x x < 1 x = x º 0 x x < 1º Z Z + Z Q Q + Q R R + R i I i=2

ÇÀ¹¾½¼¼ ÇÐÑ ØÓØØÒ ÔÖÙ ØÝÐÙ ÚØ ¾¼½ Ð ÙÖÓØÙ ÒØÖÓ ÃÒ ² ÒØØ ÎÐÑÖ ÌÑÔÖÒ ØÒÐÐÒÒ ÝÐÓÔ ØÓ ÇÐÑ ØÓØÒÒ ÐØÓ ½¾º ÓÙÐÙÙÙØ ¾¼½¾ ÃÝØÒÒÒ ÓØ ÃÖÓØ Ú ØÙ ÔÙØ ¹ÓÓ ÐÐ ÔÔÖÐÐ Ø ÓÒ ÔØÐк ÆÓ ÔÐÙØØØÚØ ÔÔÖØ ÝØÒ Ó ÒØ ÓÒ Ù ÑÔ ÙÒ Ý º ÃÖÓØ Ú ØÙ ØÐÐ ÐÐÐ Ø Ø ØÒ ØØÐÝÓÐÑÐк Î ØÙ ØÙÐ Ýع Ø ÑÓ ÝÑÓÐØ ÙÒ ÙÖ ÐÐ ÑÙÙØÒÒº ÃÖÓØ ÔÐÙØØØÚÒ ÔÔÖÒ Ò ÑÑ Ò ÔÔÖÒ Ó ÒØ ÓÒ Ù Øµ ÐÙÓ Ò ÐÚ Ø ÒÝÚÐÐ ÒÒ ØØÚÒ ÒÙÑÖÓØ ÓØ ÓÐØ ÚÐÑ ØÙØÙÒÙØ ØØÑÒ ØÙÐÙÐк ÈÐÙØØØÚ ÔÔÖ ØÙÐ Ð Ø ÓÐÐ ÑÖØØÝÒ ÔÐÙØØØÙÒ ØØÚÒ ÒÙѹ ÖÓØ Ö ØØÚØ Ð Ø ÖÓØØØÙÒ Ñº ÔÓÚÚ ØØÚÒ ÚÐ µº ÃÖÓØ Ú ØÙ ÔÔÖ ÝÐÖÙÒÒ Ò Ð ÙÖÓØÙ ÖÝÑÒ ØÙÒÒÙ Ð ÖÒ ÒÙѹ ÖÓ ÓÓÒ ÓÐØ ÑÒÓ ÒÑ ÓÔ ÐÒÙÑÖÓ º ÃÖÓØ ÓÔ ÐÒÙÑÖÓ ÒÒ ÐÚ Ø ØØ ØÒØØ ÚÒÓ ÐÙ Ø ÚÖÒ Ö ÙÓÖØÙ ÓÒÙÒ ÑÙÙÒ ÝÚ ÎÒ ÒÒÒ ÙÒ ÐØ Ð ÐÙ ÔÖÙÙÒ Óº ØØÐÚ Ó ÙÙ Ø Ý Óº ÐÙÒÒÓغ ÄÙ ØØÚ ÙÓÐÐРغ ÅØ ÓÒÓ ÐÓÔÙÐÐÒÒ Ú ØÙ ÖÚº ÈÖÙÙ ÓÒ ÒÙÚÓ Ó Ò ÑѺ ÑØ Ø Ó ÐÓÒ ÚÒ Ó ÓØØÑÒÒ Ó ÓÒÒ ØÙ ÖØÝ Ø ÑØÒ Ð Ø Ù Ó ØÐÔÖØÒ ÓÐÐ ÙÙØÒº ËÑÓ ÔÖØØØ ÚÓ ÓÚÐØ ÑÙÙÒÒÐ ØÒ ØØÚÒ Ú ØÙ ØÒ ÓÐÐ ÙÙÒ Ø ÖÚÝÝÒ ØÖ ØÑ Òº ÎÐÑ ØÙÙ ØØÑÒ ØÙÐÙÐÐ ÔÐÙØØÑ ØØÚغ ËØ ÖÓØÙ Ø ÔÖÒ ÝÝÒ ØÙØÙ ØÙÑÐÐ ØÙØÒ ÒÒÒ ØØÚÒ ÓØ Ø ÔÐÙغ

¾ È ØÖ ØÐÑ ÐÝÝ Ø Î ØÙ ÚÖ Ò Ø Ô ØÝØØ ÚÒ ÓÔ Ð ÔÐÙØØ Ò Ú ØÙ Ø ÓØ Ò ÓÒ ÚÐÑ ØÙØÙÒÙØ ØØÑÒ ØÙÐÙÐк ØÒØØ ÚÐØ Ù Ð ÑÒÒ ØØÚÒ ØÙÐÙÐк ÅÐ Ð ÙÒ ØÝ ØÙÐÙÐÐ ÙÙ Ø ØØÚ ÓÐ ØØÝ ÖØØÚÒ ÙÓÐÐÐ ÚÓÒ Ý ÒÒ ØØÚ ÝÐØ Ð Ò Ó ÐØ ØÒØØ ØÖ Ø ÒÒ ÑÙÙØÒ Ú ØÙ Ò¹ ÖÒØÒ ÑÙÒ ÓÓ ÝÚ ÝÝ Ø ÝÐ Òº ØÒØÐÐ ÓÒ ÙØÒÒ ÓÙ ØÖ Ø ÑÙÒÒ ÙÒ ÚÒ ØÙÐÙÐÐ ÝÒÒ Ú ØÙ Ø ÔØØ ÓÒÓ Ú ØÙ ÖØØÚ ÑÖ ØØ Ò ÐÓØÒ ÓÒ ÒÒØØÙ Ú ØÙ º ÌØÚ ÓÒ ÔÐÙØØØÚ ÝÚ ÝØÝ Ø ¼ Ó Ø ÒÒ ½ ØØÚÖÝÑ Ø º º º ½º ÅÖÒ ÐØÝ ÌÒ ÐÙÙÙÒ ÓÒ ÓÓØØÙ ØÓ ÝØØØÚØ ÑØÑØØ Ø Ô ÙÓÓÓÑÖÒÒØ Ò ØÙØÙÑÔ ÐÙÙÙÒÓØØÑØغ ÅØÑØ ÝÐ Ø x ËÙÙÖÒ ÓÓÒ ÐÙÙ Ó ÓÒ ÒÒØÒ ÝØ ÙÙÖ ÙÒ xº ÑÖ 4 = 4,2 = 4,9 = 4 4 = 4 4, 2 = 4,9 = 5º ÀÝÝÐÐ ÚÓ x x 0 x x < 1º x ÈÒÒ ÓÓÒ ÐÙÙ Ó ÓÒ ÚÒØÒ ÝØ ÙÙÖ ÙÒ xº ÑÖ 4 = 4 4,2 = 4,9 = 5 4 = 4,2 = 4,9 = 4º ÀÝÝÐÐ ÚÓ x x 0 x x < 1 x = x º i I N ÂÓ ÓÒ ÓÒ ÓÔÚØ ÓØ ØÝØØÚ ÒÖÓÔÖØØÓÖ ÒÒ i I f(i) ØÖÓØØ ØØ ÝÒ ÐÔ ÓÙÓÒ I ÐÓØ Ð ØÒ ÙÐÐÒ f(i) Ý ØØÒ ØÙÐÓ Ø ÓÔÖØØÓÖÐÐ 5 º ÑÖ + i {2,3,4,5} i 2 = 2 2 + 3 2 + 4 2 + 5 2 = i 2 º ÃÝØØÒ ÖØÝ Ø ÓÙÓ¹ÓÔÒ ÓÔÖØØÓÖÒ ÝØÝ º ÌÖÓØØ ÖÐØÓÒ ØÖÒ ØÚ Ø ÙÐÙѺ Ð ÓØ ÖÐØÓØ ÑÔй ØÓÓÒº ÃÝØÒÒ u v ØÖÓØØ ØØ u Ø Ô vò ÒÓÐÐÐÐ Ø Ù ÑÑÐÐ ÐÐк ÑÖ ÖÒ ØÔÙ Ð ÓÒ ÖØÝÑÒÒ ÖÒ ÐÙ ÓÐÑÙ Ø Ò ÐÓÔÔÙ ÓÐÑÙÙÒº ÃØ Ó ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙغ i=2 Z Z + Z Q Q + Q R R + R ÃØ Ó ÓÓÒ ÐÙÚÙغ ÃØ Ó ÖØÓÒÐÐÙÚÙغ ÃØ Ó ÖÐÐÙÚÙغ Ó ØÚ ÙÙÒ ÙÙÒØ ÃØ Ó ØÓÚÙÙÒ ÙÙÒغ

ÓÓÒ ÐÙÚÙØ ÄÙÚÙØ..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...º ÃÓÓÒ ÐÙÙÒ ÓÙÓ ÑÖØÒ Zº ÈÓ¹ ØÚ ØÒ ÓÓÒ ÐÙÙÒ ÓÙÓ ÓÒ Z + = { n Z n > 0 } ÒØÚ ØÒ ÓÓÒ ÐÙ¹ ÙÒ ÓÙÓ ÓÒ Z = { n Z n < 0 }º ÝØ ÓÐÚ ÐÙÙÓÙÓ Ì Ø Ø ÐÐ ÝØØØÚÒ ÐÙÙÒ ÓÙÓ ÓÐ Ö Ò ÐÑÓØØØÙ ÒÒ ÝØØÒ ÓÓÒ ÐÙÙÒ ÓÙÓº ÐØÒÒ ÝÝÒ ÙÙÒØ ÃØ Ó ØÓÚÙÙÒ ÙÙÒغ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ÄÙÚÙØ 0, 1, 2, 3,...º ÄÙÓÒÒÓÐÐ ØÒ ÐÙÙÒ ÓÙÓ ÑÖØÒ Nº ÎÖÓØÙ ÓØÙØ ÖÓØØØ ØÖÓØØÚØ ÐÙÓÒÒÓÐÐ ÐÐ ÐÙÚÙÐÐ ÐÙÙ 1, 2, 3,...º ÔÖ Ò ÃØ Ó ØÓÚÙÙ Ø Óº ÖØÓÒÐÐÙÚÙØ ÊØÓÒÐÐÙÙÒ ÓÙÓ Q = { m m Z n Z {0} }º ÈÓ ØÚ ØÒ n ÖØÓÒÐÐÙÙÒ ÓÙÓ ÓÒ Q + = { x Q x > 0 } ÒØÚ ØÒ ÖØÓÒÐÐÙÙÒ ÓÙÓ ÓÒ Q = { x Q x < 0 }º ÖÐÐÙÚÙØ ÊÐÐÙÙÒ ÓÙÓ ÑÖØÒ Rº ÈÓ ØÚ ØÒ ÖÐÐÙÙÒ ÓÙÓ ÓÒ R + = { x R x > 0 } ÒØÚ ØÒ ÖÐÐÙÙÒ ÓÙÓ ÓÒ R = { x R x < 0 }º ØÓÚÙÙÒ ÙÙÒØ ÃÙØ ÙØÒ ÑÝ ÒÑÐÐ ÐØÒÒ ÝÝÒ Ø Ó ØÚ ÙÙÒ ÙÙÒغ ÇÔÖØØÓÖÒ ØÓÚÙÙÒ ÙÙÒØ ÑÖØØÐ ÑØÒ x y z ØÙÐØÒº ÂÓ ØÓÓ Ú ÑÑÐÐ ÒÒ x y z = (x y) zº ÂÓ ØÓÓ ÓÐÐ ÒÒ x y z = x (y z)º ÎÖØÐÙÓÔÖØØÓÖØ ÚØ ÑØÑØ Ó ÙÑÔÒÒ ÙÙÒØÒ Ú x y = z ØÖÓØ (x y) = z x (y = z) ÚÒ (x y) (y = z)º ÌÙÐÒØ (x y) = z ÓÐ ÑØÑØ ÝÐÒ ÖÚ Ó (x y) ØÙÓØØ ØÓØÙÙ ÖÚÓÒ ØÓØÙÙ ÖÚÓÒ ÚÖØÑ Ø ÐÙÙÙÒ ØÑ º ÓÐ ÝÐÒ ÑÖØÐØݺ ÇÐÑÓÒØÐ ØÐÒÒ ÓÒ ØÓÒÒ Ò ÒØÝÝ Ú ÑÑÐÐ»Ø ÓÐÐ ØÓÚ ÚÖØÐÙÓÔÖØØÓÖغ ÃØ Ó ÑÝ ØÓÚÙÙ Ø Óº ÃØ Ó ÐÓÒ Òº ÓÔÖØØÓÖÒ ØÓÚÙÙÒ ÙÙÒÒØ ÓØ ÓÒ ÄÓ Òº Ó Ø ØÓÚÙÙÒ ÙÙÒغ ØÓÚÙÙ Ø Ó ÃÙØ ÙØÒ ÑÝ ÒÑÐÐ ÔÖ Ò º ÂÓ ÓÔÖØØÓÖ ØÓÓ ÚÓÑÑÑÒ Ð ÓÒ ÓÖÑÑÐÐ ØÓÚÙÙ Ø ÓÐÐ ÙÒ ÓÔÖØØÓÖ ÒÒ x y z ØÙÐØÒ (x y) z x y z ØÙÐØÒ x (y z)º ÁÑ ÐÐ ÓÒ ØÔÙÑÙ ÓØØ ÚÓ ÒØ Ò ÙÓÑÓÓÒ ÚÒ ÐÐÒ ÐÓÒ¹ ÒÒ ÒØÑØ Úغ ÑÖ x : P(x) x : Q(x) ØÙÐ ÐÔÓ Ø ØÙÐØØÙ ÙØÒ ( x : P(x)) ( x : Q(x)) Ú ÐÓÒ Ø Ø Ø ÝØØØÚÒ ØÓÚÙÙ ÒØÒ ÑÙÒ ØÖÓØØ x : (P(x) x : Q(x))º Ì Ø ÝÝ Ø ÚÓ ÖÓØØØ Ò¹ ÒØØ ÝØØ ÝÐÑÖ ÙÐÙ ÚÓ ÐÙ ÒÒØØ ÓØØ ÙÓÑÓÓÒ Ñ¹ ÓÐÐ ÙÙ ØØ ÖÓØØ ÓÒ ÚÒÓ ØØÒÝØ ÔÓ ÚÐØØÑØØÑ ÙÐÙº Ðѹ Ö ÙÐÙ ÒÒØØ ÝØØ ÑÝ ØØ ÖÐÐ ÙÙ ÝØØÒ ÚØÐÚ ØÓÚÙÙ Òغ ÃØ Ó ÑÝ ØÓÚÙÙÒ ÙÙÒغ ÃØ Ó ÐÓÒ Òº ÓÔÖØØÓÖÒ ØÓÚÙÙ Ø ÓØ ÓØ ÓÒ ÄÓ Òº Ó Ø ØÓÚÙÙ Ø Óº

ÄÓ Âº ϕ ξ ØÖÓØØ ØØ ϕ ØØ ξ Ôغ ̺ ϕ ξ ØÖÓØØ ØØ ϕ ÔØ Ø ξ ÔØ Ø ÑÓÐÑÑØ ÔØÚغ º ϕ ØÖÓØØ ØØ ϕ Ôº ÁÑÔÐØÓ ÐÓÓ Ò ÓÔÖØØÓÖÒº ϕ ξ ØÖÓØØ ØØ Ó ϕ ÔØ ÒÒ ÑÝ ξ Ôغ ÌÓ Ò ÒÓÒ ϕ ξ ØÙÓØØ Ð Ó ÚÒ Ó ϕ ØÙÓØØ ÌÖÙ ξ ØÙÓØØ Ð º ÎÖØ º ÚÚÐÒ ÐÓÓ Ò ÓÔÖØØÓÖÒº ϕ ξ ÓÒ Ñ ÙÒ ϕ ξ ξ ϕ Ý º ÌÓ Ò ÒÓÒ ϕ ξ ØÙÓØØ ÌÖÙ Ó ÚÒ Ó ÓÓ ϕ ØØ ξ ØÙÓØØ ÌÖÙ Ø ϕ ØØ ξ ØÙÓØØ Ð º ÎÖØ º ½º ÁÑÔÐØÓ Ò ÚØØÑÒ ÚÖØÐÙÒº ÃÝØØÒ ÝÐÒ ÐÑ ÑÒ ÔØØÐÝ ¹ Ðغ ϕ ξ ÓÒ ÚÓÑ Ó ÚÒ Ó Ò ØÐÒØ ÓØ ÓÚØ Ý ÝØÝ ÑÓÐÐ Ó ϕ ÔØ ÑÝ ξ Ôغ Ö ØÐÒØØ Ò Úع ÐÑÐÐ ϕò ξò ÐÐ ÒØÝÚÒ ÚÔÒ ÑÙÙØØÙÒ ÖÚÓºµ ÌÓ Ò ÒÓÒ ϕ ξ ÓÒ ÚÓÑ Ó ÚÒ Ó ϕ ξ ØÙÓØØ Ò ÌÖÙ ÖÔÔÙÑØØ ϕò ξò ÐÐ Óй ÚÒ ÚÔÒ ÑÙÙØØÙÒ ÖÚÓ Ø ÙÒÒ ÚÐØ ÖÚÓÝ ØÐÑ Ó ÓÒ Ý ÝØÝ ÑÓØÓÒº ÑÖ x > 1 x+y > 1 ÝÐ Ø ÓÐ ÔØÚ ÔØÐÑ ÑÙØØ ÓÒ ÔØÚ Ó ÝØÝÒ ÚÙÓ ØØÒ ØØ y 0º ÓÒ ÑÒÐØÒÒ ÙÒ ÑÙØØ ÒØÝÝ ÚÓÒ ÚÐ ÒØÝÝ ÚÒ Ðк ÌÑÒ ÚÙÓ ÖÓØØ (ϕ ξ) ζ ÑÙØØ ÖÓØØ (ϕ ξ) ζ Ó Ò ÓÙØÙÙ ÚÒ Òº Ë ÖÓØØ ϕ ξ ζº Ë ØÖÓØØ Ñ ÙÒ ϕ ξ ξ ζ Ý ÑÙØØ ϕ ξ ζ ØÖÓØØ (ϕ ξ) ζº ÎÖÓØÙ ÓÐÐÒ ÖÓØØÐÐ ϕ ξ ζ ØÖÓØØ ϕ (ξ ζ)ºµ ¾º ÃÝØØÒ Ù Ò ÑÝ Ñ ÑÖØÝ ÙÒ º ÚÚÐÒ Ò ÚØØÑÒ ÚÖØÐÙÒº ϕ ξ ÓÒ ÚÓÑ Ó ÚÒ Ó ϕ ÔØ Ø ÑÐÐÒ ÑÓ ÝØÝÒ ÐÐÑ ØÐÒØ ÙÒ ξº ÎÖØ º ùÚÒØØÓÖº x : ϕ(x) ØÖÓØØ ØØ ÓÒÒ ÐÓ x ØÓØÙØØ ÓÒ ϕ(x)º x; ϕ(x) : ξ(x) ØÖÓØØ ØØ ÓÒÒ ÓÒ ϕ ØÓØÙØØÚ ÐÓ x ØÓØÙØØ ÑÝ ÓÒ ξº Ë ØÖÓØØ Ñ ÙÒ x : ϕ(x) ξ(x)º ÎÖÓØÙ ØÑ ØÔ ÝØØ Úй ÑÖ ÚÒØØÓÖÒ ÝØÝ ÓÐ ÓÚÒ ÝÐÒÒ Ú ÙØØ ÖÝÑØØÐÑÒ ÚÓ ÐÔÓÑÑÒ ÝÑÑÖÖØØÚ ºµ x A : ϕ(x) ØÖÓØØ ØØ ÓÒÒ ÓÙÓÒ A ÐÓ x ØÓØÙØØ ÓÒ ϕº Ë ØÖÓØØ Ñ ÙÒ x : x A ϕ(x)º ÇÒ ÓÐÑ ¹ÚÒØØÓÖº x : ϕ(x) ØÖÓØØ ØØ ÓÒ ÓÐÑ ÒÒ Ý ÐÓ x Ó ØÓØÙØØ ÓÒ ϕ(x)º x; ϕ(x) : ξ(x) ØÖÓØØ ØØ ÓÒ ÓÐÑ ÒÒ Ý ÓÒ ϕ ØÓØÙØØÚ ÐÓ x ÓÐÐ ÑÝ ξ Ôغ Ë ØÖÓØØ Ñ ÙÒ x : ϕ(x) ξ(x)º ÎÖÓØÙ ØÑ ØÔ ÝØØ ÚÐÑÖ ÚÒØØÓÖÒ ÝØÝ ÓÐ ÓÚÒ ÝÐÒÒ Ú ÙØØ ÖÝÑØØÐÑÒ ÚÓ ÐÔÓÑÑÒ ÝÑÑÖÖØØÚ ºµ

x A : ϕ(x) ØÖÓØØ ØØ ÒÒ Ý ÓÙÓÒ A ÐÓ x ØÓØÙØØ ÓÒ ϕº Ë ØÖÓØØ Ñ ÙÒ x : x A ϕ(x)º Ð ÄÓÒ ØÓØÙÙ ÖÚÓ ÔØÓ º ÂÓ Ú Ô ÒÒ Ò ØÓØÙÙ ÖÚÓ ÓÒ Ð º Í Ò ÚÖ ÒÒ ÓÐÑÓÒØÐ µ ÑÙØØ ØÐÐ ÙÖ ÐÐ Ð Ò ØÐÐÐ ÝØØÒ ÐÙÙÖÚÓ ¼º ÚÒØØÓÖ ÃØ Ó º ÂÓ Ù ÚÒØØÓÖ ÙØ ÙØÒ ÑÝ ÑÙØ ÑÒ ØÔÒ ÝØØØÚ ÝÑÓÐغ ÑÖØØÐÑØØÑØ ÓÔÖØÓØ ÚÓ ÈÖØØ ÓÒ ÝÚÒ ÑÖØÐØÝ Ó ÚÒ Ó Ò ÓÐÚØ ÑÖØØÐÑØØÑ ÓÔÖØÓØ ÐØÚØ ÔÖØØ ÐÑÒÓØÙÚØ Ù¹ ÖÚÐÐ Ð Ù ÒÒÐÐ Ð ÑØ ØÒ µ ÑØ ØÒ µ Ð Ð ÌÖÙ ÑØ ØÒ µ ÑØ ØÒ µ ÌÖÙ ÌÖÙ Ð ÑØ ØÒ µ ÌÖÙ ÑØ ØÒ µ ÌÖÙ ÌÖÙº ËØÒ ÑÖ ÖÐÐÙÚÙÐÐ x : 1 0 1 = 0 x x ÓÐ ÝÚÒ ÑÖØÐØÝ ÑÙØØ x : 1 0 x = 0 ÓÒ ÝÚÒ ÑÖØÐØÝ ØÙÓØØ ÌÖÙº x ÈÖØØ ÔØ ÖÓØØ ÒÒ ØØ Ò ÓÚØ ÝÚÒ ÑÖØÐØݺ ÓØØÙ ÑÙÙØØÙ ÅÙÙØØÙ x ÓÒ ÓØØÙ ÒØÝ Ò ÚÒØØÓÖÒ ÚÙØÙ ÔÖ º ÂÓ ÑÙÙع ØÙ ÓÐ ÓØØÙ ÓÒ ÚÔº ÑÖ Ú y > 0 ( y : x + y < 0) y = 0 ÑÑ Ø yò ÒØÝÑØ ÓÚØ ÓØØÙ ÖÙÒÑÑ Ø ÚÔغ ÌÐÒÒ ÚÓÒ ØÙй Ø ÑÝ ØÒ ØØ ÚÒØØÓÖ ØØÐ ÙÙÒ ÑÙÙØØÙÒ ÓÐÐ ÚÓ ÓÐÐ Ñ ÒÑ ÙÒ ÓÐÐÒ ÑÙÙÐÐ ÑÙÙØØÙÐк ØÓÚÙÙÒ ÙÙÒØ Ì Ø Ø ØÓÚØ Ú ÑÑÐÐ ÝØØݹ ØÝÚØ ÚÖØÐÙÓÔÖØØÓÖÒ ØÚÓÒ Ø Ó µº ÎÖÓØÙ ØÓÚÙÙÒ ÙÙÒØ ÚØÐ ÖÐÐ ÙÙ º ÃØ Ó ÑÝ ÅØÑØ ÝÐ Ø ØÓÚÙÙÒ ÙÙÒغ ØÓÚÙÙ Ø Ó ÄÓÒ ÓÔÖØØÓÖÒ ØÓÚÙÙ Ø ÓØ ÚØÐÚØ ÖÐÐ ÙÙ º Ì Ø ¹ Ø Ò ÓÚØ ÚÓÑÑÑ Ø ÓÑÔÒ ÚÒØØÓÖغ ÃÚÓÒ ÚÖع Ñ Ò ÝØØØÚØ ÓÔÖØØÓÖØ ØÓÚØ ÐÐ ÐÙØÐØÙ ÓÑÑÒ ÝØØÝØݹ ÚØ ÚÖØÐÙÓÔÖØØÓÖÒ ØÚÓÒº ÄÓÒ ÙÐÓÔÙÓÐ Ø ÖÚÓ Ø ØÓØÙÙ ÖÚÓ ØÙÓØØÚØ ÓÔÖØØÓÖØ ÙØÒ = < ØÓÚØ ÚÓÑÑÑÒ ÙÒ ÐÓÓ Ø ÓÔÖØØÓÖغ ÃØ Ó ÑÝ ÅØÑØ ÝÐ Ø ØÓÚÙÙ Ø Óº ØÓØÙÙ ÖÚÓ ÄÓÒ ÚÒ ØÙÓØØÑ ÖÚÓº ÌÓØÙÙ ÖÚÓ ÓÚØ Ð ÌÖÙº ÌÖÙ ÄÓÒ ØÓØÙÙ ÖÚÓ ØÓ º ÂÓ Ú ÔØ ÒÒ Ò ØÓØÙÙ ÖÚÓ ÓÒ ÌÖÙº Í Ò ÚÖ ÒÒ ÓÐÑÓÒØÐ µ ÑÙØØ ØÐÐ ÙÖ ÐÐ ÌÖÙÒ ØÐÐÐ ÝØØÒ ÐÙÙÖÚÓ ½º ÚÔ ÑÙÙØØÙ ÃØ Ó ÓØØÙ ÑÙÙØØÙº ÂÓÙÓ¹ÓÔÔ ÌÝ ÓÙÓ Ð ÓÙÓ Ó ÓÐ ÐÓغ ÈØ A = x : x / Aº {...} {a 1,a 2,...,a n } ÓÒ ÓÙÓ ÓÒ ÐÓØ ÓÚØ a 1,a 2,...,a n º ÈØ x {a 1,a 2,...,a n } x = a 1 x = a 2 x = a n º ÑÖ ÎÓÒÔÚØ = { ÑÒÒØ, Ø Ø,..., ÙÒÒÒÙÒØ }º {} ÓÒ ÓÓÒÑÙÒÒ ÑÙØØ ÑÐÓ ÖÚÓÒ ÝØØØÝ ÚØÓØÓÒÒ ÑÖÒØ ÓÙÓÐÐ º

{x ϕ(x)} ÓÒ ÒÒ ÐÓÒ x ÓÙÓ ÓØ ØÓØÙØØÚØ ÓÒ ϕº ÑÖ {x y Z : x = 2 y} ÓÒ ÔÖÐÐ ØÒ ÓÓÒ ÐÙÙÒ ÓÙÓº ÈØ x {x ϕ(x)} ϕ(x)º {x A ϕ(x)} ÓÒ ÒÒ AÒ ÐÓÒ x ÓÙÓ ÓØ ØÓØÙØØÚØ ÓÒ ϕº ÈØ {x A ϕ(x)} = {x x A ϕ(x)} = {x ϕ(x)} Aº {f(x) ϕ(x)} ÓÒ ÓÙÓ Ó Ò ÝÑÐÐ ÐÔ Ò ÐÓØ x ÓØ ØÓØÙØØÚØ ÓÒ ϕ Ð ÑÐÐ Ó ÐÐ f(x) ÓÓÑÐÐ ØÙÐÓ Ø ÓÙÓ º ÑÖ {2 x x Z} ÓÒ ÔÖÐÐ ØÒ ÓÓÒ ÐÙÙÒ ÓÙÓº ÎÖÓØÙ Ó ØÑ ÑÖÒØ Ö Ò ÖÖÓ Ñ ÑÙÙØØÙ Ý ÖÚÓ ÐÔ ÓÒ Ô ÐÚ ÐÐÓÒ ÙÒ Ú ÓÒ Ù Ø ÑÙÙØØÙ¹ ÝÑÓÐغ... ÃØ Ó º ÂÓÙÓÓÒ ÙÙÐÙÑÒÒº ÑÖ ÌÑÔÖ ËÙÓÑÒ ÙÔÙÒغ / ÂÓÙÓÓÒ ÙÙÐÙÑØØÓÑÙÙ º ÑÖ ÅÐÓÙÖÒ / ËÙÓÑÒ ÙÔÙÒغ ÎÓÒ ÑÖ¹ ØÐÐ ÚÐÐ x / A (x A)º ε ÌÝ ÓÒÓ ÓÙÓÒ A 0 ÒÓ ÐÓº ÃØ Ó º = ÂÓÙÓÒ ÝØ ÙÙÖÙÙ ÑÖØÐÐÒ A = B x : x A x Bº Ç ÓÙÓº ÑÖ ËÙÓÑÒ ÙÔÙÒØ ÃÙÔÙÒغ ÈØ A B x : x A x B A B A B A = Bº ØÓ Ó ÓÙÓº ÈØ A B A B A Bº ÎÖÓØÙ ÓØÙØ ÖÓØØØ ÝØØÚØ ØÖÓØØÑÒ Ñ ÙÒ ØÖÓØØ Ø Ø Ø º ÍÒÓÒº ÑÖ {1, 2, 3} {2, 4} = {1, 2, 3, 4}º ÈØ A B = {x x A x B}º ÄÙ º ÑÖ {1, 2, 3} {2, 4} = {2}º ÈØ A B = {x x A x B}º ÂÓÙÓÒ ÖÓØÙ º ÑÖ {1, 2, 3} {2, 4} = {1, 3}º ÈØ A B = {x x A x / B}º ÃÖÐÐ ÙÙ ÝØØÒ ÑÝ ÝÑÓÐ \º ÌÙÐÓÓÙÓº ÑÖ {1, 2, 3} {2, 4} = {(1, 2), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 2), (3, 4)}º ÈØ A B = {(x,y) x A y B}º ÅÝ Ù ÑÑÒ ÙÒ Ò ÓÙÓÒ Ý ØÑÒÒ ÓÔÖØØÓÖÐÐ ÓÒ ÑÓÐÐ Ø A 1 A 2 A n = {(a 1,a 2,...,a n ) i; 1 i n : a i A i }º ÌÚÐÐ ØÒ ÙÐÙÒ ØÐÐÐ ÝØØÒ ØÓ ÒÒ ÓØØ Ö ØÙÐÓÓÙÓÒ ÐÓØ ÖÓع ØÙ ÚØ ÔÖÑÑÒ ØÓ ØÒ ÚØ ÓØØÙ ÚÒ ÑÙÒ ÙÐÙÒº ÃÐØÒ ØÓÖ ÙÐÙØ ÐÓÒ ÚÐ Ø ÔÐÙØ ØØÒ Ù Ò ÓÓÒÒ ÔÓ º ËÐÐÓÒ ÙÒ n = 1 Ø ÓØÒ Ù Ò ØØ A 1 A n = A 1 º ÌÖÒ ÓØØÒ ÓÒ {(a) a A 1 } ÑÙØØ (a) a Ø ÓØÒ Ù Ò ÑÒÚÖÓ º ËÐÐÓÒ ÙÒ n = 0 ÓÒ ØÙÐÓÓÙÓ Ø ÑÐÐÒ Ý ÐÓº ËØ ÓÐ ÓÓÒÑÙ Ø ÑÖØ ØÓ ÒÒ ÑÖØÒÒ () Ø º ÌÑ ÑÖÒØ ÙØÒÒ ÓÐ ÝØØÐÔÓÒÒ ÐÐÓÒ ÙÒ ÙÐÙØ ØØÒ ÓÓÒÒ ÔÓ º ËÐÐÓÒ ÝØØÒ ÝÑÓÐ εº A n A ÔÓØÒ Ò nº A n = A A A Ñ A ÒØÝÝ ÓÐÐ ÔÙÓÐÐÐ n Öغ ÌÓ Ò ÒÓÒ ÓÒ AÒ ÐÓ Ø ÑÙÓÓ ØØØÚ ÓÐÚØ ÑÓÒÓØ Ó ÓÒ n ÐÓغ ÖØÝ Ø A 0 ÓÒ ÐÓÒ ÑÖÒØØÚ Ø ÖÔÔÙÒ {()} { } Ø {ε}º

A A + ÂÓÙÓÒ A ÐÓ Ø ÑÙÓÓ ØØØÚ ÓÐÚÒ ÖÐÐ ØÒ ÓÒÓÒ ÓÙÓº ÑÖ {+, } = {ε, +,, ++, +, +,, + + +, + +,...}º ÈØ A = A + {ε} = A 0 A 1 A 2 º ÂÓÙÓÒ A ÐÓ Ø ÑÙÓÓ ØØØÚ ÓÐÚÒ ÔØÝÒ ÖÐÐ ØÒ ÓÒÓÒ ÓÙÓº ÈØ A + = A {ε} = A 1 A 2 A 3 º A ÖÐÐ Ò ÓÙÓÒ A ÐÓÒ ÑÖº ÑÖ {+, } = 2 = 0 {1, 2, 3, 2, 1} = 3º 2 A ÂÓÙÓÒ A Ó ÓÙÓÒ ÓÙÓ Ð AÒ ÔÓØÒ ÓÙÓº ÑÖ 2 {+, } = {, {+}, { }, {+, }}º ÈØ 2 A = {X X A}º P(A) ËÑ ÙÒ 2 A º ØÓÚÙÙÒ ÙÙÒØ Ì Ø Ø ØÓÚØ Ú ÑÑÐк / ÓÚØ ÚÖØÐÙÓÔÖØØÓÖØ ÝØØÝØÝÚØ Ò Ñ٠غ ÃØ Ó ÑÝ ÅØÑØ ÝÐ Ø ØÓÚÙÙÒ ÙÙÒغ ØÓÚÙÙ Ø Ó Ì Ø Ø ØÓÓ ÚÓÑÑÑÒ ØØÒ ØØÒ ÝØ ÚÓѹ Ø ÐÓÔÙ / º ÃÖÐÐ ÙÙ ØÓÚÙÙ Ø ÓØ ØØÚØ ÚÐк ÃØ Ó ÑÝ ÅØÑØ ÝÐ Ø ØÓÚÙÙ Ø Óº È ÙÓÓÓ ÓÐÑÓÓµ ÇÐÑÒ ØØÑ ÝØØØÚ Ô ÙÓÓÓ ÑÙÐ ÐÓÐÈ Ð¹ÐØÒ ÑÖÒع º Ó ÐÙ ÓÒ ÙÓ ØØÙ ØÚÐÐ ÑØÑØØ ÑÖÒغ» Ø ÓÒ ÔÓÑØØÙ ØÚ Ð ÙØÒ º ÐÓйØÝÝÐ ØÒ Ô ÙÓÓÓÒ ÝØØ ÓÒ ÝÐ Ø ÖÐÐ ÙÙ º ÅÓÒØ» ¹ÑÖÒÒØ ÓÚØ ÓÔØÙ ÝØØÒ ÙÓÒÓ Ó Ò ÓÚØ Ú ÓØÙ ¹ ÝØ ÙÙÖÙÙ ÚÖØÐÙÓÔÖع ØÓÖØ ÓÚØ Ö ØÖ ÑØÑØÒ ÝØ ÙÙÖÙÙ ÓÔÖØØÓÖÒ Ò ÑØÑØ ÝØ ÙÙ¹ ÖÙÙ ÓÒ = ÑÙØØ Ò ØÖÓØØ ÓØÙ Ø ÝØ ÙÙÖÙÙ ÓÔÖØØÓÖÒ ÓÒ º Ä Ô ÙÓÓÓÒ ÖÐ ÙÙ ÙØØ ÖÓØØÑÒ ÝÐ Ø Ø ¹ ÓÒÒ Øº ÐÐ ØÓ Ò ÒÓØ Ø ÝØÝ Ø ÐÑÒ ÑÙÙØØÙØ ÓÚØ ÓÓÒ ÐÙÙØÝÝÔÔ º º ÌØÙÒ Ø ÓÐÓÒµ ÒØÒ ÚÐØ Òº ÑÖ ÒÐ. ÒѺ ÌÓÑ ÙØÒ º Ç ÓØØÑÒ Ô ÓÐÚÒ ØØÙ Ò ÚØØÑÒÒº Ó ÓÒ Ñ ÙÒ Ò Ó Ó. ÒØØ ØÓÑ ÙØÒ Ò Ó ¹ÒØغ ÌÚÐÐÒÒµ ÓØÙ ÓÔÖØØÓÖº v e ØÓÑ ÙØÒ Ò v eº v e ØÓÑ ÑÙÙØÒ ÑÓÒ ÙÒ v v+e ÔØ ØØ vò Ó ÓØ Ð ØÒ ÚÒ ÖÖÒº ÌÐÐ ÖÓÐÐ ÓÒ ÖÚÓÒ ÑÖØÝ Øº ÅÖØÝ Ø ÓÒ ÑÖ ÐÐÓÒ ÙÒ v ÓÒ ÑÙÓØÓ A[f(...)] Ñ ÙÒØÓÒ f Ð ÒØ ÙØØ ÚÙÚÙØÙ ÙØÒ ØÙÐÓ Ø٠صº ÃÙØÒ Ò º ÃÙØÒ ÑÙØØ ÚÒÒÝ Ð ÙÐк ÃÙØÒ Ò ¹º ÃÙØÒ ÑÙØØ ÖØÓÐ ÙÐк ÃÙØÒ Ò º

Ò ÅÙÙØÒ Ñ ÙÒ ÔØ ØØ Ó ÔÙÓÐØ Ð Ø Ó Ú Ò ØÙÓØØ Ð º ËÑ ÙÒ Ò ²²º ÓÖ ËÐÑÙÖÒÒ ÓÖ i Ð ØÓ ÝÐ Ó º º º ÒÓÖ ØÓÑ Ø ÐÙÙÙÒÓØØÑØØ ÑÓÒ ÙÒ Ò ÓÖ Ð ÝÐ µßº º º к Ò ÝÐÖ Ð ØÒ ÒÒÒ ÐÑÙÒ Ò ÑÑ Ø ÖÖÓ Ø ÐÝØØ ÖÚÓÒ Ú Ò Ð Ñ ØÖ¹ ÚØØÚØ ØÓØ ÑÙÙØØÙ Úغ ÆÒÔ ÝÐ := 3; ÓÖ i := 1 ØÓ ÝÐ Ó ÝÐ := ÝÐ + 1 ÒÓÖ ÐÓÔØØ ÙÒ ÝÐ = 6 ØÓ Ò ÙÒ Ò Ú ØÚ ÐÑÙº ÌÓ ÓÖ¹ ÐÑÙÒ ÐÐ ÝÖØØ ÓØØ ÑÙÙØØØÙÒ iº ÆÒ ÚÓÒ ÓÐÐ ÚÖÑÓ ØØ ÐÑÙ ÔÝÖ ÒÒØÒ max(0, ÝÐ Ð + 1) ÖÖÓ Øº ËÒ ØÓ ÚÓÒ ÓÖÚØ ÒÐÐ ÓÛÒØÓ ÓÐÐÓÒ ÐÑÙÑÙÙØØÙÒ ÖÚÓ ÐÒ ÝÐÐ Ó ÖÖÓ Ðк ØÓÖÒÒ ØÓ ØÒ º º º Ð º º º Ò ØÓÑ ÙØÒ Ò ØÓ µßº º º ÐРߺ º º к Ð ¹Ó Ò ØØ ÔÓ º ÑÓ ÂÓÒÒ ÓÔÖØØÓÖº ÂÓ b 0 ÒÒ a ÑÓ b ÓÒ ÐÙÙ x ÓÐÐ b a + x = aº ¹ b ÒØÚ ÐÐ aò bò ÖÚÓÐÐ ÝØØÝØÝÝ ÙØÒ Ò ±º ÆØÚ ÐÐ ÖÚÓÐÐ ÝÒØÝÝ ÝÐÒ ÖÓ Ó Ò ÓÓÒ ÐÙÙÒ» ÔÝÖ Ø ØÙÐÓ Ò ØÓÒÒ Øµ ÒÓй Ð ÓØ ÑÙØØ a ÔÝÖ Ø ÔÒÑÔ ÐÙÙ Óغ ÌÑÒ ÚÙÙÒ ÚÙÓ ÑÓÒ b ÑÖØÝ ÓÒ ÝÝØ Ò ØÖ Ø Ó ÐÙ ÝØØ Ø ÙÒ a < 0 Ø b < 0º ÆÐ ÓÖ Ç ÓØØÑÒ ÖÚÓ ÐÐÓÒ ÙÒ Ó ÓØ ÑÒÒÒº ÅÙÙØÒ Ñ ÙÒ ÔØ ØØ Ó ÔÙÓÐØ Ð Ø Ó Ú Ò ØÙÓØØ ÌÖÙº ËÑ ÙÒ Ò º ÖÔØ ËÐÑÙÖÒÒ ÖÔØ º º º ÙÒØÐ ØÓ ØÓÑ ÙØÒ Ò Óߺ º º ÐÛÐ ØÓ µ Ø º º º º ÙÓÖØØÒ ÒÒ ÖÖÒº ÀÙÓÑ ØØ ÐÑÙ Ø ØÙÐÐÒ ÙÐÓ ÙÒ ØÓ ÔØ ØÑÒ ÚÙÓ ¹Ú ØÒ ÓÒ ÓÒ º ÛÐ ËÐÑÙÖÒÒ ÛÐ ØÓ Ó º º º ÒÛÐ ØÓÑ ÙØÒ Ò ÛÐ ØÓ µßº º º к ÌÙÐÙÓ ½ ÃÖÐ Ø ÖÑØ ÒÐÒÒ ÙÓÑ ÒÐÒÒ ÙÓÑ A α ÐÔ Ð N ν ÒÙ ÒÝÝ B β Ø Ø Ξ ξ Ü Γ γ ÑÑ ÑÑ O o ÓÑÖÓÒ ÓÑÖÓÒ δ ÐØ ÐØ Π π Ô Ô E ǫ ε Ô ÐÓÒ Ô ÐÓÒ P ρ ÖÓ ÖÓÓ Z ζ ÞØ ÞØ Σ σ ς Ñ Ñ H η Ø Ø Tτ ØÙ ØÙ Θ θ ϑ ØØ ØØ Y υ ÙÔ ÐÓÒ ÝÔ ÐÓÒ I ι ÓØ ÓÓØ Φ φ ϕ Ô Ô K κ κ ÔÔ ÔÔ X χ Λ λ ÐÑ ÐÑ Ψ ψ Ô Ô M µ ÑÙ ÑÝÝ Ω ω ÓÑ ÓÓÑ

ÅÙ Ø ØØ ÑÙÙØØÙÒ ÓÐØÙ ÖÚÓÐÙ ÓÒ Zº ÌØÚÖÝÑ ½ ÌÑÒ ÖÝÑÒ ØØÚ ÓÚØ ÚÓÑ ÙÖÚØ ÑÖØÐÑØ f(x) = x+y+1 g(y) = y 2 +x P(i,n) 1 < i n 1 i < n Q(i,n) 1 < i n 1 i < nº ½º ÇÐÓÓÒ h(x) = x 2 ax 1º µ ËÚÒÒ h(a + 1)º µ ÊØ aò ÙØÒ h(x + 1) = 0º µ Ä h(1 2a) ÙÒ a = 2º µ ÊØ aò ÙØÒ h(a/x) = 0º µ ËÚÒÒ f(f(x))º ¾º ÇÐÓÓÒ h(x) = 1 x 2 º µ ËÚÒÒ h((1 a)(1 + a))º µ ËÚÒÒ h(x) h(1) ÙÒ x = 3º µ ÊØ xò ÙØÒ h(h(x)) = 0º µ ËÚÒÒ h(a) 2 h(a 2 )º µ ËÚÒÒ g(f(y))º º µ ËÚÒÒ P(i,n)º µ ËÚÒÒ P(i, 2)º µ ËÚÒÒ Q(i, 2)º µ ËÚÒÒ Q(n i,n)º µ ËÚÒÒ P(i,n) Q(i,n)º º µ ËÚÒÒ Q(i,n)º µ ËÚÒÒ P(i, 3)º µ ËÚÒÒ Q(i, 3)º µ ËÚÒÒ P(n i,n)º µ ËÚÒÒ P(i,n) Q(i,n)º º µ ËÚÒÒ Q(i 1,n 1)º µ ËÚÒÒ P(2i,n)º µ ËÚÒÒ Q(i n,n)º µ ËÚÒÒ P(i n, 3)º µ ËÚÒÒ P(i,n) Q(i,n)º

½¼ º ÌÙÐÙÓ A[1,...,n] ÓÒ Ò º Ó Ó A[ i ] A[i] Ò ÙÒ 2 i nº ÇÒÒ ÐÓÖØÑ 2 Ö ØÐ ØÙÐÙÓÒ A[1,...,n] ÙÙÐÐÒ ÒÒ ØØ ÐÓÔÔÙØÙÐÓ ÓÒ Óº ½ ÓÖ i n ÓÛÒØÓ 1 Ó 2 ¾ j i x A[i] ÖÔØ ÚÒ j j 2 j < n Ò A[j + 1] > A[j] ØÒ j 1 Ò j n Ò A[j] > x ØÒ A[ÚÒ] A[j] Ò ÙÒØÐ j > n ÓÖ A[j] x A[ÚÒ] x ÒÓÖ Ò ØÙÐÙÓØ Ò ÓÒ ÒÓÐÐ Ø (n 1)Ò Ý Ø nòº ÅÙÙØ ÐÓÖØÑ ØÒ ØØ ÓÔ Ò ØÙÐÙÓÐк Î ½µ Ð Ò Ò Ó Ò ØÙÐÙÓÒ Ò ÓÒØÒ 1 ØÝÝÐÒ A[e] A[e 1]º ËØØÒ ¾µ ÓÖÚ ÙÓ ÙØÙ ÑÙÙØØÙ i Ó Ô ÐÙ ÐÐ i+1 Ð ØÖÚØØ ÙÐÙØ (i + 1)º Ì Ú ØÚ Ø ÑÙÙØØÙÐÐ j ÚÒº ÄÓÔÙ µ ÚÒÒ ÐÙ Ø ÐÐ Ñ ÑÓÐÐ Ø ÑÖ ÑÙÙØ A[(i + 1) 1] ÑÙÓØÓÓÒ A[i]º ÃÓÖÚÙ Ò i i + 1 ØÚÓØØÒ ÓÐ Ø ØÑ ÒÑÒÓÑÒÒ ÝÑÑÖØÑ Ø ÐÔÓØØÚ ÚÒÒÝ ÑÓÐÐ ºµ ÀÙÓÑ ÚÓØ ÚÒ ÝÚÒ ØÐÔ Ø ÖÓØØ i + 1 n ÙÒÒ Ò ÐÒ ÚÒ¹ 2 ÒØ iò ÔÐ ÚÒØÑÐÐ ÑÓÐÑÑÐØ ÔÙÓÐÐØ Ý Òº ÀÙÓÑ ÑÝ ØØ ØÐÐÒ ÓÙÙØ ÚÒØÑÒ Ý Ò ÚÐ Ý Ø Ó Ø Ñ Ø ËÓØÙ Ò j + 1 2 ÚÒØÑ ÓÖÚ ÓÔÖØØÓÖ ÝØØÚÐÐ ÓØÙ Ðк ÃÒÒØØ ÑÝ Ý¹ ÝÒØ Ø ØØ ÓÓÒ ÐÙÚÙÐÐ x < y ØÖÓØØ Ñ ÙÒ x y 1 ÐÐ Ø ÚÒÒÝ ØÝÝÐÒ j + 1 n j < nº ÎÐÑ ØÙÙ ØØÑÒ ØÙÐÙÐÐ ÚØ ½µ µº

½½ ÌØÚÖÝÑ ¾ ÌØÚØ ØÙÐ ÖØ Ø ÝØØÑØØ ØÓØÙÙ ØÙÐÙº ÈÖÓÔÓ ØÓÐÓ º µ ËÚÒÒ (a b) a µ ËÚÒÒ a b a b c µ Ç ÓØ P Q P Q µ Ç ÓØ P Q (P Q) º µ ËÚÒÒ (a b) (a b c) µ ËÚÒÒ a b a b µ Ç ÓØ ((P Q) P) P µ Ç ÓØ ((P Q) Q) (P Q) º µ ËÚÒÒ a b a b µ ËÚÒÒ a b a b µ Ç ÓØ (P Q) (P R) (Q R) R µ Ç ÓØ (P Q) P Q ½¼º µ Ç ÓØ P (P Q) P Q µ Ç ÓØ Q (Q R) (R P) P µ Ç ÓØ P (P Q) (P (Q R)) R µ Ç ÓØ (P Q) (Q R) (R S) P Sº ½½º ÅØ ÙÖÚ Ø ÚØØÑ Ø ÔØÚØ µ P Q R P R µ P Q R P R µ P Q R P R µ P Q R P R

½¾ ½¾º ÈÖÓÔÓ ØÓÐÓ Ú ÓÒ ÓÒÙÒØÚ ÒÓÖÑÐÑÙÓÓ Ó ÚÒ Ó ÓÒ ÑÙÓØÓ φ 1 φ 2 φ n Ñ ÓÒÒ φ i ÓÒ ÐÙ ÙÙк ÃÐÙ ÙÙÐ ÓÒ Ú ÑÙÓØÓ ξ 1 ξ 2 ξ m Ó ÐÐ j {1,...,m} ÔØ ξ j ÓÒ ÑÙÓØÓ b Ø b Ñ b ÓÒ ÔÖÓÔÓ ØÓ ÝÑÓк ÅØ ÙÖÚ Ø ÚÓ Ø ÓÚØ ÓÒÙÒØÚ ÒÓÖÑÐÑÙÓÓ Ó ÓÒ Ú ÓÐ ÒÒ ÖÖÓ Ñ Óк µ (P Q) R µ (P Q R) ( P R) µ (a b c) (b b) µ A B µ A B µ (P Q R) ( P Q) µ sataa tuulee paistaa tuulee sataa paistaa µ (x 1 x 2 x 3 ) (x 3 x 2 x 4 ) ( x 1 x 3 x 4 ) ËÚÒÒ ÙÖÚØ ÚØ ÓÒÙÒØÚ Ò ÒÓÖÑÐÑÙÓØÓÓÒ µ P Q R µ P Q Q R µ P Q R

½ ÌØÚÖÝÑ ÌÑÒ ØØÚÖÝÑÒ ØØÚØ ÔÙÙÚØ ØÙÐÙÓ Ø A[1...n] B[1...m]º ÌÙÐÙÓÒ Ø Ò Ó Òµ ÔØÙÙ ÓÒ Ò ÐÓÒ ÐÙÙÑÖº ÎÓØ ÝØØ Ñ ØØÚ ÑÖØØÐÑ ÔÖØØ Ó ÒÒØ ÒÐÐ ÒÑØ ÓÔÚØ ÔÖÑØÖغ ÎÓØ ÑÝ ÑÖØÐÐ ÑÙØ ÔÙ¹ ÔÖØØ ¹ ØØغ ÃÒ ÔÖØØÒ ØØÒ ØÙÐ ÓÐÐ ÑÖØй ØÝ ÐÐ ÔÖÑØÖÒ ÖÚÓÝ ØÐÑÐк ½ º ÃÖÓØ ÔÖØØ ÓØ ÑÖØØÐÚØ ÙÖÚØ Ø µ A ÓÒ ÐÓ x AÒ ÐÓØ ÓÚØ ÑÓº µ AÒ ÓÒÒ ÐÓ Ò ÑÑ Ø ÐÙÙÙÒÓØØÑØØ ÓÒ ÚÒØÒ ÐÙÚÙÒ ¾µ ÙÙÖÑÔ ÙÒ ÐÐÒÒ ÐÓº µ BÒ ÐØ ÓÒ ÑÙÙØÒ Ñ ÙÒ AÒ ÑÙØØ ÔÒÚ Ø Ö ØÝ º µ ÌÙÐÙÓ B ÓÒ AÒ Ó º ½º ÃÖÓØ ÔÖØØ ÓØ ÑÖØØÐÚØ ÙÖÚØ Ø µ A ÓÐ ÐÓØ x ÑÙØØ AÒ ÐÓØ ÓÚØ ÑÓ µ A ÓÒ ÐÓ Ó ÓÒ ÖÚÓÐØÒ x ÙÙÖÑÔ ÑÙØØ ÔÒÑÔ ÙÒ yº µ ÌÙÐÙÓÒ A ÚÐÒ i...j ÐÓÒ ÙÑÑ ÓÒ Ñ ÙÒ ØÙÐÙÓÒ B Ò ÐÓ¹ Ò ÙÑѺ µ ÌÙÐÙÓ A B ÓÒ ÝØ ÑÓÒØ ÐÓØ ÒÒ ÐÓÒ ÖÚÓ ÓÒ Ñ ÒÒ Ú ØÚØ ÐÓØ ÖÓÚØ ØÓ ØÒ ÓÖÒØÒ ÖÚÓÒ k ÚÖÖÒº ½º ÃÖÓØ ÔÖØØ ÓØ ÑÖØØÐÚØ ÙÖÚØ Ø µ à AÒ ÐÓØ ÓÚØ ÖÚÓÐØÒ Ö ÙÒ xº µ ÐÓ x ÒØÝÝ ØÙÐÙÓ A Ù ÑÑÒ ÙÒ B º µ ÂÓ ÐÐ BÒ ÐÓÐÐ ÔØ ØØ ÓÓ ÒÒÝ ØÙÐÙÓ A Ø ÒØÝÝ Ø Ò k Öغ µ ÌÙÐÙÓÒ B ÐÓØ ÓÒ Ð ØØÙ AÒ ÐÓ Ø ÓÐÑÒ ÔÖ Ò ÐÓÒ ÖÚÓÒº ÂÓ A ÓÒ ÐÐ ÓÐÑ ÐÓØ BÒ ÐÓØ ÓÒ Ð ØØÙ ÒÒ ÖÚÓÒº ½º ÃÖÓØ ÔÖØØ ÓØ ÑÖØØÐÚØ ÙÖÚØ Ø µ A ÓÒ ÒÒ Ý ÐÓ Ó ÓÒ ÒÒ ÖÖÒ B º µ A ÓÒ ÒÒ Ý ÐÓ Ó ÓÒ Ø Ò ÖÖÒ B º µ A ÓÒ Ø Ò Ý ÐÓ Ó ÓÒ ÒÒ ÖÖÒ B º µ A ÓÒ Ø Ò Ý ÐÓ Ó ÓÒ Ø Ò ÖÖÒ B º

½ ½º ÃÖÓØ ÔÖØØ ÓØ ÑÖØØÐÚØ ÙÖÚØ Øº ÒÒ ÒÐÐ ÒÑØ ÔÖÑØÖغ µ Ð(A[1...n],i,j) : AÒ ÐÓØ ÚÐÐÐ i...j ÓÚØ Ó Ø Ð Ú Ö ØÝ º µ A ÓÒ kò ÑØØÒÒ Ó Ø Ð Ú Ó º µ A ÓÒ Ø Ò Ý ÚÒØÒ kò ÑØØÒÒ Ó Ø Ð Ú Ó º µ A ÓÒ kò ÑØØÒÒ Ó Ø Ð Ú Ó ÑÙØØ B Óк ½º ÃÖÓØ ÔÖØØ ÓØ ÑÖØØÐÚØ ÙÖÚØ Øº ÒÒ ÒÐÐ ÒÑØ ÔÖÑØÖغ µ AÒ ÐÓØ ÚÐÐÐ i...j ÓÚØ ÒÓÙ Ú Ö ØÝ º µ AÒ ÐÓØ ÚÐÐÐ i...j ÓÚØ Ð Ú Ö ØÝ º µ ÅÖØØÐÑÑ ØØ ØÙÐÙÓÒ Ó ÓÒ ÙÔÖ Ó ÚÒ Ó Ò ÓÒ ÐÓ ÓØ Ðع Ú Ó Óº ÐÓ ÑÙÒ ÐÙÒµ ÓÒ ÚÒØÒ Ò ÑØØÒÒ ÒÓÙ Ú Ø ÙÖÚ Ó Óº ÐÓ ÑÙÒ ÐÙÒµ ÓÒ ÚÒØÒ Ò ÑØØÒÒ Ð Úº ÃÖÓØ ÔÖØØ ÙÔÖ(A[1...n],i,j) Ó ÖØÓÓ ÓÒÓ A[i...j] ÙÔÖº µ A ÓÒ ÙÔÖ Ó ÑÙØØ B Óк µ ÒÒ ÑÖ ÔÒÑÑ Ø ÑÓÐÐ Ø ÙÔÖ Ø ØÙÐÙÓ Øº

½ ÌØÚÖÝÑ ÎÓØ ÝØØ ØØÚ Ñ ØØÚ ÑÖØÐØÝ ÔÖØØ ØØغ ÃÒ ØØÚ ÔÝÝØØÝÒ ÔÖØØÒ ØØÒ ØÙÐ ÓÐÐ ÑÖØÐØÝ ÐÐ ÔÖÑØÖÒ ÖÚÓÝ ØÐÑÐк ÎÓØ ÑÝ ÑÖØÐÐ ÔÙÔÖØØ ¹ ØØغ ÆÒ Ó ÐØ ÖØØ ØØ Ò ÓÚØ ÑÖØÐÐÝØ ÐÐ ÒÐÐ ÚÐØØØÝÒ ÔÖÑØÖÒ ÖÚÓÐк Ä ÅÖÒØ A[a...y] ØÖÓØØ ØÙÐÙÓ ÓÒ Ò ÐÙ ÓÒ a,a+1,...,y y a 1º ½º ÇÐØ ØØ (x = 1 x = n + 1) Ó ÓØ ØØ A[x] ÚÒ (x = 1 A[x 1] < ÚÒ) x = n + 1 A[x 1] < ÚÒ (x = n + 1 A[x] ÚÒ) (x = 1 A[x 1] < ÚÒ)º Î ÓÖÚ ÓÒÒ ÚÖØÐÙ ÒÑÐÐ ÑÖ A[x] ÚÒ P º ¾¼º ÇÚØÓ ÙÖÚØ ØÐÔÖØØ ÓÒ ½ x ½ ¾ ß x = 1 Ð ÛÐ x 0 Ó ß x = 1 Ð x 2 ß x > 1 Ð ÒÛÐ ß x = 0 Ð ß x = 5 Ð ¾½º ÇÐÓÓØ p q ÔÖÓÔÓ ØÓ ÝÑÓÐغ ÈÖÖ ÙÚ Ó ÐÙ Ø ÓÚØ ÓÐÑÙ ÐÙ ¹ Ò ÚÐÐÐ ÓÒ ÒÙÓÐ Ó ÐÐÒÒ ÑÔÐÓ ÙÖÚÒº ÃÝØ ÑÓÐÐ ÑÑÒ ÚÒ ÒÙÓÐ Ð Ó ÐÙ P ÑÔÐÓ ÐÙ Ò Q Ó ÔÙÓÐ ØÒ ÑÔÐÓ ÐÙ Ò R ÒÒ ÔÖÖ ÒÙÓÐØ ÚÒ P Ø QÙÒ Q Ø RÒ ÑÙØØ Ð ÔÖÖ ÒÙÓÐØ P Ø RÒº ÑÖ ÐÙ Ø ÌÖÙ Ð p p ÑÙÓÓ ØÙÙ ØÐÐÒÒ ÙÚ Ð p p ÌÖÙ µ ÄÙ Ø ÓÚØ ÌÖÙ, Ð,p,q, p, q,p q,q p p q µ ÄÙ Ø ÓÚØ ÌÖÙ, Ð,p,q, p, q,p q,p q, p q, p q p q µ ÄÙ Ø ÓÚØ ÌÖÙ, Ð,p,q,p q,p q,p q,q p p q µ ÇÐÓÓØ a,b Z ÐÙ Ø a = a b b a = b a b a > b a b a < b a bº

½ ¾¾º ÇÒ ÒÒØØÙ ØÙÐÙÓØ A[1...n] B[1...n]º ÌÙØ ÔØ ÙÖÚÒ ÐÙ Ò ÚÐÐÐ Ú ÑÒ Ò Ø ØÔÙ ÐÐ n = 0 n = 1 n 2º µ i; 1 i n : A[i] B[i] i; 1 i n : A[i] < B[i]º µ i; 1 i n : A[i] B[i] i; 1 i n : A[i] B[i]º µ i; 1 i n : A[i] B[i] i; 1 i n : A[i] < B[i]º µ i; 1 i n : A[i] < B[i] i; 1 i n : A[i] B[i]º ¾ º ÇÒ ÒÒØØÙ ØÙÐÙÓØ A[1...n] B[1...m]º ÃÖÓØ ÔÖØØ ÓØ ÑÖØØÐÚØ Ù¹ ÖÚØ Øº ÒÒ ÒÐÐ ÒÑØ ÔÖÑØÖغ µ Ì(A[1...n],i,j) : ÌÙÐÙÓÒ A Ó A[i...j] ÓÒ ÔØ ÒÒ Ó ÚÒ Ò Ô¹ Ö Ø ÐÓØ ÖÓÚØ ÚÒØÒ ÖÚÓÒ ¾µ ÚÖÖÒ ØÓ ØÒº ÌÝ Ø ÝÒ ÐÓÒ ÑØØÒÒ Ó ÓÐ ÔØ ÒÒº µ p ÓÒ AÒ Ô ÑÑÒ ÔØ Ò Ó Ò ÔØÙÙ º µ A ÓÒ ÔÑÔ ÔØ ÒÒ Ó ÙÒ BÒ Ô Ò ÔØ ÒÒ Ó ÓÒº µ A ÓÒ k ÔÔÐØØ Ô ÑÔ ÔØ Ó Ò ÓÚØ ÒÒ ÝØÔصº ¾º ÇÒ ÒÒØØÙ ØÙÐÙÓØ A[1...n] B[1...m]º ÃÖÓØ ÔÖØØ ÓØ ÑÖØØÐÚØ Ù¹ ÖÚØ Øº ÒÒ ÒÐÐ ÒÑØ ÔÖÑØÖغ µ ÓÙ (A[1...n],i,j) : ÌÙÐÙÓÒ A Ó A[i...j] ÓÒ ÓÙ Ó ÚÒ Ò Ô¹ Ö Ø ÐÓØ ÓÚØ ÚÙÓÖÓÒÔÖÒ Ó Ø ÙÙÖÑÔ Ø Ó Ø ÔÒÑÔº Ë ÓÓ Ó Ø ÙÙÖÑÔ Ó Ø ÔÒÑÔ Ó Ø ÙÙÖÑÔ Òº Ø Ó Ø Ô¹ ÒÑÔ Ó Ø ÙÙÖÑÔ Ó Ø ÔÒÑÔ Òºº ÇÙ Ó ÓÒ ÚÒØÒ Ò ÑØØÒÒº µ k ÓÒ AÒ ÓÙÒ Ó Ò ÐÙÙÑÖº µ A ÓÒ ÒÑÑÒ ÓÙØ Ó ÙÒ B º µ AÒ Ô Ò ÓÙ Ó ÓÒ ÔÑÔ ÙÒ Ô Ò AÒ Ó Ø ÚÚ Ó º

½ ÌØÚÖÝÑ ¾º ¾º µ ÇÐÓÓÒ A[1...n] ØÙÐÙÓº ÅÖØØÐ ÔÖØØ x ÓÒ ÓÐÐÒÒ ÐÐ ØÙÐÙÓÒ A ÐÓÐк ÒÒ ÔÖØÐÐ ÒÑ ÔÖÑØÖغ µ Ç ÓØ ÔÓ ØÑÐÐ ÚÒØØÓÖ Ø x ; η : ϕ x ; η : ϕ º µ Ç ÓØ i : j : i + j = ij º µ Ç ÓØ P x : Q(x) x : P Q(x) º µ ÒÒ ÑÖ ØÐÒØ Ø Ó y : x : ϕ x : y : ϕ Ôº µ ÇÐÓÓÒ A[1...n] ØÙÐÙÓº ÅÖØØÐ ÔÖØØ Ò ØÙÐÙÓÒ A ÐÓ Ø ÓÐ ÓÐÐÒÒ xððº ÒÒ ÔÖØÐÐ ÒÑ ÔÖÑØÖغ µ Ç ÓØ ÔÓ ØÑÐÐ ÚÒØØÓÖ Ø x ; η γ : ϕ ( x ; η : ϕ) ( x ; γ : ϕ) º µ ÈØ ( x : Q(x)) P x : Q(x) P µ Ç ÓØ x : Q(x) P ( x : Q(x)) P º µ ÒÒ ÑÖ ØÐÒØ Ø Ó x : y : ϕ x : y : ϕ Ôº ¾º ËÚÒÒ ÙÖÚØ ÚØ ÙÒ n = 0, 1, 2º Ø ØÙÐÓ Ø ØÙÐÙÓ Ó ÖÒ ÓÚØ nò ÖÚÓØ ÖÚÐÐ ØØÚÒ ÓØ ÓÐÙ Ý Ò ÚÒ ÚÒÒØØÝ ÑÙÓØÓº µ i ; 1 i n : P(i) P(n) ( ) µ i ; 1 i n : P(i) P(n) µ i ; 1 i n : P(i) P(n) ( ) µ i ; 1 i n : P(i) P(n) µ i ; 1 i n : P(i) P(n) ( ) µ i ; 1 i n : P(i) P(n) µ i ; 1 i n : P(i) P(n) ( ) µ i ; 1 i n : P(i) P(n)

½ ¾º ÃÖ Ö ËÒÖ ÄÓÐ ÔÔÖÓ ØÓ ÖØ ÅØ ÓØØØÒ ÝØØÒ ÑÖÒØ ( x : X R : E ) ØÖÓØØÑÒ ÝÒ ÐÔ X¹ØÝÝÔÔ Ø ÓÐÓØ x ÓÐÐ R ÔØ Ð ØÒ ÙÐÐÒ E Ý ØØÒ ØÙÐÓ Ø Ðк ÐÙ ÒØ Ù ÑÔÒ ÑÙÙØØÙ ÙÒ ÝÒ ÑÒ ØÝÝÔÒ ÒØ ÑÓÒÐÐ ÑÙÙØØÙÐРѺ x : X, y,z : Y µ ØÝÝÔØ ØØ ÔÓ Ó Ò ÓÚØ ÝØÝ Ø ÐÚغ RÒ ØØ ÔÓ Ó ÓÒ ÌÖÙº Ä ÒÝØ ÒÒ Ý ÚÐÚµ ÑØ ÓÒ µ ( + i 0 i < 4 : i 8 ) µ ( i : {0, 1, 2} i + (i + 1) ) Ø ÙÖÚØ Óº ÑÖÒÒÐÐ µ i,j ; 1 i j n : A[i] > 2A[j] º µ i ; 1 i n : A[i] = x j ; 1 j n : i j A[j] A[i] º µ ( i I Ai j I B ) j º µ ÅØ ÓÑÒ ÙÙ ÓÒ ØÖÔÒ Ø ÒÒ Ú Øµ ÚØ ÓÔÖØØÓÖÐØ Êع Ø Ó Ø ÝÒÒº Î ÓÐ Ò ÔÐÐ ÚÒÒÝ Ð Ùº µ Å ÓÒ ÐÙ Ò ( x Ð : x ) ÖÚÓ Ø ÓÒ ÝÚ ÚÐÒØ Ò ÖÚÓ µ ÙÒ ÓÒ + Ø ÒØ Ó ÓÒ ¾º ÇÐÓÓÒ A[1...n] ØÙÐÙÓº ÌÝÒÒ ÙÖÚØ ÚØ ÒÒ ØØ Ò ÔÐÙØØÚØ Ð Ó Ò ÓÒ ØÙÐÙÓÒ ÖÓÒ Óº ÅÙÙ ØÔÙ ÒÒ ÔØ ÔÐÙØØ Ñ ÖÚÓ ÙÒ ÐÙÒÔÖÒÒº ËÚÒÒ Ú ØÙ º µ 10 < A[i] < 20 º µ A[i + 1] + i = A[2i] º µ 2 < A[i] A[A[i] + 1] > A[n A[n i] ] º ÌÝÒÒ ÙÖÚ Ú ÒÒ ØØ ÔÐÙØØ ÌÖÙ Ó Ò ÓÒ ØÙÐÙÓÒ ÖÓÒ Óº ÅÙÙ ØÔÙ Ò ÔØ ÔÐÙØØ Ñ ÖÚÓ ÙÒ ÐÙÒÔÖÒÒº µ A[i 1] = A[A[n i] ] º ¼º ÈØÚØ ÙÖÚØ ÚØ ÂÓÓ Ó ÓØ ÓÙÓ¹ÓÔÒ ÐÓÓ ØÒ ÚÓÒ ÚÙÐÐ Ø ÒÒ Ú Ø ÑÖº ÀÙÓÑ ØØ Ó ÙÒÚÖ ÙÑ ÓÐ ÒÒØØÙ Ø ÚÓ ÝØØ ÓÑÔÐÑÒØØÚÓº µ A (A B) = A µ A B = B (B A) µ (A B) C = (A C) (B C) µ (A B) C = (A C) (B C)

½ ÌØÚÖÝÑ ½º ÌÙÐÙÓÒ ÝØÒ Ø Ó ÓÒ ÐÓØ ÓÚØ ÑÓ ÒÓØÒ ÐÓ º ÅÖع ØÐ ÙÖÚØ ØØغ ÒÒ ÒÐÐ ÒÑØ ÓÔÚØ ÔÖÑØÖغ ÃÝØ ÝÚ Ø ØØÚ ÑÖØØÐÑ ÔÖØغ ÃÒ ÔÝÝØØÝÒ ÚÓÒ ØÙÐ ÓÐРѹ ÖØÐØÝ Ò ÔÖÑØÖÒ ÖÚÓÝ ØÐÑÐк µ ÅÖØØÐ ÔÖØØ Ó ÖØÓÓ ÓÒÓ ØÙÐÙÓÒ A[1...n] Ó Ø j ÐÒ lò ÚÖÖÒ ÔÖØØ ÐÓØ ÑÓº µ ÅÖØØÐ ÔÖØØ Ó ÖØÓÓ ÓÒÓ ØÙÐÙÓ A[1...n] lò ÔØÙ Ø ÐÓغ µ ÅÖØØÐ ÔÖØØ Ó ÖØÓÓ ÓÒÓ p ØÙÐÙÓÒ A[1...n] Ô ÑÑÒ ÐÓÒ ÔØÙÙ º µ ÌÙÐÙÓÒ A[1...n] ÐÓ A[i...j] ÓÒ Ñ ÑÐÒÒ Ó Ø ÚÓ ÐÒØ ÔÑÑ ÐÓ º ÌÙÐÙÓÒ A[1...6] = [0, 3, 3, 3, 2, 2] Ñ ÑÐ Ø Ð¹ ÓØ ÓÚØ A[1...1] A[2...4] A[5...6]º ÅÖØØÐ ÔÖØØ maksimaalinen¹ laakio(a[1...n],i,l) Ó ØÖÓØØ ØØ A[i...i+l 1] ÓÒ A[1...n]Ò Ñ Ñ¹ ÐÒÒ ÐÓº µ ÅÖØØÐ ÙÒØÓ Ó ÔÐÙØØ ØÙÐÙÓÒ A[1...n] Ñ ÑÐ ØÒ ÐÓÒ ÐÙÙÑÖÒº ¾º ÇÒ ÒÒØØÙ ÐÓÐÑØ ÓÓÐ È ÒØ Ü µ ÓÓÐ É ÒØ Ü ÒØ Ý µ ÓØ ÔÐÙع ØÚØ ØÖÙ Ó ÚÒ Ó ÔÖØØ P(x) Q(x,y) ÔØÚغ ÅÝ ÓÒ ÒÒØØÙ ÙÒ¹ ØÓ ÒØ ÒØ Ü µ Ó Ð ÙÒØÓÒ f(x)º ÇÐØØÒ ØØ x {0,...,n 1} y {0,...,n 1}º ËØ Ø ÙÖÚØ ÓÐÑØ ÓÓ ÐÐ Ø Ô ÙÓÓÓÐк µ Ì ÓÐÑ Ó ØÙÐÓ Ø ÓÙÓÒ { x P(x) } ÐÓØ ÙÙÖÙÙ Ö ØÝ º µ Ì ÓÐÑ Ó ØÙÐÓ Ø ÓÙÓÒ { (x,y) Q(x,y) } ÐÓØ Ó Ò Ö ØÝ º µ Ì ÓÐÑ Ó ØÙÐÓ Ø ÓÙÓÒ { f(x) P(x) } ÐÓØ Ó Ò Ö ØÝ º ØØ Ú Ñ ÐÓ ØÙÐÓ ØØØ Ò ÑÓÒØ Öغ µ ÇÐÓÓÒ A = { x P(x) } B = { x y : Q(x,y) }º Ì ÓÐÑ Ó ØÙÐÓ Ø ÓÙÓÒ A B ÐÓØ ÙÙÖÙÙ Ö ØÝ º º A B ÓÚØ ÖÐÐ ÓÙÓº ÈÖÙ ØÐ Ú ØÙ º µ Å {x 1,x 2,...,x n } n... = n µ ÅÐÐ nò ÖÚÓÐÐ ÚÖÑ Ø {x 1,x 2,...,x n } = n µ ÁÐÑ A B ÐÙÙÒ A B A B ÚÙÐк µ ÇÐÓÓÒ A Bº ÅØ ÔØ ÐÙÚÙÐÐ A B º ÒØ ÔÐÓÒÓ ÓÚØ A B A B A B B A A B µ ÃÖÓØ Ù ÓÙÓØ {, {a},a } { } 2 2,{a},a µ ÅØ ÓÒ A 2 2 A µ ÈÐÓÒÓ ÓÚØ A n 2 A Î ØÓ µ¹óò Ú ØÙ ØØ ØÙÐÓ Ø

¾¼ º ÂÓÙÓÐÐ ÝØØÒ Ù Ò ÙÖÚÒ ØÔ ÑÖÒØ {x P(x)} {x A P(x)} {f(x) P(x)}º µ Ö Ò ËÒÖÒ Ö ÝØØÒ ÓÙÓÐÐ ÑÖÒØ { x : X R : E } Ø Ó ØØÚ ¾µº Ø ÝѺ ÓÙÓØ Ðк X R E ÓÚØ ÙØÒ ØØÚ ¾º µ ÅØÒ ÝѺ ÓÙÓØ µ¹óò ÑÖÒØØÔ ÚÓÒ ØØ ØØÚÒ ¾ ÑÖÒ¹ ÒÐÐ µ ÅØÒ ÓÙÓØ {x A P(x)} {f(x) P(x)} { x : X R : E } ÚÓÒ ØØ ÑÖÒÒÐÐ {x P(x)} ÒÒ Ú ØÙ ØÙÐÙÓÒ Ó ÖÚÓØ ÓÒ ÓÚØ ØØØÚØ ÓÙÓØ ÖÓØ ÓÒ ÓØ µ µ µ ÓÐÙ Óº Ú ØÙ º º ÃÖÓØ Ù ÓÙÓØ µ {2} 2 µ 2 {2} µ {2 2 } µ {2 22 } µ {(2 2 ) 2 } µ {2 2 } 2 µ {2} 22 µ ({2} 2 ) 2 µ 2 {22 } µ 2 {2}2 µ (2 {2})2 е 2 2{2} º ÅÖØØÐ ÙÖÚØ ÓÙÓغ Ø ÓÐÐ ÙÙ ÑÓ Ò ÚÙÐк µ ÂÓÙÓÒ ÐÓØ ÓÚØ ÐÙÐÙÚÙØ Ø º Ò ÓÚØ ÖÚÓÐØÒ ÚÒØÒ ¾ ÓÐÐ ÚÒ ½ÐÐ Ø ÐÐÒº µ ÂÓÙÓÒ ÐÓØ ÓÚØ ÓÙÓ Ø A ÔÓÑØØÙÒ Ò Ö ÐÓÒ ÙÑÑغ µ ÂÓÙÓÒ A i ÐÓØ ÓÚØ ÐÙÙÔÖº ÈÖÒ Ò ÑÑÒÒ ÐÙÙ ÓÒ ÔÓ ØÚÒÒ Ô¹ ÒÑÔ ÙÒ ÔÖÒ ØÓÒÒ ÐÙÙ Ó ÓÒ ÔÖØÓÒ ÔÒÑÔ ÙÒ iº µ ÇÐÓÓÒ a,b,c,x Cº ÂÓÙÓÒ ÐÓØ ÓÚØ ÝØÐÒ ax 4 + bx 2 + c = 0 ÙÙÖغ µ ÇÐÓÓÒ a,b,c,x Rº ÂÓÙÓÒ ÐÓØ ÓÚØ ÝØÐÒ a 1 x 2 + a 2 x + a 3 = 0 ÖÐÙÙÖØÒ ÓÙÓØ ÙÒ ÖØÓÑØ a 1 a 2 a 3 ÚÐØÒ ÓÙÓ Ø {a,b,c}º ÀÙÓÑ ØØ ÔÝݹ ØÝÒ ÓÙÓÒ ÐÓØ ÓÚØ ÓÙÓº ÌÑÒ ÓÒ Ú ØÙ ØÖÚØ ÓÐÐ ØÝ Ò ÓÒº

¾½ ÌØÚÖÝÑ º ÇÒ ÒÒØØÙ ÐÙ Ø ½ : i ; 1 i n : A[i] = x ½ : i ; 1 i n : A[i] = x ¾ : i ; 1 i < n : A[i] = x ¾ : i ; 1 i < n : A[i] = x : i ; 1 i n : A[i] x : i ; 1 i n : A[i] x : i ; 1 i n : A[i] < x : i ; 1 i n : A[i] < xº ÈÖÖ ÐÙ Ø ÌÖÙ, Ð, ½, ¾,,, ½, ¾, ØØÚÒ ¾½ ÑÙÒÒ ÙÚ Ð ÐÙ Ø ÓÚØ ÓÐÑÙ ÓÒ ÚÐ ÓÒ ÑÒÑÑÖ ÒÙÓÐ ÓØ ÙÚÚØ ÐÙ ¹ Ò ÚÐ Ø ÑÔÐØÓ¹ ÙØغ ÈÖÖ ÙÚØ ÙÖÚ Ø ØÔÙ Ø µ n 2 µ n 1 µ n 0º Ì ÒÒ ÓØ µº º ÃÖÓØ ØÐÔÖØØ ÓØ ÑÖØØÐÚØ ÙÖÚØ Øº µ Ý ÒÓÐÐ(A[1...n],B[1...m]) : A ÓÒ Ø Ò Ý ÝÒ ÙÙÖÙÒÒ ÐÓ B ÓÐ Ø Ò ÝØ ÒÓÐÐÒ ÙÙÖÙ Ø ÐÓغ µ ÙÑÑÐÑ(A[1...n],a,B[1...m],b) : B ÓÒ ÐÓØ b ÝØ ÑÓÒØ ÔÔÐØØ ÙÒ AÒ ÐÓÒ a ÝØÒÐ ØØÙ ÙÑÑ ÓÒº µ ÒÖÑÑ(A[1...n],B[1...m]) : B ÓÒ Ø ÑÐÐÒ ÑØ ÐÓØ ÙÒ A ÑÙØØ Ö Ö ØÝ º ÒÒ ÑÖ ÔÒÑÑ Ø ÑÓÐÐ Ø ÒÖÑÑ Øº µ samatsummat(a[1...n]) : AÒ ÔÖØØÓÑ Ò ÓÐÚÒ ÐÓÒ ÙÑÑ ÓÒ Ñ ÙÒ ÔÖÐÐ ÐÓ ÓÐÚÒ ÐÓÒ ÙÑѺ Ì ØØÚ ÒÓÐÐÒ ¼µ ÐÓÒ ÙÑÑ ÓÐ ÑÖØÐØݺ º ÇÒ ÒÒØØÙ ØÙÐÙÓ A[1...n]º ÅÖØØÐ ÙÖÚØ ØØØ ÒÒ ÒÐÐ ÐÝÝØ ÒÑ ÔÖÑØÖغ µ ÙÒØÓ Ø Ó ÓØØ ÔÖÑØÖ Ò ØÙÐÙÓÒ A ØÙÓØØ ÓÙÓÒ ÓÒ ÐÓØ ÓÚØ AÒ ÐÓغ µ ÂÓÙÓ Ó ÓÚØ AÒ ÓÐÑÐÐ µ ÓÐÐ Ø ÐÓغ µ ÙÒØÓ Ó ÔÐÙØØ AÒ ÓÐÑÐÐ µ ÓÐÐ ØÒ ÔÖÐÐ ØÒ ÐÓÒ ÐÙÙÑÖÒº µ ÂÓÙÓ ÓÒ ÐÓØ ÓÚØ AÒ ÓÐÑÐÐ ÓÐÐ ØÒ Ö ÐÓÒ ÔÖÒ ÙÑÑغ ¼º ÅÖØØÐ ÙÖÚØ ÔÖØØ Ø ØØØ ÒÒ ÒÐÐ ÐÝÝØ ÒÑ ÔÖÑØÖغ µ ÈÖØØ ÂÓÙÓ A ÓÐ ÔÒÒØ ÐÓغ ÒÒ ÑÖ ØÐÐ Ø ÓÙÓ Øº µ ÈÖØØ ÂÓÙÓ A ÓÐ ÔÒÒØ ÐÓØ ÑÙØØ ÓÒ ÙÙÖÒ ÐÓº ÒÒ ¹ ÑÖ ØÐÐ Ø ÓÙÓ Øº µ ÈÖØØ ÂÓÙÓ A ÓÒ ÖÐÐÒÒ Ò ÐÓÒ ÙÑÑ ÓÒ ÔÒÑÔ ÙÒ Ò ÐÓÒ ÑÖº µ ÂÓÙÓ ÓÒ ÐÓØ ÓÚØ ÓÙÓÒ A Ö ÐÓ Ø ÑÙÓÓ ØØØÙ ÔÖ A ÓÒ ÐÓ Ó ÓÒ ÖÚÓÐØÒ Ó Ø ÒÒ ÚÐ º

¾¾ ½º ÌÝØ { ØÐÔÖØÐк }Ø ÓÐÑÒ ØÓÑÒØ ÑÓÐÐ ÑÑÒ ÝÚÒ ÙÚÚÐÐ µ ½ ß x = 0 Ð ¾ x { := x + 1 } x { := x y } µ A[1...n] ÓÒ Òغ ½ ß n 1 Ð ¾ i := 1 S := 0 ß 1 = i n S = 0 = i 1 j=1 A[j] Ð ÛÐ { i n Ó } ½¼ ½½ ½¾ S := S + A[i] ß 1 i n S = i j=1 A[j] Ð i { := i + 1 } Ò { ÛÐ ß S = n j=1 A[j] Ð S = i 1 j=1 A[j] } µ ÇÒ ÑÖØÐØÝ Q(A[1...n]) : i,j ; 1 i < j n : A[i] A[j]º ÃÖÖÓ ÒÐÐ Ø ÑØ Q ØÖÓØغ x ÓÒ ÒØ ½ ß n 0 Q(A[1...n]) Ð ¾ A[n + 1] := x i := 1 ß 1 i n + 1 Q(A[1...n]) A[n + 1] = x j ; 1 j < i : A[j] x Ð ÛÐ { A[i] x Ó } ½¼ ½½ ½¾ ½ ½ ½ ½ i { := i + 1 } Ò ÛÐ ß 1 i n + 1 Q(A[1...n]) A[n + 1] = x A[i] = x j ; 1 j < i : A[j] x Ð i = n + 1 ØÒ ß 1 i = n + 1 Q(A[1...n + 1]) A[i] = x j ; 1 j < i : A[j] x Ð n { := n + 1 } Ò { } ß Q(A[1...n]) i ; 1 i n : A[i] = x Ð

¾ ¾º ÌÝØ { ØÐÔÖØÐк }Ø ÓÐÑÒ ØÓÑÒØ ÑÓÐÐ ÑÑÒ ÝÚÒ ÙÚÚÐÐ µ ½ ß x = x 0 Ð ¾ x { < 0 ØÒ } x { := x } Ò { } ß x = x 0 Ð µ A[1...n] ÓÒ Òغ ½ ß j; 1 j n : A[j] = x Ð ¾ i := 1 ß 1 = i n ( j ; 1 j < i : A[j] x) j ;i j n : A[j] = x Ð ÛÐ { A[i] x Ó } i { := i + 1 } Ò ÛÐ ß 1 i n ( j ; 1 j < i : A[j] x) x = A[i] Ð µ ÇÒ ÑÖØÐØÝ R(A[1...n],B[1...n]) : i ; 1 i n : A[i] = i k=1 B[k]º ÃÖÖÓ ÒÐÐ Ø ÑØ R ØÖÓØغ ½ ß n 1 A[1...n] = A 0 Ð ¾ i := 2 ß 2 = i n + 1 R(A[1...i 1],A 0 [1...i 1]) j ;i j n : A[j] = A 0 [j] Ð ÛÐ { i n Ó } A[i] = A[i] + A[i 1] ß 2 i n R(A[1...i],A 0 [1...i]) j ;i < j n : A[j] = A 0 [j] Ð i { := i + 1 } ½¼ ½½ ½¾ Ò { ÛÐ } ß R(A[1...n],A 0 [1...n]) Ð

¾ ÌØÚÖÝÑ º ÄÙØØÐ ÙÖÚ Ø ÚÔØ ÓØÙØ ÑÙÙØØÙغ P Q R ÓÚØ ÔÖØØ ÝÑÓÐ ÚØ ÑÙÙØØÙº µ 2 i j 1 j n µ x A : y A : y < x µ i ; 1 i n : A[i] = x j ; 1 j n : j i A[i] A[j] µ P(x) ( x : Q(x,y)) y : R(x,y) n n i+1 ( µ i + j ) i=1 µ i I j=i { j k I : i < j < k } º ÌÙÒÒ Ø ÙÖÚ Ø ÓÐÑ Ø Ô ØÓ Ø ÒØØ ÑÙÙØØÙØ ØÚÐÐ Ø ÑÙÙع ØÙØ ÝØÑÙÙØØÙØ ØÙÐÓ ÑÙÙØØÙØ ÔÙÑÙÙØØÙØ ÑÙÑÙÙØØÙØ ÓØÙØ ÑÙÙØØÙ¹ Ø ÚÔØ ÑÙÙØØÙغ ÒÒÒ Ú ØÙ ØÙÐÙÓÒ Ñ ÖÚÒ ÓÚØ ÑÙÙØØÙÒ ÐÙÓØØÐÙØ ÖÒ Ó ØØÚØ ÓÐÙ ÖÒ ÑÙ Ò Ó ØØÚÒ ÖÚÒ ÐÙÓ¹ ØØÐÙ Ú ØÚØ ÑÙÙØØÙغ ÀÙÓÑ ØØ ÚÔ Ø ÓØÙ Ø ÑÙÙØØÙ Ø ÔÙÙØÒ ÚÓØ Øº µ ½ ß x = x 0 y = y 0 Ð ¾ t x x y y t ß x = y 0 y = x 0 Ð µ ½ ß i; 1 i n 1 : A[i] A[i + 1] Ð ¾ a 1 y n + 1 ÛÐ a < y Ó v a+y 2 A[v] < ÚÒ ØÒ a v + 1 Ð y v Ò ÒÛÐ ß (a = n + 1 A[a] avain) (a = 1 A[a 1] < avain) Ð µ ½ ß i; 1 i n : A[i] = A 0 [i] Ð ¾ ÓÖ i 2 ØÓ n Ó A[i] A[i 1] ÒÓÖ ß i; 1 i n : A[i] = i j=1 A 0[j] Ð µ A[1...n] ÓÒ Òغ ½ ß j; 1 j n : A[j] = x Ð ¾ i := 1 ÛÐ A[i] x Ó ß 1 i < n ( j ; 1 j i : A[j] x) j ;i < j n : A[j] = x Ð i := i + 1 Ò ÛÐ ß 1 i n ( j ; 1 j < i : A[j] x) x = A[i] Ð

¾ º ÇÒ ÒÒØØÙ ÙÖÚØ Ô ØÓØ ½º ÑÙÙØØÙ x ÓÒ ÒØ ß P Ð Ó ß Q Ð ¾º ÑÙÙØØÙ x ÓÒ ØÚÐÐÒÒ ß P x = x 0 Ð Ó ß Q x = x 0 Ð º ÑÙÙØØÙ x ÓÒ ÒØ P Ó Q º ÑÙÙØØÙ x ÓÒ ØÚÐÐÒÒ P x = x 0 Ó Q x = x 0 µ ÅØ ÒÑ Ô ØÓØ ÚØÚØ ÓÐÑÐØ µ ÄØ ÒÑ Ô ØÓØ Ö ØÝ Ò ÒÒ ØØ ÓÑÔ ÓÒ ÒÒÒ ÚÚÑÔº ÎÖØ ØØÚÒ ¾½º º ÇÒ ÒÒØØÙ ÙÖÚØ Ô ØÓØ ½º ß ÌÖÙ Ð Ó ß x = 0 Ð ¾º ß Ð Ð Ó ß x = 0 Ð º ÌÖÙ Ó x = 0 º Ð Ó x = 0 º ß ÌÖÙ Ð Ó ß ÌÖÙ Ð º ß ÌÖÙ Ð Ó ß Ð Ð º ÌÖÙ Ó ÌÖÙ º ÌÖÙ Ó Ð µ ÅØ ÒÑ Ô ØÓØ ÚØÚØ ÓÐÑÐØ µ ÄØ ÒÑ Ô ØÓØ Ö ØÝ Ò ÒÒ ØØ ÓÑÔ ÓÒ ÒÒÒ ÚÚÑÔº ÎÖØ ØØÚÒ ¾½ º º ÀÖÓØÐÐÒ Ô ØÓÒ ÖÓØØÑ Øº µ ÒÒ Ô ØÓ Ð ÐÙØÓ ÐÓÔÔÙØÓ ÓÐÑÐÐ Ó ØÙÐÙÓ Ø ÐÓÒ ÓÒ ÐÙÚØÒ ÓÐÚÒ ØÙÐÙÓ º ÃÙØÒ ÙÖÚ Ø Ó Ø ÐÑÒ ÒÙÒ ØÙÐ ÔØØ ÙÒ ÓÐÑ ÔÐÙØØ ØÙÐÓ Ø Ð Ø ØØÚÒ ÐÓÒº µ ÃÙÒ Ô ØÓ Ø ÒÝÝ ÙÒ ÓÐÑ ÔÐÙØØ ØÙÐÓ Ø µ ÃÙÒ ÓÐÑÒ ØÙÐ ÝØØÝØÝ Ó ÐÓ ÓÐ ØÙÐÙÓ µ ÒØ Ó ÓÒ ÐÐ ÑÓÒØ ÖØ º ÒÒ Ô ØÓØ ÙÖÚÐÐ ÓÐÑÐÐ µ ÓÓÐÒ¹ØÝÝÔÔÒÒ ÑÙÙØØÙ ÖÚÓÒ ÌÖÙ Ó ÚÒ Ó ÝØØÙÐÙÓÐÐ A[1...n] B[1...m] ÔØ ØØ B ÓÒ AÒ Ó ÒÒ Øº µ ÇÐÑ ÒÓÐÐ ØÙÐÙÓÒ A[1...n] Ò ÐÓØ ÓÒ ÖÚÓ ÓÐ ÚÐÐÐ a...bº µ ÇÐÑ ÒÓÙ ÚÒ Ö ØÝ Ò ÐØÐÐÙØ ØÙÐÙÓØ A[1...n] B[1...m] ØÙÓØØ ÒÓÙ Ú Ö ØÝ ÓÐÚÒ ØÙÐÙÓÒ Ó ÓÚØ Ø ÑÐÐÒ AÒ BÒ ÐÓØ ÑÖ¹ÓÔÖØÓÒº µ ÌÙÐÙÓÒ A[1...n] Ó A[a...y] ÓÒ ÐÓÚ Ø Ð Ú Ó Ò ÐÐ ÓÒÒ ÔØ Ò ÑÑÒÒµ ÐÓ ÓÒ ÝØ ÙÙÖ Ø ÓÖÒØÒ Ò ¾µ ÚÖÖÒ ÙÙÖÑÔ ÙÒ ÐØÚ ÐÓº ÇÐÑÒ ØÙÐ Ø aðð yðð ÐÐ Ø ÖÚÓØ ØØ ÝØØÙ¹ ÐÙÓÒ A[1...n] Ó A[a...y] ÓÒ ÑÓÐÐ ÑÑÒ ÔØ ÐÓÚ Ø Ð Úº

¾ ÌØÚÖÝÑ º Ã Ø ÙÙÒÒØØÙ Ö ÑÖØÐÐÒ ÔÖÒ (V,E) Ñ V ÓÒ ÓÐÑÙÒ ÓÙÓ E ÓÒ ÖÒ ÓÙÓ E V V º ÃÖ ÓÒ Ò ÓÐÑÙÒ ÑÙÓÓ ØÑ ÔÖ (alkusolmu,loppusolmu)º ËÙÙÒÒØØÙ Ö ÔÖÖØÒ ÔÖØÑÐÐ ÝÑÔÝÖØ ÓÐÑÙ ÚØÑÐÐ ÒÙÓÐ ÙÒÒ ÖÒ ÐÙ ÓÐÑÙ Ø ÐÓÔÔÙ ÓÐÑÙÙÒº ËÓÐÑÙÒ ÒÑ ÖÓØØÒ Óй ÑÙÒ ÚÖÒº µ ÈÖÖ ÙÙÒÒØØÙ Ö ( {1, 2, 3, 4, 5}, {(1, 4), (1, 5), (2, 3), (5, 5), (3, 2), (5, 2), (3, 4), (2, 3)} ) º µ ÈÖÖ ÙÙÒÒØØÙ Ö ({ i ÑÓ n i N }, { (i ÑÓ n,j ÑÓ n) i N j N (i ÑÓ 3 = 0 j ÑÓ 3 = 1 i ÑÓ 3 = 2 j ÑÓ 3 = 0 i ÑÓ 3 = 1 j ÑÓ 3 = 1) }) ÙÒ n = 5º ¼º ËÐÓ Ø ÐÐ ÑÖØÐØÝÒ ØØÒ ÒØÙØÚÒÒ ÑÖØÝ ÒÒ ÒÐÐ ÙÙØ ÙÚ¹ ÚÑÑØ ÒÑغ à ØØØ ÐØØÝÚØ ÙÙÒÒØØÙÙÒ ÖÒ (V,E)º µ A V ÓÒ ÐÙÔ Ù Ó ÚÒ Ó u A : v A : u v v u u A : v V A : (u v) (v u) µ ÄÙÔ Ù A ÓÒ ÖØØÒÒ Ó ÚÒ Ó µ ÄÙÔ Ù A ÓÒ ÔÒ Ó ÚÒ Ó u A : v V : (u,v) E v A u A : v A : (u,v) E µ ÈÖÖ ÑÖ ½º ÔÒ Ø ÖØØ Ø ¾º ÔÒ Ø ÔÖØØ Ø º ÔÔÒ¹ Ø ÖØØ Ø º ÔÔÒ Ø ÔÖØØ Ø ÐÙÔ Ù Ø Ó ÐÐÒÒ ÓÒ ÓÐÑ º ½º ÇÐÓÓÒ G = (V,E) ÙÙÒÒØØÙ Öº ËÙÖÚ ÓÔÖØÓ ØÙÓØØ ÑÙÙØÒ ÑÒÐ Ò ÖÒ ÑÙØØ Ó ÓÒ ÓÒ ÙÙ ÓÐÑÙ Ø Ø ÙÙ Ø ÓÐÑÙ Ø ÓÒ Ö Ò ÑÙÒ ÓÐÑÙÒ Ð (G) := (V,E ) Ñ V = V {v} v / V E = E ({v} V )º ÅÖØØÐ ÙÖÚØ ÓÔÖØÓØ Ø ØØغ ÒÒ ÒÐÐ ÐÝÝØ ÒÑ ÔÖÑØÖغ µ ÇÔÖØÓ Ó Ð ÙÙÒÒØØÙÙÒ ÖÒ ÓÐÑÙÒ v ÖØ ØÒ ØØ v Ø Ø Ò Ø ÓÐÑÙ Ø Ó Ø ÐØÒÝØ Ö ÐØ ÒÝØ Ö ÓÐÑÙÙÒ vº µ ÇÔÖØÓ Ó ÓØØ ÔÖÑØÖ Ò ÙÙÒÒØÙÒ ÖÒ ÓÙÓÒ W ÓÐÑÙ Óع ÚØ ÚÐØØÑØØ ÓÐ Óº ÖÒ ÓÐÑÙµ ÔÓ Ø Ö Ø Ö ØÒ ØØ W Ò ÙÙÐÙÚ Ø ÓÐÑÙ Ø ÐØ Ö ÚÒ W Ò ÙÙÐÙÚÒ ÓÐÑÙÒ Ò Ø ÓÐÑÙ Ø ÓØ ÚØ ÙÙÐÙ W Ò ÐØ Ö ÚÒ ÒÒ ÓÐÑÙÒ ÓØ ÚØ ÙÙÐÙ W Òº ÅÙÙØÒ ÐÙÔÖ Ø ÖØ ÐÝÚغ µ ÈÖØØ Ó ÖØÓÓ ÓÒÓ ÒÒØØÙ ÙÙÒÒØØÙ Ö ÑÐÒ Ó ÒÒ ØÒ ØØ Ò ÓÐÑÙØ ÙØÙÚØ ØÒ ÖÐÐ Ò ÓÙÓÓÒ ÒÒ ØØ ÑÙØ Ö ÙÒ ÔÐÐ ÐÑÙÓØ ÓÐ ÑÒ ÓÙÓÒ ÓÐÑÙÒ ÚÐÐк

¾ ¾º ÈÖÖ ÐÙ ÔÙÙغ ÌÙÐØ ÚÒØØÓÖØ ÓÔÖØØÓÖ ÔÐ Ó Ô ØÒÓØØÓ Óع Ø ÔÖÑØÖ ÔÙÓÐÔ ØÒÓØØÓ ÓÐÑ ÔÖÑØÖº r ÓÒ ÙÒØÓ Ó ÓØØ ÔÖÑØÖ Ò ÑÖÓÒÓÒ ÔÐÙØØ ÑÖÓÒÓÒº µ 1 x x x 1 µ r(αβ) = r(β)r(α)º µ ÓÖ i := k 1 ØÓ n + k 1 Ó A[i] 0 ØÒ A[i] := A[i 1] + 1 Ð A[i] := 0 Ò ÒÓÖ µ i : 1 i i n A[i] = x j ; 1 j j n j i : A[j] A[i] º ÇÐÓÓÒ Σ ÓÙÓ ÑÖ a Σ α,β,γ Σ º Ä ÓÒ ÒÒØØÙ ÚØ ε ÓÒ ØÝ ÑÖÓÒÓ ÓÐÐ ÔØ ½µ εα = α ¾µ αε = αº ÅÖÓÒÓÐÐ ÔØ ÐØÒÒ ÝÝ Ð µ (αβ)γ = α(βγ)º ÅÖØÐÐÒ ÙÒØÓ ÖÚÖ r : Σ Σ ÙÖÚ Ø µ r(ε) = ε µ r(αa) = a r(α)º ÆÝØ ÚÓÒ Ó ÓØØ µ r(a) = a ÙÖÚ Ø r(a) 1 = r(εa) 5 = a r(ε) 4 = aε 2 = aº Ç ÓØ ÝØØÒ ÚÓ ½µ¹ µ ÒÙØÓ¹ÓÐØÙ Ø Óµ ØØ µ r(αβ) = r(β)r(α)º ÅÖ¹ Ø ÝØØÑ Ú Ø ÒÙØÓ¹ÓÐØÙ ¹ÑÖÒ ÝÐÔÙÓÐÐÐ ÝÓº ÑÖÒ Ñ٠غ ÁÈ r(αε)? =...? = r(ε)r(α)º ÁÇ r(αβ) = r(β)r(α) Ñ β 0º Á r(α(βa))? =...º º ÇÐØØÒ ØØÚÒ ØØØ ÚØ ÒÒØÙ º ÎÓØ Ø ØÑÒ ØØÚÒ Ú Ø ÓÐ Ò ÖØ ÙØ ØØÚ ºµ ÒÒØÒ ÚÐ ÚØ µ α 0 = ε µ α k = α k 1 α ½¼µ α k = αα k 1 ÙÒ k 0º Ç ÓØ ÝØØÒ ÚÓ ½µ¹ ½¼µ ØÑÒ ØØÚÒ ÒÙØÓ¹ÓÐØÙ Ø ØØ ½½µ r(α n ) = r(α) n ÙÒ n 0º ÁÈ ÁÇ Á

¾ ÌØÚÖÝÑ ½¼ º ÇÐØØÒ ØØÚÒ ØØØ ÚØ ÒÒØÙ º ÎÓØ Ø ØÑÒ Øع ÚÒ Ú Ø ÓÐ Ò ÖØ ÙØ Óº ØØÚºµ ÅÖØÐÐÒ ÖÐÐ Ò ÑÖÓÒÓÒ a 1 a n ÔØÙÙ a 1 a n ÙÖÚ Ø ½¾µ ε = 0 ½ µ a 1 a n = a 1 a n 1 + 1 ÙÒ n 1º Ç ÓØ ÝØØÒ ÚÓ ½µ¹ ½ µ ÒÙØÓØ ØÙØØÙ ÓÓÒ ÐÙÙÒ ÝØÒÐ ÙÒ ÓÑÒ ÙÙ ØØ Ó α,β Σ ÒÒ ½µ αβ = α + β º º ÒÒ Ô ØÓØ ÙÖÚÐÐ ØØÚÐк µ Ø ÙÙÖÑÑÒ ÐÓÒ Ô ØÙÐÙÓ A[1...n]º µ Ø xðð ØÙÐÙÓÒ A[1...n] ÙÙÖÒ ÖÚÓº µ Ø Ò ÑÑÒÒ Ô Ó ÓÒ ØÙÐÙÓÒ A[1...n] ÙÙÖÒ ÐÓº µ ÎÑ Ò ÓÒ Ó ØÙÐÙÓ A[1...n] ÓÒ ÙÙÖÒ ÖÚÓ ÖÚÓ ØØÒ xº º ÇÐØ ÑÖØØÐÑ ÓÑÒØÓÖÚØÓÖ ØØÚ ÓÒ Ø Ô ØÓØ ÙÖÚÐÐ ÙÒØÓÐÐ ÓÐÑÒ ÔØÐеº ÀÙÓÑ ØØ ØÝ ÑÖÓÒÓ ÓÒ ÐÐÐÒÒ Ýغ Ì ØÖÚØØ ÔÙÔÖØØ»Ø ¹ÙÒØÓغ µ ÇÐÑ ÔÖÑØÖÒÒ ÖÐÐ Ò ÑÖÓÒÓÒ ÔÐÙØØ ÑÙÙØÒ ÑÒÐ Ò ÑÖÓÒÓÒ ÑÙØØ ÐÙ Ø ÐÓÔÙ Ø ÓÒ ÔÓ ØØØÙ ÚÐÐÝÒÒØ ÚÓØ ÑÖØ ÚÐÐÝÒØ b Ðе ÐÐ ÓÐÚ ØÒ ØØ ÔÖ Ø ÚÐÐÝÒÒ Ø Ø Ò Ý ØØÒº µ ÇÐÑ ÔÖÑØÖ Ò µ¹óò ØÙÓØØÑÒ ÑÖÓÒÓÒ ØÙÓØØ ØÙÐÙÓ A P º ÌØÚÒ ÓÒ ÔÐÓ ÝØ ÑÓÐÐ ÑÑÒ ÔØÒ ÑÖ¹ ÓÒÓÒ ØÒ ØØ Ò ÓÐ ÚÐÐÝÒغ ÃÙÒ i Ò Ó Ó ÒÒ A[i] ÓÒ ØØÓ Ñ Ø ÓÒ ÔÖÑØÖ Ð i ØÐÐÒÒ ÑÖÓÒÓ P[i] Óº ÑÖ¹ ÓÒÓÒ ÔØÙÙ º º ÈÖÖ ÐÙ Ò 1 + 2 3 + 4 ÐÙ ÔÙÙ Ð Ò ÖÚÓ ÙÒ + ÓÒ ÒܹÓÔÖØØÓÖ ÔÖܹ ØØ ÒܹÓÔÖØØÓÖ ÑÙØØ ÒܹÓÔÖØØÓÖÐÐ ÔØ µ + ØÓÚØ ÝØ ÚÓÑ Ø µ + ØÓÓ ÚÓÑÑÑÒ ÙÒ µ ØÓÓ ÚÓÑÑÑÒ ÙÒ + µ Ì ÓØ µ µ ÑÝ ÐÙ ÐÐ 1 + (2 3) + 4º

¾ º ÇÒ ÒÒØØÙ ÓÒÒ Dº D c b q 0 a q 1 b q 2 c q 3 c q 4 a b a µ ÄÙØØÐ DÒ Q Σ δ ˆq F º δ ÐÒ ØÚÒØ ÐÑ Ø ØÙÐÙÓÒ ÓÒ ÖÚ Ò ÓÚØ ØÐØ ÖØ Ó Øº µ ÃÙÙÐÙÙÓ ε L(D) µ ÒØ abc L(D) µ Å ÓÒ ÐÝÒ DÒ ÝÚ ÝÑ ÑÖÓÒÓ Ó ÓÒ ÑÖ c µ ÎÓÓ D ÝÚ Ý ÑÖÓÒÓÒ Ó ÓÒ aø ÔÖÒ µ ÎÓÓ D ÝÚ Ý ÑÖÓÒÓÒ Ó ÓÒ bø ÔÖÒ ÅÙ Ø ÔÖÙ ØÐÐ Ú ØÙ º ¼º ÅØ ÙÖÚ Ø Ó Ø ÚØ ÓÐ ÒÒÐÐ ÐÙ Ø Ø Ò ÒÒÐÐ Ò ÐÙ Ò ÔÖÖ Ø ÓØ ÝÚ ÝÚØ Ý Ø Ðغ µ abbac µ (a b) 2 b (b c) µ (a c ) 2 bc 3 a µ a + b c + µ a + (a b c) b µ (a + ) +

¼ ÌØÚÖÝÑ ½½ ½º ÈÐÓÒÓ ÓÒ ÙÖÚÒ ÒÒÐÐ ØÒ ÐÙ Ò Ø ÒØ Ú ØÚÒ ÒÒÐÐ ØÒ ÐÙ Ò ÔØÙÙغ ÒÒ Ð ÑÖÓÒÓÒ r ÔØÙÙÐÐ ÐÖ ÝÐÖ ÙÒ ÙÙÐÙÙ Óº ÓØÒ ÑÖØØÐÑÒ ÐÒº µ a µ a 0 µ ε µ a aa aaa µ aa µ a + µ (a a) + b + µ a(a b) 5 µ (a(ab c) 3 ) 2 ¾º ÈÖÖ Ø ÓØ ÝÚ ÝÚØ ÙÖÚØ ÐØ ÖÓØ ÓØ µ µ µ Ú ØÚØ ÒÒÐÐ Ø Ð٠غ ÌÖÔØØÓÑ ØÙÒÓÐÐ ÝÚ Ýغ µ ÔÖØØÓÑØ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ¾¹Ö ØÐÑ µ ÐÐ ÓÐÐ Ø ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ¾¹Ö ØÐÑ µ ÔÖÐÐ Ø ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ½¼¹Ö ØÐÑ µ ÓÐÑÐÐ ÓÐÐ Ø ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ½¼¹Ö ØÐÑ º º ÅÙÓÓ Ø ÙÖÚÐÐ ÐÐ Ú ØÚÒ ÐÒ ÑÖØØÐÚØ ÒÒÐÐ Ø ÐÙ Ø Ú¹ ØØÒ ÒÒÙÒ ÔÖÙÙ ÐÙÚÙ º ÔØÖÑÒ Ø Ø ÖÐÐ Ø ÙØÓÑØØ ÒÙÚÓ¹ ØÒº ÎÐÑ ØÙÙ ÒÝØØÑÒ ØÙÐÙÐÐ ÒÑ Úغ D 1 a D 2 a D 3 a b a a b b a b

½ º ÅÙÓÓ Ø ÙÖÚÐÐ ÐÐ Ú ØÚÒ ÐÒ ÑÖØØÐÚØ ÒÒÐÐ Ø ÐÙ Ø Ú¹ ØØÒ ÒÒÙÒ ÔÖÙÙ ÐÙÚÙ º ÔØÖÑÒ Ø Ø ÖÐÐ Ø ÙØÓÑØØ ÒÙÚÓ¹ ØÒº ÎÐÑ ØÙÙ ÒÝØØÑÒ ØÙÐÙÐÐ ÒÑ Úغ ÎÖØ ØØÚÒ º D 4 a D 5 a a a D 6 a a a b b b b º ÅÖØØÐ ÓÔÖØÓ ÒÐ Ó ÔÓ Ø Ø ÑÓÐÐ ÑÑÒ ÑÓÒØ ØÐ ØÒ ØØ ÝÚ ÝØØÝ Ð ÑÙÙØÙº ÎÓØ ÓÐØØ ØØ ÓÐ ÚÙØØÑØØÓÑ ØÐÓº ÅØ ÓÔÖØÓ Ø Ó ÐÓÔÔÙØÐÓÒ ÓÙÓ ÓÒ ØÝ ÅÙ Ø ØÖ Ø ØØ ÐÓÔÔÙØÙÐÓ ÓÒ º º ÈÖÖ Ø ÓØ ÝÚ ÝÚØ ÙÖÚØ ÐØ µ (0 1) 101100º ÃÖÖÓ ÒÐÐ Ø ÐÒ ÒØÙØÚÒÒ ÑÖØÝ º µ ÂÓ Ò ÓÒ ÝØØØ ÓÒ ÑÖÓÒÓ 101100º µ ËÝØØ ÓÐ ÑÖÓÒÓ 101100º µ ÅÖÓÒÓ 101100 ÒØÝÝ ÝØØ Ø Ò ÖÖÒº

¾ ÌØÚÖÝÑ ½¾ º ÈÖÖ ÔÒÒ Ó ÝÚ ÝÝ ÑÒ ÐÒ ÙÒ ØØÚÒ º Ì ÑÒÑÓÒØ ÐÓÖØÑÐк º ÈÖÖ Ø D 1 D 2 ØÒ ØØ ÙÑÑ Ò ÓÒ ÒÒ Ý ÚÙØØÑØÓÒ ØÐ [[D 1 ]] ÓÒ ÒÒ Ý ÚÙØØÑØÓÒ ØÐ [[D 2 ]] ÓÐ ÚÙØØÑØØÓÑ ØÐÓº º ÇÐÓÓÒ Σ = {1, 2,...,n}º µ ÈÖÖ ÑÓÐÐ ÑÑÒ ÔÒ D 5 ÓÐÐ L(D n ) = {12 n} ÒÝØ ½¾ ØÖÓØ Ø ÝÑÑÒØÓÐÑ ÚÒ ÓÒÓ 1, 2, 3 µº µ ÈÖÖ ÓÑÔÐ(D 5 )º µ Ç ÓØ ØØ ÓÑÔÐ(D 5 ) ÚÓ ÔÒÒغ µ ÎÖØ D n Ò ÓÑÔÐ(D n )Ò ÓÐÑÙÒ ÑÖº ÎÖØ ÑÝ ÖØÒ ÑÖº ¼º µ Ä ÔÖÙÙÒ ÐÙÚÙ º º Ò ÓÔÖØÓØ ÐÓÔÔÙÓ ÓÐÚÒ ÔÒ Öݹ ÑÖÒ Ò ÑÑ Ò ÒÐÒÒÒ ÙØÓÑØÒ ØÙÐÓ Ò ÓÒ Ó ØÓÓÒ ÖÝ ÙÙÐÙÙµ ÔÓ Ø Ø ØÙÖØ ØÐØ ØÐ ÖØÝÑغ µ Ä ØÙÐÓÓÒ ÐÓÔÙØ ÙØÓÑØØ ÑØÒ ÐÔÓØÒ ÓÒÒ ØÙØ ÔÓ Ø ÐÓÔÔÙØÙ¹ ÐÓ Ø ØÙÖØ ØÐØ ØÐ ÖØÝÑغ ÇÒÓ ØÙÐÓ Ñ ÙÒ ÔÖÙÙ ½º ÄÙÓÒÒÓÐÐÒÒ ÐÙÙ ½¼¹Ö ØÐÑ ÓÒ ÒÐÐÐ ÓÐÐÒÒ Ó ÚÒ Ó ÓÒ ¼ Ø Ó ÚÑÒÒ ÒÙÑÖÓ ÓÒ ¼ Ø ÐÐÒÒ ÓÒ ÔÖÐÐÒÒ Ø ÚÑÒÒ ÒÙÑÖÓ ÓÒ ¾ Ø ÐÐÒÒ ÓÒ ÔÖØÓÒº µ Ì ÒÒÐÐÒÒ ÐÙ Ó ÝÚ ÝÝ ÒÐÐÐ ÓÐÐ Ø ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ µ ÅÙÓÓ Ø Æ Ó ÝÚ ÝÝ Ø ÑÐÐÒ µ¹óò ÐÒ ÌÑ Æ ÓÒ ÐÔÔÓ ÑÙÓÓ Ø ÑÖ ÒÒ ØØ ÐÙØÐ Ø ÖÙÙØÒ ØÒ ØØ ÝÚ ÝØÒ Ö Ò ÝÒ ÑÖÒ ÑØØ Ø ÝÚ ÝØØÚØ ÝØØØ εðð ÖÙÙØÒ ØÙع ÑÒ ÔÑÑØ ÝØØغ µ ØÖÑ Ó µ¹óò Æ ÝØØÒ ÔÖÙÙÒ ØÖÑ ÓÒØÐÓÖØÑ µ ÅÒÑÓ µ¹óò ÐÓÖØÑ ÝØØÒ ÔÖÙÙÒ ÑÒÑÓÒØÐÓÖØÑ ¾º ÇÐÓÓØ N 1 N 2 ÆØ ÓÐÐ ÓÐ ÝØ ØÐÓº ËÙÙÒÒØØÐ Ý ÒÖØÒÒ ØÓ ÐÓÖØÑ Ó ØÙÓØØ ÆÒ ÓÒ ÝÚ ÝÑ Ð ÓÒ µ L(N 1 ) L(N 2 ) µ (L(N 1 ) L(N 2 )) º ÃÝØ ÝÚ ØÑÔÔÙ Ó ØÓÑ Ðк ÊØØ ØØ ÑÓØØ ÐÓÖØÑ ØÓ¹ ÑÒÒÒ ÔÖÖÓ Ðк

ÌØÚÖÝÑ ½ º µ Ì Æ Ó ÝÚ ÝÝ ÐÒ (12) ((2 11)(21) (1 22)(12) ) º µ ØÖÑ Ó ØÑ Æ ÝØØÒ ÔÖÙÙÒ ÐÓÖØѺ µ ÅÒÑÓ ÒÒ Ñ ÝØØÒ ÔÖÙÙÒ ÐÓÖØѺ º ÈÖÖ ÖÐÐÒÒ ÙØÓÑØØ ÓÐÐ ÔØÖÑÒ ØÒÒµ ÓÒ ÝÚ ÝÑ Ð ÓÒ Ù¹ ÚÒ ÖÐÐ Ò ÙØÓÑØÒ ÝÚ ÝÑØ ÑÖÓÒÓØ ØÔÖÒº ÎÒ ÙØÓÑØÒ ØÙÐ ØÓÑ ØÔÖÒº a a c b a º µ ÅÙÙÒÒ ØØÚÒ ÑÐÐ ØÚÐÐ ÙÒ ÑÙÙÒ Ø ØØÚÒ Ò ÝÚ¹ ÝÑÒ ÐÒ Ó ÓÒ ÐÙÔÖ Ò ÐÒ ÙØÒ ÒØÒÒº µ ÂÓ Ñ ÙØÓÑØØ ÓÒ ÔØÖÑÒ ØÒÒ ÒÒ ØÖÑ Ó ÝØØÒ ÔÖÙÙÒ ÐÓÖØѺ µ ÅÒÑÓ Ñ ØÖÑÒ ØÒÒ ÙØÓÑØØ ÝØØÒ ÔÖÙÙÒ ÐÓÖØѺ º ÅÖØØÐ ÓÔÖØÓ ÙÙ (N, ) Ó ÒÑ ÙÙÐÐÒ ÆÒ N ØÐØ ØÐ ÖØÝÑØ ÒÒ ØØ ØÐ Ø q ØÙÐ ÔÖ (q, ) L(ÙÙ (N, )) = L(N)º ÌÖ Ø ØØ ÓÔÖØÓÒ ØÙÐÓ ÓÒ Æº º ÇÐÓÓØ N i = (Q i, Σ i, i, ˆq i,f i ) Ñ ½ ¾ ÆØ ØÒ ØØ Q 1 Q 2 = º µ ÃÖÖÓ ÒÐÐ Ø ÑÖÐÐ ÑØ ØÖÓØØ L(N) = { αβ α L(N1 ) β L(N 2 ) } µ Ì ÓÔÖØÓ Ó ØÙÓØØ ÆÒ N Ó ØÝØØ µ¹óò ÚØÑÙ Ø µ ÌÓ Ø ØØ µ¹óò ØÙÐÓ ÓÒ ØÓÐРƺ º ÇÐÓÓÒ Σ Ó ØÓº Ì Æ ++ ¹ÑÖØÐÑ ÐÐÐ Ó ÓÓ ØÙÙ ÚÒØÒ Ý Ø ÚÖ¹ غ ÎÖ ÓÓ ØÙÙ ÚÒØÒ Ý Ø ÐÙ Ø ÓÒ ÚÐ ÓÒ ÔÐÙ ÔØØÝÝ Ô Ø Ò ºº ÄÙ ÓÓ ØÙÙ ÚÒØÒ Ý Ø Ò Ø ÓÒ ÚÐ ÓÒ ÚÒØÒ Ý ÚÐÐÝÒغ ËÒ ÚÓ ÓÐÐ ÐÙÙ Ø ÑÖÓÒÓº ÄÙÙ ÓÓ ØÙÙ ÚÒØÒ Ý Ø ÒÙÑÖÓ Ø ¼ ½ ¾ º ÅÖÓÒÓÒ ÐÙ ÐÓÔÙ ÓÒ ÔÝ ØÝÐÒÙ ÑÖ ÚÐ ÒÓÐÐ Ø Ù ÑÔ ÓÓØØÙ ÑÖº ÓÓØØÙ ÑÖ ÓÒ ÓÓ \\ ÓÓØØÙ ÔÓÑÖµ \ ÓÓØØÙ ÔÝ ØÝÐÒÙ ÑÖµ Ø ØÚÐÐÒÒ ÑÖº ÌÚÐÐÒÒ ÑÖ¹ ÙÙÐÙÙ ÓÙÓÓÒ Σ { \ }º ÂÓ Ò ÔØ ÚÑ Ò ÚÖÒ ÐÓÔØØÚÒ Ô ØÒ Ó Ò ÐÙ Ò ÐÓÔØØÚÒ ÔÐÙÒ ÐÒ ÓÒ ÓÐØÚ ÚÒØÒ Ý ÚÐÐÝÒغ

ÌØÚÖÝÑ ½ º ÒÒ Æ ++ ¹ÑÖØÐÑØ ÙÖÚÐÐ ÐÐÐ ÙÒ Σ = {a,b,c}º µ Ì Æ ++ ¹ÑÖØÐÑ ÐÐÐ ÔÐÒÖÓÑØ ÓÒ ÔØÙÙ ÓÒ ÔÖØÓÒº ÈÐÒÖÓÑ ØÖÓØØ ÑÖÓÒÓ Ó ÓÒ Ñ ÐÙØØÙÒ ØÙÔÖÒ ØÔÖÒº µ Ì Æ ++ ¹ÑÖØÐÑ ÐÐÐ ÔÐÒÖÓÑغ µ { α Ó ØÓÒÒ αò ÑÖ ÓÒ a } µ ÌÙÐÙÓÒ ÐÓÓÒ ÚØØÑÒÒ ÙÖ Ò Ô ÙÓÓÓ ÑÖ A[1, 2x]º ÇÐØ ÚÐ ÝÑÓÐÒ ÌÙÐÙÓ ØÙÐÙÓÒ Òѵ ÄÙ ÓÐÚÒ ÒÒØÙغ µ ÃÚÒØØÓÖÒ ÝØØ ÔÖØØÐÓ ÑÖ i; 1 i < n : A[i] = 0 i,j;i j : i j = i + j Ø i : 1 i < n A[i] = 0º ÇÐØ ÚÐ ÝÑÓÐÒ ÅÙÙØØÙ ØÓ ÓÐÚÒ ÒÒØÙغ ¼º ÒÒ Æ ++ ¹ÑÖØÐÑØ ÙÖÚÐÐ ÐÐÐ ÙÒ Σ = {a,b,c}º µ { α α ÓÒ ÙÐÙÐÙ Ñ a ÓÒ ÙÐÙØ Ù b ÓÒ ÙÐÙØ ÒÒ c ÒÒÝ Ó ÐÙ¹ ÐÓÔÔÙ ÙÐÙØ Ø ÑÚØ }º ÑÖ ÙÐÙÐÐ ÐÑ ØÙÒ µ µ µ µ µ µµ µµ µµ ÙÙÐÙÚØ ØÒ ÐÒº µ { α ÓÒÒ αò ÐÙÓ ÐØ ÒÒ ÝØ ÔÐÓÒ a¹öñ ÙÒ b¹öñ } ÑÖÓÒÓÒ a 1 a 2 a n ÐÙÓ ÓÒ Ñ ØÒ ÑÖÓÒÓÒ ÐÙ Ø ÖÓØØØÙ Ó ÓÒÓ Ð a 1 a 2 a k Ñ k nµº µ { α α ÓÒ Ø Ò ÖØ ÒÒ ÑÓÒØ a¹öòø ÙÒ Ò ÓÒ b¹öñ к ½º ÒÒ Æ ++ ¹ÑÖØÐÑØ ÐÐÐ { a 1 a 2 a n {a,b} ϕ(a 1 a 2 a n ) } Ñ ϕ(a 1 a 2 a n ) ÓÒ µ n 2 a 2 = a µ i; 1 i n : a i = b ( j; 1 j < i : a j = a) j; 1 j i : a j = a n+1 j µ i; 1 i < n : a i+1 a i º ¾º Ä Æ ++ ¹ÑÖØÐÑ ÒÒÐÐ ØÒ ÐÙ Ò ÑÖØØÐÝÐÐÐ ÐÐ ÓÒ ÚÙÐÐ ÑÖØÐÐÒ ÒÒÐÐ Ð٠صº º Ì ÝØÝ ÖÔÔÙÑØÓÒ ÐÓÔÔ Ó ÝÚ ÝÝ ÙÖÚØ ÐØ µ (ab) (bc) µ (ab bc) µ ((abc) + bc) µ (abc + bc) µ A ::= ε ab[b]b B ::= ac C ::= Aa

º Ì Æ ++ ¹ÑÖØÐÑ ÒØ ÙØÓÑØÓÒ ÖÐÐÒÒ ÙØÓÑØص ÐÐÐ ÓÐÐ ÚÓ¹ Ò ÖÓØØ ÐÙ Ø ÓÐÐ ØÐÐÒ Ø ÆØ ÝØØÒ ØÐÐ ÙÖ ÐÐ ÑÖØÐØÝ ØÙØØÙ ÓÔÖØÓغ ÃÐÓÔÔ ÒÓÙØØÑÐÐ ÔØ ÚÓ ÚÖÑ Ø ØØ ÓÔÖØÓØ ÓØ ÓÒ ÑÖØÐØÝ ÚÒ ÐÐ ÝØØÒ ÚÒ ¹ÔÖÑØÖÐк ËÒØ ÑÙÓÓ Ø ÙÓÑÓ ØØ ÓÒÒ ÓÒ ÑÝ Æº ÅÖØÐÐÝØ ÓÔÖØØÓÖØ ÓÚØ Ó ØÙÓØØ Ò ÚÒ Ó ÑÓÐÑÑØ ÔÖÑØÖØ ÓÚØ Ø ÑÙÙØÒ ÆÒ cln( ) nlc( ) ÓÒ ÑÖØÐØÝ ÑÓÐÑÑÐÐ ØÝÝÔÐÐ ØÙÐÓ ÓÒ Ñ ØÝÝÔÔ ÙÒ ÔÖÑØÖÒ full( ) compl( ) min( ) ÓÒ ÑÖØÐØÝ ÚÒ ÐÐ ØÙÓØØÚØ Ò det( ) ÓÒ ÑÖØÐØÝ ÑÓÐÑÑÐÐ ØÝÝÔÐÐ ÑÙØØ ØÙÐÓ ÓÒ Ò ÙÐÙ µ ÚÓ ÝØØ ÒÓÖÑÐ Ø ÐÓÔÔÙ ÝÑÓÐ D Ù Ø ÒÑØØÝ Ø N ÒÑØØÝ ÆØ ÃÐÓÔÒ ÔØ ÝÚ Ý ÑÖ ÑÙØØ (compl(d 1 det(n 1 ))) compl(min(det(nlc(cln(d 1 ))))) full(n 1 D 1 ) ÙÒ D 1 ÓÒ N 1 ÓÒ Æº

ÌØÚÖÝÑ ½ º Ä Æ ++ ¹ÑÖØÐÑ ÙÖÚÐÐ ÐÐк ÓÐÐ ÚÓÒ ÙÚØ ÓÐÓØ ÓØ ÚÓÚØ ÓÐÐ ÓÙÓ Ø ÑÓÒÓ ÙÖÚ Ø ÂÓÙÓ ÚÓ ÓÐÐ ØÝ ÓÙÓ Ø ÚÓÒ ÑÖØ ÓÙÓ ÝÑÓÐÐÐ A,...,Z Ø ÚÓ ÓÐÐ ÐØÓ ÙÐÙÒ { } ÚÐ ÓÐÚ ÐÙØØÐÓ ÓÐÓغ ÄÙØØÐÓ ÓÒ ÚÒØÒ Ý ÔÐÙÐÐ ÖÓØÐØÙ ÓÐÓº ÅÓÒÓ ÓÒ Ö ÙÐÙÒ µ ÚÐ ÓÐÚ ÓÓ ØÝ ÑÖÓÒÓ Ø ÐÙØØÐÓ ÓÐÓغ ÑÖ {, { }} (A,A, {A,B, (C)}) ((), ()) ÙÙÐÙÚØ ÐÒº º ËÙÙÒÒØØÐ ÝØÝ ÖÔÔÙÑØÓÒ ÐÓÔÔ ÒÒÐÐ ÐÐ ÐÙ ÐÐ ØÒ ØØ Ð ÙÖ ¹ ØÝ ÑÒ ÒÒ ÙÒ ÔÖÙÙ ÓÒ ÑÖØÐØݺ º ËÙÙÒÒØØÐ ÙÖÚØ ÝØÝ ÖÔÔÙÑØØÓÑØ ÐÓÔØ ØÒ ØØ Ð ÙÖ ØÝ ÑÒ Øй Ð ÙÖ ÐÐ ÓÐÚÒ ÝØÒÒÒ Ñ٠غ µ ÃÐÓÔÔ ÖØÑØØ ÐÐ ÐÙ ÐÐ Ó ÓÐÐ ÐÙÙ ØÙÑÖ + ÓÔ¹ ÖØØÓÖØ + / ÙÐÙÑÖº ÄÙÚÙØ ÓÓ ØÙÚØ ÚÒØÒ Ý Ø ÒÙÑÖÓ Ø 0,...,9º µ ÄÒÒ µ¹óò Ð ØØÑÒ ÐÓÓ Ø ÐÙ Ø Ó ÓÐÐ ÔÖØØ < = > ÐÓÓ ÓÔÖØØÓÖØ º µ ÄÒÒ µ¹óò Ð ØØÑÒ ÑÝ ÚÒØØÓÖØ ÑÙÙØØÙØ a,...,zº ÃÚÒØØÓÖÒÓØØÓ Ø ÓÒ ÝÚ ÝØØÚ ÔÙÓÐÔ Ø Ó Ô Ø ¹ÒÓØØÓ Ôй Ó Ô Ø ¹ÒÓØØÓ ÑÙØØ ÙÙÐÙÙ ÓÙÓÓÒ ¹ÒÓØØÓØ Ð ÑÙÓØÓ x A :... ÓÐÚ ÑÖÒغ ÃÚÒØØÓÖ ÚÓ ÚÒØÓ ÝÒ Ø Ù ÑÑÒ ÑÙÙØØÙÒº ÀÙÓÑ ØØ µ¹ó ÓÙÙØ ØÝÒØÑÒ ÐÐ ØÒ ÓØÒ ÐÓÔÔº º ÇÐÓÓÒ A ::= ε B B ::= ( [ ( ) A ( ) ] ) C ::= ε DC CE D ::=[ C ] E ::=( C )º µ ÒÒ ÑÖ ÑÖÓÒÓ Ø Ó ÙÙÐÙÙ ÐÒ A ÑÙØØ ÐÒ Cº µ ÒÒ ÑÖ ÑÖÓÒÓ Ø Ó ÙÙÐÙÙ ÐÒ C ÑÙØØ ÐÒ Aº µ ÒÒ ÑÖ ÑÖÓÒÓ Ø Ó ÙÙÐÙÙ ÐÒ C + ÑÙØØ ÐÒ A Cº µ ÈÖÖ ÑÖÓÒÓÒ [()()] ÒÒÝ ÔÙÙ ÐÓÔÒ C ÑÙÒº

º ÇÐÓÓÒ A ::= ε AB B ::=( A ) a bº ÅØ ÙÖÚ Ø ÐÙ Ø ÓÚØ ØÑÒ ÐÓÔÒ ÑÙ ÈÖÙ Øк ÈÖÖ Ð ÒÒ µ¹ó Ø ÒÒÝ ÔÙÙº µ (ab) µ ((a)) µ (a()) µ ()() µ ()a() µ a()b ¼º ÇÐÓÓÒ A ::= B A B B ::= C BC C ::= A a b cº µ ÃÙÙÐÙÙÓ ab c ØÒ ÐÒ ÈÖÙ ØÐ ÔÖØÑÐÐ Ú ØÚ ÒÒÝ ÔÙÙ Ø Ó Óع ØÑÐÐ ØØ ÐÐ Ø Óк µ ÈÖÖ ÐÙ Ò ab c ÒÒÝ ÔÙÙغ ÎÒ ÒØ ÓÒ ÒÒØÒ Òк µ ÈÖÖ Ó Ø ÒÒÝ ÔÙÙØ Ú ØÚ ÐÙ ÔÙÙº