KJR-C00 Kontinuumimekaniikan perusteet 017 Viikko 44/1
KONTINUUMIMEKANIIKAN PERUSLAIT (first principles) Mekaniikka soveltaa peruslakeja eri muodoissaan sekä muuta kokemusperäistä tietoa kappaleeseen vaikuttavien voimien ja kappaleen liikkeen tutkimiseen: Massan säilymisen periaate Kappaleen massa on vakio (kappaleen määritelmä) Liikemäärän taseen periaate Kappaleen liikemäärän muutosnopeus on sama kuin kappaleeseen vaikuttavien ulkoisten voimien summa. Liikemäärän momentin taseen periaate Kappaleen liikemäärän momentin muutosnopeus on sama kuin kappaleeseen vaikuttavien ulkoisten voimien momenttisumma. Energian taseen periaate Kappaleen sisäenergian ja liike-energian muutosnopeuksien summa on sama kuin kappaleeseen vaikuttavien ulkoisten voimien tehon ja lisätyn lämpötehon summa. Entropian kasvun periaate Viikko 44/
PERUSLAKIEN OLETUKSET Kappaleella tarkoitetaan koko ajan samoista partikkeleista koostuvaa joukkoa. Massan suhteen avoimen systeemin käsittely palautetaan aina koskemaan massalta suljettua systeemiä. Partikkelin nopeudella ja kiihtyvyydella tarkoitetaan suureita inertiaalikoordinaatiston suhteen, joka on levossa tai liikkuu korkeintaan vakionopeudella esim. aurinkokunnan massakeskipisteen suhteen. r O r v i ϖ Viikko 44/3
PARTIKKELI JA KONTINUUMIMALLIT Kontinuumimallissa tarkastellaan aineen keskimääräistä käyttäytymistä ainealkiossa. Edustavan ainealkion oletetaan olevan pieni suhteessa tarkastelualueen kokoon L ja toisaalta suuri suhteessa atomien tai molekyylien välimatkaan h tai yleisemmin aineen mikrorakenteen skaalaan. Kontinuumimekaniikan mallintamisen kannalta aine esiintyy kiinteänä tai nesteenä (varsinainen neste tai kaasu). Kiinteässä aineessa partikkelien suhteellisen etäisyyden muutos on rajoitettu. Nesteessä etäsyyden muutos ei ole rajoitettu, vaan alunperin läheiset partikkelit voivat ajautua kauas toisistaan. Viikko 44/4
Kiinteän aineen tapauksessa edustavan ainealkion oletetaan olevan pieni suhteessa alueen kokoon ja toisaalta suuri suhteessa aineen mikrorakenteen skaalaan ja että mallinnuksen edellyttämät aineen keskimääräiset ominaisuudet voidaan määrittää kokeellisesti tai laskennallisesti. Säännölliset solurakenteet täyttävät usein nämä ehdot. y x / / / 0 0 3 3 3 3 3 3 1, 3 1, 3 1 3 3 ( 3 ) 4 4 3 31 3 4 3 31 3 1, 1 3 1, 1 3 1 3 31 Viikko 44/5
Kontinuumimallissa aineen ominaisuuksien kuvaamiseen käytetään tiheyssuureita kuten massa tilavuuyksikköä kohden <Χm/ Χ V (tiheys) tai voima pinta-alayksikköä kohden ρ <ΧF / Χ A (traktio/jännitys). Taustalla on ajatus, että määritelmän osamäärä on likimain vakio, kun kappalealkion koko δ on sopiva: ei liian suuri muttei liian pienikään. δ / h Kontinuumimalli voidaan ajatella kompromissiksi mallin yksinkertaisuuden ja mallinnusvirheen välillä. Täsmällisempi molykyyli tai mikrorakenteen mekaniikan suora mallintaminen ei oikein toimi insinööriskaalassa. Viikko 44/6
MEKANIIKAN SUUREET Mekaniikan lait ovat perussuureita ja johdannaisuureita koskevia yleisiä taseyhtälöitä tai suureiden välisiä kokemusperäisiä yhteyksiä. Suureet ovat luonteeltaan skalaareita (suuruus), vektoreita (suuruus ja suunta), tensoreita (suuruus ja kaksi suuntaa) jne. Suure symboli [ ] n Suure Symboli [ ] n Pituus L m 0 Paine p Viikko 44/7 N/m 0 Massa m kg 0 Lämpötila T K 0 Aika t s 0 Momentti M Nm 1 Voima F N 1 Jännitys σ Siirtymä u m 1 Elastisuus E N/m N/m 4 Nopeus v m/s 1 Teho P W 0 Kiihtyvyys Tiheys a m/s 1 Työ W J 0 3 kg/m 0 Sisäenergia U J 0
MEKANIIKAN TEHTÄVIÄ g R m π S r r 1 ϖ B R B ϖ A R A N WM < kπ / B A Viikko 44/8
TEHTÄVÄ 1 Kuormittamaton uimahyppylauta on vaakasuora ja jäykästi kiinnitetty toisesta päästään. Laudan pituus olkoon L ja poikkipinta-ala A < bh. Millä ehdoilla taipuma päässä ei ylitä arvoa χ eikä jännitys kiinnityskohdassa arvoa ρ cr, jos uimarin paino on W? W z L x Vastaus 3 4 WL Ebh 3 χ ja 6 WL ρ cr bh Viikko 44/9
TEHTÄVÄ Tarkastellaan voiteluöljyn viskositeetin λ määrittämistä putkivirtauksen tilavuusvirran Q, putken halkaisijan d, putken pituuden L, sekä putken päiden paine-eron p1, p avulla (mitattavia suureita). Mikä on viskositeetin riippuvuus mitatuista putkivirtauksen suureista? d p 1 L p L L Vastaus λ < ο 18 4 d ( p1, p) LQ Viikko 44/10
TEHTÄVÄ 3 Uunin seinämä koostuu kolmesta materiaalista, joiden lämmönjohtavuudet ovat k a, k b ja k c. Kerrosten paksuudet ovat h a, h b ja h c. Uunin ja sen sisäseinämän lämpötila on T 1 ja uunin ulkopinnan lömpötila on mittausten mukaan T ; T 1. Mikä on lämpöhäviö Q ajassa Χ t seinämän pinta-alan A lävitse? A T 1 a b c T h Vastaus a hb h Q < A( T c 1, T) Χt /( ) k k k a b c Viikko 44/11
KURSSIN SISÄLTÖ ς Kontinuumimekaniikan skalaari, vektori, tensorisuureet ja esitykset ortonormaalissa kannassa. Ulko-, sisä- ja ristitulot tensoreille. Suunnattu derivaatta (nabla) tensorilausekkeissa. ς Lagrangen ja Eulerin esitystavat. Suureen muutosnopeus ja ainederivaatta. Kappaleen jännitys ja pintaan vaikuttava traktio. Kiinteän aineen muodonmuutos ja nesteen muodonmuutosnopeus. ς Massan, liikemäärän, liikemäärän momentin ja energian taseet ja niiden käyttö massalta suljettujen ja avoimien tehtävien ratkaisussa. ς Sisäisten ja ulkoisten voimien mallintaminen. Hooken laki, Newtonin neste ja Fourierin lämmönjohtumislaki. ς Siirtymä, virtaus- ja lämmönsiirto reuna-arvotehtävän kirjoittaminen yksinkertaisille tapauksille. Viikko 44/1
Viikko 44/13
1 MEKANIIKAN SUUREET 1.1 VEKTORIT JA TENSORIT... 16 1. TENSORITULOT... 34 1.3 GRADIENTTI... 41 1.4 GAUSSIN LAUSE... 50 Viikko 44/14
VIIKON 44 OSAAMISTAVOITTEET Viikon 44 jälkeen kurssin osallistuja osaa ratkaista viikon luentotehtävät, kotitehtävät ja esimerkkitehtävät aiheista ς Mekaniikan vektorit ja tensorit. Tensoreiden esitys ortonormaalissa kannassa ja muuntaminen kannasta toiseen. ς Vektorien ja tensorien ulko-, sisä-, risti-, ja kaksinkertaisten sisätulojen laskenta käyttäen komponenttiesityksiä ortonormaalissa kannassa. ς Suunnatun derivaatan (nabla) komponenttiesitys ortonormaalissa kannassa ja gradientin, divergenssin, roottorin esitykset ortonormaalissa kannassa. Viikko 44/15
1.1 VEKTORIT JA TENSORIT Mekaniikan vektorit ja tensorit (vektorin yleistys) edustavat fysikaalisia suunnattuja suureita eivätkä edellytä koordinaatiston käsitettä. Käytännön laskelmissa suunnatut suureet esitetään kuitenkin valitun koordinaatiston kantavektoreiden avulla. Tiheys: kertaluku 0 Siirtymä: u< ue x x ue y y ue z z kertaluku 1 σ ρ < ρ ee ρ ee ϑ ρ ee kertaluku Jännitys: xx x x xy x y zz z z σ E< E eeee E eeee ϑ kertaluku 4 Elastisuus: xxxx x x x x xxxy x x x y Termiin liittyvien kantavektoreiden lukumäärää sanotaan tensorin kertaluvuksi. Aineen elastisia ominaisuuksia kuvaavan tensorin kertaluku on 4. Kurssin tensorisuureiden kertaluku osoitetaan vektorinuolien lukumäärällä symbolin yläpuolella. Viikko 44/16
ESIMERKKI Mekaniiikan vektorit ja yleisemmin tensorit ovat koordinaatistosta riippumattomia fysikaalisia suureita, joten koordinaatisto ja siihen liittyvät kantavektorit voidaan valita vapaasti. Komponentit riippuvat kuitenkin valitusta kannasta! Muodosta gravitaatiokiihtyvyyden g esitykset kuvan koordinaatistoissa (tasotapaus). Kannat ovat ortonormaaaleja (kantavektorit kohtisuoria ja pituudet 1). e y e α e e ω g e x ο/4 e γ g Vastaus g <, gey <, ( e e ) <, ge α ω Viikko 44/17
ORTONORMEERATTU KANTA Karteesisen koordinaatiston (suorakulmainen ja suoraviivainen) kantavektorit ex i, ey j ja ez k ovat vakioita ja ne muodostavat ortonormeeratun kannan. Tällöin kantavektoreiden pituus on 1 ja kantavektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Kantavektoreiden piste- ja ristituloille pätee Pistetulot: i i < 1, j j < 1, k k < 1, muille kombinaatioille 0 i Ristitulot: i j < k, j i <, k, j k < i, k j <, i k i < j, i k <, j, muille kombinaatioille 0 j + k Kantavektoreiden ristituloon liittyvä muistisääntö on kätevä käsinlaskennassa! Ortonormaalin kannan pistetuloon ja ristitulon laskenta sujuu samalla tavalla esimerkiksi käyräviivaisen sylinterikordinaatiston kantavektoreille ( e, e, e ). r ε z Viikko 44/18
i O KARTEESINEN KOORDINAATISTO Suorakulmaisessa ja suoraviivaisessa (Karteesisessa) koordinaatistossa piste tai partikkeli määritetään etäisyyksillä ( xyz,, ) kohtisuorista tasoista x < 0, y < 0 ja z < 0. Karteesisen koordinaatiston kantavektorit ( i, jk, ) ovat vakioita. Suorakulmaisen ja käyräviivaisen (ei-karteesinen) ( r, ε, z) koordinaatisto voi yksinkertaistaa mekaniikan yhtälöitä. Hintana on kuitenkin kantavektoreiden ( e r, e ε, e z) riippuvuus paikasta. k k e z e P ε r r P e r y z x j i O ε z r j Viikko 44/19
KÄYRÄVIIVAISET KOORDINAATISTOT Mekaniikan yhtälöt pätevät riippumatta koordinaatistosta. Komponenttiyhtälöiden muoto riippuu kuitenkin koordinaatiston valinnasta ja joku tietty valinta voi olla tässä suhteessa edullisin. Suoraviivainen ja -kulmainen (karteesinen) ja käyräviivainen ja suorakulmainen ovat tavanomaisia valintoja. j O r e ε ε r P e r Napa koordinaatisto i i O ε k r e z P z r Sylinteri koordinaatisto Viikko 44/0 e ε e r j i O ε k P r e r e ε e π z Pallo koordinaatisto j
Koordinaatistomuunnoksissa karteesisen ( xyz,, ),koordinaatiston ja käyräviivaisen koordinaatiston välillä tarvitaan kantavektoreiden välinen relaatio. Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatiston kantavektoreiden orientaatiot määräytyvät annetuista kulmista. Kuvien perusteella esimerkiksi er cosε sinε 0 i e ε sinε cosε 0 <, j e 0 0 1 z k ja eπ cosπcosε cosπsinε, sinπ i e ε sinε cosε 0 <, j. e sinπcosε sinπsinε cosπ r k Käyräviivaisten koordinaatistojen kantavektorit eivät ole siis vakioita, vaan niiden suunnat riippuvat tarkasteltavan pisteen kulma-asemasta. Tämä pitää ottaa huomioon mm. derivoitaessa käyräviivaisessa koordinaatistossa esitettyjä tensoreita. Esimerkiksi er, sinε cosε 0 i eε e ε cosε sinε 0 <,, j <, er, ε e 0 0 0 0 z k Viikko 44/1 er 0 eε < 0 ja r e 0 z er 0 eε < 0. z e 0 z
VEKTORIALGEBRA Olkoon A, B ja C vektoreita. Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen tulee toteuttaa 1) A B < B A ) ( A B) C < A ( B C) 3) A 0 < A 4) A (, A) < 0 5) ( α A) < ( α ) A 6) ( α)a< A αa 7) ( A B) < A B 8) 1A< A1< A ja 0A < 0 Vektoritulot eivät ole vaihdannaisia, joten vektoreiden ja/tai kantavektoreiden järjestystä ei voi vaihtaa. Komponentti edustaa skalaaria, joten sitä voidaan liikutella termissä tarpeen mukaan. Samat säännöt pätevät yleisemmin. Tällöin kantavektoreiden kombinaatiot - dyadit, triadit, jne.- muodostavat kokonaisuuden, jota käsitellään sellaisenaan kuten kantavektoreita vektorin esityksessä. Viikko 44/
TENSORI- JA MATRIISIESITYKSET Tensorin komponenteilla tarkoitetaan eri kantavektorikombinaatioiden kertoimia kokonaisuutena. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun tensorin tapauksissa kertoimet voidaan esittää komponenttimatriiseina käyttäen sulkuja { } (pystymatriisi) tai [ ] (neliömatriisi). T T ux i i ux ux u < uy j < j uy, jossa komponentit {} u < uy uz k k uz uz indeksi 1 rivi indeksi sarake T i ρxx ρxy ρxz i ρxx ρxy ρxz σ ρ < j ρyx ρyy ρyz j, jossa komponentit [ ρ] < ρyx ρyy ρyz k ρzx ρzy ρzz k ρzx ρzy ρzz Huom. Matemaattisissa esityksissä pystymatriisia kutsutaan usein vektoriksi. Viikko 44/3
MATRIISILASKENTAA I Yhteenlasku [ C] < [ A] [ B] Cij < Aij Bij Skalaarilla kertominen [ C] [ A] < ij ij C < A Kertolasku [ C] < [ A][ B] C < ϑ A B ij k {1 n} ik kj Yksikkö [ I ] χ ij < 1 i < j, χ ij < 0 i j Transpoosi T [ A] A T ij < A ji Symmetria Vinosymmetria Positiivisuus T < A Aij < Aji [ A] [ ] T <, A Aij <, Aji [ A] [ ] T {}[ x A]{} x = 0! { x} 0 Viikko 44/4
MATRIISILASKENTAA II Transpoosi Käänteismatriisi T [ A] Derivaatta [ A], 1, 1 [ A][ A] < [ A] [ A] < [ I] A T ij < A ji, 1 A k {1 n} ik Akj χ ϑ < ij ( [ A]) ij < A ij Lineaarinen yhtälösysteemi Etsi {} x s.e. [ A]{} x < {} b Ominaisarvotehtävä Etsi parit ( κ,{ x}) s.e. ([ A], κ[ I]){ x} < 0 Ominaisarvohajotelma [ A] < [ x][ κ [ x], 1 Matriisifunktio Jos, 1 [ A] < [ x][ κ [ x], niin f([ A]) < [ x] f([ κ] ([ x], 1 Viikko 44/5
ESIMERKKI Muodosta matriisin [ A ] neliö [ A ] ja käänteismatriisi 1 [ A ],, kun 5 [ A] <, 1 3 ([ ] a b A < c d [ A], 1 1 d, b < ad, bc, c a, jos ad, bc 0 ) Matriisin neliö saadaan kertolaskulla 5 5 3 16 [ A] < <, 1 3, 1 3, 8 7 Käänteismatriisi saadaan determinanttisäännöllä [ A], 1, 1, 1 5 3 < <, 1 3 17 1 5 Kertaa matriisilaskennan perusteet, jos matriisikertolaskun tai matriisin käänteismatriisin muodostamisen yksityiskohdat ovat päässeet unohtumaan. Matriiseilla operointia tarvitaan myöhemmin. Viikko 44/6
ESIMERKKI Määritä symmetrisen [ A ] matriisin ominaisarvot ja ominaisvektorit ja, 1 ominaisarvohajotelma [ A] < [ x][ κ][ x]. Osoita laskemalla matriisitulot, että ominaisarvohajotelma vastaa alkuperäistä matriisia. Matriisi 5, 1 [ A] <, 1 5 Vastaus, 1 1 1 4 0 1 1 1 1 4 0 1 1 1 5, 1 [ A] < < < 1, 1 0 6 1, 1 1, 1 0 6 1, 1, 1 5 Viikko 44/7
Ratkaistaan aluksi ominaisarvot ja tämän jälkeen ominaisvektorit. Ominaisarvohajotelman matriisi [ x ] koostuu ominaisvektoreista ja diagonaalimatriisi [ κ ] ominaisarvoista vastaavassa järjestyksessä. 5, κ, 1 det([ A], κ[ I]) < det < (5, κ), 1 < 0, 1 5, κ κ {4, 6}, κ 1 < 4: 5, 4, 1 x1 1, 1 x1 1 5 4 < < x 1 1,,, x 0 1 {} x 1 < 1 (esimerkiksi), κ < 6: 5, 6, 1 x1, 1, 1 x1 1 5 6 < < x 1 1,,,, x 0 1 {} x <, 1 (esimerkiksi),, 1,, 1 1 1 4 0 1 1 5 1 [ A] < [ x][ κ][ x] < < 1, 1 0 6 1, 1, 1 5. Viikko 44/8
TENSORIN ESITYS ERI VEKTORIKANNOISSA Käytännössä kaikki tehtävään liittyvät tensorisuureet pitää esittää samassa kannassa. Koska tensorit sinänsä eivät riipu koordinaatistosta (kantavektorit ja komponentit riippuvat), kaikki muunnokset kertaluvusta ja kannasta riippumatta sujuvat samalla reseptillä. Lähtökohtana on tunnettu esitys jossain kannassa (vanha kanta jatkossa). ς Lausutaan vanhat kantavektorit uusien kantavektoreiden avulla. Tässä tarvitaan tietoa koordinaattoakselien suunnista esimerkiksi kuvan muodossa. ς Sijoitetaan vanhojen kantavektoreiden esitykset uusien kantavektoreiden avulla lausuttuina tensorin lausekkeeseen. ς Lopuksi yhdistetään samaan kantavektoriin (i, j,...), kantavektoreiden dyadiin (ii, ij, ik, ji,...) jne. liittyvät termit Suoraviivainen resepti toimii riippumatta tensorin kertaluvusta. Viikko 44/9
ESIMERKKI Määritä gravitaatiokiihtyvyyden lähtien ensimmäisen koordinaatiston esityksestä (kantavektorit kohtisuoria ja pituudet 1). g esitykset kuvan koordinaatistoissa g <, ge. Kannat ovat ortonormaaaleja y e y e α e e ω g e x ο /4 e γ g Vastaus g <, gey <, ( e e ) <, ge α ω (kuvasta 1 ey < ( e eα ) ja e e ) ω < y Viikko 44/30
ESIMERKKI Toisen kertaluvun tensorin komponenttiesitys ( xy,koordinaatiston, ) kannassa on a σ < aee. Muunna tensorin esitys kuvan ( α, ), ja ( ωγ, ),koordinaatistojen kantoihin. y y e y e α e e ω g e x ο /4 e γ Vastaus σ 1 1 a a < aeyey < a ( e eα) ( e eα) < ( e e e eα eαe eαeα) σ a < ae e < ae e y y ω ω (kuvan perusteella 1 ey < ( e eα ) ja e < ) y e ω Viikko 44/31
ESIMERKKI Piirrä oheisten kappaleiden vapaakappalekuviot kuvien tilanteissa ja laske kappaleisiin vaikuttavien voimien vektorisumma F ja momenttisumma M C massakeskipisteen suhteen kuvien ortonormaaleissa kannoissa a) Sylinteriä vedetään ylöspäin. Ei liukumista. b) Partikkeli liukuu kitkallisella tasolla alaspäin. j i g F g m m R j i Vastaus a) F < mg(, cos j, sin i ) ( F, Fλ) i Nj ja MC <, Fλ Rk b) F <, mgj N(cos j sin i) λn(, cos i sin j) Viikko 44/3
Vapaakappalekuvio on piirros, jossa tarkasteltava kappale irroitetaan ympäristöstään. Ympäristön ja kappaleen vuorovaikutus esitetään kappaleeseen kohdistuvina ulkoisina voimina. Vaikuttavan voimasysteemin resultantilla tarkoitetaan voimien vektorisumma ja voimien momenttien vektorisummaa jonkin tietyn pisteen suhteen (statiikan käsitteitä). C F mg N F F λ j i j λn N i mg Voiman momentti saadaan momenttipisteestä voiman vaikutuspisteeseen piirretyn suhteellisen paikkavektorin ja voiman ristitulona M < F. Kontinuumimekaniikassa esiintyy myös muita tensorien tuloja. Viikko 44/33
1. TENSORITULOT Mekaniikan yhtälöissä esiintyy tensorien ulkotulo ab, ristitulo a b, sisätulo a b ja σ kaksinkertainen sisätulo a: b σ erilaisina versioina. Ulkotulo merkitään ilman operaattoria muodossa ab, kuten dyadit toisen kertaluvun tensorin komponenttiesityksissa. Tensoritulot muodostetaan kertolaskun säännöillä säilyttäen kantavektoreiden järjestys ja kertolasku-operaattorin sijainti suhteessa kantavektoreihin. Olkoon jokin tilanteen kannalta mielekäs tensoritulo, tällöin mm. a b < ae b e < ab ( e e ), i i i j j j i, j i j i j σ a b < ( a ee ) ( b e ) < a b e ( e e ), i, j ij i j k k k i, j, k ij k i j k σ σ a b< ( aee) ( b ee) < ab ( ee ee). i, j ij i j kl, kl k l i, jkl,, ij kl i j k l Sama laskutapa pätee myös muille tensorikombinaatioille. Viikko 44/34
Laskennassa sijoitetaan komponenttiesitys ja sovelletaan vektorialgebran pelisääntöjä. Yleiset muodot yksinkertaistuvat huomattavasti ortonormaalin kannan tapauksessa, kun suurin osa kantavektoreiden piste- ja ristituloista häviää ( e x < i, ey < j, ez < k ) a b ab ( e e < ) < a b a b a b < ab, i, j i, j i j i j x x y y z z i i i a b< ab( e e) < ( ab, ab) i ( ab, ab) j ( ab, ab) k, i, j i j i j y z z y z x x z x y y x ab < ab( ee) < abii abij abik ab ji abkj ϑ abkk i j i j x x x y x z y x z y z z σ σ a: b< ab ( ee : ee) < ab ( e e)( e e) < ab i, jkl,, ij kl i j k l i, jkl,, ij kl j k i l i, j ij ji σ ab < ( aee) ( be) < abe( e e) < eab i, j ij i j k k k i, j, k ij k i j k i, j i ij j Kertolasku-operaattorin pitää säilyttää koko ajan paikkansa suhteessa kantavektoreihin, ne jotka olivat alunperin vasemmalla pysyvät siellä jne.! Viikko 44/35
Ristitulon a b komponenttiesitys saadaan seuraavilla askeleilla. Sijoitetaan aluksi komponenttiesitykset ( xyz,, ),koordinaatiston kannassa a b< ( ai a j ak) ( bi b j bk) x y z x y z Kirjoitetaan tulo auki termi termiltä ja siirretään skalaarit eteen. Kantavektoreiden järjestystä ei saa vaihtaa, koska dyaditulot eivät ole vaihdannaisia a b< abi i abi j abi k abj i ab j j abj k x x x y x z y x y y y z abk i abk j abk k z x z y z z a b< 0 abk, ab j, abk 0 abi ab j, abi 0 x y x z y x y z z x z y a b < ( a b, a b ) i ( a b, a b ) j ( a b, a b ) k. y z z y z x x z x y y x j i + k Viikko 44/36
Tulon a b komponenttiesitys saadaan vaihtoehtoisesti järjestämällä komponentit ja kantavektorit pysty- ja vaakamatriisiin (tai toisinpäin) T T ax i i ax a < ay j < j ay a k k a z z ja T T i bx bx i b < j by < by j k b b k z z T T T a 0 x i i b k j x ax, b x a b < ay ( j j ) by < ay, k 0 i by a j i 0 z k k bz a, z bz a b < ( a b, a b ) i ( a b, a b ) j ( a b, a b ) k. y z z y z x x z x y y x Viikko 44/37
σ ESIMERKKI Laske S A vektorikannassa ovat kun vektorin A ja tensorin S σ komponentit ( i, jk, ) 1 { A} <, 1 0 ja 0 0 1 [ S] <, 1 0 0. 0 1 0 σ Vastaus S A < ii ij jk, kk Viikko 44/38
Vektori ja tensori saadaan komponenttien ja kantavektoreiden tuloina T i 1 A< j, 1 < i, j k 0 ja T T i 0 0 1 i i k A j 1 0 0 <, j < j, i < ik, ji kj k 0 1 0 k k j i Sijoitetaan, kirjoitetaan auki, lasketaan termit ja järjestellään σ S A< ( ik, ji kj) ( i, j) σ S A< i( k i), j( i i) k( j i), i( k j) j( i j), k( j j) σ S A < ij, 0, kk ii jk, 0 σ S A < ii ij jk, kk. j + k Viikko 44/39
Konjugaattitensori c MÄÄRITELMIÄ JA IDENTITEETTEJÄ a σ : vaihdetaan tensorin a σ kaikkien dyadien järjestys ij Toisen kertaluvun yksikkötensori I σ σ σ : I a < a I < a! a σ σ σ σ σ σ σ Neljännen kertaluvun yksikkötensori I : I : a < a: I < a! a Antisymmetrisen tensorin a σ assosioitu vektori a σ σ σ : b a < a b, jossa a <, ac Skalaarikolmitulo: a ( b c) < ( a b) c Vektorikolmitulo: a ( b c) < b( a c), c( a b) σ Symmetrinen-antisymmetrinen kaksoistulo: a σ <, a c ja σ σ b < b c σ σ a: b < 0 σ σ σ 1 σ σ 1 σ σ Symmetrinen ja antisymmetrinen osa: a < as au < ( a ac) ( a, ac) ji jne. Viikko 44/40
1.3 GRADIENTTI Mekaniikan peruslakien paikalliset muodot ja konstitutiiviset yhtälöt ovat luonteeltaan differentiaaliyhtälöitä. Tarvittavat paikkaderivaattojen muodot voidaan esittää derivaatan d / dx vektorivastineen (Nabla operaattori) avulla. Karteesisessa ( xyz,, ), koordinaatistossa T T i / x / x i < i j k < j / y ( < / y j ). x y z k / z / z k Operaattorin derivaatat vaikuttavat kaikkeen sen oikealla puolella, jälkimmäinen muoto suluissa edellyttää että kantavektorit ovat vakioita. Muutoin manipulaatiot vastaavat tensoritulojen laskemista. Vektorina nabla voidaan esittää eri koordinaatistoissa ja muuntaa koordinaatistosta toiseen. Viikko 44/41
Usein tarvittavia ovat skalaarin gradientti v, vektorin gradientti v, vektorin divergenssi v, vektorin pyörre v sekä kaksi kertaa operaattorin sisältävät v ( ) v ja v ( ) v. Karteesisen koordinaatiston komponenttiesitykset ovat v v v v < i j k, x y z v v v v v v v v v v < ii ji ki ij jj kj ik jk kk x y z x y z x y z x x x y y y z z z, v v x y v v < x y z z, v vy y ( z v v ) ( x v z v v < i, j, ) k(, x). y z z x x y Viikko 44/4
v v v v < x y z, vx vx v vy vy v x y vz vz vz v < ( ) i ( ) j ( ) k. x y z x y z x y z Viikko 44/43
ESIMERKKI Liikemäärän ja liikemäärän momentin taseen ajasta riippumattomat yleiset σ lokaalit muodot ovat ρ f < 0 ja ρ σ < ρ σ σ c, jossa ρ on jännitystensori ja f tilavuusvoima (voima tilavuusyksikköä kohden). Muodosta taseyhtälöiden komponenttimuodot Karteesisessa ( xy,koordinaatistossa,, ) kun < i x j y σ f < f i f j, ja ρ < ρxxii ρxyij ρyx ji ρyy jj., x y ρ ρyx ρ Vastaus xx xy ρyy f x < 0, f y < 0 x y x y ja ρ, ρ < 0. xy yx Viikko 44/44
Taseyhtälöt, jotka tässä vastaavat tasapainoyhtälöitä, voidaan johtaa vektorialgebran pelisäännöillä lähtien invarianteista lokaaleista (vektori)muodoista koordinaatistosta riippumatta. Sijoitetaan Karteesisen koordinaatiston komponenttiesitykset ja järjestellään: σ ρ ρxy ρyx ρyy ρ f < i ( xx ii ij ji jj) x x x x ρ ρxy ρyx ρyy j ( xx ii ij ji jj ) fxi f y j < 0 y y y y σ ρ ρyx ρxy ρyy ρ f < ( xx fx) i ( fy) j < 0. x y x y σ σ ρ, ρc < ( ρ ii ρ ij ρ ji ρ jj),( ρ ii ρ ji ρ ij ρ jj ) < 0 xx xy yx yy xx xy yx yy σ σ ρ, ρc < ( ρxy, ρyx ) ij ( ρyx, ρxy ) ji < 0. Viikko 44/45
Samaan lopputulokseen päädytään piirtämällä kappalealkion vapaakappalekuvio ja kirjoittamalla voima- ja momenttitasapainoehdot (tähän palataan myöhemmin) ρ yy ( ρ yy Χy) Χx y ρ xx Χy fy ΧΧ x y ρ yx ( ρ yx Χy) Χx y ρ xy ( ρ xy Χx) Χy x ρ xy Χy fx ΧΧ x y ρ ( ρ xx xx Χx) Χy x ρ yx Χx ρ yy Χx Differentiaaligeometrinen päättely ja vapaakappalekuvion käyttö toimii hyvin karteesisen koordinaatiston tasotapauksessa ja huonommin, kun koordinaatisto on käyräviivainen ja tarkastellaan 3D tapausta. Viikko 44/46
Viikko 44/47
SYLINTERIKOORDINAATISTON ESITYKSIÄ 1 1 aε a a < ( ra ) z r r r r ε z 1 1 a a a < a < ( r a) r r r r ε z 1 a a 1 <,,, r r ε r ε r ε a ( a ) ( r r a ) ( ) r e r aε a e a ε α z ez ar 1 ar 1 ar ar aε, aε az T r r ε r z er aε 1 aε 1 aε a a < eε ar aε aεar az r r ε r z ez az 1 az a a z r aε az r r ε z Viikko 44/48
ar 1 1 a a 1 ( r ε aε a ) ( r az, ) T r r r r z r e ε r er 1 1 a a a 1 a 1 a 1 ( ) ( r ε ε ε a ) r ε a a ( z s < eε, ) eε r ε r r r ε r z r ε ez ez 1 a 1 a 1 ( r a z ε a ) ( z a ) z z r z r ε z a 1 a rr rε a a rz rr, aεε T r r ε z r er σ aεr 1 aεε aεz aεr a < eε r r ε z r ez azr 1 azε azz a zr r r ε z r Viikko 44/49
1.4 GAUSSIN LAUSE Integraalilauseiden avulla voidaan muuntaa pintaintegraaleja tilavuusintegraaleiksi, pintaintegraaleja viivaintegraaleiksi jne. Perusversioista saadaan hyödyllisiä lauseita eri tilanteisiin. Yleinen muoto: adv < n ada ς ς ς z n z Gradienttilause: adv < nada ς ς ς Divergenssilause: adv < n ada ς ς Pyörrelause: adv < n ada ς ς Integraali-identiteetit pätevät kaikissa dimensioissa. Yksidimensioisessa tapauksessa integraali alueen reunan ylitse pitää korvata summauksella reunan (kaksi pistettä) ylitse. Viikko 44/50