FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Helsingin Yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos Luennot, kevät 212 Kari Astala Luentomuistiinpanot perustuvat aikaisempiin versioihin vuodelta 26 (Kari Astala ja Petteri Piiroinen) sekä 28 ja 21 (Hans-Olav Tylli). Sopivaa oheis- ja lisälukemistoa tarjoavat esimerkiksi seuraavat oppikirjat: * B. Bollobás, Linear Analysis. Cambridge Univ. Press, 1999. (ytimekäs yleiskirja) * D. Werner, Funktionalanalysis. Springer. (hyvä yleiskirja, saksankielinen) * W. Rudin, Real and Complex Analysis (3. painos). McGraw-Hill, 1987. (luvut 3-5, ei kata koko kurssia; lisäksi reaali- ja kompleksianalyysia) * A. Friedman, Foundations of Modern Analysis. Dover, 1982. (edullinen ja tiivis yleiskirja, myös mittateoriaa ja reaalianalyysia) * W. Rudin, Functional Analysis. McGraw-Hill, 1991. (erilainen sisältö ja rakenne, laaja yleiskirja) * J. Conway, A Course in Functional Analysis. Springer, 199. (yleiskirja) * I. J. Maddox, Elements of Functional analysis. Cambridge Univ. Press, 1977 (perusteellinen, mutta vanhempi yleiskirja)
Sisältö. Johdanto 1 1. Metriikka ja metrinen avaruus 4 2. Normi ja normiavaruus 8 l p -avaruudet 16 Lineaariset operaattorit 23 3. Täydellisyys ja Banachin avaruus 31 Vektoriarvoisista sarjoista 38 L p -avaruudet 43 Banachin kiintopistelause (epälineaarinen FA) 52 4. Hilbertin avaruudet 62 Ortogonaaliset projektiot 72 Ortonormaalit kannat 76 5. Fourier-sarjat 9 Yhteenveto (Fourier-sarjojen L 2 -teoriasta) 99 Sobolev-avaruudet 11 Sovelluksista differentiaaliyhtälöihin 19 6. Lineaariset operaattorit 117 Neumannin sarja 128 7. Tasaisen rajoituksen periaate 133 Banach Steinhausin lauseen sovelluksia Fourier-sarjoihin 138 8. Avoimen kuvauksen lause 145 Avoimen kuvauksen lauseen sovellus Fourier-analyysiin 154 9. Dualiteetti ja Hahn-Banachin lauseet 159 Hilbertin avaruuden duaali 163 Hahn Banachin lauseet 164 1. Kompaktisuudesta* 175 Riesz-Fredholmin teoria* 186 Itse-adjungoidun kompaktin operaattorin spektraaliesitys* 19
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia (joskus myös yleisempien topologisten vektoriavaruuksien ominaisuuksia). näiden välisten jatkuvien lineaaristen (tai epälineaaristen) kuvausten ominaisuuksia. edellisten kohtien monia eri sovelluksia. Yritämme seuraavan valmistelevan esimerkin kautta selvittää, miksi tällaisia kysymyksiä tutkitaan ja millaisia sovelluksia funktionaalianalyysillä tyypillisesti on (tarkempiin yksityiskohtiin palataan kurssin aikana)..1. Esimerkki. Tarkastellaan integraaliyhtälöä (.2) f(x) λ 1 K(x, s)f(s)ds = g(x), x [, 1], missä g : [, 1] R ja K : [, 1] [, 1] R ovat annettuja jatkuvia kuvauksia, sekä λ R on parametri. Tehtävänä on löytää funktio f, jolle yhtälö (.2) pätee. Käy ilmi että i) jos parametri λ on pieni, yhtälön ratkaisufunktio f on olemassa ja yksikäsitteinen; toisaalta ii) kaikilla parametrin arvoilla λ näin ei välttämättä ole; herää siis kysymys, mitä voidaan sanoa näistä poikkeuksellisista parametreista. Tällaisiin kysymyksiin päädytään esimerkiksi monissa fysiikan ongelmissä, vaikkapa viulun kielen ominaisvärähtelyjä määrättäessä. Itse asiassa, yksi matemaattisen fysiikan keskeisistä kysymyksistä 19 luvun taitteessa oli selittää miksi ominaisvärähtelyjen joukko (so. poikkeusparametrien joukko) on diskreetti; kysymys palautui differentiaaliyhtälöiden kautta tyyppiä (.2) oleviin yhtälöihin. Huomaa, että funktio K(x, s) voi olla hyvinkin monimutkainen, eikä yhtälön suora integrointi, tavalla tai toisella, voi tulla kysymykseen; korkeintaan voimme hakea numeerisia ratkaisuja, kunhan yhtälöt kunnolla ymmärretään. Miten yhtälöitä (.2) voisi silloin lähestyä?
2 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Tilanteen selvittämistä varten identifioidaan ensin (mahdollisten) ratkaisujen avaruus; luonnollinen arvaus on seuraava vektoriavaruus, joka esiintyy jo Analyysi I:ssä, C(, 1) = { f : [, 1] R : f jatkuva välillä [, 1] }. Avaruuteen liittyy luonnollinen etäisyyden mitta, eli normi (tästä myöhemmin paljon lisää): f = sup f(t) = max f(t), f C(, 1). t [,1] t [,1] Pari ( C(, 1), ) tulee olemaan tyypillinen esimerkki Banachin avaruudesta. Yhtälöön (.2) liittyy operaattori (kuvaus) T : C(, 1) C(, 1), (T f)(x) = 1 K(x, s)f(s)ds, x [, 1]. Huomataan, että tämä kuvaus on avaruuden C(, 1) luonnollisen yhteenlaskun suhteen lineaarinen, so. T (λ 1 f + λ 2 g) = λ 1 T (f) + λ 2 T (g) f, g C(, 1), λ 1, λ 2 R. Havaitaan, että yhtälö (.2) voidaan kirjoittaa operaattoriyhtälömuotoon (I λt )(f) = f λ T (f) = g, missä I on avaruuden C(, 1) identtinen kuvaus. Kysymys on siis siitä, onko lineaarinen operaattori I λt kääntyvä (bijektio) kuvauksena C(, 1) C(, 1)! Integraaliyhtälömme (.2) on nyt muuttunut lineaarisen operaattorin ominaisarvotehtäväksi, ja ratkaisua varten meidän tulee kehittää lineaarialgebrallisia menetelmiä vektoriavaruuksissa kuten C(, 1). Nopeasti havaitaan kuitenkin selvä pulma: vektoriavaruus C(, 1) on ääretönulotteinen! (Polynomien perusominaisuuksista seuraa, että monomien muodostama joukko {t n : n =, 1, 2,...} on vapaa.) Ei siis ole ollenkaan selvää mitkä/millä ehdoin lineaarialgebran tulokset yleistyvät näihin uusiin avaruuksiin. Tai mitä operaattoreilta vaaditaan, että lineaarialgebran ominaisarvotehtävät yleistyvät näihin ääretönulotteisiin tilanteisiin. Funktionaalianalyysi pyrkii vastaamaan tämän tyyppisiin kysymyksiin, kehittämään ääretönulotteisten avaruuksien teoriaa silmälläpitäen esim. yllä kuvatun kaltaisia sovelluskohteita. Tällä kurssilla selvitämme Banach avaruuksien perusominaisuudet, keskeisimmät esimerkit (funktio- yms.)avaruuksista sekä myös Banach avaruuksien operaattoreiden perusominaisuudet. Pyrimme myös antamaan esimerkkejä teorian sovelluksista, ja tulemme mm. osoittamaan yo.
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 3 väitteen i); jos aika riittää kurssin loppupuolella voidaan myös tarkastella kysymystä ii). Sana funktionaali tarkoitti alunperin (noin 188 191) sellaista jatkuvaa kuvausta, jonka määrittelyjoukko on jokin funktioavaruus ; tyypillisesti ϕ: C(, 1) R, ϕ(f) = φ: C(, 1) R, φ(f) = 1 1 f(s) ds, f(s) 2 ds tai (epälineaarinen funktionaali). Nyttemmin termin käyttö on hieman muuttunut, kuten myöhemmin huomaamme. Funktionaalianalyysin sovellusaloja ovat muun muassa (muu) klassinen analyysi (reaali- ja kompleksianalyysi, harmoninen analyysi) differentiaali-, osittaisdifferentiaali- ja integraaliyhtälöt (DY,ODY, IY) matemaattinen fysiikka (kvanttimekaniikka,... ) optimointi variaatiolaskenta ja approksimaatioteoria dynaamiset systeemit numeerisen analyysin teoria tn-teoria ja stokastiikka. Kääntäen, analyysi ja sen sovellukset synnyttävät jatkuvasti uusia funktionaalianalyysin tutkimuksia.
4 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Metriikka ja metrinen avaruus Funktionaalianalyysin peruskurssin taustalla on metristen avaruuksien peruskäsitteet (avoimet joukot, pistejonon suppeneminen, kuvauksen jatkuvuus yms.). Aluksi palautamme lyhyesti mieliin joitakin yleisiä asioita. 1.1. Määritelmä. Olkoon X joukko. Kuvaus d : X X R + on metriikka X:ssä, jos (M1) (M2) (M3) d(x, z) d(x, y) + d(y, z) kaikilla x, y, z X ( kolmioepäyhtälö ) d(y, x) = d(x, y) kaikilla x, y X d(x, y) = x = y (Huom: d(x, y) kaikilla x, y X.) Sanomme, että (X, d) eli joukko X varustettuna metriikalla d, on metrinen avaruus (yleensä jätetään d merkitsemättä, jos se selviää yhteydestä). Merkintöjä: Olkoon (X, d) metrinen avaruus, x X, r > : B(x, r) = { y X : d(x, y) < r } avoin x-keskinen, r-säteinen pallo B(x, r) = { y X : d(x, y) r } suljettu x-keskinen, r-säteinen pallo. X r x B(x, r) Kuva 1. Avoin pallo B(x, r) metrisessä avaruudessa (X, d) Oletamme, että lukija on tutustunut metristen avaruuksien perusteisiin (vrt. esim. [Väisälä : Topologia I]). Lukijan tulisi kerrata, mitä metrisissä avaruuksissa tarkoittavat käsitteet avoin joukko, suljettu joukko ja kompakti joukko; samoin mitä tarkoitetaan ympäristöllä, ympäristökannalla, aliavaruudella, suppenevalla pistejonolla, jatkuvalla kuvauksella,... Muistamisen helpottamiseksi listaamme alla lyhyesti eräitä näistä käsitteistä.
Olkoon (X, d) metrinen avaruus: FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 5 avoimet ja suljetut joukot: joukko A X on avoin, jos jokaista a A vastaa sellainen r = r(a) >, että avoin pallo B(a, r) A. A X on suljettu, jos komplementti A c = { x X : x / A } on avoin. metriikan indusoima topologia on joukkoperhe τ d = { A X : A on avoin X:ssä }. ympäristökanta, relatiivitopologia jonon raja-arvo ja suppeneminen: jono (x n ) X suppenee kohti x X, jos d(x n, x) n. Siis jokaista ε > vastaa sellainen n ε N, että d(x n, x) < ε kaikilla n n ε. Merkintä: x n n x tai lim x n = x. n jatkuva kuvaus : Olkoot (X, d) ja (Y, d ) metrisiä avaruuksia. Kuvaus f : X Y on jatkuva pisteessä a X, jos jokaista ε > vastaa sellainen δ = δ(a, ε) >, että d (f(a), f(y)) < ε aina kun d(a, y) < δ (ja y X). f on jatkuva X:ssä jos f on jatkuva jokaisessa pisteessä a X. kompakti joukko (Heine-Borelin lause,... ) 1.2. Esimerkki. R n varustettuna euklidisella metriikalla n (1.3) d(x, y) = x j y j 2 = x 1 y 1 2 + + x n y n 2, j=1 kun x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) R n. (Erikoistapaus n = 1 : d(x, y) = x y, x, y R). Kuvaus d on metriikka: Topo I, Vektorianalyysi (tai myöhemmin luvussa 2 avaruuden l p yhteydessä). Kolmioepäyhtälö on tässä tapauksessa (epä-triviaali) arvio n n n x j z j 2 x j y j 2 + y j z j 2 j=1 j=1 kaikilla (x 1,..., x n ), (y 1,..., y n ), (z 1,..., z n ) R n. j=1
6 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Tapauksessa n = 2 ja x = (x 1, x 2 ), siis piste y = (y 1, y 2 ) B ( x, r ) jos ja vain jos (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2 < r 2. (x 1,x 2) r Kuva 2. Avoin tason R 2 pallo B((x 1, x 2 ), r) Huomautus. Vastaavasti, kun x = (x 1,..., x n ) ja y = (y 1,..., y n ) C n, kaava (1.3) määrittelee metriikan avaruuteen C n. Seuraavan käsitteen avulla voimme mitata ääretönulotteisen avaruuden suuruutta. Sanomme, että metrinen avaruus (X, d) on separoituva, jos on olemassa sellainen numeroituva osajoukko A X, että joukon A sulkeuma Ā = X. Sanomme tällöin myös, että A on tiheä X:ssä. Palautetaan mieliin, että sulkeuma määritellään metriikan d avulla seuraavasti: jos A X, niin piste x Ā jos jokaisella r > pätee B(x, r) A. Erityisesti: x Ā on olemassa sellainen pistejono (a n) A, että d(a n, x) n. Tiheysehto Ā = X tarkoittaa siis: jos y X ja ε > ovat mielivaltaisia, niin on olemassa sellainen alkio a A, että d(a, y) < ε. 1.4. Esimerkki. (R n, d) on separoituva, kun d on euklidinen etäisyys ja n = 1, 2,.... Todistus. Analyysi I:n nojalla tiedämme, että Q = R, missä Q on rationaalilukujen joukko. Jos x = (x 1,..., x n ) R n ja ε > on annettuja, niin valitaan jokaisella j {1,..., n} sellainen q j Q, että x j q j < ε n, j = 1,..., n. Tällöin q = (q 1,..., q n ) Q Q = Q n, joka on numeroituva joukko (koska Q on numeroituva) ja n d(x, q) = x j q j 2 < n ε2 }{{} n = ε. j=1 < ε2 n
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7 Lopuksi käyttökelpoinen kriteeri ei-separoituvuudelle: 1.5. Lause. Olkoon X metrinen avaruus ja oletetaan, että on olemassa ylinumeroituva kokoelma U avaruuden X avoimia pistevieraita epätyhjiä osajoukkoja (siis aina jos U, V U ja U V, niin U V = ). Silloin X ei ole separoituva. Todistus. Olkoon A = {a 1, a 2,... } on numeroituva X:n osajoukko. Koska A on numeroituva ja perhe U ylinumeroituva, löytyy ainakin yksi joukko U U, joka ei sisällä A:n pisteitä (miksi?). Silloin, jos x U, valitsemme säteen r > niin että B(x, r) U. Erityisesti, d(x, a) > r jokaisella a A. Näin näemme ettei yksikään X:n numeroituva osajoukko voi olla tiheä.
8 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 2. Normi ja normiavaruus Olkoon E vektoriavaruus (eli lineaariavaruus) skalaarikuntana K = R tai K = C. Kurssilla Lineaarialgebra I & II määriteltiin vain R-kertoimiset vektoriavaruudet, mutta kompleksikertoimiset avaruudet määritellään täysin analogisesti: Avaruudessa E on yhteenlaskun x + y lisäksi annettu skalaarilla kertominen (λ, x) λx, siis kuvaus C E E, joka toteuttaa ehdot λ(x + y) = λx + λy, λ(µx) = (λµ)x ja (λ + µ)x = λx + µx kaikilla vektoreilla x, y E ja skalaareilla λ, µ C. Useimmiten kurssin tulokset ja käsitteet toimivat täysin samoin molemmilla skalaarikunnan valinnoilla, R tai C, ja käytämme silloin skalaarikunnalle merkintää K. Jos skalaarikunta pitää spesifioida, siitä huomautetaan erikseen. 2.1. Esimerkkejä. (1) C n = {z = (z 1,..., z n ) : z 1,..., z n C} on C- kertoiminen vektoriavaruus. n-vektorien summa ja skalaarilla kertominen määritellään koordinaatteittain kuten vektoriavaruuden R n tapauksessa. (2) Myös kompleksisten polynomien avaruus n P = {p(z) = a k z k : a,..., a n C, n N {}}, k= on C-kertoiminen vektoriavaruus. Summa p + q ja skalaarilla λp kertominen määritellään pisteittäin, kun p, q P ja λ C. Dimensio: Kerrataan ensin lineaarialgebran käsitteitä. Jos A E on osajoukko, sen virittämä E:n vektorialiavaruus on n (2.2) span(a) = { λ k x k : x k A, λ k K, k = 1,..., n, n N}. Tällöin vektoriavaruus E on äärellisulotteinen, jos se on äärellisen vektorijoukon virittämä. Lineaarialgebrasta muistetaan, että vektorijono x 1,..., x n E on lineaarisesti riippumaton eli vapaa, jos λ 1 x 1 + λ n x n = λ 1 = = λ n = Äärellisulotteisen avaruuden E dimensio dim(e) on E:n kannan (so. vapaan virittäjäjoukon) vektorien lukumäärä; tämä lukumäärä on kannasta riippumaton luku. Siis (x 1,..., x n ) on E:n kanta jos ja vain jos jokaisella vektorilla x E on yksikäsitteinen esitys x = λ 1 x 1 +... + λ n x n lineaarikombinaationa.
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 9 Muistetaan vielä, että Honkasalon monisteen Lineaarialgebra I sivulla 5 on todistettu seuraava tulos, jonka oletamme tunnetuksi: Vektoriavaruus E on äärellisulotteinen jos ja vain jos E:n vapaiden jonojen pituudet ovat ylhäältä rajoitetut, so. on olemassa sellainen luku M <, että jokaisessa E:n vapaassa jonossa on korkeintaan M vektoria. Tämä kaikki toimii myös, kun kerroinkuntana on C. Esimerkiksi yllä C n on äärellisulotteinen (tarkemmin, n-ulotteinen). Nimittäin, (e 1,..., e n ) on eräs kanta vektoriavaruudelle C n, missä e 1 = (1,,..., ),..., e n = (,...,, 1) C n. Selvästi z = (z 1,..., z n ) = n z ke k kaikilla z C n. Toisaalta, P on ääretönulotteinen: Polynomit p n (z) = z n, n N {}, muodostavat vapaan joukon (miksi?), ja koska tuo joukko on ääretön, yo. tuloksen nojalla dim(p) =. Keskeinen idea Funktionaalianalyysissä on tuoda hyödyllistä rakennetta esimerkiksi funktioiden muodostamiin vektoriavaruuksiin. Ensimmäisessä askeleessa etäisyyskäsite luodaan erilaisten normien avulla. 2.3. Määritelmä. Olkoon E jokin K-kertoiminen vektoriavaruus. Kuvaus p : E R + on normi E:ssä, jos (N1) p(x + y) p(x) + p(y) kaikilla x, y E ( kolmioepäyhtälö ) (N2) p(ax) = a p(x) kaikilla x E, a K ( homogeenisuus ) (N3) p(x) = x = (nolla-alkio E:ssä) Tavallisesti merkitään p(x) = x. Paria (E, ) eli vektoriavaruutta E varustettuna normilla sanotaan normiavaruudeksi. Huomautus. (1) Normi edellyttää, että määrittelyjoukko E on lineaariavaruus: x + y E ja ax E aina kun x, y E ja a K. (2) Kuvaus p : E R + on seminormi E:ssä, jos p toteuttaa ehdot (N1) ja (N2). 1 Tällöin p( ) = p( ) = p( ) =, ja { x E : p(x) = } on avaruuden E vektorialiavaruus ehtojen (N1) ja (N2) nojalla. 1 tämä yleisempi käsite on joskus tarpeen; tällä kurssilla suhteellisen harvoin
1 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 2.4. Esimerkkejä. (1) n x 2 = x 2 j x = 2 1 + x 2 2 + + x 2 n, x = (x 1,..., x n ) R n, j=1 on avaruuden R n euklidinen normi, kun n = 1, 2,.... Ehdot (N1)-(N3) toteutuvat; katso TopoI. Hieman myöhemmin tämä todistetaan myös erikoistapauksena yleisemmän avaruuden l p yhteydessä. Vastaavasti kaava n z 2 = z j 2 = z 1 2 + z 2 2 + + z n 2, z = (z 1,..., z n ) C n, j=1 antaa euklidisen normin avaruuteen C n. Ehto (N1) on tässä muotoa n n n z j + w j 2 z j 2 + w j 2. j=1 j=1 [Muistutus: jos z = a + ib C, niin z 2 = zz = a 2 + b 2, missä z = a ib. Tapauksessa n = 1 pätee edellä z + w z + w kun z, w C. Tämä on kompleksilukujen kolmioepäyhtälö, joka usein tulee käyttöön jatkossa. Todistusidea: z + w 2 = (z + w)(z + w) = z 2 + 2Re(zw) + w 2 ( z + w ) 2. Viimeisessä vaiheessa käytimme arviota Re(u) u, u C.] (2) Kun A on mielivaltainen joukko, asetetaan j=1 B(A, K) := { f : A K : f := sup f(t) < }. t A Tämä on rajoitettujen kuvausten A K vektoriavaruus, jos asetetaan (f + g)(t) = f(t) + g(t), (af)(t) = af(t) kun f, g B(A, K), a K. Helposti nähdään, että f on normi: Perustelu. Olkoon f, g B(A, K) ja t A. Tällöin (f + g)(t) = f(t) + g(t) ey sup yli = t A f(t) + g(t) määr. f + g = sup (f + g)(t) f + g t A f + g eli ehto (N1) on voimassa. (Edellä ey tarkoittaa reaali- tai kompleksilukujen kolmoiepäyhtälöä, riippuen skalaarikunnasta). Olkoon a K skalaari. Tällöin (af)(t) = af(t) = a f(t) sup yli t:n af = a f
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 11 eli myös ehto (N2) on voimassa. Koska niin myös (N3) toteutuu. f = sup f(t) = f(t) = t A t A f on -funktio, (3) Myös R n :ssä (tai C n :ssä) voidaan määritellä normi edellisen kohdan erikoistapauksena: tällöin A = {1,..., n}, jolloin saadaan normi x := sup( x 1,..., x n ), missä x = (x 1,..., x n ) K n. Vaikka tämä normi antaa myös euklidisen topologian (vrt. Esim 2.13 alla), sup-normin geometria on hieman erilainen. Esimerkiksi dimensiossa n = 2 avaruuden E = (R 2, ) vastaava suljettu yksikköpallo B E = {x E : x 1} näyttää seuraavalta: y (, 1) (1, ) x Kuva 3. Pallo B E avaruudessa E = (R 2, ) (4) Toinen erikoistapaus (2)-kohdasta saadaan, kun A = N. Tällöin merkitään l := B(N, K) = {x = (x n ) n=1 : x n K n, x = sup x n < }. n N Avaruudessa l siis (x n ) + (y n ) = (x n + y n ) ja a(x n ) = (ax n ) kun (x n ), (y n ) l ja a K. Olkoon e n = (,,...,, }{{} 1,,...) l kun n N. Tällöin n:s joukko {e n : n N} on lineaarisesti riippumaton (Miksi?), joten dim(l ) =. Seuraavaksi osoitetaan pari normin perusominaisuutta, joista seuraavan lauseen (2)-kohta liittää normiavaruudet metrisiin. 2.5. Lause. Olkoon (E, ) normiavaruus. Tällöin (1) kaikilla x, y E on voimassa (ns. ey alaspäin ) x y x y.
12 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Erityisesti, kuvauksena normi x x on tasaisesti jatkuva E:ssa. (2) kuvaus d: E E R +, d(x, y) := x y on metriikka avaruudessa E. Erityisesti x = d(x, ), x E. Todistus. (1) (vrt. Topo I, Vektorianalyysi) Olkoon x, y E. Tällöin x = x y + y ey = x y x y x y + y symm = y x y x (N2) = x y = x y x y (2) (vrt. Topo I) kaikilla x, y, z E on voimassa d(x, z) = x z = x y + y z (N1) x y + y z = d(x, y) + d(y, z), joten (M1) toteutuu. Ehto (M2) seuraa välittömästi ehdosta (N2). Edelleen d(x, y) = x y = (N3) x y = x = y, joten myös (M3) on voimassa. Normiavaruudessa voidaan siis puhua normin indusoimasta metrisen topologian käsitteistä, kuten avoimista palloista ja joukoista, jonojen suppenemisesta, jatkuvista funktioista jne. Metrisinä avaruuksina funktioavaruudet voivat olla melko suuria, esimerkkinä olkoon vaikkapa l, joka ei ole edes separoituva (vrt. Harjoitukset). Useille käytännössä eteen tuleville funktioavaruuksille separoituvuus toisaalta pätee; myöhemmin osoitamme tämän esimerkiksi C(, 1):lle. Seuraava esimerkki valaisee pistejonojen suppenemisen (avaruudessa l ). 2.6. Esimerkki. Olkoon y (n) = (1, 1,..., 1,,,...) l (alussa n kpl ykkösiä) kun n N. Kysymys: Suppeneeko jono (y (n) ) n=1 avaruudessa (l, )? Ratkaisu. Merkitään y (n) = (y (n) k ) l, jolloin siis määritelmän mukaan y (n) k = 1 kun 1 k n ja y (n) k = kun k > n. Jos jono (y (n) ) n=1 suppenee (l, ):ssä, määritelmän mukaan eräälle jonolle y = (y k ) l pätee y (n) y = sup k y k y (n) k. n
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 13 Erityisesti, kiinteällä k N saamme y k y (n) k n y k. Tästä seuraa, että = lim n y (n) k = 1 kaikilla k = 1, 2,..., eli raja-arvojonon on oltava y = (1, 1, 1,...) l. Toisaalta, y (n) (1, 1, 1,...) = (,...,, 1, 1,...) (alussa n kpl nollia), joten y (n) (1, 1, 1,...) = 1 n N. Tämä tarkoittaa, että jono (y (n) ) n=1 ei voi supeta avaruudessa (l, ). (Vaihtoehtoinen tapa: selvästi y (n) = e 1 +... + e n kun n N, missä e n = (,,...,, }{{} 1,,...) l kun n N. Havaitaan, että kaikilla n > m pätee n:s y (n) y (m) = e m+1 +... + e n = 1. Tällöin jono (y (n) ) n=1 ei voi supeta avaruudessa (l, ), koska jonon alkiot eivät edes toteuta Cauchyn ehtoa, vrt. Lause 3.2 alla). Normiavaruuden luonnolliset rakenteet ovat yhteensopivat, toisin sanoen: 2.7. Lause. Normiavaruudessa (E, ) kuvaukset ψ 1 : E E E, ψ 1 (a, b) := a + b, ja ovat jatkuvia. ψ 2 : K E E, ψ 2 (λ, a) := λa [Ylimääräinen HT: Selvitä tämä itsellesi!] Huomautus. Normiavaruuden E metriikka on siirto- eli translaatioinvariantti: d(x + a, y + a) = x + a (y + a) = x y = d(x, y) kaikilla x, y, a E. Saamme muutamia seurauksia: (i) normin avoimelle pallolle pätee B(a, r) = a + B(, r) kaikilla a E ja r >. Tästä, sekä ominaisuudesta (N2) saadaan, että joukko A E on avoin (vast. suljettu, kompakti) jos ja vain jos x + A ja λa ovat avoimia (vast. suljettuja, kompakteja), kun λ K \ {} ja x E ovat mielivaltaisia. (ii) Jos x U E, niin U on pisteen x ympäristö jos ja vain jos U x on nolla-alkion ympäristö. (iii) Pistejono (x n ) n= E suppenee alkioon y E jos ja vain jos x n y kun n avaruudessa E. Edellä käytimme merkintöjä x + A = { x + y : y A } E, λa = { λx : x A }.
14 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Yleisemmin, jos A E, B E ja Λ K, niin asetetaan A + B = { x + y : x A, y B }, ΛA = { λx : λ Λ, x A }. Monet funktioavaruuksien konvergenssikäsitteistä voidaan kuvata normin avulla (ja kääntäen, normi antaa konvergenssikäsitteen): 2.8. Esimerkkejä. (1) Kun avaruus C(, 1) = {f : [, 1] K jatkuva } varustetaan tavallisella normillaan f = sup t [,1] f(t), pätee f n f kun n f n (x) f(x) tasaisesti joukossa [, 1]. (Kompleksisessä tapauksessa f = f 1 + if 2 on jatkuva [, 1] C jos ja vain jos reaaliosa f 1 ja imaginaariosa f 2 ovat molemmat jatkuvia funktioita [, 1] R.) (2) Toisaalta C(, 1):ssä voidaan määritellä myös normi f 1 = 1 f(t) dt, kun f C(, 1). (Selvitä itsellesi miksi 1 on normi C(, 1):ssä!). Nyt pätee lim f n f 1 = n 1 f n (t) f(t) dt f n (x) f(x) keskimäärin. Esimerkiksi, jos f n (t) = t n, niin f n keskimäärin eli normin 1 mielessä, koska f n 1 = 1 n+1 kun n. Toisaalta jono (f n) ei konvergoi supnormin mielessä -funktioon, sillä f n = 1 jokaisella n N. Annetuista normiavaruuksista saadaan muodostettua uusia avaruuksia monella eri tavalla. Tulemme jatkossa näkemään tästä useitakin esimerkkejä. Aloitamme seuraavalla yksinkertaisella periaatteella. 2.9. Lause. Jokainen normiavaruuden (E, ) vektorialiavaruus F on normiavaruus (E:n indusoimalla normilla varustettuna). 2.1. Esimerkkejä. (1) Voimme esimerkiksi valita E = B([, 1], K), jolla on aliavaruutena jatkuvien funktioiden avaruus F = C(, 1). [Lisätieto: C(, 1) on avaruuden B([, 1], K) suljettu vektorialiavaruus sup-normin suhteen, vrt. HT 1.] (2) Olkoon E = l ; seuraavat jonoavaruudet ovat sen vektorialiavaruuksia: c := {x = (x n ) n=1 l : lim n c := {x = (x n ) n=1 l : lim n x n = }. x n on olemassa}, Molemmissa normi on siis x = sup n x n. Edellä x n K kaikilla n N. Jos x n = a n + ib n C, niin jono (x n ) suppenee jos ja vain jos reaalijonot (a n ) ja (b n ) suppenevat. [Lisätieto: c ja c ovat avaruuden l suljettuja vektorialiavaruuksia, vrt. HT 1.]
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 15 Monesti on hyödyllistä muuttaa normia, ilman että sen määräämä topologia tai konvergenssi muuttuu. Tämä idea johtaa seuraavaan käsitteeseeen. 2.11. Määritelmä. Vektoriavaruuden E normit 1 ja 2 ovat ekvivalentteja, jos on olemassa vakiot C 1, C 2 >, joille C 1 x 1 x 2 C 2 x 1 x E. 2.12. Lause. Olkoot 1 ja 2 ekvivalentteja normeja avaruudessa E. Tällöin ne määrittelevät avaruudessa E samat avoimet ja suljetut joukot (eli ne määrittävät saman topologian; siis τ 1 = τ 2, missä τ 1 = {U E : U on 1 avoin joukko}.) Todistus. Harjoitukset. 2.13. Esimerkki. (1) Avaruuden C n normit n x 2 = x j 2 = x 1 2 + x 2 2 + + x n 2, j=1 ovat ekvivalentit: x = max 1 j n x j, x = (x 1,..., x n ) C n x x 2 n x, x C n. Nimittäin, jos x = (x 1,..., x n ) C n ja j {1,..., n} on sellainen indeksi, että x = x j, niin n x 2 = x j 2 n x j 2 = n x. j=1 (Tulemme myöhemmin näkemään, että itse asiassa jokaisen äärellisulotteisen vektoriavaruuden kaikki normit ovat ekvivalentit.) (2) Olkoon P = {p(z) = n k= a kz k : a,..., a n C, n N {}} polynomien muodostama vektoriavaruus. Tällöin esimerkiksi p 1 = n k= a k ja p 2 = max a k, kun p(z) = k n a k z k, ovat hyvin määriteltyjä (Miksi?) normeja (Miksi?) avaruudessa P. Normit eivät ole kuitenkaan ekvivalentteja: jos p n (z) = n k= zk = 1+z +...+z n, niin jokaisella n pätee p n 2 = 1 mutta p n 1 = n + 1. Koska tässä n voidaan valita mielivaltaisen suureksi, normit ovat epäekvivalentit. k=
16 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 2.14. Esimerkki. Merkitään C k (, 1) = { f : [, 1] K : f, f,..., f (k) ovat jatkuvia välillä [, 1] }, kun k N. Tässä f (j) on funktion f j:s derivaatta, ja f () = f. Normit f = sup f = j k t 1 sup f (j) (t) = sup f (j), ja k j= sup t 1 f (j) (t) = j k k f (j) ovat ekvivalentteja avaruudessa C k (, 1), minkä todistus jää harjoitustehtäväksi. Osaatko antaa muita ekvivalentteja normeja C k (, 1):lle? Ääretönulotteisessä normiavaruudessa avoimet (tai suljetut) joukot voivat joskus tuottaa yllätyksiä verrattuna euklidisen avaruuden (R n, 2 ) tilanteeseen. 2.15. Esimerkki. Olkoon j= A = {(x n ) n=1 c : x n < 1 n kaikilla n N}. Tällöin A ei ole avoin joukko normiavaruudessa (c, ). Nimittäin selvästi nollajono = (,,...) A. Näytämme, että ei ole joukon A sisäpiste, toisin sanoen, ei ole olemassa sellaista r >, että avoin pallo B(, r) A. Olkoon r > annettu ja y (n) = (,,...,, r/2,,...) (missä r/2 on jonon n:s koordinaatti), kun n N. Tällöin y (n) = r/2, eli y (n) B(, r) kaikilla n N. Toisaalta, jos kiinnitetään n N jolle 1 n < r 2, niin erityisesti y(n) / A. Näin siis B(, r) A ei ole voimassa millään r >. l p -avaruudet Normiavaruudet l, c ja c ovat esimerkkejä klassisista Banachin (jono)avaruuksista. Mainitsemme vielä esimerkkinä avaruuden l 1 = {x = (x n ) n=1 : x 1 := x n < }, joka on itseisesti eli absoluuttisesti suppenevien sarjojen avaruus. Myös tässä 1 on helppo todistaa normiksi, koska kolmioepäyhtälö seuraa arviosta x n + y n x n + y n summaamalla indeksin n suhteen. Vaikeammin käsiteltäviä esimerkkejä ovat muut ns. l p -avaruudet, joita nyt ryhdymme määrittelemään. n=1
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 17 2.16. Määritelmä. Olkoon 1 p <. Tällöin ( ) 1 l p := {(x n ) n=1 : x p := x n p p n=1 < }. Tässä x n K kaikilla n N, ja jonojen summa ja skalaarilla kertominen on määritelty koordinaateittain: (x n ) + (y n ) = (x n + y n ) ja λ(x n ) = (λx n ) jonoille (x n ), (y n ) ja λ K. Seuraavassa p ja q ovat reaalilukuja, jotka täyttävät ehdot: p > 1, q > 1 ja 1 p + 1 q = 1. Sanomme lukuja p ja q toistensa duaalieksponenteiksi. Esimerkiksi p = q = 2 tai p = 7, q = 7 ovat duaalieksponenttipareja. Edelleen on voimassa, että 6 q = ja p + q = pq. p p 1 Seuraavana tavoitteena on osoittaa, että (l p, p ) on normiavaruus, ja erityisesti että kolmioepäyhtälö on voimassa p :lle. 2.17. Lemma. Jos a, b sekä p ja q ovat duaalieksponentteja, niin (2.18) ab ap p + bq q. Todistus. Kun b annettu, asetetaan g(b) = sup a {ab ap p Tämä suure on itse asiassa funktion a p /p Legendre muunnos. Muunnosta hyödynnetään paljon esim. konveksissa analyysissä. Merkitään f(a) = ab ap. Silloin f() = ja f(a), kun a. p Edelleen, kun a, f (a) = b a p 1 = a = b 1/(p 1) } ja koska q 1 = 1/(p 1), f(b 1/(p 1) ) = b b 1/(p 1) bp/(p 1) p = ( 1 1 ) b q = 1 p q bq Siis a = b 1/(p 1) on funktion f(a) maksimipiste. Erityisesti f(a) = ab ap p 1 q bq, a, mikä todistaa väitteen (2.18).
18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 2.2. Lause (Hölderin epäyhtälö jonoille). Olkoot 1 < p, q < sellaiset, että = 1. Tällöin 1 p + 1 q (H) x k y k ( x k p ) 1 p ( y k q ) 1 q kaikilla jonoilla (x k ) l p, (y k ) l q (tässä x k, y k K kaikilla k ja K = R tai K = C). Näin siis (x k y k ) 1 (x k ) p (y k ) q, ja erityisesti (x k ) l p, (y k ) l q = tulojono (x k y k ) l 1. Huomautus. Kun epäyhtälöön (H) sijoitetaan luvut, jotka toteuttavat lisäehdot = x k = y k kaikilla k > n, saadaan erikoistapauksena äärellinen versio Hölderin epäyhtälöstä: n n n (H ) x k y k ( x k p ) 1 p ( y k q ) 1 q kaikilla (x 1,..., x n ), (y 1,..., y n ) K n ja n = 1, 2, 3,... Todistus. Merkitään A = ( x k p ) 1 p = (xk ) p, B = ( y k q ) 1 q = (yk ) q, jolloin A, B. Jos A = tai B =, niin x k = kaikilla k N tai y k = kaikilla k N. Tällöin (H) on ilmeinen, sillä vasen puoli =. Voidaan siis olettaa: A >, B >. Kiinnitetään k N ja sovelletaan Lemmaa 2.17 luvuille a = x k ja b = y k. Saadaan A B x k A y k B 1 p x k p A p + 1 q y k q B q kaikilla k N. Summataan nämä arviot muuttujan k suhteen, jolloin 1 x k x k y k = AB A y k B 1 x k p + 1 y k q p A p q B q = 1 p 1 x A p k p + 1 q 1 y B q k q = 1 p + 1 q = 1. } {{ } =A p }{{} =B q Kertomalla puolittain luvulla AB saadaan lopulta x k y k AB = (x k ) p (y k ) q.
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 19 Hölderin erikoistapauksella p = q = 2 on oma nimitys ja merkitys (vrt. Hilbertin avaruudet, luku 4). 2.21. Seuraus (Schwarzin epäyhtälö). Jos x = (x k ), y = (y k ) l 2, niin (S) x k y k ( x k 2 ) 1 2 ( y k 2 ) 1 2 = x 2 y 2 kaikilla jonoilla (x k ), (y k) l2. Äärellisten jonojen erikoistapauksessa saadaan n n n (S ) x k y k ( x k 2 ) 1 2 ( y k 2 ) 1 2 kaikilla luvuilla x 1,..., x n, y 1,..., y n K ja kaikilla n N. Huomautus. Schwarzin epäyhtälö takaa, että avaruudessa l 2 ns. bilineaarimuoto < x, y > = x k y k, x = (x k ), y = (y k ) l 2 on hyvin määritelty. Tämä antaa l 2 :een sisätulon rakenteen; tulemme näkemään Hilbertin avaruuksia koskevassa luvussa 4, että sisätuloavaruuksilla on monia poikkeuksellisen hyviä ominaisuuksia. Hölderin epäyhtälön avulla voimme osoittaa, että l p -normit toteuttavat kolmioepäyhtälön; saatua arviota sanotaan (usein) Minkowskin epäyhtälöksi. 2.22. Lause (Minkowskin epäyhtälö). Olkoon 1 < p <. Tällöin (M) ( x k + y k p ) 1 p ( x k p ) 1 p + ( y k p ) 1 p kaikilla jonoilla (x k ), (y k) lp. Huomautus. Kun (x k ) l p, (y k ) l p, niin summajono (x k + y k ) l p, joten l p on siis vektoriavaruus. Valitsemalla x k =, y k = kun k n + 1 saadaan äärellinen versio: n n n (M ) ( x k + y k p ) 1 p ( x k p ) 1 p + ( y k p ) 1 p kaikilla luvuilla x 1,..., x n, y 1,..., y n K ja n N. Todistus. Voidaan olettaa, että x k + y k p >, koska epäyhtälö (M) on muuten ilmeinen.
2 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Olkoon 1 < q < sellainen, että 1 + 1 p = 1 (eli siis q = ). Hölderin p q p 1 epäyhtälön (H) ja skalaarikunnan K kolmioepäyhtälön avulla saadaan x k + y k p = x k + y k p 1 x k + y k }{{} x k + y k x k x k + y k p 1 + y k x k + y k p 1 (H) ( x k p ) 1 p ( x k + y k q(p 1) ) 1 q + ( y k p ) 1 p ( x k + y k q(p 1) ) 1 q = ( ) (x k ) p + (y k ) p ( x k + y k p ) 1 q, koska q(p 1) = p. Jakamalla saatu epäyhtälö puolittain positiivisella termillä ( x k + y k p ) 1 q saadaan ( x k + y k p) 1 1 q (x k ) p + (y k ) p. Tämä on tarkalleen etsitty Minkowskin epäyhtälö (M), koska 1 1 q = 1 p. Edellä sekä Hölderin epäyhtälön (H) käyttö että viimeinen jakovaihe edellyttävät luonnollisesti, että jono ( x k + y k p 1 ) l q ja summajono (x k + y k ) l p. Yllä todettiin jo, että x k + y k q(p 1) = x k + y k p. Näin haluttua tietoa varten riittää varsin alkeellinen arvio ( ) a + b p ( a + b ) p (2 max{ a, b }) p 2 p ( a p + b p ), joka on voimassa kaikilla a, b K. Nimittäin, kun sijoitetaan a = x k, b = y k epäyhtälöön ( ) ja summataan yli muuttujan k saadaan x k + y k p 2 p ( x k p + y k p ) <, koska (x k ), (y k ) l p. Näin Lause 2.22 on saatu täydellisesti todistetuksi. Huomautus. Erikoistapauksessa p = 2 äärellisiä jonoja koskeva epäyhtälö (M ) on itse asiassa tuttu kolmioepäyhtälö kotiavaruuden K n euklidiselle normille x 2 = x 1 2 +... + x n 2, x = (x 1,..., x n ) K n,
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 21 kun n = 1, 2,... (vrt. Vektorianalyysi, Topo I). Kootaan yhteen edelliset tulokset seuraavaksi tärkeäksi lauseeksi l p -avaruuksista (tapaukset p = 1 tai p = käsiteltiin aikaisemmin). 2.23. Lause. (l p, p ) on normiavaruus kun 1 < p <. Todistus. Jos x = (x k ) l p, y = (y k ) l p, niin x+y = (x k +y k ) ja Minkowskin epäyhtälön (M) mukaan x + y p = ( x k + y k p ) 1 p ( x k p ) 1 p + ( y k p ) 1 p = x p + y p (ja erityisesti x + y l p, kuten edellä jo nähtiin). Siis (N1) pätee. Koska ax p = ( ax k p ) 1 p = a ( x k p ) 1 p = a x p, kun x = (x k ) l p, a K, niin myös homogeenisuusehto (N2) on voimassa. Edelleen = (x k ) p = ( x k p ) 1 p ) = xk = k N = (x k ) = (,,...) =, joten myös (N3) toteutuu. Huomautus. l p -avaruuksien välillä pätevät seuraavat sisältyvyydet (joukkoina): l 1 l p l q c l, kun 1 < p < q <. Normeille pätevät vastaavasti arviot jonoille x = (x k ) (Harjoitukset 2). x x q x p x 1 Edellä olemme piirtäneet yksikköpallot normien 2 ja suhteen. Entä yksikköpallo yleisten l p -normien suhteen? Alla kuva tapauksesta p = 3 ja p = 1 tason R 2 tapauksessa; mieti millainen on yksikköpallo yleisellä p! (, 1) y (, 1) y (1, ) x (1, ) x Lisätietoja. On olemassa luontevia ja käyttökelpoisia vektoriavaruuksia E, joissa on luonnollinen siirtoinvariantti topologia τ, joka kuitenkaan ei ole minkään E:n normin indusoima (ts. ei ole olemassa sellaista normia : E R +, että
22 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI τ = τ ). Sellaisten avaruuksien teoriaa ei käsitellä kurssin aikana; esimerkkeinä mainitaan kuitenkin: (1) Varustetaan avaruus C(R n ) = {f : R n R f jatkuva } topologialla τ, jonka suhteen jono f n f kun n, jos lim sup f n (x) f(x) = n x K kaikilla kompakteilla joukoilla K R n. Topologia τ saadaan kasvavasta seminormiperheestä ( m ), missä f m = sup x K m f(x), f C(R n ), kun K m = [ m, m] n R n sekä m N, tai vaihtoehtoisesti siirtoinvariantista metriikasta d(f, g) = 2 m f g m, f, g C(R n ). 1 + f g m m=1 Vastaavaa topologiaa ei kuitenkaan voi kuvata pelkästään yhden normin avulla (HT 2:??). Topologinen vektoriavaruus (C(R n ), τ) on ns. nukleaarinen Frechetin avaruus. Vastaava koskee myös avoimella välillä (, 1) jatkuvien funktioiden avaruutta {f : (, 1) R f jatkuva }, sekä äärettömän monta kertaa derivoituvien funktioiden avaruutta C (, 1) = {f : [, 1] K f (j) jatkuva jokaisella j N}. (Mieti miksi f = sup t (,1) f(t) ei kelpaa normiksi, kun f on jatkuva avoimella välillä (, 1)!) (2) Olkoon < p < 1. On luontevaa sanoa, että jono x = (x k ) l p, jos x p = ( x k p ) 1 p <. Tällöin x x p toteuttaa normin ehdot (N2) ja (N3) sekä kolmioepäyhtälön heikommassa muodossa x + y p = ( x k + y k p ) 1 1 p 2 p 1 ( x p + y p ) kaikilla x = (x k ), y = (y k ) l p. Tässä vakio 2 1 p 1 > 1, kun < p < 1, eli p on ns. kvasinormi l p :ssä. Alla kuva yksikköpallosta {(x, y) R 2 : x p + y p 1}, kun p = 1/2.
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 23 (, 1) y (1, ) x Edellisen kuvan perusteella p ei voi olla normi tapauksessa < p < 1, koska vastaava yksikköpallo ei ole konveksi. Nimittäin, jokaisessa normiavaruudessa (E, ) yksikköpallo B E = {x E : x 1} on konveksi joukko: tx + (1 t)y B E kaikilla x, y B E ja < t < 1. Yksikköpallon konveksisuus seuraa tässä arviosta tx + (1 t)y t x + (1 t) y 1. (3) Kaikkien jonojen muodostama avaruus s = { (x n ) : x n K jokaisella n N }. Avaruudessa s on summa ja skalaarilla kertominen määritelty kuten avaruudessa l, ja voidaan osoittaa että d(x, y) = 1 2 x k y k k 1 + x k y k, x = (x k), y = (y k ) s, on avaruuden siirtoinvariantti metriikka (HT 2:??). Avaruus s on myös nukleaarinen Frechetin avaruus. Lineaariset operaattorit Olkoon E ja F K-kertoimisia vektoriavaruuksia. Kuvaus T : E F on lineaarinen jos T (αx + βy) = α T (x) + β T (y) x, y E ja α, β K Sanomme usein että T on lineaarinen operaattori ja merkitsemme lyhyesti T x merkinnän T (x) sijaan. Äärellisulotteisessa normiavaruudessa kaikki lineaariset kuvaukset ovat jatkuvia (todetaan myöhemmin), mutta äärettömän monen dimension avulla jatkuvuus on helppo rikkoa (annamme esimerkin hieman myöhemmin). Jos E, F ovat normiavaruuksia, on siis luonnollista kysyä: Milloin lineaarinen kuvaus T : E F on jatkuva?? Vastausta varten tarvitsemme uuden käsitteen, rajoitetut operaattorit.
24 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 2.24. Määritelmä. Olkoot E ja F normiavaruuksia sekä T : E F lineaarinen. Sanomme, että T on rajoitettu, jos on olemassa vakio C < jolle T x F C x E kaikilla x E. Yleisesti sanotaan että normiavaruuden osajoukko A E on rajoitettu, jos sup{ x : x A} M < ; yhtäpitävästi (miksi?), A:n halkaisija on äärellinen, tai myös, A M B E jollakin vakiolla M < ; tässä B E = {x E, x 1} on E:n yksikköpallo. Silloin lineaarikuvauksille T on T (A) T (M B E ) = M T (B E ), ja Lemmasta 2.26 alla seuraa, että lineaarinen kuvaus T on rajoitettu jos ja vain jos se kuvaa E:n rajoitetut joukot F :n rajoitetuiksi joukoiksi. 2.25. Esimerkki. Olkoon E = F = l 2 ja T : E F kuvaus T : (x k ) (3x k+1 ) kun x = (x k) l2. Tällöin T on lineaarinen (Miksi?) ja rajoitettu: ( ) 1/2 ( ) 1/2 ( ) 1/2 T x 2 = 3x k+1 2 = 3 x k+1 2 3 x k 2 = 3 x 2 Huomaamme, että vaadituksi vakioksi voidaan ottaa C = 3. Operaattorin rajoittuneisuus voidaan testata seuraavan suureen avulla. 2.26. Lemma. Lineaarinen operaattori T : E F on rajoitettu jos ja vain jos (2.27) T := sup{ T x : x E, x 1} <. Todistus. Jos T on rajoitettu, niin on olemassa sellainen vakio C <, että T x C x kaikilla x E. Tällöin selvästi T C. Oletetaan kääntäen, että T <. Koska x x = 1 jokaisella x E, x, nähdään lineaarisuudesta että ( ) T x x = x T T kaikilla x E. x Tästä saamme (jatkossa varsin keskeisen arvion!) (2.28) T x T x jokaisella x E, eli T : E F on rajoitettu. Niinkuin merkintä jo vihjaa, saatua suuretta T kutsutaan lineaarisen kuvauksen T normiksi. Se mittaa kuinka suureksi joukoksi T kuvaa yksikköpallon B E = {x E : x 1}. Olemme siis Lemmassa 2.26 tarkistaneet, että operaattori T on rajoitettu jos ja vain jos sen normi T <. Jos tarve vaatii, merkitsemme avaruudet E ja F näkyviin, so. T E F.
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 25 2.29. Esimerkkejä. (1) Olkoon E = l 2 ja F = l 1 sekä T x = T (x k ) := ( 1 k x k ) = (x 1, x 2 2, x 3 3,...). Onko T rajoitettu operaattorina l 2 l 1? Heti havaitaan että 1 T x 1 = k x k. Tässä arvio x k ( x k 2) 1/2 ei päde kaikilla jonoilla (xk ) l 1, vaan käytämme sen sijaan Hölderin epäyhtälöä (H) kun p = q = 2, T x 1 = 1 k x k ( ) 1/2 ( ) 1/2 1 x k 2 k 2 = C x 2 missä C = 1/k2 <. (Analyysi II; itse asiassa, C = π 2 /6). Näin ollen T : l 2 l 1 on rajoitettu ja saamme normille arvion T π 2 /6. (2) Rakennetaan seuraavaksi lineaarinen operaattori, joka ei ole rajoitettu. Voimme vaikkapa tarkastella kaikkien (reaalisten) polynomien muodostamaa avaruutta n P = { p(t) = a k t k : a,..., a n R, n N {} }, k= ja varustetaan se normilla p = max{ a k : k =,..., n}, kun n k= a kt k. Tällöin (derivaatta)kuvaus T : n k= a kt k n k a k t k 1 on lineaarinen (Miksi?), mutta se ei ole rajoitettu: Jos p n (t) = t n, n N, silloin p n = 1, T p n = np n 1 = n sup{ T p : p = 1, p P } =. Palataan sitten alkuperäiseen kysymykseemme, milloin lineaarinen kuvaus on jatkuva? Käy ilmi, että lineaarinen operaattori on jatkuva täsmälleen silloin kun se on rajoitettu! 2.3. Lause. Olkoot E, F normiavaruuksia ja T : E F lineaarikuvaus. Tällöin seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä: (i) T on rajoitettu operaattori (ii) T on jatkuva (koko E:ssä) (iii) T on jatkuva yhdessä pisteessä x E. Todistus. (i) (ii): jos x, y E ja ε >, niin T x T y T lin. = T (x y) T x y < ε kun x y ε T.
26 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI (ii) (iii): ilmeinen (iii) (i): Olkoon T jatkuva pisteessä x. Jatkuvuuden määritelmän perusteella voimme valita sellaisen luvun δ > että Jos nyt x E ja x δ, saadaan y x δ T y T x < 1. T x = T lin. T (x + x ) T x < 1 valitsemalla y = x + x. Toisaalta, jos x B E on mielivaltainen, niin δx = δ x δ ja siis δ T x = T (δx) < 1 eli T x < 1 δ x B E. Siten T 1 δ ja olemme näin näyttäneet, että T on rajoitettu. Erityisesti, näemme, että Esimerkki 2.29.(2) antaa lineaarisen operaattorin T : P P, joka ei ole jatkuva. Näillä tiedoin voimme myös aloittaa johdannossa esitetyn integraalioperaattorin tarkemman tarkastelun. Tulemme palaamaan teemaan useasti myöhemminkin. 2.31. Esimerkki. Olkoon K : [, 1] [, 1] R jatkuva (ns. ydinfunktio). Kun f C(, 1) = {f : [, 1] R f jatkuva }, muunnamme sen uudeksi funktioksi T f, missä (T f)(x) = 1 K(x, s)f(s)ds, x [, 1]. Väite: näin saadaan jatkuva lineaarinen operaattori T : C(, 1) C(, 1). Meidän on siis osoitettava kolme asiaa: 1. f T f on lineaarinen, 2. T f on jatkuva funktio välillä [, 1] aina kun f on jatkuva välillä [, 1], 3. operaattorina T on rajoitettu C(, 1) C(, 1). Jätetään 1. väite lukijan tehtäväksi (tämä palautuu integraalin lineaarisuuteen kurssista Analyysi II). Väite 2. kertoo että todellakin T ( C(, 1) ) C(, 1). Sitä varten arvioidaan 1 1 (T f)(x) (T f)(y) = K(x, s)f(s)ds K(y, s)f(s)ds 1 K(x, s) K(y, s) f(s) ds. Funktion T f jatkuvuus siis palautuu ydinfunktion K ominaisuuksiin. Heti kuitenkin huomataan, että pelkkä pisteittäinen K:n jatkuvuus ei riitä, vaan arvio
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 27 pitää tehdä tasaisesti muuttujan s [, 1] suhteen. Tarvitsemme siis hieman tietoja kurssilta Topologia I: Oletamme tunnetuksi, että kompaktissa joukossa määritelty jatkuva funktio on tasaisesti jatkuva 2. Sovellamme tätä tietoa ydinfunktioon (x, s) K(x, s). Koska [, 1] [, 1] on kompakti (eli suljettu ja rajoitettu joukko tasossa R 2 ) tason euklidisen normin 2 suhteen, jokaisella ε > löydämme sellaisen δ > että jos niin silloin x y = (x, s) (y, s) 2 < δ, (2.32) K(x, s) K(y, s) < ε kaikilla s [, 1]. Erityisesti, luvun δ > suuruus ei riippunut pisteestä s. Saamme näin (2.33) (T f)(x) (T f)(y) ε 1 f(s) ds ε f, kun x y < δ. Koska ε oli mielivaltainen, olemme osoittaneet T f:n jatkuvuuden (väite 2). Myös väite 3. käyttää tuttua topologista tulosta (Topologia I, Vektorianalyysi): Koska K on jatkuva (ja reaaliarvoinen) kompaktissa joukossa [, 1] [, 1], se saa siinä suurimman ja pienimmän arvonsa, ja erityisesti K on rajoitettu. Siis eräällä vakiolla M < pätee K(x, s) M < kaikilla x, s [, 1]. Näin saamme kaikilla f C(, 1) arvion (T f)(x) 1 K(x, s) f(s) ds M f, mikä siis antaa T f M f. Näin ollen T on rajoitettu operaattori; voimme itse asiassa valita M = K = sup K(x, s), (x,s) [,1] [,1] jolloin T K. Olemme siten todistaneet viimeisenkin väitteen 3. (Kommentti: Esimerkin tulos pätee myös kompleksiarvoisille ydinfunktioille K : [, 1] [, 1] C. Tässä tapauksessa C(, 1) koostuu jatkuvista funktioista f : [, 1] C, ja kompleksiarvoinen integraali on 1 f(s)ds = 1 f 1 (s)ds + i 1 f 2 (s)ds, 2 Funktio g : A R on tasaisesti jatkuva joukossa A jos jokaista ε > kohti löytyy sellainen δ = δ(ε) > että aina x y < δ g(x) g(y) < ε. Olennaista tässä siis on, että vaadittu δ riippuu vain etäisyydestä x y, eikä siitä missä pisteet x, y sijaitsevat.
28 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI kun f = f 1 + if 2 C(, 1), missä f 1 (s) = Ref(s) ja f 2 (s) = Imf(s), s [, 1]. Argumentti on kompleksisessa tapauksessa hyvin samanlainen ylläolevan kanssa, ja jätämme yksityiskohdat lukijan pohdittaviksi.) 2.34. Lisätietoja. Yllä esitetty integraalioperaattorin jatkuvuuden todistus antaa hieman enemmänkin kuin mitä Esimerkki 2.31 tarvitsi: Havaitaan että funktion T f jatkuvuus riippuu olennaisesti vain ytimestä K eikä niinkään funktiosta f. Koska tällä havainnolla on käyttöä myöhemmin, formalisoidaan sitä hieman, käyttäen jatkuvuusmodulin käsitettä: Olkoon meillä funktio w : [, ) [, ) jolle t w(t) on jatkuva, aidosti kasvava ja w(t) = t = Sanomme silloin että w on jatkuvuusmoduli. y w(t) Nimittäin, jos A on normiavaruuden E osajoukko ja funktiolle g : A C pätee (2.34) g(x) g(y) w( x y ) kaikilla x, y A, niin w kertoo kuinka jatkuva g on. [Tyypillinen esim: w(t) = t α, < α < 1.] Jos g:llä on jatkuvuusmoduli w joukossa A, eli (2.34) pätee, se on selvästikin tasaisesti jatkuva (Miksi?). Mutta pätee myös kääntäen, että jokaisella tasaisesti jatkuvalla funktiolla on jatkuvuusmoduli. Voimme nimittäin asettaa w (t) = sup{ g(x) g(y) : x, y A, x y t}. Tasaisen jatkuvuuden nojalla w on jatkuva ja w (t) kun t. Aidosti kasvava siitä saadaan määrittelemällä w(t) = w (t) + t. Tälle (2.34) selvästi pätee, ja siten g:llä on jatkuvuusmoduli w. Jos palaamme Esimerkkiin 2.31, ytimellä K on ylläolevan nojalla jatkuvuusmoduli w K. Lisäksi, arviot (2.32), (2.33) antavat (2.35) (T f)(x) (T f)(y) w K ( x y ) f w K ( x y ) mikäli f 1, eli f B E, E = C(, 1). Toisin sanoen, oli f:n jatkuvuus miten heikkoa tahansa, T f:n jatkuvuus on aina vähintään luokkaa w K! t
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 29 Harjoitustehtäviä 2:1 Olkoon f n (t) = t n kun t [, 1] ja n N. Suppeneeko jono (f n ) jatkuvien funktioiden avaruudessa (C(, 1), )? 2:2 Olkoon g n (t) = n(e t/n 1) ja g(t) = t kun t [, 1] ja n N. Näytä, että g n g kun n. [Vihje: tutki esimerkiksi erotusfunktion ääriarvoja.] 2:3 Olkoon (E, ) normiavaruus skalaarikuntana K. Näytä, että kuvaukset (x, y) x + y : E E E ja (λ, x) λx : K E E ovat jatkuvia. [Muistutus: Riittää esimerkiksi näyttää että x n + y n x + y kun n aina kun x n x ja y n y E:ssä, ja samoin toisessa tapauksessa.] 2:4 Olkoot 1 ja 2 normeja vektoriavaruudessa E. Näytä, että x = max{ x 1, x 2 }, x E, määrittelee normin avaruudessa E. Etsi lisäksi esimerkki sellaisista normeista 1 ja 2 tasossa R 2, että x = min{ x 1, x 2 } ei ole normi tasossa. 2:5 Olkoon (E, ) normiavaruus ja F E aito vektorialiavaruus (siis F E). Voiko F olla avoin joukko avaruudessa E? [Vihje: jos x E \ F, mieti mitä tapahtuu puolisuoralla {λx : λ > }.] 2:6. Tutki ovatko seuraavat joukot avoimia (avaruuksien vastaavien sup-normien suhteen): A = {f C(, 1) : f(t) > kaikilla t [, 1]}, B = {(x k ) l : x k > kaikilla k N}. 2:7. Olkoon e n = (,...,, 1,,...) l 1 (ykkönen n:nellä paikalla) kun n = 1, 2,.... Asetetaan A = {e n : n N} ja B = { e n + 1 n e 1 : n N}. Perustele miksi A ja B ovat avaruuden l 1 suljettuja ja rajoitettuja joukkoja, mutta summajoukko A + B = {a + b : a A, b B} ei ole suljettu. 2:8. Näytä, että c = {(x n ) l : lim n x n = } on avaruuden l suljettu vektorialiavaruus sup-normin suhteen. Osoita lisäksi että c on separoituva normiavaruus. [Vihje: Tarkista, että finiittisten jonojen joukko c = {(x n ) : x n äärellisen monella n} on separoituva ja tiheä c :ssa.] 2:9. Osoita, että rajoitettujen jonojen avaruus (l, ) ei ole separoituva. [Vihje: Tutki esimerkiksi karakterististen funktioiden {χ A : A N} l muodostamaa jonoperhettä, tai diagonalisoi. Edellä χ A (n) = 1 jos n A ja χ A (n) = muulloin. Voit vapaasti käyttää tietoa, että potenssijoukko P(N) = {A : A N} on ylinumeroituva.]
3 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 2:1. Olkoon 1 < p <. Etsi sellainen jono (x (n) ) l p, että x (n) p 1 kaikilla n N ja jonolla (x (n) ) ei ole normissa p suppenevia osajonoja. Tässä x (n) = (x (n) k ) lp kaikilla n N. [Huom.: Tämän esimerkin perusteella suljettu yksikköpallo B l p siis ei ole kompakti joukko avaruudessa l p.] 2:11. Olkoon 1 p < q <. Näytä, että x q x p kun x = (x n ) l p. Päättele, että l 1 l p l q c kun 1 p < q <. [Vihje. Tutki aluksi sellaista jonoa x = (x n ) l p jolle x p = 1.] 2:12. Määritellään T f(x) = 1 x t f(t)dt, x [, 1], kaikilla f C(, 1). Näytä, että T on (hyvin määritelty) rajoitettu lineaarinen kuvaus C(, 1) C(, 1). Anna jokin yläarvio T :n normille T. 2:13. Olkoon E normiavaruus ja T : E R lineaarinen kuvaus. Kuvauksen T ydin on Ker(T ) = {x E : T x = }. Osoita: T on jatkuva jos ja vain jos Ker(T ) on E:n suljettu vektorialiavaruus. [Vihje: suuntaan oleta, ettei T ole jatkuva origossa ja näytä, että Ker(T ) ei ole suljettu. Lauseen 2.3 nojalla on jokaisella n N olemassa sellaiset vektorit x n E, että x n = 1 ja T x n n. Olkoon y n = yn T x n kun n N. Koska T on olemassa x E jolle T x = 1. Kirjoita x = x y n + y n, sekä totea että x y n Ker(T ) kaikilla n ja lisäksi y n kun n.]
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 31 3. Täydellisyys ja Banachin avaruus Reaalilukujen joukko R (varustettuna normilla x y ) eroaa ratkaisevasti rationaalilukujen joukosta Q seuraavan ominaisuutensa perusteella: reaalilukujono (x n ) n=1 suppenee R:ssä jos ja vain jos (x n ) on Cauchyn jono (ts. (x n ) toteuttaa Cauchyn suppenemisehdon). Tätä reaalilukujen joukon R ominaisuutta sanotaan täydellisyydeksi. Toisena esimerkkinä mainitaan avaruus varustettuna seminormilla E = {f : [, 1] R f on Riemann-integroituva} f 1 = 1 f(t) dt, f E. Avaruus (E, 1 ) ei ole täydellinen (todistus sivuutetaan); tämä puute oli eräs keskeisistä syistä Lebesgue integraalin käyttöönottoon ja kehittämiseen. Yleisemmällä tasolla, (esim. differentiaali)yhtälöitä ratkaistaan tyypillisesti hakemalla approksimatiivisia ratkaisuja, ja lähes säännöllisesti funktioavaruuksilta vaaditaan täydellisyyttä, jotta approksimatiivisille ratkaisuille löydetään jokin rajafunktio. 3.1. Määritelmä. Normiavaruuden (E, ) jono (x n ) n N on Cauchyn jono, jos jokaista ε > vastaa sellainen luku m ε N, että aina kun k m ε ja j m ε. x k x j < ε Huomautus. Kun tarkastellaan jonon (x n ) n N määräämiä loppuosan joukkoja A m = { x n : n m }, missä m = 1, 2,..., niin huomataan näiden halkaisijoitten avulla, että: (x n ) on Cauchyn jono lim m diam(a m ) =. Edellä joukon A E halkaisija on diam(a) = sup x,y A x y. Seuraava lause kertoo hyvin Cauchy jonojen perusominaisuudet (erikoistapauksessa (R, ) nämä ominaisuudet esiintyvät jo Analyysi I:ssä). 3.2. Lause. Normiavaruudessa E, jono (x n ) suppenee (x n ) on Cauchyn jono (x n ) on rajoitettu. Tarkemmin, viimeinen ehto sanoo, että on olemassa M < jolle x n M kaikilla n N.
32 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Todistus. Olkoon lim n x n = y eli lim n x n y =. Jos ε >, on olemassa sellainen m ε N, että x n y < ε 2 kaikilla n m ε. Siis kun j, k m ε, niin x k x j ey x k y + y x j < ε + ε = ε. Siis 2 2 suppenevat jonot ovat Cauchyn jonoja. Toisaalta, Olkoon (x n ) E Cauchy jono ja A m = { x n : n m }. Koska (x n ) on Cauchy jono, niin on siis olemassa sellainen m N, että diam(a m ) < 1. Jos y A m, niin kolmioepäyhtälön avulla saadaan y ey y x m + x m < 1 + x m. Siispä täyden jonon (x n ) vektoreille saamme arvion sup x n max{ x 1, x 2,..., x m 1, 1 + x m } <. n N Kumpikaan edellisen lauseen implikaatioista ei päde suuntaan. Harjoitukset anatavat esimerkin rajoitetusta jonosta, jolla ei ole edes osajonoja, jotka olisivat Cauchyn jonoja. Toisaalta, vaatimus että jokainen Cauchyn jono suppenee johtaa seuraavaan Funktionaalianalyysissä olennaiseen käsitteeseen. 3.3. Määritelmä. Normiavaruus (E, ) on täydellinen, jos avaruuden E jokainen Cauchyn jono (x n ) suppenee avaruudessa E (siis on olemassa sellainen y E, että lim n x n = y). Täydelliset normiavaruudet ovat funktionaalianalyysin keskeinen tutkimuskohde ja työkalu, joten näille on otettu käyttöön oma nimi (puolalaisen Stefan Banach in (1892-1945) mukaan, joka merkittävällä tavalla kehitti alaa). 3.4. Määritelmä. Täydellistä normiavaruutta (E, ) sanotaan Banachin avaruudeksi (usein sanomme lyhyesti: E on Banachin avaruus). Selvitetään seuraavaksi mitkä edellisessä luvussa löydetyistä avaruuksista ovat täydellisiä, ja erityisesti, kuinka käytännössä näytetään että annettu normiavaruus on täydellinen. Olkoon siis ensin A joukko ja varustettuna normilla B(A, K) = B(A) := {x : A K x rajoitettu kuvaus}, x = sup x(t), t A kun x B(A, K). 3.5. Lause. (B(A, K), ) on Banachin avaruus.