LUKU 7 Perusmuodot 7 Ensimmäinen perusmuoto Määritelmä 7 Olkoon ϕ: U R 3 tilkku Määritellään funktiot E, F, G: U R asettamalla (7) E := ϕ ϕ, F := ϕ, G := ϕ u u u u Funktiot E, F G ovat tilkun ϕ ensimmäisen perusmuodon kertoimet neliömuoto tilkun ϕ ensimmäinen perusmuoto ds := E du + F du du + G du Tilkun ensimmäinen perusmuoto on lähinnä muodollinen lauseke, koska differentiaaleille du, du du du ei ole määritelty toimintatapaa Ensimmäistä perusmuotoa ei juurikaan tarvita sellaisenaan, ainoastaan sen kertoimia Lemma 7 Olkoot ϕ: U R 3 tilkku, E, F, G sen ensimmäisen perusmuodon kertoimet α: [a, b] R 3 C -polku, joka voidaan esittää muodossa a α(t) = ϕ(u (t), u (t)), missä u = (u, u ): [a, b] U on tason C -polku Tällöin polun α kaarenpituusparametrille on τ ( du ) du du ( s(τ) = E + F dt dt dt + G du ) dt dt Todistus Määritelmän mukaan s(τ) = τ a α (t) dt Tässä α (t) = α (t) α (t) ( ϕ = (u(t)) u u (t) + ϕ ) ( ϕ (u(t)) u u (t) (u(t)) u u (t) + ϕ ) (u(t)) u u (t) = E(u(t)) u (t) + F (u(t)) u (t) u (t) + G(u(t)) u (t) Edellisen lemman avulla tilkun ensimmäiselle perusmuodolle voidaan antaa täsmennys merkitys: Koordinaattikuvausten u, u : R R, u (u, v) := u u (u, v) := v, differentiaalit pisteessä (a, b) R ovat lineaarikuvauksia du j (a, b): R R, joille du (a, b)(u, v) = u = u (u, v) du (a, b)(u, v) = v = u (u, v), ts du j (a, b) = u j Usein käytetään lyhennettyä merkintää du j tarkemman merkinnän du j (a, b) sista (eihän du j (a, b) riipu lainkaan pisteestä (a, b)) Ensimmäinen perusmuoto pisteessä (a, b) on kuvaus, jolle ds ((a, b); (u, v)) = E(a, b) (du (u, v)) +F (a, b) du (u, v) du (u, v)+g(a, b) (du (u, v)) Viimeksi muutettu 4 5
Edellisen lemman todistuksen mukaan 7 TOINEN PERUSMUOTO 53 ds (u(t); u (t)) = α (t), kun α(t) = ϕ(u(t)) Siis ds (u(t); u (t)) antaa tangenttivektorin α (t) pituuden neliön laskettuna parametriesitysten ϕ u avulla 7 Toinen perusmuoto Määritelmä 73 Olkoot ϕ: U R 3 sileä tilkku N ϕ sen yksikkönormaalikenttä Määritellään funktiot e, f, g : U R asettamalla (7) e := N ϕ ϕ, f := N ϕ ϕ, g := N ϕ ϕ u u u u Funktiot e, f g ovat tilkun ϕ toisen perusmuodon kertoimet neliömuoto tilkun ϕ toinen perusmuoto e du + f du du + g du Huomautuksia 74 a) Identiteetistä N ϕ ϕ u = saadaan puolittain derivoimalla = N ϕ ϕ + N ϕ ϕ, u u u joten Vastaavalla tavalla saadaan e = N ϕ u f = N ϕ u g = N ϕ u ϕ u ϕ = N ϕ ϕ u u u ϕ u b) Vastaavalla laskulla, jolla selvitettiin ensimmäisen perusmuodon merkitystä, saadaan toiselle perusmuodolle: kun ϕ on sileän pinnan M lokaali parametriesitys, p = ϕ(u) v p := ( ) p; a ϕ u (u) + b ϕ u Tp (M), on S p (v p ) v p = e a + f a b + g b Lause 75 (Weingartenin yhtälöt) Olkoot (M, N) suunnistettu pinta ϕ: U M pinnan lokaali parametriesitys siten, että sen yksikkönormaalille on N ϕ = N ϕ Tällöin pinnan M Weingartenin kuvaukselle on kantavektoreiden E ϕ = ϕ u E ϕ = ϕ u avulla esitettynä voimassa S ϕ(u) (E ϕ ) = f F e G E G F (73) + e F f E E G F Eϕ S ϕ(u) (E ϕ ) = g F f G E G F Eϕ + f F g E E G F Eϕ
7 TOINEN PERUSMUOTO 54 Todistus Koska koordinaattivektorikentät E ϕ (u) E ϕ (u) muodostavat kannan tangenttiavaruuteen T ϕ(u) (M), voidaan vektorit S ϕ(u) (E ϕ ) S ϕ(u) (E ϕ ) esittää niiden lineaarikombinaatioina: S ϕ(u) (E ϕ ) = N ϕ = a, E ϕ + a, E ϕ u S ϕ(u) (E ϕ ) = N ϕ = a, E ϕ + a, E ϕ u Kun näistä yhtälöistä muodostetaan sisätulot puolittain vektoreiden E ϕ (u) E ϕ (u) kanssa, saadaan e = N ϕ u E ϕ = a, E + a, F f = N ϕ E ϕ = a, F + a, G u f = N ϕ E ϕ = a, E + a, F u g = N ϕ E ϕ = a, F + a, G u Yhtälöryhmä voidaan esittää matriisimuodossa [ ] [ e f a, a =, f g ] [ E F a, a, F G ] Sileälle tilkulle ensimmäinen perusmuoto on positiivisesti definiitti, joten E G F = E F F G > Yhtälöryhmän ratkaisuksi saadaan [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] a, a, e f E F e f G F = = a, a, f g F G E G F f g F E Väite seuraa tästä Seuraus 76 Olkoot (M, N) suunnistettu pinta ϕ: U M pinnan lokaali parametriesitys siten, että sen yksikkönormaalille on N ϕ = N ϕ Tällöin pinnan M Gaussin kaarevuudelle K keskikaarevuudelle H on K(ϕ(u)) = e g f E G F H(ϕ(u)) = e G f F + g E (E G F ) Vaihtoehtoisesti voidaan käyttää seuraavaa ristitulon ominaisuutta E ϕ E ϕ = E ϕ E ϕ (E ϕ Eϕ ) = E G F
73 ESIMERKKEJÄ 55 Todistus Weingartenin yhtälöiden nolla Weingartenin kuvauksen S ϕ(u) matriisi kannan {E ϕ (u), E ϕ (u)} suhteen on [ ] f F e G e F f E A = E G F g F f G f F g E Siis K(ϕ(u)) = det S ϕ(u) = H(ϕ(u)) = tr S ϕ(u) = Väitteet seuraavat näistä sieventämällä (f F e G)(f F g E) (e F f E)(g F f G) (E G F ) (f F e G) + (f F g E) (E G F ) 73 Esimerkkejä Esimerkki 77 (Apinan satula) Olkoon f : R R, f(u, v) := u 3 3 u v Funktion f kuvaalla on parametriesitys ϕ(u, v) = (u, v, u 3 3 u v ), joten ϕ u (u, v) = (,, 3 u 3 v ) tilkun ϕ ensimmäisen perusmuodon kertoimet ovat Vastaavasti ϕ (u, v) = (,, 6 u v), v E = + 9 (u v ), F = 8 u v (u v ) G = 36 u v ϕ (u, v) = (,, 6 u), u ϕ u v (u, v) = (,, 6 v) ϕ v (u, v) = (,, 6 u) Tilkun ϕ yksikkönormaali saadaan normeeraamalla ristitulo E ϕ (u, v) E ϕ (u, v) = ( f(u, v), f(u, v), ) = ( 3 u + 3 v, 6 u v, ) yksikkövektoriksi: N ϕ (u, v) = ( 3 u + 3 v, 6 u v, ) + 9 (u v ) + 36 u v Tilkun ϕ toisen perusmuodon kertoimet ovat siis e = N ϕ (u, v) ϕ 6 (u, v) = u f = N ϕ (u, v) ϕ 6 (u, v) = u v g = N ϕ (u, v) ϕ 6 (u, v) = v u + 9 u4 + 8 u v + 9 v 4, v + 9 u4 + 8 u v + 9 v 4, u + 9 u4 + 8 u v + 9 v 4
73 ESIMERKKEJÄ 56 5 5 5 5-5 -5-5 -5-5 - 5-5 -5-5 -5 5 5 - - Kuva Apinan satula väritettynä Gaussin kaarevuuden (vasen kuva) keskikaarevuuden (oikea kuva) avulla Funktion f kuvaan Gaussin kaarevuus keskikaarevuus saadaan nyt edellisen seurauksen 76 kaavojen avulla: E F G = + 9 u 4 + 8 u v + 9 v 4, e f g 36 (u + v ) = + 9 u 4 + 8 u v + 9 v, 4 36 (u + v ) K(ϕ(u, v)) = ( + 9 u 4 + 8 u v + 9 v 4 ), H(ϕ(u, v)) = 7 (u5 u 3 v 3 u v 4 ) ( + 9 u 4 + 8 u v + 9 v 4 ) 3/ Huomaa, että vaikka funktion f kuvaa ei ole kiertoinvariantti z-akselin suhteen, riippuu Gaussin kaarevuus vain neliöstä u + v Määritelmä 78 Olkoot (M, N) suunnistettu pinta p M Sanotaan, että piste p on a) elliptinen, jos K(p) > ; b) hyperbolinen, jos K(p) < ; c) parabolinen, jos K(p) =, mutta Weingartenin kuvaus S p ; d) tasomainen, jos Weingartenin kuvaus S p = (jolloin K(p) = ) Huomautus 79 Pääkaarevuuksien k (p) k (p) avulla ilmaistuna piste p on a) elliptinen, jos k (p) k (p) ovat samanmerkkiset ( nollasta eroavat); b) hyperbolinen, jos k (p) k (p) ovat erimerkkiset ( nollasta eroavat); c) parabolinen, jos toinen pääkaarevuuksista on nolla toinen nollasta eroava; d) tasomainen, jos molemmat pääkaarevuudet ovat nollia Esimerkki 7 (Pyörähdyspinnat) Olkoon ϕ: (a, b) R R 3 profiilikäyrän (x, x ): (a, b) R, missä x (t) > kaikille t (a, b), määräämä parametrisoitu pyörähdyspinta, ϕ(t, θ) := (x (t) cos θ, x (t) sin θ, x (t))
Tikulle ϕ on 73 ESIMERKKEJÄ 57 ϕ t (t, θ) = (x (t) cos θ, x (t) sin θ, x (t)), ϕ θ (t, θ) = ( x (t) sin θ, x (t) cos θ, ), ϕ (t, θ) = (x t (t) cos θ, x (t) sin θ, x (t)), ϕ t θ (t, θ) = ( x (t) sin θ, x (t) cos θ, ), ϕ θ (t, θ) = ( x (t) cos θ, x (t) sin θ, ) Tilkun ϕ yksikkönormaali on N ϕ (t, θ) = v(t) ( x (t) cos θ, x (t) sin θ, x (t)), missä v(t) = x (t) + x (t) Näistä saadaan ensimmäisen perusmuodon kertoimet sekä toisen perusmuodon kertoimet E = x (t), F = G = v(t), e = x (t) x (t), f = g = x (t) x (t) x (t) x (t) v(t) v(t) Pyörähdyspinnan Gaussin kaarevuus pisteessä ϕ(t, θ) on K(ϕ(t, θ)) = x (t) x (t) x (t) x (t) x (t) x (t) v(t) 4 Erityisesti, jos polun (x, x ) vauhti on yksi, niin K(ϕ(t, θ)) = x (t) x (t) Esimerkiksi pallo saadaan pyörähdyspintana ympyrästä (x, x ): t (r cos t, r sin t), missä r > Tässä x (t) = r sin t, x (t) = r cos t, v(t) = r x (t) x (t) x (t) x (t) = r, joten K(ϕ(t, θ)) = r cos t r r cos t r = 4 r Torus saadaan pyörähdyspintana ympyrästä (x, x ): t (a+b cos t, b sin t), missä < b < a Tässä joten x (t) = b sin t, x (t) = b cos t, v(t) = b x (t) x (t) x (t) x (t) = b, K(ϕ(t, θ)) = b cos t b a + b cos t b = 4 cos t b (a + b cos t)
73 ESIMERKKEJÄ 58 5-5 - -4 4 - - 4-4 Kuva Torus väritettynä Gaussin kaarevuuden avulla Esimerkki 7 Edellisen esimerkin mukaan r-säteisen pallon Gaussin kaarevuus on positiivinen vakio Määrätään pyörähdyspinnat, joiden Gaussin kaarevuus K on positiivinen vakio = /a, missä a > Oletetaan, että profiilikäyrän (x, x ): (a, b) R vauhti on yksi, jolloin pinnan Gaussin kaarevuus on K = x (t) x (t) Funktiolle x saadaan siis differentiaaliyhtälö x (t) + a x (t) = Tämän differentiaaliyhtälön kaikki ratkaisut saadaan kaavasta x (t) = b cos(t/a + c), missä b, c R Oletetaan yksinkertaisuuden vuoksi, että c = b > (Oletus c = vain määrää aika-akselin origon) Voidaan myös olettaa, että x (t) (muuten tarkastellaan funktiota t x ( t)) Ehdosta x (t) + x (t) = saadaan a x (t) = a a x (t) = a b sin (t/a) Kun vielä oletetaan, että x () = (tämä valinta kiinnittää profiilikäyrän x - akselin suunnassa), saadaan profiikäyrälle parametriesitys x (t) = b cos(t/a) t/a x (t) = a b sin τ dτ Ratkaisun x -koordinaatti voidaan esittää ns toisen lajin elliptisen integraalin E(s m) := s m sin τ dτ avulla x (t) = a E( t b ) Elliptisiä integraale ei a a poikkeustapauksia lukuunottamatta voida esittää alkeisfunktioiden avulla Ratkaisun pisin määrittelyväli I nähdään helposti tarkastelemalla integraalin juurrettavaa: (i) Jos b < a, on I = R ( värttinä ) (ii) Jos b = a, on I = ( πa, πa) (pallo)
73 ESIMERKKEJÄ 59 (iii) Jos b > a, on I = ( a arcsin b a, a arcsin b a ) ( pullistuma ) 5-5 5-5 4 5-5 - 5 5-5 - - -5 5-5 - - Kuva 3 Pyörähdyspinto, joiden Gaussin kaarevuus = Esimerkki 7 Määrätään pyörähdyspinnat, joiden Gaussin kaarevuus K on negatiivinen vakio = /a, missä a > Funktiolle x saadaan nyt differentiaaliyhtälö x (t) a x (t) = Tämän differentiaaliyhtälön kaikki ratkaisut saadaan kaavasta x (t) = A e t/a + B e t/a, missä A, B R Jos A =, niin voidaan olettaa, että B > Jos B a, tehdään muuttunvaihto t t + a log B a log a, jolloin x (t) = a e t/a Koska polku (x, x ) on yksikkövauhtinen, on x (t) = e t/a, joten profiilikäyrällä on parametriesitys x (t) = a e t/a, x (t) = t e τ/a dτ, t Tämä polku tunnetaan nimellä vetokäyrä (engl tractrix) sen määräämä pyörähdyspinta nimellä pseudopallo
73 ESIMERKKEJÄ 6 Vastaavasti, jos B =, päädytään parametriesitykseen (tarvittaessa vielä vastaava muuttunvaihto muuttuan t) x (t) = a e t/a, x (t) = t e τ/a dτ, t Olkoot nyt A B Muuttunvaihdon t t + a B log avulla päästään A tilanteeseen, missä A = B Olkoot nyt A = B Tällöin x (t) = A e t/a + A e t/a = A cosh(t/a), joten profiilikäyrällä on parametriesitys (b := A) x (t) = b cosh(t/a), t/a a arsinh(a/b) < t < a arsinh(a/b) x (t) = a b sinh τ dτ, Vastaava pyörähdyspinta on hyperboloidimainen Olkoot nyt A = B Tällöin x (t) = A e t/a A e t/a = A sinh(t/a), joten profiilikäyrällä on parametriesitys (b := A; voidaan olettaa, että b > ; muuten käytetään muuttunvaihtoa t t) x (t) = b sinh(t/a), t/a a b a arsinh a b < t < a arsinh x (t) = a b cosh τ dτ, b b Vastaava pyörähdyspinta on kartiomainen Kuva 4 Pyörähdyspinto, joiden Gaussin kaarevuus =