636 0 34 Js d) Nyt spin I = 5 rad. Gyromagneettinen suhde γ = 6, 9760 07. Näiden avulla voidaan laskea: Ts 35 µ = µ = γ I = γ =, 764 0 6 Am e) Landén tekijä: γ = g Nµ N g N = γ = 6, 9760 07 rad, 0545766 Ts 0 34 Js µ N 5, 05079 0 7 J T =, 457 f ) Magneettisen momentin z-komponentti saadaan µ z = γm l. Arvot voidaan nyt taulukoida eri kvanttiluvun m l arvoille:
Ydin- ja hiukkasfysiikka: Harjoitus Ratkaisut 5 m l µ z = γm l 5, 39 0 6 Am = 3, 64µ N 3, 0 0 6 Am =, µ N 0, 36 0 6 Am = 0, 73µ N 0, 36 0 6 Am = 0, 73µ N 3, 0 0 6 Am =, µ N, 39 0 6 Am = 3, 64µ N 5