A B P(A B) = P(A B) P(K) = 4 ( 52 5) =

ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º½ ÒÓÑ ÙÑ ÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò ÙÑ Ò Ð ÖÚÓÒ ¼ Ø ÒÚ ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ À Ö Ó ØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ º½ ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º½ ÌÙÐÓ ÒØ Ó ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ý Ò Ú º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º¾ Ê ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º½º ÂÓÙ Ó¹ÓÔÔ ØÓ ÒÒ ÝÝ º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÓÐÐ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º¾º½ ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó º º º º º º º º º º º º º¾º¾ Ø ÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó º º º º º º º º º º Ð Ò Ò ØÙÐÓ Ú Ý Ò Ð Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º½ Ð Ò Ò ØÙÐÓ Ú º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ý Ò Ð Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º È Ö ÓØ ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º Í Ò Ø Ô ØÙÑ Ò ÙÒ ÓÒ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ º º º º º Ø ÒÚ ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º À Ö Ó ØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

ÄÙ Ù ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Ì ÐÙÚÙ ØÝ ÒÒ ØÒ Ð ÒÒ Ø Ò ÐÐ ÐÙÚÙ Ø ØØÝ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ð ÒÒ Ò Ø ØÓ º ÓÐÐ Ø Ñ Ò Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ ÓÚ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ Ð ÒÒ Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ØØ Øº º½ ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÅÖ Ø ÐÑ º½ ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ µ ÇÐ ÓÓØ A B ÓØÓ Ú ¹ ÖÙÙ Ò Ω Ø Ô ØÙÑ º ÂÓ P(B) > 0 Ò Ò Ø Ô ØÙÑ Ò A ÓÐÐ Ò Ò ØÓ Ò¹ Ò ÝÝ ÓÐÐ B ÓÒ º½º½µ P(A B) = P(A B). P(B) Ä Ù P(A B) ÐÙ Ø Ò A Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÐÐ B º A A B B ÎÓ Ò Ø ÐÐ ØØ P(B) ÓÒ ÐÙ Ò B Ô ÒØ ¹ Ð P(A B) ÐÙ Ò A B Ô ÒØ ¹ Ð º ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ P(A B) ÓÒ ÐÙ Ò A B Ô ÒØ ¹ Ð Ò Ù Ø ÐÐ Ò Ò Ó ÙÙ B Ò Ô ÒØ ¹ Ð Ø º Ñ Ö º½ Å ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÔÓ Ö ÙÒ Ò ÐÐ Ò Ò Ú¹ Ö ÙÓÖ K Ñ Ñ Ø ÓÐ Ú Ø ÓÖØ Ø ½¼ ½½ ½¾ ½ ½ = µ ÂÓ ÓÐ Ø Ø Ò ØØ ÓÖØ Ò Ø ÓÚ Ø Ý Ø ØÓ ÒÒ Ò Ò P(K) = 4 ( 52 5) = 649740.

ÄÙ Ù º ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ò ÑÑ Ø ÓÖØØ Ô ÝØÒ ÙÚ ÔÙÓÐ Ð ¹ Ô Ò º ÓÖØ Ò ÙÚ ÔÙÓÐ ÝÐ Ô Òº Î Ñ Ò Ò ÓÖØØ ÓÒ ÖØØ H 4 µº Å ÐÐ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÐ ØÑ ÓÒ ÙÒ Ò ÐÐ Ò Ò ÚÖ ÙÓÖ ÓÐÐ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò º½º½µ ÑÙ Ò P(K H 4 ) = P(K H 4) P(H 4 ) ÎÓ ÑÑ ÒÝØ ÐÔÓ Ø ØÓ Ø ØØ P(K H 4 ) = 3 5 P(K). = /( ) 52 5 ( 5 52 ) = 4)/( ). ÃÙÒ Ò ÐÐ Ò ÚÖ ÙÓÖ Ò Ñ ÓÐÐ ÙÙ ÝÐ Ò ÖØ ØÙÙ ÙÒ Ø Ø Ø ØØ Ú Ñ Ò Ò ÓÖØØ ÓÒ ÖØØ º 5 ( 5 4 º½º½ ÌÙÐÓ ÒØ Ó ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ý Ò Ú ÓÐÐ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø Ò ØÙÐÓ ÒØ Ø Ô ØÙÑ Ò ³A B ØØÙÚ Ø³ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ð Ñ º Ã Ú Ø º½º½µ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò ØÙÐÓ Ú º½º¾µ P(A B) = P(A)P(B A). ÌÙÐÓ Ú Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ò Ú Ø Ú Ø P(A c B) = P(A c )P(B A c )º Ä Ù Ò ¾º Ô ÖÙ Ø ÐÐ P(B) = P(A B)+P(A c B), Ó Ø ØÙÐÓ Ú Ò ÚÙÐÐ Ò Ó ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ð Ù º½º µ P(B) = P(A)P(B A)+P(A c )P(B A c ). ÃÙÒ ÓÐÐ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò P(A B) Ð Ù Ò º½º½µ Ó Ø Ø Ò P(A B) Ò Ô ÐÐ Ý ØÐ Ò º½º¾µ Ó ÔÙÓÐ P(B) Ò Ô ÐÐ Ú Ø Ú Ø Ó ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ º½º µ Ò Ý Ò Ú P(A B) = P(A)P(B A) P(A)P(B A)+P(A c )P(B A c ). ÂÓ ØÙÒÒ Ø Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø P(A) P(B A) P(B A c ) ÚÓ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ P(A B) Ð Ý Ò Ú Ò ÚÙÐÐ º ÌÙÐÓ Ú º½º¾µ ÝÐ ØÝÝ ÑÝ Ù ÑÑ ÐÐ Ù Ò ÐÐ Ø Ô ØÙÑ ÐÐ º Ñ Ö P(A B C) = P(A)P(B A)P(C A B). ÌÙÐÓ Ú Ò Ó ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ý Ò Ú Ò ÝÐ ØÝ Ø Ø Ð¹ ÐÒ ØÑÒ ÐÙÚÙÒ ÐÓÔÔÙÔÙÓÐ ÐÐ º

º½º ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ì ÙÐÙ Ó º½º ÃÓ ÓÒ ØÙÓØ ÒØÓ Ú ÐÐ Ø Ò ±¹Ó ÙÙ Ö Ñ º Å ÖÙ ÊÙ Ó ËÛ Ð ÃÓ ÓÒ ØÙÓØ ÒØÓ ½¼¼¼¼¼¼ ¾¼¼¼¼¼¼ ¼¼¼¼¼¼ Î ÐÐ Ø Ò ±¹Ó ÙÙ ¾¼ ± ½¼ ± ± Ñ Ö º¾ ËÙÙÖ Ø ÓÐÐ ÙÙ ÓÒ ÖÒ Ú ÐÑ Ø ÒÒÝ Ø ÓÐÑ Ö Ñ ÓØ ÓÚ Ø Ò Ñ ÐØÒ ÖÙ ÊÙ Ó ËÛ Ð º Ç Ø Ø ÒÒÝ Ò ÑÙØØ Ø Ø Ñ ÓÒ Ú ÐÑ Ø ØØÙº ÇÐ ÓÓÒ V Ø Ô ØÙÑ ØØ ØÙÓØ ÓÒ Ú ÐÐ ¹ Ò Òº F ÓÒ Ø Ô ØÙÑ ØØ ØÙÓØ ÓÒ Ú ÐÑ Ø ØØÙ ÖÙ º Î Ø Ú Ø R S Ú ØØ Ú Ø Ú ÐÑ ØÙ Ñ Ò ÊÙ Ó ËÛ Ð º Î ÐÐ Ø Ò ±¹Ó ÙÙ Ö Ñ ÓÒ ÒÒ ØØÙ Ó Ø ÙÐÙ Ó º Ä Ø Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø µ P(F S c ) µ P(V S c ) µ P(V) µ P(F V)º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ú ÐÑ Ø ØÙØ ¼¼¼¼¼¼ ÒÒÝ ÓÚ Ø Ý Ø ØÓ ÒÒ º Ê Ø Ùº µ P(F S c ) = P(F Sc ) P(S c ) = P(F) P(S c ) Ó F S c µ = 000000/6000000 3000000/6000000 = 3. µ P(V S c ) = V Sc P(S c ) P[V (F R)] = P(S c Ó S c = F Rµ ) P(V F)+P(V R) = P(S c Ó F R = µ ) P(V F)P(F)+P(V R)P(R) = P(S c ) = + 5 6 0 3 2 = 2 5. ÃÓ Ø µ µ Ø ØÒ Ö Ó ØÙ Ø ØÚ º Ñ Ö º ÎÖ ÔÓ Ø Ú Ò Òµ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ö Ú Ö ÒÝØØ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ ÓØ Ø ÒØ Ú Ò ØÙÐÓ Ø ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ø Ú Òº Ì ØÒ ØØ ± Ø ÙØ A Ö Ø Ú Ø Ø Ø ÔÓ Ø Ú Ò ØÙÐÓ Òº

¼ ÄÙ Ù º ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ ÅÝ ¾ ± Ò Ø Ó ÐÐ ÓÐ Ø ÙØ A ÔÓ Ø Ú Ò ØÙÐÓ Ò ÚÖÒ ÔÓ¹ Ø Ú Ò µº ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ½ ± ÔÓÔÙÐ Ø Ó Ø Ö Ø Ø ÙØ Aº ÂÓ ØÙÒ¹ Ò Ø Ú Ð ØÙÒ Ò Ð Ò Ø Ø ØÙÐÓ ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ñ ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ Ò Ö Ø Ø ÙØ A ÇÐ ÓÓÒ ÒÝØ T = { Ö Ø Ø ÙØ } + Ø Ö Ó ØØ ÔÓ Ø Ú Ø Ø Ø ØÙÐÓ ¹ Ø º Ì ÑÑ ØØ P(+ T) = 0.95, P(+ T c ) = 0.02, P(T) = 0.0 P(T c ) = 0.99. ËÓÚ ÐØ Ñ ÐÐ Ý Ò Ú º º µ Ò P(T)P(+ T) P(T +) = P(T)P(+ T)+P(T c )P(+ T c ) 0.0 0.95 = 0.0 0.95+0.99 0.02 = 95 293 0.32. ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ú ÙØØ Ò Ò ÑÐØ ÓÚ Ò Ô Ò Ðغ Ð Ò Ò ØÓ ÒÒ¹ ÝÝ Ð ØØÝÝ ÐÐ ØØ ÔÓ Ø Ú Ø ØÙÐ Ú Ø ÓÙ Ó Ø Ó ÓÒ Ô Ò Ú ÖÖ Ø¹ ØÙÒ Ò ÓÙ ÓÓÒ Ó Ø ÚÖØ ÔÓ Ø Ú Ø ØÙÐ Ú Øº º½º¾ Ê ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Å ÐÐÓ Ò ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ P(B A) ÓÒ Ñ Ù Ò ÓÐÐ Ø Ñ ØÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ P(B) Ë ÐÐÓ Ò ÓÒ ÚÓ Ñ ÒØ Ø ØØ P(B) = P(B A) = P(B A). P(A) ÌÑ Ý ÝÑÝ Ó Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Ò ÑÖ Ø ÐÑÒº ÅÖ Ø ÐÑ º¾ Ì Ô ØÙÑ Ø A B ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ó º½º µ P(A B) = P(A)P(B) ÂÓ Ø Ô ØÙÑ Ø A B ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ò Ò ÐÐÓ Ò ÒØ Ø Ø Ø P(A B) = P(A) P(B A) = P(B) Ô ØÚØ Ô Ò º Ì Ô ØÙÑ Ò A B Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Ø ÙÖ ØØ ÑÝ Ò Ò ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øº Ä Ù º½ ÂÓ Ø Ô ØÙÑ Ø A B ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ò Ò ÑÝ ½º A B c ¾º A c B

º½º ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ½ º A c B c ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øº ÌÓ ØÙ º ÌÓ Ø Ø Ò. Ó Ø º ÇÒ ÒÝØ ØØÚ ØØ A Ò B Ò Ö Ô¹ ÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Ø ÙÖ ÒØ Ø ØØ P(A B c ) = P(A)P(B c )º Ë ÙÖ Ù ¹ Ð Ù Ò ÑÙ Ò P(A B c ) = P(A) P(A B) = P(A) P(A)P(B) A B Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø = P(A)[ P(B)] = P(A)P(B c ) Ä Ù ¾º½, ÓØ Ò A B c ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øº ÅÙÙØ Ó Ø ØÓ Ø Ø Ò Ú Ø Ú ÐÐ Ø Ú ÐÐ º Ñ Ö º ÝÒ ÓÐÓ Ò ÖØÓ ÓÐÙÒÝØØ Ò Ð È Ô ¹ Ó Ò ÚÙÐÐ ÚÓ ¹ Ò ØÓ Ø Ó ÙÒ ÙÐ Ó Ò Ý Ô ÐØÚØ Ù Ó ÑÙÙØÓ Øº ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ¼ ¹ÚÙÓØ Ø Ò Ø 00p ± ÐÐ ÓÒ ÔÒÓÖÑ Ð ÑÙÙÒØÙÒ Ø µ Ó¹ ÐÙ Ó ÙÒ ÙÙ Ó ÙÒ ÙÐ µº È Ô ¹ Ó Ò ÙÓÖ ØØ Ñ Ò Ð ØØÝÚØ ÙÖ Ú Ø Ú Ö Ø ½º Ì Ô ØÙÑ B ÃÓ ÙÒ ÙÐ ÓÒ ÔÒÓÖÑ Ð ÓÐÙ ÑÙØØ Ò ¹ ÚØ Ó Ù ÓØÓ Òº ÇÐ ÓÓÒ P(B) = bº ¾º Ì Ô ØÙÑ C ÇØÓ ÓÒ ÔÓ Ú ÓÐÙ ÑÙØØ Ò Ø Ú Ø º ÇÐ ÓÓÒ P(C) = cº º Ì Ô ØÙÑ D È Ð ØÒ ÒÓÖÑ Ð ÓÐÙ ÐØÚ ÓØÓ ÐÙÓ Ø ÐÐ Ò ÚÖ Ò ÔÓ Ú º ÇÐ ÓÓÒ P(D) = dº ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ñ Ò ØÙØ ÓØ ÒØ ¹ ÑÖ ØÝ Ú Ö Ø ÓÚ Ø ØÓ Ø Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øº ÂÓ ØÙÒÒ Ø Ú Ð ØÙÐÐ ¼ ¹ÚÙÓØ ÐÐ Ò ÐÐ Ø Ò È Ô ¹ Ó Ò Ò µ Ñ ÐÐ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÐ Ó ÒØ ÚÖÒ ØÙÐÓ Ò µ ÂÓ Ø Ø ØÙÐÓ Ó Ó ØØ ÔÓ Ú ÓÐÙ Ð ÝØÝÒ Ò Ñ ÐÐ ØÓ ÒÒ ¹ ÝÝ ÐÐ Ò Ð ÐÐ ÓÐ ÔÓ Ú ÓÐÙ Ê Ø Ùº µ Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ø Ô ØÙÑ V Ì Ø ÒØ Ú Ö ÐÐ Ò ØÙÐÓ Ò A ÈÓ Ú ÓÐÙ ÓÒ Ó ÙÒ ÙÐ

¾ ÄÙ Ù º ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ A A c B B c D D c D D c C C c Ü Ü Ü ÃÙÚ Ó º½º Ã Ú Ó ÙÚ Ö ØÙÐÓ Ú ØÓ Ó Ø º Ê Ø ÐРܵ Ñ Ö ¹ ØÝ Ø Ð ÒØ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ò Ø Ø ØÙÐÓ º Ø Ô ØÙÑ B ÈÓ Ú ÓÐÙ ÓÒ ÑÙØØ Ò ÚØ Ó Ù ÓØÓ Òµº ÇÐ ¹ ØÙ Ò ÑÙ Ò P(A) = p ÓØ Ò Ë ÙÖ Ù Ð Ù ¾º½µ P(V) = P(A)P(V A)+P(A c )P(V A c ) = pp(v A)+( p)p(v A c ). Î Ö ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò ÑÙ Ò P(V A c ) = dº ÌÓ ÐØ P(V A) = P(V B A)+P(V B c A). Î Ö ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò ½ ÑÙ Ò P(V B A) = ( d)b Ú Ø Ú Ø Ú Ö Ò ½ ¾ ÙÖ Ù Ò P(V B c A) = c( b), ÓØ Ò P(V) = p[( d)b+c( b)]+( p)d. µ ÂØ ØÒ Ö Ó ØÙ Ø ØÚ º Í ÑÑ Ò Ù Ò Ò Ø Ô ØÙÑ Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Ò ÑÖ ØØ ÐÝ Ú ¹ Ø Ñ Ò Ö ÒØ º Å ÐÐÓ Ò Ø Ô ØÙÑ Ø A B C ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ó Ø P(A B C) = P(A)P(B)P(C) Ò Ñ ØØ Ò ÙÖ ØØ Ø Ô ¹ ØÙÑ Ø ÓÚ Ø Ô Ö ØØ Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øº ÅÖ Ø ÐÑ º Ì Ô ØÙÑ Ø A B C ÓÚ Ø ÒÒ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ó P(A B) = P(A)P(B), P(A C) = P(A)P(C), P(B C) = P(B)P(C) P(A B C) = P(A)P(B)P(C).

º½º ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ñ Ö º Ã Ò Ò Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ ÙÖ Ô Ö ØØ Ø Ö ÔÔÙ¹ Ñ ØØÓÑÙÙ Ø º ÇÐ ÓÓÒ Ω ÓØÓ Ú ÖÙÙ ÓÒ Ð Ø Ô ØÙÑ ÓÚ Ø Ø Ú Ð¹ Ð Ò ÓÖØØ Ô Ò ÓÖØ Øº Î Ð Ø Ò Ô Ø ØÙÒÒ Ø Ý ÓÖØØ º ÇÐ ÓÓÒ A = {, } Ø Ô ØÙÑ ØØ Ò Ô Ø Ø ÖØØ º Î Ø Ú Ø ÑÖ ¹ Ø ÐÐÒ B = {, } C = {, }º Ì Ô ØÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø ÓÚ Ø P(A) = P(B) = P(C) = 26 = º ÅÙØØ A B = A C = B C = { } 52 2 ÓØ Ò P(A B) = P(A C) = P(B C) = P({ }) = 3 52 = 4. ÆÝØ A B C ÓÚ Ø Ô Ö ØØ Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ÐÐ P(A B) = P(A)P(B) P(A C) = P(A)P(C) P(B C) = P(B)P(C)º ÃÓ A B C = { } P(A B C) = P({ }) = ( ) 3 4 P(A)P(B)P(C) = = 2 8, Ò Ò A B C ÚØ ÓÐ ÒÒ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øº Ñ Ö º Î Ð Ø Ò ÓÖØØ Ô Ø ØÙÒÒ Ø Ý ÓÖØØ º ÅÖ Ø Ð¹ ÐÒ Ø Ô ØÙÑ ØA = { Ø ÔÙÒ Ò Ò ÙÒ Ò Ø ÔÙÒ Ò Ò ÙÒ Ò Ø Ö} M = {ÑÙ Ø } R = {Ö Ø }º Ë ÐÐÓ Ò P(A) = 8 52 P(M) = 2 P(R) = 4 º Ì Ô ØÙÑ A M R = {Ö Ø } ÌÓ ÐØ P(A M R) = P(A)P(M)P(R) = 8 52 2 4 = 52. P(M R) = P(R) = 4 P(M)P(R) = 8, P(A M) = 2 52 P(A)P(M) = 8 52 2 = 4 52, P(A R) = 52 P(A)P(R) = 8 52 4 = 2 52, ÓØ Ò Ø Ô ØÙÑ Ø A M R ÚØ ÓÐ Ô Ö ØØ Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ º Á ÒØ Ø Ø ¹ Ø P(A M R) = P(A)P(M)P(R) ÙÖ Ø Ô ØÙÑ Ò Ô Ö ØØ Ò Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ º Ì Ô ØÙÑ Ò Ò Ò Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Ú Ø ØÓØ ÙØÙ Ò Ú Ö Ò ÚÓ Ñ Ø ØÓ º ÅÖ Ø ÐÑ º Ì Ô ØÙÑ Ø A º º º A n ÓÚ Ø ÒÒ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ó Ó Ò Ò Ø Ô ØÙÑ Ò Ó Ó Ó ÐÑ A i º º º A ik < k nµ ØÓØ ÙØØ ÓÒ ( k ) k P A ij = P(A ij ). j= j=

ÄÙ Ù º ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ ÓÐÐ Ò Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ º Ì Ô ØÙÑ Ø A B ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓ¹ Ñ Ø ÓÐÐ C Ó P(A B C) = P(A C)P(B C)º º½º ÂÓÙ Ó¹ÓÔÔ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ð ÒÒ Ò ÒÒ ÐØ Ý ÝÐÐ Ø ÓÙ Ó¹ÓÔ Ò Ñ Ö ÒÒØ Ø Ø¹ Ø Ò ½º ÐÙÚÙ º Ì Ô ØÙÑ Ø A Ò ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ A c ÚØ ÚÓ ØØÙ ¹ Ñ Ò Ø ÐÐ A A c = P(A A c ) = P( ) = 0º ÌÓ ÐØ {A,A c } ÓÒ ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ò Ω Ó ØÙ ÐÐ A A c = Ω º Ì Ô ØÙÑ A Ø A c ØØÙÙ Ú ÖÑ Ø Ð P(A A c ) = P(A) + P(A c ) = º Ì Ø ÙÖ Ö ØØ Ò ÝØØ ÐÔÓ Ò Ò ÒØ Ä Ù Ó Ø µ ÅÓÖ Ò Ò ÒØ P(A) = P(A c ). º½º µ (A B) c = A c B c ÓÒ ØÖ ÔÙÚÐ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ð ÒÒ º Ë Ô Ø Ô Ò ÑÝ Ñ Ð Ú ÐØ Ò ÑÓÒ ÐÐ Ø Ô ØÙÑ ÐÐ º Ì Ô ØÙÑ ¹ Ú ÖÙÙ Ò Ð ÐÐ ÐÙ ÑÑ ÒØ Ø Ø Ò º½º µ ÙÖ Ú Ø Î Ò ÔÙÓÐ ÓÐ ØÓØØ ØØ A ØØ B ØØÙÚ Øº Ç ÔÙÓÐ Ò Ò ØÓ Ò Ò Ø Ô ØÙÑ Ø A B ØÙº ËÓÚ ÐØ Ñ ÐÐ Ò ÖØ Ò ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ò ÒØ (A c ) c = A Ò ÅÓÖ¹ Ò Ò ÒÒ Ø º½º µ ØÓ Ò Ò Ú Ø Ú ÒØ (A B) c = A c B c. º¾ Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÓÐÐ Ò Ò ÙÑ ÇÐ ÓÓÒ X Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ P( ) ÓÒ X Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ù¹ Ñ º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ø Ô ØÙÑ A Ω P(A) > 0 ÓÒ ØØÙÒÙغ ÅÖ ØØ ¹ Ð ÑÑ ÒÝØ X Ò ÓÐÐ Ò ÙÑ Ò ÝØØ Ò ÓÐÐ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò ÑÖ Ø ÐѺ ÂÓ Ø X Ò ÖÚÓ x i R Ó Ø ÚÓ ÑÑ ÑÖ Ø ÐÐ Ø Ô ØÙÑ Ò B i = {ω X(ω) = x i }. º¾º½ ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó ÓÐÐ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ ÑÙ Ò º¾º½µ P(X(ω) = x i A) = P(B i A) = P(B i A) P(A) 0, ÙÒ P(A) > 0.

º¾º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÓÐÐ Ò Ò ÙÑ ÃÓ i B i = Ω B i B j = ÐÐ i j Ò Ò º¾º¾µ P(B i A) = i i P(B i A) P(A) = P(Ω A) P(A) =. ÅÖ Ø ÐÐÒ ÒÝØ ÙÒ Ø Ó º¾º µ f(x i A) = P(B i A) = P(X = x i A), Ó ÓÒ º¾º½µ Ò º¾º¾µ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Óº ÙÒ Ø Ó º¾º µ ÓÒ X Ò ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó ÓÐÐ Aº Ñ Ö º ÂÓ X Ò ÖÚÓ ÓÙ Ó ÓÒ S X = {,2,...,N} P(X = i) = /N ÐÐ i S X Ò Ò ÒÓÑÑ ØØ X ÒÓÙ ØØ Ö ØØ Ø Ù¹ Ñ Tasd(,N)º ÅÖ Ø ÐÐÒ Ø Ô ØÙÑ A = {ω a X b} Ñ a,b N, a < b N ÓÚ Ø Ó ÓÒ ÐÙ Ù º Ë ÐÐÓ Ò P(A) = b i=a N = b a+ N P({X = k} A) = { /N; a k b 0; ÑÙÙØÓ Òº Ë X Ò ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó ÓÐÐ A ÓÒ f(x A) = b a+ ; a x b 0; ÑÙÙØÓ Ò. º¾º¾ Ø ÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó ÅÖ Ø ÐÐÒ ÒÝØ Ò Ö Ø Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X Y Ý Ø Ù¹ Ñ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó f X,Y ( )º ÇÐ ÓÓÒ X Ò ÖÚÓ ÐÙ S X = {x,...,x n } ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó f X (x i ) = p i, i n Y Ò ÖÚÓ ÐÙ S Y = {y,...,y m } ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó f Y (y j ) = q j, j mº Ë ØÙÒÒ ¹ ÑÙÙØØÙ ÒÒ X Y Ý Ø ÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó ÓÒ f X,Y (x i,y j ) = P[(X = x i ) (Y = y j )], i n, j m. Å Ö ØÒ ÐÝ Ý Ø f X,Y (x i,y j ) = p ij (X = x i ) (Y = y j ) = (X = x i,y = y j ). ÔÙÐ Ù º½ ÇÐ ÓÓÒ f X,Y (x i,y j ) = p ij, i n, j m, ØÙÒ¹ Ò ÑÙÙØØÙ Ò X Y Ý Ø ÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Óº Ë ÐÐÓ Ò

µ µ µ ÄÙ Ù º ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ n p ij = q j ÐÐ j mº i= m j= p ij = p i ÐÐ i nº n m p ij = º i= j= ÅÖ ØØ Ð ÑÑ ÒÝØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X Y Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Òº ÅÖ Ø ÐÑ º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø X Y ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ó P[(X = x i ) (Y = y j )] = P(X = x i )P(Y = y j ), i n, j m. Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X Y Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙØØ Ñ Ö ØÒ X Y º ÂÓ p ij = p i q j ÐÐ i n ÐÐ j m Ò Ò X Y º Ñ Ö º Ë ÒÙÒ ÓÒ ÖÚ ØØ Ú ØÙÒÒ Ø Ú Ð ØØÙ Ó ÓÒ ÐÙ Ù θ {0,,...,9} ÙÖ Ú Ò Ó Ò ØÙÐÓ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ º À Ø ØÒ Ð ÒØØ ¹ Ø Ò Ø Ò ØÙÐÓ µ ØØÓ Ò ØÙÐÓ Ø Ö ÔÓÖØÓ Ò ÙÖ Ú Ø ÂÓ ØÙ¹ Ð ÖÙÙÒ ØÙÐÓ ÐÑÓ Ø Ø Òθ+ ÑÙÙØÓ Ò ÐÑÓ Ø Ø Ò ØÙÐÓ θ º ÇÐ ÓÓÒ X. ØÓÒ Ö ÔÓÖØÓ ØÙ ØÙÐÓ Y 2. ØÓÒ Ö ÔÓÖØÓ ØÙ ØÙÐÓ º Ë ÐÐÓ Ò P(X = θ+) = P(X = θ ) = 0.5 P(Y = θ+) = P(Y = θ ) = 0.5º Ë Ò Ñ Ö Ö ÔÓØÓ ÙØ Ú ÒÒÓØ X = 5 Y = 5º ÖÚ Ù ÒØ { (x+y), Ó x y 2 C(x,y) = x, Ó x = y. Ó ÙÙ 75± Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÐ Ó Òº Ì Ú ÒÓÑ Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ØØ ÐÙÒ ÑÙ Ò ÐÐ Ø ØÝÐÐ ÖÚ Ù ÐÐ ÓÒ 75± Ò ÐÙÓØØ ÑÙ Ø Óº ÂÓ x y Ñ ÐÐ ÓÒ Ù Ø Ò Ò 00± Ò Ú ÖÑÙÙ ØØ ÖÚ Ù ÓÒ Ó º ÅÙÙØÓ Ò Ñ ÐÐ ÓÒ Ú Ò 50± Ò Ú ÖÑÙÙ º ÂÓ Ú Ø Ò x y ÓÒ Ö Ø ÒØ Ú ØØ ØØ Ñ ÐÐ ÓÒ ÒÓ Ø Ò 75± Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÖÚ Ù Ò (x + y)º ÃÙÒ Ú ÒØÓ 2 (x,y) ÓÒ ØÙ ÚÓ Ò ÖØÓ Ñ ÓÒ Ô Ö Ñ ØÖ θ Ó Ú ÔÚ ÖÑÙÙ º Ë ÓÒ Ù Ø Ò Ò Ö Ù Ò ÖÚ Ù Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ó Ù Ó Òº º Ð Ò Ò ØÙÐÓ Ú Ý Ò Ð Ù Ì ØÝ Ñ Ð ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø ÓÚ Ø ÓÐÐ ÑÙØØ Ø Ú ÐÐ Ø ÐÚÒ Ô ØÝØ ÓØ Ø ØÒ Ñ Ò Ø Ñ ØØ º Ê Ò ØÓ Ñ Ò Ø ÑÑ Ú Ò Ú ØÓ ÓØ ³ ÖÙÙÒÙ³ ³ Ð Ú ³ Ú Ð ÒØØ ÚÓ ÑÝ Ö ÙÒ ÐÐ Òº ÈÖ ÒØØ Ó Ø ØÙÐ ÔÖ ÒØØ Ú Ò ÐÐ ÓÐÐ ØØ ÐÝÝ Ò¹ Ú Ð ÑÔ Ò Ò Òº Î Ð Ø Ñ ØÓ ÒÒ ÝÝØØ Ð ØØ Ò¹ ÔÝ ÝÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝØØ Ø Ú ÐÐ Ø ÓØ Ø ÙÓÑ ÓÓÒº

º º Ð Ò Ò ØÙÐÓ Ú Ý Ò Ð Ù º º½ Ð Ò Ò ØÙÐÓ Ú Ì Ð ÐÙÚÙ Ð Ù Ø A A 2 Ñ Ö ØÒ ÚÓ Ò Ý Ò ÖØ Ø Ñ ÐÝ Ý Ø A A 2 º Î ØØÑ º½ ÌÙÐÓ Ú µ ÇÐ ÓÓØ A A 2 º º º A n Ñ Ø Ø Ò Ø Ô ØÙ¹ Ñ º Ë ÐÐÓ Ò º º½µ P(A A 2 A n ) = P(A )P(A 2 A )P(A 3 A A 2 ) Ó P(A A 2 A n ) > 0º P(A n A A 2 A n ), ÌÓ ØÙ º ÂÓ P(A A 2 A n ) > 0 Ò Ò Ú º º½µ Ø ØÝØ ÓÐÐ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø ÓÚ Ø ÝÚ Ò ÑÖ Ø ÐÐÝØ Ó P(A ) P(A A 2 ) P(A A 2 A n ) > 0. ÃÙÒ Ý ØÐ Ò º º½µ Ó ÔÙÓÐ Ö Ó Ø Ø Ò Ù ÓÐÐ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ú º½º½µ ÓÚ ÐØ Ò Ò P(A ) P(Ω) P(A A 2 ) P(A A 2 A 3 ) P(A A 2 A n ) P(A ) P(A A 2 ) P(A A 2 A n ), Ó ÙÔ ØÙÙ ØÓ ÒÒ ÝÝ P(A A 2 A n )º ÃÙØ ÙÑÑ Ú º º½µ Ø Ô ØÙÑ Ò Ý Ø Ò ÝÐ ØÙÐÓ Ú º ÂÓ A A 2 º º º A n ÓÚ Ø ÒÒ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ò Ò Ò P(A A 2 A n ) = P(A )P(A 2 ) P(A n ). ÇÐ ÓÓØ X,X 2,...,X n Ö Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ S,S 2,...,S n Ò ¹ Ò ÖÚÓ Ð٠غ ÅÖ Ø ÐÐÒ Ø Ô ØÙÑ Ø A i = {X i = x i }, i =,2,..., Ñ x i S i º Ë ÐÐÓ Ò ÚÓ ÑÑ Ö Ó ØØ ÖØÓÐ Ù Ú Ò º º½µ ÚÙÐÐ º º¾µ P(X = x, X 2 = x 2,..., X n = x n ) = P(X = x )P(X 2 = x 2 X = x )P(X 3 = x 3 X = x,x 2 = x 2 ) P(X n = x n X = x,..., X n = x n ). P(X = x, X 2 = x 2,..., X n = x n ) ÓÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X X 2 º º º X n Ý Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ Ó ÓÒ Ð Ù ÙØØÙ Ô Ö Ø Ò ÓÐÐ Ø Ò ØÓ ÒÒ ¹ ÝÝ Ò ÚÙÐÐ º

ÄÙ Ù º ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Ñ Ö º ËÝÒØÝÑÔ ÚÓÒ ÐÑ ÙÙ ÐÐ Òµ ÇÐ ÑÑ Ó Ñ¹ Ñ Ò ÑÔÐ ØØ Ø ÓÚ ÐØ Ò Ø ÝÐ Ø ØÙÐÓ Ú º º½µº Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÙÙ¹ ÐÐ Ò Ñ Ö Ò ¾º ÝÒØÝÑÔ ÚÓÒ ÐÑ º ÃÙØ Ù ÐÐ ÓÒ r Ò Ð º Šй Ð ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÐ Ò Ò ÐÐ Ò Ð ÐÐ ÓÒ Ñ ÝÒØÝÑÔ Ú ÃÝØ ÑÑ ÓÒ Ó ÒÓØØ Ð Ø Ò Ñ Ø ØÙÒÒ Ö Ö ØÝ µ Ó¹ ÓÒ ÝÒØÝÑÔ ÚØ ÓÒ Ñ Ö ØØÝ Ö Ù ÚÙÓØØ ÓØ Ø ÙÓÑ ÓÓÒµº ÃÝ Ò Ð Ø ÐÔ ÐÙ Ø Ð Ø Ò Ö ØÝ Ò Ò Ô Ø ÐÐ ÙÒÒ Ð Ý ØÒ ÝÒ¹ ØÝÑÔ Ú Ó Ó ÓÐ Ð Ø ÐÐ ÑÑ Òº Ë ÐÐÓ Ò Ø ÒØ ÐÓÔ Ø Ø Ò Ò ØÓ Ø Ò ØØ Ò Ò ÐÐ Ú Ö ÐÐ ÓÒ Ñ ÝÒØÝÑÔ Úº ÂÓ Ð Ø Ô ØÒ ÐÔ Ð ÝØÑØØ ØÓ ØÓ ÐÐÒ ÓÐ Ñ ÝÒØÝÑÔ Úº ÇÐ ÓÓÒ B j Ø Ô ØÙÑ ØØ Ø Ö ØÙ ÐÓÔ Ø Ø Ò jº Ú Ö Ò Ó ¹ Ò Ò Ó ÐÐ Ò ÙÓÑ Ø Ò ½º ØÓ ØÙÚ ÝÒØÝÑÔ Úº ÇÐ ÓÓÒ A j Ø Ô ØÙÑ ØØ j ÐÐ Ò ÑÑ ÐÐ ÓÒ Ö ÝÒØÝÑÔ Úº Ë ÐÐÓ Ò A c r = B 2 B 3 B r ÓÒ Ø Ô ØÙÑ ØØ Ò Ò ÐÐ ÓÒ Ñ ÝÒØÝÑÔ Úº ÃÓ Ø Ô ØÙ¹ Ñ Ø B 2 B 3 º º º B r ÓÚ Ø ØÓ Ò ÔÓ ÙÐ Ú Ø Ò Ò Ñ P(A c r ) = P(B 2)+P(B 3 )+ +P(B r ), P(A c r ) = P(A r). Ä Ø Ò Ý ÝØØÝ ØÓ ÒÒ ÝÝ P(A c r ) ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò P(A r) ÚÙÐÐ º ÃÙÚ Ø Ò Ø Ö ØÙ ÔÖÓ ØÓ ØÓ Ó Ò 365 B 2 B 3 B 4 B 5 B r 364 365 2 365 363 365 3 365 362 365 4 365 r 365 365 (r ) 365 A A 2 A 3 A 4 A r A r ÂÓØØ Ø Ö ØÙ ÔÖÓ Ñ Ò Ó Ó Ð Ø Ò ÐÔ ØØÙÙ Ø Ô ØÙÑ A r Ð ¹ ÐÐ Ú Ö ÐÐ ÓÒ Ö ÝÒØÝÑÔ Úº Ë Ø ÒÒ Ò ÓÚ Ø ØØÙÒ Ø A 2 A 3 º º º A r º Ñ Ö A 2 ÓÒ Ø Ô ØÙÑ ØØ Ø Ö ØÙ ÔÖÓ ÔÝ Ý ¾º Ú ¹ Ö Ò Ú Ò Ò ÐÐ ÓÒ Ö ÝÒØÝÑÔ Ú Ù Ò ½º Ú Ö ÐÐ º ÌÓ ÒÒ ÝÝ P(A 2 ) = 364 365 = 365 = P(B 2). Ó Ú Ð ØØ Ú Ò ÓÒ 364 Ô Ú ÓØ ÔÓ Ú Ø ½º Ú Ö Ò ÝÒØÝÑÔ Ú¹ Ô Ú Øº ÂÓ j Ò Ò ÑÑ Ò ÝÒØÝÑÔ ÚÒ ÓÙ Ó ÓÐ ÑÓ Ò Ò ÑÝ Ò i Ò Ò ÑÑ Ò Ó i < j ÓÐÐÓ Ò A i A j º Ì Ø ÙÖ ØØ A 2 A 3 A j = A j P(A j+ A 2 A 3 A j ) = P(A j+ A j ) = 365 j 365 = j 365.

º º Ð Ò Ò ØÙÐÓ Ú Ý Ò Ð Ù ËÓÚ ÐØ Ñ ÐÐ Ø Ô ØÙÑ Ò Ý Ø Ò ØÙÐÓ Ú Ò P(A r ) = P(A 2 A 3 A 4 A r ) = P(A 2 )P(A 3 A 2 )P(A 4 A 2 A 3 ) P(A r A 2 A r ) = P(A 2 )P(A 3 A 2 )P(A 4 A 3 ) P(A r A r ) = 364 365 363 365 362 365 r + 365 365 = 365(r) 365 r. º º¾ Ý Ò Ð Ù È ØÓÖ Ì ÓÑ Ý Ò ½ µ ÑÙ Ò Ò Ñ ØØÝ Ð Ù ÙÖ ÙÓÖ Ò Óй Ð Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Øº Ý Ð Ò Ò Ð ØÝÑ Ø Ô Ø Ð ØÓ¹ Ø Ø Ò Ô ÖÙ ØÙÙ Ø Ò Ð Ù Òº ÇÐ ÓÓØ H H 2 º º º H k ÐÐ Ø Ø Ô ¹ ØÙÑ Ø ØØ k H i H j = (i j) H i = Ω. ÆÝØ Ø Ô ØÙÑ ÓÙ Ó H H 2 º º º H k ÑÙÓ Ó Ø ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ò Ω Ó ¹ ØÙ Òº ÌÑ Ø Ö Ó ØØ Ø ØØ Ý Ú Ò Ý Ø Ô ØÙÑ Ø H H 2 º º º H k ØØÙÙ ÙÒ Ø Ò ØÙÒÒ Ó E ÓÒ ÓØÓ Ú ÖÙÙ ÓÒ Ωº ÇÐ Ø ÑÑ Ð ØØ P(H i ) > 0 ÐÐ i =,2,...,kº i= Ä Ù º¾ ÇÐ ÓÓÒ Ω = i H i Ó Ò ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ò Ó ØÙ º Ë ÐÐÓ Ò Ñ Ò Ø Ò Ø Ô ØÙÑ Ò T Ω ØÓ Ò¹ Ò ÝÝ ÚÓ Ò Ð Ù Ù ÑÙÓ Ó º º µ P(T) = i P(H i )P(T H i ). ÌÓ ØÙ º ÂÓÙ Ó¹ÓÔ Ò ÒØ Ò ÒÓ ÐÐ Ò ( ) T = ΩT = H i T = H i T, i i Ó Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò P Ø Ú ÙÙ Ò ÅÖ Ø ÐÑ ¾º µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ù¹ Ö Ú ( ) P(T) = P H i T = P(H i T). i i ÃÙÒ Ú Ò Ó Ø Ø Ò P(H i T) = P(H i )P(T H i ), Ò º º µº

¼ ÄÙ Ù º ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ ÂÓ Ú º º µ Ó ÒP(H i ) = 0 Ú Ø Ú ÙÑÑ Ò Ø ÖÑ ÓÒ0 Ú P(T H i ) ÓÐ Ò ÑÖ Ø ÐØݺ Ã Ú º º µ ÙØ ÙØ Ò Ó ÓÒ ØÓ ÒÒ¹ ÝÝ Ò Ú º ÇÐ ÓÓØ X Y Ó ÓÒ ÐÙ Ù ÖÚÓ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø k Ó Ò Ó Ó¹ Ò ÐÙ Ùº ËÓÚ ÐØ Ñ ÐÐ Ú º º µ Ø Ô ØÙÑ Ò Ò H i = {X = i}, T = {Y = k} º º µ P(Y = k) = i P(X = i)p(y = k X = i), Ñ ÙÑÑ Ý ÝÐ Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù Òº ÂÓ P(X = i) = 0 Ò Ò Ú Ø Ú Ý Ø ÒÐ ØØ Ú ÙÑÑ ÓÒ 0º Ã Ú ÓÒ ÐÔÔÓ ÝÐ Ø Ñ ÐÐ Ø Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÐÐ X ÓÒ ÖÚÓ ÓÙ Ó S X ÓÒ ÒÙÑ ÖÓ ØÙÚ ºY ÚÓ ÓÐÐ Ó Ò ÝÐ ÑÔ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÚÐØØÑØØ Ó ÓÒ ÐÙ Ù ÖÚÓ Ò Ò Ø Ô ØÙÑ T = {Y = k} ÚÓ Ò ÓÖÚ Ø Ú Ô Ø Ô ØÙÑ ÐÐ T = {Y > a} a Rº Ñ Ö º½¼ Å Ð Ø Ó µ Å ÐÐ ÓÒ Ð Ø Ó Ó Ò ÒÙÑ ÖÓØ ÓÚ Ø i =,2,3º Ä Ø Ó i ÓÒ i Ú Ð Ó Ø Ô ÐÐÓ Ý ÑÙ Ø º Ì Ð ÒÒ ÓÒ Ó Ò ÙÚ ÓÒ ÐØ Ò Ò Ä Ø Ó ½ Ä Ø Ó ¾ Ä Ø Ó Ð Ø Ó Ú Ð Ø Ò ØÙÒÒ Ø Ö ØØÓÑ Ò ÒÓÔ Ò ØÓÐÐ º ÂÓ Ðѹ ÐÙ Ù ÓÒ k Ú Ð Ø Ò Ð Ø Ó ÓÒ ÒÙÑ ÖÓ i = k 2 ÓÒ k ÔÝ Ö Ø ØØÝÒ Ð Ñ¹ 2 ÔÒ ÙÙÖ ÑÔ Òµ Ó ÓÒ ÐÙ ÙÙÒº ÂÓ Ñ Ö k = k 3 Ò Ò 2 = 2 Ú Ð Ø Ò Ä Ø Ó 2º ÃÙÒ Ð Ø Ó ÓÒ Ú Ð ØØÙ ÔÓ Ñ Ø Ò Ú Ð ØÙ Ø Ð Ø Ó Ø ØÙÒÒ Ø Ý Ô ÐÐÓº ÃÙÒ Ú Ð ØÙÒ Ô ÐÐÓÒ ÚÖ ÓÒ Ø Ó ÖÚ Ø Ò Ñ Ø Ð Ø Ó Ø Ô ÐÐÓ ÓÒ Ú Ð ØØÙº Å ÓÒ ÖÚ Ù Ó Ú Ð ØØÙ Ô ÐÐÓ ÓÒ Ú Ð Ó Ò Ò ÌÙÒØÙ Ö Úй Ø ÖÚ Ø Ä Ø Ó Ó ÐÐ ÓÒ Ù Ø ÐÐ Ø Ò Ø Ò Ú Ð Ó º ÇÐ ÓÓÒ H i = {È ÐÐÓ Ä Ø Ó Ø i} T = {È ÐÐÓ Ú Ð Ó Ò Ò}º ÖÚ ÓÒ Ú ÖÑ ÒØ Ñ Ð Ø Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø º º µ P(H i T) = P(H it) P(T), i =,2,3. Ë ÙÖ Ú ÙÚ Ó ÓÒ Ø ØØÝ Ú ÒÒÓÐÐ Ø Ø Ð ÒØ Ò Ð ØØÝÚØ ØÓ Ò¹ Ò ÝÝ Øº

º º Ð Ò Ò ØÙÐÓ Ú Ý Ò Ð Ù ½ 3 3 3 Î Ð Ø Ò Ð Ø Ó ½º ¾º 2 3 3 4 2 3 2 Î Ð Ø Ò Ô ÐÐÓ º 4 ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ò ØÙÐÓ Ú Ò ÑÙ Ò P(H i T) = P(H i )P(T H i ) = 3 i i+, i =,2,3. ÃÓ 3 i= H it = T T T 2 T 3 ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø T Ò Ó ØÙ Ò Ò Ò Ý ¹ Ø ÒÐ ÙÐ Ù Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ã Ú Ø º º µ Ò P(T) = 3 2 + 3 2 3 + 3 3 4 = 23 36. P(H i T) = i 3 i+ 23 36 = 2 23 i i+, i =,2,3. ÂÓ Ú Ø Ä Ø Ó ØÓ ÒÒ ÝÝ Ó Ù Ó Ò ÓÒ 9 23 º Ä Ø ÓÐÐ ½ Ú Ø Ú ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ 6 8 Ä Ø ÓÐÐ ¾ ÓÒ º ÁÒØÙ Ø Ú Ø Ó ÐØ 23 23 ØÙÒØÙÒÙØ Ä Ø ÓÒ Ú Ð ÒØ ÓÒ Ô Ö ÖÚ Ù º Ä Ù º Ý Ò Ð Ù µ ÇÐ ÓÓÒ H H 2 º º º H k ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ò Ω Ó ¹ ØÙ T ÐÐ Ò Ò Ø Ô ØÙÑ ØØ P(T) > 0º Ë ÐÐÓ Ò º º µ P(H i T) = P(H i )P(T H i ) k j= P(H j)p(t H j ). ÌÓ ØÙ º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ò ØÙÐÓ Ú Ò ÒÓ ÐÐ Ò Ñ Ø ÙÖ P(H i T) = P(H i )P(T H i ) = P(T)P(H i T), P(H i T) = P(H i)p(t H i ). P(T) Ä Ù Ò º¾ ÑÙ Ò P(T) = j P(H j)p(t H j ) ÓØ Ò Ú º º µ ÓÒ ØÓ Ø ØØÙº

¾ ÄÙ Ù º ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Ã Ú º º µ ÙØ ÙØ Ò Ý Ò ÒÒ º Ì Ô ØÙÑ Ø H H 2 º º º H k ÚÓ Ò Ù Ò Ø ÐÐ ÝÔÓØ Ó Ø Ø ÑÐÐ Ò Ý ÓÒ ØÓ º T ÓÒ Ø Ó Ò ØÙÒÒ ØØÙ Ø ØÓ ØÙÒÒ Ó Ò ØÙÐÓ Ø Ø ÑÑ ØØ Ø Ô ¹ ØÙÑ T ÓÒ ØØÙÒÙغ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø P(H i ) i =,2,...,k ÓÚ Ø ÝÔÓ¹ Ø Ó Ú Ò º ÔÖ ÓÖ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓØ ÚÓ Ú Ø ÙÚ Ø Ù Ó Ø ÐÙÓØØ ÑÙ Ø Ý Ò ÝÔÓØ Òº ÓÐÐ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝØØ P(H i T) ÙØ ÙØ Ò ÝÔÓØ Ò H i ÔÓ Ø Ö ÓÖ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø ÔÓ Ø Ö ÓÖ ÐÙÓØØ ¹ ÑÙ ÝÔÓØ Ò H i º Ì Ô ØÙÑ Ò T ØÓ ÒÒ ÝÝ P(T H i ) ÓÐÐ ØØ ÝÔÓØ H i ÓÒ ØÓ ÓÒ Ø Ô ØÙÑ Ò T Ù ÓØØ ÚÙÙ Ð Ð ÓÓ µ Óй Ð H i º º º È Ö ÓØ ÒØ ÈÓÔÙÐ Ø Ó ÓÒ N Ò Ð Ó Ø Np 0 p µ Ò Ð ÒÒ ØØ ÔÙÓ¹ ÐÙ ØØ A ÐÓÔÙØ N Np ÚØ ÒÒ Ø A Ø Ø º ÒÒ ØØ Ú Ø ÓØ Ò ÑÙÙØ ÔÙÓÐÙ ØØ ÚØ ÒÒ Ø Ñ ØÒ ÔÙÓÐÙ ØØ ÚØ ÓØ ÒØ ÝÑ ºµº À Ð٠ѹ Ñ Ø ÑÓ ÒÒ ØØ Ò Ù Ø ÐÐ Ò Ó ÙÙ Ò p Ó ÓÒ ØÙÒØ Ñ ØÓÒ Ô ¹ Ö Ñ ØÖ º À Ø ØØ Ð Ý ÝÝ n Ò ØÙÒÒ Ø Ú Ð ØÙÒ Ò Ð Ò Ñ Ð Ô Ø Ò ÓØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ñ ØØ µº ÅÖ Ø ÐÐÒ {, Ó iº Ø Ø ÐØ Ú ÒÒ ØØ A Ø ; X i = 0 ÑÙÙØÓ Ò, Ñ i n n Nº Ì Ö Ø ÐÐ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÓÒÓ {X,X 2,...,X n } Ø ÐÝ Ý Ø {X i i n}º ÌÐÐ Ø ÓÒÓ ÙØ ÙØ Ò ØÓ Ø ÔÖÓ Ñ ÓÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ô Ö Ø ÝØ ØØÝ Ò ¹ Ñ ØÝ º Å Ö ØÒ ÒÝØ A i = {X i = } A c i = {X i = 0}º Ë ÐÐÓ Ò Ó ÓÒ ØÓ Ò¹ Ò ÝÝ Ò Ú Ò ÑÙ Ò º º µ P(A 2 ) = P(A )P(A 2 A )+P(A c )P(A 2 A c ). À ÐÔÓ Ø Ò Ò ØØ ÌÓ ÐØ P(A ) = Np N = p P(Ac ) = N Np N P(A 2 A ) = Np N = p. P(A 2 A c ) = Np N, Ó ½º Ø Ø ÐÐÙÒ Ð Ò Ð ÐÐ ÓÒ N Ø Ø ÐØ Ú Ó Ò ÓÙ Ó ÓÒ Np A Ò ÒÒ ØØ Ó ½º Ø Ø ÐØ Ú ÓÐ A Ò ÒÒ ØØ º ÂÓ ½º Ø Ø ÐØ Ú ÓÐÐÙØ A Ò ÒÒ ØØ Ò Ò Ð ÐÐ ÓÒ Ú Ð Np A Ò ÒÒ Ø¹ Ø º ÃÙÒ ÒÑ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ó Ø Ø Ò Ú Ò º º µ Ò P(A 2 ) = p Np N +( p) Np N = p.

º º Ð Ò Ò ØÙÐÓ Ú Ý Ò Ð Ù Æ Ò ÓÐ ÑÑ Ó Ó ØØ Ò Ø ØØ P(A ) = P(A 2 )º ÅÙØØ ØÑ ØÙÐÓ Ô Ø Ô ¹ Ò ÝÐ Ø º º µ P(A i ) = p, i =,2,...,n; n N. ÆÝØÑÑ ÒÝØ ØØ ØÑ ÝÐ Ò Ò ØÙÐÓ Ô Ø Ô Ò º ÎÓ ÑÑ Ø ÐÐ ØØ A Ò ÒÒ ØØ Ø ÓÒ ÒÙÑ ÖÓ ØÙ 2 º º º Np ÑÙÙØ Np+ Np+2 º º º Nº ÃÝ ÝÑÝ ÓÒ ÓØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ñ ØØ ÙÒ Ö ØÝ ÓØ Ø Ò ÙÓÑ ÓÓÒº Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ø Ô ØÙÑ A i+ ØØ(i+)º Ø Ø ÐØ Ú ÓÒA Ò ÒÒ ØØ º Ã Ò (i + ) Ò Ó Ó Ø Ò Ö Ø ØØÝ Ò ÓÒÓ Ò ÓØÓ Ø Òµ ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ N (i+) º Ë ÐÐ ÓÒÓ Ó (i+)º Ð Ó ÓÒ ½ A Ò ÒÒ ØØ µ ÓÒ Np(N ) (i) ÔÔ Ð ØØ Ó A Ò ÒÒ ØØ ÚÓ Ò Ú Ð Ø Np Ø Ú ÐÐ ÐÓÔÙØ i ÓØÓ Ð ÓØ (N ) (i) Ø Ú ÐÐ º ÌÙÐÓÔ Ö ØØ Ò ÑÙ Ò ÙÓØÙ ÓØÓ ÓÒ Np(N ) (i) ÔÔ Ð ØØ º Ì Ø ÙÖ ØØ P(A i+ ) = Np(N )(i) N (i+) = pn(n ) (N i+) N (i+) = pn(i+) N (i+) = p. ÇÐ ÑÑ Ò Ò ØÓ Ø Ò Ø ØÙÐÓ Ò º º µ ÅÖ Ø ÐÐÒ ÒÝØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ X = X +X 2 + +X n, Ó ÓÒ A Ò ÒÒ ØØ Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓØÓ º Ì ÑÑ Ð ÐÙÚÙÒ ¾º º½ Ø Ö Ø ÐÙ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ØØ X ÒÓÙ ØØ ÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ø ÙÑ º Ë ¹ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ Ø ÐÐÒ Ý Ø Ñ ØØ Ø Ú Ø ÙÖ Ú ÐÙÚÙ ÑÙØØ ØÑÑ Ó Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X Ó ÓØÙ ÖÚÓÒº Ë ¹ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X i Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÓÒ E(X i ) = p+0 ( p) = p, i =,2,...,n. Â Ø Ó ØÙÐÐ Ò ØÓ Ø Ñ Ò ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÙÑÑ Ò Ó ÓØÙ Ö¹ ÚÓ ÓÒ Ý Ø ÒÐ ØØ Ú Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ Ò ÙÑÑ º Ç ÓØÙ ÖÚÓ ÓÒ Ð Ò Ö Ò Ò ÓÔ Ö ØØÓÖ º Ì Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø ÙÖ ØØ E(X) = E(X )+E(X 2 )+ +E(X n ) = p+p+ +p = np. º º Í Ò Ø Ô ØÙÑ Ò ÙÒ ÓÒ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ä Ù ¾º Ø ØØ Ò ÓÐÑ Ò Ø Ô ØÙÑ ÒA A 2 A 3 ÙÒ ÓÒ Ò ØÓ ÒÒ ¹ ÝÝ Ò P(A A 2 A 3 ) Ð Ù º Ð Ø ØÒ ÒÝØ ØÑ ØÙÐÓ n Ò Ø Ô ØÙÑ Ò A A 2 º º º A n ÙÒ ÓÒ Ò Ø Ô Ù Òº Ð ÐÙÚÙ ¾º ÑÖ Ø ÐØ Ò Ø Ô ØÙÑ Ò

ÄÙ Ù º ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Ò ØØÓÖ ÙÒØ Ó ÅÖ Ø ÐÑ ¾º µ Ó ÓÒ ÖÚÓ Ò Ò ØÙÒÒ ÑÙÙع ØÙ º Ì Ô ØÙÑ Ò A ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ Ò Ò ØØÓÖ ÙÒ Ø ÓÒ I A ÖÚÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ð P(A) = P(I A = )º ÁÒ ØØÓÖ ÙÒ Ø ÓÒ I A Ó ÓØÙ ÖÚÓ E(I A ) = P(I A = )+0 P(I A = 0) = P(I A = ) = P(A). Ø Ô ØÙÑ Ò A ØÓ ÒÒ ÝÝ º ÌØ Ò ØØÓÖ ÙÒ Ø ÓÒ ÓÑ Ò ÙÙØØ Ý¹ Ø ØÒ ÙÖ Ú Ò Ð Ù Ò ØÓ ØÙ º Ä Ù º ÇØÓ Ú ÖÙÙ Ω ÑÖ Ø ÐØÝ Ò Ø Ô ØÙÑ Ò A A 2 º º º A n ÙÒ ÓÒ Ò n i= A i ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ º º µ ( n ) P A i = i= n P(A i ) i= n n P(A i A j )+ P(A i A j A k ) j>i k>j>i + +( ) n P(A A 2 A n ). ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ α i = I Ai Ø Ô ØÙÑ Ò A i Ò ØØÓÖ ÙÒ Ø Ó Ð {, ÙÒ ω A i α i (ω) = 0, ÙÒ ω A c i. ÀÙÓÑ ØØ Ø Ô ØÙÑ Ò A c i Ò ØØÓÖ ÙÒ Ø Ó ÓÒ α i Ø Ô ØÙÑ Ò A c Ac2 Ac n Ò ØØÓÖ ÙÒ Ø Ó n i= ( α i)º ÃÓ n i= A i = (A c Ac2 Ac n )c Ò Ò Ò Ò ØØÓÖ ÙÒ Ø Ó ÓÒ n º º½¼µ I A i = ( α i ) = i= n α i i= n α i α j + j>i n k>j>i α i α k α k + +( ) n α α 2 α n. ÃÙÒ ÒÝØ Ý ØÐ º º½¼µ ÓØ Ø Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓØ ÔÙÓÐ ØØ Ò ÝØ ØÒ ÝÚ Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ Ð Ò Ö ÙÙØØ Ò ØÙÐÓ º º µ ÐÐ E(I A i ) = P ( n ) A i, E(αi ) = P(A i ) i= E(α i α j ) = P(A i A j ),...,E(α α 2 α n ) = P(A A 2 A n ). Ñ Ö º½½ Ø Ò ÓÔ ÚÙÙ ÓÒ ÐÑ µ Å ÐÐ ÓÒ n Ò ÓÖØ Ò ÓÖØØ Ô Ó Ò ÓÖØ Ø ÓÒ ÒÙÑ ÖÓ ØÙ ÙÓ Ú Ø Ø n Òº Ø Ø Ò ½º Ô Ò ÓÖØ Ø Ô Ý ÐÐ Ö Ú Ò ÒÙÑ ÖÓ Ö ØÝ 2 º º º nº Ë Ó Ø Ø Ò

º º Ð Ò Ò ØÙÐÓ Ú Ý Ò Ð Ù ¾º Ô Ø Ø Ò ÓÖØ Ø Ö Ú Ò Ô Ý ÐÐ Ù ØÙÒÒ Ö ØÝ º Å ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ iº ÓÖØ Ò ÒÙÑ ÖÓ ÓÒ i Ë ÐÐÓ Ò ÑÓÐ ÑÑ Ö Ú iº ÓÖØØ ÓÒi Ð ÓÒ ØÙi¹Ô Ö º Å ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ Ò Ò Ò Ý Ô Ö Ê Ø Ùº ÇÐ ÓÓÒ A i Ø Ô ØÙÑ ØØ Ò i¹ô Ö º È Ò ¾ ÓÖØ Ø ÚÓ ¹ Ò ØØ n! Ö Ð Ò Ö ØÝ Òº ÂÓ ÒÙÑ ÖÓ i ÒÒ Ø ØÒ iº Ô ÐÐ Ò Ò ÐÓÔÙØ ÓÖØ Ø ÚÓ Ò ØØ (n )! Ö Ð Ò Ö ØÝ Ò ÓØ Ò º º½½µ P(A i ) = (n )! n! = n. ÂÓ ÒÒ Ø ØÒ i¹ô Ö j¹ô Ö i jµ Ò Ò ÐÓÔÙØ (n 2) ÓÖØØ ÚÓ Ò Ô ÖÑÙØÓ (n 2)! Ø Ú ÐÐ º Ë ÐÐÓ Ò º º½¾µ P(A i A j ) = (n 2)! n! = n(n ). Î Ø Ú ÐÐ Ø Ú ÐÐ ÚÓ Ò Ð ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ Ò i¹ô Ö j¹ô Ö k¹ô Ö i j kµ º º½ µ ÝÐ Ø P(A i A j A k ) = (n 3)! n! = n(n )(n 2) P(A i A i2...a im ) = (n m)! n! = n(n ) (n m+), m n. ÌÓ ÒÒ ÝÝ ØØ Ò Ò Ò Ý Ô Ö ÓÒ Ä Ù Ò º ÑÙ¹ Ò ( n ) ( ) ( ) ( ) n n P A i = n n 2 n(n ) + 3 n(n )(n 2) i= = 2! + 3! + +( )n n!. + +( ) n n! ÀÙÓÑ ØØ 2! + 3! + +( )n n! + = ( ) i i= i! = e = 0.632... ÃÙÒ n ÓÒ ÙÙÖ Ò Ò ( n ) P A i e = 0.632... i= ËÙÙÖ ÐÐ n Ò ÖÚÓ ÐÐ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ò Ý Ô Ö ÓÒ ÝÚ Ò Ð ÐÐ ÐÙ Ù 0.632º

ÄÙ Ù º ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Ø ÒÚ ØÓ ÌÓ ÒÒ ÝÝ ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ P(B A) = P(AB), P(A) 0. P(A) ÌÙÐÓ ÒØ P(AB) = P(A)P(B A)º Ð Ò Ò ØÙÐÓ Ú P(A A 2 A 3 A n A n ) = P(A )P(A 2 A )P(A 3 A A 2 ) P(A n A A 2 A n ). Ê ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ ºA B ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ó P(AB) = P(A)P(B)º P(A Ø A 2 Ø A 3 ) P(A A 2 A 3 ) = P(A )+P(A 2 )+P(A 3 ) P(A A 2 ) P(A A 3 ) P(A 2 A 3 )+P(A A 2 A 3 ). Ý Ò Ð Ù ÃÓ ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ P(T) = k P(H i )P(T H i ), i= Ñ T Ω H H 2 º º º H k ÓÒ Ω Ò Ó ØÙ º Ý Ò Ú P(H i T) = P(H i )P(T H i ) k j= P(H j)p(t H j ). ÈÖ ÓÖ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø P(H i )º ÈÓ Ø Ö ÓÖ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø P(H i T) i =,2,...,nº Í ÓØØ ÚÙÙ º P(T H i ) ÓÒ Ø Ô ØÙÑ Ò T Ù ÓØØ ÚÙÙ ÓÐÐ ØØ H i ÓÒ ØÓ º

À Ö Ó ØÙ À Ö Ó ØÙ ½º ÈÓÔÙÐ Ø Ó ÓÒ M Ñ Ø N Ò Ø º Å ÓÒ m Ò n ØÙ¹ Ô Ó Ø º ÈÓÔÙÐ Ø Ó Ø Ú Ð Ø Ò ØÙÒÒ Ø Ý º A ÓÒ Ø Ô ØÙÑ ØØ Ú Ð ØØÙ ÓÒ Ñ B Ø Ô ØÙÑ ØØ ÓÒ Ú Ð ØØÙ ØÙÔ Ó Ø º Å Ø ÓØ ÐÙ ÙÑÖ Ò M N m n ÓÒ ØÓØ ÙØ ØØ Ú ÓØØ A B ÓÚ Ø ØÓ Ø Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ¾º Ä ÒÒÓÐÐ À Ú ÒÒ Ø À Ð Ò Ò Ð Ù ÙÒ ÚØ ÓÐÐ Ø Ô Ö ÐÐ À Ð Ò Ñ Ò Ò Ù Ò Ñ Òº Ä Ù Ù ÓÒ Ö Ø ÐÐ ÖÖ ØØÝ ÓÒ Ø ØÓ Ò ÖØ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø ØØ ÖØÓ ÓÐ Ø ØÝ Ó Ø Ó Ò ÓÚ Ø ÖØÓ Ö ØÝ 0.4 0.2 0.º Å ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ Ú Ö ØØÙ Ó Ò ÑÑ ÖÖÓ º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ð Ô Ô Ö Øº ÇÐ Ø Ø Ò ÔÓ Ø ØÝØ Ø Ý Ø ØÓ Ò¹ Ò ¾º Ð Ô Ò Ù ÙÔÙÓÐ ÓÒ Ö ÔÔÙÑ ØÓÒ ½º Ð Ô Ò Ù ÙÔÙÓÐ Ø º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ò Ð Ø Ô ØÙÑ A = ½º Ð Ô ÓÒ ÔÓ, B = Ð Ô Ø ÓÚ Ø Ö Ù ÙÔÙÓÐØ, C = ½º Ð Ô ÓÒ ØÝØØ, D = ¾º Ð Ô ÓÒ ÔÓ. µ Å Ø Ø Ô ØÙÑ Ô Ö Ø {A,B} {A,C} {B,C} ÓÚ Ø ÒÒ Ö Ô¹ ÔÙÑ ØØÓÑ Ø µ ÇÚ Ø Ó Ø Ô ØÙÑ Ø A B D ÒÒ Ð ØÝ ÐÐ Ø Ö ÔÔÙ¹ Ñ ØØÓÑ Ø º Ä Ù Ù Ò ÐØ ØÙÐ Ú Ø ÔÙÐÐÓØ ÓÚ Ø Ú ÒØÙÒ Ø ØÓ Ø Ò Ö ÔÔÙÑ ØØ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÐ 0.2º À Ò ÐØ ØÙÐ Ú Ø ÔÙÐÐÓØ Ø Ö Ø Ø Ò Ú ÒØÙ¹ Ò Ø ÔÓ Ø Ø Ò ÐÓÔÙØ Ô Ø Ò ½¾ ÔÙÐÐÓÒ Ð Ø Ó Òº µ Å ÐÐ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÐ ÓÒ ØÙØ ØØ Ú Ø ÑÐÐ Ò ½ ÔÙÐÐÓ ÙÒ¹ Ò Ð Ø Ó Ò ØÝØ Ò µ Ò Ò ½ ÔÙÐÐÓ ÙÒÒ Ð Ø Ó Ò ØÝØ Ò º Ä Ö ÐÐ ÓÐ Ó Ø ÙÐÙ Ó Ø ØØÝ ÙÙ Ò Ó ÓÒ Ú ÙØÙ Ø Ó ¹ Ú ÔÓØ Ð Ò ØÓ ÙÙ ÙÔÙÒ ÙÙ Ñ Ù ÙÐÐ Ë ÒÙØ Ó ÓÒ Ó ØÓ Ë ÒÙØ Ó ÓÒ Ó ØÓ ÐÓ 000 50 95 5000 ÃÙÓÐÐÙØ 9000 950 5 5000

ÄÙ Ù º ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ø Ô ØÙÑ A = ³ÔÓØ Ð ÐÓ ³ B = ³ ÒÙØ Ó ÓÒ³ C = ³ ÙÙ ÙÔÙÒ ³º Ø ÑÓ Ø ÖÚ ØØ Ú Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ø ÙÐÙ ÓÒ Ö Ú Ò Ò ÚÙÐÐ Ð µ P(A B) P(A B c ) µ P(A BC) P(A B c C) P(A BC c ) P(A B c C c )º µ ÇÐ Ó Ó Ó Ø ÔÙ