KRISTALLOGRAFIASSA TARVITTAVAA MATEMA- TIIKKAA Aloita kertaamalla hilan indeksointi niin, että osaat kuutiollisen kiteen tasojen ja suuntien Miller-indeksit. Vektorit määritellään yleisessä muodossa r = u i + v j + w k, missä i, j ja k ovat kolmiulotteisen koordinaatiston ns. siirrosvektorit. Kuutiollisessa kiteessä siirrosvektorit ovat samamittaisia (= hilavakio) ja kohtisuorassa toisiinsa nähden. Siirrosvektorit voidaan normeerata yhden pituusyksikön mittaiseksi. Näin toimien hilavektorin r = u i + v j + w k suunta voidaan voidaan esittää pelkillä indekseillä eli [uvw] ja sen pituus r = u + v + w. Kuutiollissa kiteessä pätee: tason (hkl) ja sitä vastaan kohtisuoran vektorin [hkl] indeksit ovat samat. Siten tasoa (11) vastaan kohtisuoran vektorin suunta on [11] (tai vastakkainen suunta [ 1 1 ]). Taso voidaan siten määritellä yksiselitteisesti ilmoittamalla jokon tason Miller-indeksit (hkl) tai normaalin suunnan indeksit [hkl]. Näitä kahta merkitsemistapaa käytetään tason/suunnan indeksoimisessa samanarvoisena. Siten esimerkiksi indeksit (13) tarkoittavat sekä tasoa (13) että suuntaan [13]. Muista: tämä pätee vain kuutiolliselle kiteelle. Pistetulo Vektoreiden r 1 = [u 1 v 1 w 1 ] ja r = [u v w ] pistetulo on: κ = r 1 r = r 1 r cos φ = u 1 u + v 1 v + w 1 w missä φ on vektoreiden välinen kulma. Huomaa, että pistetulo on skalaari, siis ei vektori. Esimerkkejä pistetulon tavallisimmista käyttösovellutuksista kuutiollisessa kiteessä: 1. Tasojen välisen kulman laskeminen. Esimerkki tasojen (111) (, jonka normaali on [111]) ja tason (11 1) välinen kulma on 1 1 + 1 1 + 1 ( 1) φ = arccos 1 + 1 + 1 1 + 1 + ( 1) = arccos 1 + 1 1 3 3 = arccos 1 3 70, 5. Suuntien ollessa kohtisuorassa toisiinsa nähden cos φ = cos 90 = 0, mistä seuraa u 1 u + v 1 v + w 1 w 3 = 0. Eli ovatko suunnat [11] ja [ 101] kohtisuorassa? Tarkistus: 1 ( 1) + 0 + 1 1 = 0 eli ovat kohtisuorassa. 1
Ristitulo Vektoreiden r 1 = [u 1 v 1 w 1 ] ja r = [u v w ] ristitulo on: r 1 r = ī j k u 1 v 1 w 1 u v w = (v 1 w w 1 v )ī (u 1 w w 1 u ) j + (u 1 v v 1 u ) k jonka itseisarvo on r 1 r = r 1 r sin φ. Ristitulo määrittää vektorin, joka on kohtisuorassa molempia tulontekijöitä eli sekä vektoria r 1 että r vektoria vastaan. Yleisin ristitulon sovellutus perustuu juuri tähän. Esimerkki 1: Tasot (11) ja ( 101) leikkaavat suoraa pitkin. Mikä on tämän suoran suunta? Kysytty suunta on kohtisuorassa sekä tason (11) että ( 101) normaalia vastaan ja saadaan siten selville normaalien ristitulosta. [11] [ 101] = [ ] eli kysytty suunta on [1 11] (pienimmät kokonaisluvut!). Vastakkainen suunta [ 11 1] saadaan ristitulosta [ 101] [11]. Esimerkki : Suunnat [11] ja [ 101] ovat tasolla (hkl). Mitkä ovat tämän tason Millerindeksit? Koska ko suunnat ovat tasolla, ovat ne kohtisuorassa tason normaalia vastaan. Edellisen esimerkin perusteella tämän tason normaali on [1 11] eli kysytty taso on (1 11) Lopuksi: ristitulon itseisarvo antaa vektoreiden määrittämä suunnikaan pinta-alan, ks. kuva 1. Kuva 1: kahden vektorin määrittämä suunnikas Skalaarikolmitulo Vektoreiden r 1 = [u 1 v 1 w 1 ], r = [u v w ] ja r 3 = [u 3 v 3 w 3 ] skalaarikolmitulo on
r 1 ( r r 3 ) = u 1 v 1 w 1 u v w u 3 v 3 w 3 Skalaarikolmitulo antaa vektoreiden määrittämä suuntaissärmiön tilavuuden. Esimerkki 1. Mikä on oheisessa kuvassa vektoreiden a 1, a ja a 3 määrittämän suuntaissärmiön tilavuus, kun pkk-kopin hilavakio on a? Kuvan mukaisesti Kuva : pkk-yksikkökoppi. a 1 = a (ī + j) a = a ( j + k ) a 3 = a (ī + k) Suuntaissärmiön tilavuus on siten V = a 1 (a a 3 ) = a3 1 1 0 8 0 1 1 1 0 1 [ = a3 1 8 1 1 0 1 1 0 1 1 1 + 0 0 1 1 0 ] = a3 4 Kysytty tilavuus on siten a 3 /4 eli neljäsosa pkk-yksikkökopin tilavuudesta. Koska pkkyksikkökoppi sisältää yhteensä 4 atomia, sisältää vektoreiden a 1, a ja a 3 määrittämä suuntaissärmiö yhden atomin. Se on pkk-rakenteen alkeiskoppi. 3
Esimerkki. Kuinka suuri on vektoreiden [3 1 ], [ 11] ja [01 1] määrittämän suuntaissärmiön tilavuus? Tilavuus on V = 3 1 1 1 0 1 1 = 0 Tulos on mahdollinen vain silloin, kun suunnat ovat samassa tasossa. Tuloksesta saadaan myös toinen, käytännössä tärkeämpi tieto: tasot (3 1 ) ( 11) ja (01 1) leikkaavat toisensa samalla suoralla (tässä tapauksessa suunta [111]) eli niillä on yhteinen vyöhyke. Skalaarikolmitulosta saadaan siten myös ns. vyöhyke-ehto. Käänteishila Olkoon vektorit r 1 = [u 1 v 1 w 1 ], r = [u v w ] ja r 3 = [u 3 v 3 w 3 ], jotka määrittävät kuvan 3 mukaisen suuntaissärmiön. Kuva 3: Kolmen vektorin määrittämä suuntaissärmiö. Yllä esitetyn mukaisesti tämä suuntaisärmiön tilavuus saadaan skalaarikolmitulosta r 1 ( r r 3 ). Suuntaissärmiön pohjatason määrittävät vektorit r 1 = [u 1 v 1 w 1 ] ja r = [u v w ] ja pohjatason pinta-ala saadaan ristitulosta r 1 r Suuntaissärmiön pohjatason käänteishilavektori r 3 saadaan kaavasta r 3 = r 1 r r 1 ( r r 3 ) Kaavassa pohjatason käänteishilavektorin suunta määräytyy ristitulosta r 1 r eli on pohjatason normaalina kohtisuorassa vektoreita r 1 ja r vastaan. Käänteishilavektorin r 3 pituus on pohjatason pinta-ala jaettuna suuntaissärmiön tilavuudella eli käänteishilan pituus on 1/suuntaissärmiön korkeus (ks kuva 3). Tämä mittahan on suuntaissärmiön pohjatason ja ylätason etäisyyden käänteisarvo. Kiteisessä rakenteessa tämä mitta on hilatasojen välisen etäisyyden (d) käänteisarvo (1/d). 4
Braggin lain mukaan kiteinen metalli antaa heijastuksen, kun ehto n λ = d sinθ toteutuu. Kaavassa λ on käytetyn säteilyn aallonpituus, d on heijastavien, samansuuntaisten atomitason välinen etäisyys, θ on tulokulma ja n = ±1, ±, ± 3,.... Braggin laki voidaan järjestää muotoon n d = sin θ λ eli kiteinen metalli antaa heijastuksen kun parametrin sin θ saama arvo on yhtä suuri kuin λ heijastavan tason käänteishilavektorin pituus (tai sen monikerta). Käytännössä tämä tarkoittaa sitä, että metallikiteeseen suunnattu monokromaattinen (röntgen)säde piirtää heijastuksen kautta kuvan ko kiteen käänteishilasta eli käänteishilavektoreiden kärkipisteistä. Tarkastellaan tätä kuvan 4 mukaisen esimerkin avulla. Kuva 4: Atomien muodostama hila(vasen kuva), vastaava käänteishila(kuva oikealla). Kuvan atomitasossa siirrosvektorit ovat x ja ȳ siten että x = 1 ja ȳ = eli y/x =.Kuvassa vaakasuorassa olevien tasojen Miller indeksit ovat (0k0) ja näiden tasojen muodostama käänteishila koostuu pystysuorassa olevista pisteistä (kuvassa avonaisia ympyröitä), joiden välinen etäisyys on 1/ ȳ. Vastaavasti pystysuorassa olevien tasojen (h00) käänteishila on vaakasuorassa oleva jono pisteitä, joiden välinen etäisyys on 1/ x. Käänteishilaa piirrettäessä käänteisvektoreiden pituus voidaan valita vapaasti, kunhan ehto ȳ / x = 0, 5 toteutuu. Kuvasta 4 on selvästi nähtävissä, että kuva käänteishilasta on sama kuin se diffraktiokuva, jonkä z-suunnasta tuleva röntgensäde piirtää diffraktoituessaan kiteessä. Käytännössä diffraktiokuva on tosin monimutkaisempi, koska tässä esimerkissä kaikki atomitasojen tyyppiä (hk0) määrittämät käänteishilat ja heijastuspisteen on jätetty huomiotta. Käänteishila-käsite on keskeinen diffraktiotyöskentelyssä. 5