Aalto-yliopiston Perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Mat-419 Systeemien Identifiointi 8 harjoituksen ratkaisut 1 Annettu siirtofunktio on siis G(s) ja vastaava systeemi on stabiili Heräte (sisäänmeno) on u(t) A sin(ωt), jonka Laplace-muunnos on ja vasteen Laplace-muunnos on siten U(s) Y (s) G(s)U(s) Aω s + ω, Nyt saadaan vaste käänteismuuntamalla Y (s) G(s)Aω (s ωi)(s + ωi) Käänteismuunnos onnistuu, kun kirjoitetaan Y :lle osamurtokehitelmä Y (s) C 1 s ωi + C + K i, }{{ s + ωi } (s + p i ) }{{} Y 1 (s) Y (s) missä Y 1 (s) vastaa U:hun liittyviä vasteita ja Y (s) G:hen liittyviä Siis p i :t ovat G(s):n navat Käänteismuunnetaan nyt tämä Ennen muunnosta on kuitenkin syytä huomata, että kun järjestelmä on stabiili, niin G:hen liittyvät aikatason vasteet y 1 (t) konvergoivat nollaan! Ts lim t y 1(t) 0 Yleisesti ottaen osamurtokehitelmässä määrättaävät vakiokertoimet löydetään seuraavasti: K i lim s p i (s + p i )Y (s), joten ja C 1 lim s iω (s + iω)y (s) A i G( iω), C lim s iω (s iω)y (s) A i G(iω), eli steady state ratkaisu Laplace-tasossa on Y ss (s) AG(iω) i(s iω) + AG( iω) i(s + iω) 1
Napakoordinaattimuodosta missä φ arg G(iω) saadaan, että G(iω) G(iω) e iφ, Y ss (s) A G(iω) i Nyt käänteismuuntamalla saadaan, että e iφ ( s iω e iφ s + iω ) y ss (t) A G(iω) eiφ e iωt e iφ e iωt, i koska L 1 ( 1 s+a ) e at Koska e iωt i sin(ωt) + cos(ωt), cos(α) cos( alpha) ja sin(α) sin( α), saadaan y ss (t) A G(iω) eiφ+iωt e iφ iωt i A G(iω) sin(ωt + φ) Siten jos heräte on siniä, jonka taajuus on ω, niin alkutransientin jälkeen saadaan vasteena siniä, jonka amplitudi on vahvistunut tekijällä G(iω) ja vaihe on siirtynyt arg G(iω) Nyt siis ja u(t) a sin(ωt), y(t) Ka sin(ωt + φ), missä edellisen tehtävän nojalla K G(iω) ja φ arg G(iω) Nyt käyttämällä kulman summan sinin laskukaavaa saadaan josta saadaan Koska sin(ωt) + cos(ωt) 1 saadaan sin(α ± β) sin(α) cos(β) ± cos(α) sin(β), y(t) Ka(sin(ωt) cos φ + cos(ωt) sin φ), cos(ωt) 1 sin(φ) (y(t) Ka sin(ωt) cos φ) }{{} u(t) a ( u(t) 1 a ) + ( sin φ (y(t) Ka u(t) a cos φ)) 1, eli u(t) + ( y(t) Ku cos φ ) a, K sin φ
josta saadaan (1 + (cot φ) )u 1 cos φ + (K sin φ) y K(sin φ) yu a, mikä vastaa (u, y)-tason ellipsiä Näytetään, että se vastaa tehtävänannossa kuvattua ellipsiä Selvästi u:n maksimi on a, joka saavutetaan, kun sin(ωt) 1, jolloin cos(ωt) 0 ja y Ka cos φ Vastaavasti y:n maksimi on Ka ja se saavutetaan kun sin(ωt+φ) 1, eli ωt+φ π Tällöin u a sin( π φ) a(sin π cos φ cos π sin φ) a cos φ 3 Sisäänmeno on siis u(t) sin t, jota vastaava ulostulo on y(t) b sin(t + φ), missä b on vahvistus ja φ vaihesiirto Ulostuloa on havainnoitu 01 sekunnin välen jaksolta t [0, 40] Siten mittaukset on suoritettu aikahetkinä t i iδt 01i Integroidaan nyt sinin ja ulostulon tuloa: y s (T ) y(t) sin tdt b sin(t + φ) sin(t)dt + bt cos φ b cos(t + φ)dt + e(t) sin(t)dt e(t) sin(t)dt Huom: Integrointi aloitetaan tässä :sta, joka valitaan se alkutransientin vaikutus on käytännössä hävinnyt; valitaan tässä esimerkissä 10 Jos integrointivälin pituus T on jokin sinin jaksonpituuden monikerta ja oletetaan, että e(t) on pieni, niin y s (T ) bt cos φ (1) Tässä esimerkissä voidaan valita T kπ 8π Alkuperäistä integraalia voidaan approksimoida summalla y s (T ) i y(t i ) sin t i Δt, jonka avulla saadaan datasta valitsemalla Δt ja sopivasti, että y s (T ) 079 Sitten tehdään samat temput kosinille: y c (T ) y(t) cos tdt b sin(t + φ) cos(t)dt + bt sin φ b sin(t + φ)dt + 3 e(t) cos(t)dt e(t) cos(t)dt,
joten y c (T ) bt sin φ () Approksimoimalla integraalia summalla saadaan datasta, että y c (T ) 998 Näin yhtälöistä (1) ja () saadaan, että ja eli φ 89 astetta b T y s + y c 795, φ arctan y c y s 156, Vahvistus on siten taajuudella ω 1 0 lg b 1 (db) Numeeriset laskut on tehty a Matlab-skriptillä las08t3m Piirrä Matlabin funktioilla bode todellisen systemin Boden diagrammi N äet, että estimaatit ovat varsin hyvät 4 Lasketaan ensin navat: jonka ratkaisuna on s + ζω n s + ω n 0, s 1 ζω n ± ζ ω n ω n ζω n ± ω n ζ 1 Jotta systeemi on asymptoottisesti stabiili tulee napojen olla aidosti vasemmassa puolitasossa, josta saadaan ehto Nyt tarkastellaan taajuusvastefunktiota ζ > 0 G(iω) ω n (iω) + iζω n ω + ω n ω n ω n ω + iζω n ω a) Asetetaan nyt ω ω n jolloin G(iω n ) ωn 1 ωn ωn + iζω n ω n iζ 1 ζ i Tämän vaihekulma on π, mikä vastaa 90 asteen vaihesiirtoa b) Resonanssitaajuudella tarkoitetaan vahvistuskertoimen G(iω) maksimia Nyt ω n G(iω) ωn ω + iζω n ω ω n(ωn ω iζω n ω) lavennettu nimittäjän kompleksikonjugaatilla (ωn ω ) + 4ζ ωnω ωn (ω (ωn ω ) + 4ζ ωnω n ω ) + 4ζ ωnω ωn (ω n ω ) + 4ζ ωnω 4
Tämä saavuttaa luonnollisesti maksiminsa kun nimittäjä saavuttaan miniminsä Siten minimoidaan funktiota f(ω) (ω n ω ) + 4ζ ω nω Minimi löytyy helposti f:n derivaatan nollakohdasta: f (ω) (ω n ω )( ω) + 8ζ ω nω 4ω(ω + (ζ 1)ω n) 0, joten ω 0 tai ω ± 1 ζ ω n Ensimmäinen juuri ei ole kiinnostava ja jälkimmäinen on reaalinen, jos 1 < ζ < 1 Siten resonanssitaajuus on Näin maksimivahvistukseksi tulee ω r ω n 1 ζ, kun 0 ζ < 0707 G(iω r ) 1 ζ 1 ζ (3) Näillä a- ja b-kohtien tuloksilla voidaan systeemi identifioida kahdella eri tavalla i) Haetaan taajuus ˆω, jolla vaihesiirto on 90 astetta Tällöin siis ω n ˆω ii) Etsitään resonanssitaajuus ˆω r ja mitataan tätä vastaava vahvistuskerroin Ĝ Siten saadaan ratkaistua ˆω n 5 a) Fourieranalyysissä lähtökohtana on estimoida systeemin taajuusvaste G(iω) lähtien liikkeelle Fourier-muunnetusta systeemistä Y (ω) G(iω)U(ω) Mittauksista voidaan laskea sisäänmenon ja ulostulon Fourier-muunnokset Y S (ω) S 0 y(t)e iωt dt, ja U S (ω) S 0 u(t)e iωt dt, joissa integroidaan äärellisen aikavälin yli, koska mittauksia on aina vain äärelliseltä aikaväliltä t [0, S] Lisäksi mittausdata on käytännössä näytteistettyä, jolloin käytännössä lasketaan diskreetit Fourier-muunnokset Näin saadaan estimaatti taajuusvasteelle Ĝ S (iω) Y S(ω) U S (ω) Tätä kutsutaan empiiriseksi siirtofunktioestimaatiksi (empirical transfer function estimate, ETFE) Laskut voit laskea skriptillä las08t5am 5
b) Spektraalianalyysissä estimoidaan sisäänmenon ja ulostulon spektrejä, joka saadaan kaavasta (tämä ei ole luonnollisesti ainoa vaihtoehto; tutki oppikirjasta muitakin estimaatteja) ˆΦ N (ω) 1 N U N(ω), missä U N (ω) u(k)e iωk (u:n diskreetti Fourier-muunnos) k1 Estimaattia ˆΦN (ω) kutsutaan periodogrammiksi Estimaatin ongelma on, että se tuottaa epätasaisia estimaatteja Siksi on tapana tasoittaa estimaattia Esimerkiksi Blackman-Tuckey menetelmässä muodostetaan tasoitettu periogrammi π ˆΦ N (ω) W γ (ω ξ)ˆφn (ξ)dξ, missä ikkunafunktiolle W γ pätee π π π W γ (ω)dω 1 Indeksi γ viittaa ikkunan leveyteen Oppikirjan appendixissa on osoitettu, että tämä tasoitus voidaan kirjoittaa aikatasossa muodossa ˆΦ N (ω) γ k γ w γ (k) ˆR N u (k)e iωk, missä w γ (k) π W π γ(ξ)e iξk dξ (Fourier-käänteismuunnos) ja ˆR u N (k) 1 N k)u(t) (sisäänmenon autokovarianssin estimaatti) Tyypillisesti valitaan w γ (k) { 1 πk (1 + cos( )), kun; k < γ γ 0, muuten t u(t+ jota kutsutaan Hamming aikaikkunaksi Vapaasti valittavaksi parameriksi siis jää γ Vastaavasti saadaan ristispektrille tasoitettu estimaatti ˆΦ N yu(ω) γ k γ w γ (k) ˆR N yu(k)e iωk Spektreille pätee (vrt luento ja laskuharjoitukset sekä oppikirjan appendix) Φ yu (ω) G(iω)Φ u (ω), 6
josta saadaan estimaatti taajuusvasteelle Ĝ N (iω) ˆ Φ N yu(ω) ˆ Φ N u (ω) Systeemi Y (s) G(s)U(s) + V (s) voidaan kuvata spektrien avulla seuraavasti: jolloin kohinan spektriksi saadaan Φ y (ω) G(iω) Φ u (ω) + Φ v (ω), ˆΦ N v (ω) ˆΦ N y (ω) ˆΦ yu (ω) ˆΦ N u (ω) Laskut voit laskea IDE-toolboxin käyttöliittymällä tai skriptillä las08t5bm 6 Siis θ (a 1 a n b 1 b n ) T φ(t) (cos ω 1 t cos ω n t sin ω 1 t sin ω n t) T n y(t) φ T (t)θ (a k cos ω k t + b k sin ω k t), missä ω k πk Estimoidaan nyt tälle tehtävälle PNS-estimaatit N k1 ˆθ (φ T φ) 1 φ T y ( φ(t)φ(t) T ) 1 ( φ(t)y(t)) Jossa φ(t)φ(t)t cos(ω 1t) N cos(ω 1t) cos(ω t) N cos(ω 1t) sin(ω n t) cos(ω t) cos(ω 1 t) N cos(ω t) N cos(ω t) sin(ω n t) cos(ω 1t) sin(ω n t) N cos(ω t) sin(ω n t) N sin(ω nt) sin(ω n t) ja φ(t)y(t) cos(ω 1t)y(t) cos(ω nt)y(t) sin(ω 1t)y(t) sin(ω nt)y(t) 7
Käännettävässä neliömatriisissa φ(t)φ(t)t on siis termejä cos(ω k t) cos(ω p t) sin(ω k t) sin(ω p t) cos(ω k t) sin(ω p t) Käytetään hyväksi kulmien summan ja erotuksen laskentakaavoja, niin saadaan lausuttua nämä summissa esiintyvät tulotermit muodossa cos(α) cos(β) 1 (cos(α β) + cos(α + β)) sin(α) sin(β) 1 (cos(α β) cos(α + β)) sin(α) cos(β) 1 (sin(α β) + sin(α + β)) Tutkitaan siis summia ja cos((k p) π N t) sin((k p) π N t) Kiinteillä k ja p kulma juoksee diskreetisti yhden jakson verran, kun t {1,, N}, jolloin nämä molemmat summat menevät nolliksi, mikäli k p Jos k p niin ensimmäinen lauseke saa arvon cos(0) 1 ja jälkimmäinen arvon sin(0) 0 8
Siten cos(ω k t) cos(ω p t) N δ k,p sin(ω k t) sin(ω p t) N δ k,p cos(ω k t) sin(ω p t) 0, missä δ k,p 1, kun k p ja 0 muuten Näin saadaan, että käännettävä matriisi onkin N N-diagonaalimatriisi (diagonaalilla termejä N/), jolloin cos(ω 1t)y(t) cos(ω 1t)y(t) ˆθ ( N I) 1 cos(ω nt)y(t) sin(ω 1t)y(t) sin(ω nt)y(t) N cos(ω nt)y(t) sin(ω 1t)y(t) sin(ω nt)y(t) 9