Primitiiviset juuret: teoriaa ja sovelluksia

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Outi Sutinen Primitiiviset juuret: teoriaa ja sovelluksia Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Huhtikuu 2006

Tampereen yliopisto Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos SUTINEN, OUTI: Primitiiviset juuret: teoriaa ja sovelluksia Pro gradu -tutkielma, 48 s. Matematiikka Huhtikuu 2006 Tiivistelmä Tutkielman tarkoituksena on perehdyttää lukija primitiivisten juurten teoriaan ja muutamiin sovelluksiin lukuteoriassa. Ensimmäisessä luvussa määritetään kokonaisluvun kertaluku ja sen avulla primitiivinen juuri ja esitetään kuinka monta primitiivistä juurta luvulla voi olla. Lisäksi todistetaan lause, jonka avulla löydetään luvun kaikki primitiiviset juuret, kun tiedetään yksi luvun primitiivisistä juurista. Toisessa luvussa määritetään ne luvut, joilla on primitiivinen juuri. Ensimmäisessä pykälässä käsitellään alkulukuja ja todetaan, että kaikilla alkuluvuilla on primitiivinen juuri. Toisessa pykälässä todistetaan, että ainoat positiiviset kokonaisluvut, joilla on primitiivinen juuri, ovat 1, 2, 4, p k ja 2p k, kun p on pariton alkuluku ja k on positiivinen kokonaisluku. Kolmannessa luvussa käsitellään primitiivisten juurten sovelluksista diskreettiä logaritmia ja potenssin jäännöstä. Tässä luvussa esitellään muun muassa muutamia diskreetin logaritmin ominaisuuksia, joiden avulla ratkaistaan muotoa ax b c (mod m) ja a bx c (mod m) olevia kongruensseja, kun (a, m) = 1. Viimeisessä luvussa esitetään kaksi primitiivisten juurien avulla suoritettavaa alkulukutestiä, jotka ovat tehokkaita alkulukutestejä luvulle n, jos tiedetään jotain luvun n 1 alkulukutekijöistä. Lisäksi tässä luvussa käsitellään primitiivisten juurten sovelluksista universaaleja eksponentteja. Tutkielman päälähteinä on käytetty sekä Kenneth H. Rosenin teosta Elementary Number Theory and Its Applications että Thomas Koshyn teosta Elementary Number Theory with Applications.

Sisältö Johdanto 3 1 Primitiiviset juuret 5 1.1 Kokonaisluvun kertaluku..................... 5 1.2 Primitiiviset juuret........................ 9 2 Primitiivisten juurten olemassaolo 12 2.1 Alkulukujen primitiiviset juuret................. 12 2.2 Yhdistettyjen lukujen primitiiviset juuret............ 20 3 Diskreetti logaritmi ja potenssin jäännös 31 3.1 Diskreetti logaritmi........................ 31 3.2 Potenssin jäännös......................... 37 4 Muita sovelluksia 40 4.1 Alkulukutestaus primitiivisten juurten avulla.......... 40 4.2 Universaalit eksponentit..................... 42 Kirjallisuutta 48 2

Johdanto Tämä tutkielma käsittelee lukuteorian alaan kuuluvia primitiivisiä juuria, niiden teoriaa ja joitakin niihin liittyviä sovelluksia. Primitiivisten juurten tutkimuksen historiaan kuuluvat olennaisesti matemaatikot Leonhard Euler (1707-1783) ja Carl Friedrich Gauss (1777-1855), joita pidetään eräinä kaikkien aikojen suurimpina matemaatikkoina. Euler muun muassa havaitsi vuonna 1773, että jokaisella alkuluvulla on primitiivinen juuri. Gauss puolestaan esitteli ensimmäisenä käsitteen luvun a kertaluku modulo m. Lisäksi hän kehitti koko lukuteorian alaa suuresti vuonna 1801 ilmestyneessä teoksessaan Disquisitiones Arithmeticae, jossa on esitelty myös diskreetin logaritmin käsite. Gauss esitteli teoksessaan myös primitiivisten juurten käytön kannalta uraauurtavan tuloksen. Toisin sanoen hän määritti ne positiiviset kokonaisluvut, joilla on primitiivinen juuri. Ensimmäisessä luvussa määritetään kokonaisluvun kertaluku ja sen avulla primitiivinen juuri ja esitetään kuinka monta primitiivistä juurta luvulla voi olla. Lisäksi todistetaan lause, jonka avulla voidaan löytää luvun kaikki primitiiviset juuret, kun tiedetään yksi luvun primitiivisistä juurista. Toisessa luvussa määritetään ne luvut, joilla on primitiivinen juuri. Ensimmäiseksi käsitellään alkulukujen primitiivisiä juuria. Aluksi todistetaan Lagrangen lause, joka kertoo polynomikongruenssin f(x) 0 (mod p) ratkaisujen määrän. Lagrangen lauseella on keskeinen rooli alkulukujen primitiivisten juurien olemassaolon todistamisessa. Lopuksi todetaan, että jokaisella alkuluvulla on primitiivinen juuri. Alkulukujen lisäksi tässä luvussa määritetään ne yhdistetyt luvut, joilla on primitiivinen juuri. Yhdistettyjen lukujen käsittely aloitetaan todistamalla, että luvulla p 2 on primitiivinen juuri, kun p on alkuluku. Lisäksi todistetaan, ettei luvulla 2 k ole primitiivisiä juuria, kun k 3. Lopuksi todetaan, että ainoat positiiviset kokonaisluvut, joilla on primitiivinen juuri, ovat 1, 2, 4, p k ja 2p k, kun p on pariton alkuluku ja k on positiivinen kokonaisluku. 3

SISÄLTÖ 4 Kolmas luku aloitetaan määrittämällä diskreetti logaritmi. Lisäksi esitellään muutamia diskreetin logaritmin ominaisuuksia, joiden avulla ratkaistaan muotoa ax b c (mod m) ja a bx c (mod m) olevia kongruensseja, kun (a, m) = 1. Kolmannessa luvussa määritetään myös potenssin jäännös, jonka avulla voidaan selvittää, onko kongruenssi ratkeava. Viimeisessä luvussa käsitellään sekä alkulukutestausta primitiivisten juurien avulla että universaaleja eksponentteja. Alkulukutestauksen yhteydessä esitellään kaksi lausetta, jotka ovat tehokkaita alkulukutestejä luvulle n, jos tiedetään jotain luvun n 1 alkulukutekijöistä. Luvun toisessa pykälässä määritetään sekä universaalin eksponentin että minimaalisen universaalin eksponentin käsite. Lisäksi todistetaan, että on olemassa sellainen luku a, että luvun a kertaluku modulo n on luvun n minimaalinen universaali eksponentti. Toisen pykälän lopuksi todistetaan vielä muutama Carmichaelin lukujen alkulukutekijäesitystä koskeva lause. Tässä tutkielmassa käytetään joitakin algebran perusteita, joita ei erikseen esitetä. Näin ollen lukijan oletetaan tuntevan algebran perusmerkinnät ja peruskäsitteet, joita ovat esimerkiksi Eulerin funktio ja supistettu jäännössysteemi modulo m. Lisäksi lukijan oletetaan tuntevan algebran tunnetuimmat lauseet. On huomioitava, että tässä tutkielmassa kaikilla luvuilla tarkoitetaan positiivisia kokonaislukuja, jos ei toisin mainita. Tutkielmassa esitettävät lauseet todistuksineen on otettu kirjallisuudesta (ks. lähdeluettelo).

Luku 1 Primitiiviset juuret Tässä luvussa määritetään kokonaisluvun kertaluku ja sen avulla primitiivinen juuri. 1.1 Kokonaisluvun kertaluku Olkoot a ja m keskenään jaottomia kokonaislukuja eli (a, m) = 1 ja olkoon m positiivinen kokonaisluku. Tällöin Eulerin-Fermat n lauseen mukaan a φ(m) 1 (mod m). Siis on olemassa ainakin yksi positiivinen kokonaisluku x, joka toteuttaa kongruenssin a x 1 (mod m). Koska kokonaisluvut ovat hyvinmääriteltyjä, voidaan todeta, että on olemassa pienin positiivinen kokonaisluku x, joka toteuttaa em. kongruenssin. Määritelmä 1.1 Olkoot a ja m keskenään jaottomia positiivisia kokonaislukuja. Pienin positiivinen kokonaisluku x, joka toteuttaa ehdon a x 1 (mod m), on luvun a kertaluku modulo m. Merkitään x = ord m a. Esimerkki 1.1 Etsitään ord 11 3. Aluksi todetaan, että (3, 11) = 1. Nyt 3 1 3 (mod 11), 3 2 2 (mod 11), 3 3 5 (mod 11), 3 4 4 (mod 11), 3 5 1 (mod 11), joten ord 11 3 = 5. Edellisestä esimerkistä huomataan, että luvun ord m a laskemiseksi voidaan joutua laskemaan a k modulo m kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla k φ(m). 5

LUKU 1. PRIMITIIVISET JUURET 6 Seuraava lause on tarpeellinen etsittäessä kongruenssin a x 1 (mod m) kaikkia ratkaisuja. Lause 1.1 Olkoot a ja m (> 0) keskenään jaottomia kokonaislukuja. Silloin positiivinen kokonaisluku x on kongruenssin a x 1 (mod m) ratkaisu, jos ja vain jos ord m a x. Todistus. (Vrt. [5], s. 279) Oletetaan, että ord m a x. Nyt x = (ord m a)k, missä k Z +. Siis a x = a (ordma)k = (a ordma ) k 1 k 1 (mod m). Oletetaan seuraavaksi, että a x 1 (mod m). Tällöin jakoalgoritmin mukaan on olemassa sellaiset kokonaisluvut q ja r, että Nyt x = (ord m a)q + r, kun 0 r < ord m a. a x = a (ordma)q+r = (a ordma ) q a r 1 q a r a r (mod m). Koska a x 1 (mod m), niin a r 1 (mod m), kun 0 r < ord m a. Nyt määritelmän 1.1 ja epäyhtälön 0 r < ord m a perusteella voidaan päätellä, että r = 0. Koska r = 0, niin x = (ord m a)q + r = (ord m a)q. Siis ord m a x. Esimerkki 1.2 Koska ord 11 3 = 5, niin esimerkiksi x = 10 on kongruenssin 3 x 1 (mod 11) ratkaisu, koska 5 10. Toisaalta x = 9 ei ole kongruenssin 3 x 1 (mod 11) ratkaisu, koska 5 / 9. Lauseella 1.1 on seuraus, joka helpottaa edelleen luvun ord m a etsimisessä. Seuraus 1.1 Jos a ja m (> 0) ovat keskenään jaottomia kokonaislukuja, niin ord m a φ(m). Todistus. (Vrt. [5], s. 279) Koska (a, m) = 1, niin Eulerin-Fermat n lauseen mukaan a φ(m) 1 (mod m). Toisaalta lauseen 1.1 mukaan luku x on kongruenssin a x 1 (mod m) ratkaisu, jos ja vain jos ord m a x. Nyt x = φ(m). Siis ord m a φ(m).

LUKU 1. PRIMITIIVISET JUURET 7 Esimerkki 1.3 Etsitään ord 17 2. Koska φ(17) = 16, niin em. seurauksen 1.1 perusteella luvun ord 17 2 mahdolliset arvot ovat 1, 2, 4, 8 ja 16. Koska 2 1 2 (mod 17), 2 2 4 (mod 17), 2 4 1 (mod 17), 2 8 1 (mod 17), niin ord 17 2 = 8. Huomautus 1.1 Jos luvun φ(m) jakajista valitaan mielivaltaisesti yksi luku x, ei aina ole sellaista kokonaislukua a, että x olisi sen kertaluku modulo m. Esimerkki 1.4 (Ks. [2], s. 158) Olkoon m = 12. Nyt φ(12) = 4, mutta ei ole olemassa sellaista lukua a, että ord 12 a = 4, sillä 1 1 5 2 7 2 11 2 1 (mod 12), joten ord 12 a = 1 tai ord 12 a = 2. Seuraus 1.2 Jos p on alkuluku ja p / a, niin ord p a (p 1). Todistus. (Vrt. [4], s. 440) Koska p on alkuluku, niin φ(m) = p 1. Siis seurauksen 1.1 perusteella ord p a (p 1). Lause 1.2 Olkoot a ja m (> 0) keskenään jaottomia kokonaislukuja ja i ja j ei-negatiivisia kokonaislukuja. Tällöin a i a j (mod m) i j (mod ord m a). Todistus. (Vrt. [5], s. 280) Oletetaan, että a i a j (mod m) ja 0 j i. Koska (a, m) = 1, niin myös (a j, m) = 1. Nyt a i a j a i j (mod m) ja oletuksen perusteella a j a i j a j (mod m). Jaetaan jälkimmäinen kongruenssi puolittain luvulla a j, jolloin a i j 1 (mod m). Nyt lauseen 1.1 perusteella ord m a (i j) eli i j (mod ord m a). Oletetaan käänteisesti, että i j (mod ord m a) ja 0 j i. Tällöin i = j + (ord m a)k, missä k on ei-negatiivinen kokonaisluku. Siis a i = a j+(ordma)k = a j (a ordma ) k a j (mod m), sillä a ordma 1 (mod m). Esimerkki 1.5 Olkoot a = 7 ja m = 10. Nyt φ(10) = 4 ja ord 10 7 = 4. Lauseen 1.2 perusteella 7 5 7 1 (mod 10) ja 7 3 7 2 (mod 10), sillä 5 1 (mod 4), mutta 3 2 (mod 4).

LUKU 1. PRIMITIIVISET JUURET 8 Lause 1.3 Olkoot ord m a = t ja u positiivinen kokonaisluku. Tällöin ord m (a u ) = t (t, u). Todistus. (Vrt. [5], s. 281) Olkoot s = ord m (a u ) ja v = (t, u). Tällöin t = t 1 v ja u = u 1 v, missä t 1 ja u 1 ovat keskenään jaottomia kokonaislukuja. Nyt (t/v, u/v) = (t 1, u 1 ) = 1. Koska ord m a = t, niin (a u ) t 1 = (a u 1v ) t/v = (a t ) u 1 1 (mod m). Nyt lauseen 1.1 mukaan s t 1. Toisaalta t us, koska (a u ) s = a us 1 (mod m). Siis t 1 v us eli t 1 v u 1 vs ja edelleen t 1 u 1 s. Koska (t 1, u 1 ) = 1 ja t 1 u 1 s, niin t 1 s. Nyt siis sekä s t 1 että t 1 s, joten s = t 1, jolloin ord m (a u ) = s = t 1 = t/v = t/(t, u). Esimerkki 1.6 Esimerkin 1.3 mukaan ord 17 2 = 8. Lauseen 1.3 perusteella ord 17 (2 4 ) = 8 (8,4) = 8 4 = 2. Sama tulos saadaan myös, kun lasketaan 2 1 2 (mod 17), 2 2 4 (mod 17), 2 4 1 (mod 17) ja 2 8 1 (mod 17), joten (2 4 ) 2 1 (mod 17) eli ord 17 (2 4 ) = 2. Seuraus 1.3 Olkoot ord m a = t ja u positiivinen kokonaisluku. Tällöin ord m (a u ) = t, jos ja vain jos (t, u) = 1. Todistus. (Vrt. [4], s. 442) Lauseen 1.3 mukaan ord m (a u ) = ord m (a u ) = t, jos ja vain jos (t, u) = 1. t. Edelleen (t,u) Esimerkki 1.7 Esimerkin 1.3 mukaan ord 17 2 = 8. Koska (8, 3) = 1, niin ord 17 (2 3 ) = 8. Tämä voidaan tarkastaa suoralla laskulla: (2 3 ) 8 = 2 24 1 (mod 17).

LUKU 1. PRIMITIIVISET JUURET 9 1.2 Primitiiviset juuret Jos a on sellainen positiivinen kokonaisluku, että (a, m) = 1, niin seurauksen 1.1 mukaan ord m a φ(m), joten luvun ord m a suurin mahdollinen arvo on φ(m). Tästä seuraa primitiivisen juuren määritelmä. Määritelmä 1.2 Olkoot r ja m (> 0) keskenään jaottomia kokonaislukuja. Jos ord m r = φ(m), niin r on primitiivinen juuri modulo m. Toisin sanoen luvulla m on primitiivinen juuri r, jos r φ(m) 1 (mod m) ja r k 1 (mod m) aina, kun k < φ(m). Esimerkki 1.8 Koska ord 17 3 = 16 = φ(17), niin 3 on primitiivinen juuri modulo 17. Esimerkki 1.9 Koska φ(11) = 10 ja 2 5 1 (mod 11), 2 10 1 (mod 11), niin 2 on primitiivinen juuri modulo 11. Luku 3 ei ole primitiivinen juuri modulo 11, koska 3 5 1 (mod 11) ja 5 < φ(11). Huomautus 1.2 Kaikilla kokonaisluvuilla ei ole primitiivisiä juuria. Itse asiassa voidaan sanoa, että primitiivisten juurien olemassaolo on enemmän poikkeus kuin sääntö. Ei ole esimerkiksi primitiivisiä juuria modulo 8. Voidaan osoittaa, että ord 8 1 = 1, ord 8 3 = ord 8 5 = ord 8 7 = 2, missä 1, 3, 5 ja 7 ovat suhteellisia alkulukuja luvun 8 kanssa. Koska φ(8) = 4, ei ole olemassa primitiivisiä juuria modulo 8. Vastaavasti voidaan todeta, ettei esimerkiksi luvuilla 12, 15 ja 20 ole primitiivisiä juuria. Primitiivisten juurien olemassaoloon palataan myöhemmin luvussa 2. Esimerkki 1.10 Osoitetaan, ettei luvulla 20 ole primitiivisiä juuria. Yksinkertaisilla laskuilla saadaan, että ord 20 1 = 1, ord 20 9 = ord 20 11 = ord 20 19 = 2 ja ord 20 3 = ord 20 7 = ord 20 13 = ord 20 17 = 4, missä luvut 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17 ja 19 ovat suhteellisia alkulukuja luvun 20 kanssa. Koska φ(20) = 8, voidaan todeta, että ei ole olemassa primitiivisiä juuria modulo 20. Lause 1.4 Olkoot r ja m (> 0) keskenään jaottomia kokonaislukuja. Jos r on primitiivinen juuri modulo m, niin kokonaisluvut r 1, r 2,..., r φ(m) muodostavat supistetun jäännössysteemin modulo m.

LUKU 1. PRIMITIIVISET JUURET 10 Todistus. (Vrt. [5], s. 281) Riittää osoittaa, että luvut r 1, r 2,..., r φ(m) ovat suhteellisia alkulukuja luvun m kanssa ja että ne ovat pareittain epäkongruentteja modulo m. Oletuksen mukaan (r, m) = 1. Siis myös (r k, m) = 1 aina, kun k on positiivinen kokonaisluku. Luvut r k ovat siis suhteellisia alkulukuja luvun m kanssa, kun k = 1, 2,..., φ(m). Osoitetaan seuraavaksi, että luvut r 1, r 2,..., r φ(m) ovat pareittain epäkongruentteja modulo m. Oletetaan, että r i r j (mod m), missä 1 i, j φ(m). Oletetaan lisäksi, että i j. Lauseen 1.2 mukaan i j (mod φ(m)). Koska 1 i φ(m) ja 1 j φ(m), niin em. kongruenssin mukaan i = j. Siis luvut r 1, r 2,..., r φ(m) ovat pareittain epäkongruentteja modulo m. Luvut r 1, r 2,..., r φ(m) ovat siis suhteellisia alkulukuja luvun m kanssa ja ne ovat pareittain epäkongruentteja modulo m. Näin ollen ne muodostavat supistetun jäännössysteemin modulo m. Esimerkki 1.11 Olkoon m = 10. On olemassa φ(10) = 4 positiivista kokonaislukua, jotka ovat pienempiä kuin luku 10 ja suhteellisia alkulukuja luvun 10 kanssa. Nämä luvut ovat 1, 3, 7 ja 9. Luku 3 on primitiivinen juuri modulo 10, koska φ(10) = 4 ja 3 2 1 (mod 10), 3 4 1 (mod 10). Joukko {3 1, 3 2,..., 3 φ(10) } eli joukko {3, 9, 7, 1} on supistettu jäännössysteemi modulo 10. Jos kokonaisluvulla on primitiivinen juuri, sillä on yleensä useampia primitiivisiä juuria. Lause 1.5 Olkoon r primitiivinen juuri modulo m. Tällöin r u on primitiivinen juuri modulo m, jos ja vain jos (u, φ(m)) = 1. Todistus. (Vrt. [5], s. 282) Lauseen 1.3 perusteella ord m (r u ) = ord mr (u, ord m r) = φ(m) (u, φ(m)).

LUKU 1. PRIMITIIVISET JUURET 11 Siis ord m (r u ) = φ(m), jos ja vain jos (u, φ(m)) = 1. Siis r u on primitiivinen juuri modulo m, jos ja vain jos (u, φ(m)) = 1. Esimerkki 1.12 Esimerkin 1.8 mukaan luku 3 on primitiivinen juuri modulo 17. Koska φ(17) = 16, niin luvut 3 u, missä (u, 16) = 1, ovat primitiivisiä juuria modulo 17. Nämä luvut ovat 3, 3 3, 3 5, 3 7, 3 9, 3 11, 3 13 ja 3 15. Lause 1.6 Jos positiivisella kokonaisluvulla m on primitiivinen juuri, niin epäkongruenttien primitiivisten juurien modulo m kokonaislukumäärä on φ(φ(m)). Todistus. (Vrt. [5], s. 282) Olkoon r primitiivinen juuri modulo m. Lauseen 1.5 mukaan r u on primitiivinen juuri modulo m, jos ja vain jos (u, φ(m)) = 1. Koska Eulerin funktion määritelmän mukaan tällaisia kokonaislukuja u on φ(φ(m)) kappaletta, luvun m primitiivisten juurien kokonaislukumäärä on φ(φ(m)). Edellä mainittujen lauseiden 1.5 ja 1.6 avulla löydetään kaikki φ(φ(m)) epäkongruenttia primitiivistä juurta modulo m, kun tiedetään, että r on primitiivinen juuri modulo m. Nämä primitiiviset juuret ovat r u, kun (u, φ(m)) = 1. Esimerkki 1.13 Etsitään kaikki epäkongruentit primitiiviset juuret modulo 11, kun tiedetään, että 2 on primitiivinen juuri modulo 11. Lauseen 1.6 mukaan luvulla 11 on φ(φ(11)) = φ(10) = 4 epäkongruenttia primitiivistä juurta. Lauseen 1.5 mukaan ne ovat muotoa 2 u, missä (u, 10) = 1. Tällaisia positiivisia kokonaislukuja u ovat luvut 1, 3, 7 ja 9, joten primitiiviset juuret ovat 2 1, 2 3, 2 7 ja 2 9 modulo 11 eli 2, 8, 7 ja 6. Luvun 11 epäkongruentit primitiiviset juuret ovat siis 2, 6, 7 ja 8.

Luku 2 Primitiivisten juurten olemassaolo Edellisessä luvussa todettiin että, jos positiivisella kokonaisluvulla m on primitiivinen juuri, niin sillä on φ(φ(m)) epäkongruenttia primitiivistä juurta. Tämä lause ei kuitenkaan kerro, että jokaisella positiivisella kokonaisluvulla olisi primitiivinen juuri. Kuten jo aikaisemmin on todettu, esimerkiksi luvuilla 8, 12, 15 ja 20 ei ole primitiivisiä juuria. Oleellinen kysymys onkin: millaisilla positiivisilla kokonaisluvuilla on primitiivinen juuri. Aloitetaan tämän ongelman purkaminen osoittamalla, että jokaisella alkuluvulla on primitiivinen juuri. 2.1 Alkulukujen primitiiviset juuret Olkoon f(x) kokonaislukukertoiminen polynomi. Sanotaan, että kokonaisluku α on polynomikongruenssin f(x) 0 (mod m) ratkaisu, jos f(α) 0 (mod m). Jos α on polynomikongruenssin f(x) 0 (mod m) ratkaisu, niin jokainen sellainen kokonaisluku β, joka toteuttaa ehdon β α (mod m), on myös polynomikongruenssin f(x) 0 (mod m) ratkaisu modulo m. Esimerkki 2.1 Polynomilla f(x) = x 2 +10 on täsmälleen kaksi epäkongruenttia ratkaisua modulo 11. Nämä ovat luvut 1 ja 10, sillä f(1) 1 + 10 0 (mod 11) ja f(10) 100 + 10 0 (mod 11). Esimerkki 2.2 (Ks. [5], s. 285) Fermat n pienen lauseen mukaan polynomilla f(x) = x p 1 1 on täsmälleen p 1 kappaletta epäkongruentteja ratkaisuja modulo p, jos p on alkuluku. Nämä ratkaisut ovat x 1, 2, 3,..., p 1 (mod p). 12

LUKU 2. PRIMITIIVISTEN JUURTEN OLEMASSAOLO 13 Seuraavalla lauseella, joka kertoo polynomikongruenssin f(x) 0 (mod p) ratkaisujen määrän, on keskeinen rooli alkulukujen primitiivisten juurien olemassaolon todistamisessa. Lause 2.1 (Lagrangen lause) Olkoon f(x) = n a i x i = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 i=0 astetta n 1 oleva kokonaislukukertoiminen polynomi, missä p / a n. Tällöin kongruenssilla f(x) 0 (mod p) on enintään n kappaletta epäkongruentteja ratkaisuja modulo p. Todistus. (Vrt. [4], s. 450) Todistetaan lause induktiolla. Olkoon n = 1. Nyt f(x) = a 1 x + a 0, missä p / a 1. Polynomin f(x) ratkaisu modulo p on kongruenssin a 1 x a 0 (mod p) ratkaisu. Koska (a 1, p) = 1 ja 1 a 0, niin kongruenssilla a 1 x a 0 (mod p) on täsmälleen yksi ratkaisu modulo p. Siis polynomilla f(x) on täsmälleen yksi ratkaisu modulo p, kun n = 1. Oletetaan seuraavaksi, että astetta k 1 olevat polynomit toteuttavat lauseen. Olkoon f(x) = k i=0 a ix i astetta k oleva polynomi, missä p /a k. Jos kongruenssilla f(x) 0 (mod p) ei ole ratkaisuja, väite seuraa suoraan tästä. Oletetaan siis, että kongruenssilla f(x) 0 (mod p) on vähintään yksi ratkaisu α, kun 0 α p. Tällöin f(α) 0 (mod p). Koska x α on luvun x t α t tekijä, kun t = 0, 1,..., n, saadaan jakamalla f(x) luvulla x α f(x) = (x α)q(x) + r, missä q(x) on astetta k 1 oleva kokonaislukukertoiminen polynomi ja r on kokonaisluku. Kun x = α, saadaan ja edelleen f(α) = (α α)q(α) + r 0 f(α) = (α α)q(α) + r = 0 + r (mod p), josta saadaan r 0 (mod p).

LUKU 2. PRIMITIIVISTEN JUURTEN OLEMASSAOLO 14 Siis f(x) (x α)q(x) (mod p), missä polynomin q(x) aste on k 1. Olkoon β joku toinen kongruenssin f(x) 0 (mod p) epäkongruenteista ratkaisuista, kun 0 β p. Tällöin f(β) (β α)q(β) (mod p) ja edelleen 0 (β α)q(β) (mod p). Nyt voidaan päätellä, että q(β) 0 (mod p), koska β α (mod p). Siis jokainen kongruenssin f(x) 0 (mod p) ratkaisuista α poikkeava ratkaisu on kongruenssin q(x) 0 (mod p) ratkaisu. Selvästi jokainen kongruenssin q(x) 0 (mod p) ratkaisu on myös kongruenssin f(x) 0 (mod p) ratkaisu. Koska polynomin q(x) aste on k 1, induktio-oletuksen mukaan kongruenssilla q(x) 0 (mod p) on korkeintaan k 1 ratkaisua. Tästä seuraa, että kongruenssilla f(x) 0 (mod p) on korkeintaan 1 + (k 1) = k ratkaisua. Siis induktion perusteella lause on tosi kaikilla astetta n 1 olevilla polynomeilla. Esimerkki 2.3 Polynomi f(x) = x 2 +10 on toista astetta oleva polynomi ja kongruenssilla f(x) 0 (mod 11) on siis korkeintaan kaksi ratkaisua modulo 11. Nämä ratkaisut on esitelty esimerkissä 2.1. Lause 2.2 Jos p on alkuluku ja d (p 1), niin kongruenssilla x d 1 0 (mod p) on täsmälleen d epäkongruenttia ratkaisua modulo p. Todistus. (Vrt. [5], s. 286) Koska d (p 1), niin p 1 = de jollakin kokonaisluvulla e. Nyt x p 1 1 = (x d 1)(x d(e 1) + x d(e 2) + + x d + 1) = (x d 1)g(x). Fermat n pienen lauseen mukaan kongruessilla x p 1 1 0 (mod p) on täsmälleen p 1 epäkongruenttia ratkaisua modulo p. Nämä ratkaisut ovat kokonaisluvut 1, 2,..., p 1.

LUKU 2. PRIMITIIVISTEN JUURTEN OLEMASSAOLO 15 Lagrangen lauseen mukaan kongruenssilla g(x) 0 (mod p) on korkeintaan d(e 1) = p 1 d ratkaisua modulo p. Tiedetään, että kongruenssilla x d 1 0 (mod p) on vähintään (p 1) (p 1 d) = d epäkongruenttia ratkaisua, sillä jokaisen kongruenssin x p 1 1 0 (mod p) ratkaisun, joka ei ole kongruenssin g(x) 0 (mod p) ratkaisu, on oltava kongruenssin x d 1 0 (mod p) ratkaisu. Toisaalta Lagrangen lauseen mukaan kongruenssilla x d 1 0 (mod p) on korkeintaan d epäkongruenttia ratkaisua. Siis kongruenssilla x d 1 0 (mod p) on täsmälleen d epäkongruenttia ratkaisua modulo p. Esimerkki 2.4 Etsitään kongruenssin x 3 + 1 0 (mod 7) epäkongruentit ratkaisut. Koska x 3 + 1 = (x + 1)(x 2 x + 1), niin joko x + 1 0 (mod 7) tai x 2 x + 1 0 (mod 7). Kongruenssista x+1 0 (mod 7) saadaan ratkaisuksi x = 1 6 (mod 7). Koska x 2 x + 1 x 2 x 6 = (x 3)(x + 2) 0 (mod 7), niin x 3 (mod 7) tai x 2 5 (mod 7). Siis kongruenssin x 3 + 1 0 (mod 7) epäkongruentit ratkaisut ovat 3, 5 ja 6, sillä 27 + 1 0 (mod 7), 125 + 1 0 (mod 7) ja 216 + 1 0 (mod 7). Lause 2.3 (Wilsonin lause) Jos p on alkuluku, niin (p 1)! 1 (mod p). Todistus. (Vrt. [4], s. 452) Valitaan sopiva polynomi f(x). Olkoon se f(x) = (x 1)(x 2) (x (p 1)) (x p 1 1). Nyt f(x) on astetta p 2 oleva kokonaislukukertoiminen polynomi. Fermat n pienen lauseen mukaan kongruenssilla x p 1 1 0 (mod p) on p 1 epäkongruenttia ratkaisua. Näistä ratkaisuista jokainen on lisäksi kongruenssin (x 1)(x 2) (x (p 1)) 0 (mod p) ratkaisu. Tämän vuoksi kongruenssilla f(x) 0 (mod p) on p 1 epäkongruenttia ratkaisua. Koska ratkaisuja on yksi enemmän kuin mikä polynomin aste on, niin polynomin f(x) jokaisen kertoimen on oltava kongruentti luvun 0 kanssa modulo p. Erityisesti vakiotermin f(0) on oltava kongruentti luvun 0 kanssa modulo p. Nyt f(0) = ( 1)( 2) [ (p 1)] 0 + 1 = ( 1) p 1 (p 1)! + 1,

LUKU 2. PRIMITIIVISTEN JUURTEN OLEMASSAOLO 16 jolloin saadaan ja edelleen ( 1) p 1 (p 1)! + 1 0 (mod p) (p 1)! ( 1) p (mod p). Jos p = 2, niin ( 1) p 1 1 (mod p). Jos p on pariton, niin ( 1) p = 1. Molemmissa tapauksissa (p 1)! 1 (mod p). Lause 2.4 Olkoot p alkuluku ja d sellainen positiivinen kokonaisluku, että d (p 1). Tällöin on olemassa täsmälleen φ(d) sellaista epäkongruenttia kokonaislukua k, että ord p k = d. Todistus. (Vrt. [1], s. 207 ja [5], s.286) Olkoon A(d) = {k 1 k p 1, ord p k = d} ja ψ(d) niiden positiivisten kokonaislukujen k määrä, jotka kuuluvat joukkoon A(d). Nyt ψ(d) 0 kaikilla luvuilla d. Seurauksen 1.1 mukaan jokaisella kokonaisluvulla 1, 2,..., p 1 on kertaluku, joka jakaa luvun p 1, joten ψ(d) = p 1. d p 1 Edelleen Gaussin lauseen mukaan φ(d) = p 1. Siis d p 1 ψ(d) = φ(d). d p 1 d p 1 Osoitetaan, että ψ(d) = φ(d) kaikilla luvuilla d, kun d (p 1). Jaetaan todistus kahteen osaan. Tapaus 1. Olkoon ψ(d) = 0. Selvästi tällöin ψ(d) < φ(d), joten ψ(d) φ(d). Tapaus 2. Olkoon ψ(d) 0. Tällöin ord p a = d ja kokonaisluvut a, a 2,..., a d

LUKU 2. PRIMITIIVISTEN JUURTEN OLEMASSAOLO 17 ovat epäkongruetteja modulo p. Lisäksi jokainen näistä luvuista on kongruenssin x d 1 0 (mod p) ratkaisu modulo p, sillä (a k ) d = (a d ) k 1 (mod p), kun 1 k d. Lauseen 2.2 mukaan kongruenssilla x d 1 0 (mod p) on täsmälleen d epäkongruenttia ratkaisua modulo p. Siis jokainen ratkaisu modulo p on kongruentti yhden kokonaisluvun a, a 2,..., a d kanssa. Kuitenkin lauseen 1.3 mukaan ord p (a k ) = ord p a = d, jos ja vain jos (k, d) = 1. Sellaisia kokonaislukuja k, että 1 k d ja (k, d) = 1, on täsmälleen φ(d) kappaletta. Toisaalta, jos on yksi kertaluku d modulo p, niin on täsmälleen φ(d) sellaista positiivista kokonaislukua, jotka ovat pienempiä kuin luku d. Siis ψ(d) φ(d). Nyt tapauksien 1 ja 2 perusteella ψ(d) φ(d). Koska niin ψ(d) = φ(d) ja ψ(d) φ(d), d p 1 d p 1 ψ(d) = φ(d). On siis täsmälleen φ(d) sellaista epäkongruenttia kokonaislukua k, että ord p k = d. Seuraus 2.1 Jokaisella alkuluvulla p on primitiivinen juuri. Todistus. (Vrt. [5], s. 287) Olkoon p alkuluku. Lauseen 2.4 mukaan on olemassa φ(p 1) kappaletta sellaisia epäkongruentteja kokonaislukuja a, että ord p a = p 1. Koska jokainen näistä on määritelmän mukaan primitiivinen juuri, alkuluvulla p on φ(p 1) primitiivistä juurta. Euler todisti jo vuonna 1773 (vaikkakin epätäydellisesti), että jokaisella alkuluvulla on primitiivinen juuri. Hän kirjoitti jopa listan primitiivisistä juurista modulo p, kun p 37. Legendre korjasi Eulerin todistuksen puutteet käyttämällä Lagrangen lausetta. Vuonna 1785 hän osoitti, että jos d (p 1), on olemassa φ(d) sellaista kokonaislukua, jonka kertaluku on d. Vaikka seuraus 2.1 todistaakin, että jokaisella alkuluvulla on primitiivinen juuri, se ei

LUKU 2. PRIMITIIVISTEN JUURTEN OLEMASSAOLO 18 kerro mitään siitä, miten primitiiviset juuret löydetään. Löytäminen tapahtuu kokeilemalla, mikä on melko usein työlästä. Primitiivisten juurien käyttämisen helpottamiseksi onkin laadittu taulukoita, joihin on koottu lukuja ja niiden primitiivisiä juuria. Vuonna 1839 saksalainen matemaatikko Karl Gustave Jacob Jacobi julkaisi taulukon, jossa oli määritetty primitiiviset juuret alkuluvuille p, kun p < 1000. Taulukkoon 2.1 on koottu alkulukujen p pienimmät primitiiviset juuret r, kun p < 300. Taulukko 2.1. Pienimmät primitiiviset juuret r modulo p, kun p < 300. (Ks. [5], s. 475) p r p r p r p r p r 2 1 43 3 103 5 173 2 241 7 3 2 47 5 107 2 179 2 251 6 5 2 53 2 109 6 181 2 257 3 7 3 59 2 113 3 191 19 263 5 11 2 61 2 127 3 193 5 269 2 13 2 67 2 131 2 197 2 271 6 17 3 71 7 137 3 199 3 277 5 19 2 73 5 139 2 211 2 281 3 23 5 79 3 149 2 223 3 283 3 29 2 83 2 151 6 227 2 293 2 31 3 89 3 157 5 229 6 37 2 97 5 163 2 233 3 41 6 101 2 167 5 239 7 Jos χ(p) on alkuluvun p pienin positiivinen primitiivinen juuri, niin taulukosta 2.1 huomataan, että χ(p) 19, kun p < 300. Itseasiassa, jos p kasvaa rajatta, niin χ(p) tulee mielivaltaisen suureksi. Taulukosta 2.1 saadaan myös vihje siitä, että on olemassa ääretön määrä alkulukuja p, joiden χ(p) = 2. Suurimmassa osassa tapauksista χ(p) on melko pieni luku. On todettu, että 80%:lle ensimmäisistä 19862 parittomasta alkuluvusta pätee, että χ(p) 6. Samoin 7429 kappaleelle näistä alkuluvuista pätee, että χ(p) = 2 ja edelleen 4515 kappaleelle pätee, että χ(p) = 3. (Ks. [2], s. 166) Ei ole myöskään kehitetty mitään tapaa, jolla voitaisiin sujuvasti päätellä mikä on alkuluvun pienin positiivinen primitiivinen juuri tai miten primitiiviset juuret jakautuvat jäännösten modulo p joukossa. Esimerkkinä ovat taulukoissa 2.2 ja 2.3 esitetyt peräkkäisten alkulukujen 71 ja 73 epäkongruen-

LUKU 2. PRIMITIIVISTEN JUURTEN OLEMASSAOLO 19 tit primitiiviset juuret, jotka selvästi eroavat toisistaan. Vaikka molemmilla luvuilla on 24 epäkongruenttia primitiivistä juurta, joista osa on samoja, niiden pienimmät primitiiviset juuret eivät kuitenkaan ole samat. Lukujen epäkongruentit primitiiviset juuret ovat myöskin jakautuneet erilailla jäännösten modulo p joukossa. Taulukko 2.2. Luvun 71 primitiiviset juuret (Ks. [3], s. 80). 7 11 13 21 22 28 31 33 35 42 44 47 52 53 55 56 59 61 62 63 65 67 68 69 Taulukko 2.3. Luvun 73 primitiiviset juuret (Ks. [3], s. 80). 5 11 13 14 15 20 26 28 29 31 33 34 39 40 42 44 45 47 53 58 59 60 62 68 Gauss teki teoksessaan Disquisitiones Arithmeticae hypoteesin, että on olemassa äärettömän monta sellaista alkulukua, joiden primitiivinen juuri on luku 10. Emil Artin yleisti tämän selvittämättömän ongelman vuonna 1927. Artinin hypoteesi on, että on olemassa äärettömän monta alkulukua p, joiden primitiivinen juuri on a, kun a 1, a 1 tai a ei ole neliö. Tätä hypoteesia ei ole vielä todistettu, mutta on osoitettu, että on olemassa äärettömän monta sellaista lukua a, joilla Artinin hypoteesi pätee. Lisäksi on löydetty ainakin kaksi sellaista alkulukua, joilla hypoteesi ei toteudu. Artinin hypoteesin rajoitukset luvulle a ovat perusteltuja. Oletetaan, että a on neliö, esimerkiksi a = x 2, ja että p on sellainen pariton alkuluku, että (a, p) = 1. Jos p / x, niin Fermat n lauseen mukaan x p 1 1 (mod p), mistä saadaan edelleen, että a (p 1)/2 (x 2 ) (p 1)/2 1 (mod p). Primitiivisen luvun määritelmän perusteella a ei voi olla luvun p primitiivinen juuri. (Jos taas p x, niin p a ja a p 1 1 (mod p) eikä a ole primitiivinen juuri modulo p.) Myöskään luku 1 ei voi olla alkuluvun p primitiivinen juuri, kun p 1 > 2, sillä ( 1) 2 = 1. (Ks. [2], s. 167) Seuraava esimerkki ratkaistaan tähän asti esiteltyjen tietojen avulla. Esimerkki 2.5 Etsitään ne φ(6) = 2 kokonaislukua a, joiden kertaluku

LUKU 2. PRIMITIIVISTEN JUURTEN OLEMASSAOLO 20 modulo 43 on 6 eli ord 43 a = 6. Tiedetään, että luvulla 43 on φ(φ(43)) = φ(42) = 12 primitiivistä juurta. Etsitään kokeilemalla (tai valmiiden taulukoiden avulla) yksi niistä. Selvästi luku 2 ei ole primitiivinen juuri modulo 43, sillä 2 14 1 (mod 43) ja 14 < φ(43). Luku 3 sensijaan on primitiivinen juuri modulo 43, sillä 3 42 1 (mod 43) ja 3 u 1 (mod 43) aina, kun u < 42. Nyt luvun 43 kaikki primitiiviset juuret ovat muotoa 3 k, kun 1 k 42 ja (k, 42) = 1. Lauseen 1.3 mukaan luvun 3 k kertaluku on 42. Nyt 42 = 6, (k,42) (k,42) jos ja vain jos (k, 42) = 7. Siis k = 7 tai k = 35. Ratkaistaan sekä 3 7 että 3 35 modulo 43, jolloin saadaan ja 3 7 3 3 3 4 37 (mod 43) 3 35 (3 7 ) 5 37 5 ( 6) 5 36 7 (mod 43). Siis 7 ja 37 ovat ainoat positiiviset kokonaisluvut, joilla on kertaluku 6 modulo 43. Siis ord 43 7 = 6 ja ord 43 37 = 6. 2.2 Yhdistettyjen lukujen primitiiviset juuret Edellisessä pykälässä osoitettiin, että jokaisella alkuluvulla on primitiivinen juuri, itseasiassa primitiivisiä juuria on φ(p 1) kappaletta. Tässä pykälässä etsitään muut positiiviset kokonaisluvut, joilla on primitiivinen juuri. Voidaan osoittaa, että nämä luvut ovat 1, 2, 4, p k ja 2p k, kun p on pariton alkuluku ja k on positiivinen kokonaisluku. Kolme ensimmäistä tapausta ovat yksinkertaisia. Luvulla 1 on selvästi primitiivinen juuri. Luvun 2 primitiivinen juuri on 1 ja luvun 4 primitiivinen juuri on 3, sillä φ(4) = 2 ja 3 2 1 (mod 4). Aloitetaan jäljellejääneiden lukujen käsittely osoittamalla, että luvulla p 2 on primitiivinen juuri, kun p on pariton alkuluku. Todistuksen lyhentämiseksi ja selventämiseksi käytetään seuraavaa lemmaa. Lemma 2.1 Olkoon r parittoman alkuluvun p primitiivinen juuri. Tällöin ord p 2(r + p) p 1.

LUKU 2. PRIMITIIVISTEN JUURTEN OLEMASSAOLO 21 Todistus. (Vrt. [4], s. 458) Olkoon r 1 = r + p. Tehdään vastaoletus, että ord p 2r 1 = p 1. Tällöin (r 1 ) p 1 1 (mod p 2 ) primitiivisen juuren määritelmän mukaan. Käytetään binomilausetta, jolloin saadaan (r 1 ) p 1 = (r + p) p 1 ( ) p 1 = r p 1 + (p 1)r p 2 p + r p 3 p 2 + + p p 1 2 r p 1 + (p 1)r p 2 p (mod p 2 ). Oletuksen mukaan (r 1 ) p 1 1 (mod p 2 ), joten ja 1 r p 1 + (p 1)r p 2 p (mod p 2 ) 1 1 pr p 2 (mod p 2 ). Tästä seuraa, että pr p 2 0 (mod p 2 ) ja edelleen r p 2 0 (mod p). Tämä on ristiriita, sillä r on primitiivinen juuri ja (r, p) = 1, joten p / r p 2. Siis ord p 2r 1 = ord p 2(r + p) p 1. Lause 2.5 Jos r on parittoman alkuluvun p primitiivinen juuri, niin luvulla p 2 on primitiivinen juuri, joka on joko r tai r + p. Todistus. (Vrt. [4], s. 458) Koska r on primitiivinen juuri modulo p, niin ord p r = φ(p) = p 1. Olkoon ord p 2r = d, jolloin r d 1 (mod p 2 ) primitiivisen juuren määritelmän mukaan. Siis d φ(p 2 ), mutta φ(p 2 ) = p(p 1) eli d p(p 1). Koska r d 1 (mod p 2 ), myös r d 1 (mod p), joten lauseen 1.1 mukaan ord p r d eli p 1 d. Tällöin d = k(p 1), kun k on kokonaisluku. Nyt k(p 1) p(p 1) eli k p, jolloin joko k = 1 tai k = p. Tästä seuraa, että joko d = p 1 tai d = p(p 1). Tapaus 1. Olkoon d = p(p 1). Tällöin ord p 2r = p(p 1) = φ(p 2 ) eli r on primitiivinen juuri modulo p 2. Tapaus 2. Olkoon d = p 1. Osoitetaan, että r 1 = r + p on primitiivinen juuri modulo p 2. Koska r 1 r (mod p), niin r 1 on myös primitiivinen juuri modulo p. Nyt joko ord p 2r 1 = p(p 1) tai ord p 2r 1 = p 1. Lemman 1.1

LUKU 2. PRIMITIIVISTEN JUURTEN OLEMASSAOLO 22 mukaan ord p 2r 1 p 1, joten ord p 2r 1 = p(p 1) = φ(p 2 ). Siis r 1 = r + p on primitiivinen juuri modulo p 2. Tapauksien 1 ja 2 perusteella joko r tai r + p on primitiivinen juuri modulo p 2. Huomautus 2.1 Voidaan todeta, että jos r on primitiivinen juuri modulo p, niin yleensä r on myös primitiivinen juuri modulo p 2. Jos r ei ole primitiivinen juuri modulo p 2, niin lauseen 2.5 mukaan luku r + p on primitiivinen juuri modulo p 2. Esimerkki 2.6 Taulukosta 2.1 nähdään, että 2 on primitiivinen juuri modulo 5. Tämä voidaan todeta myös laskemalla 2 φ(5) 2 4 1 (mod 5). Lisäksi 2 u 1 (mod 5) aina, kun u < 4. Luku 2 on myös primitiivinen juuri modulo 25, sillä 2 φ(25) 2 20 1 (mod 25) ja 2 u 1 (mod 25) aina, kun u < 20. Luku (r + p) = (2 + 5) = 7 ei ole primitiivinen juuri modulo 25, sillä 7 4 1 (mod 25) ja 4 < φ(25). On osoitettu, että luvuilla p k on primitiivinen juuri, kun p on pariton alkuluku ja k = 1 tai k = 2. Osoitetaan seuraavaksi, että luvuilla p k on primitiivinen juuri, kun k 3. Selvyyden vuoksi todistus jaetaan pienempiin osiin. Lemma 2.2 Olkoon r sellaisen parittoman alkuluvun p primitiivinen juuri, että r p 1 1 (mod p 2 ). Tällöin r pk 2 (p 1) 1 (mod p k ) kun k 2. Todistus. (Vrt. [4], s. 459) Todistetaan lause induktiolla. Kun k = 2, oletuksen mukaan r pk 2 (p 1) = r p 1 1 (mod p 2 ). Väite on siis tosi, kun k = 2. Oletetaan seuraavaksi, että väite on tosi mielivaltaisella kokonaisluvulla k, kun k 2. Tällöin r pk 2 (p 1) 1 (mod p k ). Koska (r, p) = 1, myös (r, p k 1 ) = 1. Eulerin-Fermat n lauseen ja primitiivisen juuren määritelmän mukaan r φ(pk 1) = r pk 2 (p 1) 1 (mod p k 1 ). On siis olemassa sellainen kokonaisluku q, että r pk 2 (p 1) = 1 + qp k 1.

LUKU 2. PRIMITIIVISTEN JUURTEN OLEMASSAOLO 23 Koska induktio-oletuksen mukaan r pk 2 (p 1) 1 (mod p k ), niin myös 1 + qp k 1 1 (mod p k ). Tästä seuraa, että p / q. Korotetaan yhtälö r pk 2 (p 1) = 1+qp k 1 puolittain potenssiin p ja käytetään binomilausetta, jolloin saadaan Koska p / q, saadaan r pk 1 (p 1) = (1 + qp k 1 ) p ( ) p = 1 + qp k + q 2 p k+1 + + q p p p(k 1) 2 1 + qp k (mod p k+1 ). r pk 1 (p 1) 1 (mod p k+1 ). Siis induktion perusteella väite on tosi, kun k 2. Lause 2.6 Jos k 2 ja p on pariton alkuluku, niin luvulla p k on primitiivinen juuri. Todistus. (Vrt. [4], s. 460) Olkoon r primitiivinen juuri modulo p. Jos r on myös primitiivinen juuri modulo p 2, niin r p 1 1 (mod p 2 ). Toisaalta, jos r ei ole primitiivinen juuri modulo p 2, niin lauseen 2.5 mukaan r 1 = r + p on primitiivinen juuri modulo p 2, missä r 1 r (mod p) ja (r 1 ) p 1 1 (mod p 2 ). Molemmissa tapauksissa luvulla p 2 on primitiivinen juuri r 2, jolloin (r 2 ) p 1 1 (mod p 2 ). (Huomaa, että r 2 = r, jos r on primitiivinen juuri modulo p 2, muussa tapauksessa r 2 = r 1.) Lemman 2.2 mukaan (r 2 ) pk 2 (p 1) 1 (mod p k ), kun k 2. On osoitettava, että r 2 on primitiivinen juuri modulo p k eli ord p kr 2 = φ(p k ). Oletetaan, että ord p kr 2 = d. Tällöin d φ(p k ), kun φ(p k ) = p k 1 (p 1). Koska primitiivisen juuren määritelmän mukaan (r 2 ) d 1 (mod p k ), niin myös (r 2 ) d 1 (mod p), mistä seuraa, että (p 1) d. Olkoon d = (p 1)t jollakin kokonaisluvulla t. Tällöin (p 1)t φ(p k ) eli

LUKU 2. PRIMITIIVISTEN JUURTEN OLEMASSAOLO 24 (p 1)t p k 1 (p 1) ja edelleen t p k 1. Siis t = p i, kun i on sellainen kokonaisluku, että 0 i k 1, jolloin d = (p 1)p i. Jos i k 2, niin (r 2 ) pi (p 1) 1 (mod p k ), mikä on ristiriita. Siis i = k 1 ja edelleen ord p kr 2 = p k 1 (p 1) = φ(p k ). Siis r 2 on primitiivinen juuri modulo p k, kun k 2. Huomautus 2.2 Edellisen lauseen mukaan jokainen primitiivinen juuri modulo p 2 on myös primitiivinen juuri modulo p k, kun k 2. Huomautus 2.3 Lauseiden 2.5 ja 2.6 mukaan parittoman alkuluvun p primitiivistä juurta r voidaan käyttää primitiivisen juuren r 2 modulo p k löytämiseen. Jos r on primitiivinen juuri modulo p 2, niin r 2 = r ja muussa tapauksessa r 2 = r + p. Seuraavaksi selvitetään, onko kokonaisluvulla 2 k primitiivisiä juuria. Selvästi luvuilla 1, 2 ja 4 on primitiiviset juuret, jotka ovat 1, 1 ja 3. On siis selvitettävä, onko luvulla 2 k primitiivisiä juuria, kun k 3. Seuraavat kaksi lemmaa selventävät ja lyhentävät todistusta. Lemma 2.3 Jokaisen parittoman kokonaisluvun neliö on kongruentti luvun 1 kanssa modulo 8. Todistus. (Vrt. [4], s. 461) Olkoon a = 2i + 1, kun i on kokonaisluku, jolloin luku a on pariton kokonaisluku. Korottamalla yhtälö a = 2i + 1 puolittain toiseen potenssiin, saadaan a 2 = 4i 2 + 4i + 1 = 4i(i + 1) + 1. Koska 2 i(i + 1) ja 8 4i(i + 1), niin a 2 1 (mod 8). Lemma 2.4 Olkoot a pariton kokonaisluku ja t 3. Tällöin a 2t 2 1 (mod 2 t ). Todistus. (Vrt. [4], s. 462) Todistetaan lemma induktiolla. Lemman 2.3 perusteella väite on tosi, kun t = 3.

LUKU 2. PRIMITIIVISTEN JUURTEN OLEMASSAOLO 25 Oletetaan, että väite on tosi mielivaltaisella kokonaisluvulla k, kun k 3. Tällöin a 2k 2 1 (mod 2 k ) a 2k 2 = 1 + q 2 k, kun q Z. Korotetaan yhtälö a 2k 2 = 1 + q 2 k puolittain toiseen potenssiin, jolloin saadaan a 2k 1 = (1 + q 2 k ) 2 = 1 + q 2 k+1 + q 2 2 2k = 1 + 2 k+1 (q + q 2 2 k 1 ) 1 (mod 2 k+1 ). Siis, jos väite on tosi luvulla t = k, niin se on tosi myös luvulla t = k + 1. Induktion perusteella väite on tosi kaikilla kokonaisluvuilla t, kun t 3. Nyt voidaan todeta, ettei kokonaisluvulla 2 k ole primitiivisiä juuria, kun k 3. Lause 2.7 Kokonaisluvulla 2 k ei ole primitiivisiä juuria, jos k 3. Todistus. (Vrt. [4], s. 462) Tehdään vastaoletus, että luvulla 2 k on primitiivinen juuri r. Tällöin ord 2 kr = φ(2 k ) = 2 k 1. Koska (r, 2) = 1, luvun r on oltava pariton. Tällöin lemman 2.4 mukaan r 2k 2 1 (mod 2 k ), joten ord 2 kr 2 k 2, mikä on ristiriita, sillä primitiivisen juuren määritelmän mukaan pitäisi olla ord 2 kr = 2 k 1. Vastaoletus on siis väärä ja näin ollen luvulla 2 k ei ole primitiivisiä juuria, kun k 3. Lauseen 2.7 perusteella voidaan nyt todeta, että esimerkiksi luvuilla 2 3, 2 4, 2 5 ja 2 6 eli luvuilla 8, 16, 32 ja 64 ei ole primitiivisiä juuria. Seuraavaksi osoitetaan, että positiivisella kokonaisluvulla ei voi olla primitiivisiä juuria, jos luku on jaollinen kahdella erillisellä parittomalla alkuluvulla tai jos se on muotoa 2 i p j, missä i 2 ja p on pariton alkuluku. Aluksi esitetään jälleen todistusta selventävä lemma. Lemma 2.5 Kokonaisluvulla ab ei ole primitiivisiä juuria, jos a, b > 2 ja (a, b) = 1.

LUKU 2. PRIMITIIVISTEN JUURTEN OLEMASSAOLO 26 Todistus. (Vrt. [4], s. 462) Tehdään vastaoletus, että luvulla ab on primitiivinen juuri r. Tällöin primitiivisen juuren määritelmän mukaan (r, ab) = 1 ja r φ(ab) 1 (mod ab). Koska (r, ab) = 1, niin (r, a) = 1 = (r, b). Olkoon s = (φ(a), φ(b)). Koska a, b > 2, on sekä luvun φ(a) että luvun φ(b) oltava parillisia, joten s 2. Lisäksi s φ(a) ja s φ(b). Koska Eulerin funktio on on koko- multiplikatiivinen, voidaan kirjoittaa φ(a)φ(b) s naisluku. Koska s > 1, niin φ(ab) < φ(ab). Koska (r, a) = 1 ja r φ(a) 1 (mod a), niin s = φ(ab) s r φ(ab)/s = r φ(a)φ(b)/s = (r φ(a) ) φ(b)/s 1 φ(b)/s 1 (mod a).. Nyt luku φ(ab) s Vastaavasti r φ(ab)/s 1 (mod b). Nyt r φ(ab)/s 1 (mod ab), mikä on ristiriita, sillä r on primitiivinen juuri modulo ab ja φ(ab) < φ(ab). Vastaoletus on s siis väärä, joten luvulla ab ei ole primitiivisiä juuria. Esimerkki 2.7 Luvulla 12 ei ole primitiivisiä juuria, sillä 12 = 3 4, 3 > 2, 4 > 2 ja (3, 4) = 1. Lause 2.8 Positiivisella kokonaisluvulla ei ole primitiivisiä juuria, jos se on jaollinen kahdella erisuurella parittomalla alkuluvulla tai jos se on muotoa 2 i p j, missä p on pariton alkuluku ja i 2. Todistus. (Vrt. [4], s. 463) Oletetaan, että positiivinen kokonaisluku n on jaollinen kahdella erisuurella alkuluvulla p ja q. Nyt n = p i q j. Olkoot a = p i ja b = q j, jolloin lemman 2.5 mukaan luvulla ab = p i q j ei ole primitiivisiä juuria, joten myöskään luvulla n ei ole primitiivisiä juuria. Oletetaan seuraavaksi, että n = 2 i p j, kun i 2 ja p on pariton alkuluku. Olkoot a = 2 i ja b = p j, jolloin lemman 2.5 mukaan luvulla n = ab = 2 i p j ei ole primitiivisiä juuria. Edellä mainittu lause 2.8 supistaa huomattavasti listaa niistä kokonaisluvuista, joilla on primitiivinen juuri. Sen mukaan nämä luvut ovat muotoa n = 2 i p j, missä p on pariton alkuluku. Jos i = 0 ja j = 0, niin n = 1, jolla on primitiivinen juuri. Jos i = 0 ja j > 0, niin seurauksen 2.1 ja lauseiden 2.5 ja 2.6 mukaan luvulla n = p j on primitiivinen juuri. Jos i 2, niin lauseen 2.8 mukaan luvulla n ei ole primitiivisiä juuria. Seuraava lause todistaa, että jos i = 1, luvulla n = 2 i p j = 2p j on primitiivinen juuri.

LUKU 2. PRIMITIIVISTEN JUURTEN OLEMASSAOLO 27 Lause 2.9 Kokonaisluvulla n = 2p j on primitiivinen juuri, kun p on pariton alkuluku. Todistus. (Vrt. [4], s. 464) Olkoon r primitiivinen juuri modulo p j. Nyt primitiivisen juuren määritelmän mukaan r φ(pj) 1 (mod p j ). Primitiivinen juuri voi olla joko parillinen tai pariton. Molemmat tapaukset käsitellään kuitenkin parittoman primitiivisen juuren avulla. Tapaus 1. Oletetaan, että r on pariton ja osoitetaan, että r on primitiivinen juuri modulo n. Koska φ(n) = φ(2p j ) = φ(2)φ(p j ) = φ(p j ), niin primitiivisen juuren määritelmän mukaan r φ(n) = r φ(pj) 1 (mod p j ). Koska r on pariton, niin r 1 (mod 2) ja edelleen r φ(pj) 1 (mod 2). Nyt yhdistämällä kongruenssit r φ(n) = r φ(pj) 1 (mod p j ) ja r φ(pj) 1 (mod 2) saadaan r φ(n) 1 (mod 2p j ) ja edelleen r φ(n) 1 (mod n). Oletetaan, että ord n r = d < φ(n) = φ(2p j ). Tällöin r d 1 (mod p j ). Siis φ(p j ) d < φ(p j ), mikä on selvästi ristiriita, joten ord n r = φ(n) ja r on primitiivinen juuri modulo n. Tapaus 2. Oletetaan, että r on parillinen. Tällöin r 1 = r + p j on pariton. Osoitetaan, että r 1 on primitiivinen juuri modulo n. Koska r 1 on pariton, niin r 1 1 (mod 2) ja edelleen r φ(pj ) 1 1 (mod 2). Koska r 1 r (mod p j ), niin r φ(n) 1 r φ(pj) 1 (mod 2p j ). Edelleen r φ(n) 1 1 (mod n). Tästä seuraa primitiivisen juuren määritelmän perusteella, että r 1 on primitiivinen juuri modulo n. Tapauksien 1 ja 2 perusteella luvulla n = 2p j on primitiivinen juuri. Esimerkki 2.8 Taulukosta 2.1 nähdään, että r = 5 on primitiivinen juuri modulo p = 23. Tutkitaan, mikä on luvun 1058 primitiivinen juuri. Nyt n = 2 23 2 = 1058. Koska r = 5 on pariton, niin lauseen 2.9 mukaan 5 on myös primitiivinen juuri modulo 1058.

LUKU 2. PRIMITIIVISTEN JUURTEN OLEMASSAOLO 28 Esimerkki 2.9 Tiedetään, että 6 on primitiivinen juuri modulo 13. (Taulukon 2.1 mukaan 2 on primitiivinen juuri modulo 13. Nyt 2 5 6 (mod 13) ja (5, φ(13)) = 1, joten 6 on primitiivinen juuri modulo 13.) Tutkitaan, mikä on luvun 4394 primitiivinen juuri. Koska n = 2 13 3 = 4394 ja r = 6 on parillinen, niin lauseen 2.9 mukaan (r + p j ) = (6 + 13 3 ) = 2203. Siis 2203 on primitiivinen juuri modulo 4394. Yhdistämällä seurauksen 2.1 ja lauseiden 2.5, 2.6, 2.7 ja 2.9 tulokset saadaan seuraava lause, jonka Gauss esitteli vuonna 1801. Lause 2.10 Positiivisilla kokonaisluvuilla 1, 2, 4, p k ja 2p k, missä p on pariton alkuluku ja k on positiivinen kokonaisluku, on primitiivinen juuri. Todistus. Todistus seuraa suoraan seurauksen 2.1 ja lauseiden 2.5, 2.6, 2.7 ja 2.9 todistuksista. Lauseen 2.10 mukaan 15 ensimmäistä positiivista kokonaislukua, joilla on primitiivinen juuri, ovat 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 17, 18 ja 19. Esimerkiksi luvuilla 8, 12, 15, 16 ja 20 ei ole primitiivisiä juuria. Osoitetaan vielä, ettei luvuilla m 1, 2, 4, p k, 2p k ole primitiivisiä juuria. Lause 2.11 Olkoon m > 1 ja m 1, 2, 4, p k, 2p k, kun p on pariton alkuluku ja k positiivinen kokonaisluku. Olkoon lisäksi luku a suhteellinen alkuluku luvun m kanssa. Tällöin a φ(m)/2 1 (mod m) eli ei ole olemassa primitiivisiä juuria modulo m. Todistus. (Vrt. [1], s. 211) Lauseen 2.7 mukaan luvulla 2 k ei ole primitiivisiä juuria, kun k 3. Voidaan siis olettaa, että luku m on muotoa m = 2 k p k 1 1 p ks s, missä luvut p i (i = 1, 2,..., s) ovat parittomia alkulukuja, s 1 ja k 0. Tällöin φ(m) = φ(2 k )φ(p k 1 1 ) φ(p ks s ). Jos s = 1, niin k 2, koska m 1, 2, 4, p k, 2p k. Samoin s 2, jos k = 0 tai k = 1. Olkoon a suhteellinen alkuluku luvun m kanssa. Osoitetaan, että a φ(m)/2 1 (mod m).

LUKU 2. PRIMITIIVISTEN JUURTEN OLEMASSAOLO 29 Olkoon r luvun p k 1 1 primitiivinen juuri ja valitaan luvuksi t sellainen luku, että a r t (mod p k 1 1 ). Nyt missä a φ(m)/2 r tφ(m)/2 r uφ(pk 1 1 ) (mod p k 1 1 ), (2.2.1) u = tφ(2 k )φ(p k 2 2 ) φ(p ks s )/2. Osoitetaan, että u on kokonaisluku. Jos k 2, tekijä φ(2 k ) on parillinen ja u on kokonaisluku. Jos k = 0 tai k = 1, niin s 2 ja tekijä φ(p k 2 2 ) on parillinen, joten myös tässä tapauksessa u on kokonaisluku. Nyt kongruenssista (2.2.1) saadaan a φ(m)/2 1 (mod p k 1 1 ). Vastaavasti a φ(m)/2 1 (mod p k i i ), (2.2.2) kun i = 1, 2,..., s. Osoitetaan, että tämä kongruenssi pätee myös modulo 2 k. Jos k 3, niin luvun a on oltava pariton, sillä (a, m) = 1. Nyt lemman 2.4 mukaan a φ(2k )/2 1 (mod 2 k ). Koska φ(2 k ) φ(m), niin kun k 3. Jos k 2, saadaan a φ(m)/2 1 (mod 2 k ), (2.2.3) a φ(2k) 1 (mod 2 k ). (2.2.4) Mutta s 1, joten φ(m) = φ(2 k )φ(p k 1 1 ) φ(p ks s ) = 2vφ(2 k ), kun v on kokonaisluku. Siis φ(2 k ) φ(m)/2 ja kongruenssista (2.2.4) saadaan kongruenssi (2.2.3), kun k 2. Siis a φ(m)/2 1 (mod 2 k ) kaikilla luvuilla k. Kun kerrotaan kongruenssit (2.2.2) ja (2.2.3) keskenään, saadaan a φ(m)/2 1 (mod m)

LUKU 2. PRIMITIIVISTEN JUURTEN OLEMASSAOLO 30 eli a ei voi olla primitiivinen juuri modulo m. Lauseiden 2.10 ja 2.11 perusteella voidaan todeta, että ainoat positiiviset kokonaisluvut, joilla on primitiivinen juuri, ovat 1, 2, 4, p k ja 2p k, kun p on pariton alkuluku ja k on positiivinen kokonaisluku.

Luku 3 Diskreetti logaritmi ja potenssin jäännös Tässä luvussa määritetään sekä diskreetin logaritmin käsite että potenssin jäännös. Lisäksi esitellään muutamia diskreetin logaritmin ominaisuuksia, joita käytetään tiettyjen kongruenssien ratkaisemisessa. Potenssin jäännöksen avulla voidaan puolestaan päätellä, onko jokin kongruenssi ylipäänsä ratkeava. Ensimmäisessä pykälässä määritettävän diskreetin logaritmin käsitteen esitteli ensimmäisen kerran Gauss teoksessaan Disquisitiones Arithmeticae. 3.1 Diskreetti logaritmi Olkoon r primitiivinen juuri modulo m. Lauseen 1.4 mukaan luvut r, r 2,..., r φ(m) muodostavat supistetun jäännössysteemin modulo m. Siis jos a on suhteellinen alkuluku luvun m kanssa, on olemassa sellainen yksikäsitteinen luku x, että 1 x φ(m) ja r x a (mod m). Määritelmä 3.1 Olkoot r primitiivinen juuri modulo m ja a suhteellinen alkuluku luvun m kanssa. Tällöin lukua x, joka toteuttaa ehdot 1 x φ(m) ja r x a (mod m), sanotaan luvun a r-kantaiseksi diskreetiksi logaritmiksi (ts. indeksiksi) modulo m. Merkitään x = ind r a. 31

LUKU 3. DISKREETTI LOGARITMI JA POTENSSIN JÄÄNNÖS 32 Huomautus 3.1 1) Luku ind r a riippuu modulista m, vaikka se ei merkinnästä x = ind r a käykään ilmi. 2) r indra a (mod m). 3) Jos luvut a ja b ovat suhteellisia alkulukuja luvun m kanssa eli (a, m) = (b, m) = 1 ja a b (mod m), niin ind r a = ind r b. Esimerkki 3.1 Olkoon m = 7. Taulukosta 2.1 huomataan, että 3 on primitiivinen juuri modulo 7. Voidaan laskea, että 3 1 3 (mod 7), 3 2 2 (mod 7), 3 3 6 (mod 7), 3 4 4 (mod 7), 3 5 5 (mod 7) ja 3 6 1 (mod 1). Näin ollen ind 3 1 = 6, ind 3 2 = 2, ind 3 3 = 1, ind 3 4 = 4, ind 3 5 = 5 ja ind 3 6 = 3. Valitaan seuraavaksi jokin toinen primitiivinen juuri modulo 7. Koska φ(φ(7)) = 2, luvulla 7 on täsmälleen 2 epäkongruenttia primitiivistä juurta. Nämä ovat 3 ja 3 5 = 243, sillä (1, φ(7)) = 1 ja (5, φ(7)) = 1. Nyt 243 1 5 (mod 7), 243 2 4 (mod 7), 243 3 6 (mod 7), 243 4 2 (mod 7), 243 5 3 (mod 7) ja 243 6 1 (mod 7). Siis ind 243 1 = 6, ind 243 2 = 4, ind 243 3 = 5, ind 243 4 = 2, ind 243 5 = 1 ja ind 243 6 = 3. Huomataan, että yleisesti ind 3 a ind 243 a. Esimerkiksi 2 = ind 3 2 ind 243 2 = 4. Luvun ind r a arvo riippuu siis primitiivisestä juuresta r ja modulista m. Seuraavassa lauseessa esitetään joitakin diskreetin logaritmin ominaisuuksia. Nämä ominaisuudet muistuttavat seuraavia logaritmin ominaisuuksia: log a 1 = 0, log a (xy) = log a x + log a y, log a (x n ) = n log a x. Lause 3.1 Olkoon r primitiivinen juuri modulo m. Olkoot a ja b suhteellisia alkulukuja luvun m kanssa. Tällöin (i) ind r 1 0 (mod φ(m)), (ii) ind r (ab) ind r a + ind r b (mod φ(m)), (iii) ind r (a k ) k ind r a (mod φ(m)), kun k on positiivinen kokonaisluku.

LUKU 3. DISKREETTI LOGARITMI JA POTENSSIN JÄÄNNÖS 33 Todistus. (Vrt. [5], s. 299) (i) Eulerin-Fermat n lauseen mukaan r φ(m) 1 (mod m). Koska r on primitiivinen juuri modulo m, niin mikään luvun r alempi potenssi ei ole kongruentti luvun 1 kanssa modulo m. Siis ind r 1 = φ(m) 0 (mod φ(m)). (ii) Diskreetin logaritmin määritelmän mukaan ja Siis Nyt lauseen 1.2 mukaan r indr(ab) ab (mod m) r indra+indrb r indra r indrb ab r indr(ab) r indra+indrb (mod m). (mod m). ind r (ab) ind r a + ind r b (mod φ(m)). (iii) Diskreetin logaritmin määritelmän mukaan ja Siis Edelleen lauseen 1.2 mukaan r indr(ak) a k (mod m) r k indra = (r indra ) k a k r indr(ak) k indra r (mod (mod m). m). ind r (a k ) k ind r a (mod φ(m)). Siis kohtien (i)-(iii) perusteella väite on tosi.