KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K. Ensimmäiselle paidalle on 5 vaihtoehtoa, toiselle 4, kolmannelle 3 ja niin edelleen. Axel voi pitää paitoja 5! = 0:ssä eri järjestyksessä. Vastaus: 0:ssä eri järjestyksessä K. Ensimmäisessä vaiheessa on 5 vaihtoehtoa, toisessa vaiheessa 3 vaihtoehtoa ja kolmannessa vaiheessa vaihtoehtoa. Tuloperiaatteen mukaan puhelimen voi valita 5 3 = 30 vaihtoehdosta. Vastaus: 30 vaihtoehdosta K3. Yhdeksästä työntekijästä voidaan valita neljän työntekijän ryhmä 9 4 = 6:lla eri tavalla, joten 6 erilaista kokoonpanoa voi tulla valituksi. Vastaus: 6 kokoonpanoa K4. Kun joukkueet pelaavat toisiaan vastaan, ne muodostavat kahden alkion 5 = 0:llä eri tavalla. Alkusarjassa pelataan siis 0 peliä. joukkoja. Viidestä alkiosta voidaan muodostaa kahden alkion joukko Vastaus: 0 peliä
7 K5. Seitsemän nuken joukosta voidaan valita kolme 3 = 35:llä tavalla, ja kahdeksasta nukesta voidaan valita viisi 8 = 56:lla tavalla. Erilaisia 5 nukkekokoonpanoja on yhteensä 35 56 = 960. Leikissä voi olla 960 eri nukkekokoonpanoa. Vastaus: 960 nukkekokoonpanoa K6. Matematiikan kirjat voidaan järjestää 4 3 = 4! eri tavalla. Vastaavasti psykologian kirjat voidaan järjestää 5! eri tavalla ja yhteiskuntaopin kirjat! eri tavalla. Lisäksi kolme oppiainetta voidaan järjestää 3! eri tavalla. Tuloperiaatteen mukaan on 4! 5!! 3! = 34 560 eri tapaa järjestää kirjat. Vastaus: 34 560 järjestystä K7. a) Sanassa PERUNA on kuusi eri kirjainta, joten uuden sanan ensimmäinen kirjain voidaan valita kuudesta vaihtoehdosta, toinen viidestä vaihtoehdosta ja niin edelleen. Erilaisia merkkijonoja voidaan muodostaa 6 5 4 3 = 6! = 70 kappaletta. Vastaus: 70 merkkijonoa b) Viidellä kirjaimella on 5! mahdollista järjestystä, mutta näistä osa on samoja, koska U esiintyy sanassa kahdesti. Luku 5! on siis jaettava luvulla, joka kertoo kuinka monessa järjestyksessä kaksi U-kirjainta voivat olla, eli luvulla!. Erilaisia merkkijonoja voidaan siis muodostaa 5! 60! kappaletta. Vastaus: 60 merkkijonoa
K8. a) Viikossa on seitsemän päivää, joista viisi on arkipäiviä, joten P(itsenäisyyspäivä on arkipäivänä) = 5 7 = 0,74... 0,7. Itsenäisyyspäivä on arkipäivänä todennäköisyydellä 5 7 0,7. Vastaus: 5 7 0,7 b) Viikossa on seitsemän päivää ja viikonloppuna on kaksi päivää, joten P(itsenäisyyspäivä on viikonloppuna) = 7 = 0,85... 0,9. Itsenäisyyspäivä on viikonloppuna todennäköisyydellä 7 0,9. Vastaus: 7 0,9 K9. Muodostetaan taulukko, jossa on kahden arpakuution silmälukujen summat. Kahden arpakuution heitossa alkeistapauksia on 36 ja alkeistapauksia, joissa silmälukujen summa on 7 tai 8, on. P(silmälukujen summa on 7 tai 8) = 36 = 0,30555 = 30,555... % 3 % Silmälukujen summa on 7 tai 8 todennäköisyydellä 3 %. Vastaus: 3 %
K0. Tilastossa on tutkittu 39:ää lukiolaista. Lukiolaisia, joilla lemmikkinä on kissa tai lisko, on 8 + = 9. Kysytty todennäköisyys on (3 P(lemmikkinä kissa tai lisko) = 9 3 = 0,30 0,3. 39 3 Lukiolaisella on lemmikkinä kissa tai lisko todennäköisyydellä 0,3. Vastaus: 3 3 0,3 K. Korttipakasta voidaan nostaa erilaisia viiden kortin joukkoja 5 kappaletta. 5 Korttipakassa on 4 ässää, joten siellä on 5 4 = 48 muuta korttia. Erilaisia viiden kortin joukkoja, joissa ei ole ässää, eli joissa kortit on 48 valittu muiden 48:n kortin joukosta, on 5 kappaletta. Kysytty todennäköisyys on 48 5 P(ei yhtään ässää) = 0,658... 0,66. 5 5 Todennäköisyys sille, ettei saada yhtään ässää, kun otetaan pakasta viisi korttia, on 0,66. Vastaus: 0,66
K. Merkitään suotuisan alueen sädettä kirjaimella a. Tällöin koko ympyrän säde on a. Piirretään mallikuva. Käytetään geometrisena mittana pinta-alaa. Koko alueen pinta-ala on π (a) = π 4a = 4πa ja suotuisan alueen pinta-ala πa. Kysytty todennäköisyys on P(kivi osuu lähemmäksi ympyrän keskipistettä kuin sen kehää) πa 0,5. 4πa 4 Kivi osuu lähemmäs ympyrän keskipistettä kuin sen kehää todennäköisyydellä 0,5. 4 Vastaus: 0,5 4
K3. Taskussa on aluksi 5 + 3 = 8 kolikkoa, joista 5 on 50 sentin ja 3 kahden euron kolikoita. TAPA : Saadaan täsmälleen,50 euroa, jos ensimmäinen otettu kolikko on kahden euron kolikko ja toinen 50 sentin kolikko, tai toisin päin. Jos ensimmäinen kolikko on euron kolikko, niin taskussa on vielä jäljellä 7 kolikkoa, joista 5 on 50 sentin kolikoita. Tällöin todennäköisyys sille, että toisena otettu kolikko on 50 sentin kolikko, on 5. 7 Jos ensimmäinen kolikko on 50 sentin kolikko, niin taskussa on vielä jäljellä 7 kolikkoa, joista 3 on euron kolikoita. Tällöin todennäköisyys sille, että toisena otettu kolikko on euron kolikko, on 3. 7 P(täsmälleen,50 euroa) = P(. kolikko on ja toinen 50 snt) + P(. kolikko on 50 snt ja toinen ) = P(. kolikko on ) P(toisella 50 snt, kun. kolikko oli ) + P(. kolikko on 50 snt) P(toisella, kun. kolikko oli 50 snt) = 3 5 5 3 8 7 8 7 = 5 8 = 0,535... 0,54 Täsmälleen parkkimaksuun tarvittava,50 euroa saadaan todennäköisyydellä 5 8 0,54.
TAPA : Saadaan täsmälleen,50 euroa, jos saadaan yksi kahden euron ja yksi 50 sentin kolikko. Kahden euron kolikko voidaan valita kolmen samanlaisen kolikon 3 tavalla. joukosta 5 50 sentin kolikko voidaan valita viiden samanlaisen kolikon joukosta tavalla. Suotuisia kolikkoyhdistelmiä on tuloperiaatteen mukaan 3 5 kappaletta. 8 Kaksi kolikkoa voidaan valita kahdeksan kolikon joukosta 3 5 Kysytty todennäköisyys on 5 0,535... 0,54. 8 8 Täsmälleen parkkimaksuun tarvittava,50 euroa saadaan todennäköisyydellä 5 8 0,54. Vastaus: 5 8 0,54 eri tavalla.
K4. Kaikki valot toimivat, kun ensimmäinen valo toimii ja toinen valo toimii ja kolmas valo toimii ja niin edelleen. Kysytty todennäköisyys on P(kaikki valot toimivat) = 0,995 0,995... 0,995 4 kpl = 0,995 4 = 0,88665.. = 88,665 % 89 % Todennäköisyys sille, että kaikki valot toimivat, on 89 %. Vastaus: 89 % K5. Viljami voittaa ainakin yhden pelin, jos hän voittaa yhden pelin, kaksi peliä tai kolme peliä. Tämän todennäköisyys on helpompi laskea vastatapahtuman Viljami ei voita yhtään peliä avulla kuin suoraan. Todennäköisyys, että Viljami ei voita yksittäistä peliä on 4 8. 3 P(Viljami voittaa ainakin yhden pelin) = P(Viljami ei voita yhtään peliä) 3 = 3 = 9 7 = 0,703... 0,70 Todennäköisyys sille, että Viljami voittaa ainakin yhden pelin, on 0,70. Vastaus: 9 7 0,70
K6. Merkitään ryhmän tyttöjen määrä kirjaimella n. Tällöin todennäköisyys sille, että ensimmäinen valittu opiskelija on tyttö, on n. Jos ensimmäinen valittu opiskelija on tyttö, niin seuraava 5 opiskelija valitaan 4 opiskelijan joukosta, jossa on n tyttöä. Toinen opiskelija on siis tyttö todennäköisyydellä n. Muodostetaan 4 todennäköisyyden avulla yhtälö ja ratkaistaan siitä n. n n 7 5 4 0 nn 7 5 4 0 n n 7 600 0 0 n n 7 600 0n 0n400 0n 0n400 0 : 0 n n0 0 4 0 n n 840 n 84 n 9 n 9 tai n 9 n5 tai n4 Lukumäärä ei voi olla negatiivinen, joten ryhmässä on 5 tyttöä. Vastaus: 5 tyttöä
K7. a) Neljän henkilön toimikunta seitsemästä henkilöstä voidaan valita 7 = 35:llä tavalla. 4 Kaksi veljestä voidaan valita kahden veljeksen joukosta tavalla. Loput kaksi henkilöä voidaan valita muiden viiden muun henkilön joukosta 5 eri tavalla. Toimikunta, jossa molemmat veljekset ovat mukana, voidaan siis valita 5 = 0 tavalla. Kysytty todennäköisyys on P(molemmat veljekset joutuvat toimikuntaan) (5 0 0,85... 0,9. 35 7 Molemmat veljekset joutuvat toimikuntaan todennäköisyydellä 0,9. Vastaus: 7 0,9 b) Yksi veli voidaan valita kahden veljen joukosta tavalla. Loput 5 kolme henkilöä voidaan valita viiden muun henkilön joukosta 3 eri tavalla. Toimikunta, jossa on vain toinen veljeksistä, voidaan siis valita 5 = 0 tavalla. 3 Kysytty todennäköisyys on P(toinen veljeksistä joutuu toimikuntaan) (5 0 4 0,57... 0,57. 35 7 Vain toinen veljeksistä joutuu toimikuntaan todennäköisyydellä 0,57. Vastaus: 4 7 0,57
K8. a) Vapaa-aikaa vuorokaudesta on 6,3 tuntia eli 6,3 h 0,65 6,5 % 6 % 4 h. Vuorokaudesta on vapaa-aikaa 6 %. Vastaus: 6 % b) Ansiotyöhön käytettävä aika voi näyttää pieneltä. Aikaa pienentää se, että kaikki 0 64-vuotiaat eivät tee töitä, eikä töitä yleensä tehdä joka päivä.
K9. Videossa https://vimeo.com/89609/00d855a4b näytetään, miten tehtävä voidaan ratkaista taulukkolaskentaohjelmalla. K0. Piirretään pylväskaavio taulukkolaskentaohjelmalla. 00 000 800 600 400 00 0 megafauna ihmiset hyötyeläinnisäkkäät 50 000 vuotta sitten (milj.tonnia) Nykyisin (milj.tonnia)
K. Lasketaan suhteelliset frekvenssit f %, summafrekvenssit sf ja suhteelliset summafrekvenssit f %. kruunien f f % sf sf % määrä 0 38 38 3,8 % 000 38 3,8 % 44 44 4,4 % 000 38 + 44 = 8 8 8, % 000 34 34 34, % 000 8 + 34 54 = 54 5,4 % 000 3 87 87 8,7 % 000 54 + 87 8 = 8 8,% 000 4 64 64 6,4 % 000 8 + 64 975 = 975 97,5 % 000 5 5 5,5 % 000 975 + 5 = 00 % 000 Vastaus: kruunien f % sf sf % määrä 0 3,8 % 38 3,8 % 4,4 % 8 8, % 34, % 54 5,4 % 3 8,7 % 8 8, % 4 6,4 % 975 97,5 % 5,5 % 000 00,0 %
K. Lasketaan ensin tyttöjen ja poikien vastausten määrät yhteen. Lasketaan lisäksi, kuinka monta kutakin vastausta on yhteensä. Vastaus Tyttö Poika Yhteensä ehdottoman 0 tärkeää tärkeää 0 5 35 melko 8 9 7 tärkeää ei merkitystä yhteensä 3 5 56 Määritetään suhteelliset frekvenssit. Vastaus Tyttö Poika Yhteensä ehdottoman tärkeää 6% 3 0 0% 5 4% 56 tärkeää 0 65 % 3 5 60 % 5 35 63 % 56 melko 8 tärkeää 6 % 3 9 36 % 5 7 30 % 56 ei merkitystä 3% 3 4% 5 4% 56 Piirretään pylväskaavio sopivalla ohjelmalla.
Vastaus: Vastaus Tyttö Poika Yhteensä ehdottoman 6 % 0 % 4 % tärkeää tärkeää 65 % 60 % 63 % melko 6 % 36 % 30 % tärkeää ei merkitystä 3 % 4 % 4 %
K3. Videossa https://vimeo.com/89648/7f9f8a96d4 näytetään, miten tehtävä voidaan ratkaista taulukkolaskentaohjelmalla. Vastaus: Maiden lukumäärä f 0-9 0-9 8 0-9 3 30-39 40-49 50-59 K4. Järjestetään arvosanat ja määritetään mediaani. Jonin arvosanat olivat 5, 6, 6, 7, 9 ja 9. Koska arvosanat 6 ja 7 ovat molemmat keskimmäisiä, mediaani on niiden keskiarvo. Siis Md = 6 7 6,5. Nikon arvosanat olivat 5, 6, 7, 7, 8 ja 8. Koska kaksi keskimmäistä arvosanaa ovat molemmat seiskoja, mediaani on Md = 7. Jonin arvosanojen keskiarvo on x 566799 4 7. 6 6 Nikon arvosanojen keskiarvo on x 567788 4 6,833... 6,8. 6 6 Vastaus: Joni: Md = 6,5, x 7, Niko: Md = 7, x 6,8
K5. Yhden maalin pelejä on eniten, joten moodi on Mo =. Pelien lukumäärä on 5 + 9 + 7 + 7 + 6 + 5 + 3 = 8. Maalien määrän keskiarvo on x 50 9 7 7 3 6 4 55 36 8 8,573...,6. Vastaus: Mo =, x,6 K6. Videossa https://vimeo.com/89653/833046e7b näytetään, miten tehtävä voidaan ratkaista taulukkolaskentaohjelmalla. Vastaus: [53, 97], Md = 75, Q = 67,5, Q 3 = 8,5, x 75,3, s 0,4 K7. Videossa https://vimeo.com/89668/ea504b7ec näytetään, miten korrelaatiokerroin voidaan määrittää taulukkolaskentaohjelmalla. Tyttären ja äidin pituuksilla on kohtalainen positiivinen korrelaatio. Tämä johtunee siitä, että pituus riippuu osittain perimästä, mutta ei pelkästään siitä. Lisäksi myös isän pituus vaikuttaa lapsen pituuteen. Vastaus: r 0,49
KOKOAVIA TEHTÄVIÄ ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. Ensimmäisessä vaiheessa on vaihtoehtoa, toisessa vaiheessa 3 ja viimeisessä vaiheessa vaihtoehtoa. Vaihtoehtojen määrä on tuloperiaatteen mukaan 3 =. Kolmen ruokalajin kokonaisuuksia on. Vastaus: kokonaisuutta. Järjestetään poikasmäärät suuruusjärjestykseen:,,,, 3, 3, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7 Huomataan, että lukumäärää 6 on eniten, joten moodi Mo = 6. Järjestetyn aineiston keskimmäinen arvo on 5, joten mediaani Md = 5. Vastaus: Mo = 6, Md = 5
3. Piirroksessa havainnollistetaan sitä, miten vastaukset luetaan kuvaajasta. a) Mediaani-ikä on ikä, jota nuorempia ja vanhempia on puolet palomiehistä. Etsitään y-akselilta arvo 50 % ja huomataan, että sitä vastaava x-akselin arvo on noin 43 vuotta. Vastaus: n. 43 vuotta b) Kuvaajasta nähdään, että 5 % palomiehistä oli nuorempia kuin 35 vuotta. Alakvartiili oli siis 35 vuotta. Vastaus: n. 35 vuotta c) Kuvaajasta nähdään, että 75 % palomiehistä oli vanhempia kuin 50 vuotta. Alakvartiili oli siis 50 vuotta. Vastaus: n. 50 vuotta d) Katsotaan kuvaajalta mikä y-akselin arvo vastaa x-akselin arvoa 30 vuotta. Prosenttiluku on noin 0. Vastaus: n. 0 % e) 50 vuotta on yläkvartiili-ikä, joten 50 vuotta täyttäneitä oli 5 %. Vastaus: n. 5 %
4. Kysytty todennäköisyys voidaan laskea geometrisena todennäköisyytenä. Käytetään geometrisena mittana pituutta. Koko putken pituus on 3 m ja suotuisan osan pituus on 3 m 4 m = 8 m. Kysytty todennäköisyys on P(tukos ei ole varaston alla) = (4 8 7 0,875 0,88. 3 8 Todennäköisyys sille, että tukos ei ole varaston alla, on 0,88. Vastaus: 7 8 0,88
5. a) Tutkitaan vaihtoehdot I-VII yksi kerrallaan. Tapahtumassa I kuutosia voi olla enemmänkin, koska muista heitoista ei tiedetä. Ehto ei siis välttämättä täyty. Tapahtumassa II saadaan kuutosta, joten ehto ei täyty. Tapahtumassa III saadaan yksi kuutonen ja muilla kerroilla ei saada kuutosta, joten ehto täyttyy varmasti. Tapahtumassa IV kuutosia voi olla enemmän kuin yksi, joten ehto ei välttämättä täyty. Tapahtumassa V kuutosia ei välttämättä saada yhtään, joten ehto ei välttämättä täyty. Tapahtumassa VI ei saada kuutosia, joten ehto ei täyty. Tapahtumassa VII kuutosia saadaan kaksi, joten ehto ei täyty. Vastaus: III b) Tutkitaan tapahtumat I-VII yksi kerrallaan. Tapahtumassa I saadaan ensin kuutonen ja ehkä vielä lisää kuutosia, joten ehto täyttyy varmasti. Tapahtumassa II saadaan kuutosta, joten ehto täyttyy varmasti. Tapahtumassa III saadaan aluksi yksi kuutonen, joten ehto täyttyy varmasti. Tapahtumassa IV kuutosia saadaan vähintään yksi, joten ehto täyttyy varmasti. Tapahtumassa V kuutosia ei välttämättä saada yhtään, joten ehto ei välttämättä täyty. Tapahtumassa VI ei saada kuutosia, joten ehto ei täyty. Tapahtumassa VII kuutosia saadaan kaksi, joten ehto täyttyy varmasti. Vastaus: I, II, III, IV ja VII
6. a) Opiskelijoita oli yhteensä 0. Kuvan mukaan 3 opiskelijaa valitsi kaikkien aineiden syventäviä kursseja, joten kysytty todennäköisyys on P(opiskelee kaikkien aineiden syventäviä kursseja) (3 3 0,05. 0 40 Satunnainen opiskelija opiskelee kaikkien aineiden syventäviä kursseja todennäköisyydellä 40 = 0,05. Vastaus: 40 = 0,05 b) Fysiikan opiskelijoita oli 5. Heistä 3 opiskeli kaikkien muidenkin aineiden syventäviä kursseja, joten kysytty todennäköisyys on P(fysiikkaa opiskeleva opiskelee kaikkien muidenkin aineiden syventäviä kursseja) 3 0,. 5 Fysiikkaa opiskeleva opiskelee myös kaikkien muiden aineiden syventäviä kursseja todennäköisyydellä 3 5 = 0,. Vastaus: 3 5 = 0, c) Kuvan mukaan matematiikan ja fysiikan syventäviä kursseja oli valinnut 0 + 0 + + 3 = 5 opiskelijaa, ja heistä 0 ei ollut valinnut biologiaa eikä kemiaa. Kysytty todennäköisyys on siis P(matematiikan ja fysiikan syventäviä kursseja opiskeleva ei opiskele (5 biologiaa eikä kemiaa) 0 0,4. 5 5 Todennäköisyys sille, että matematiikan ja fysiikan syventäviä kursseja opiskeleva ei opiskele biologiaa eikä kemiaa, on 5 = 0,4. Vastaus: 5 = 0,4
7. Taulukoidaan tiedot. Sinisilmäisiä Ruskeasilmäisiä Yhteensä 6-vuotias 0 7-vuotias 4 8 Yhteensä 6 8 34 a) Ryhmässä on 34 henkilöä, joista 4 on 7-vuotiaita sinisilmäisiä. Kysytty todennäköisyys on P(valittu henkilö on 7-vuotias sinisilmäinen) ( 4 0,7... 0,. 34 7 Ryhmästä umpimähkään valittu henkilö on 7-vuotias sinisilmäinen todennäköisyydellä 7 0,. Vastaus: 7 0, b) Ryhmässä oli 8 ruskeasilmäistä, joista 8 oli 7-vuotiaita. Kysytty todennäköisyys on P(valittu ruskeasilmäinen on 7-vuotias) ( 8 4 0,444... 0,44. 8 9 Ryhmästä umpimähkään valittu ruskeasilmäinen on 7-vuotias todennäköisyydellä 4 9 0,44. Vastaus: 4 9 0,44
APUVÄLINEET SALLITTU 8. Parittomia numeroita ovat, 3, 5, 7 ja 9. Ensimmäinen numero voi olla mikä tahansa niistä, joten sille on 5 vaihtoehtoa. Koska mikään numero ei esiinny kuin kerran, niin toinen numero ei voi olla sama kuin ensimmäinen, joten toiselle numerolle on 4 vaihtoehtoa. Vastaavasti kolmannelle numerolle on 3 vaihtoehtoa ja neljännelle numerolle vaihtoehtoa. Tuloperiaatteen mukaan erilaisia tunnuslukuvaihtoehtoja on 5 4 3 = 0. Jere joutuu arvaamaan 0:n eri tunnusluvun joukosta. Vastaus: 0:n eri tunnusluvun
9. a) Piirretään pylväskaavio sopivalla ohjelmalla. b) Määritetään keskiarvot ja keskihajonnat sopivalla ohjelmalla. Sademäärän keskiarvo on x 63 mm ja keskihajonta s 76,3 mm. Rypsi- ja rapsisadon keskiarvo on x 0 miljoonaa kilogrammaa ja keskihajonta s 3,5 miljoonaa kilogrammaa. Vastaus: sademäärä: x 63 mm, s 76,3 mm; sato: x 0 milj. kg, s 3,5 milj. kg
c) Sademäärän ja sadon välinen korrelaatiokerroin ja selitysaste ovat b- kohdan perusteella r 0,5 ja r 0,7. Korrelaatio on kohtalainen negatiivinen eli sademäärän kasvaessa sato vähenee. Sademäärä selittää noin 7 % rypsi- ja rapsisadon vaihtelusta. Vastaus: r 0,5; r 0,7. Korrelaatio on kohtalainen negatiivinen eli sademäärän kasvaessa sato vähenee. Sademäärä selittää noin 7 % satomäärän vaihtelusta. d) Sademäärän ja sadon riippuvuutta kuvaavan regressiosuoran yhtälö on b-kohdan perusteella y = 0,x + 36,49. Vastaus: y = 0,x + 36,49 e) Arvio rypsi- ja rapsisadosta saadaan sijoittamalla regressiosuoran yhtälöön sademäärän keskiarvo x = 63,5. Ohjelma antaa rypsi- ja rapsisadon suuruudeksi 0, milj. kg 0 milj. kg. Vastaus: 0 milj.kg
0. a) Lasketaan kuinka monella tavalla kuuden koria voidaan valita 0 0 heiton joukosta. 0, joten kysyttyjä sarjoja on 0. 6 Erilaisia 0 heiton sarjoja, joissa Jaajo saa tasan 6 koria, on 0. Vastaus: 0 sarjaa b) Todennäköisyys, että pallo menee koriin on 0,7, joten todennäköisyys, että pallo ei mene koriin on 0,7 = 0,3. Ensimmäinen menee koriin todennäköisyydellä 0,7, samoin toinen jne. Kertolaskusäännön perusteella P(6 ensimmäistä koriin ja loput 4 ohi) = 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,3 0,3 0,3 0,3 = 0,7 6 0,3 4 = 0,00095 = 0,095 % 0,095 % Todennäköisyys sille, että 0 heiton sarjassa 6 ensimmäistä heittoa menee koriin ja loput 4 ohi, on 0,095 %. Vastaus: 0,095 %. Kättelyssä muodostuu pari eli kahden henkilön joukko, joten kun juhlissa n Muodostetaan yhtälö ja on n vierasta, kättelyiden määrä on. ratkaistaan siitä n. n 76 Sopivalla ohjelmalla yhtälön ratkaisuksi saadaan n = 4. Vieraita oli siis 4. Vastaus: 4 vierasta
. a) Videossa https://vimeo.com/89698/ab57c803 näytetään, miten tehtävä voidaan ratkaista taulukkolaskentaohjelmalla. Vastaus: Mo = min ja Mo = 5 min, Md = min, x 0,5 min, s 5,3 min. b) Videossa https://vimeo.com/89698/ab57c803 näytetään, miten tehtävä voidaan ratkaista sopivalla ohjelmalla. Vastaus: Jonotusaika (min) f 0,5 5,5 5,5 0,5 3 0,5 5,5 6 5,5 0,5 0 3. Puhelin ei joudu korjattavaksi, jos kaikki 50 osaa pysyvät ehjinä. Todennäköisyys, että yksittäinen osa pysyy ehjänä on 00 % % = 99 %. Lasketaan todennäköisyys sille, että kaikki osat pysyvät ehjinä. P(puhelimen kaikki 50 osaa pysyvät ehjinä) = 0,99 50 = 0, 0, Todennäköisyys sille, että ainakin yksi osa rikkoontuu, on P(ainakin yksi osa rikkoutuu) = P(kaikki osat pysyvät ehjinä) = 0, = 0,778 0,78 = 78 %. Vastaus: Todennäköisyys, että ainakin osa rikkoutuu, on noin 78 %.
4. a) Lasketaan todennäköisyys sille, että toinen osapuoli on syntynyt tammikuussa ja toinen kesäkuussa. P(toinen tammikuussa ja toinen kesäkuussa) = P(. tammikuussa ja. kesäkuussa, tai. kesäkuussa ja. tammikuussa) = P(. tammikuussa) P(. kesäkuussa) + P(. kesäkuussa) P(. tammikuussa) 7 0,038... 0,04 Toinen osapuoli on syntynyt tammikuussa ja toinen kesäkuussa todennäköisyydellä 0,04. Vastaus: 7 0,04 b) Jos molemmat ovat syntyneet samassa kuussa, voi ensimmäinen olla syntynyt missä kuussa tahansa, ja toisen pitää olla syntynyt samassa kuussa. P(molemmat samassa kuussa) = P(toinen samassa kuussa kuin ensimmäinen) 0,0833... 0,083 Molemmat ovat syntyneet samassa kuussa todennäköisyydellä 0,083. Vastaus: 0,083
c) Jos pari on syntynyt peräkkäisinä kuukausina, ensimmäinen voi olla syntynyt missä kuussa tahansa, ja toisen pitää olla syntynyt joko edellisenä tai seuraavana kuukautena. P(peräkkäisinä kuukausissa) = P(toinen edellisenä tai seuraavana kuin ensimmäinen) 6 0,66... 0,7 Syntymäpäivät ovat peräkkäisinä kuukausina todennäköisyydellä 0,7. Vastaus: 6 0,7
HARJOITUSKOE H. a) Täydennetään taulukko. Tulos f sf f % sf % 0 4 5 5 (5 5 5 % 5 % 0 4 5 9 8 5 + 8 = 3 (4 8 5 % + 40 % = 65 % 40 % 0 5 0 4 4 3 + 4 = 7 (4 4 65 % + 0 % = 85 % 0 % 0 5 5 9 7 + = 9 ( 85 % + 0 % = 95 % 0 % 0 0 0 4 9 + = 0 5% 0 00 % Vastaus: Tulos f sf f % sf % 0 4 5 5 5 % 5 % 5 9 8 3 40 % 65 % 0 4 4 7 0 % 85 % 5 9 9 0 % 95 % 0 4 0 5 % 00 % b) Alle 0 leukaa vetäneet kuuluvat kahteen ensimmäiseen luokkaan, joiden osuus nähdään luokan 5-9 suhteellisen summafrekvenssin arvosta 65 %. Vastaus: 65 % c) Ainakin 5 mutta alle 0 leukaa vetäneet kuuluvat toiseen, kolmanteen ja neljänteen luokkaan, joiden yhteenlasketut suhteelliset frekvenssit ovat 40 % + 0 % + 0 % = 70 %. Vastaus: 70 %
H. a) Elokuvia on yhteensä + 3 = 5. Ensimmäiselle elokuvalle on 5 vaihtoehtoa, toiselle 4 ja niin edelleen. Tuloperiaatteen mukaan järjestysten määrä on 5 4 3 = 0. Ira voi katsoa elokuvat 0:ssä eri järjestyksessä. Vastaus: 0 järjestyksessä b) Jos komediat katsotaan ensin, ensimmäiselle elokuvalle on vaihtoehtoa ja toiselle. Kolmas elokuva on jännityselokuva, ja sille on 3 vaihtoehtoa. Neljännelle on ja viimeiselle vaihtoehto. Tuloperiaatteen mukaan järjestysten määrä on 3 =. Ira voi katsoa elokuvat :ssä eri järjestyksessä. Vastaus: järjestyksessä c) Ensimmäiselle elokuvalle on 5 vaihtoehtoa ja toiselle 4. Kahden elokuvan jonojen määrä on siis 5 4 = 0. Kaksi elokuvaa voivat kuitenkin olla kummassa tahansa järjestyksessä, joten kahden elokuvan jonojen määrässä on laskettu jokainen elokuvapari kahteen kertaan. Elokuvapareja on siis 0 0. Ira voi valita elokuvat 0:llä eri tavalla. Vastaus: 0 tavalla
H3. Järjestetään aineistot suuruusjärjestykseen. A 0, 0,,,,,,,, 3, 4 B,,,,, 4, 4, 4, 5, 6 C,,,,, 3, 4, 5 Aineiston A moodi on Mo =, joten aineisto A ja tunnusluku II kuuluvat yhteen. Aineiston B mediaani on lukujen ja 4 keskiarvo eli Siis aineisto B ja tunnusluku III kuuluvat yhteen. Md 4 3. Aineiston C keskiarvo on x 345 0 5,5, 8 8 joten aineisto C ja tunnusluku I kuuluvat yhteen. Vastaus: A: II, B: III ja C: I (4
H4. a) Todennäköisyys, että ensimmäinen lapsi on poika, on, samoin todennäköisyys sille että toinen lapsi on poika ja todennäköisyys sille, että kolmas lapsi on poika. Kysytty todennäköisyys on kertolaskusäännön mukaan P kaikki kolme ovat poikia 3 3 0,5. 3 8 Todennäköisyys sille, että kaikki lapset ovat poikia, on 0,5. 8 Vastaus: 0,5 8 b) Komplementtisäännön mukaan todennäköisyys sille, että perheessä on ainakin yksi tyttölapsi, on P(ainakin tyttö) = P(ei yhtään tyttöä) = P(kaikki kolme ovat poikia) 8 7 8 0,875. Todennäköisyys sille, että perheessä on ainakin yksi tyttölapsi, on 7 0,875. 8 Vastaus: 7 0,875 8
c) Perheessä on täsmälleen kaksi tyttölasta, jos tyttöjä ovat vain kaksi ensimmäistä, vain ensimmäinen ja kolmas tai vain toinen ja kolmas. Merkitään T = tyttö ja P = poika. Tällöin suotuisat tapahtumat ovat TTP, TPT JA PTT. Kysytty todennäköisyys on yhteenlaskusäännön ja kertolaskusäännön mukaan P(täsmälleen tyttöä) = P(TTP) + P(TPT) + P(PTT) = P(. on tyttö) P(. on tyttö) P(3. on poika) + P(. on tyttö) P(3. on tyttö) P(. on poika) + P(. on tyttö) P(3. on tyttö) P(. on poika) 8 8 8 3 8 0,375. Todennäköisyys sille, että perheessä on täsmälleen kaksi tyttölasta, on 3 0,375. 8 Vastaus: 3 0,375 8
H5. Lasketaan kunkin henkilön todennäköisyys saada lyhyt tikku. P(Ada saa lyhyen tikun) = 4 Elin saa lyhyen tikun, jos Ada vetää ensin jonkin kolmesta pitkästä tikusta ja sen jälkeen Elin vetää kolmesta jäljellä olevasta tikusta ainoan lyhyen. PElin saa lyhyen tikun PAda saa pitkän ja Elin lyhyen tikun PAda saa pitkän P Elin saa lyhyen 3 4 3 4 Joona saa lyhyen tikun, jos Ada vetää ensin jonkin kolmesta pitkästä tikusta, ja sen jälkeen Elin kolmesta jäljellä olevasta tikusta jommankumman pitkän, ja sen jälkeen Joona vetää kahdesta jäljellä olevasta tikusta ainoan lyhyen. PJoona saa lyhyen tikun PAda ja Elin saavat pitkän ja Joona lyhyen tikun PAda saa pitkän PElin saa pitkänp Joona saa lyhyen 3 4 3 4
Kasper saa lyhyen tikun, jos Ada vetää ensin jonkin kolmesta pitkästä tikusta, ja sen jälkeen Elin kolmesta jäljellä olevasta tikusta jommankumman pitkän, ja sen jälkeen Joona vetää kahdesta jäljellä olevasta tikusta ainoan pitkän, ja sen jälkeen Kasper vetää jäljellä olevan tikun. PKasper saa lyhyen tikun Pkolme muuta saavat pitkän ja Kasper lyhyen PAda saa pitkänpelin saa pitkän PJoona saa pitkänpkasper saa lyhyen 3 4 3 4 Vastaus: Kaikilla on yhtä suuri todennäköisyys.
H6. a) Kopioidaan luvut sopivaan ohjelmaan ja analysoidaan aineisto. Tuomarin A antamien arvosanojen keskihajonta on 7,48 7,4 ja tuomarin B antamien arvosanojen keskihajonta 6,57 6,6. Vastaus: A: s 7,4 ja B: s 6,6 b) Suoran yhtälö saadaan ohjelman avulla. Ohjelma antaa suoran yhtälöksi y = 0,6770 x +,546 ja korrelaatiokertoimeksi r = 0,90 0,90. Vastaus: y = 0,68x +,54; r 0,90 c) Määritetään tuomarin B luultavasti antama arvosana ohjelman avulla. Kun tuomari A antaa arvosanan 0, antaa tuomari B mallin mukaan arvosanan 8,35 8. Vastaus: arvosanan 8
H7. a) P(varusmies sairastuu) = 5 0,00066... 0,0007 30 000 = 0,07 % Satunnainen varusmies sairastuu aivokalvontulehdukseen todennäköisyydellä 0,07 %. Vastaus: 0,07 % b) P(muu kuin varusmies sairastuu) 50 5 5 500 000 30 000 45 5 470 000 0,000 008 6... Lasketaan, kuinka moninkertainen varusmiesten sairastumisriski on tähän verrattuna 0,00066... 0,59... 0,000 008 6... Varusmiehen sairastumisriski on muuhun väestöön nähden 0,59 0-kertainen. Vastaus: n. 0-kertainen
H8. Kyseessä on geometrinen todennäköisyys, jossa mittana on tilavuus. Piste on lähempänä pallon pintaa kuin sen keskipistettä, jos piste ei ole pallon sisällä olevan samankeskisen pienemmän pallon sisällä. Merkitään pienemmän pallon sädettä kirjaimella a. Tällöin ison pallon säde on a. Koko pallon tilavuus on 4π a 3 3 3 3 3 4π a 4π 8a 3πa 3 3 3 3 Sisällä olevan pienemmän pallon 3 tilavuus on 4π a. 3 Lasketaan suotuisa tilavuus eli ison ja pienen pallon tilavuuksien erotus. 3 3 3 a a a. 3 3 3 Kysytty todennäköisyys on P(piste on lähempänä pallon pintaa kuin keskipistettä) 3 8πa 3 3 3πr 3 3 3 8πr : 3πr 3 3 3 8πr 3 3 3 3πr (4 8 3 7 8 0,875 0,88. Piste on lähempänä pallon pintaa kuin keskipistettä todennäköisyydellä 7 8 0,88. Vastaus: 7 8 0,88