9. Särmiä pitkin matka on a. Avaruuslävistäjää pitkin matka on a + a + a a a Matkojen suhde on 0,577, eli avaruuslävistäjää pitkin kuljettu matka on a 00 % 57,7 % 4, % lyhyempi. Vastaus: 4, % 0. Tilavuus on 000 cm. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan korkeus V Ah 000 cm V 000 h 0,8 cm A Vastaus: 0,8 cm Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhdenmuotoisuus 40. a) Kolmion kolmannen kulman suuruus on 80 45 6 7. Kulman 7 vieruskulman on 80 7 08. Koska l l, niin myös kulma α on 08. b) Muodostetaan yhtälöpari α + 80 + α 80 Ratkaisemalla yhtälöpari saadaan α 7. Vastaus: a) α 08 b) α 7 40. Kolmion suurin kulma on 67. Komplementtikulma: 90 67 Suplementtikulma: 80 67 Vastaus: Komplementtikulma on ja suplementtikulma on. 404. Nelikulmion kulmien summa on 60. + + + 40 + + 5 60 5 9 8,6 Suurin kulma on + 5 8,6 + 5 0,8. Vastaus: Suurin kulma on 0,8. 57
405. Kulman 54 vieruskulma on 80 54 6. Koska nelikulmion summa on 60, niin 60 9 80 6 6 Kulman vieruskulma on 80 6 8. Koska nelikulmion summa on 60, niin y 60 8 54 70 8 Vastaus: 6, y 8 406. Koska kolmion suurin kulma on yhtä suuri kuin kaksi muuta kulmaa yhteensä, niin suurimman kulman suuruus on 80 : 90. Vastaus: Suurimman kulman suuruus on 90. 407. a) Lasketaan sivujen pituuksien suhde 40 0 65 65 4 400 : 65 68 b) Lasketaan sivujen pituuksien suhde 8 5 8 + 50 0 + 5 900 5 570 : 5 6 Vastaus: a) 68 b) 6 408. Mittakaavalla on. 00 000 matkan pituus kartalla on 5 cm. Mittakaavalla : 75 000 matkan pituus kartalla on. Muodostetaan kääntäen verrannollisuus 00 75 5 75 5000 : 75 67 Vastaus: Matka kartalla on 67 cm. 409. Arkki A4: leveys 97 mm korkeus 0 mm A5-arkki muodostetaan taittamalla A4 arkki pidemmän sivun keskeltä kaksin kerroin. Taitetusta sivusta muodostuu arkin A5 korkeus. 58
Arkki A5: leveys 0 mm korkeus: 97 mm : 48, 5 mm 49 mm A arkin leveys muodostuu kertomalla A4 arkin korkeus kahdella. A4 arkin leveys muuttuu A arkin korkeudeksi. Arkki A: leveys: 0 mm 40 mm korkeus: 97 mm Vastaus: Arkki A5: 49 mm 0 mm, A: 97 mm 40 mm 40. Maalimenekki on suoraan verrannollinen maalattavaan pinta-alaan. A A 6 A 6 A Eli maalia kuluu 56 0,5 cl 8,4 cl. Vastaus: 8 cl 4. a) V 500 V 500 500 V 76 cm b) 0, 4 V 7V 64 0, 64 0, V 0, 474 dm 7 Vastaus: a) 76 cm b) 0,5 dm 4. a) A k A, 5 cm 8 k 50 cm 0 000 59
b) k V V k, dm Vastaus: a) 00 000 dm 50 0 000 b) 50 4. Massa on suoraan verrannollinen tilavuuteen 0,60 kg 0 m m 0 0,6 kg m 80 kg Vastaus: 80 kg 44. Pikkuympyröiden ala yhteensä r A π π r Ison ympyrän ala A π r Suhde π r A A π r Vastaus: 50 % 45. Lasketaan suhde V, V V, V, V Vastaus:, % 46. V k, 0 V k, 0 ( ) A k, 0,9 A Vastaus:,9 % 60
Kulmien piirtäminen harpilla ja viivaimella 4. Piirrä kolmion sivun päätepisteistä lähtien ympyrät, jotka leikkaavat pareittain kahdessa pisteessä. Yhdistä pisteet, jolloin saat sivujen keskinormaalit. Keskinormaalit leikkaavat samassa pisteessä. 4. Piirrä suora. Mittaa suoralta 4,0 cm:n pituinen jana. Piirrä suoralle normaali, joka kulkee janan toisen päätepisteen kautta. Mittaa normaalilta,0 cm:n pituinen jana, jonka toinen päätepiste on suoralla. Piirrä suorakulmaisen kolmion hypotenuusa. 4. a) Piirrä suora. Piirrä suoralle normaali. Mittaa annetun janan pituus harpilla. Alkaen suoran ja normaalin leikkauspisteestä piirrä annettu janan pituus säteenä ympyrän kaari, joka leikkaa sekä suoraa, että sen normaalia. Yhdistä ympyrän kaaren ja suoran sekä ympyrän kaaren ja normaalin leikkauspisteet, jolloin saat tasakylkisen kolmion, jonka kyljen pituus on annetun janan mittainen. b) Piirrä suora. Piirrä suoralle normaali. Puolita saatu suora kulma. Mittaa annetun janan pituus harpilla. Alkaen suoran ja suoran kulman puolittajan leikkauspisteestä piirrä annettu janan pituus säteenä ympyrän kaari, joka leikkaa sekä suoraa, että kulman puolittajaa. Yhdistä ympyrän kaaren ja suoran sekä ympyrän kaaren ja kulman puolittajan leikkauspisteet, jolloin saat tasakylkisen kolmion, jonka kyljen pituus on annetun janan mittainen. 44. Piirrä suora. Piirrä harpilla suoralla oleva piste keskipisteenä sama säteisen ympyrän kaaret, jotka leikkaavat suoraa. Alkaen saaduista leikkauspisteistä piirrä kaksi ympyrän kaarta, jotka leikkaavat toisiaan kahdessa pisteessä. Yhdistä saadut leikkauspisteet, jolloin saat suoran normaalin. 45. a) Piirrä suora. Merkitse suoralle piste. Piirrä harpilla suoralla oleva piste keskipisteenä sama säteisen ympyrän kaaret, jotka leikkaavat suoraa. Alkaen saaduista leikkauspisteistä piirrä kaksi ympyrän kaarta, jotka leikkaavat toisiaan kahdessa pisteessä. Yhdistä saadut leikkauspisteet, jolloin saat suoran normaalin. b) Piirrä suora ja sen ulkopuolelle piste. Piirrä harpilla suoran ulkopuolella oleva piste keskipisteenä sama säteisen ympyrän kaaret, jotka leikkaavat suoraa. Alkaen saaduista leikkauspisteistä piirrä kaksi ympyrän kaarta, jotka leikkaavat toisiaan kahdessa pisteessä. Yhdistä saadut leikkauspisteet, jolloin saat suoran normaalin. 46. Piirrä kolmion sivun päätepisteistä lähtien ympyrät, jotka leikkaavat pareittain kahdessa pisteessä. Yhdistä pisteet, jolloin saat sivujen keskinormaalit. Keskinormaali leikkaa sivua sen keskipisteessä. Yhdistä kulmien kärjet vastaisten sivujen keskipisteisiin. Mediaanit leikkaavat samassa pisteessä. Piirrä suora, joka kulkee mediaanien leikkauspisteen kautta ja joka leikkaa annettua suoraa. Siirrä annetulle suoralle muodostunut kulma mediaanien leikkauspisteeseen Piirrä suorien leikkauspiste keskipisteenä ympyrän kaari, joka leikkaa molempia suoria ja piirrä sama kaari mediaanien leikkauspisteeseen.. Mittaa suorien välisen kaaren pituus ja siirrä tämä pituus mediaanien keskipisteenä piirretylle säteelle alkaen leikkauspisteen kautta kulkevan suoran ja mediaanien leikkauspiste keskipisteenä piirretyn säteen leikkauspiste. Piirrä suora mitatun kaaren loppupisteen ja mediaanien leikkauspisteen kautta, jolloin saat kysytyn suoran. 6
Suorakulmainen kolmio 47. Piirrä suora. Mittaa suoralta,5 cm:n pituinen jana. Piirrä suoralle normaali, joka kulkee janan toisen päätepisteen kautta. Piirrä janan toinen päätepiste keskipisteenä ympyrän kaari, jonka pituus on 8,0 cm ja joka leikkaa normaalia. Ympyrän kaaren ja normaalin leikkauspiste on kolmion kolmas kärkipiste. Piirrä suorakulmaisen kolmion hypotenuusa. 48. Pythagoraan lauseella + 5 6 4 cm 4 cm Kolmion ala A 6 cm Vastaus: Kolmion ala on 6 cm 49. C 5,0 cm,0 cm 8 cm α 0 A D B 0 Huippukulman puolikas α 65 Kolmiosta ADC saadaan sin 65 8 8 8sin 65 6,... Kolmion kanta AB 6, 5... cm cm Vastaus: Kanta on cm. 40. Kulmien summa + + 80 0 Kulmat ovat 0, 60 ja 90, joten kolmio on suorakulmainen ja voidaan käyttää trigonometrisia funktioita. 40, Sivu a (cm) tan 0 a Sivu b (cm) 40, a 40, 0 40, 69, tan 40, sin0 b 40, b 0 40, 80, sin Vastaus: Muut sivut ovat 6,9 cm ja 8,0 cm. 6
4. Kolmion sivun pituus (dm) + + 90, 0, Muistikolmion avulla h 0, h 0, Kolmion pinta-ala 0, 0, dm dm A 90, dm 9, dm 4 Vastaus: Kolmion pinta-ala on,9 dm. 4. a) Jyrkkyys 6 % Vaakasuora etäisyys a Pystysuora korkeusero on 0,06a 006, a Tällöin tanα 006, a α 4, b) Jyrkkyys % 0, a tanα 0, a α 74, Vastaus: a),4 b) 7,4 4. Pythagoraan lauseella 5 + ( + 7) 65 + + 4+ 49 + 4 576 0 4 ± 4 4 ( 576) 4 4804 0,8 (ei käy) 4 4 + 0 7 + 0,8 4 7+ 0 Kateettien pituudet ovat cm ja 7 + 0 cm 7+ 0 7+ 0 Kolmion piiri p 5 cm + cm + cm (5 + 0) cm 59,7 cm 6
Pinta-ala 7 + 0 7 + 0 0 49 A cm cm cm 44 cm 8 Vastaus: Kolmion piiri on 59,7 cm ja pinta-ala 44 cm. 44. Suorakulmaisesta kolmiosta tan40 600 600 600 tan 40 500 Vastaus: Kraatterin syvyys on 500 m. 45. Piirretään kolmio käyttäen kulmaviivainta. Mitataan viivaimella kolmion korkeus h, cm, 0 cm, cm Kolmion pinta-ala, 7 cm A 46. Tasasivuisen kolmion sivun pituus (dm) Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan 4 F H G I K J +, 5 5, : 4 45,, > 0 5 5 dm,5 dm,5 Kolmion pinta-ala on A dm,6 dm 6 Vastaus: Kolmion pinta-ala on,6 dm. 47. Pythagoraan lauseella + ( 0 ) + 9 00 0 + 0 9 : 0 9 0 9 09 Toinen osa 0 0 545, 0 0 Vastaus: Osat 4,55 niveltä ja 5,45 niveltä. 455, 64
48. Muistikolmioista 0, 5, Vastaus: Mittarin metrin tulee olla,5 m pitkä. Tylpän kulman sini ja kosini 49. a) cos α 0,, jolloin α 7 b) cos α 0,, jolloin α 07 c) sin α 0,, jolloin α 7 tai 80 7 6 Vastaus: a) 7 b) 07 c) 7 tai 6 440. a) -koordinaatti ilmaisee kulman kosinin, joten cos α 0,56. y-koordinaatti ilmaisee kulman sinin, joten sin α 0,88 b) cos α 0,075 sin α 0,997 44. a) cos α 0,767, joten α 9,9 b) cos α 0,4, joten α 98, c) sin α 0,8, joten α 54, tai α 80 54, 5,7 d) sin α 0,65, joten α 9,4 tai α 80 9,4 40,6 44. a) cos α 0,58, joten α,5 b) sin α 0,65, joten α 9, tai α 80 9, 50,7 Tylppä kulma on 50,7. 44. a) Kehäpisteen -koordinaatti ilmaisee kulman kosinin, joten cosα 0, 69 Kehäpisteen y-koordinaatti 0, 69 + y y ± y 0,99 Kulman sini sin α 0,99 b) Kulman kosini cosα 0, 7 Kehäpisteen y-koordinaatti 0, 7 + y 0,69 y 0 Kulman sini sin α 0,976 y y ( 0,7) 0 y 0,976 65
c) Kulman kosini cosα 0,9 Kehäpisteen y-koordinaatti 0,9 + y y 0,9 y 0 y 0,98 Kulman sini sin α 0,98 d) Kosini on välillä cosα, joten kulmaa ei ole. Sinilause 444. a) Olkoon tuntemattomat kulmat α ja β. Kulma α sinilauseella 8, 6, 5 sin80 sinα 8, sinα 6, 5sin 80 6, 5sin 80 sinα Kulma on terävä 8, α 48, 49 Kulma β β 80 80 48, 5 5, 5 Sivu 8, sin 5,5 sin 80 sin 80 8,sin 5,5 8, sin 5,5 6,5 cm sin 80 8, cm α β 80 6,5 cm b) Kolmas kulma on 80 80 78. Olkoon 80 kulman vastainen sivu ja viereinen sivu y. Sivu (cm) 6, 5 sin80 sin 78 sin 78 6,5sin80 6, 5sin 80 6, 9 y sin 78 80 6,5 cm 66
Sivu y (cm) y 6, 5 sin sin 78 y sin 78 6,5sin 6, 5sin y,9 sin 78 Vastaus: a) Kulmat ovat 48,5, 5,5 ja sivu 6,5 cm. b) Kulma on 78 sekä sivut,9 cm ja 6,9 cm. 445. a) Kulma α sinilauseella 4 5 sin0 sinα 4sinα 5sin0 5sin0 sinα Kulma α on terävä 4 α 6,0 Kulma β β 80 0 6 4 Sivu (m) 4 sin 4 sin0 sin0 4sin 4 4sin 4 4, 8 sin0 4 m β 5 m 0 α b) Kulma α sinilauseella 7,0 9,0 sin 6 sinα 7,0sinα 9,0sin6 9,0sin 6 sinα Kulma α on terävä 7,0 α 4, Kulma β β 80 6 4, 9, 7 6 9,0 dm β α 7,0 dm 67
Sivu (dm) 7,0 sin9,7 sin 6 sin 6 7,0sin9,7 7, 0sin9, 7 sin 6,9 Vastaus: a) Kulmat ovat 6,0 ja 4,0 sekä sivu 4, m b) Kulma ovat 4, ja 9,7 sekä sivu,9 dm. 446. Terävä kulma α 7,, 4 sin 5 sinα 7,sinα,4sin 5, 4sin 5 sinα Kulma α on terävä. 7, α,8 Kolmas kulma γ 80 5,8,8 Pinta-ala α 7, m,4 m sin,8 6,5 m A 7, m γ 5,4 m Vastaus: Ala on 6,5 m. 447. Kolmas kulma on 80 5 85 70. Suurin sivu on suurimman kulman vastainen sivu. 4 sin 70 sin85 sin 70 4sin85 4sin85 4, 4 sin 70 4sin85 Pinta-ala A 4 sin 5,58 sin70 85 4 5 70 Vastaus: Suurin sivu on 4,4 ja ala on,58. 68
448. Lasketaan kulmat: + 4 + 5 80, josta 5. Kulmat ovat siis 45, 60, 75. Lasketaan sinilauseella toinen sivu (cm) sin 75 sin 60 sin 75 sin 60 sin 60 0,76 sin 75 sin60 Pinta-ala cm cm sin 45 45,6 cm A sin75 75 45 60 cm Vastaus: Ala on 45,6 cm. 449. Ala ) a sin sin 45 A ab γ a a a a Vastaus: Ala on a. 450. Tasasivuisen kolmion kaikki kulmat ovat 60. Tasasivuisen kolmion sivu a (m) A 60 m A absin γ a a sin 60 60 sin 60 a 60 : 4 4 a 60, a 0 4 40 a, 77 45 a Vastaus: Sivun pituus on 40 m,77 m. 69
45. Kolmion kanta sinilauseella,64 sin07,56 sin 46,76 sin 46, 76, 64sin07, 56, 64sin07, 56 6, 54 sin 46,76 Kolmion ala A,64 6,54 sin 5,68 45, A C,64 07,56 5,68 46,76 B Vastaus: Ala on 45,. 45. Kolmas kulma on 80 0 45 05. Kolmio ei siis ole suorakulmainen. Lasketaan ensin toinen sivu sinilauseella 4 sin 45 sin05 05 4 sin 45 4sin05 4sin05 5, 46 45 0 sin 45 4sin05 Pinta-ala A 4 sin 0 5,46 sin45 Vastaus: Kolmio ei ole suorakulmainen, ala on 5,46. km 45. Neljännestunnissa kuljettu matka s vt h km h 4 Kolmion ABD kulmat D ja B D 80 8 4 B 80 4 5 Sivun AB pituus y (km) kolmiosta ABD C y sin sin4 sin4 y 8,0... sin Kysytty lyhin etäisyys (km) 8 sin 5 y y D sin4 ysin 5 y s 5 sin sin4 sin 5,5 A sin y B 70
Pisteestä A kuljettava matka AC (km) AC cos 5 y y sin4 AC y cos 5 y sin sin4 AC cos 5 7, 44... sin Matkaan kuluu AC 7, 44...km t 0,60...h 7 min v km h Vastaus: Saari näkyy 7 minuutin kuluttua 90 o kulmassa, laskettaessa aika pisteestä A. Etäisyys on silloin,5 km. 454. Heijastuksen tapahtuessa järvestä tulokulma on yhtä suuri kuin heijastuskulma. Kolmion ACP kulmat A 6 + 65 7 C 80 65 50 P 80 7 50 P Kolmion ABC sivu (m) 0 sin 65 0,0... sin 65 Sinilauseella kolmion ACP sivu y (m) y h y sin7 sin sin7 0 A 6 y 5 65 sin sin 65 0 m 0sin7 65 65 y 68,7... sin 65 sin B C D Pilven korkeus järven pinnasta h (m) h sin 65 y 0sin7 h ysin 65 y sin 65 sin 0sin7 h sin 65 sin 65 sin 0sin7 h 5,6 sin Vastaus: Pilven korkeus järven pinnasta on noin 50 metriä. 7
Kosinilause 455. a) Sivu c (m) c c 9,0 + 8,0 8,0 9,0 cos4 45 44 cos 4, c 0 c 45 44cos 4,67 8,0 m Kulma α 8, 0, 67 4 sinα sin 4 9,0 m,67sinα 8,0sin 4 8, 0sin 4 sinα Kyseessä on terävä kulma, 67 α 6,5 c Kulma β 80 4 6, 5 9, 5 Pinta-ala 8,0 m 9,0 m sin4 4,6 m A b) Sivu c (cm) c 7,0 +,0 7,0,0 cos80, c 0 Kulma α c 58 4 cos80 7, 7, 0 7, sinα sin80 7,sinα 7, 0sin 80 7,0sin80 sinα Kyseessä on terävä kulma 7, α 75,5 7,0 cm c 80,0 cm Kulma β 80 80 75, 5 4, 5 Pinta-ala,0 cm 7,0 cm sin80 0, cm A Vastaus: a) Sivu on,67 m, kulmat 6,5 ja 9,5 sekä ala 4,6 m b) 7, cm, 75,5, 4,5, 0, cm. 456. a) Sivu c (m) c + 6 6 cos0 c 80 44 cos0 5 5, 9 c m 0 6 m 7
Kulma α 6 5 sinα sin0 6sin0 sinα 5 6sin0 sinα 5 α 9, Kulma β 80 0 9, 40,9 Kyseessä on terävä kulma b) Kulma α 7,0 5 sin0 sinα 7, 0sinα 5sin0 5sin0 sinα 7,0 α,8 Ei käy. Kyseessä on tylppä kulma α 80,8 58, Kulma β 80 58, 0,8 Sivu c (cm) c 5 + 7,0 5 7,0 cos,8 c 74 0 cos,8 8, 0 5 cm c 7,0 cm Vastaus: a) Sivu on 5,9 cm, kulmat 9, ja 40,9. b) Sivu on 8, cm, kulmat,8 ja 58,. 457. Lasketaan ensin tunnettujen sivujen välinen kulma α sinilauseen avulla. 8,5 6, sinα sin 5 8,5sin 5 6,sinα c 8,5sin 5 sinα Kyseessä on terävä kulma 5 6, 8,5 m α 50,70 Kolmas kulma β 80 50,70 5 94, 6, m Pinta-ala 8,5 m 6, m sin94, 6,7 m A Vastaus: Ala on 6,7 m. 7
458. Sivu c (cm) c 4,0 + 7,0 4,0 7,0 cos 48, c 0 4,0 cm β c c 65 56cos 48 5, 47 Kulma α 5, 47 4, 0 sin 48 sinα 5,47sinα 4,0sin 48 4,0sin 48 sinα Kyseessä on terävä kulma. 5, 47 α 4,5 Toinen kulma β 80 48 4, 5 97, 5 Vastaus: Kolmas sivu on 5, cm, kulmat ovat 4,5 ja 97,5. 48 α 7,0 cm 459. Kolmion kolmas sivu kosinilauseella + 8 4 4 cos0 cos0 8 4 4 4 48 0 ( ) ( ) 4 ± 4 4 48 4 + 40, 4 40 4, 8 Ei käy Tylppä kulma α, 8 sinα sin 0 8sinα,sin 0, sin 0 sinα 8 α 44,5 Ei käy α 80 44,5 5,5 Terävä kulma β 80 5,5 0 4,5 0 4 α 8 β Vastaus: Kolmas sivu on,, kulmat ovat 5,5 ja 4,5. 74
460. Ratkaistaan yksi kulma α kosinilauseella ja toinen kulma sinilauseella 7 + 5 5 cosα 7 5 0cos 5 cosα 0 α 0 Kulma β 7 5 sin0 sin β 7sin β 5sin0 5sin0 sin β Terävä kulma 7 β 8, Kolmas kulma γ 80 0 8,,8 α 7 β α 5 γ Pinta-ala A 5 sin0 6,50 Vastaus: Kulmat ovat 0, 8, ja,8. Ala on 6,50. 46. Sivu c (m) c + 5 5 cos, c 0 a m c 709 660 cos, 47 β Kulma β α c,47 5 sin sin β,47sin β 5sin 5sin sin β Kyseessä on terävä kulma., 47 β 40,9 b 5 m Kolmas kulma β 80 40,9 06 Vastaus: Kolmas sivu on,47 m, kulmat ovat 40,9 ja 06. 75
46. Sivu α α b 0 β 5 a 704 β 408cos 5 + 404 4 0 0 704 704 cos 5 + Kulma α sinilauseella 704 0 sinα sin 5 704sin 5 sinα 0 α 80, α 80 80, 99, 9 Kolmas kulma β 80 5 80, 74, 9 β 80 5 99, 9 55, ( ) ( ) 408cos 5 ± 408cos 5 4 404 4 689,847 586,847 Vastaus: Kolmion sivu on joko 689 m sekä kulmat 80, ja 74,9 tai kolmion sivu on joko 587 m sekä kulmat 99,9 ja 55,. Monikulmiot 46. Koska säännöllinen kuusikulmio muodostuu kuudesta tasasivuisesta kolmiosta, niin 5 0 ja kuusikulmion sivu on 0,. Kuusikulmion piiri p 6 6, 0 m, 0 m. Vastaus: Kuusikulmion piiri on,0 m. 76
464. Suorakulmaisen kolmion korkeus h (dm) h + 5, 50, h 8,75, h 0 h 8, 75 4, 0... 50, dm 875, dm Kuusikulmion ala A 6 65 dm. Vastaus: Kuusikulmion ala on 65 dm. 465. Suunnikkaan ala onh 7, josta h 6. Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan sinα 6, josta suunnikkaan pienempi 0 kulma α 7. Suurempi kulma on β 80 α 4. Suorakulmaisesta kolmiosta AED saadaan 0 6 +, josta 8. Tällöin y 4. Kolmiosta BDE saadaan z 4 + 6, mistä z 5 7,. Vastaus: Suunnikkaan kulmat ovat 7 o ja 4 o. Lyhyempi lävistäjä on 7, cm. 466. Suorakulmaisesta kolmiosta ABC saadaan 4 + h 6, josta h 0 4, 47... Suorakulmion ala on A kh 40, cm 447,... cm 8 cm. Suorakulmaisesta kolmiosta ADE saadaan sinα, josta α 480,... ja α 480,... 84. Vastaus: Suorakulmion ala on 8 cm ja lävistäjien välinen kulma 84. 467. Suorakulmion ala A s 68 48. Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan 6 + 8, josta 0. Neliön ala A n 0 00. Alojen suhde on A n 00 08,... As 48 Neliön ala on, 08..., 08... 08% suurempi kuin suorakulmion ala. Vastaus: Neliön ala on 08 % suurempi kuin suorakulmion ala. 77
468. Levyjen pinta-ala A 5 0, 5 m 0, m 0, 48... m. Levyjen hinta on h 0, 48... 0 euroa 0, 46 euroa. Vastaus: Levyjen hinta on 0,46 euroa. 469. Pythagoraan lauseella + 4, josta, 5. Suorakulmaisesta kolmiosta ABD saadaan sinα 4, josta α 0, jolloin β 75 0 45. Kolmiossa BCD kantakulmat ovat yhtä suuret, joten cos45 y, 4 josta y 4cos 45 4 8,. Nelikulmion ala on A + + 4 75,. Vastaus: Sivut ovat,, 8, ja 5,. Ala on + 4 75,. 470. Yhden setelin ala on A 0, m 0, 06 m 0, 00744 m. 9 0, Peittyvä pinta-ala on A kok 0, 00744 m 40 000 m, 4 km 5 Vastaus: Setelit peittäisivät,4 km. 800 kg kg 47. Olympialippu painoi 00,.... 75 m 05 m m Suurimman lipun massa oli 80 5 0, 0... kg 00 kg. Vastaus: Suurin lippu painoi 00 kg.. 47. Koska suunnikkaan sivujen pituudet ovat ja 6, niin pituudeltaan 6 oleva lävistäjä on lyhyempi lävistäjistä. Kolmiosta ABD lasketaan kosinilauseella kulma γ D 6 + 6 6 6 cosγ E 68 cosγ 7 γ γ 9,88... A 6 B C Lasketaan kolmiosta ABE kosinilauseella lävistäjän puolikkaan pituus + 6 6 cos9,88..., 0 45 6cos9,88...,6... 78
Lävistäjän pituus,6... 6,6 Suunnikkaan ala A Akolmio 6 6 sin9,88...,8 Vastaus: Lävistäjän pituus on 6,6 ja suunnikkaan ala,8. 47. Säännöllisen viisikulmion lävistäjät ovat yhtä pitkät. (5 ) 80 Viisikulmion kulman suuruus γ 08 5 Lävistäjän pituus + cos08, 0 8 8cos08 4,85 Vastaus: Lävistäjän pituus on 4,85. D E C 6 γ B A 474. Lasketaan nelikulmion ala molemmissa tapauksissa. Kolmiosta CED suunnikkaan korkeus h h 6 h Sivu CE 6 A F 4 Nelikulmion BEDF ala A (4 + ) h (4 + ) 6 Kolmiosta BHC suunnikkaan korkeus h 60 60 h B C 4 h Sivu CH 4 Nelikulmion BEDF ala A (4 + ) h (4 + ) 6 () () D h E B 6 60 0 h A 4 () C () H I 6 D Vastaus: Pienimmän nelikulmion ala on. 79
YMPYRÄ 475. Ensimmäisen radan säde r metriä. Toisen radan säde r +, metriä. Koska suorat s ovat molemmilla radoilla yhtä pitkät, niin ratojen pituuksien välinen ero on s+ π ( r+, ) ( s+ π r) s+ π r+ π, s π r π, 77,. Vastaus: Lähtöpaikkojen välinen etäisyys tulee olla 7,7 metriä. 476. Kulmaa α vastaava keskuskulma α, ja sen vieruskulma 80 α. P Kysytty kulma β 80 90 (80 α) α 90 β A α 80 α α B Vastaus: α 90 477. Tutkitaan kolmiota ABD. Sivu AB DF + FC 4 + 7. Hypotenuusa BD BE + DE AB+ DE + 4 5. Pythagoraan lauseella + 5, josta 784 ja 8. Tällöin BC 8. Vastaus: BC 8 478. a) Käytetään pituusyksikkönä neliön sivua s. Pystysakaran ala ilman kaarevia osia on 8 neliön ala eli 8s. Vaakasakaran ala ilman kaarevia osia on neliön ala eli s. Kaarevan osan ala saadaan vähentämällä neliön alasta neljäsosaympyrän alan s π s. 4 F I 5 Kaarevien yhteisala on 5 s πs 5 5 5 HG 4 K J s πs s π, s 4 4 Kirjaimen kokonaisala 8s + s +,s,s F HG I K J b) Ala on A Aisopy Apienipy + Apienipy Aisopy π ( 60, cm ) 57cm. Vastaus: a) Ala on,. b) Ala on 57 cm. 6,0 cm 80
479. Säde R Suorakulmaisesta kolmiosta R sin 67,5,5 R,5sin67,5 R, Vastaus: Suurimman ympyrän säde on, cm. 67,5,5 cm R 480. Oven ala A ovi 0, m 0, m + π ( 05, m ) 84,... m. Lasin ala A lasi 6 ( 040, m ) + π (, 05 m ), 69... m. Alojen suhde A lasi 69,... m 0, %. Aovi 84,... m Vastaus: Ovesta on % lasia.,05 m,0 m,0 m 40 cm 40 cm 48. Pienen ympyrän ala on π r 60,, josta r 60, π. Suuren ympyrän säde on R F HG A π R π 5 I 5 r 5 60, π. Ison ympyrän ala on 60, π 5 π KJ 60, cm cm 50 cm π Vastaus: Ison ympyrän ala on 50 cm.. 48. Leikkausalue koostuu kahdesta segmentistä. Segmentin ala on Asegmentti Asektori Akolmio. r Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan cosα, r josta α 60 ja sektorin keskuskulma F α 0. Pythagoraan lauseella + r r H G I K J, josta r 4 ja r. Tällöin segmentin ala on 8
A segmentti 0 π r 60 F HG F HG r r π 4 I KJ I KJ π A Asegmentti r, r. Vastaus: Leikkausalueen ala on 48. Kolmion ala A k F HG π I r KJ r ja kysytyn alueen ala on, r.. Pythagoraan lauseella +, josta kolmion hypotenuusan pituus on. Kuun sirpin ala saadaan vähentämällä puoliympyrän alasta segmentin ala. Puoliympyrän ala A py π F HG I KJ π. 4 90 π π 60 4 π F π 4 4. Segmentin ala on Asegmentti Asektori Akolmio Kuun sirpin ala on A A A sirppi py segmentti HG I K J. Vastaus: Kuun sirpin ala on ja kolmion ala on. 484. Jana AD BC 6 Jana OQ QR RP, joten AB DC 6 + + 6. Piiri + 66. D O Q R P C Vastaus: 66 A B 485. Neliö ympyrässä Neliön sivu a Neliön ala a Ympyrän halkaisija r on yhtä suuri kuin neliön lävistäjä a eli 8 a r.
Alojen suhde A a 0,64 π neliö Aympyrä a π Ympyrä neliössä Neliön sivu on ympyrän halkaisija r Aympyrä πr π Alojen suhde 0,79 > 0,64 A ( r) 4 neliö Vastaus: Ympyrä neliössä täyttää suuremman osan. 486. Koska ympyrä kulkee pikkuneliöiden keskipisteiden kautta, sen säde on pikkuneliön lävistäjän puolikas. π Ympyrän ala A π Vastaus: Ala on π. 487. Sivu AB 8 + 6 +8 Kolmion ala A kolmio 6 76 Koska kolmion kulmien summa on 80 ja sektorit ovat saman säteisiä, sektoreista muodostuu puoliympyrä. Kysytty ala Akolmio Asektorit 76 π 8 76 π Vastaus: Ala on 76 π. A 6 G 8 45 F 8 B C PALLO d 488. Puolipallon säde r 70, m. Puolipallon pinta-ala on A r 4 4 7 0 π π (, m ) 98πm 08 m. Koska grammasta kultaa voidaan takoa neliömetrin suuruinen levy, niin kultaa tarvitaan 08 g. Vastaus: Kultaa tarvitaan 08 g. 8
b g,. 489. Veden määrä V Ah r h 4 π 4π 6 70 km 0 0008 km 6 000 km Vastaus: 6 000 km 490. Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan + 6 70 6 70,, josta 74, 0 ja 5, 7. Vastaus: Saaren etäisyys on 5,7 km. 49. Pythagoraan lauseella 5 000 + 6 70, josta 8 097, 956... Etäisyys maan pinnasta on h R 8 097, 956... km 6 70 km 700 km. Vastaus: Etäisyys maan pinnasta on 700 km. 49. Hillan massa 096 m 0, 0065 kg 6, 5 g. Koska dm hilloja 68 000 kg painaa kg 000 g, niin hillan tilavuus on 0, 0065 dm 6, 5 cm. Hillan säde on 4 π r 65,, josta r 65, ja r 4π Vastaus: Hillan massa on 6,5 g, tilavuus 6,5 cm ja säde, cm. 65,,. 4π 49. Pallon säde R Kuopan reunaympyrän säde 0,8R Kuopan syvyys,0 Pythagoraan lauseella R (0,8 R) + ( R,0) 0, 64R + 4R 4 0 ± R ( 0,64) 4 4 4 ( 0,64) ( 4) 4 5,76 R 5, 8 4+ 5,76 R, 5 < ei käy, 8 Pallon pinta-ala A 4π 5 0 Vastaus: Ala on 0 cm. R 0,8R R,0,0 84
494. Pallon halkaisija d Tasasivuisen kolmion sivu on 4d Tasasivuisen kolmion korkeus 4d d 66 d 4d 66 d 7,4 4 + 4d A d 4d Vastaus: Pallon halkaisija on 66 cm 7, 4 cm. 4 + H 4d LIERIÖ 495. Yksikkömuunnos 00 l 0,00 m r pohjaympyrän säde π r 0, 000, 000, r ± 00,... π 0, Pohjaympyrän halkaisija on r 0,46 (m). Vastaus: 0,46 m 496. Yksikkömuunnos 5 cm,5 dm A A + A π 0, + π 0, 5, 99, (dm ) P V V A P h π 0, 5, 785, 79, (dm ) Vastaus: 7,9 dm, 00 cm 497. Yksikkömuunnokset 0,00 mm 0,00000 m ja km 000 000 m V A h 000000 m 0,00000 m,0 m 000 l Vastaus: 000 l 498. a) kehän pituus p π 6, 0 7, 699 7, 7 b) Levyn ala- ja yläpuoli saadaan kahden ympyrän alojen erotuksena. Lisäksi lasketaan levyn ulko- ja sisäreunan ala, jotka ovat lieriöiden vaippoja. Lieriön korkeus on levyn paksuus mm 0, cm A ( π 6, 0 π 0, 75 ) + π 6, 0 0, + π 0, 75 0, 0 85
c) tilavuus V π 6,0 0,0 π 0,75 0,0,... 5, 0 g tiheys ρ, g/cm,...cm Vastaus: a) 7,7 cm b) 0 cm c), g/cm 6 m 948 0 9 499. V 5,640 0 (dm ) ρ 0,700 V πr h :( πr ) V 0,0 m h V r π r 6 5, 640 0 m h 8000 m 8 km π (0, 0 m) Vastaus: 8 km 9 6 5,640 0 dm 5,640 0 m, 0,0 m 500. Kiven tilavuus on yhtä suuri kuin lieriön, jolla on sama pohja kuin vesiastialla ja korkeutena,0 cm. V Ap h π 5, 0, 0 60 (cm ) Vastaus: 60 cm 50.,4 kg:n nestemäärän tilavuus on dm,0 kg:n nestemäärän tilavuus on,0, 4 dm 0,8 dm 8, cm Lasketaan lieriön korkeus h V Ah V 8, cm, A 90 cm 8,... 90 h :90 8,... h 9, 90 Vastaus: 9, cm 50. Kokonaisala on seinien ala vähennettynä ovien ja ikkunoiden alalla. A 4, 5, 8 +, 8, 8 5, 0 4, 48 Maalataan kahteen kertaan A 8,96 8, 96 Maalia 0 litraa 80, 86
Maalikerroksen paksuus maalin tilavuus 0 000 cm 0,04 cm 0,4 mm maalattu pinta-ala 44 800cm Vastaus: 0 l ja 0,4 mm 50. Kuution särmä a 4 Maapallon tilavuus (680 km) π a 4 π 680 4 a 680 000 π km Vastaus: 0 00 km 504. Kuution tilavuus s a) suklaapallon säde s suklaan osuus V V suklaa kuutio 4 π ( s ) π 5,4% s 6 b) Palloja on rasiassa 8 kpl ja jokaisella sivulla on palloa rinnakkain jolloin niiden säde on 4 s. 4 8 π ( s) Vsuklaa suklaan osuus 4 π 5, 4% V s 6 kuutio c) Palloja on rasiassa 7 kpl ja jokaisella sivulla on palloa rinnakkain jolloin niiden säde on 6 s. V V suklaa kuutio 4 7 π ( s) 6 π 5,4% s 6 π π π Vastaus: a) 5,4 % b) 5, 4 % c) 5,4 % 6 6 6 87
505. Lieriön tilavuus V π r h π 5, 0 800π Lasketaan lieriöiden pohjien säteet. V π r h :( π h) V r π h r V π h 800π r π 6 50 800π r π 8 00 0 800π r4 π 4 00 800π r5 π 400 0 Peräkkäisten lieriöiden säteiden suhteet r 50 5 r 5 5 r 50 0 0 50 50 r 50 50 50 r 00 0 4 r 0 0 r 00 ) 5 0 0 00 00 r 4 00 00 00 Vastaus: Peräkkäisten lieriöiden säteiden suhde on vakio. 506. Koska korkeuden ja pohjan halkaisijan suhde on :, ovat korkeus ja pohjan säde yhtä suuret. V Ah π h h π h π h 68, h 68, π Apohja h F H G I 68, π π K J 4985,... π 88
Avaippa h h F H G 68, I π π K J 9, 970... π A kok 4, 985... + 9, 970... 5, 0 (m ) Vastaus: 5,0 m 507. särmiön pituus A 08, + 08, 09, + 09, 484, 484, 484 00 0 V 08, 09, 80, 0 9 70 (cm ) Vastaus: 70 cm 508. m V ρ 4 m pallo π 05,, 0 kg 5,9... kg m jalusta 065550,,,, 89,... kg Jalustan sisällä olevan pallosegmentin massa m segm F I π 00 067 05 HG 0,,,, K J, 0 m kok 89,... + 5, 9... 9, 5... 700 kg Vastaus: 700 kg b g 9,5... kg 509. a) πr ulko π 65, 96,... 9 b) πr sisä π 5, 50,... 4 9, 6... +, 50... Kerroksen paperimäärän keskiarvo 6, 8... 6, 5 5, Kerroksia yhteensä 7,... 05, Paperia yhteensä 7,... 6,8 cm 7 00 cm 7 m Vastaus: a) 9 cm b) 4 cm c) 7 m 89
50. Hämähäkin lyhin reitti on joko katon tai lattian kautta suoraviivaisesti, kumpaakin kautta tulee matkaksi m + 0 m + m 4 m Tehtävästä saa haastavamman, jos kärpänen on esimerkiksi vastakkaisen seinän nurkassa, jolloin särmiö joudutaan levittämään tasoon ja käyttämään Pythagoraan lausetta. Vastaus: 4 m 5. 4,5 cosα 9 α 60 Ympyräsektorin keskuskulma β 60 α 40 Ympyräsektorin ala 40 8 A π 9 + 99sin0 54π + 60 4 Veden tilavuus 8 V 54π + 0 cm 500cm,5l 4,5 4,5 β α 9 Vastaus:,5 l 5. astian tilavuus 98,5 8,5 veden korkeus h veden tilavuus 9 h 99h jäätyneen veden tilavuus, 99h 08, 9h Saadaan yhtälö 08,9h 8,5 h 5 Vastaus: Vettä voi laittaa 5 cm verran. 5. pohjan säde r korkeus r + 5 Tilavuus π r ( r+ 5) 8 π : π r + 5r 8 0 Kokeilemalla huomataan, että yksi juuri on r eli polynomin yksi tekijä on r. Muut juuret saadaan tekijöihin jakamalla. 90
r + 7r+ 4 r r + 5r 8 r ± r 7r 7r 4 ± r 4r 8 4r ± 8 0 Muut juuret r + 7r+ 4 0 ± ± r 7 7 4 4 7 7 ei reaalijuuria Vastaus: Pohjan säde on. KARTIO 54. Kartion korkeus h h + 5 80 h 80 5 h 9,5... V πr h π (5 cm) 9, 5... cm 0 000 cm, m A A + A π (5 cm) + π 5 cm 80 cm 0000 cm,0 m pohja vaippa Vastaus:, m,,0 m 55. Kartion sivujana s s 6 + s ± 80 s 8,6... Avaippa π rs π 8,6... 00 (cm ) tanα 6 α 65 Vastaus: 00 cm, 65 9
56. V r h V h 5,0 r 5,0 75,0 r 5,0 : (5,0 ) r π 5,0 dm, 5,0 dm π π π 75,0 5,0π r 75,0 5,0π r,65... Pohjan halkaisija r 5, dm Vastaus:,5 dm 57. a) Kyseessä on neliöpohjainen pyramidi, jonka sivutahot ovat tasasivuisia kolmioita. Tasasivuisen kolmion korkeusjana a a + 5 0 a ± 75 a 8,66... A 0 0 + 4 0 8 66 70 0 0 Pyramidin korkeus h h + 5 a h ± e j 75 5 h 50 7, 07... V A h 00 7 07 40,... 0 b) Kyseessä on ympyräkartio, jonka sivujana on,4 m. 7 A vaippa π, 4, 69... 60 Kartion pohjaympyrän kehän pituus 7 πr 60 π 4, r 0,48 A pohja π r π 0, 48 0, 78... A kok,69 + 0,78 4, (m ) Kartion korkeus h h + 0,48,4 h ± 5, 596, 5...,4 m 7 9
V π 0, 48, 5... 0, 57 (m ) Vastaus: a) Pinta-ala 70, tilavuus 40 b) Pinta-ala 4, m, tilavuus 0,57 m 58. Kartion pohjan säde,4 cm Kartion sivujana s Kartion korkeus h Vaipan ala π rs 65,8 r,4 65,8 s,4π Pythagoraan lauseella 65,8 h,4 4,,4π Tilavuus V πr h π, 4 4, 900 Massa m Vρ π,4 4, 5,8 000 Vastaus: Tilavuus on 900 cm ja massa 000 g. 59. Pyramidin korkeus h h + 40,0 0,0 h ± 800 h,... V 80, 0,... 4000 (cm ) 4 (dm ) A A pohja + A vaippa 80 + 4 80, 0 0, 0 5600 (cm ) h,4 s Vastaus: 4 dm, 5 600 cm 50. Sivutahkokolmion korkeus a a +,5 a ± 96, 75 a 9,9... Pyramidin korkeus h h +,5 a h ± 96, 75 5, h 64, 5 6, 6... 9
V 6, 6... 900 (cm ) A + 4 9, 9... 400 (cm ) Vastaus: 900 cm, 400 cm 5. Hiekkaa tunnissa 60, 0 cm 60 cm Kartion korkeus h π h h 60, 0 80 h 9, (cm) π Vastaus: 60 cm ja,9 cm 5. Yhdenmuotoisista kolmioista h h+ 6, 7 6, 6,,6 h,6h + 4,7 h 4,7 Alaosan katkaistun kartion tilavuus V,6 (4,7 + 6,7),6 4,7 9,97 Yläosan kartion tilavuus V 6 9 489,,,... V kok 9,97 +,489...,46... m V ρ, 46..., 7 0 kg 0000 kg 0 t Vastaus: 0 t 5. Kuution särmä 8,0 m Sisällä olevan kuution särmä,4 m Seinän paksuus 0, m Katkaistut pyramidit Koska katkaistut pyramidit ovat kuution sisällä symmetrisesti vastakkain, on katkaistun pyramidin korkeus ison kuution särmä pienen kuution särmä 8,0 m,4 m, m. 94
Kokonaisen pyramidin korkeus: h h, 8, 0, 4,4 h 8,0 h 8,4 h 4 V katkpyr 8,0 4,4 ( 4,0,) 78,78... (m ) Katkaistun pyramidin sivutahkot ovat puolisuunnikkaita, joiden kannat ovat 8,0 m ja,4 m. Koska puolisuunnikkaat ovat kuution pohjalävistäjän suuntaisesti, puolisuunnikkaan korkeus saadaan kuutioiden pohjalävistäjien avulla: Ison kuution pohjan lävistäjä on 8,0 m (neliön lävistäjä on s, jossa s on neliön sivu) Pienen kuution pohjan lävistäjä,4 m Kun ison kuution pohjalävistäjästä vähennetään pikkukuution pohjanlävistäjä, saadaan kahden puolisuunnikkaan korkeus ja yhden puolisuunnikkaan korkeus on 8, 0, 4, 5... Puolisuunnikkaan muotoisia ja 0 cm paksuisia sivutahkoja on 8 kpl. 8, 0 +, 4 Vkok Valin pyramidi + 8,5... 0,0 0 (m ) m V ρ 0, 0 0 kg 0000 kg 0 t Vastaus: 0 t 54. Oktaedrit koostuvat kahdesta neliöpohjaisesta pyramidista. Pyramidien pohjaneliöiden lävistäjät ovat 5, 0 ja 0 Pyramidien korkeudet: h 5 + F H G I K J h ± 5 5 h,55... h 0 5 + F H G I K J h 00 50 ± h 7,07... 0 95
h 0 + F H G I K J h ± 400 00 h 4,4... 0 V kok 0 + + 5 55,... 0 7, 07... 0 4, 4... 4500 (cm ) Vastaus: 4 500 cm 55. Kartion pohjan ja pallon säde r Pinta-alojen summa πr + πrs+ 4πr 5 π : π, s 7 5r + 7 r 5 0 7 ± (7 ) 45(5) r 5 7 ± 756, 5 r 0 7 5 r < 0 ei käy 0 7 + 5 r 4 0 Kartion korkeus h saadaan Pythagoraan lauseella h (7 ) (4 ) 6 V Tilavuuksien suhde V kartio pallo π 4 6 4 π 4 Vastaus: V V kartio pallo 96
56. Pohjasärmä s Pinta-ala 4 0 s+ s 84 s + 0s 84 0 0 ± 0 4 ( 84) s 0 96 s < 0 ei käy 0 + 96 s Pyramidin korkeus h saadaan Pythagoraan lauseella suorakulmaisesta kolmiosta, jonka hypotenuusa on apoteema 0,0 ja toisena kateettina pohjaneliön sivun puolikas 6. h 0 6 8 Tilavuus V 8 84 Pyramidin massa m V ρ 84 5,55 0 Vastaus: Massa on 0 g 57. Kartion pohjan säde R Pallon säde r Pinta-ala πr + πrs 54 π : π, s 7 R + 7 R 54 0 ± R 7 ± 7,5 R 7 6 R < 0 ei käy 7 + 6 R 4 7 (7 ) 4 ( 54) 97
Kartion korkeus H saadaan Pythagoraan lauseella H (7 ) (4 ) 6 a) Tilavuus V π (4 ) 6 40 π 7 b) Kartionsivujana BC 7 DC H r 6 r Yhdenmuotoisista kolmioista ABC ja EDC (kk) saadaan verranto AB BC DE DC 4 7 r 6 r 7 4 r 7 r r 7 9 r 4 4 9 4 Pallon tilavuus Vpallo π π 47,7 4 6 c) Pallon säde r Tilavuus 4 π r 40 π 4 r 8 r 4 Pallon pinta-ala 4 4 59 049 A π π Vastaus: a) 40 7 cm π b) 4 cm 47,7 cm 6 π c) 59 049 π cm cm 98
58. Kartio ja sen yläosa ovat yhdenmuotoisia. Yhdenmuotoisten kappaleiden tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio. Saadaan verranto Täytettävä korkeus pohjasta lukien, 48 Vastaus: cm, 48 cm 59. Pohjan säde r Sivujana s s + Pohjaympyrän kehä π r s+, josta r π Vaipan ala s πrs π : π, r π s s π π s s 4π 0 ( ) ± ( ) 4 ( 4 π ) s s > 0 + + 96π s Vastaus: + + 96 π 8 50. Pohjan säde r Korkeus r + 5 Tilavuus π r ( r+ 5) π : π r ( r+ 5) r + 5r 6 0 99
Kokeilemalla huomataan, että yksi juuri on r eli polynomin yksi tekijä on r. Muut juuret saadaan tekijöihin jakamalla. r + 6r+ 6 r r + 5r 6 r ± r 6r 6 6 r Muut juuret r + 6r+ 6 0 ± r 6r 6 6r ± 6 0 6 6 4 6 ± r r r 6 < 0 ei käy 6+ < 0 ei käy Vastaus: Pohjan säde on. Harjoituskoe. a) Kosinilauseella kolmiosta RST saadaan r t + s tscosα t + s r cosα ts T h t R r s S b) Kolmion pinta-ala kanta korkeus A kanta s, korkeus h A sh c) sin(80 α) h t d) sinα sin(80 α) h t T h t 80 R r s S Vastaus: a) t + s r ts b) s h c) h t d) h t 00
. Säiliö ja siinä oleva vesi muodostavat yhdenmuotoiset kappaleet. Yhdenmuotoisten kappaleiden tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio. Mittakaava on vastin janojen suhde. Veden tilavuus V v Säiliön tilavuus V s Lasketaan, kuinka mones osa säiliöstä on täyttynyt vedellä, loput on jäänyt tyhjäksi. V h v k k V h s Vv V s 8 Tilavuudesta jää loput tyhjäksi eli 7 87,5 % 8 8 Vastaus: Tyhjäksi jää 87,5 % tilavuudesta. h h. a) Mittakaava on :, joten piirroksen jokainen sivusärmä on puolet alkuperäisestä. Kavaljeeriperspektiivissä pysty- ja vaakasuorat viivat piirretään oikeassa mitassa. Eteen ja taaksepäin olevat viivat piirretään 45 :een kulmassa vaakatasoon nähden ja puolet lyhyempinä. b) Kuutioon mahtuu nestettä 5 cm 5ml,5 cl Vastaus: b),5 cl,0 cm,0 cm,0 cm 4. Jos kolmion piirtää harppia ja viivoitinta käyttäen, huomaa heti, että syntyy kaksi kolmiota. Laskemallakin sen toki saa. Tässä kolmion pinta-ala kannatta laske käyttäen kaavaa C A sivu sivu sin(sivujen välinen kulma) A AB AC sin 0 D 4,0 cm 4,0 cm A 0 6,0 cm B 0
Sivu AC saadaan kosinilauseella Merkitään AB c, BC a, AC b a b + c bccosα α 0, cos0, a 4,0 cm, c 6,0 cm b 6 b+ 0 0 4 b + 6 b 6 ( 6 ) ± ( 6 ) 4 0 b b 6 ± 8 6 + 7 b + 7 6 7 b 7 Pinta-ala A AB AC sin 0 AB 6,0 cm, AC ( + 7) cm tai AC ( 7) cm, sin0 A 6,0 cm ( + 7) cm,8 cm tai A 6,0 cm ( 7) cm,8 cm Vastaus: Pinta-ala on,8 cm tai,8 cm. 5. Alue A on ympyrän segmentti. Segmentin pinta-ala A α π r Akeskuskolmio 60 Piste D on puoliympyrän kaaren AB keskipiste, joten α 90 Keskuskolmio AOD on suorakulmainen kolmio, jonka kateetteina ovat ympyrän säteet. Ympyrän O säde r α 90 A π r Akeskuskolmio π π 60 60 Alue A muodostuu sektorista BAC, josta vähennetään kolmio AOD ja sektori BOD. Sektorin BOD keskuskulma on 90, joten sen pinta-ala on neljäsosa koko ympyrän (säde ) alasta. 0
Sektorin BAC säde R 4. Keskuskulma BAC β 45, sillä kulma β on tasakylkisen, suorakulmaisen kolmion AOD kantakulma. β 45 AOD sektori BOD A πr A A π 4 π π 60 60 4 Vastaus: Tummennettujen alueiden pinta-alat ovat A A π. 6. Suurin etäisyys h (km) Maapallon ympärysmitta 40 000 km Maapallon keskipisteen ja tunnelin yläosan etäisyys (km) Maapallon säde r (km) Kysytty etäisyys saadaan tiedosta h r Maapallon säde r Ympyrän piiri π r on maapallon ympärysmitta 40 000 km π r 40 000 40 000 r π Jana lasketaan suorakulmaisesta kolmiosta OAS. α cos r α rcos Reposaari R r 00 km B h A O s Söderham S Tarvitaan siis kulman α suuruus. α Ympyrän kaaren RS b π pituus 60 Kaaren b pituus on Reposaaren ja Söderhamin välimatka 00 km. α b π r 60 α 00 40 000 60 00 α 60 40 000 α, 8 α 0,9 0
Etäisyys h α h r rcos α 40 000 α h r( cos ) r, 0, 9 π 40 000 h ( cos 0,9 ) 0,790 π Suurin etäisyys on 0,790 km 790 m Vastaus: Yläreunan suurin etäisyys on 790 m. 7. Kuution särmä a Kartion korkeus a Kartion pohjaympyrän säde r Jana DE on kuution pohjatahkon lävistäjä DE a + a DE a, DE > 0 D F A C r E B a a D a a E DE a Tilavuuksien suhde Vkuutio a a V kartio πr h πr a Suhteen laskemiseksi pitää säde r sanoa särmän a avulla. Kolmiot ABC ja FEC ovat yhden muotoiset ABC FEC C on yhteinen kk F A 90 Yhdenmuotoisten kolmioiden vastinjanojen suhde on sama. AB CA a AB r, FE DE, CA a, CF a a a FE CF r a a a r a 04
Tilavuuksien suhde Vkuutio a a 75 00 % %,9% V kartio πr h π( a ) a 4π π Vastaus: Kuution tilavuus on 75 %,9% kartion tilavuudesta. π 8. Kysytty etäisyys EC (m) saadaan suorakulmaisesta kolmiosta EFC. Kateetti EF DB y (m) Kateetti FC BC BF z (m) Pythagoraan lause y + z C Kolmiosta ABD kosinilauseella 5, 44 y,4 + 5,,4 5, cos 45,85 Kolmiosta ABC BC tan 60 5, BC 5, tan 60 BC 5, E, m D,4 m 48 60 A y 5, m y z F B Kateetti FC z BC BF BF DE, m z 5,, Sipin ja Tipin etäisyys 5, 44 y + z y,85, z 5,, 5,44,85 + ( 5,, ) 5,44,85 + 84, 7, 9 + 0, 4 5,6004..., > 0 7, Vastaus: Lintujen etäisyys on 7, m. 05
Harjoituskoe. Pinta-ala A 5 ha 50 000 m ja tien pituus a 5,8 km 5 800 m, joten moottoritien alle jäävä alue on suorakulmion muotoinen. A 50000 ah 50000 5 800h 50 000 : 5 800 h 98 Vastaus: Moottoritien leveys on 98 m.. Kolmion piiri 5 cm Kulman puolittajan vastainen sivu cm + 4 cm 7 cm Sivun y pituus y 5 7 8 Kolmion kulman puolittaja jakaa vastaisen sivun viereisten sivujen suhteessa. Sivu (cm) 8 4 4 84 Kolmion kolmas sivu y 8 cm cm 6 cm y cm 4 cm Vastaus: Kolmion sivut ovat 7 cm, cm ja 6 cm.. Lasketaan ensin ulos tulevan jäälieriön tilavuus. Kasvanut tilavuus,08,5 l,6 l Ulos tulevan osan tilavuus,6 l,6 l 0,0 l 0 cm Lieriön korkeus h d,0 cm Lieriön pohjan ala A π π π cm Tulpan korkeus h (cm) V Ah A π cm, V 0 cm 0 π h : π 0 h 6, 4 π Vastaus: Tulppa työntyy 6,4 cm. 4. Lieriön korkeus 45 cm. Pohjan säde π r 60 :π 0 r π 06
0 40 500 Lieriön tilavuus V πr h π cm 45 cm cm 89 cm π π Toisen lieriön korkeus 60 cm. Pohjan säde π r 45 :π 45 r π Lieriön tilavuus V πr h π cm π 60 cm π cm 9 669 cm 40 500 V 4 Tilavuuksien suhde π. V 0 75 π Vastaus: Tilavuuksien suhde 4 :.. 5. Suorakulmion piiri on 8. 8 Pystysuora sivu y 9 Sivu + (9 ) ( 5) + 8 8+ 45 + 8 6 0 45 0 75 8 ( 8) 4 6 ± 8 + 6 6 4 8 6 4 Sivu y y 9 6 y 9 6 Suorakulmion ala A 6 8 Vastaus: Suorakulmion ala on 8. y 6. Kulman A puolikas α 55 : 7,5 Sivu (cm) Kosinilauseella,7 + 6,00,7 6,00 cos 7,5,845... 07 A 7,5 D y δ,7 cm α 7,5 C 6,0 cm β B
Sinilauseella,845...,7 sin 7,5 sin β,7sin7,5 sin β,845... kyseessä on terävä kulma β 9,076... Kolmion ABD kolmas kulma δ 80 9,076... 55 05,9... Sivu y y,7 sin 7, 5 sin05, 9...,7sin 7,5 y sin05,9... y, 96... Kolmion ala Vastaus: 5,0 cm A 6,00 (,8455... +,96...)sin9,0766... 5,0 7. Onton osan tilavuus on puolet koko pallon tilavuudesta, joten V Vp 4 4 4 π πr : π r r Lisäksi seinämän paksuus on,0 cm, joten r. Täten r r ) r r r : r r 9,7 R F C Vastaus: Pallon säde on 9,7 cm. 08 R D A R R B E
8. Kolmiot ABC ja ABD ovat yhdenmuotoiset (kk). R R R R R R FD R Sivuamissuhde DE R + R+ R Vastaus: Taso jakaa halkaisijan suhteessa :. HARJOITUSKOE. a) α 80 (80 0 5 ) 7 b) Yhdenmuotoisista kolmioista saadaan verranto 40 60 7 + 40 7 + 40 60 4 0 67 40 α 0 5 Vastaus: a) 7 b) 4. Ala A muodostuu neliöstä, josta on leikattu 5π A π 6 4 4 6 7 säteinen neljännesympyrä. A varj 5,0 8A 5π 5π 5 8 6 5 4 4 6 Vastaus: 5 π 5 4. a) Alojen suhde on mittakaavan neliö 0 6 A 6 0 7 A, 7 (m ) 6 09
b) Paino on suoraan verrannollinen tilavuuteen ja tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio. m 6 85 6 85 6 m 0,049 kg 49 g 7 Vastaus: a),7 m 4., 0 sin8,, 0 6,9 sin8, b) 49 g (m) Vastaus: 6,9 m 5. Tilavuus + + 5 6 ( )( ) + 0 4 ( ) ± 05 < 0 ei käy 6 + 05 4 6 Pinta-ala ( 6+ 6 9+ 9) 98 Vastaus: 4 ja ala on 98. 6. Oletetaan, että silmät ovat,6 m korkeudella. 670 cosα 670, 006 α 0,04060... 0,04060... b π 670 5km 60 Vastaus: noin 5 km 0
7. Sivutahkokolmion korkeus a a + 0 5 a 55 Pyramidin korkeus h h + 0 a h ± 45 h 0,65... 0 0,65... 700 V (m ) 0,65... tanα 0 α 64 Vastaus: 700 m, 64 8. Halkileikkauskuvioon muodostuu pienempi tasasivuinen kolmio, jonka sivun pituus on 0. Yhdenmuotoisuussuhde on :, joten alkuperäisen ympyräkartion pohjan säde on 0. Kartion poikkileikkauskuvio on tasasivuinen kolmio, jonka sivu on 40. Kartion korkeus 40 40 8 000π Kartion tilavuus V π 0 4500 0 Vastaus: 8000π cm 4500 cm 0