MEI-55300 Kontinuumimekaniikka 1 MEI-55300 Kontinuumimekaniikka 3. harjoitus matemaattiset peruskäsitteet, kinematiikkaa Ratkaisut T 1: Olkoon x 1, x 2, x 3 (tai x, y, z) suorakulmainen karteesinen koordinaatisto ja ξ 1, ξ 2, ξ 3 (tai r, φ, θ) pallokoordinaatit. Näytä, että Laplacen operaattori pallokoordinaatistossa saa muodon 2 ψ r 2 + 1 2 ψ r 2 φ 2 + 1 2 ψ r 2 sin 2 φ θ 2 + 2 ψ r r + cot φ r 2 ψ φ = 0, jossa tuntemattomana funktiona on skalaarikenttä ψ(r, φ, θ). Pallokoordinaattien ja karteesisten koordinaattien välillä on yhteydet ja kääntäen x = r sin φ cos θ, y = r sin φ sin θ, z = r cos φ, r = x 2 + y 2 + z 2, φ = arccos(z/r), θ = arctan(y/z). avulla on ψ = div(gradψ) = Laplacen operaattori lausuttuna gradientti- ja divergenssioperaattorien ( ) ( ψ ξ l ξ k gk g l 2 ) ψ = ξ l ξ k Γm kl ψ,m g k g l = g kl ψ,k l. Koska pallokoordinaatiston metrisen tensorin määrittäminen on kotitehtäväsarjan 1 tehtävänä, määritetäänkin Laplacen operaattori sylinterikoordinaatistossa, jossa koordinaattien välillä on relaatiot x 1 = x = r cos φ = ξ 1 cos ξ 2, x 2 = y = r sin φ = ξ 1 sin ξ 2, x 3 = z = z = ξ 3 Sylinterikoordinaatisto on ortogonaalinen, joten metrinen tensori on diagonaalinen ja harjoitusten 2 tehtävän 4 mukaan Christoelin symbolit voidaan laskea kätevimmin yhtälön g 11 = 1, g 22 = r 2, g 33 = 1. Γ k ij = ξk x m 2 x m ξ i ξ j, Γ k ij = g km Γ ijm = 1 2 gkm (g jm,i + g mi,j g ij,m ) avulla. Mittatensorin kovariantit komponentit saadaan kontravarianttien komponettien käänteislukuina koska koordinaatisto on ortogonaalinen, eli g 11 = 1, g 22 = r 2, g 33 = 1. 1
MEI-55300 Kontinuumimekaniikka 2 Heti havaitaan, että ainoat nollasta poikkeavat 2. lajin Christoelin symbolit ovat Γ 2 12 = 1 2 g22 g 22,1 = r 1 = Γ 2 21, Γ 1 22 = 1 2 g11 ( g 22,1 ) = r. Nyt Laplacen operaattori voidaan muodostaa sylinterikoordinaatistossa ( ψ = g kl 2 ) ψ ξ l ξ k Γm kl ψ,m = g 11 (ψ,11 0) + g 22 (ψ,22 Γ 1 22ψ,1 ) + g 33 (ψ,33 0) = 2 ψ r 2 + 1 ψ r r + 1 2 ψ r 2 φ 2 + 2 ψ z 2. T 2: Näytä, että vektorin a toisille kovarianteille derivaatoille pätee ) a i jk a i kj = a m (Γ m ik,j,k + Γm pjγ p ik Γm pk Γp ij = a m R m ijk, jossa Rm ijk on Riemannin-Cristoelin tensori ja sen häviäminen on ehto avaruuden euklidisuudelle. Riemannin-Cristoelin tensorissa on vain kuusi toisistaan riippumatonta komponenttia. Tensoria R pijk = g pr R,ijk r kutsutaan käyristymätensoriksi ja se sisältää informaation avaruuden kaarevuudesta. Käyristymätensori on oleellinen suure kuoriteoriassa ja yleisessä suhteellisuusteoriassa. Kaksidimensioisen pinnan tapauksessa Riemannin- Cristoelin tensorissa on vain yksi riippumaton komponentti. Kovariantin komponentin kovariatti derivaatta on a i j = a i ξ j a m. Sovelletaan tätä sääntöä nyt uudestaan kovarianttiin komponenttiin (a i j ) k, jolloin saadaan ( ai k a i jk = ξ j a m) ξ j ξ k a m ξ k a Γ m ( ) ij m ξ k am ξ j Γr mja r Γ m ik Vastaavasti saadaan ξ j ξ k a m ξ k a m ξ j ξ k a m + Γ r mjγ m ik a r. a i kj = ( ai ξ k a m) j ξ k ξ j a m ξ j a Γ m ik m ξ j ( am ξ k Γr mk a r ) Γ m ij ξ k ξ j a m ξ j a m ξ k ξ j a m + Γ r mk a r. 2
MEI-55300 Kontinuumimekaniikka 3 Koska saadaan a i jk a i kj = 2 a i ξ j ξ k = 2 a i ξ k ξ j ( Γ m ) ij ξ k ξ j + Γm rjγ r ik Γm rk Γr ij a m. T 3: Voima, jonka suuruus on F vaikuttaa ellipsoidin x 2 /a 2 + y 2 /b 2 + z 2 /c 2 = 1 pinnalla pisteessä (a/3, 2b/3, 2c/3). Voiman suunta on origosta ulospäin. Laske ellipsoidin normaalin suuntainen voimakomponentti. eli Pinnan normaali saadaan pinnan määrittelemän yhtälön gradienttina, n = gradf = 2x a 2 e x + 2y b 2 e y + 2z c 2 e z. Kohdassa (a/3, 2b/3, 2c/3) gradientin suunta on n(a/3, 2b/3, 2c/3) = 2 3a e x + 4 3b e y + 4 3c e z. Huomaa, että n ei ole yksikkönormaali. Voimavektori pisteessa (a/3, 2b/3, 2c/3) vaikuttaa pisteen paikkavektorin suunnassa r = 1 3 ae x + 2 3 be y + 2 3 ce z. Voiman komponentti ellipsoidin pinnan normaalin suunnassa on siten F n = F r n r n = T 4: (Holzapfel tehtävä 2 sivu 64) Kontinuumin liike on määritelty nopeuskenttien 9F abc a 2 + 4b 2 + 4c 2 b 2 c 2 + 4a 2 c 2 + 4a 2 b 2. v 1 = 3x 1/t 0, v 2 = x 2/t 0, v 3 = 5x2 3 /L avulla, jossa t 0 ja L ovat vakioita (ajan ja pituuden viitearvoja). (a) Määritä partikkelin rata, eli liike x = χ(x, t). (b) Määritä nopeuskomponentit V A, A = 1, 2, 3 materiaalikoordinaattien X A ja ajan t funktiona ja vastaavasti kiihtyvyysvektorin materiaalinen ja spatiaalinen esitys. Oletetaan referenssitilaksi ajanhetki t = 0, tällöin on voimassa x = χ(x, 0) = X. Tällöin nopeuksille on voimassa v(χ(x, 0)) = V(X, 0). Havaitaan, että annetut nopeuksien lausekkeet ovat muotoa v k = f(x k )g(t), joten x k t = f(x k )g(t) dx k f(x k ) = dt g(t). 3
MEI-55300 Kontinuumimekaniikka 4 Saadaan siten lausekkeet dx 1 = 3dt x 1 t 0 + t, dx 2 = dt x 2 t 0 + t, Ldx 3 x 2 = 5dt 3 t 0 + t, josta integroimalla ln x 1 = ln( ) 3 + C 1, ln x 2 = ln( ) + C 2, L x 3 = 5 ln( ) + C 3. Käytetään nyt alkuehtoa, josta saadaan ln x 1 = C 1 = ln X 1, ln x 2 = C 2 = ln X 2, L x 3 = C 3 = L X 3. Sijoitetaan integroimisvakio takaisin, jolloin saadaan liikkeen kuvaus x 1 = X 1 ( ) 3, x 2 = X 2 ( ), X 3 x 3 = 5(X 3 /L) ln( ) 1. Materiaalikoordinaattien avulla lausuttu nopeuden materiaaliset lausekkeet saadaan derivoimalla yllä olevat lausekkeet ajan suhteen V 1 (X, t) = 3( ) 2 X 1 /t 0, V 2 (X, t) = X 2 /t 0, V 2 (X, t) = 5X 2 3 (t 0 + t)[5x 3 ln( ) L] 2. Derivoimalla toisen kerran ajan suhteen saadaan kiihtyvyyden materiaalikomponentit A 1 (X, t) = 6X 1 ( )/t 2 0, A 2 (X, t) = 0, A 3 (X, t) = 5X2 3 [1 10X 3/L 5(X 3 /L) ln( )] ( ) 2 [5X 3 ln( ) L] 2. Kiihtyvyyden spatiaalikomponentit saadaan joko sijoittamalla materiaalikomponettien lausekkeisiin liikkeen kuvauksen käänteinen relaatio X = χ 1 (x, t) tai muodostamalla nopeuden materiaalinen aikaderivaatta a(x, t) = v t 4 + (gradv) v,
MEI-55300 Kontinuumimekaniikka 5 joka muodostamalla saadaan lausekkeet a 1 (x, t) = 3x 1 (t 0 + t) 2 + 3 a 2 (x, t) = x 2 (t 0 + t) 2 + 1 3x 1 t 0 + t t 0 + t = 6x 1 (t 0 + t) 2, x 2 t 0 + t t 0 + t = 0, a 3 (x, t) = 5x2 3 L(t 0 + t) 2 + 10x 3 5(x 3 /L) 2 t 0 + t t 0 + t = 5(x 3/L) 2 (10x 3 L) (t 0 + t) 2. 5