MAB4 Koe Jussi Tyni 1..015 A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: 1. a. Piirrä seuraava suora mahdollisimman tarkasti ruutupaperille: y = x + 4 (p) b. Osoita matemaattisesti (pelkkä piirros ei riitä), että piste (41,86) on suoralla y = x + 4 (p) c. Missä pisteissä funktion f(x) = x 6x + 8 kuvaaja leikkaa x-akselin? (p). a. Ratkaise epäyhtälö x 3x 4 0 (p) b. Derivoi funktio f(x) = 3x 6x 4 (p) c. Kuvassa on erään funktion f(x) derivaatan f (x) kuvaaja: (1) Ilmoita millä x-akselin välillä funktio f(x) on vähenevä. () Missä x-akselin kohdissa funktio f(x) saa ääriarvonsa? (p)
MAB4 Koe Jussi Tyni 1..015 B-osio. Laskin ja taulukkokirja saa olla käytössä. Valitse neljä tehtävää tehtävistä 3-7: 3. 4. 5. 6. a. Määritä funktion f (x) = x 3 + 6 x 36 x 15 derivaatan nollakohdat. (p) b. Ratkaise epäyhtälö: 1 5 x x > x + 4 x (4p) a. Derivoi f(x) = (x 1) (x + 1) (x 3). (3p) b. Millä x-akselin välillä funktio f(x) = 1 3 x3 + 3 x 10x on vähenevä? (3p) Määritä funktion h(x) = x 3 3x + suurin ja pienin arvo välillä [-4,] Jussilla oli aitamateriaalia 150 m. Hän halusi rajata sillä alla olevan kuvan mukaiset kolme yhtä suurta karsinaa. Määritä karsinoiden pituudet ja leveydet, jolla hän saisi aikaiseksi mahdollisimman suuren yhteispinta-alan. 7. Suoran ympyräpohjaisen lieriön (tölkki) korkeuden ja pohjan halkaisijan yhteismitta on 0 cm. Määritä lieriön korkeus siten, että lieriön tilavuus on mahdollisimman suuri. Laske tämä suurin tilavuus. OTA MATKAAN TÄMÄ KOEPAPERI JA PISTÄ VASTAUKSESI MUISTIIN. OIKEAT RATKAISUT JULKAISTAAN KOKEEN JÄLKEEN KLO 1:00 OSOITTEESSA: https://jussityni.wordpress.com/
MAB4 Koe Jussi Tyni 1..015 Ratkaisut: 1. a. Leikkaa y-akselin korkeudella 4 ja nollakohta on x=-. b. y = x + 4 ja piste (41,86)=(x,y). Tällöin kun x on 41, niin y=86. Jos piste on suoralla, niin silloin y = x + 4 = 41 + 4 = 86. Eli piste on suoralla. c. f(x) = x 6x + 8 leikkaa x-akselin nollakohdissaan. Eli ratkaistaan yhtälön nollakohdat: x 6x + 8 = 0. asteen yhtälö, eli käytetään. asteen yhtälön ratkaisukaavaa: x = ( 6)± ( 6) 4 1 8 1 Joten x=4 tai x=. = 6± 36 3 = 6± 4 = 6±. a. Ratkaise epäyhtälö x 3x 4 0 Kuvaaja ylöspäin aukeava paraabeli: Saa nollaa pienempiä arvoja, eli negatiivisia arvoja nollakohtien välissä. Ratkaistaan nollakohdat: x = ( 3) ± ( 3) 4 1 ( 4) 1 3 ± 9 + 16 = = 3 ± 5 = 3 ± 5 Nollakohdat siis x = -1 ja x = 4. Epäyhtälö toteutuu, kun 1 x 4 b. f(x) = 3x 6x 4 f (x) = 3 x 6 1 = 6x 6 c. Kuvassa on erään funktion f(x) derivaatan f (x) kuvaaja: (1) funktio f(x) on vähenevä, kun derivaatta on negatiivinen, eli f(x) on vähenevä kun x < 3 ja 1 < x < 4 () funktio f(x) saa ääriarvonsa derivaatan nollakohdissa, jotka näyttävät olevan x = -3, x = 1 ja x = 4.
MAB4 Koe Jussi Tyni 1..015 3. a. f (x) = 3 x + 1 x 36 = 0 : 3 x + 4 x 1 = 0 x = 4 16 48 = 4 64 = 4 8 = ± 4 x = tai x = 6 Vastaus: x = tai x = 6 b. x 5 x > x + 4 x 5 x 10 x > 5 x + 0 x 6 x 30 x > 0 Ratkaistaan yhtälö 6 x 30 x = 0 : 6 x 5 x = 0 x (x 5) = 0 x = 0 tai x = 5 Ratkaistaan epäyhtälö merkkikaaviosta Vastaus: x < 0 tai x > 5 4. a. (x 1) (x +1) (x 3) = (x 1) (x 3) = x 3 3 x x 3 D(x 3 3 x x 3) = 3 x 6 x 1 Vastaus: 3 x 6 x 1 b. Funktio f(x) = 1 3 x3 + 3 x 10x on vähenevä kun derivaatta on negatiivinen. Derivoidaan: f (x) = 1 3 3x + 3 x1 10 1 = x + 3x 10 Derivaatan kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli: Nollakohdat laskimesta: x = -5, x =. Eli vähenevä kun 5 x.
MAB4 Koe Jussi Tyni 1..015 5. x 3x 3 3 x 1 h. Derivaatan nollakohdiksi saadaan x 1. Kulkukaavion perusteella: 3 Maksimiarvot ovat h 1 1 3 1 4 tai välin päätepiste x = 3 3 h 3 4, joten maksimiarvo on 4. Minimiarvo h 1 1 3 1 0 h( 4) = ( 4) 3 3 ( 4) + = 50, joten minimiarvo on -50. V: Minimiarvo on -50 ja maksimiarvo on 4. 6. Mallikuva: Merkitään pituutta x:llä ja leveyttä y:llä. Tällöin aitamateriaalin määrästä voidaan muodostaa lauseke: 4x + y = 150m Piti laskea pinta-alan suurin arvo: A = xy 4x + y = 150m Yhtälöpari: { A = xy Ratkaistaan ylemmästä yhtälöstä x tai y, y ehkä helpompi ratkaista: y = 150m 4x : y = 75 x ja sijoitetaan tämä pinta-alan lausekkeeseen: A = x(75 x) = 75x x Nyt meillä on pinta-alan funktio A, jossa on muuttujana pituus x: A(x) = 75x x Pinta-alan suurin arvo löytyy derivaatan nollakohdista: A (x) = 75 4x 75 4x = 0 75 = 4x 75 = x x = 18,75 4 Todetaan vielä kulkukaavion avulla, että on suurin arvo: Täten x = 18,75 on huippukohta. tai Vastaus: Pinta-ala on max. kun pituus x = 18,75 ja leveys y = 75 x = 75 18,75 = 37,5
MAB4 Koe Jussi Tyni 1..015 7. Mallikuva: Merkitään tölkin sädettä r:llä ja korkeutta h:lla. Tällöin tehtävän vihjeen mukaan saadaan: h + r = 0cm. Ratkaistaan h: h = 0 r Lieriön tilavuus on V = Ah = πr h = πr (0 r) = 0πr πr 3 Nyt meillä on funktio V tilavuudelle, jossa on muuttujana säde r: V(r) = 0πr πr 3 Suurin mahdollinen tilavuus löytyy derivaatan nollakohdista: V (r) = 0π r π 3r = 40πr 6πr (alaspäin auk. paraabeli) 40πr 6πr = 0 πr(0 3r) = 0 tulon nollasääntö! πr = 0 tai 0 3r = 0 r = 0 tai 0 = 3r r = 0 3 Kummassa suurin mahdollinen tilavuus? Kulkukaavio => cm ( 6,67) Tilavuuden max. kohta siis kohdassa r = 0/3 cm. Tällöin korkeus h = 0 r = 0 0 3 = 0 3 cm Ja suurin mahdollinen tilavuus on tällöin: V(r) = 0πr πr 3 V ( 0 3 ) = 0π (0 3 ) π ( 0 3 3 ) = 930,8cm 3 931cm 3