Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f nollakohta on yhtälön f(x) = 0 eli yhtälön x 4 = 0 ratkaisu. Määritetään nollakohta ratkaisemalla yhtälö. x 4 = 0 x = 4 : 4 x 4 Funktion nollakohta on x.
d) Funktio f saa arvon 4, kun f(x) = 4. Ratkaistaan yhtälö x 4 = 4. x 4 = 4 x = 8 : 8 x Funktio f saa arvon 4, kun 8 x.. a) Sijoitetaan pisteet (0, 5) ja (0, 0) koordinaatistoon. Piirretään suora pisteiden kautta, jolloin saadaan suoran yhtälöksi y = 0,5x +,5, missä y on arvosana ja x pistemäärä. b) Jos kuhunkin arvosanaan vaadittavaa arvosanarajaa lasketaan yhdellä pisteellä, suoran yhtälöksi saadaan y = 0,5x +,75.
c) Kun pistemäärää lasketaan yhdellä, suoran kulmakerroin pysyy samana. Kulmakerroin 0,5 ilmoittaa, kuinka paljon arvosana nousee, kun pistemäärä nousee yhdellä pisteellä. Tällöin jokaisella pistemäärällä saa pistemäärän laskun jälkeen 0,5 yksikköä paremman arvosanan kuin aiemmin. Myös y-akselin leikkauskohdta siirtyy ja uusi leikkauskohta on y =,5 + 0,5 =,75.
. Ensimmäisen asteen polynomifunktion kuvaaja ja nollakohdat YDINTEHTÄVÄT 0. a) 5x + Ensimmäisen asteen termi on 5x. Ensimmäisen asteen termin kerroin on 5. Vakiotermi on. b) x = x Ensimmäisen asteen termi on x. Ensimmäisen asteen termin kerroin on. Vakiotermi on. c) x = x + Ensimmäisen asteen termi on x. Ensimmäisen asteen termin kerroin on. Vakiotermi on. d) x 7 x 7 Ensimmäisen asteen termi on x. Ensimmäisen asteen termin kerroin on. Vakiotermi on 7.
0. a) f(x) = 4x (x + ) = 4x x = x Funktion kuvaajan kulmakerroin on, eli kuvaaja on nouseva suora. Kuvaaja leikkaa y-akselin kohdassa y =. Oikea kuvaaja on A. b) f(x) = (x ) + = x + + = x + Funktion kuvaajan kulmakerroin on, eli kuvaaja on laskeva suora. Kuvaaja leikkaa x-akselin kohdassa y =. Oikea kuvaaja on B. c) f(x) = (x ) x = x x = x x = x Funktion lauseke on sama kuin a-kohdassa. Funktion kuvaaja on A. 0. a) f(x) = x 5 f() = 5 = 5 = Arvo kohdassa nolla on f(0) = 0 5 = 5. Ratkaistaan funktion nollakohta, eli kohta, jossa f(x) = 0. x 5 = 0 x = 5 x = 5 b) Jos piste (, ) on funktion kuvaajalla, f() =. f() = 5 = 6 5 =, joten piste on funktion kuvaajalla. c)
04. a) Funktion f(x) = x 6 arvo on 4, kun f(x) = 4. x 6 = 4 x = 0 : x = 5 b) Funktioiden f(x) = x 6 ja g(x) = 4 kuvaajat leikkaavat toisensa, kun f(x) = g(x) eli x 6 = 4. a-kohdan perusteella tämä kohta on x = 5. c) 05. a) 5(x ) = 7 5 x 5 = 7 5x 0 = 7 5x = 7 + 0 5x = x = 5 b) Luku on yhtälön ratkaisu, jos luku toteuttaa yhtälön. Sijoitetaan luku x = yhtälöön 6 4x = 8. 6 4 ( ) = 8 6 + = 8 8 = 8 tosi Luku x = toteuttaa yhtälön, joten se on yhtälön 6 4x = 8 ratkaisu.
VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 06. a) Esimerkiksi f(x) = x. b) Esimerkiksi f(x) = x. c) Esimerkiksi f(x) = x +.
d) Esimerkiksi f(x) = x +. e) f(x) = 0,5x
07. a) a = 0,5 b) Funktion nollakohdassa funktion f(x) = ax + arvo on nolla. Ratkaistaan a ehdosta f( 4) = 0. a ( 4) + = 0 4a = : ( 4) a = 4 c) Kerroin a ei vaikuta funktion f(x) = ax + arvoon, kun termi ax on nolla. Koska ensimmäisen asteen termi ax on nolla, kun x = 0, kaikilla a:n arvoilla on voimassa f(0) =. Funktion kuvaaja kulkee pisteen (0, ) kautta riippumatta a:n arvosta. 08. Kohdassa, jossa funktio f(x) = x + leikkaa x-akselin on y:n arvo nolla. Kohta on siis funktion nollakohta ja se saadaan ratkaistua yhtälöstä f(x) = 0. x + = 0 x = : ( ) x = x-akselin leikkauspiste on (, 0). y-akselin leikkauskohdassa x = 0. f(0) = 0 + = 0 + = y-akselin leikkauspiste on (0, ).
Funktion g(x) = x ja funktion f(x) = x + kuvaajien leikkauskohta saadaan ratkaistua yhtälöstä f(x) = g(x). x x x x x 4 : ( ) x 4 Leikkauspisteen y-koordinaatti saadaan sijoittamalla x = 4 kumman tahansa funktion lausekkeeseen. g( 4 ) 4 4 Kuvaajien leikkauspiste on ( 4, ). Piirretään kuva. Kuvan perusteella lasketut pisteet ovat oikeat.
09. a) (x + ) 4(x 4) = x + 4 x 4 ( 4) = 4x + x + 6 = 8x + 8 b) (x + 0,) = x 0, = 6x 0,6 = 6x +,4 c) (z + ) ( 4z) = z + 4z = z 4 d) e) f) ( x 5) x 5 x 0 x 4 4 x ( x ) x x x x x x x x ( y ) (0y 5) y 0 y ( 5) 5 5 5 y 4y 6 y 5 4
0. a) x + 4 = (4 x) x + 4 = 4 + x x x = 4 4 6x = 8 :( 6) 4 x 8 4 6 b) (5 x 5 ) x 5 6 5x 5 x 5 5 6 x x x x 0 0 tosi Yhtälö toteutuu kaikilla muuttujan x arvoilla eli kun x. c) x + 0,(x 0) =,7x 0,5(x + ) x + 0,x =,7x 0,5x x + 0,x,7x + 0,5x = + 0 = epätosi Yhtälöllä ei ole ratkaisua.
. a) b) x 5 5 x 5 x 5 x x x x x x 6 x 6 c) x 5 4 4 x 4 45 4 x 0 x 0 x 7 : 7 x 8
. a) b) 4 x x 4 x x 4 4x x 4 x 4 x x ( ) 4 x x 4 x x x x 0 epätosi Yhtälöllä ei ole ratkaisua. c) x ( x ) ( ) x x x x x 6 4x 6 x 4x 6 6 7x 0 : ( 7) x 0
. a) f(x) = a(x + ) + Funktion f kuvaaja vaikuttaisi kulkevan pisteen (, ) kautta riippumatta a:n arvosta. b) Funktion kuvaaja kulkee pisteen (, ) kautta riippumatta a:n arvosta, jos aina f( ) =. f( ) = a ( + ) + = a 0 + = Kuvaaja kulkee pisteen (, ) kautta riippumatta a:n arvosta.
4. a) A: (x ) + 5x + x = x + 5x + x = 9x B: 7x + (x ) = 7x + x = 9x C: 7(x + x ) 5(x ) = 7x + 7x 7 5x + 5 = 9x b) Kuvion voi jakaa suorakulmioihin eri tavoin. A: B: C: c) Kuvion pinta-ala on a-kohdan mukaisesti 9x. 9x = 0,5 9x = 0,5 + 9x =,5 : 9 x =,5 Kuvion tuntemattomat pituudet ovat x =,5 ja x =,5.
5. Merkitään ensimmäistä kolmella jaollista lukua x. Kolme kolmella jaollista lukua ovat esimerkiksi, 6 ja 9. Peräkkäisten kolmella jaollisten lukujen erotus on aina, esimerkiksi 6 = ja 9 6 =. Lukua x seuraava kolmella jaollinen luku on x + ja sitä seuraava on (x + ) + = x + 6. Lasketaan näiden lukujen summa. x + (x + ) + (x + 6) = x + x + x + + 6 = x + 9 Summan tulee olla 6. x + 9 = 6 x = 6 9 x = 7 : x = 9 Luku x on kolmella jaollinen (9 = ). Kysytty luku on 9.
6. Merkitään perinnön suuruutta kirjaimella x. lapsi saa 4 x lapsi saa 4 x avustusjärjestö saa x kummitytär saa 5 000 Voidaan muodostaa yhtälö: x x x 5 000 x 4 4 x x x 5 000 4 ) ) 6) x x x 5 000 x x 6 x 5 000 6 6 6 x 5 000 ( 6) 6 x 90 000 Perinnön suuruus on 90 000. Kumpikin lapsi saa 90 000 500 4. Avustusjärjestö saa 90 000 0 000. Kummitytär saa 5 000.
7. Merkitään Diofantoksen elinikää kirjaimella x. Diofantos oli lapsi 6 x vuotta. Parta alkoi kasvaa, kun hän oli x x vuotta vanha. 6 Avioliiton hän solmi x x x vuotiaana. 6 7 Esikoispoika syntyi, kun hän oli x x x 5 vuotias. 6 7 Poika eli puolet isänsä iästä, eli pojan kuollessa Diofantoksen ikä oli x x x 5 x 6 7 Diofantos eli neljä vuotta poikansa jälkeen, joten kuollessaan hän oli x x x 5 x 4 vuotta vanha. 6 7 Saadaan yhtälö ja ratkaistaan se. x x x 5 x 4 x 84 6 7 4x 7x x 40 4x 6 84x 75x 84x 756 9x 756 : ( 9) x 84 Diofantos kuoli ollessaan 84-vuotias.
SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 8. a) Sijoitetaan luku x = yhtälöön (x + a) = (a + x) (x ). ( + a) = (a + ) ( ) + a = (a + ) ( ) + a = a + 4 a a = 4 0 = 0 tosi Yhtälö toteutuu kaikilla vakion a arvoilla, kun x =. b) Koska luku 05 on yhtälön ax + 06 = 0 ratkaisu, se toteuttaa yhtälön. a 05 + 06 = 0 a 05 = 06 : 05 a = 06 05
9. a) f(x) = 0,94x a = 0,94 b) Funktion f(x) = ax kuvaajalla on piste (86, 8). Ratkaistaan a ehdosta f(86) = 8. a 86 = 8 : 86 a = 8 86 f(x) = 8 86 x c) Ratkaistaan yhtälö f(x) = 00 8 x 00 : 8 86 86 x 00 : 8 00 86 06,7... 06 86 8 Auton nopeus on 00 km/h, kun mittarilukema on noin 06 km/h.
0. a) Kuusikulmioiden määrä lisääntyy viidellä siirryttäessä seuraavaan kuvioon. Ensimmäisessä kuviossa on kuusikulmioita 7 kappaletta. Toisessa kuviossa on kuusikulmioita 7 + 5 = kappaletta. Kolmannessa kuviossa on kuusikulmioita (7 + 5) + 5 = 7 + 5 = 7 kappaletta. Neljännessä kuviossa on kuusikulmioita 7 + 5 + 5 + 5 = 7 + 5 = kappaletta. Kuusikulmioiden määrä n.:ssä kuviossa on 7 5 5 5 5 7 n 5 7 5 n 5 5n. n kpl Ratkaistaan, onko kuusikulmioiden lukumäärä jollakin n:n kokonaislukuarvolla 00. 5n + = 00 5n = 98 :5 n = 98 9 5 5 Koska ratkaisu ei ole kokonaisluku, mikään kuviojonon kuvio ei muodostu täsmälleen sadasta kuusikolmiosta. b) Aritmeettinen summa voidaan laskea kaavalla a =, a n = ja S n = 456, joten saadaan yhtälö: 456 n 456 n 4 456 n : n 8 Summassa on 8 yhteenlaskettavaa. S a a n n n. Nyt
. a) Funktioiden f(x) = a(x + ) ja g(x) = x 4 kuvaajat leikkaavat kohdassa x =, kun ne saavat tässä kohdassa saman arvon, eli f() = g(). a( + ) = 4 a 5 = 6 4 5a = : a = 5 b) Funktioiden kuvaajat eivät leikkaa, kun yhtälöllä f(x) = g(x) ei ole ratkaisua. a(x + ) = x 4 ax + a = x 4 Yhtälöllä ei ole ratkaisua, kun a =, koska tällöin x + 4 = x 4 0 = 8 Kuvaajat eivät leikkaa, kun a =.
. Merkitään hetkestä 5.00 kulunutta aikaa minuutteina kirjaimella x. Tuntiviisari etenee yhden kierroksen tunnissa. tunnissa on 60 = 70 minuuttia. Tuntiviisari etenee x minuutissa x kierrosta. 70 Minuuttiviisari etenee yhden kierroksen 60 minuutissa. Minuuttiviisari etenee x minuutissa 60 x kierrosta. Jotta viisarit muodostaisivat suoran kulman, on minuuttiviisarin pitänyt kiertyä puoli kierrosta enemmän kuin tuntiviisarin. x x 70 60 70 x x 60 x 60 x 60,77...,77.. min = min + 60 0,77 s min 44s. Viisarit ovat suorassa kulmassa seuraavan kerran kellon 5..44.
. Ensimmäisen asteen epäyhtälö YDINTEHTÄVÄT. a) Funktion f(x) = x nollakohta ratkaistaan yhtälöstä f(x) = 0. x 0 x : x b) Funktion kuvaaja on nouseva suora, koska kulmakerroin on. c) Funktion arvot ovat positiivisia, kun kuvaaja on x-akselin yläpuolella, eli kun x >.
4. Funktion f arvot ovat negatiivisia, kun epäyhtälö f(x) < 0 toteutuu. a) f(x) = x + 4 x + 4 < 0 x < 4 b) f(x) = x 6 x 6 < 0 x < 6 : x < c) f(x) = x + 5 5. a) x 6 < 0 x < 6 x < x + 5 < 0 x < 5 : ( ) x > 5 x > 5 b) x + 4 x 4 x : ( ) x c) x < 5x + x 5x < + x < 5 : ( ) x 5
6. a) Esimerkiksi funktio f(x) =,5x + saa negatiivisia arvoja, kun x >. b) Esimerkiksi funktio f(x) = x saa positiivisia arvoja, kun x <. 7. a) Funktion f(x) = x arvo on suurempi kuin funktion g(x) = 4 x arvo, kun epäyhtälö f(x) > g(x) toteutuu. x > 4 x x + x > 4 + 5x > 7 : 5 x > 7 5 5 b) Funktion f arvo on funktion g arvoa suurempi, kun funktion f kuvaaja on funktion g kuvaajan yläpuolella.
VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 8. a) (x + ) < (x + 5) x + 6 < x + 0 x x < 0 6 x < 4 b) (4x 5) 4x 8x + 0 4x 8x + 4x 0 4x 0 x 0 4 ( : ( 4) x 5 9. a) Kolmion piiri on 7 + (z + ) + (z + 4). 7 + (z + ) + (z + 4) 6 7 + z + + z + 4 6 z + 4 6 z 6 4 z : z Kolmion piiri on vähintään 6, kun z on vähintään. b) Merkitään toisen sivun pituutta kirjaimella x. Suorakulmion pinta-ala on 7,5 x = 7,5x (m ). 7,5x 40 : 7,5 x 5, Suorakulmion piiri on vähintään 40 m, kun toinen sivu on pituudeltaan vähintään 5, m.
0. a) a n = n 86 n 86 = 55 n = 55 + 86 n = 4 : n = 47 Luku 55 on lukujonon 47. jäsen. b) Määritellään kuinka monta negatiivista jäsentä lukujonossa on ehdosta a n < 0. n 86 < 0 n < 86 : n < 8,66 Lukujonon 8. jäsen a 8 = 8 86 = on negatiivinen, mutta 9. jäsen a 9 = 9 86 = on positiivinen. Lukujonossa on 8 negatiivista jäsentä.. a) 0 tosi, koska luku on pienempi kuin luku 0, on se pienempi tai yhtäsuuri kuin 0. b) tosi, koska luku on yhtä suuri kuin, on se suurempi tai yhtä suuri kuin. c) (x ) ( + x) x x 6 + x x x x + x + 6 0 9 epätosi d) (x ) x + 4 x + x + 4 x + x 4 0 0 tosi, koska 0 = 0
. a) < < Väite on tosi, koska kerrottavat luvut ovat positiivisia ja kertoja <. c) 5 8 7 < 0 5 5 6 7 < 0 Väite on tosi, koska 5 5 < 6 7. d) 0,78 > 0,78 Väite on epätosi, koska kantaluku 0 < 0,78 <. Kun luvulla 0,78 kerrotaan on tulos pienempi kuin kerrottava, eli (0,78 0,78) 0,78 < 0,78 0,78.
. a) x 4x x 4x 0 x 0 x 0 : b) x x 4 x x x x 0 tosi 4 Toteutuu kaikilla muuttujan x arvoilla. c) y y 0 0 5 (y ) y y y y y 5y :( 5) y 5
4. a) b) c) z z 4 6z 4z z :( ) z x x 5 5 5 5( x ) x 5 5x 5 x 5x x 5 5 8x 0 :( 8) 0 x 8 5 x x x 6 6 x (x ) 6 x x 6 0 7epätosi Epäyhtälöllä ei ole ratkaisua.
5. a) Ratkaistaan epäyhtälö. x 4 x 4 x x 6 Epäyhtälön toteuttavat luonnolliset luvut 0,,,, 4, 5 ja 6. b) Ratkaistaan epäyhtälö. ( x ) ( x ) x 4( x ) x 4x x 4x x 0 0 x Epäyhtälön toteuttavat negatiiviset kokonaisluvut, ja.
6. a) Piste (, ) on funktion f(x) = ax + a + kuvaajan alapuolella, kun funktion arvo kohdassa x = on suurempi kuin. Appletin mukaan tämä toteutuu, kun a > 0,5. b) Ratkaistaan epäyhtälö f() >. f() = a + a + = a + a + = 4a + 4a + > 4a > 4a > : 4 a > 4 7. Merkitään kysyttyä aikaa kuukausina kirjaimella x. Matin säästöt ovat tällöin 500 + x 0 = 500 + 0x ( ), ja Pekan säästöt ovat 700 + x 80 = 700 + 80x ( ). Ratkaistaan epäyhtälöstä, milloin Pekan säästöt ylittävät Matin säästöt. 700 80x 500 0x 80x 0x 500 700 60x 800 : 60 x 0 Pekan säästöt ylittävät Matin säästöt kun on kulunut yli 0 kuukautta alkuhetkestä eli kuukauden kuluttua.
8. a) a n = 4 0,n Ratkaistaan epäyhtälö a n > 0. 4 0,n > 0 0,n > 4 : ( 0,) n < 46,66 46. jäsen on vielä positiivinen a 46 = 0,, mutta 47. jäsen on negatiivinen a 47 = 0,. Lukujonon 46 ensimmäistä jäsentä ovat positiivisia. b) Aritmeettisen lukujonon ensimmäinen jäsen on a =. Erotusluku on d = ( ) = 4. Lukujonon yleinen termi on a n = a + d(n ) = + 4(n ) = 4n 7. Ratkaistaan, mitkä lukujonon jäsenet ovat yli 000 epäyhtälöstä a n > 000. 4n 7 > 000 4n > 007 : 4 n > 5,75 Lukujonon jäsen a n on suurempi kuin 000, kun jäsenen järjestysluku n on suurempi kuin 5,75. Näin ollen lukujonon 5. jäsen ylittää ensimmäisenä luvun 000. Ensimmäisenä luvun 000 ylittää jäsen 5. jäsen.
SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 9. 5x > 0 ja 6 + 6x > 4 5x > : ( 5) 6x > 4 6 x < 5 6x > x > Molemmat epäyhtälöt toteuttaa luvut välillä luonnollisista luvuista vain luku 0. x. Tällä välillä on 5 40. a) x + > 0 ja x < 0 x > x < : x Molemmat yhtälöt ovat yhtäaikaisesti voimassa, kun x. b) < x + < x + 4 < x + ja x + < x + 4 x < x x < 4 x < : ( ) x < : x > x < Kaksoisepäyhtälön toteuttavat luvut välillä < x <.
4. 9 F C 5 Kun lämpötila on 6 F 9 C 6 5 9 9 C 6 : 5 5 5 0 C 6 9 9 C, Kun lämpötila on 50 F 9 C 50 5 9 9 C 8 : 5 5 5 C 8 9 C 0 Lämpötila vaihtelee celsiusasteina välillä, C < C < 0 C. 4. Luvun x etäisyys lukusuoralla luvusta voidaan laskea erotuksen (x ) = x 4 avulla. Jos x >, on tulos positiivinen ja jos x < on tulos negatiivinen. Tämän etäisyyden tulee olla vähemmän kuin sadasosa, eli x 4 00 00 00 00x 400 400 99 00x 40 : 00,995 x,005. Luku x tulee valita väliltä,995< x <,005.
4. a) Luvusta a vähennetään luku ja tulos kerrotaan luvulla : (a ) ( ) = (a ) = a + = a. Koska luku a on negatiivinen, on a positiivinen, joten a on positiivinen. Väite on tosi. b) Luvusta vähennetään luvun a neliö: a. Minkä tahansa nollasta eroavan luvun neliö on positiivinen. Erotus a on negatiivinen, jos a >, muulloin erotus on positiivinen. Väite on epätosi, koska erotus voi olla myös positiivinen. Esimerkiksi kun a = 0,5, on erotus 0,5 = 0,75 > 0.