E = γmc 2 Energia, energian säilyminen ja energiaperiaate
Luennon tavoitteet Lepoenergian, liike-energian, potentiaalienergian käsitteet haltuun Työ ja työn merkki* Systeemivalintojen miettimistä Jousivoiman tekemä työ (jatkuu huomenna)* Gravitaatiovoiman potentiaalienergia* ja sen tekemä työ Näistä on lämmittelytehtävät, pitäkäähän silmällä ja kysykää, jos on kysyttävää (lämmittelytehtävän 1 apu luennon 8 kalvoissa)
Planeetta kiertää tähteä elliptisellä radalla, systeemi: planeetta ja tähti. Mitkä suureet säilyvät? Massakeskipiste Liikemäärä Voima Nopeus Paikkavektori
Planeetta kiertää tähteä elliptisellä radalla, systeemi: planeetta. Mitkä suureet säilyvät? Planeetan liikemäärä Planeettaan kohdistuva voima Planeetan nopeus Planeetan paikkavektori
Energian säilyminen E alussa = E lopussa E lopussa, systeemi E alussa, systeemi = E E systeemi + E ympäristö = 0 Työ: mitä ympäristö tekee systeemin energian muuttamiseksi ΔE systeemi = W ympäristö
Energia yhden hiukkasen systeemissä E = γmc 2
Yhden hiukkasen systeemi: energia Hiukkasella on levossakin energiaa Einsteinin kuuluisa kaava E lepo = mc 2 Mitä siis muoto E = γmc 2 pitää sisällään? Mitä jää jäljelle, jos vähennetään hiukkasen energiasta sen lepoenergia? γmc 2 mc 2 Se on se osa energiaa, joka ei ole LEPOenergiaa K = γmc 2 mc 2 Kineettinen energia, liike-energia, K, E k, miten sitä nyt haluaakaan nimittää
Entä epärelativistinen tapaus? E = γmc 2 E = v 2 c mc2 1 v2 c 2 = mc 2 (1 v2 c 2) 1/2 2 1, mitä käytetään? E mc 2 (1 ( 1 2 E mc 2 + 1 2 mv2 v 2 c 2)) No binomiapproksimaatiota!
Yksittäinen neutron hajoaa: n p e Neutroni on aluksi paikoillaan, ja lopussa p +, e -, νҧ ovat kaukana toisistaan. Mikä lauseke kuvaa systeemi kokonaisenergiaa alussa? 1. K n 2. K n + m n c 2 3. K n +K p + K e + K v 4. m n c 2 + m p c 2 + m e c 2 + m v c 2 5. K n +m p c 2 +m e c 2 + m v c 2 Matter & Interactions 4e
Epärelativistinen tapaus Usein käsitellään liikemäärää nopeuden sijaan Miten ilmaista kineettinen energia liikemäärän avulla? K = 1 2 mv2 p = mv K = 1 2 pv v = p m K = p2 2m
Pallo, jonka massa on 2 kg, kulkee nopeudella (0, 3, 4) m/s. Mikä on pallon kineettinen energia? 1. (0, 6, 8) J 2. 0 J 3. 2 J 4. 10 J 5. 25 J
Pallo, jonka massa on 2 kg, kulkee nopeudella ( 0, 3, 4) m/s. Mikä on pallon lepoenergia? 1. 0 J 2. 25 J 3. 6.0 x 10 8 J 4. 9.3 x 10 16 J 5. 1.8 x 10 17 J Matter & Interactions 4e
Hiukkasen dynamiikkaa Hiukkasen liiketilan muutos aikavälillä t 1 t 2 saadaan määritettyä Newtonin II lain mukaan: d Ԧp dt = ԦF t separoidaan Ԧp1 Ԧp 2 d Ԧp = t1 t 2 ԦF t dt vasemmalla: liikemäärän/nopeuden muutos ( Ԧp = m Ԧv); oikealla ajan muutos Entä jos kysymys kuuluukin, kuinka hiukkasen liiketila muuttuu, kun hiukkanen siirtyy paikasta r 1 paikkaan r 2?
1D: klassinen tarkastelu dp = Fdt = F dt dx dx v d(mv) = Fdx mvdv = Fdx v 2 x v1 mv dv = 2 x1 Fdx 1 mv 2 2 2 1 mv 2 1 2 x = 2 x1 Fdx dt tässä p=mv ja = 1 dx v integroidaan puolittain v
Miksi tehtiin 1D-tarkastelu? 1 mv 2 2 2 1 mv 2 1 2 x = 2 x1 Fdx Voisiko nyt sanoa, että x1 kolmeen ulottuvuuteen? Miten K muuttuu esim. ympyräliikkeen tapauksessa? x 2 F dx = F(x 1 x 2 ) tai jopa yleistää Ԧv N
Työ: miten se lasketaan Suunnalla on väliä Työntämällä laatikkoa eteenpäin tehdään työtä Pyörittämällä laatikkoa narussa vakionopeudella ei tehdä työtä (laatikon energia ei muutu) തF 1 (t) തF 1 (t) തF 2 (t) Δr 2 Δr 1 തF 2 (t)
Tämä on epärelativistinen tapaus! Työn laskeminen W = loppu തF drҧ alku Laatikkoa työnnetään തF 1 = FiƸ r W 1 = 2 ҧ തF 1 drҧ xҧ W 1 = 2 x1 ҧ FiƸ dxҧ xҧ iƹ FiƸ dx ҧ = Fdx x W 1 = 2 x1 Fdx = F(x 2 x 1 ) r1 ҧ Laatikkoa pyöritetään തF 2 = F u r r W 2 = 2 ҧ r1ҧ തF 2 drҧ r W 1 = 2 ҧ r1ҧ F u r d u t u r u t F u r d u t = 0 W 2 = 0
Muista: Pistetulo ԦA ԦA B = AB cos φ φ iƹ i Ƹ = 1 jƹ j Ƹ = 1 iƹ j Ƹ = 1 1 cos 90 = 0 B ԦA B = A x i Ƹ + A y jƹ B x i Ƹ + B y j Ƹ = A x B x + A y B y
Työn suunta Liikkeen suunnan mukainen voima tekee positiivista työtä Liikkeen suuntaan vastakkainen voima tekee negatiivista työtä Liikkeen suunnan kanssa kohtisuora voima ei tee työtä
Kysymys Kappale siirtyy paikasta a paikkaan b pitkin suoraa reittiä voiman ԦF vaikuttaessa siihen. Missä tapauksessa voiman tekemä työ on suurin? A B C D ԦF ԦF a b ԦF ԦF
Yhden hiukkasen energiaperiaate (v c) E x = p x de dx = d dx (1 2 mv x 2 ) Toisaalta E = F x x E = ( p x t ) x, E t mc2 + 1 2 mv2 dv x dx = mv x = m dx dt dp x dt = d dt mv x = m dv x dt dv x dx = m dv x dt
Usean kappaleen systeemi Usean kappaleen systeemissä jokaisella kappaleella (hiukkasella) on oma energiansa E = γmc 2 Kun tehdään työtä esim. viemällä kauemmas toisiinsa voimaa kohdistavat kappaleet, voidaan varastoida energiaa systeemiin Tätä energiaa kutsutaan potentiaalienergiaksi Energia monen kappaleen systeemissä: Δ E 1 + E 2 + E 3 + + Δ U 12 + U 13 + U 23 + = W Tässä E i on kappaleen i energia ja U ij kappaleiden i ja j välinen potentiaalienergia
Potentiaalienergian muutos Kaksi kappaletta kohdistavat toisiinsa voimat Oletetaan, että voima on vakio (ts. siirtymä on pieni) Yhtä suuret ja vastakkaismerkkiset ΔU = W sis = ( തF 12 r 1 ҧ + തF 21 r 1 ҧ ) = തF 21 ( r 2 ҧ r 1 ҧ ) Ilmoitetaan paikat suhteellisten paikkojen avulla r 2 ҧ r 1 ҧ = ( r 2,l ҧ r 2,a ҧ ) ( r 1,l ҧ r 1,a ҧ ) = ( r l ҧ r a ҧ )= rҧ U = തF 21 rҧ
Potentiaalienergian muutos jatkuu Nyt തF 21 r, ҧ yleistetään siitä: U = തF 21 rҧ U = F r r du = F r dr Jos siis tiedetään potentiaali, voidaan laskea voima du dr = F r
Potentiaalienergia Energia ei voi kadota Potentiaalienergia voi muuttua kineettiseksi energiaksi Potentiaalienergian kasvattamiseksi systeemiin on tehtävä työtä Potentiaali on negatiivinen, jos kappaleet vetävät toisiaan puoleensa, ja positiivinen, jos voima on repulsiivinen
ҧ Jouseen (bow, ei spring) varastoitu energia määritetään jännittämiseen tarvittavan voiman ja vastaavan vetopituuden avulla ( തF d). Kuvassa on dothrakijousen ja westerosilaisen jousen (F,d)-kuvaaja. Kummasta jousesta nuoli lähtee kovempaa? a) Dothrakilaisesta b) Westerosilaisesta c) Yhtä kovaa d) Ei voi tietää Kuvituskuvassa perinteinen pitkäjousi ja vastakaarta omaava jousi. Kuva lainattu ja data adaptoitu kirjasta Allely et al: The Traditional Bowyers Guide, The Lyons Press, 2000, s. 48-49
Saman suuntainen vetopituus ja voima: integroidaan! Dothraki: 780g lb in Westerosi: 552g lb in Kaavioissa on käytetty jousimiesten ei-si määritelmiä, paino on siis ilmoitettu massayksikkönä mutta tarkoittaa voimaa
Jousen (spring) energia F = kx du = F r dr U = W sis U jousi = k 2 x2 Lämmittelytehtävä 5 & 6 jälkimmäisessä myös jousivoima W = න x 2 x 2 Fdx = න kx dx x 1 x 1 x W = 2 x1 k 2 x2 = k 2 (x 1 x 2 ) 2
Nyt vastaavasti gravitaatiovoiman potentiaali U = න Fdr = න GmM r 2 U = GmM r Merkistä: negatiivinen potentiaali tarkoittaa, että vuorovaikutus on attraktiivinen! Kun r, U 0. dr Lämmittelytehtävä 3: Kuumoduli lentää poispäin Kuusta Kuinka kauaksi se pääsee, jos sillä on alussa joku liike-energia, ja lopussa vastaava potentiaalienergia