Pinnan tangenttivektorit

LUKU 5 Pinnan tangenttivektorit Tästä lähtien oletetaan, että annetut polut, pinnat, funktiot ja vektorikentät ovat C. Vastaavasti, konstruoiduista poluista, pinnoista, funktioista ja vektorikentistä pitää osoittaa, että niillä on vastaava C - ominaisuus. Yleensä tämä on niin suoraviivaista, että se jätetään harjoitustehtäväksi. 5.1. Tangenttivektorit Määritelmä 5.1. Olkoot M R 3 sileä pinta ja p M. Vektori v R 3 on pinnan M tangenttivektori pisteessä p, jos on olemassa C 1 -polku α: ( ε, ε) R 3 (ε > 0) siten, että (i) α(t) M kaikille t ( ε, ε); (ii) α(0) = p; (iii) α (0) = v. Pinnan M tangenttivektoreiden joukkoa pisteessä p merkitään T p (M) ja kutsutaan pinnan M tangenttiavaruudeksi pisteessä p. Lause 5.2. Olkoot M R 3 sileä pinta, p M, ϕ: U M pinnan M lokaali parametriesitys ja u 0 U siten, että ϕ(u 0 ) = p. Tällöin ϕ T p (M) = (u 0 ), ϕ (u 0 ) u 1 u 2 = vektoreiden ϕ (u 0 ) ja ϕ (u 0 ) virittämä aliavaruus. u 1 u 2 Todistus. Olkoon u 0 = (u 0,1, u 0,2 ). Koska α(t) := ϕ(t + u 0,1, u 0,2 ) ja β(t) := ϕ(u 0,1, t + u 0,2 ) ovat pinnan M C 1 -polkuja siten, että α(0) = β(0) = ϕ(u 0 ) = p, on α (0) = ϕ u 1 (u 0 ) T p (M) ja β (0) = ϕ u 2 (u 0 ) T p (M). Kääntäen, olkoon v T p (M). Tällöin on olemassa C 1 -polku α: ( ε, ε) M siten, että α(0) = p ja α (0) = v. Lauseen 4.8 ja seurauksen 4.11 todistusten mukaisesti polku α voidaan (ainakin jossakin hetken t = 0 ympäristössä) esittää muodossa 1 Viimeksi muutettu 25.1.2010. α(t) = ϕ(u 1 (t), u 2 (t)), 30

5.1. TANGENTTIVEKTORIT 31 missä (u 1, u 2 ): ( ε, ε) U on C 1 -polku, jolle (u 1 (0), u 2 (0)) = u 0. Tällöin ketjusäännön nojalla v = α (0) = ϕ (u 0 ) u u 1(0) + ϕ (u 0 ) u 1 u 2(0), 2 joten v on vektoreiden ϕ u 1 (u 0 ) ja ϕ u 2 (u 0 ) lineaarikombinaatio. Huomautus 5.3. Tangenttivektorit ja tangenttiavaruus voidaan määritellä myös sileälle tilkulle ϕ: U R 3 : Olkoon u 0 U. Vektori v R 3 on tilkun ϕ tangenttivektori pisteessä u 0, jos on olemassa C 1 -polku α: ( ε, ε) R 3 siten, että (i) polku α voidaan esittää muodossa α(t) = ϕ(u 1 (t), u 2 (t)) kaikille t ( ε, ε), missä (u 1, u 2 ): ( ε, ε) U on joukon U C 1 -polku; (ii) (u 1 (0), u 2 (0)) = u 0 ; (iii) α (0) = v. Tilkun ϕ tangenttivektoreiden joukkoa pisteessä u 0 merkitään T u0 (ϕ) ja kutsutaan tilkun ϕ tangenttiavaruudeksi pisteessä u 0. ( Pisteessä u 0, vaikka tangenttivektorit liittyvätkin paremmin kuvajoukon ϕ(u) pisteeseen ϕ(u 0 )). Ketjusäännön avulla ehdosta α(t) = ϕ(u 1 (t), u 2 (t)) saadaan sama esitys tilkun tangenttiavaruudelle kuin pinnan tangenttiavaruudelle lokaalin parametriesityksen avulla: ϕ T u0 (ϕ) = (u 0 ), ϕ (u 0 ). u 1 u 2 Huomaa, että tilkun tangenttiavaruudella on lunnollinen yhteys pinnan tangenttiavaruuteen: Jos ϕ: U M on sileän pinnan M lokaali parametriesitys, p M ja u 0 U siten, että ϕ(u 0 ) = p, niin T u0 (ϕ) = T p (M). Kahdeksikon t (sin t, sin 2t) päällä oleva sylinteripinta ϕ: R ( 1, 1) R 3, (u 1, u 2 ) (sin u 1, sin 2u 1, u 2 ), on sileä tilkku. Mieti, millainen on tilkun tangenttiavaruus T u0 (ϕ) niille parametriarvoille u 0, joita vastaavat pisteet ϕ(u 0 ) = p osuvat kahdeksikon leikkauskohtaan (= x 3 -akselille).

5.2. NORMAALIVEKTORIT 32 5.2. Normaalivektorit Määritelmä 5.4. Olkoot M R 3 sileä pinta ja p M. Vektori n R 3 on pinnan M normaalivektori pisteessä p, jos Merkitään myös n T p (M). n v = 0 eli n v kaikille v T p (M). Määritelmä 5.5. Olkoon M R 3 sileä pinta. Pinnan M vektorikenttä X on kuvaus X : M R 3. Pinnan M vektorikenttä X = (X 1, X 2, X 3 ) on C, jos jokainen X j : M R, 1 j 3, on C -funktio. Pinnan M vektorikenttä X on pinnan M (i) tangenttivektorikenttä, jos X(p) T p (M) kaikille p M; (ii) normaalivektorikenttä, jos X(p) T p (M) kaikille p M. Huomautuksia 5.6. a) Oikeampi (ja ehkä selkeämpi) tapa tulkita pinnan M vektorikentät olisi määritellä ne käsitteen vektori pisteessä p avulla (ks. luvun Tasokäyrän kaarevuus kohta Käyrät). Näin määriteltynä vektorikenttä olisi kuvaus X : M M R 3 = R 3 p, jolle X(p) R 3 p kaikille p M. p M Näin määriteltynä vektori X(p) tulisi havainnollistaa pisteestä p alkavaksi nuoleksi, jonka kärki on pisteessä p + X(p), kun X(p) = (p; X(p)), p M. Merkintöjen yksinkertaistamiseksi tätä formalismia sovelletaan lähinnä Gaussin kuvausta käsiteltäessä, koska silloin normaalivektorikenttä ja sen suuntaosa on syytä erottaa toisistaan. Havainnollistaminen on kuitenkin syytä toteuttaa tämän idean mukaisesti aina. b) Kuten funktioille, sileän pinnan M vektorikenttä X voidaan laajentaa johonkin avoimeen joukkoon V M, t.s. on olemassa avoin joukko V M ja joukon V vektorikenttä Y siten, että X = Y M. Lisäksi, jos X on C, on sillä C -laajennus. Huomaa, että pinnan M vektorikenttä X ei määrää laajennusta Y mitenkään yksikäsitteisesti. Esimerkiksi, X : S 2 R 3, X(p) := p, on pallon pinnan S 2 vektorikenttä (itse asiassa sen yksikkönormaalivektorikenttä), jolla on laajennukset Y : R 3 R 3, Y (p) := p, ja Z : R 3 \ {0} R 3, Z(p) := p p. Lause 5.7 (Sileä tasa-arvopinta). Olkoot G R 3 avoin joukko ja F : G R C -kuvaus. Oletetaan, että tasa-arvojoukko M := F 1 (0) = {p G F (p) = 0} on epätyhjä, ja että kaikille p M gradientti F (p) 0. Tällöin tasa-arvojoukko M on sileä kaksiulotteinen pinta. Lisäksi (i) F (p) on pinnan M normaalivektori pisteessä p kaikille p M, ja (ii) pinnan M tangenttiavaruus pisteessä p M on T p (M) = F (p). Todistus. Esitetään kurssilla Differentiaalilaskenta 2, [6, lause. 4.6].

5.2. NORMAALIVEKTORIT 33 Huomautus 5.8. Vektorikentät (ml. tangentti- ja normaalivektorikentät) voidaan määritellä myös sileälle tilkulle ϕ: U R 3 : Tilkun ϕ vektorikenttä X ϕ on kuvaus X ϕ : U R 3. Tässä yhteydessä vektori X ϕ (u) havainnollistetaan nuolella pisteestä ϕ(u) pisteeseen ϕ(u)+x ϕ (u), u U. (Tilkun ϕ vektorikenttä X ϕ on siis paremminkin kuvaus X ϕ : U ϕ(u) R 3, X ϕ (u) = (ϕ(u); X ϕ (u)), missä X ϕ : U R 3.) Tilkun ϕ vektorikenttä X ϕ on tilkun tangenttivektorikenttä (vast. normaalivektorikenttä), jos X ϕ (u) T u (ϕ) (vast. X ϕ (u) T u (ϕ)) kaikille u U. Huomaa, että jos M on sileä pinta, X pinnan M vektorikenttä ja ϕ: U M pinnan lokaali parametriesitys, niin X ϕ: U R 3 on tilkun ϕ vektorikenttä. Tämä esitystapa voidaan kääntää ainakin lokaalisti: Jos M on sileä pinta ja ϕ: U M sen lokaali parametriesitys sekä X ϕ : U R 3 tilkun ϕ vektorikenttä, niin X ϕ ϕ 1 : ϕ(u) R 3 on pinnan M osajoukon ϕ(u) vektorikenttä. Vrt. lauseeseen 4.8. Sileään tilkkuun liittyy luonnollisella tavalla kolme vektorikenttää: sen koordinaattikäyrien tangenttivektorikentät E ϕ 1 := ϕ u 1 ja E ϕ 2 := ϕ u 2, jotka siis ovat tilkun tangenttivektorikenttiä, sekä näiden ristitulo E ϕ 1 E ϕ 2, joka on tilkun normaalivektorikenttä. Muistettakoon, että tilkku ϕ: U R 3 on sileä, jos ja vain jos tangenttivektoreiden E ϕ 1 (u) ja E ϕ 2 (u) ristitulo on kaikkialla nollasta eroava. Jatkossa pintojen (ja tilkkujen) ominaisuuksia tutkitaan osin tangenttivektorikenttien, mutta varsinkin yhden tärkeän normaalivektorikentän avulla: Määritelmä 5.9. Sileän tilkun ϕ: U R 3 Gaussin kuvaus on tilkun yksikkönormaalivektorikenttä kuvauksena N ϕ : U S 2, (5.1) N ϕ (u) := Eϕ 1 (u) E ϕ 2 (u) E ϕ 1 (u) E ϕ 2 (u), u U. Sileälle tilkulle Gaussin kuvauksen N ϕ olemassaolo (ja se, että se on C -kuvaus) seuraa suoraan määritelmästä. Sileälle pinnalle tilanne on ongelmallisempi; tätä selvitellään seuraavassa kohdassa Pinnan suunnistus. Määritelmä 5.10. Olkoot M R 3 sileä pinta ja N sen C -yksikkönormaalivektorikenttä, N(p) = (p; N(p)). Pinnan M Gaussin kuvaus on pinnan yksikkönormaalivektorikentän määräämä kuvaus (5.2) N : M S 2. Esimerkkejä 5.11. a) Taso voidaan esittää yhtälöllä n p = h, missä n R 3 on nollasta eroava vektori (tason normaalivektori) ja h R vakio. Tällaisen tason Gaussin kuvaus on N : p n/ n, joten kuvajoukko koostuu vain yhdestä pisteestä. b) Pallolla S 2 = {p R 3 p = 1} on pisteessä p yksikkönormaali N(p) = p, joten Gaussin kuvaus N : S 2 S 2 on identtinen kuvaus. Edellisten esimerkkien antama idea, voimakkaammin kaareutuvalle pinnalle Gaussin kuvauksen kuvajoukko on isompi pallon pinnan osajoukko, oli Carl Friedrich

5.2. NORMAALIVEKTORIT 34 Kuva 1. Pallon pinnan S 2 Gaussin kuvaus: pallon normaalivektoreita (siniset) ja niiden kuvavektorit (punaiset; samat normaalivektorit siirrettynä origosta alkaviksi). Huomaa: N : S 2 S 2 on bijektio. Kuva 2. Toruksen T Gaussin kuvaus: toruksen normaalivektoreita ja niiden kuvavektorit (normaalivektorit siirrettynä origosta alkaviksi; tästä kuvakulmasta katsottuna niistä on näkyvissä vain kärki). Huomaa: kuvajoukko N(T ) peittää pallon S 2 kaksinkertaisesti. Gaussin (1777 1855) lähtökohta pinnan kaarevuuden määrittelemiseksi. 2 Tämä on kuitenkin teknisesti hieman mutkikas tapa, ja seuraavassa luvussa menetellään toisin käyttäen Julius Weingartenilta (1836 1910) peräisin olevaa ideaa tutkia pinnan yksikkönormaalin muutosnopeutta (eli derivaattaa). 2 Gaussin artikkelia Disquisitiones generales circa superficies curvas vuodelta 1827 voidaan pitää pintojen differentiaaligeometrian syntynä. Tätä ennen (1670-luvulta alkaen) tasokäyrien ominaisuuksia tunnettiin melko hyvin ja jonkin verran avaruuskäyriä; ks. [14, osa II, Ch. 2]. Frenet n kaavat ovat peräisin vasta vuosilta 1847 (Jean Frédéric Frenet, 1816 1900) ja 1851 (Joseph Alfred Serret, 1819 1885). Kaavat tosin oli löydetty jo tätä ennen, Karl Eduard Senff (1810-1849) ja Johann Martin Bartels (1769 1836) vuonna 1831, mutta nämä työt jäivät pitkäksi aikaa unholaan.

5.3. PINNAN SUUNNISTUS 35 5.3. Pinnan suunnistus Sileän tilkun ϕ: U R 3 tangenttiavaruus T u (ϕ) on kolmiulotteisen avaruuden kaksiulotteinen aliavaruus, joten sen ortogonaalikomplementti (T u (ϕ)) on yksiulotteinen. Tämän ortogonaalikomplementin kantavektoriksi käy luonnollisesti tilkun yksikkönormaalivektori N ϕ (u). Normaalivektorin N ϕ (u) voidaan ajatella osoittavan joukolle ϕ(u) ulkopuolen. Tällöin vastavektori N ϕ (u) osoittaa joukolle ϕ(u) sisäpuolen. Sileällä tilkulla on siis kaksi puolta. Sileälle pinnalle M R 3 tilanne on mutkikkaampi. Jokaista lokaalia parametriesitystä ϕ: U M vastaavalla pinnan osalla ϕ(u) M on kaksi puolta, koska lokaali parametriesitys on sileä tilkku. Ongelma syntyykin kahden eri parametriesityksen välille: parametriesitysten ϕ ja ψ määräämät normaalivektorit N ϕ (u) ja N ψ (u) voivat olla vastakkaiset osassa leikkausjoukkoa ϕ(u) ψ(v), osassa samat. Seuraavan esimerkin Möbiuksen nauha valottaa tilannetta. Esimerkki 5.12. Möbiuksen nauha on sileä pinta ϕ(( 1, 1) R), missä ϕ: ( 1, 1) R R 3, ( ϕ(t, θ) := (cos θ, sin θ, 0) + t cos θ 2 cos θ, cos θ 2 sin θ, sin θ ) 2 (( = 1 + t cos θ ) ( cos θ, 1 + t cos θ ) sin θ, t sin θ ). 2 2 2 Kuva 3. Möbiuksen nauha voidaan leikata kahteen osaan, joista kummallakin on jatkuva yksikkönormaalivektorikenttä. Osien leikkausjoukossa normaalit kuitenkin törmäävät vastakkaissuuntaisina. Määritelmä 5.13. Olkoon M R 3 sileä pinta. Pinta M on suunnistuva, sillä on jatkuva yksikkönormaalivektorikenttä N. Jos pinta M on suunnistuva ja N sen jatkuva yksikkönormaalivektorikenttä, on N pinnan M suunnistus, ja pari (M, N) suunnistettu pinta. Suunnistettu pinta on siis suunnistuva pinta, jolle normaalivektorin N valinnalla on määritelty ulkopuoli (se, johon N osoittaa), ja sisäpuoli. Tässä yhteydessä yksikkönormaalivektorikenttä N ja Gaussin kuvaus N on hyvä pitää erillään merkinnällisestikin. Nimittäin, yksikkönormaalivektorikenttä N on kuvaus, joka liittää pinnan jokaiseen pisteeseen p liittyvän yksikkönormaalin N(p), eli

N on kuvaus 5.3. PINNAN SUUNNISTUS 36 N : M (T p (M)), p M ja sillä on paikkaosa-suuntaosa -esitys N(p) = (p; N(p)), missä N : M R 3. Gaussin kuvaus on tällöin suuntaosan N määräämä kuvaus N : M S 2. Jatkossa tulemme keskittymään ensisijaisesti suunnistuvien pintojen tarkasteluun. Pinnat oletetaan yleensä suunnistetuiksi, eli niille oletetaan annetun yksikkönormaalivektorikenttä N. Seuraavat täydentävät tulokset ja esimerkit eivät ole jatkon kannalta tärkeitä, vaan lukija voi sivuuttaa ne ilman, että myöhemmät tarkastelut vaikeutuvat. Möbiuksen nauhan pohjalta kannattaa kuitenkin tehdä selväksi, ettei sileälle pinnalle suunnistuvuus ole itsestään selvää, vaan se pitää erikseen olettaa. Möbiuksen nauhaa havainnollistavan kuvaparin 3 oikeanpuoleinen kuva havainnollistaa suunnistumattomaan pintaan liittyvää toista ominaisuutta: käsite kierto 90 vastapäivään ei ole hyvin määritelty. Olkoot M R 3 sileä pinta, ϕ: U M sen lokaali parametriesitys ja N pinnan M osajoukon ϕ(u) jatkuva yksikkönormaalivektorikenttä. Kun asetetaan J p (v p ) := N(p) v p, v p T p (M), saadaan lineaarikuvaus J p : T p (M) T p (M), joka käyttäytyy paljolti samoin kuin kohdassa Käyrän kaarevuus tarkasteltu kuvaus J : R 2 R 2, (x, y) ( y, x). Esimerkiksi, ristitulon ominaisuuksien nojalla J p (v p ) v p, joten J p (v p ) saadaan kiertämällä vektoria v p 90 tangenttiavaruudessa T p (M). Tällöin Jp 2 (v p ) = J p (J p (v p )) = v p. Lisäksi, jos N(p) = (0, 0, 1), niin tangenttiavaruus T p (M) on oleellisesti xy-taso ja J p = J (laske tarkasti, niin näet miten). Edelleen, jos X on pinnan M jatkuva tangenttivektorikenttä, niin kuvaus M T (M) := T p (M) R 3 R 3, p J p ( X(p)), p M on jatkuva. (Tällöin sanotaan, että kuvaus p J p on jatkuva.) Kääntäen, jos jokaiselle p M on annettuna lineaarikuvaus J p : T p (M) T p (M) siten, että (i) Jp 2 (v p ) = v p kaikille v p T p (M), 3 ja (ii) kuvaus p J p on jatkuva siinä mielessä, että p J p ( X(p)) on jatkuva jokaiselle pinnan M jatkuva tangenttivektorikentälle X, niin tällöin kaava N(p) = v p J p (v p ) v p J p (v p ), v p T p (M), määrittelee pinnalle M jatkuvan yksikkönormaalivektorikentän N. Todistuksen osalta katso [8, 11.1, Thm 11.1]. 3 Tällaista lineaarikuvausta kutsutaan tangenttiavaruuden T p (M) kompleksiseksi struktuuriksi.

5.3. PINNAN SUUNNISTUS 37 Toinen suunnistuvuuteen liittyvä ominaisuus käsittelee kartanvaihtokuvausta (vrt. seuraus 4.11). Olkoot ϕ: U M ja ψ : V M sileän pinnan M R 3 lokaaleja parametriesityksiä siten, ϕ(u) ψ(v) on epätyhjä. Oletetaan (kuten luonnollista on), että joukot U ja V ovat yhtenäisiä. Tilkku ϕ määrittelee pinnan osajoukkoon ϕ(u) yksikkönormaalin N ϕ ϕ 1, missä N ϕ on tilkun koordinaattivektorikenttien E ϕ 1 ja E ϕ 2 ristitulo normeerattuna yksikkövektoriksi. Vastaavasti, tilkku ψ määrittelee pinnan osajoukkoon ψ(v) yksikkönormaalin N ψ ψ 1. Koska tangenttiavaruus T p (M) on kaksiulotteinen, on jokaisessa pisteessä p ϕ(u) ψ(v) voimassa ( N ϕ ϕ 1 )(p) = ±( N ψ ψ 1 )(p). Jos ( N ϕ ϕ 1 )(p) = ( N ψ ψ 1 )(p) leikkausjoukossa ϕ(u) ψ(v), saadaan yhdisteeseen ϕ(u) ψ(v) hyvin määritelty, jatkuva yksikkönormaali N asettamalla { ( N N(p) := ϕ ϕ 1 )(p), kun p ϕ(u), ja ( N ψ ψ 1 )(p), kun p ψ(v). Oletetaan nyt, että leikkausjoukko ϕ(u) ψ(v) on yhtenäinen, ja että siinä on voimassa ( N ϕ ϕ 1 )(p) = ( N ψ ψ 1 )(p). Yhdisteeseen ϕ(u) ψ(v) saadaan nyt hyvin määritelty, jatkuva yksikkönormaali N asettamalla { ( N N(p) := ϕ ϕ 1 )(p), kun p ϕ(u), ja ( N ψ ψ 1 )(p), kun p ψ(v). Jos leikkausjoukko ϕ(u) ψ(v) ei ole yhtenäinen, päädytään Möbiuksen nauhan kaltaisiin ongelmiin. (Tutki tilannetta, kun ϕ(u) ψ(v) koostuu kahdesta osasta.) Normaalin N ψ korjaus vastakkaissuuntaiseksi voidaan siirtää parametriesitykseen ψ seuraavasti: Olkoot Ṽ := {(v 1, v 2 ) R 2 (v 2, v 1 ) V} ja ψ : ψ(v Ṽ M, 1, v 2 ) := ψ(v 2, v 1 ). Tällöin 1 ψ(v1, v 2 ) = 2 ψ(v 2, v 1 ) ja 2 ψ(v1, v 2 ) = 1 ψ(v 2, v 1 ), joten N ψ(v 1, v 2 ) = N ψ (v 2, v 1 ). Kuvaus R 2 R 2, (v 1, v 2 ) (v 2, v 1 ), on diffeomofismi, jonka Jacobin determinantti on negatiivinen. Yleisesti pätee seuraava: Lemma 5.14. Olkoot ψ : V R 3 tilkku, Ṽ R2 avoin, F : Ṽ V sekä ψ : Ṽ R3, ψ := ψ F. Tällöin 1 ψ(ṽ) 2 ψ(ṽ) = (JF (ṽ)) 1 ψ(v) 2 ψ(v) kaikille ṽ Ṽ, kun v := F (ṽ), missä J F J F (ṽ) = det DF (ṽ). 4 Todistus. Olkoon F = (F 1, F 2 ). Ketjusäännön nojalla Ristitulolle on tällöin C1 -kuvaus on kuvauksen F Jacobin determinantti, 1 ψ(ṽ) = 1 ψ(f (ṽ)) 1 F 1 (ṽ) + 2 ψ(f (ṽ)) 1 F 2 (ṽ), 2 ψ(ṽ) = 1 ψ(f (ṽ)) 2 F 1 (ṽ) + 2 ψ(f (ṽ)) 2 F 2 (ṽ). 1 ψ(ṽ) 2 ψ(ṽ) = ( 1 F 1 (ṽ) 2 F 2 (ṽ) 1 F 2 (ṽ) 2 F 1 (ṽ) ) 1 ψ(v) 2 ψ(v). 4 Tämän sijasta me saksalaiset käytämme Jacobin mukaisesti pyöreätä osittaisderivaatalle. (Karl Weierstrass (1815 1897) vuonna 1874). Nykyinen merkintätapa osittaisderivaatalle lienee peräisin Carl Gustav Jacob Jacobilta (1804 1851) vuodelta 1827.

5.3. PINNAN SUUNNISTUS 38 Tämän lemman nojalla tasoalueen diffeomorfismi vaihtaa sileään tilkkuun liittyvän yksikkönormaalin vastakkaissuuntaiseksi aina ja vain, kun kyseisen diffeomorfismin Jacobin determinantti on negatiivinen. Yleisesti on voimassa: Lause 5.15. Sileä pinta M R 3 on suunnistuva, jos ja vain jos on olemassa perhe lokaaleja parametriesityksiä ϕ j : U j M, j J, siten, että (i) joukot ϕ j (U j ), j J, peittävät pinnan M, t.s. j J ϕ j(u j ) = M, ja (ii) jokaisen kartanvaihtokuvauksen ϕ 1 i ϕ j : ϕ 1 j (W i,j ) ϕ 1 i (W i,j ), i, j J, Jacobin determinantti on positiivinen joukossa W i,j := ϕ i (U i ) ϕ j (U j ). Todistus. Katso [8, 11.1, Thm 11.11]. Esimerkki 5.16. Yksi tunnetuimmista suunnistumattomista pinnoista on Kleinin pullo. Sen merkittävin ero Möbiuksen nauhaan nähden, mikä myös tekee siitä huomattavasti hankamman hahmottaa kuin Möbiuksen nauha, on että se on kompakti (jolloin se määritelmämme mukaan on reunaton; huomaa, että Möbiuksen nauhan kuvassa näkyvä reunaviiva ei ole osa nauhaa). Kuva 4. Paperimalli Kleinin pullolle. Suorakaiteen ylä- ja alareuna liimataan toisiinsa nuolten osoittamiin suuntiin. Syntyvän sylinterin päät liimataan nuolien osoittamiin suuntiin. Todellista Kleinin pulloa ei kuitenkaan voi piirtää kolmiulotteiseen avaruuteen, eli se ei ole määritelmämme mielessä kaksiulotteinen pinta; se on abstrakti kaksiulotteinen monisto. Kleinin pullon kaltainen pinta voidaan upottaa neliulotteiseen euklidiseen avaruuteen R 4 ja immersoida kolmiulotteiseen avaruuteen R 3 (upotuksessa pinta ei saa leikata itseään, immersiossa itseleikkaukset ovat sallittuja); tämän on todistanut Hassler Whitney 1944; ks. [15, Thm 10.9-10.15]. Vertaa tilannetta solmun tekoon: Avaruudessa R 3 langan päät voidaan liittää toisiinsa ilman, että lanka muualla koskettaa itseään. Jos lanka puristetaan tasoon, syntyy leikkauskohtia.

5.3. PINNAN SUUNNISTUS 39 Esimerkkejä 5.17. Toinen Kleinin pullon kaltainen suunnistumaton kompakti pinta on (reaalinen) projektiivinen taso RP 2. Tämä voidaan rakentaa paperista Kleinin pullon periaatteen mukaan, kun kuvassa 4 vaihdetaan alareunan suunta vastakkaiseksi (t.s. alareunassa vasemmalla olevat pisteet liimataan kiinni yläreunan oikealla oleviin pisteisiin). Kuten Klein pullo, projektiivinen tasokin RP 2 voidaan upottaa neliulotteiseen euklidiseen avaruuteen ja immersoida kolmiulotteiseen avaruuteen. Jonkinlainen realisaatio projektiivisesta tasosta RP 2 kolmiulotteiseen avaruuteen saadaan Steinerin roomalaisena pintana ja ns. crosscap-pintana: a) Steinerin roomalainen pinta on tilkku ϕ: (0, π) (0, π) R 3, ϕ(u, v) := ( sin u sin (2v), cos u sin (2v), sin (2u) (cos v) 2). Kuva 5. Steinerin roomalainen pinta. b) Crosscap on tilkku ϕ: (0, π) (0, π) R 3, ϕ(u, v) := ( 1 2 sin u sin (2v), sin (2u) (cos v)2, cos (2u) (cos v) 2). Kuva 6. Crosscap.