23 OSA 2. TYYPILLISIÄ ONGELMIA METALLI- JA PINTAKÄSITTELYSSÄ
24 OSA 2. TYYPILLISIÄ ONGELMIA METALLI- JA PINTAKÄSITTELYSSÄ Tässä kirjan osassa sinulla on mahdollisuus oppia luokittelemaan oman työsi keskeisimmät ongelmat, joissa matematiikkaa tarvitaan. Käytännössä nämä ovat jonkin laajemman ongelman osaongelmia, kuten seuraava esimerkki osoittaa. ONGELMA 1: Miten valmistat lieriön, jonka tilavuus on 100 l? Analyysi: On pohdittava ainakin seuraavia kysymyksiä. Mikä on säiliön käyttötarkoitus? Millainen on sen ulkonäön oltava? Millainen lujuus sillä on oltava? Onko se paineastia? Millaista painetta sen on kestettävä? Vaatiiko valmistus viranomaisten hyväksynnän? Onko säiliön kestettävä syöpymistä? Mistä materiaalista se valmistetaan? Millä tarkkuudella se halutaan valmistaa? Mitä yksiköitä laskelmissa käytetään? Mitkä ovat sopivat mittasuhteet? Miten valmistus tapahtuu teknisesti? Jos säiliön ei tarvitse kestää painetta, niin sen pohjat voidaan tehdä suoriksi ja ne voidaan hitsata reunoistaan. Jos taas kyseessä on paineastia, niin pohjien on oltava kuperat ja ne on syytä hankkia valmiina. Emme ota laskelmissamme huomioon näiden kuperien osien sisältämää tilavuutta. Rajoitumme tämän vuoksi tarkastelemaan lieriömäisen säiliön valmistamista. Ongelman ratkaisemiseksi sinun on kyettävä ratkaisemaan seuraavat osaongelmat, joista jokainen edellyttävää tietynlaisia matematiikan taitoja:
25 Osaongelmat Hallittavat osa-alueet Osaongelma 1: minkä muotoiset palat on lensin leikattava? Osaongelma 2: mikä on materiaali ja miten palat on leikattava? Osaongelma 3: mitkä näiden palojen mitat on oltava? ohutlevytyöt ja kappaleiden levitykset paksulevytyöt, polttoleikkaukset, oikaistu pituus työstömitat Osaongelma 4: mikä on mittausja valmistustarkkuus? valmistustarkkuus Osaongelma 5: kuinka paljon peltiä tai pintakäsittelyä tarvitaan? ainemäärät (alat, tilavuudet) Osaongelma 6: kuinka paljon hitsaussaumaa tarvitaan? ainemäärät (paino, pituus) Osaongelma 7: mikä on säiliön levyn paksuus? Osaongelma 8: paljonko valmistus kaikkiaan maksaa? Osaongelma 9: minkä muotoinen säiliö on edullisinta valmistaa? lujuuslaskelmat työstöarvot kustannuslaskelmat optimointilaskelmat On tärkeää saada hieman yleiskuvaa siitä, minkä tyyppisiä matematiikan taitoja kullakin osa-alueella tarvitaan. Tämän vuoksi kirjan tekijä ratkaisee kanssasi ongelman 1 siten, että eri osa-alueilla tarvittavat matematiikan taidot tulevat samalla esitellyiksi. Näin opit tuntemaan tämän kirjan rakennetta ja etsimään kulloinkin tarvitsemiasi tietoja kirjan 3. osasta.
26 Osaongelma 1: Minkä muotoiset palat on ensin leikattava? Analyysi: Aivan ensiksi on osattava tehdä lieriön levitys. Tällä tarkoitetaan lieriön (ajateltua) hajottamista tasokuvioiksi, joista kappale voidaan valmistaa. Voit harjoitella levityksen tekoa purkamalla vaikkapa valmiita pahvi- tai peltipurkkeja. Ratkaisu: levitys Ratkaisun tulkinta: Voit tarkistaa levityksesi, sillä luvussa 3.7. käsitellään levityksiä. Osaongelma 2: Mikä on materiaali ja miten palat voidaan leikata? Analyysi: Kuinka paksusta pellistä säiliö halutaan tehdä? Miten levityskuviot voidaan piirtää? Tarvitaanko polttoleikkausta? Onko käytettävissä polttoleikkauskone? Ratkaisu: Kappaleessa 2.1. on tarkasteltu levityspiirrosten mittoja. Osaongelma 3: Mitkä näiden palojen mitat on oltava? Analyysi: Voit valita lieriön korkeuden tai pohjan halkaisijan vapaasti. Miksi? Tasokuvioita ja niiden pinta-aloja on käsitelty kohdassa 3.6. Kappaleet ja niiden tilavuudet löytyvät kohdasta 3.7. Kirjan loppuun (ks. liite) on koottu pinta-alojen ja tilavuuksien kaavoja. Voit toimia kaavion mukaisesti. Mitä kaavoja sovellat? Ratkaisu: 1. tapa: Valitse pohjan halkaisijaksi vaikkapa 400 mm. Tällöin pohjan säde on 200 mm ja ala tilavuuden kaava vaadittu tilavuus (* )
27 Kirjoita lieriön korkeuden h laskemiseksi yhtälö (pidä laadut koko ajan mukana!): Ratkaise tästä h: 2. tapa: Jos aloitat valitsemalla ensin korkeuden vapaasti, esim. h800 mm, joudut ratkaisemaan yhtälöstä (*) pohjan säteen r. Tämä on r:n suhteen toisen asteen yhtä- lö: josta voit ensin kirjoittaa 2 r ja ratkaista sitten laskimella r Ratkaisu: Lieriön korkeus on... ja pohjan halkaisija... Ratkaisun tulkinta: Millaisen tarkkuuden olet valinnut 100 litran lieriön tilavuudelle? Millaisella tarkkuudella olet ilmoittanut korkeuden ja pohjan halkaisijan? Näitä tarkkuuskysymyksiä on vielä pohdittava seuraavaan tapaan:
28 Osaongelma 4: Mikä on mittaus- ja valmistustarkkuus? Analyysi: Mitkä seikat vaikuttavat valmistetun astian tilavuuden tarkkuuteen? Millaiseen tarkkuuteen mielestäsi pitäisi käytännössä pyrkiä? Ratkaisu: Usein riittää välillä 50 l... 150 l oleva tarkkuus. Mitta-astian tapauksessa suurempaan kuin n. 5 l:n tarkkuuteen on vaikea päästä. Esimerkiksi hitsaustyössä päästään enintään 3% tarkkuuteen (SFS 3393 B). Pohdi opettajasi kanssa, millaista tarkkuutta tämä merkitsee osaongelmassa 3 lasketuissa mitoissa. Ratkaisun tulkinta: Luvuissa 2.4. ja 2.5. on käsitelty tarkkuuteen liittyviä asioita laajemmin. Osaongelma 5: Kuinka paljon peltiä tai pintakäsittelyä tarvitaan? Analyysi: Sinun on tutkittava levityskuvioiden pinta-aloja. Mikä on vaippana olevan suorakulmion kantasivu ja korkeus? Miten vaikuttaa se, onko lieriö suljettu vai avoin? Ratkaisu: Pohjan ala on ympyrän pinta-alan kaavan (ks liite lopussa) mukaan Sijoita kaavaan aiemmin laskemasi r ja laske ala: Vaippa on suorakulmio, jonka pinta-ala on kanta x korkeus. Kantasivu on yhtä suuri kuin pohjaympyrän kehän k pituus, joka on liitteessä olevan kaavan mukaan Kun sijoitat tähän aiemmin laskemasi
29 r, saat Vaipan ala on siis k x k h Ratkaisu: Avoimen lieriön kokonaispinta-ala on siis pohjan ala + vaipan ala Suljetun lieriön kokonaispinta-ala on 2 x pohjan ala + vaipan ala Ratkaisun tulkinta: Peltiä tarvitaan siis avoimeen lieriöön ainakin... ja suljettun lieriöön ainakin... Tästä voidaan myös laskea pintakäsittelyn menekki. Halutaanko säiliö käsitellä sisä- ja ulkopuolelta? Jos maalin menekki on esim. 0.5 dl neliömetrille, tarvitaan säiliön pintakäsittelyyn sekä sisä- että ulkopuolelta maalia... Ainemäärien laskemista on tarkasteltu luvussa 2.7.
30 Osaongelma 6: Kuinka paljon hitsausainetta tarvitaan? Analyysi: Tutki levityskuvioiden ympärysmittoja eli piirejä. Ota huomioon saumaukseen tarvittava osa. Astiaan tarvitaan korkeussuunnassa kaksi saumaa saumat Ratkaisu: Sijoita saumauksen pituuksien arvot alla olevaan taulukkoon. Laske sitten hitsausaineen menekki luvun 2.7. alussa olevan taulukon avulla. Suljettu astia on yleensä paineastia, joten voit olettaa ainepaksuudeksi 10 mm. Tällöin hitsausainetta kuluu 62 m 3 / m. sauman pituus avoin lieriö suljettu lieriö pohjan saumaus vaipan saumaus saumaa yhteensä hitsausaineen menekki Ratkaisun tulkinta: Laske, montako ja millaista hitsauspuikkoa tarvitaan?
Osaongelma 7: Mikä on valmistettavan säiliön lujuus (painekesto)? Analyysi: Paineettoman säiliön seinämän paksuuteen vaikuttaa haluttu jäykkyys (esim. öljytynnyri) tai syöpymiskestävyys (esim. jäteastia). Tarkastelemme säiliötä paineastiana, jolloin päädyt jätetään huomioon ottamatta ja säiliön oletetaan rikkoutuvan halkeamalla. Lujuuslaskelmien alkeita on esitelty luvussa 2.8. Ratkaisu: 31 Halkaiseva voima lieriömäiselle kappaleelle on F p d h ja halkaiseva voima kohdistuu pinta-alaan, jonka suuruus on A 2 s h d s seinän paksuus h Jännitys saadaan kaavasta F R A eli F:n ja A:n sijoittamisen jälkeen R p d h 2 s h. Tästä saadaan ratkaistuksi p: p 2 s R d Aineelle Fe37 sallittu jännitys R on tässä tapauksessa 100 N/mm 2. Kun sijoitat viimeiseen kaavaan säiliön halkaisijan d400m m ja säiliön paksuuden s10 mm, saat tulokseksi p 2 5 N / mm 2 n. 50 bar
32 Ratkaisun tulkinta: Laske alla olevaan taulukkoon kunkin säiliön paksuus vaaditun paineenkeston mukaisesti. paineen kesto (bar) korkeus halkaisija paksuus h (mm) d (mm) s (mm) 5 5 10 10 25 25 100 L 800 200 800 400 800 400 200 800 800 400 200 800 100 L A B Kumpi säiliöistä kestää enemmän painetta?... Miten perustelisit väitettäsi kaavan avulla?...... Osaongelma 8: Paljonko valmistus kaikkiaan maksaa? Analyysi: Mieti, mitkä seikat vaikuttavat valmistuskustannuksiin? Materiaali, leikkaaminen, hitsaus, pintakäsittely,...? Luvussa 2.8. on esitetty malleja yksinkertaisia kustannuslaskelmia varten. Ratkaisu: Arvioi karkeasti opettajasi kanssa välittömät kustannukset ja täytä alla oleva taulukko: osat aineen osuus työn osuus yleiskustannukset hitsaustyö pintakäsittely
33 Ratkaisun tulkinta: Arvioi eri kustannustekijöiden osuutta. Olisitko voinut saada tällaisen säiliön valmiina (esim. öljytynnyrin puolikas)? Osaongelma 9: Minkä muotoinen säiliö on edullisinta valmistaa? Analyysi: Voit valita vapaasti lieriön muodon, mutta vaikuttaako se jotenkin pellin menekkiin? Laske laskimella muutamia erikoistapauksia ja täytä alla oleva taulukko: pohjan halkaisija (m) 20 30 40 50 60 80 korkeus (m) kokonaisala tilavuus (m 2 ) (m 3 ) 100 000 100 000 100 000 100 000 100 000 100 000 Taulukon perusteella todetaan, että ilmeisesti pellin menekki on pienin silloin, kun lieriön korkeus ja pohjan halkaisija...... Onko tämä sattuma vai jotenkin perusteltavissa? Ratkaisu: Oletaan, että valmistat lieriön, jonka tilavuus on Π (3.14) tilavuusyksikköä. Voit laskea sen edullisimman muodon saman periaatteen mukaisesti kuin luvussa 1.8. laskettiin edullisin särmiön muoto. Yritä tulkita, mitä alla oleva BASIC-ohjelma tekee. Kokeile sitä ja yritä tehdä sen tulostuksesta johtopäätös! BASIC-ohjelma 10 REM T on kussakin vaiheessa pienin ala 20 T1000 30 S.000001 40 FOR HS TO 10 STEP S 50 FOR RS TO 10 STEP S 60 LET QT 70 H1/R*R 80 A3.14+6.28/R 90 IF P<Q THEN LET TA 100 IF P<Q THEN LET KH 110 IF P<Q THEN LET LR 130 NEXT B 140 NEXT A 150 LPRINT "PIENIN ALA ON : ",T 160 LPRINT "KORKEUS ON TÄLLÖIN: ",K 170 LPRINT "JA POHJAN HALK. ON:",2*L 180 END selitys: 2 2 ΠR H Π > H1/R 2 AΠR H +2ΠRH 2 ΠR 1/R +2ΠR 1/R Π+ 2Π /R
34 Ratkaisun tulkinta: Lieriön valmistuksessa kannattaa siis ottaa huomioon pohjan ja korkeuden mittasuhteet. Ilmeisesti kaikilla muillakin kappaleilla on oma optimaalinen muotonsa. Optimointilaskelmien alkeita on tarkasteltu luvussa 2.9. Ratkaise seuraava ongelma, jotta oppisit hajottamaan ongelman osaongelmiksi ja menettelemään edellä esitetyllä tavalla. Täydennä puuttuvat osat ottamalla mallia edellisen ongelman ratkaisusta! ONGELMA 2. Miten valmistaisin teräspellistä oheisen suorakulmaisen särmiön muotoisen suljetun säiliön? Ongelman analyysi: Säiliöllä voi olla hyvin erilainen muoto. Miksi? Mitkä suureet voit valita vapaasti? Mistä voin aloittaa mittojen laskemisen? Tarkastelen seuraavia osaongelmia. Osaongelma 1: Millainen on tällaisen säiliön levityskuvio? Analyysi: Osaanko tehdä levityksen heti? Tarvitsenko opastusta kirjan osasta 3.7.3? Voin tutkia levitystä hajottamalla vastaavan muotoisia pahvipakkauksia. Ratkaisu: Piirrän levityskuvion: Ratkaisun tulkinta: Onko muunlaisia levityskuvioita? Osaongelma 2: Mitkä ovat levityskuvion työstömitat? Analyysi: Voin valita kappaleen kaksi särmää vapaasti. Kolmannen särmän saan lasketuksi. Työstömitoista löydän tietoa kirjan luvusta 2.2. Ratkaisu: Merkitsen pohjasärmiä kirjaimilla a ja b ja korkeutta kirjaimella. Valitsen näistä ensin: ja
35 Etsin kirjan lopusta tilanteeseen sopivan kaavan, sijoitan särmien arvot paikalleen ja muodostan yhtälön: Tulos: Särmien työstömitat ovat:...,... ja... Ratkaisun tulkinta: Vertaan omaa ratkaisuani oppilastoverieni ratkaisuun. Huomaan, että muiden ratkaisut ovat... Ilmeisesti ratkaisuja on... määrä. Osaongelma 3: Miten piirrän ja leikkaan levityskuvion? Analyysi: Käytän apunani seuraavan taulukon jäsentelyä: Tarvitsenko apua pirtämiseen kirjan kohdasta 10? Tarvitsenko tietoa levytöistä kirjan luvusta 2.1? Ratkaisuni: käytänkö tätä kyllä ei miten menettelen? geokolmio astemitta viivoitin harppi jokin muu
36 Ratkaisun tulkinta: Millä muulla tavoin voin piirtää ja leikata levityskuvion? Osaongelma 4: Mikä on mittaus- ja valmistustarkkuus? Analyysi ja ratkaisu: Käytännössä voidaan päästä ilmeisesti korkeintaan 5 prosentin tarkkuuteen. Tämä vastaa... litran tarkkuutta. Osaongelma 5: Kuinka paljon peltiä tai pintakäsittelyä tarvitaan? Analyysi: Vastaus löytyy levityskuviosta. Se koostuu tasokuvioista, jotka ovat... Osaanko näiden kuvioiden pinta-alojen kaavat? Löytyvätkö ne kirjan osasta 3? Ratkaisu: Sijoitan osaongelmassa 1 laskemani työstömitat seuraaviin kaavoihin: pohjat sivut päädyt Tulos: Levityskuvion pinta-ala on... Ratkaisun tulkinta: Mitä yksiköitä on mielekkäintä käyttää? Mikä on edellä laskemani pinta-alan tarkkuus? Entä mahdolliset saumanvarat? Mikä on pintakäsittelyyn tarvittava ala a) ulkopuolisesti b) molemmin puolin käsiteltäessä? Osaongelma 6: Kuinka paljon hitsaussaumaa tarvitaan? Analyysi: Saumattava matka on vähintään särmien yhteenlaskettu pituus. Ratkaisu: Hitsaussaumaa tarvitaan suljetun säiliön tapauksessa yhteensä vähintään
37 Ratkaisun tulkinta: Mitä pituusyksikköä on mielekkäintä käyttää? Kuinka tarkka on edellä laskemani pituus? Katson kohdan 2.6 taulukoista, kuinka paljon hitsauspuikkoja tarvitaan ja kirjoitan tähän vastaukseni: Osaongelma 7: Kuinka paksusta levystä valmistan säiliön? Analyysi: Käytän apunani kirjan osassa 2.7 esitettyjä lujuuslaskelmien alkeita. Ratkaisuni: Ratkaisun tulkinta: Kuinka paljon tällainen säiliö painaa? Etsin raudan tiheyden ja lasken laskimellani: Tulos:... kg. Osaongelma 8: Paljonko valmistus kaikkiaan maksaa? Analyysi : Käytän kohdassa 2.8 esitettyjä tietoja ja alla olevaa taulukkoa välittömien kustannusten laskemiseksi. Ratkaisu: kustannustekijä määrä hinta yhteensä levytyö saumaus pintakäsittely muut pelti työ puikot työ aine työ välittömät kustannukset yhteensä Ratkaisun tulkinta: Olisiko säiliö mahdollista ostaa? Kannattaisiko se ostaa? Voisiko sen teettää? Missä? jne. Entäpä, jos säiliöitä pitäisi valmistaa suurempi määrä?
38 Osaongelma 9: Minkä muotoinen säiliö on edullisinta valmistaa? Analyysi: Minkä muotoinen säiliö olisi matemaattisesti tarkasteltuna edullisinta valmistaa? Ilmeisesti sellainen 100 litran säiliö, jonka pinta-ala on mahdollisimman pieni! Ratkaisu: Voin valita vapaasti erilaisia särmien pituuksia tai verrata oppilastoverieni laskemia arvoja ja sijoittaa ne alla olevaan taulukkoon: pituus leveys korkeus ala tilavuus (m) (m) (m) (dm 2 ) (dm 3 ) 46.4 46.4 46.4 108 100 46.4 23.2 92.8 140 100 kommentteja Taulukon perusteella voin päätellä, että särmiö on ilmeisesti alaltaan pienin, kun... Voin käyttää kirjan kohdassa 1.8 esitettyä valmista tietokoneohjelmaa ja todeta yleisemminkin, että tilavuudeltaan samoista särmiöistä on kuutio pinta-alaltaan pienin! toisin sanoen pinta-alaltaan samankokoisista särmiöistä on kuutio tilavuudeltaan suurin
39 Ratkaisun tulkinta: Käytännössä valmistuskustannuksiin vaikuttavat muutkin tekijät kuin pelkästään matemaattisesti laskettu pellin menekki. Kirjoitan tähän joitakin tällaisia tekijöitä:......... Olen nyt ratkaissut koko ongelman 2. Huomaan, että on tärkeää erottaa toisistaan suljetun ja avoimen särmiön tapaukset! Käyn vielä läpi osaongelmat 1-9 ja kirjoitan seuraavaan taulukkoon havaintoni. osaongelma 1 mitä ratkaistaan suljettu säiliö avoin säiliö levityskuvion muoto 2 3 4 5 6 7 8 levityksen työstömitat levityksen leikkaaminen valmistustarkkuus pellin menekki sauman pituus levyn paksuus (lujuus) valmistuskustannukset 9 optimaalisin muoto ONGELMA 3: Miten valmistan kuution muotoiset astiat teräspellistä, kun halutut tilavuudet ovat 1 ml, 1 l, 1 dl, 1 l ja 100 l?
40 Analyysi: Kyseessä on ongelmaa 2 täysin vastaava ongelma, joten osaan koota osaongelmat ja niiden ratkaisut suoraan seuraavaan taulukkoon:. osaongelma 1: levityskuvio? työstömitat? tilavuus osaongelma 2: litroina kuutiomittoina yhtälö ratk. särmän pituus V x 3 A 6x 2 1.0 ml 1.0 l 1.0 dl 1.0 l 100 l 1000 l 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x x x x x x x 3 x osaongelma 3: leikkaus./piirto? osaongelma 4: tarkkuus? osaongelma 5: pinta-ala? osaongelma 6: saumaus? osaongelma 7: pellin valinta? osaongelma 8: kustannukset? muita huomioita
41 2.1. Levityspiirrosten mitat ja tavallisimpien kappaleiden valmistaminen
42 Edellä laskimme muutamien tavallisimpien kappaleiden levityskuvioiden mitat perinteisellä tavalla geometrian perustietojen avulla. Näitä on koottu kirjan osaan 3.6. Nyt sinulla on tilaisuus opetella tämäntapaisia laskutoimituksia seuraavien tehtävien avulla. Tehtävä 1. Laske oheisesta levityspiirroksesta pisteiden A, B, C ja D koordinaatit pisteen O suhteen. Piste Koord. x R os a y R sin a A B C D Tehtävä 2. Laske oheisesta levityspiirroksesta pisteiden A, B, C ja D koordinaatit pisteen O suhteen. (Opastus: laske ensin kulma a radiaanin määritelmästä keskuskulma kaari /säde) Piste Koord. x R os a A B C D y R sin a
43 Tehtävä 3. Laske vihkoosi alla olevassa levityskuviossa kirjaimilla merkityt suureet. (Vihje: Sektorin kaaren pituus on sama kuin kartion pohjaympyrän kehä. Tästä voit laskea ensin kulman a.). Tehtävä 4. Laske vihkoosi alla olevassa levityskuviossa kirjaimilla merkityt suureet. (Vihje: Kannattaa edetä seuraavassa järjestyksessä: Kartion helmat ovat yhtä suuret kuin levityssektorien pituudet. 1. Laske kulma a. 2. Laske d. 3. Laske Pythagoraan lauseen avulla s1 ja s2. 4. Laske kulma g. 5. Laske kulma b. 6. Laske f ja e.)
44 Tämä luvun alussa tutustuit jo lieriön ja särmiön valmistamiseen. Hyvin yleisiä näiden ohella paljon kartion, katkaistun kartion ja katkaistun pyramidin muotoiset kappaleet. Näiden kappaleiden perustiedot löydät kirjan osista 3. 7.3 ja 3.7.4 ja niiden avulla voit ratkaista seuraavat ongelmat. ONGELMA 1: Miten valmistan oheisen 1.0 dl:n suppilon? Osaongelma 1: Mitkä ovat työstömitat? Analyysi: Voin valita joko kartion korkeuden tai pohjan halkaisijan vapaasti. Kumpi on edullisinta valita ensin vapaasti? Ratkaisu: Kaavan löydän kirjan lopusta (ks. liite). Sijoitan muuttujat kaavaan kartion tilavuus 1.0 dl Valitsen r:n vapaasti saan 1. asteen yhtälön h r Valitsen h:n vapaasti saan 2. asteen yhtälön Valitsen esimerkiksi säteeksi r: r Tällöin saan yhtälön eli kartion tilavuus 1.0 dl Ratkaisen tästä laskimella korkeuden h: h Tulos: Kartion korkeus on... ja pohjan säde...
45 Ratkaisun tulkinta: Osaisinko laskea kartion pohjan säteen myös siten, että valitsen ensin kartion korkeuden? Kokeilen tätä valitsemalla korkeudeksi juuri äsken laskemani h:n. Toisen asteen yhtälön ratkaisuksi pitäisi tulla sama kuin aiemmin valitsemani r! Osaongelma 2: Millainen on vaadittavan kartion levityskuvio? Ratkaisu: Piirrän kartion levityskuvion: levitys Miten lasken kartion levityskuvion mitat? Voin menetellä seuraavasti: tiedän korkeuden h ja pohjan säteen r h r s lasken kartion sivujanan s s s on myös vaipan levityssektorin säde s lasken sektorin keskuskulman α 2 2 s r + h sektorin kaaren pituus α 360 o kartion pohjan kehä 2 Π s 2 Π r α josta α r 360 o s
46 Tulos: Voin valmistaa kartion ympyräsektorista, jonka säde on... ja keskuskulma... astetta. Ratkaisun tulkinta: Tiedän nyt kartion levityskuvion mitat, joten voin ratkaista suoraan seuraavat osaongelmat. Osaongelma 3: Miten piirrän ja leikkaan levityskuvion? Ratkaisu: Kirjoitan tähän tyhjään tilaan sanallisen selvitykseni. Harjoittelen myös piirtämällä paperille harpin ja astemitan avulla! Osaongelma 5: Paljonko peltiä (tai pintakäsittelyä) tarvitaan? Ratkaisu: Levityskuvion ala on tietty osa s-säteisestä ympyrästä: osuus koko ymp. alasta vaippana olevan sektorin ala 360 o α o 360 Π s 2
Tarkastelen vielä pääpiirtein jäljellä olevien osaongelmien ratkaisuja: 47 osaongelmat ratkaisuni lyhyesti 4 6 7 8 9 valmistustarkkuus sauman pituus levyn paksuus (lujuus) valmistuskustannukset optimaalisin muoto ONGELMA 2: Miten valmistan oheisen katkaistun kartion muotoisen 10 l:n peltiämpärin? Analyysi: Mistä kaikista seikoista ämpärin tilavuus ja pinta-ala riippuu? Montako näistä voin valita itse vapaasti? Osaongelma 1: Mitkä ovat työstömitat? Ratkaisu: Piirrän mallikuvan ja merkitsen siihen kirjainsymboleilla ne muuttujat, joista tilavuus riippuu:
48 Etsin katkaistun kartion tilavuuden kaavan ja sijoitan nämä muuttujat siihen L valitsen ja vapaasti saan yhden muuttujan yhtälön :n :n dm m 3 3 lasken :n m Tulos: Ämpärin korkeus on... Pohjien halkaisijat ovat... ja... Ratkaisun tulkinta: Mitaan, kuinka suuret nämä vastaavat mitat ovat yleensä 10 l:n muoviämpäreissä. Vertaan tulostani niihin. Osaongelma 2: Millainen on ämpärin levityskuvio ja mitkä ovat sen mitat? Analyysi: Voin tutkia levityskuviota esimerkiksi hajoittamalla kertakäyttömukeja tai vanhoja muoviämpäreitä. Löydän tietoa myös kirjan osasta 3.7.3. Ratkaisu: Piirrän seuraavalle sivullelevityskuvion muodon (pääpiirtein) ja merkitsen siihen jo laskemani mitat.
49 Ämpärin korkeuden ja pohjien säteiden mittalukujen perusteella en voi vielä piirtää levityskuviota tarkasti. Joudun vielä laskemaan seuraavan sivun malli kuviosta säteet K, L sekä keskuskulman α. Nämä voin laskea kartion sivukuvasta yhdenmuotoisten kolmioiden avulla. s L h r 1 r 2 K K 2 r + 1 2 h r 2 1 (r - r ) 1 1 2 L α 360 2 r + Keskuskulma α saadaan yhtälöstä 2 sektorin pienemmän kaaren pituus ο 2 h r 2 2 (r - r ) 1 2 2 Π L 2 ämpärin pienemmän pohjan kehän pituus 2 Π r 1 Lasken laskimella suureet K, L ja α sekä piirrän levityskuvion papreille harpin, viivaimen ja astemitan avulla. Tulos: K..., L... ja α...
50 Osaongelma 3: Mikä on ämpärin kokonaispinta-ala? pohjan pintaalan kaava tulos laskimella katkaistun kartion vaipan alan kaava saan laskimella vaipan alan suuruudeksi sijoitan suureiden arvot paikalleen Tulos: Ämpärin valmistamiseen tarvitaan peltiä (vähintään)......... Ratkaisun tulkinta: Luultavasti pellin menekki on pienin silloin, kun pohjien säteet ja ämpärin korkeus eivät poikkea kovin paljon toisistaan. Miksi? Voin tutkia myös osaongelmia 4-9, kuten aikaisempien kappaleiden valmistuksessa: 4 6 7 osaongelmat valmistustarkkuus sauman pituus levyn paksuus (lujuus) ratkaisuni lyhyesti 8 valmistuskustannukset 9 optimaalisin muoto
51 Tällaisen valmistusongelman voi ratkaista myös seuraavan tietokoneohjelman avulla. On myös melko helppoa laatia ohjelma, jolla ämpärin edullisin muoto voidaan löytää (vrt. kohdassa 1.8 esitetty BASIC-ohjelma). " Kvasialgoritmi ": BASIC-ohjelma: Valitsen pohjien säteiksi R110 ja R2 20 (m) "kasvatan korkeutta" 10 m:stä lähtien, kunnes tilavuus 10 L ylittyy 10 E1 20 R110 30 R220 40 H10 50 U(3.14*H)(R1*R1+R1*R2+R2*R2) 55 VU/3 60 IF (V-10000)>0 THEN GOTO 100 70 HH+E 80 GOTO 50 100 PRINT R1,R2,H 110 END ONGELMA 3: Miten valmistan oheisen katkaistun pyramidin muotoisen 10 l:n altaan? Analyysi: Katkaistusta pyramidista löydän tietoa kirjan osasta 3.7. Voin ilmeisesti menetellä samaan tapaan kuin katkaistun kartion tapauksessa. Kaavakokoelmasta löydän sopivat kaavat. Pohdin viereisen kuvion ja alla olevan taulukon avulla, mitä seikkoja vaadin altaan muodolta: ovatko pohjat suorakulmioita? ovatko pohjat neliöitä? ovatko pohjat yhdenmuotoiset? kyllä ei b' a a' mitä päätös vaikuttaa altaan muotoon? b onko katkaistu kartio "suora"? onko katkaistu kartio vino?
52 Ratkaisu: Osaan erottaa kaikki eri osaongelmat. Ensin selvitän altaan levityksen ja tilavuuteen vaikuttavat mitat. levitys Osaan menetellä kuten katkaistun kartion tapauksessa ja laskea altaan mittasuhteet laskimella: katkaistun pyramidin tilavuuden kaava L voin valita esim. pohjien alat vapaasti h 3 (ab + aba'b' + a'b') voin siis valita a:n ja b:n vapaasti ja esim. a'a/2, b'b/2 lasken korkeuden h dm m 3 3 m
Osaan myös käyttää alla olevia kuvioita ja suunnitella niiden avulla levityskappaleen sekä piirtää sen tarkasti leikkaamista varten.: 53 b' a a' a' b x x b' x b a Isomman pohjan lävistäjä d1 a + b 2 2 2 ja pienemmän pohjan lävistäjä d2 a' +b' Kun merkitään dd1-d2, saadaan sivujana x d + h 2 2 2 POHDIN VIELÄ JÄLJELLÄ OLEVIA OSAONGELMIA JA TEEN SEURAAVAAN TAULUK- KOON YHTEENVEDON
54 osaongelma 1: levityskuvio? työstömitat? tilavuus osaong. 2: litroina kuutiomittoina yhtälö ratkaisu särmät osaongelma 3: leikkaus/piirto? a b 3 3 10 L dm m a' b' korkeus ( h ) osaongelma 4: tarkkuus? osaongelma 5: pinta-ala? osaongelma 6: saumaus? osaongelma 7: pellin valinta? osaongelma 8: kustannukset? osaongelma 9: optimimuoto? Kaava ja sijoitukset siihen: Ratkaisu:
Harjoitustehtäviä 55 1. Kuorma-auton 6 m 3 metallilava valmistettiin 8 mm teräspellistä. Kuinka paljon peltiä kului ja kuinka paljon lava painoi, kun raudan tiheys on 7.8 kg/dm 3? Lavan pituus oli 4,60 m ja leveys 1,80 m. Jos lava pintakäsiteltiin ympäriinsä, niin kuinka paljon tämä kokonaispinta-ala oli? 2. Oletetaan, että lieriön korkeus on sama kuin pohjan halkaisija, jotka molemmat ovat kuution särmän suuruiset. Kumpi on tilavuudeltaan suurempi? Perustelusi! 3. Kuinka paljon peltiä säästät kuutioon verrattuna, jos valmistat sen asemasta 1.000 l:n suuruisen lieriön muotoisen astian, joka on 10.0 m korkea? 4. Valmista rautalangasta tai pellistä oktaedri ja ikosaedri, joiden mallit löydät luvun 3.7. lopusta. Mitä arvelisit näiden muotojen optimaalisuudesta kuutioon verrattuna. Entä palloon verrattuna? 5. Kerrottiin, että kuljettaja oli nukahtanut ja täysperävaunullnen tankkiauto syöksynyt järveen lastinaan 20.000 litraa polttoöljyä. Arvioi auton kahden säiliön mittoja ja päättele, voiko kertomus pitää paikkansa. Olivatko säiliöt täysiä? 6. Oletetaan, että kaikki öljy valui järveen ja muodosti 0,001 mm:n paksuisen kerroksen veden pinnalle. Kuinka laajan järven öljy kykenisi saastuttamaan? 7. Kottikärryjen lava on suoran katkaistun pyramidin muotoinen. Pohjan mitat ovat 450 mm x 600 mm ja reunojen mitat 600mm x 800 mm. Laske tilavuus, jos korkeus on 380 mm. 8. Pakettiauton kuormatilavuuden on oltava vähintään 3 m 3. Täyttääkö tämän vaatimuksen sellainen tavaratila, jonka pituus on 180 m, korkeus 123 m ja leveys 132 m? 9. Paloturvallisuusmääräykset vaativat omakotitalon kattilahuoneeseen 60 litran hiekkalaatikon. Kuinka korkeaksi se on tehtävä, kun pohjan alaksi sopii 400 mm x 500 mm? 10. Kuorma-auton lavan pohjan mitat ovat 2480 mm x 5710 mm ja korkeus 2300 mm. Kuinka paljon alumiinipeltiä tarvitaan lavan kattamiseksi, kun hukkapaloihin on varattava 15 %?
56 2.2. NC (Numerial Control) polttoleikkauksen koordinaatit Nykyisin koneet hoitavat yhä useammin levyn leikkaamisen. Leikkauskoneelle on osattava antaa levityskuvion tiedot. Tämä tarkoittaa käytännössä tiettyjen pisteiden koordinaattien laskemista jonkin kiinteän pisteen suhteen. Nämä syötetään ohjelmaan, jolla on seuraavat ominaisuudet:
1. Polttoleikkausohjelma koostuu suorista ja ympyränkaarista. 57 2.Ohjelmaa varten on laskettava kunkin viivan päätepisteen koordinaatit tämän alkupisteeseen nähden (ns. inkrementaalinen ohjelmointitapa). Ympyrän kaaren ohjelmoimiseksi tarvitaan lisäksi ympyrän keskipisteen koordinaatit. Ohjelmassa siirrytään rivillä aina pisteestä seuraavaan ( 0-->1, 1-->2, jne.). 3. Laskelmat tehdään 0,01 mm:n tarkkuudella, jotta ohjelma olisi kirjoitettavissa 0,1 mm:n yksiköissä (Huom. pilkkua ei käytetä!). Esimerkki 1. y x 100 30 100 1 2 3 origo Yllä oleva leikkauskuvio ohjelmoidaan seuraavalla tavalla: Ohjelma: (mitat 0,1 mm) loppupiste keskipiste suunta 0 1 2 alkupiste loppupiste 1 2 3 X Y I(X) J(Y) +1300 + 0 + 0-1000 -1000 +1000 + 0 +1000 - Seuraavalla sivulla on esimerkki polttoleikkausohjelman kirjoittamisesta yhdenmuotoisten kolmioiden avulla.
58 Tehtävä 1. Laske kirjaimilla merkittyjen pisteiden koordinaatit Ax, Ay ; Bx, By muutoksina edellisestä pisteestä. a) **** kuva toimitetaan painoon erillisenä **** X Y I(X) J(Y) O--->A A--->B B--->C C--->D b) **** kuva toimitetaan painoon erillisenä ****
59 X Y I(X) J(Y) O--->A A--->B B--->C ) C--->D **** kuva toimitetaan painoon erillisenä **** O--->A A--->B X Y I(X) J(Y) B--->C C--->D
60 Esimerkki 2. a 165-50 115 2 2 b 115-60 **** kuva toimitetaan painoon erillisenä **** 98,11 50 d 50 60 115 26.09 b 105 d 42.66 alkupiste loppupiste Ohjelma: (mitat 0,1 mm) X Y I(X) J(Y) 0--->1 + + 500 1--->2 2--->3 +927 (50 + d) + +1200 +261 +500 + - () 3--->4 + -1722-1408 -861 - (120+2) (d+b) (60+) 4--->5-927 +261-427 +261 (50+d) () (d) () -
Esimerkki 3. Polttoleikkausohjelman laatiminen trigonometrian avulla. 61 tan α 300 500 **** kuva toimitetaan painoon erillisenä **** α artan 0,6 o α 30,96 sin α b 230 b 230 sin 30,96 o 118,33 a os α 230 a 230 os 30,96 o 197,22 Ohjelma: (mitat 0,1 mm) loppupiste alkupiste X Y I(X) J(Y) 0--->1 + 1--->2 2--->3 +2300 +328 +1183 +2300 + - (2300-a) (b) +3000 +5000 3--->4 +3944-2367 +1972-1183 - (2a) (2b) (a) (b) 4--->5 5--->6-3000 -5000-4272 +1183-1972 +1183 - (-2300-a) (b)
62 Tehtävä 2. Laske kirjaimilla merkittyjen pisteiden koordinaatit Ax, Ay ; Bx, By muutoksina edellisestä pisteestä. a) X Y I(X) J(Y) O--->A A--->B B--->C b) C--->D
63 X Y I(X) J(Y) O--->A A--->B B--->C ) C--->D O--->A A--->B X Y I(X) J(Y) B--->C C--->D
64 2.3. NC (Numerial Control) koneistuksen koordinaatit Numerial Control -koneistuksen ohjelmassa ilmoitetaan tavallisesti liikkeen päätepisteen koordinaatit kiinteän pisteen suhteen. Tätä pistettä kutsutaan kappaleen absoluuttiseksi nollapisteeksi, joka on useimmiten joko kappaleen nurkassa tai keskiössä. Liike tapahtuu kuten polttoleikkauksessakin pitkin suoria tai ympyränkaaria. Koneistusohjelmia joudutaan usein korjailemaan työstökoneen ääressä, joten koneistajan on kyettävä laskemaan koordinaatit laskimella. Ohjelmointitarkkuus on yleensä 0,001 mm, jolloin laskelmat on tehtävä vähintään 0,0001 mm:n tarkkudella. Desimaalipilkkua käytetään normaalisti.
65 Tehtävä 1. On porattava ympyrälevyn kehälle kahdeksan reikää tasajaolla. Laske reikien keskipisteiden koordinaatit levyn keskipisteen suhteen. Tehtävä 2. Laske merkittyjen pisteiden koordinaatit O-pisteen suhteen.
66 Tehtävä 3. Laske merkittyjen pisteiden koordinaatit O-pisteen suhteen. Tehtävä 4. Laske merkittyjen pisteiden absoluuttiset koordinaatit pisteen O suhteen.
2.4. Oikaistu pituus 67
68 Metallia joudutaan usein taivuttamaan. Oikaistuksi pituudeksi kutsutaan pituutta ennen taivutusta. On nopeampaa ja vaivattomampaa leikata kappaleet suorana tehokkailla laitteilla kuin käsityönä taivutuksen jälkeen. Tarkkuus ei kuitenkaan säily taivutuksessa. Sen vuoksi laskutarkkuudeksi riittää 1 mm. Taivutuksessa ulkolaita venyy ja sisälaita supistuu. Neutraaliakseli pysyy alkuperäisen mittaisena. Pyöristyksessä neutraaliakseli on keskellä pyöristettävää levyä, tankoa, putkea tms. venyy supistuu S/2 S/2 S neutraaliakseli R Pyöristyksessä R S > 4 Taivutuksessa neutraaliakseli on sisempänä, n. 1/3 sisäreunasta. S/3 S R Särmäys voidaan laskea suorakulmaisen sisäreunan mukaan Taivutuksessa 4 > S R S > 1 R Särmäyksessä R S < 1,5
69 Taivutusvara määräyty materiaalin ja taivutuksen muodon mukaan.teräkselle pienin suositeltava suhde R/S on 0.65, mutta joskus käytetään myös ns. vahvistustaitosta (ks kuva). Tällöin taivutussäde on itse asiassa nolla! Esimerkki 1. Oheisen kuvan mukainen pyöristys lasketaan seuraavasti: 150 o R 10 S/3 S 5 L Π α 180 ο 1 ( R + S 3 ) 3,14 x 150 180 o o ( 10 + 5 ) 3 31 ( mm ) taivutettava Voit harjoitella oikaistun pituuden laskemista seuraavan sivun tehtävillä. 31
70 Tehtävä 1. Laske oikaistu pituus viereiselle pyöristykselle. O 400 10 Tehtävä 2. Laske oikaistu pituus viereiselle särmäykselle. 3 R 3 100 200 Tehtävä 3. Seitsemän halkaisijaltaan 260 + 1 millimetrin kaasupulloa niputetaan viereisen kuvan mukaisesti 8 x 40 teräspannalla. Laske pannan oikaistu pituus. Tehtävä 4. Laske vastaava panta 6 mm teräksestä kolmelle pullolle.
2.5. Työstöarvot ja esimerkkejä kustannuslaskelmista 71
72 Kokeellisilla tutkimuksilla on saatu taulukoita, joista ilmenee, kuinka suurella leikkuunopeudella terällä voidaan leikata ilman ylikuumenemista. Leikkuunopeus saadaan helposti pyörimisnopeudeksi kaavalla v Π d n v leikkuunopeus (kehänopeus) d pyörimiskappaleen halkaisija n pyörimisnopeus (1/min tai 1/s) Tästä voidaan ratkaista n, jolloin saadaan v n v π d v π (m / min) d (metreinä) n 1000 π x v (m/min) d (milleinä) n 320 v d, missä v m/min tai m/s ja d aina millimetreinä! Tämä kaava on erittäin käyttökelpoinen, joten sinun kannataa opetella se ulkoa! Voit harjoitella kaavan käyttöä seuraavilla tehtävillä. Tehtävä 1. Terä kestää leikkuunopeuden 310 m/min. Mikä on suurin pyörimisnopeus halkaisijaltaan 1300 mm:n sorvaukselle? Tehtävä 2. Mikä on edellisen tehtävän terän suurin pyörimisnopeus kappaleille, joiden halkaisijat ovat a) 650 mm b) 325 mm ) 160 mm ja d) 20 mm? Tehtävä 3. Jyrsin, jonka halkaisija on 180 mm, pyörii nopeudella 340 kierrosta minuutissa. Mikä on leikkuunopeus?
Työstöaika voidaan laskea seuraavalla kaavalla: 73 T 1 n x s T työstöaika (n:n mukaisena laatuna) työstöpituus s syöttö Esimerkki 1. Kuinka kauan vie aikaa 8 m pitkän, halkaisijaltaan 1200 mm:n lieriön silityssorvaus 0,25 mm:n syötöllä, kun pyörimisnopeus on 1,5 1/s? Ratkaisu: T 1 1,5 / s x 8000 mm 0,25 mm 21000 s 5 h 55 min Tehtävä 4. Kuinka kauan vie aikaa 0,860 m:n ja halkaisijaltaan 50 mm:n lieriön silityssorvaus 0,30 mm:n syötöllä, kun pyörimisnopeus on 4/s? Entä kuinka pitkä lieriö voidaan sorvata 5 minuutissa? Tehtävä 5. Jos tehtävän 1 sorvissa terän vaihdon jälkeen syöttö lisääntyy 20%, niin kuinka monta prosenttia työstöaika lyhenee?
74 Kustannuslaskennalla selvitetään työn kannattavuus. Siihen liittyy läheisesti palkkojen laskeminen, joka jokaisen työntekijän on hallittava. Nykyisin työntekijän on ymmärrettävä, mistä kustannukset muodostuvat pystyäkseen vähentämään niitä kireässä kilpailutilanteessa. Kustannuksia lasketaan prosenttilaskennan avulla, koska joudutaan jakamaan yhteisiä menoja osiin ja lisäämään suhteellisia osuuksia palkkoihin jne. Esimerkki 2. Säiliön valmistamisen urakkahinta on 580 mk. Metalliteollisuuden on lisättävä tähän 70 % työnantajan sosiaalikuluja, joten kustannukset tämän lisäyksen jälkeen ovat 1,7 x 580 mk 986 mk. Yleiskustannukset lisätään usein prosentteina, ellei selvää kustannusmomenttia ole osoitettavissa. Ne voivat olla palkkoja suuremmat, esimerkiksi 220 %. Kun ne lisätään edellä saatuihin palkkakustannuksiin, saadaan kokonaiskustannuksiksi 3,20 x 986 mk 3155 mk. Raaka-aineet ovat yleensä selvästi pienempi kustannuserä. Ne voidaan laskea kilohinnasta ottamalla huomioon hukkaan menevä prosentti. Jos esimerkiksi 3,2 mk:n kilohintaista raaka-ainetta tarvitaan 85 kg ja hukkaprosentti on 30 %, ovat raaka-ainekustannukset 1,3, x 85 kg x 3,20 mk /kg 354 mk. Muut pienemmät kustannukset arvioidaan usein kertoimella, esimerkiksi edellä olevassa tapauksessa 20 %:n lisällä: 1,2 x (3155 mk + 354 mk ) 4211 mk. Harjoitustehtäviä 1. Suunnittele edellä olevan esimerkin perusteella taulukko, jonka avulla voit nopeasti ja helposti arvioida tämäntapaisia kustannuksia. 2. Mitä maksaa 8,50 metriä pitkän lieriön puhtaaksisorvaus 0,25 mm:n syötöllä ja pyörimisnopeudella 5,2 1/min, kun asetusaika on 1,2 h ja apuaikaa varataan 10 %? Konekustannukset ovat 620 mk /h. Teristä, sähköstä ja leikkuunesteestä tulee vielä 8 % lisäkust annuksia. Sosiaaliturvakustannukset voit laskea kuten esimerkissä 2. 3. Laadi taulukko, jonka avulla voit tutkia tehtävän 2 kustannusten muuttumista erilaisilla teränopeuksilla. Keskustele opettajasi kanssa leikkuunopeuden vaikutuksesta terän kulumiseen ja terän vaihtanmiskustannuksista. Luvussa 2.10 on annettu esimerkki tämäntapaisten kustannusten minimoimisesta, joten voit tutustua siihen jo tässä vaiheessa.
75 2.6. Esimerkkejä lujuuslaskelmista Lujuusoppi sisältää ongelmia, joiden ratkaiseminen vaatii kaavojen käsittelykykyä. Tällöin laatujen kuljettaminen mukana on tärkeää tuloksen oikeellisuutta kontrolloitaessa. Ainepaksuudet määritetään pääasiassa lujuuden ja jäykkyyden (so. muodonmuutosten vastakohdan) mukaan. Tarkastelemme lujuusopin perusteita pelkästään esimerkkien avulla.
76 Esimerkki 1. Miten paksusta teräslevystä on tehtävä 300 mm leveä ja 900 mm pitkä porrasaskelma, jotta se taipuisi 100 kg painavan henkilön alla korkeintaan 1,0 mm? Ratkaisu saadaan lujuusopin kaavoilla seuraavasti: f taipuma F 3 F kohdistuva voima (1) f E I kappaleen pituus E aineen kimmomoduli I on jäykkyyden ilmoittava poikkipinnan neliömomentti. Se on eri muotoisille tangoille saatavissa taulukoista. Pyöreälle tangolle se lasketaan kaavasta I 0,05 d ja suorakul-maisen särmiön muotiselle tangolle kaavasta (2) I b h 3 b 12 h Kaavasta (1) saadaan 3 F I 48 E f 3 3 b leveys h korkeus 1000 N x 900 mm 4 3 2 69349 mm 48 x 219 x10 x N/mm x 1,0 mm Kaavasta (2) saadaan h 3 12 I b 3 12 x 69349 mm 300 mm 14 mm Yli 20 mm paksu levy on hankala käsitellä. Onko mahdollista tehdä portaat kevyemmäksi toisenlaisella tekniikalla? Mitä tapahtuu, jos rakennamme askelman oheisen kuvan muotoisesta ritilästä, jossa on pituussuunnassa rinnakkain 10 kpl 3 mm leveitä palkkeja 30 mm välein? 10 kpl b 3 mm Ritilää voidaan tarkastella laskennallisesti aivan kuin se olisi yhtenäinen 30 mm leveä palkki. Sijoita kaavaan (2) b:n arvoksi 30 mm ja laske h: h? h 3
77 Toteamme, että ritiläratkaisu tekee raput kevytrakenteisiksi ja käyttökelpoisiksi. Esimerkki 2. Kuinka korkea päästään kiinnitetty I,5 m pitkä I- palkki on valittava nosturin ulokepalkiksi, jotta se kestäisi 25 kn:n kuorman? 1,5 m Ratkaisu: (3) (4) M F σ M W Kaavoista (3) ja (4) saadaan: σ F W eli Sijoittamalla suureet saadaan: W M suurin momentti 2 σ 120 N/mm F 25 kn 1,5 m W taivutusvastus taulukosta W F σ 25000 N x1500 mm 312500 mm 3 120 N/mm 2 Taulukosta valitaan korkeudeksi h 240 mm. h W x 10 3 I x 10 6 mm mm 3 mm 4 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 34 55 82 117 161 214 278 354 442 542 653 1,7 3,3 5,7 9,4 14,5 21,4 30,6 42,6 57,4 75,9 98,0 I Esimerkki 3. Kuinka korkea edellisessä tehtävässä olevan palkin on oltava, jotta se taipuisi 25 kn:n kuormalla korkeintaan 2 mm? Ratkaisu: Taipuma f saadaan kaavasta f Ratkaisemme tästä suureen I I F 3 E F 3 I 3 E f 3.. Taulukosta valitaan korkeudeksi h280 mm. Suorita laskut!
78 Esimerkki 4. Tarkastellaan alla olevissa kuvissa esitettyä kahta tapaa rakentaa 3 m pitkistä 22mm x 100 mm laudoista kannatin. Lautoja on 15 kpl. (a) 15 kpl Laske taipumat 60 kg:n kuormalle kummassakin tapauksessa. Ratkaisu: Käytämme edellisen aukeaman kaavoja (1) ja (2): (b) (1) f 48 3 F E I (2) I b h 12 3 F mg/15 39,9 N 3,000 m E 2KN/mm 2 a-kohdassa I b- kohdassa I 3 bh 12 bh 12 3 Kun nämä sijoitetaan kaavaan (1), saadaan a-kohdassa f b-kohdassa f Vastaus: a) 126 mm ja b) 6 mm
79 Näemme, että b-kohdassa esitetty kannatin on selvästi tukevampi. Jos tällainen työtaso tehdään märästä laudasta, aiheutuu telineen omasta painosta huomattava rasitus. Tasaiselle kuormalle laskettavan taipuman kaavan (1) nimittäjässä oleva vakio 48 on korvattava vakiolla 384. Jos haluat, voit harjoitella kaavojen käyttöä laskemalla seuraavan harjoitustehtävän. Tehtävä 1. Kuinka pitkä b-kohdassa mainittu märästä laudasta (tiheys 0,8 kg/l) tehty kannatin voi enintään olla, ettei taipuma ylittäisi 3 mm? Kirjan osan 2 pääongelman osaongelmassa 8 tutustuimme jo kaavaan, jolla lasketaan lieriön muotoisen kappaleen paineenkesto. Se on muotoa p 2sR/d, missä s on seinämän paksuus, d halkaisija ja R aineen suurin sallittu jännitys. Voit laskea tämän kaavan avulla seuraavat tehtävät: Tehtävä 2. Kuinka paksusta levystä on valmistettava 30 bar kestävä lieriön muotoinen 100 litran kaasupullo, jos sen korkeus on a) 200 mm b) 400 mm ) 800 mm d) 1600 mm? Tehtävä 3. Halkaisjaltaan 400 mm ja korkeudeltaan 800 mm kaasupullo halkesi 20 barin paineessa. Arvioi laskelmien perusteella, miten paksusta levystä se oli tehty? Onko muita syitä?
80 2.7. Ainemäärät Ainemäärä voidaan ilmoittaa kahdella tavalla: 1) tilavuusyksikkönä, jolloin tilavuus joko mitataan tai lasketaan tilavuuden kaavasta 2) painoyksikkönä, jolloin paino joko mitataan tai lasketaan tiheyden kaavasta: paino tiheys x tilavuus m ρ V
81 Usein joudutaan tilanteeseen, jossa ainemäärää ei voida laskea, vaan se on arvioitava. Tällöin käytetään hyväksi kokeellisesti laadittuja taulukoita. Alla on esimerkki hitsausaineen menekkiä kuvaavasta taulukosta 60 asteen V-railon jalkohitsauksessa. Aineen paksuus ( mm ) 45 67 89 10 15 20 Teoreettinen hitsin tilavuus 3 ( m / m) 11,5 16,5 23,0 33,5 42,0 51,0 66,5 135,0 227,0 Todellinen hitsin tilavuus 3 ( m / m) 11,0 16,0 21,5 32,5 40,0 48,0 62,0 123,0 208,0 Hitsiainemäärä ( kg / m) 0,09 0,13 0,17 0,26 0,31 0,38 0,49 0,97 1,63 *) otettu huomioon poikittaiskutistuminen *) Ongelma 1. Oheinen painesäiliö on valmistettu 10 mm:n teräslevystä.kuinka paljon hitsausainetta kuluu 60 O jalkohitsauksessa? 300 mm Analyysi : On laskettava ensin hitsaussauman pituus. Hitsausaineen määrä voidaan tämän jälkeen katsoa edellä olevasta taulukosta. 500 mm Ratkaisu : Pohjien kehien yhteenlaskettu pituus on 1885 mm ja korkeus 500 mm. Saumaa on siis yhteensä 2385 mm. Taulukosta näemme, että hitsausainetta kuluu 1.4 kg (Laske!) Ratkaisun tulkinta: Hitsausaineen määrä kasvaa melko nopeasti levyn paksuuden mukana. Esimerkiksi saman säiliön valmistaminen 4 mm levystä vaatisi hitsausainetta vain 0,25 kg.
82 Harjoitustehtäviä 1. Laske edellisen taulukon perusteella, kuinka pitkän sauman saat 1 kg:n hitsausainemäärällä, kun hitsattavan pellin paksuus on 8 mm. Arvioi, minkä kokoisen painesäiliön voisit hitsata tällä määrällä kyseisestä pellistä? 2. Eräs yritys suunnitteli ongelmassa 1 mainittujen painesäiliöiden sarjatuotantoa 5 mm:n levystä. Laskettiin, että kyseisen erän hitsaamiseksi tarvittiin 150 kg hitsausainetta. Montako säiliötä tässä erässä oli? 3. 1000 litran suuruinen kuution muotoinen avoin metallilaatikko valmistettiin 3 mm:n teräslevystä. Paljonko levyä kului ja paljonko laatikko painoi, kun teräksen tiheys on 7,8 kg/dm 3? Paljonko hitsausainetta kului saumaamiseen? 4. Öljytynnyrin halkaisija on 560 mm ja korkeus 790 mm. Mikä on tynnyrin tilavuus? Miksi sitä kutsutaan "180 litran tynnyriksi"? 5. Tehtävän 4 tynnyri on valmistettu 1mm:n teräslevystä. Mikä on tynnyrin ala, kun saumoihin menee 5% lisää? Entä paljonko tynnyri painaa, kun teräksen tiheys on 7,8 kg/dm 3? 6. Kelalla on 3,83 km halkaisijaltaan 0,8 mm MIGhitsauslankaa. Mikä on langan tilavuus? (Vihje: millainen kappale muodostuu, jos lanka ajatellaan suoraksi?) 7. Tehtävän 6 lanka on päällystetty 0,5 µm:n kuparikerroksella. Kuinka paljon kuparia on kelalla? 8. Kuinka paljon painaa 15 m pitkä alumiinikaapeli, jonka halkaisija on 8,5 mm ja jossa on 3,2 mm paksu kumieriste? Alumiinin tiheys on 2,7 ja kumin 1,5 kg/dm 3. 9. Paljonko painaa pallo, jonka halkaisija on 1,82 mm, jos se on tehty a) kullasta b) lyijystä ) raudasta? 10. Laske oheisen teräsalevyn paino. 11. Paljonko painaa 1800 mm pitkä teräsputki, jonka sisä- ja ulkohalkaisijat ovat 27 mm ja 62 mm? 1,2 m paksuus 6 mm 1,95 m 0,85 m
12. Laske alla olevien hitsausrailojen tilavuudet railokulmalle 60 O. 83 a) b) 12 Y 1850 ei ilmarakoa pituus 660 mm 15 mm 3 mm 13. Laske likimain hitsin poikkipinta-alat alla olevissa kuvioissa. a) b) 20 o R8 45 mm 8 mm 3 mm 14. Painonnostotankoon on valmistettava 20 mm:n teräslevystä 2,5 kg:n, 5,0 kg:n ja 10,0 kg:n painot. Laske halkaisijat a) lukuunottamatta keskireikää b) keskireikä mukaanlukien ) Jos painot suhtautuvat 1:2:3, niin miten suhtautuvat halkaisijat? d) Mitä 5,0 kg:n painoon vaikuttaa 0,20 mm liian suuri halkaisija? 15. Eräässä elokuvassa tehtiin pakomatka tyhjistä kaasupulloista kootulla lautalla. Olisivatko todelliset kaasupullot kelluneet (vai olivatko ne kenties muovipulloja?), kun pullon ulkohalkaisija on 230 mm, tilavuus 50 l, seinämän paksuus 4 mm ja päädyt ajateltavissa 7 mm paksuiksi suoriksi levyiksi?
84 2.8. Pintakäsittely Pintakäsittelyssä ei yleensä tarvita monimutkaista matematiikkaa, kuten esimerkiksi polttoleikkausohjelman tekemisessä. Tämän vuoksi esittelemme vain esimerkein joitakin tyypillisiä rutiineja. Voi t harjoitella näitä jakson loppuosan harjoitustehtävillä. Tekstissä litra on lyhennetty kirjaimella L, koska pieni l sekoittuu numeroon 1.
1. Maalin menekin laskeminen 85 Tärkeimpiä rutiineja on osata arvioida ja laskea maalin menekki tietyn suuruisia ja muotoisia pintoja käsiteltäessä. Tällöin sinun on osattava laskea erilaisten pinta-alojen suuruuksia ja tiedettävä maalin riittoisuus. Se ilmoitetaan yleensä kuinka monta neliömetriä voidaan käsitellä yhdellä maalilitralla ( m 2 / L ). Tilanteesta riippuen voi olla kätevämpää ilmoittaa riittoisuus toisin päin eli litroina neliömetriä kohti ( L / m 2 ). Pinta-aloihin voit tutustua kirjan luvussa 3.6. ja alojen kaavat löydät nopeasti kirjan lopussa olevasta liitteestä. Esimerkki 1. Erään kattomaalin riittoisuus on 14,3 m 2 / L. a) Kuinka paljon maalia tarvitaan oheisen peltikaton maalaamiseen, kun katon yhden lappeen mitat ovat 22,5 m x 14,2 m? b) Paljonko maalia kuluu yhdelle neliömetrille, ts. mikä on maalin riitoisuus yksikkönä L / m 2? Ratkaisuni: a) Katon kokonaispinta-ala on Maalin menekki on siten b) Koska 14 m 2: n maalaamiseen tarvitaan yksi litra, niin yhden neliömetrin maalaamiseen tarvitaan... litraa. Riittoisuus voidaan ilmoittaa siis:
86 2. Maalin kalvon paksuuden laskeminen Maalikalvon keskimääräinen paksuus voidaan laskea kaavalla missä K K märkäkalvon paksuus m K k 10 x V a missä V maalin kuiva-ainepitoisuus (%) a maalin riittoisuus ( m / L) K keskimääräinen kuivakalvon k paksuus 2 k Jos tunnetaan märän kalvon paksuus, voidaan siitä arvioida kuivan kalvon paksuus kaavalla: Km 100 x V 1 2 3 4 5 6 Esimerkki 2. Maalin kuiva-ainepitoisuus on 55 % ja riittoisuus 13,7 m 2 / L. a) Laske kuivakalvon paksuus. b) Märkäkalvon paksuus on 65 µm. Arvioi kuivakalvon paksuus. ) Kuivakalvon paksuus on 40 µm. Mikä on ollut märkäkalvon paksuus? Ratkaisu: a) Edellä olevan kaavan nojalla saan: Vastaus: Kuivakalvon paksuus on... µm. b) Sijoitan luvut kaavaan ja saan:
Vastaus: Kuivakalvon paksuus on... µm. 87 ) Kun sijoitan annetut paksuudet kaavaan (2), saan yhtälön Ratkaisen tästä K m Vastaus: Maärkäkalvon paksuus on... µm. 3. Ainemäärien arvioiminen ja laskeminen!? Pintakäsittelyssä joudutaan arvioimaan paitsi menekkiä tilavuusyksikköinä, niin myös ainemääriä painoyksikköinä. Tällöin on syytä osata mm. tiheyden käsite. Esimerkki 3. Erään sinkkisilikaatiyhdistelmän tiheys on 2,7 kg / L. Sillä käsitellään yhteensä 35 m x 18 m suuri pinta siten, että märkäkalvon paksuus on 120 µm. Kuinka paljon maalia kuluu a) litroina b) kilgrammoina? Ratkaisu: a) Maalatun alueen tilavuus on pinta-ala x paksuus Tästä saan laskimellani vastaukseksi: Maalin määrä on... L. b) Koska paino on tiheys x tilavuus, niin saan painon laskemiseksi lausekkeen. Tästä lasken vastaukseksi: Maalimäärän paino on... kg.
88 4. Graafisen esityksen tulkinta Esimerkki 4. Maalauksen ruosteenestoarvo arvostellaan kymmenasteisen asteikon mukaan (Standardi SIS 185111). Se määrittelee valokuvin millaiselta minkin arvoinen maalikalvo näyttää. Alle arvosanan 4 olevaa maalausta on pidettävä jo erittäin huonona. Oheisessa kuviossa on esitetty maalien 1-5 maalauskäyriä. Tulkitse tämä kuvio ja vertaa eri maaleja keskenään. Nykyisin esitteissä, ohjeissa jne. käytetään yhä enemmän graafisia esityksiä. Näillä tarkoitetaan sitä, että tiettyjä riippuvuuksia esitetään koordinaatistossa kuvaajien muodossa. Kirjan luvuissa 3.4 ja 3.5. voit tutustua kuvaajien piirtämiseen ja tulkintaan. Seuraavaksi pari työhösi liittyvää esimerkkiä. 10 A ruosteenestoarvo 5 0 1 2 3 4 5 aika vuosina Vastaus: Maalit... ja... ovat vielä... vuoden jälkeen maaliarvon... ylittävässä kunnossa. Maalit... ovat jo... vuoden kuluttua ruostuneet niin pahoin, että uudelleenmaalaus on välttämätöntä. Maali... on vastaavanlaisessa tilassa... vuoden kuluttua. B C D E
Esimerkki 5. Ilman suhteellinen kosteus on pintakäsittelyssä erittäin tärkeä. Sitä voidaan kuvata hyvin monella tavalla. Seuraavaksi esitetään suhteelliseen kosteuteen liittyvää tietoa taulukoiden ja kuvaajien avulla. Keskustele niistä opettajasi kanssa! 89 Taulukko esittää ilman lämpötilan ja suhteellisen kosteuden vaikutusta sen sisältämään vesimäärään. Se lämpötila, jossa ilmassa oleva vesihöyry tiivistyy, on nimeltään kastepiste(lämpötila). ilman suht. kosteus 100% 80% 60% 40% o o o o o o o o o o -20-15 -10-5 0 5 10 15 20 25 1.05 0.85 0.63 0.42 1.58 1.27 0.95 0.63 vesihöyryn määrä eri lämpötiloissa ( g / m 3) 2.30 1.84 1.38 0.92 3.37 2.72 2.01 1.35 4.89 3.91 2.94 1.96 6.80 5.44 4.08 2.72 9.40 7.51 5.63 3.76 12.80 10.24 7.68 5.12 17.26 13.77 10.32 6.90 23.00 18.40 13.00 9.20 20% 0.21 0.32 0.46 0.67 Alla olevat kuvaajat esittävät ilman kosteutta eri lämpötiloissa. Jos esimerkiksi ilman lämpötilaksi mitataan + 20 o ja suhteelliseksi kosteudeksi 60%, niin käyriltä voidaan lukea (pisteet A >B >C), että ilman kastepistelämpötila on +12 o (vaaka-aselilta). Seuraamalla esim. 80% käyrää (esim. pisteet D >E >F tai G >H >I) huomataan, että se kulkee n. 4 o kastepistelämpötilan yläpuolella. 0.92 1.36 1.58 2.56 3.45 4.60 24 100% 22 höyryn osapaine mm Hg 20 18 16 14 12 10 8 6 4 H G B E A D 80% 60% 40% 20% suhteellinen kosteus 2 C F -20-10 0 I 10 20 ilman lämpötila o C
90 5. Seoslaskut Seoslaskelmilla määritetään mm. a) seoksen komponenttien suuruudet, kun kunkin suhteellinen osuus tiedetään b) kunkin komponentin suhteellllinen osuus, kun sen suuruus tiedetään. Seos on metalli- ja pintakäsittelyalalla useimmiten jokin seuraavista: * yleisesti jokin liuos, jolloin seoslaskut käsittelevät liuoksen pitoisuutta tai väkevyyttä (esim. maali tai pesuliuos) * rahamäärä, jolloin se koostuu eri hintaisista komponenteista (esim. erihintaisten maalien sekoitus). Tutustut seoslaskelmiin seuraavien esimerkkien avulla: Esimerkki 6. 48 litran maalista 1/3 on muoviosaa, 1/4 kovitetta ja loppuosa muita aineita. a) Mikä on muiden aineiden osuus murtolukuna? b) Kuinka monta litraa maali sisältää kutakin komponenttia? ) Kuinka monta prosenttiyksikköä maali sisältää kutakin komponenttia? Ratkaisu: a) muovin ja kovitteen osuus on yhteensä b) muovia on on, joten muiden aineiden osuus on :sta, eli siis x ja kovitetta on :sta, eli siis x
Tällöin muita aineita on 91 :sta, eli siis x ) Muovin osuus on... %, kovitteen... % ja muiden aineiden...% Esimerkki 7. Laimennetussa 10 litran maaliseoksessa on 8.5 L maalia, 0,5 L vernissaa ja 1 L tärpättiä. Mikä on kunkin komponentin osuus? Ratkaisu: maalia on l l:sta, siis, tärpättiä on l l:sta, siis, ja vernissaa on siis l l:sta,.. Vastaus: Maalia on..., tärpättiä...ja vernissaa... koko seoksesta.
92 Esimerkki 8. Maalari sekoittaa keskenään 5 L halvempaa ja 12 L kalliimpaa maalia. Mikä on seoksen litrahinta, jos edellinen maksaa 58 mk/l ja jälkimmäinen 29 mk/l? Ratkaisun löydät helposti täyttämällä seuraavan taulukon laskimesi avulla: halvempi kalliimpi koko seos määrä kilohinta hinta Esimerkki 9. Oletetaan, että haluat sekoittaa edellisessä tehtävässä mainituista maaleista seoksen, jonka litrahinnaksii tulee 40 mk/l. Kuinka paljon sinun on sekoitettava kutakin maalia, jos tarvitset 14 L:n maalierän? Ratkaisun löydät aivan kuten edelisessä ongelmassa täyttämällä ensin seuraavan taulukon ja muodostamalla sitten yhtälön, jossa molemmilla puolilla on koko seoksen hinta. Yritä ensin ilman opastusta. Ellet osaa edetä, niin lue taulukon jälkeinen opastus. Vihje: 1. Merkitse taulukkoon kaikki tunnetut luvut. 2. Merkitse kalliimman maalin määrää symbolilla x 3. Paljonko on oltava silloinhalvempaa maalia? 4. Laske sitten näiden yhteishinnat ( x:n avulla! ) 5. Merkitse saatu summa yhtäsuureksi kuin koko seoksen hinta 6. Ratkaise yhtälöstä x. halvempi kalliimpi määrä kilohinta hinta koko seos