Ì ÓÚ Ö ÓØ Ð Ò Ã ÐÐÙÒ Å Ø Ñ Ø Ò ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ËÝ Ý ¾¼¼

Ë ÐØ ÂÓ ÒØÓ ½ ½ À ØÓÖ ¾ Î Ö ÓØ ÓÖ ¾º½ Î Ö ÓÒ ÚÖ ØÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ Ì ÓÚ Ö ÓØ ½ º½ ÂÓÖ Ò ÔÓÐ Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ ÈÙÙØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÙÐ Ö Ò Ú ¾½ º½ ÙÐ Ö Ò Ú Ò ÙÖ Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾ ¹ÚÖ Ð Ù ¾ ¹ÚÖ Ð Ù ¾ Ñ Ö ½ º½ ÃÓ Ô Ú Ò ÑÖÑ Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ Ã Ò Ö Ò ÐØ ÓÒ ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º Ð Ø Ø ØØ ÓÐ Ú Ò Ú Ö ÓÒ Ö ÒØ Ñ Ò Ò º º º º º º º º º º º Î Ö ÓØ ¹Ô Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÖÙ Ð Ò Ú Ö ÓØ ¹Ô Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º à ÖØØ ÚÖ ØÝ ÔÝ Ø Ò ÐÐ Ú ÐØ Ó ÐÐ º º º º º º º º º º º º º º º ÒÖ ÔÙÙØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º à ÙÔÔ Ñ Ø Ù Ø Ò ÓÒ ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ Ë Ò ØÓ Ä Ø Ø

ÂÓ ÒØÓ ÈÖÓ Ö Ù ØÙØ Ñ Ò ÐÙ Ò ØØÝ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ¹ ÐÙ Ò Ó Ò ÑÑ Ò ÖØØ Ñ ÒÙ ÙÙÖ Ò Ñ Ð Ò ÒÒÓÒ Ø ØÓØ Ò Ø Ò ÓÚ ÐÐÙ ¹ ÐÙ Ò ÚÙÓ º Ä Ý Ò Ò ÐÙ ÓÐ Ô Ø Ò Ò Ò ÑÑ Ò Ò Ó ÓÒÒ ØÙ Ô Ð ÙØØ Ñ Ò Ñ Ð Ò ÒØÓÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÐÙ Ñ Òº Ë Ö Ù Ò Ú Ð ÒÒ Ò ØÙÐÐ Ò Ó Ø ØÑ ÓÐ ÙÓÖ Ò Ý Ñ Ð Ò¹ ÒØÓ ÑÑ Ø Ó ¹ ÐÙ Ú ØÓ Ó Ø º ÅÓÐ ÑÑ Ø Ö ÙÒ Ô Ó Ø ÓÚ Ø Ó Ø Ó Ò ÓÐ Ò Ø ÖÑÒÒÝØ ÑÑ Ò Ò ÓØ Ó ÐÐÓ Ò Ú ÙØØ Ú Ø Ñ ¹ Ð Ò ÒØÓ ÐØ º ÇÐ Ò ÐÓ Ø ÝÐÐØØÝÒÝØ Ø ØØ Ñ ÒÙÒ ÓÐ Ñ ÓÐÐ Ø ¹ ØØÝ Ò Òº à ØÓ ÔÖÓ Ö Ù ¹Ó ÐÐ Ò ÔÖÓ ÓÖ ÂÖÚ ÒÔÐÐ Ò Ò ÒÒÓ Ø Ú Ò Ô Ó Ø Ò Ú Ð ÒÒ Ø º Ò ÑÑ ÐÙÚÙ ØØ Ð Ò ØÑÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ¹ ÐÙ Ò ØÓÖ Ð Ù ØÝ Ø ÒÝ ÝÔ ÚÒ ØÙÒÒ ØÙ ÑÔ Ò ÓÒ ÐÑ Òº Ð ÓÒ Ø ÔÓ Ù ¹ ÐÐ Ò Ò ØØ Ò Ð Ù Ø ÚÓ Ò ÙÓÖ Ò Ó Ó ØØ Ò ÑÑ Ò ÓÖÑ Ð ¹ Ó ØÙÙÒ ÓÒ ÐÑ Ò º Ë Ø ÒÒ Ò Ð Ò ÓÒ ÐÑ Ô ØØ Ò Ð ÒÒ Ú ÝØع Ú Ò Ô Ò Òº ÅÝ Ð Ò ÓÚ ÐÐÙ Ø ÓÚ Ø Ñ ÐÐ Ó ÐÐ ÐÔÓÑÑ Ò ÝÑÑÖ¹ Ö ØØÚ Ð Ý ØØÚ Ù Ò ÑÓÒ Ò ÑÙÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö Òº Ë ÙÖ Ú ÐÙÚÙ ØØ Ð Ò Ú Ö ÓØ ÓÖ Ò Ô ÖÙ Ø Ø Ø ÓÚ Ö ¹ Ó Ò Ö Ó ÙÙ º Æ Ò Ø ØÓ Ò ÓÒ Ø Ö Ó ØÙ ÒØ ÔÓ ØÙÐ Ú Ò Ó ¹ Ø Ò ÝÑÑÖÖÝ ÐÐ º ÄÙÚÙØ ÓÚ Ø ÐÐ ÐØÒ Ð ÑÔ Ù Ò Ñ Ø ÔÖÓ Ö Ù¹ Ò Ô Ó Ø Ò ÝÑÑÖØÑ Ò Ò ÐÐÝØØ ÑÙØØ ÐÙ Ò Ø Ø Ø Ó Ó Ø Ò ÑÑÒ Ù Ò Ú Ò Ô ÖÙ Ø ØÓÐÙ ØØ ÐÓÒ ÐÙ Ò ØØ ØÙÐ Ú Ò ÓÔ ØØ Ò ÚÓ Ò ÝØØ Ø Ñ ÓÐÐ Ø ÓÔ ØÙ Ñ Ø Ö Ð Ò Òº Æ Ð ÒÒ Ò ÐÙÚÙÒ ÐØ ÓÒ Ò ÑÑ Ò Ò ÔÖÓ Ö ÙÒ Ô Ó Ø Ð ÙÐ Ö Ò Ú ÑÙÙØ Ñ Ò ÙÖ Ù º ÌÑÒ ÐØ Ø ÖÚ Ø Ò ØÓ Ò Ô Ó ¹ Ò Ð ¹ÚÖ Ð Ù Ò ØÓ ØÓ ØÙ º ÙÐ Ö Ò Ú ÐÐ ÓÒ Ô Ð ÓÒ ÑÙ ¹ Ø Ò ÙÖ Ù ÑÙØØ Ø ÓÚ Ø Ú Ò ÔÖÓ Ö ÙÒ ÒÒ ÐØ ÓÐ ÐÐ Ø Ø ÝÑÑÖÖÝ Ø ÐÔÓØØ Ú Øº ÙÐ Ö Ò Ú Ò ÓÐ Ò Ô ÒÒ ÐÐ Ø ØÙØÙ ØÙÒÙØ Ñ¹ Ñ Ò Å Ø Ñ Ø Ò ØÓÖ Ò ÙÖ Ò Ý Ø Ý ÈÐ ØÓÒ Ò ÒÒ ÐÐ Ò ÑÓ¹ Ò Ø Ó Ò Ö Ó ØØÙ Òº Î ÒÒ ÙÙ ÒÒ ÐÙÚÙ ØØ Ð Ò ÖØØÓ Ò ÚÖ ØØÑ Ø Ð ¹ ¹ÚÖ ÓÒ ÐÑ Ó Ø ¹ÚÖ ÓÒ ÐÑ Ò ØÓ ØÙ ÓÐ Ö ÙÒ ØÓ Ò Ò Ô Ó Ø º ¹ÚÖ ÓÒ ÐÑ Ò ØØ Ð Ò Ó ÝÒÒÝØØ ¹ÚÖ ÓÒ ÐÑ ÐÐ ÓÒ ÐÑ Ò Ø Ò ØØ Ö Ø ÙÒº ¹ÚÖ ÓÒ ÐÑ Ø ØÓ Ø Ø Ò Ò Ð ÒÒ Ò ÐÙÚÙÒ ÙÐ Ö Ò Ú Ò ÚÙÐÐ ØØ ÐÑ Ò Øº Æ Ò Ð Ð Ý Ò ÑÝ ÑÙ Ø ØÓ¹ ØÙ ÑÙØØ Ô Ý Ò Ú Ð Ø Ñ Ò Ò ÑÑ Ò Ö Ó ÑÑ Òº ½

Ë Ø ÑÒ ÐÙ Ù ØØÝÚØ ÓÒ Ö Ø Ó Ñ Ò Ú Ö ÓØ ÓÖ ØØ ÓÒ ÐÑ Ñ Ö Ò ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÚÙÐÐ º ÃÓ Ó ÐÑ Ò ÙÙÐÙÚ Ø ÑÙÙØ Ñ Ô Ó Ø ØÝ ÒØÚ Ø ØÚ ÓÑ Ú Ð ÒØÓ Ò ØÝÝÔ ÐÐ Ø ÓÚ Ö Ó¹ Ò ÚÖ ØÝ Ø Ò Ñ Ö º ¾

½ À ØÓÖ Î Ö Ò Ò Ú Ö ÓØ ÓÖ Ò Ð ÙÒ Ô ØÒ Ã Ò Ö Ò Ð Ã Ð Ò Ò Ö Ò ÐØ ÓÒ ÐÑ º Ã Ð Ò Ò Ö Ò ÐÚ Ø Ú ÖØ Ó Ó ÓÒ ÖØ º ÅÓ¹ Ð ÑÑ ÐØ Ö ÐØ ÙÐ ÐØ Ø ÐØÓ ÑÓÐ ÑÑ ÐÐ Ö ÒÒÓ ÐÐ ØÓ ÐÐ Òº à ÙÔÙÒ Ò Ù Ø Ó ØØ Ú Ø Ð ÝØ Ö Ø Ò ÓØ Ô Ø Ò ÙÐ Ñ ÐÐ Ó Ò Ò ÐØ ØÙÐ ÙÐ ØÙ Ú Ò ÖÖ Ò ÐÓÔÙ Ú Ð Ô ÝØØ Ò Ð Ø Ö ÒÒ ÐÐ º ÎÙÓÒÒ ½ ÙÐ Ö ØÓ Ø ÙÐ Ù Ò ËÓÐÙØ Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÓÑ ØÖ Ñ ØÙ Ô ÖØ Ò ÒØ Ì ÓÐÙØ ÓÒ Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ð Ø Ò ØÓ Ø ÓÑ ØÖÝ Ó ÔÓ Ø ÓÒµ ØØ ØÐÐ Ø Ö ØØ ÓÐ ÓÐ Ñ Ú ÐÙÓÚÙØØ Ò Ú Ø ÑÙ Ø ÔØÝ ÐÓÔÙÐØ Ð Ø Ö ÒÒ ÐÐ º ÇÒ ÐÑ ÓÒ Ø Ö ÑÑ Ò ØÙØ ØØÙ ÐÙÚÙ º¾º Ã Ò Ö Ò ÐØ ÓÒ ÐÑ Ô ØÒ ÓÖÑ Ð Ò Ú Ö ÓØ ÓÖ Ò Ò ÑÑ Ò ÓÒ ÐÑ Ò Ò Ò ÓÐÐ Ò ÙÐ Ö Ò Ø ÓØ Ò ÝØÒÒ ÐÙÓÒ Ò Ö Ø ÙÒ Ý Ø Ý ÙÙ Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö Òº ÌÑ ÓÒ ÑÝ Ò ÑÑ ØÓÔÓÐÓ¹ Ö Ø Ù Ó ÖÖÝØÒ Ø ÝÝ Ò ÓÑ ØÖ Ø Ô Ó Ò Ù Ø ¹ Ò ÓÑ ØÖ Òº ÌØ Ò Ú Ò ÑÔ Ú Ö ÓØ ÓÖ Ò Ð ØØ Ú ÓÒ ÐÑ ÓÒ Ø Ó º ÓÒ Ø Ö Ò ÙÒ Ò Ø ÓÐÐ ÓÐ Ò Ð ÔÓ º ÀÒ ÐÙ ØØ ÔÓ Ø Ô Ö ÚØ Ó Ò Ò Ò Ð ÒÒ Ò ÙÒ Ò ÙÒÒ Ø ØØ Ó Ò ÔÓ Ò Ô ÙÔÙÒ¹ Ø ØÙÐ Ö ÒØ Ø Ò ÑÙ Ò ÙÔÙÒ Ò Ø Ò ØØ Ø Ø ÚØ ÑÙ Ø Ñ Ø Ø ÚØ Ö Ø ÑÙÙ ÐÐ Ù Ò Ô ÙÔÙÒ º ÌÑ ÓÒ Ö Ø Ø Ú ÑÙØØ Ø Ö Ò Ò Ø Ó¹ÓÒ ÐÑ Ó ÖØÓÓ ÙÒ Ò Ò ¹ Ò Ò Ú Ð Ý Ò ÔÓ Ò Ð Ò ÙÚÓÒ ÒØ Ò ÓÒÒ ØÙÒ Ò ÙÓÖ ØØ Ñ Ò ÓÒ ÙÙ ÐÐ Ò ÓÒÒ ØÙÒ Ø ÓÒ ÒÝ Ý Ò ØÓ Ø ØØÙ Ñ ÓØØÓÑ º ÅÓ ÖÒ ÑÔ Ò Ú Ö ÓØ ÓÖ ØØ Ò ÓÒ ÐÑ Ò ÙÙÐÙÙ Ò º à ÙÔÔ Ñ Ø Ù Ø Ò ÓÒ ÐÑ ÌÖ Ú Ð Ò Ë Ð Ñ Ò ÈÖÓ Ð Ñ µº Ë Ò ÓÒ Ø Ö Ó ØÙ Ò Ð ÝØ ÐÝ Ò Ñ ÓÐÐ Ò Ò Ö ØØ ÓÐÐ ÙÐ Ø Ò ÑÖØØÝ Ò Ô Ó Ò ÙØØ Ô ÝØÒ Ð Ø Ô Ø Ò Ø Ö ÑÔ ÙÚ Ù ÔÔ Ð º µº Ä ÐÐ Ø Ò Ñ ØÒ ØØ ÐÙ Ø Ò ÙÓÐ Ñ ØØ ØÑ ÓÒ ÐÑ ÒØÝÝ Ñ Ø ÑÓÒ Ò ÑÑ Ý¹ ØÒÒ Ò ÓÚ ÐÐÙ ÐÙ ÙØÓ Ò Ö ØØ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ô Ö Ð ÚÝ Ò ÔÓÖ Ù ¹ Ò Ñ Ò ÑÓ ÒÒ Ö Ð Ó ÓØÙ ¹ Ú Ö Ó ÙÙÒÒ ØØ ÐÙØ ÑÓÒ ÑÓÒ ÑÙ Ô Ó º ÃÙ Ø Ò Ò ÙÙÐÙ Ò Ú Ö ÓØ ÓÖ Ò ÓÒ ÐÑ ÓÒ Æ Ð ÚÖ Ð Ù Ò ØÓ ¹ Ø Ñ Ò Òº Ë Ò Ø Ö Ò Ð Ó ½ ¾ ÙÒ ÒÙÓÖ Ñ Ø Ñ Ø Ó Ò Ñ ÐØÒ Ö Ò

ÙÖØ ÓÙØÙ ÔÓ Ø Ñ Ò Ò Ð ÒÒ Ò Ñ ÙÒØ ÖØ Ò ÚÖ ØØÑ Øº ÎÖ ØÝ ¹ Ò ØÙÐ ÒÓÙ ØØ ÒØ ØØ Ø Ý Ø Ø Ö ÓÑ Ú ÐÙ ØØ ¹ ÒÙØ ÚÖ ØØ ÒÒ Ñ ÐÐ ÚÖ Ðк ÀÒ ØÙÐ Ó ØÓÔØ Ò ØØ ¹ Ò ÖØØÓ Ò ÚÖ ØØÑ Ò ÒÝØØ Ö ØØÚÒ Ò Ð ÚÖ º ÙÖØ ØØ ÓÒ ÐÑ Ò ØÙÒØ Ñ ÐÐ Ò Ñ Ø Ñ Ø ÓÐÐ Ù Ù ØÙ ÅÓÖ ¹ Ò ÐÐ ÔÝÝØ Ò ÓÖÑ Ð ØÓ ØÙ Ø Ø Ú Ø Ñ Ö Ú ÒÒÓÐÐ Òº ÅÓÖ¹ Ò Ó ÒÒÙØ Ú Ø Ø Ý ÝÑÝ Ò ÙÓÖ ÐØ Ò Ò Ò Ú ÙØÙ ¹ Ø Ò ÔÝ Ö ÑÒ ÄÓÒØÓÓÒ Ñ Ø Ñ ØØ Ò Ô Ö Ò Ù ÑÑ ÚÙÓ Ýѹ Ñ Ò Ò Ñ ÐÐ ÓÙÖ ÓÐÓÙÖ ÓÒ ØÙÖ Ð Æ Ð ÚÖ ÓÒ ÐÑ º ÇÒ ÐÑ Ù Ø Ò Ò Ô ØØ Ò Ò ÑÑÒ Ò Ù Ð Ò ÔØØ ÐÝØ ØÚÒ Ù Ò Ó Ò Ñ Ø Ñ ØØ Ò ÓÒ ÐÑ Ò ÙÒÒ ½ Ò Ð ÒØ Ð Ò Ò Ñ Ø Ñ Ø Ó Öع ÙÖ ÝÐ Ý Ô ÒÓ Ø ÄÓÒØÓÓÒ Ñ Ø Ñ ØØ ÐØ Ý Ø ÐØ ØÓ ØÙ Ø Ú ØØ ÐÐ º ÎÙÓØØ ÑÝ ÑÑ Ò ÐÓÒØÓÓÐ Ò Ò Ð Ñ Ð Ö Ã ÑÔ ÙÐ Ñ Ð ØÒ ÔØ ÚÒ ØÓ ØÙ Ò ÓÒ ÐÑ Òº ÌÓ ØÙ Ó Ó ØØ ÙØÙ Ù Ø Ò Ò ÐÓÔÙÐØ Ú¹ Ö Ñ Ò Ó Ó ØØ ÂÓ Ò À ÛÓÓ Ý ØÓ Ø ÚÙÓØØ ÑÝ ÑÑ Òº ÀÒ Ù ¹ Ø Ò Ò ØÓ Ø Ò ÔÓ ÐØ ØØ Ó Ò Ò ÖØØ ÚÓ Ò ÚÖ ØØ Ú ÐÐ Ú¹ Ö ÐÐ ØÓ Ø Ò Ò Ò Î ÚÖ Ð Ù Ò Ú ÓÐÓÙÖ Ì ÓÖ Ñ µº Æ Ð ÚÖ ÓÒ ÐÑ Ò ØÓ ØÙ Ô Ó Ð Ñ Ø Ñ Ø Ó Ú ØÓ ØÙ Ò ÒÝØØ ÓÐ Ú ÑÙÙØ Ñ ÐÑ ÐÚ Ø ÔÓ Ò ÐØÚØ Ù Ø ÒÓ Ú Ö ¹ ÓÒ ÐÑ º ÅÓÒ Ñ Ø Ñ Ø Ó ÝÖ ØØ ØÓ Ø Ø Ó Ø Ò ÝÚ ÝÖ ¹ ØÝ ÝÒØÝ ÑÙØØ ÑÙÙØ Ñ Ò ÚÙÓ ÝÑÑ Ò Ò Ò Ò Ø Ø Ð Ý¹ ØÝ Ô Ñ ØØÓÑ Ö º ÌÓ ØÙ ÝÖ ØÝ Ø Ù Ø Ò Ò ÝÒÒÝØØ ÚØ ÑÓÒ ÙÙ ØÙÐÓ Ú Ö ÓØ ÓÖ Ò ØÓÔÓÐÓ Ò ÐÙ ÐÐ ÓØ Ò Ò Ò ÝØ ØØÝ ØÝ Ù Ò Ò Ñ ÒÒÝØ Ù Òº Ò ÑÑ Ò Ò Ù ÓØÓÒ ØÓ Ò Ô Ø Ò ÑÔ Ò ÝÚ ÝØØݵ ØÓ ØÙ Ø Ò ÚÙÓÒÒ ½ ÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ó ØÓ Ø Ú ØØ Ò Ø ØÓ ÓÒ Ò ÚÙй Ð Ó º ÌÓ ØÙ Ô ÖÙ ØÙÙ ÖÙØ ¹ ÓÖ ¹Ø Ò Ò Ð Ò ØØ ¹ Ñ ÓÐÐ Ø Ø ÓÚ Ö ÓØ ÐÙÓ Ø ÐÐ Ò Ø ØØÝ Ò Ø ÓÖ Ó Ò Ø Ø Ø Ò Ø ØÓ ÓÒ ÐÐ ÐÔ Ú Ø Ñ Ö Ò Ú Ö ÐØ º ÌÓ ØÙ Ø Ù Ò ÓÐ ØÙ Ò ÝÖ ØØ Ò Ú ÖÑ ÒØ Ò Ø Ô ØÒ ØÝÝÐ ØØ ÑÒº Ë ÙÖ Ú Ò ØÙÒÒ ØØÙ ØÓ ØÙ ÓÐ ÐÐ Ò Ò Ø ØÓ ÓÒ ÚÙ Ø Ò Òº Ë ÔÓ ÐÐ Ò ÝÖ ØÝ Ò Ø Ò Ò Ô Ö ÒØ ÐÙ ÓØ Ú Ò ÚØ Ø ØÓ ÓÒ Ò ØÙØ Ñ Ø ÓÖ Ó Ø º ÂÓ Ø Ò ÚÙÓ ØØ Ò ÓÒ ÐÑ Ö Ù Ó Ø Ò ÐÓ Ò ÓÒ ÐÑ ÙÓÖ Ø Ø¹ Ø Ò Ñ Ø Ñ ØØ Ò Ð ÙÓ ÐÑ Ò ÚÙÐÐ Ø Ò ØØ Ó ØÓ ØÙ Ò Ú Ñ Ø Ñ Ø Ó ÖØÓ Ó ÐÑ ÐÐ ÙÖ Ú Ò Ð Ò ÙÓÖ Ø¹

Ø ÒÓ Ø Ò Ú Ò Ñ Ò Ø Ð ÙØÓ Ñ Ø٠غ ÆÑ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø ÓÒ Ø Ö Ø ØØÙ Ö Ó ÐÑ ÐÐ ÓØØ ÚÓ Ò ÓÐÐ Ú ÖÑÓ Ð Ù¹ Ó ÐÑÓ ÒØ ¹ Ú Ö ØØ ÑÝÝ Øº Ä ÑÑ Ø Ô Ù ØÓ ØÙ Ò ÓÒ ÝØ ØØÝ Ò Ñ ÒÓÑ Ò Ø Ò ÓÒ ÐÑ Ò Ø ØÝ Ó ÐÑ Ó Ú ÒØ ØÓ ØÙ Ò Ð Ò º Ì Ò Ñ ÒÒ Ñ Ø Ñ Ø ÓØ ÙÙÖ ÑÑ ÐØ Ó Ò ÐÙÓÔÙ Ú Ø ØÓ ¹ ÚÓ Ø Ð ÝØ ÔÙ Ø Ø Ò Ñ ÐÐ Ò Ò Ö Ø Ù ÓÒ ÐÑ Òº ËÝ ÝÐÐ ¾¼¼ Á Ö Ñ Ø ÙÐ ØÓ Ø ÚÙ Ò Ô Ô Ö Ò ØØ Ò ¹ ÚÖ ÓÒ ÐÑ ÐÐ Ú Ò ÙÙ ÒÐ Ò ØÝ Ò ÓÒ Ø Ñ ØØÓÑ Ò Ú Ö ÓÒ ØÓ ¹ ØÙ Ø º ÌÓ ØÙ ÓÒ ÐÙÔ Ú ÑÙØØ Ð Ù ÙÒØÓ Ò Ô ØÚÝÝ Ø Ú Ð ÓÐ ÑÙ Ò Ñ Ø Ñ Ø Ó Ò ØÓ Ñ Ø ÙÐ ØÙº ÇÒ ÐÑ Ò Ð ØÝÑ Ø Ô ÓÒ Ù Ø Ò Ò Ú Ò ÙÙ ÒÐ Ò Ò ØØ ÔÓÒÒ ØÙ Ò Ò Ú Ø ÙÙ Ö ØØ Ö Ø ÙÒ Ø ÒØÒº

¾ Î Ö ÓØ ÓÖ ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½º È Ø Ø ÓÐÑÙ Ø Ö µ ÓÒ Ú Ö ÓÒ Ó Ò Ñ Ò ÑÙ Ø ÝÐ Ò Ø ØÒ Ô Ø Òº ÅÖ Ø ÐÑ ¾º¾º Ã Ö Ø Ú Ú Ø ÚÙ Ø ÚÐ Ø ÝÐ µ ÓÒ Ú Ö ÓØ ÓÖ Ú Ö ÓÒ Ó Ó Ý Ø Ô Ø Øغ Ã Ö ÚÓ ÓÐÐ Ó Ó ÙÙÒÒ ØØÙ Ø ÙÙÒØ Ñ ØÓÒ Ð Ý ¹ Ø ÙÙÒØ Ò Òº ÅÖ Ø ÐÑ ¾º º Î Ö Ó Ø Ö µ ÑÙÓ Ó ØÙÙ Ô Ø Ø Ò Ø Ý ØÚ Ø Ö Ø º Î Ö ¹ ÓÓÒ ÚÓ ÑÝ ÙÙÐÙ Ô Ø Ø Ó Ò Ð ØÝ Ö ÙÚ ¾º½µº Î Ö Ó G ÓÒ Ô Ö (V,E) Ñ V ÓÒ Ô Ø Ò ÓÙ Ó E Ô Ø Ô Ö Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ò Ö Ò ÓÙ Óº ÎÓ Ò Ñ Ö Ø V = {v i } E = {(v i,v j )} = {e k }º Å Ö ØÒ ØØ V ÓÒ Ú Ö ÓÒ Ô Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ E ÓÒ Ö Ò ÐÙ Ù¹ ÑÖº ÃÙÚ ¾º½ Ñ Ö Ú Ö Ó Ó ÓÒ Ô Ø ØØ ½¼ ÖØ º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º º È Ø Ø v i v j ÓÚ Ø Ö Ò e k = (v i,v j ) ÔØ Ô Ø Øº È Ø Ø ÓÚ Ø Ú Ö ¹ Ø Ð Ò ÔÙÖ Ø Ó Ò Ø Ý Ø Ö º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º º Ã Ö Ø ÓÚ Ø Ú Ö Ø Ó Ò ÐÐ ÓÒ Ý Ý Ø Ò Ò ÔØ Ô Ø º

Ö ÒÒ Ø Ó Ò Ò ÑÓÐ ÑÑ Ø ÔØ Ô Ø Ø ÓÚ Ø Ñ Øº Ã Ö (v i,v i ) ÓÒ ÐÑÙ Ø ÐÓÓÔÔ µº ÅÖ Ø ÐÑ ¾º º È Ø Ò v i Ø d(v i ) ÓÒ Ô Ø Ò ÔØØÝÚ Ò Ø Ð Ú Ò Ö Ò ÐÙ Ù¹ ÑÖº ÅÙ Ò Ð Ø Ò Ö ÒÒ Ø Ö Ø ÐÑÙ Ò ÑÓÐ ÑÑ Ø Ôغ È Ø ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Ò Ó Ò Ø ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Ò Ø ÑÓ Ò Ô Ö ØÓÒº È Ø ÓÒ Ø ÓÒ 0 ÓÒ ÖØÓÔ Ø º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º º ÈÓÐ Ù Ø Ú ÐÝ Ø Ø Ù Ø ÓÒÓµ ÓÒ Ö ØØ Ó ÑÙÓ Ó ØÙÙ Ú Ö Ø Ú Ö ÓÒ Ö Ø º Ë Ø Ñ Ö ØÒ (e i,e m,e k ) Ó ÓÒ Ð Ø ÚÙ Ø Ö ØÝ ¹ Òº Î Ø Ú Ø ÚÓ Ò ÑÝ ÑÖ Ø ÐÐ Ð Ø Ñ ÐÐ Ú Ö Ø Ô Ø Ø Ö ØÝ Ò Ø ÓÙ ÓÒ º ÈÓÐ Ù ÓÒ Ý Ò ÖØ Ò Ò Ó Ò ÓÐ Ö ÒÒ Ö ÐÑÙ Ó Ø Ò Ó Ò Ò Ö ÙÐ Ø Ò Ú Ò ÖÖ Òº à ÖÖÓ Ð ÙÐ ØØÙ ÔÓÐ Ù Ø Ý Ð µ ÓÒ ÔÓÐ Ù ÓÒ Ð ÙÔ Ø ÓÒ Ñ Ù Ò ÐÓÔÔÙÔ Ø º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º º Î Ö Ó ÓÒ ØÝ Ú Ö Ó Ó Ò ÓÐ Ö º ÒÓÐÐ Ú Ö Ó Ó Ò ÓÐ Ô Ø Øº ØÖ Ú Ð Ú Ö Ó Ó ÓÓ ØÙÙ Ú Ò Ý Ø Ô Ø Øº Ý Ø Ò Ò Ò Ó Ò ÓÐ Ô Ø Ø Ó Ò ÚÐ ÐÐ ÓÐ ÔÓÐ Ù º Ý Ò ÖØ Ò Ò Ó Ò ÓÐ ÐÑÙ Ó Ø Ø Ö ÒÒ Ö º ÒÒ ÐÐ Ò Ò Ó Ò Ò Ô Ø Ò Ø ÓÒ Ñ º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º º ÓÑ ØÖ ÐÐ Ú Ö ÓÐÐ ÓÒ ÙÖ Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø µ ÑÙÓ Ó ØÙÙ Ò Ò Ô Ø Ò ÓÙ Ó Ø V = {v i } Ý Ò ÖØ Ø Ò Ö Ò ÓÙ Ó Ø E = {e i } µ Ó Ò Ò ÓÙ ÓÒ ÙÐ ØØÙ Ö ÐØ Ø ÑÐÐ Ò Ý Ò ÓÙ ÓÒ Î Ð¹ ÓÒº

ÃÙÚ ¾º¾ Ë Ñ Ú Ö Ó Ø ØØÝÒ ÐÐ Ö Ð ÐÐ Ø Ó ØÝ Ðк ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½¼º Î Ö ÓÒ Ø Ó ØÝ ÓÒ Ú Ö ÓÒ Ö Ò Ò ØÝ Ð Ô ÖÖÓ º ÐÐ Ú Ö ÓÐÐ ÚÓ ÓÐÐ Ù Ø Ö Ð Ø Ó ØÝ ÙÚ ¾º¾µº ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½½º Î Ö ÓÒ ÓÑÔÓÒ ÒØØ ÓÒ Ú Ö ÓÒ Ò Ò Ô Ø Ò ÓÙ Ó Ó ÐØ ÓÒ ÔÓÐ Ù ØÓ ¹ ÐÐ Òº Ø Ò ÐÐ Ú Ö ÓÐÐ ÓÒ Ý ÓÑÔÓÒ ÒØØ ÔÝ Ø Ò ÐÐ Ù ÑÔ º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½¾º Î Ö Ó G j ÓÒ Ú Ö ÓÒ G i Ð Ú Ö Ó Ó V j V i E j E i º ÌØ Ñ Ö ØÒ G j G i º Ä Ù ¾º½ º ÂÓ ÐÐ Ú Ö ÓÐÐ G = (V,E) ÔØ d(v) = 2 E. v V ÌÓ ØÙ º ÅÖ Ø ÐÑÒ ÑÙ Ò Ô Ø Ò v Ø d(v) ÓÒ Ô Ø Ò Ð ØØÝÚ Ò ÖØ Ò ÐÙ ÙÑÖº Î Ö ÓÒ Ó Ò Ò Ö e ÐØ ÔØ Ô Ø Ò ÓÙ Ó Ø V Ó Ø ÓÒ µº ÌÐÐ Ò Ó Ð Ø Ò Ý Ø Ò Ú Ö ÓÒ Ò Ô Ø Ò Ø Ø Ò ÖØ Ö Ò ÐÙ ÙÑÖº Ë ÙÖ Ù ¾º½ º ÂÓ Ú Ö Ó Ø ÐØ Ò Ô Ö ØØÓÑ Ò Ô Ø Ò ÐÙ Ù¹ ÑÖ ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Òº ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½ º Ë ÒÓØ Ò ØØ Ú Ö ÓÐÐ G ÓÒ ÝÐ Ò Ò Ø d(g) Ó Ò Ó Ò Ô Ø Ò Ø ÓÒ Ñ º Î Ö ÓÒ ÙÙÖ Ò Ø ÓÒ Ò ÓÖ ¹ Ø ÑÑ Ò Ô Ø Ò Ø º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½ º Ò ÖØ Ò Ò Ú Ö Ó Ó ÓÒ n Ô Ø ØØ ÓÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò Ò Ø n 1 ÓÒ ØÝ ÐÐ Ò Ò Ú Ö Óº Å Ö ØÒ ØÐÐ Ø Ú Ö Ó K n ÙÚ ¾º µº

ÃÙÚ ¾º ÌÝ ÐÐ Ò Ò Ú Ö Ó Ó ÓÒ Ô Ø ØØ Ð Ú Ö Ó K 6 º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½ º Î Ö ÓÒ G ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ Ḡ ÓÒ Ú Ö ÓÒ Ò Ô Ø Ò Ò Ò Ö Ò ÓÙ Ó ÓØ Ø ÖÚ ØØ Ò ØÝ ÒØÑÒ Ú Ö Ó ØÝ ÐÐ ÙÚ ¾º µº ÃÙÚ ¾º ÃÙÚ Ò ¾º½ Ú Ö ÓÐÐ Ô ÖÖ ØØÝ ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½ º ÙÐ Ö Ò Ú ÐÝ ÓÒ ÔÓÐ Ù Ó ÙÐ Ø Ò ÖÖ Ò Ó Ø Ú Ö ÓÒ ÖØ Ô Ø Òº Ä Ù ¾º½ º Ø Ò ÐÐ Ú Ö ÓÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ ÙÐ Ö Ò Ú ÐÝ ÙÒ µ Ú Ö ÓÒ Ó Ò Ô Ø Ò Ø ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Ò ÓÐÐÓ Ò Ú ÐÝ ÓÒ Ò Ñ ÐÐ ÑÝ ÖÖÓ º µ Ú Ö Ó ÓÒ Ø Ò Ô Ö ØÓÒØ Ô Ø Øغ ÌÓ ØÙ º µ ÂÓ Ø Ò ØÙÐÓ Ò Ù Ø ÓÐÐ Ö Ò ÐÙ ÙÑÖÒ Ù Ø Òº ÂÓ Ú Ö Ó ÓÐ Ö ÓÒ ØÙÐÓ ÐÚº ÇÐ ÓÓÒ G ÔØÖ Ú Ð Ý Ø Ò Ò Ò Ú Ö Ó ÓÒ Ó Ò Ò Ô Ø ÓÒ Ô Ö ÐÐ ¹ Ò Òº ÃÓ Ú Ö Ó G ÓÒ Ö ÓÒ Ò Ô Ò Ò Ø Ú ÒØÒ º ÌÐÐ Ò ½¼

Ú Ö Ó ÓÒ ÓÐØ Ú Ò Ò Ý ÖÖÓ ØÓ ØÙ Ð Ù Ò º½ Úµ ÚÙÐÐ µº Çй ÓÓÒ ÒÝØ C ÙÙÖ Ò Ñ ÓÐÐ Ò Ò ÖÖÓ G ÐÐ ÓÐ Ø Ø Ò Ð ØØ ÓÐ ÙÐ Ö Ò Ú Ðݺ ÅÙÓ Ó Ø Ø Ò G Ò Ð Ú Ö Ó H Ó ÔÓ Ø Ñ Ð¹ Ð G Ø ÖÖÓ Ò C Ö Øº ÃÓ G ÓÒ Ý Ø Ò Ò Ò ÙÙÐÙÙ ÖÖÓ Ò C Ô Ø x Ó ÙÙÐÙÙ ÑÝ Ð Ú Ö ÓÓÒ Hº ÂÓ Ò Ð Ú Ö ÓÒ H Ô Ø Ò Ø ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Ò ØÐÐ Ò Ð Ú Ö ÓÐÐ H ÓÒ Ò Ù Ø Ó¹ÓÐ ØÙ Ò ÑÙ Ò ÓÐ Ñ ÖÖÓ D Ó ÓÒ ÙÐ Ö Ò Ú Ðݺ ÃÓ ÖÖÓ Ø C D ÚÙ Ú Ø Ô Ø x ÚÓ Ò Ò Ð ØØ ÙÙ ÙÙÖ ÑÑ ÖÖÓ º ÃÓ ØÑ ÓÒ Ú ¹ ØÓ Ò C Ò Ñ Ñ Ð ÙÙ ÓÐ ØÙ Ø ÓÒ ÖÖÓ C ÙÐ Ö Ò Ú Ðݺ µ ÇÐ Ø Ø Ò ÒÝØ ØØ G ÓÒ Ý Ø Ò Ò Ò Ò Ô Ö ØØÓÑ Ø Ô Ø Ø ÓÚ Ø x yº ÇÐ ÓÓÒ G Ú Ö Ó Ó Ò G Ø Ð ÑÐÐ Ô Ø Ò x y ÚÐ ÐÐ Ö uº ÌÐÐ Ò ÐÐ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ G ÐÐ ÓÒ ÖÖÓ C Ó ÓÒ ÙÐ Ö Ò Ú ÐÝ ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ö u Ò ÙÐ Ö Ò Ú ÐÝ Ó Ð ØÓ Ø ÔØØÝÝ ØÓ Ò Ô Ö ØØÓÑ Ò Ô Ø Òº ÅÖ Ø ÐÑ ¾º¾¼º À Ñ ÐØÓÒ Ò ÖÖÓ ÓÒ ÖÖÓ Ó ÙÐ Ø Ò ÖÖ Ò Ó Ò Ú Ö ÓÒ Ô Ø Ò ÙØØ º ¾º½ Î Ö ÓÒ ÚÖ ØÝ Î Ö ÓÒ ÚÖ ØØÑ Ò Ò Ø Ö Ó ØØ Ø ØØ Ó ÐÐ Ò Ô Ø ÐÐ ÑÖØÒ ÓÑ ÚÖ Ò Ñ Ö Ú Ö Ò Ò Ò Ø ÐØ Ò Òº à ÐÐ Ú Ö ÐÐ Ô Ø ÐÐ ÑÖØ Ñ ÚÖ º È Ø Ò Ð ÚÓ Ò ÚÖ ØØ ÑÝ Ö Ø Ó ÑÖº º¾µ ÑÙØØ Ø Ó Ò ÚÖ ØÝ Ø ÑÖ Ø ÐÐÒ ÝÐ Ò Ù Ð Ò ÑÖº º µ ÚÙÐÐ Ô Ø Ò ÚÖ ØØÑ Òº ÎÖ ØØÑ Ò ÑÝ ¹ Ò Ø ÖÚ Ø Ø Ö Ó ØØ ÓÒ Ö ØØ Ø ÚÖ ØØÑ Ø Ú Ò ÚÓ Ø Ö Ó ØØ ÒÙ¹ Ñ ÖÓ Ò Ö ÒØ Ò Ø ÑÙ Ò ØÙÒÒ Ø Ò ÑÖÑ Ø Ô Ø ÐÐ º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º¾½º Î Ö ÓÒ Ô Ø Ò v ÚÖ Ñ Ö ØÒ c(v)º Å Ö ØÒ Ú Ö ÓÒ G ÚÖ ÐÙ Ù χ(g) Ó ÓÒ Ô Ò Ò Ú Ö ÓÒ ÚÖ ØØÑ Ò Ø ÖÚ ØØÙ Ò ÚÖ Ò ÑÖº ÀÙÓÑ ÙØÙ º V ÚÖ Ö ØØ Ò Ú Ö ÓÒ ÚÖ ØØÑ Ò ÑÙØØ ÝÚ Ò Ù Ò Ú ÑÔ Ò Ö ØØ Ð ÐÙÚÙ µº ÌÝ ÐÐ Ò Ú Ö ÓÒ K n ÚÖ ØØÑ Ò Ø ÖÚ Ø Ò Ò n ÚÖ º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º¾¾º Ò Ð ÓÖ ØÑ ÆÙÑ ÖÓ Ò Ú Ö ÓÒ G Ô Ø Ø Ò Ó Ò Ø Ö ÓÐÐ ÓÐ Ú Ø ÚÖ Øº ÌÑÒ Ð Ò ÚÖ Ø ØÒ Ô Ø Ø ÒÙÑ ÖÓ Ö ØÝ Ò Ø Ò ØØ Ô Ø ÐÐ ÑÖ¹ ØÒ Ô Ò ÑÑÒ Ñ ÓÐÐ Ò Ò ÒÙÑ ÖÓÒ ÓÑ Ú ÚÖ ÓØ ÓÐ Ú Ð ÝØ ØØÝ Ò Ò ÔÙÖ Ô Ø º ÃÙÒ Ú Ö ÓÒ Ô Ø Ø ÓÒ ÝØÝ ÐÚ Ø ÓÒ ½½

ØÙ Ú Ö ÓÐÐ ÚÖ ØÝ ÓÒ ÚÖ ÐÙ Ù ÓÒ ÙÙÖ ÑÑ Ò ÚÖ ØÝ ÝØ ØÝÒ ÚÖ Ò Ò ÒÙÑ ÖÓº ÀÙÓÑ ÙØÙ º Ò ØØ Ð ÓÖ ØÑ ÚÓ Ò Ô Ö ÒØ ÙÖ Ú ÐÐ ÐÐ Ú Ð Ò¹ Ò ÐÐ ÆÙÑ ÖÓ ÒØ ÒÒ ØØ ÐÓ ØØ Ñ Ø Ø Ò Ú Ö ÓÒ ÓÖ ÑÑ Ò ¹ Ø Ò ÓÑ Ú Ø Ô Ø Ø ÒÙÑ ÖÓ Ò Ò Ñ Ò Ø Ò ÓÑ ¹ Ú Ø Ô Ø Ø ÐÐ Ò Ò ÚÖ ØØÑ Ò Ò ÓÒ ÐÓÔÔÙÚ Ò Ð ÒØ º ÆÙÑ ÖÓ ÒØ ÒÒ ØØ ÐÓÔ ØØ Ñ Ø Ð ÑÑ Ò Ø Ò ÓÑ Ú Ò Ô Ø Ò ÐÐ Ò ÐÐ ÓÒ ÑÖ Ø ÐÑÐÐ Ø Ú Ø Ò Ò ÔÙÖ Ø ÐÐÓ Ò Ò Ò Ú¹ Ö ØØÑ ÐÐ ÓÒ Ú Ø Ò Ö Ó ØØ Ø º Ñ Ö Ò Ò Ð ÓÖ ØÑ Ò ÝØ Ø Ð ÝØÝÝ ÔÔ Ð Ø º½º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º¾ º Ä Ø ÚÖ ØÝ ÇÐ ÓÓÒ G = (V,E) Ú Ö Ó Ý Ø ØÒ Ó Ò Ô Ø Ò v V ¹ Ö ÐÐ Ò Ò ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙ Ø Ð ÚÖ Ø ÓÓ ØÙÚ Ð Ø L(v)º ÆÝØ Ð Ø Ò L(v) N Ô Ø Ò v V Ð ØØÝÚ ÙÚ Ù c : V N ÓÒ Ò Ñ ÐØÒ Ð ¹ Ø ÚÖ ØÝ Ó c(v) L(v) ÓÒ ØÓØØ Ó ÐÐ v V c(v) c(w) ÐÐ {v,w} Eº Î Ö ÓÒ g Ð Ø ÚÖ ÐÙ Ù χ l (G) ÓÒ Ô Ò Ò k N Ø Ò ØØ G ÐÐ ÓÒ Ð Ø ÚÖ ØÝ Ó ÐÐ ÖÝ ÑÐÐ Ð ØÓ L(v) Ó ÐÐ L(v) k ÐÐ v V º Ä Ù ¾º¾ º ÃÓ Ø Ú ÐÐ Ò Ò ÚÖ ØÝ ÓÒ Ð Ø ÚÖ ØÝ Ò Ö Ó Ø Ô Ù Ó L(v) ÓÒ Ñ ÐÐ v Ò ØØ χ(g) χ l (G). ÌÓ ØÙ º ÌÓ ØÙ ÓÒ ÐÚ ÐÐ χ(g) ÓÒ Ô Ò Ò Ø ÖÚ ØØ Ú ÚÖ Ò ÑÖ ÓÒ Ð Ø ÚÖ ØÝ Ò Ò Ô Ø Ò ÚÖ Ð Ø Ø L(v) ÓÐ Ú Ø ÒØØ Øº ÌÓ ¹ ÒÐ ÐÐ Ð Ø ÚÖ ØÝ ÐÐ L(v i ) ÚÓ Ò Ó Ó ÔØÝ Ñ Ò ÚÖ ÑÖÒ Ø ÔÖ Ø ÙÓÒÓÑÑ Ò Ð ØÓ Ò ØØ Ñ Ò Ö Ó ØØ Ò ÔÙ ØØ º Ä Ù ¾º¾ º ÂÓ Ú Ö ÓÒ G ÙÙÖ Ò Ø ÓÒ k Ò Ò Ú Ö ÓÒ ÚÖ ØØÑ Ò Ö ØØ k + 1 ÚÖ Ð Ú Ö ÓÒ ÚÖ ÐÙ Ù χ(g) k + 1º ÌÓ ØÙ º ÎÖ Ø ØÒ Ú Ö Ó Ò ÐÐ Ð ÓÖ ØÑ ÐÐ ÐÓ ØØ Ò ÙÙÖ ÑÑ Ò ¹ Ø Ò k ÓÑ Ú Ø Ô Ø Øº ÆÝØ Ó ØÐÐ ÐÐ ÑÙ ÐÐ Ô Ø ÐÐ ÓÒ ÓÖ ÒØ Ò k ÒÒ ØÒ ÚÖ Ø ØØÝ Ò ÔÙÖ ÚÓ Ò ÚÖ Ø ØØÚÐÐ Ô Ø ÐÐ ÒØ ÙÙ ÚÖ k + 1º Ë k + 1 ÚÖ Ö Øغ ½¾

Ì ÓÚ Ö ÓØ ÅÖ Ø ÐÑ º½º Ì ÓÚ Ö ÓØ ÓÚ Ø Ú Ö Ó ÓØ ÚÓ Ò Ô ÖØ Ø Ò ØØ Ú Ö ÓÒ Ö Ø ÚØ Ö Ø ÒÒº ÂÓ Ú Ö Ó ÓÐ Ø ÓÚ Ö Ó Ò Ò Ø ÙØ ÙØ Ò Ú ¹ ÖÙÙ Ú Ö Ó º ËÙÓÖ Ú Ö Ó ÓÒ Ø ÓÚ Ö Ó ÓÒ Ó Ò Ò Ö ÓÒ Ò º ÅÖ Ø ÐÑ º¾º Ì Ó Ø ÐÙ Ø Ô ÒØ Ø ÝÐ Ø Ðѵ ÓÒ Ý Ø Ò Ò Ò Ö Ò Ö Ó ØØ Ñ ÐÙ º Î Ö Ó ÚÓ ÓÐÐ Ý Ø Ó ÒÓ Ø Ò Ó Ò ÓÐ Ý ØÒ ÖÖÓ Ø º ÅÙÙØÓ Ò Ò ÓÒ Ù Ø Ø Ó º Æ Ñ Ø ØÒ ØØ Ô ÓÐÐ Ø Ò Ø Ó ¹ ØÝ Ð ÝØÝÚ Ø Ó ÙÐ ÓÔÙÓÐ º ÅÖ Ø ÐÑ º º Ì ÓØ ÓÚ Ø Ú Ö Ø Ó Ò Ø Ö Ú Ò Ö Ò ÓÙ Ó Ò Ð Ù ÓÒ ÔØÝ º Ì ÓØ ÚÙ Ú Ø Ó Ò Ø Ö Ú Ò Ô Ø Ò ÓÙ Ó ÓÒ ÔØÝ º ÅÖ Ø ÐÑ º º Î Ö ÓÒ Ö ÙÒ ÓÒ ÖÖÓ Ó ÙÐ Ø Ò Ý Ò ÖÖ Ò Ò ÐÐ Ø Ò Ö Ò ÙØØ ÓØ Ö Ú Ø Ú Ö ÓÒ ÙÐ ÓÔÙÓÐØ º ÀÙÓÑ ÙØÙ º Î Ö ÓÒ Ö ÙÒ ÙÐ Ò Ó Ó ÑÙÙÒ Ú Ö ÓÒ ÚÓ ÓÐÐ Ö ÔÔÙÚ Ò Ò Ú Ð ØÙ Ø Ø Ó ØÝ Ø ÃÙÚ ¾º¾ºµº Å Ø Ò Ø ÓÚ Ö Ó ÚÓ Ò Ô ÖØ Ø ÓÓÒ Ø Ò ØØ Ú Ð ØØÙ Ø Ó ÓÒ ÙÐ ÓÔÙÓÐ º Å Ø Ò Ú Ð ØØÙ Ö ÚÓ Ò ÑÝ Ô ÖØ Ú Ö ÓÒ Ö ÙÒ Ò Ú Ð Ø Ñ ÐÐ Ø Ó ÓÒ Ö ÙÒ Ò Ý Ò Ò Ö ÙÙÐÙÙ Ô ÖØÑÐÐ Ø Ó ÙÐ ÓÔÙÓÐ º ÅÖ Ø ÐÑ º º ÃÓÐÑ Ó ØÙ Ú Ö Ó ÓÒ Ú Ö Ó ÓÒ Ó Ò Ò Ø Ó ÙÐ ÓÔÙÓÐØ ÐÙ ÙÙÒÓØØ ¹ Ñ ØØ ÓÒ Ö ØØÙ ÓÐÑ ÐÐ Ú Ö ÓÒ Ö ÐÐ º Å Ø Ò Ø ÓÚ Ö Ó Ò ÓÐÑ Ó ØÙ Ð ÑÐÐ Ø ÖÔ Ö ÙÚ º½ºµº ÃÙÚ º½ ÃÙÚ Ò ¾º½ Ú Ö Ó ÓÐÑ Ó ØÙÒ º ½

ÅÖ Ø ÐÑ º º Î Ö ÓÒ Ù Ð ÐÓ Ø Ø Ò Ô ÖØÑÐÐ Ó ÐÐ Ø ÓÐÐ Ô Ø º Ë ØØ Ò Ý Ø ¹ ØÒ Ú Ö ÐÐ Ø Ó ÐÐ Ø Ú Ø Ô Ø Ø Ý ÐÐ Ö ÐÐ ØÓ Ò Ó Ø Ø Ó Ö Ú Ý Ø Ø ÖØ Ó Òº Ù Ð ÚÓ ÐØ Ù Ø Ö ÒÒ ¹ Ö Ú Ð ÙÔ Ö Ò Ò Ú Ö Ó ÓÐ Ý Ò ÖØ Ò Ò ÙÚ º¾µº ÃÙÚ º¾ ÃÙÚ Ò ¾º½ Ú Ö ÓÐÐ Ô ÖÖ ØØÝ Ù Ð º ÅÖ Ø ÐÑ º º Ì ÓÚ Ö Ó ÓÒ ØÝ ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ú Ö ÓÓÒ Ò ÚÓ Ð Ø Ý ØÒ ÖØ Ø Ò ØØ Ö Ø ÚØ Ð º ÅÖ Ø ÐÑ º º Î Ö ÓÒ Ù Ù Ð ÒÙ g ÓÒ Ô Ò Ò ÑÖ ÚÓ Ø ÐØÓ µ ÓØ ØÙÐ Ð Ø Ø ÓÓÒ ÓØØ Ú Ö Ó ÚÓ Ò Ô ÖØ ÐÐ ÐÑ Ò Ö Ò Ð Ù ÙÚ º µº ÃÙÚ º Ñ Ö Ú Ö Ó Ø Ó ÓÐ Ø ÓÚ Ö Ó Ô ÖÖ ØØÝÒ Ú Ò ÚÙй Ð Ò Ò ØØ Ò Ö Ø ÚØ Ð º Ë ÙÖ Ù º º Ì ÓÚ Ö ÓÒ Ù Ù g ÓÒ ÒÓÐÐ º Ä Ù º½¼º Î Ö ÓÒ G Ó ÓÒ n Ô Ø ØØ k ÓÑÔÓÒ ÒØØ Ö Ò ÐÙ ÙÑÖ E ÓÒ Ú ÒØÒ n kº ½

ÌÓ ØÙ º Î Ö Ó G ÓÒ n Ô Ø Øغ ÂÓ Ú Ö Ó ÓÒ Ý Ø Ò Ò Ò Ó Ò Ò Ô ¹ Ø ÓÒ Ý Ø ØØÝ Ú ÒØÒ Ý ÐÐ Ö ÐÐ º Ã Ò Ô Ø Ò Ý ØÑ Ò Ø ÖÚ Ø Ò Ý Ö Ø Ò ÚÓ Ò Ð ØØ ÓÐÑ Ô Ø Ð ÑÐÐ Ø ¹ Ö º ÁÒ Ù Ø ÓÐÐ Ò ØØ n Ò Ô Ø Ò Ý ØÑ Ò Ø ÖÚ Ø Ò Ú ÒØÒ n 1 ÖØ º ÂÓ ØÐÐ Ø Ú Ö Ó Ø ÔÓ Ø Ø Ò Ý Ö Ú Ö Ó Ù¹ ØÙÙ Ø Ò ÓÑÔÓÒ ÒØØ Òº ÆÝØ Ò Ù Ø ÓÐÐ Ò ØØ Ñ ÐÐ Ú Ö Ó k ÓÒ ÓÑÔÓÒ ÒØØ Ò ÓÒ ÔÓ Ø ØØ Ú Ú ÒØÒ k 1 ÖØ º Ä Ñ ÐÐ Ò¹ Ñ Ý Ø Ò Ò ØØ Ú Ö ÓÐÐ Ó ÓÒ n Ô Ø ØØ k ÓÑÔÓÒ ÒØØ ÔØ E = (n 1) (k 1) = n kº º½ ÂÓÖ Ò ÔÓÐ Ù ÅÖ Ø ÐÑ º½½º Ò º ÂÓÖ Ò ÙÖÚ µ ÂÓÖ Ò ÔÓÐ Ù j ÓÒ Ø ÓÚ Ö ÓÒ G Ö ÐÐ Ò Ò Ý Ò ÖØ Ò Ò ÖÖÓ º ÌÓ Ò ¹ ÒÓ Ò Ó Ò Ò Ô Ø v i j ÒØÝÝ j ÓÖ ÒØ Ò ÖÖ Ò Ð Ù¹ ÐÓÔÔÙ¹ Ô Ø ØØ ÐÙ ÙÙÒÓØØ Ñ ØØ Ó ÒØÝÝ Ø º Ä Ù º½¾º Ò º ÂÓÖ Ò ÙÖÚ Ø ÓÖ Ñµ ÂÓ Ò Ò ÂÓÖ Ò ÔÓÐ Ù j Ý Ø Ò Ò Ø ÓÚ Ö ÓÒ G Ø Ò Ý Ø Ò Ò Ó Ò j Ò ÔÙÓÐ Ò ÙÐ ÓÔÙÓÐ Ò º ÎÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ Ö Ð Ø Ó ¹ Ò Ô Ø Ò ÚÐ ÐÐ ÑÖÑÐÐ ØØ x y Ó Ú Ò Ó ÓÒ Ñ ÓÐÐ Ø ÐÙÓ ÔÓÐ Ù k x ÐØ y ÐÐ Ø Ò ØØ ÔÓÐÙØ k j ÚØ Ó Ò Ð º ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ Ñ ÐÐ ÂÓÖ Ò ÔÓÐ Ù j Ú Ö Ó Gº ÆÝØ G ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ Ø Ó ØÝ Ó ÓÒ ÙÓÖ Ú Ö Ó Ð Ó Ò Ò Ú Ö ÓÒ Ö ÓÒ Ò º ÌÐÐ Ò Ó ÐÐ Ô Ø ÐÐ ÓÒ ÙÒ Ø ÓÓÖ Ò Ø Ø Ò Ò ÚÐ Ø Ò ÙÓÖ Ò Ö Ò ÙÐÑ ÖØÓ Ñ Ø k i ÚÓ Ò ÑÖ Øغ Î Ð Ø Ò ÓÓÖ Ò Ø ØÓÓÒ ÙÙÒØ z Ó ÖÓ Ø ÔÓÐÙÒ j ÒÓ Ò ÙÐÑ ÖØÓ Ñ Ø k i º ÌÐÐ Ò Ò Ð Ý ØÒ Ò ÐÐ ÔÓÐ ÙÙÒ j ÙÙÐÙÚ Ò Ö Ò e j ÑÖ ÓÒ Ö ÐÐ Ò Òº ÅÖ Ø ÐÐÒ ÚÙ Ø ÖÑ Ô Ø Ò w = (x w,y w ) ÔÙÓÐ ÙÓÖ r w º ÌÑ ÓÒ ÓÓÖ Ò Ø ØÓÒ ÙÓÖ r w : [x w, ] R r w = z(x x w ) + y w º ÂÓÖ Ò ÔÓÐÙÒ j ¹ ÙÐ ÓÔÙÓÐ ÚÓ Ò ÒÝØ ÑÖ Ø ÐÐ Ø Ò ØØ Ú Ö ÓÒ Ô Ø p ÙÙÐÙÙ ÙÐ ÓÔÙÓÐ Ò Ô Ø Ò ÓÙ ÓÓÒ A Ó Ø ÓÓÖ Ò Ø ØÓÓÒ Ô ÖÖ ØØÝ ÔÙÓÐ ÙÓÖ r p Ð ÔÓÐÙÒ j Ô Ö ÐÐ Ò ÑÖÒ ÖØÓ Ú Ø Ú Ø Ô Ø p ÙÙÐÙÙ ÔÙÓÐ Ò Ô Ø Ò ÓÙ ÓÓÒ B Ó Ò ÔÙÓÐ ÙÓÖ r p Ð ÔÓÐÙÒ j Ô Ö ØØÓÑ Ò ÑÖÒ ÖØÓ º ÈÙÓÐ ÙÓÖ Ò Ø ÓØ Ð Ú Ò ÔÓÐ Ù j Ó ÙÐ ÓÒ Ò Ò Ô Ø Ò v j ÙØØ ÑÓÐ ÑÑ Ø Ø Ð Ø ÚØ ÔÓÐÙÒ j Ö Ø e j ÙÙÐÙÚ Ø ÔÙÓÐ ÙÓÖ Ú Ø Ú Ò ÙÓÖ Ò Ñ ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ º Ö Ð ÔÙÓÐ ÙÓÖ ÓÒ Ú ÒÒÓÐÐ Ø ØØÙ ÙÚ º º ½

ÃÙÚ º À Ú ÒÓÐÐ ØÙ Ú Ö ÓÒ Ô Ø Ò p ÔÙÓÐ ÙÓÖ Ò Ò Ð Ù Ò ÐÙ ÙÑÖ Ò ÂÓÖ Ò ÔÓÐÙÒ j Ò º ÃÙÚ ÓÒ ÝÑÔÖ ØÝ Ó Ø Ó ÔÙÓ¹ Ð ÙÓÖ ÚÙ ÂÓÖ Ò ÔÓÐ Ù ÑÙÙØØ Ñ ØØ Ð Ù Ô Ø Ò ÐÙ ÙÑÖº ÅÖ Ø ÐÐÒ ÒÝØ ØØ Ú Ö ÓÒ Ô Ø Ø x y ÓÚ Ø Ö Ð Ø Ó ØÓ Ò Ó Ò ÙÙÐÙÚ Ø Ñ Ò ÓÙ ÓÓÒ A Ø Bº ÂÓ Ú Ö ÓÒ Ô Ø ØØ p ÖÖ ØÒ ÓÓÖ¹ Ò Ø ØÓ Ô Ø Ò ÔÙÓÐ ÙÓÖ Ò ÑÙÙØØ Ö Ð Ø ÓÔ Ø Ò ÓÙ Ó Ú Ò Ó ÝÐ ØØ ÔÙÓÐ ÙÓÖ Ò ÂÓÖ Ò ÝÖÒ Ö Ò e j Ð Ù Ô Ø Ò Ö Ò Ð Ø ÓÐ Ø Ø Ò Ð Ù Ô Ø Ò ÝÒØÝÚÒ ÙÙ Ú Ö ÓÒ Ô Ø ¹ Ø ÐÐ ÑÙÙØÓ Ò Ú Ö Ó ÔÝ Ý Ø ÓÚ Ö ÓÒ µº ÌÐÐ Ò Ô Ø Ò p a A Ô Ø Ò p b B Ý ØÚÒ ÔÓÐÙÒ k ÓÒ Ð ØØ Ú ÂÓÖ Ò ÔÓÐ Ù Ó ¹ Ò Ó ÐÐ ÑÙÙØÓ Ò Ô Ø Ò p a p b ØÙÐ ÓÐÐ Ö Ð Ø Ó ØÓ Ø Ò Ò º ÈÓÐÙÒ k Ø ÓØ Ð Ú Ò ÂÓÖ Ò ÔÓÐ Ù Ó ÚÙ Ø Ý ¹ Ø Ù ÑÑ Ô Ø v j Ò Ô Ø Ò ØÙÐ Ú Ò Ö Ò e k ØÓ Ø ÔØ Ô Ø Ø v k ÓÚ Ø Ö Ð Ø Ó ØÓ Ø Ò Ò º ÈÓÐ Ù k ÑÝ Ò Ð ÂÓÖ Ò ÔÓÐ Ù Ó Ò ÐÐ ÓÒ Ý Ø Ö e j Ø Ò ØØ ÔÓÐÙÒ k Ò ÑÑ Ò ÔÓÐ ÙÙÒ j Ð ØØÝÚÒ Ö Ò e k1 ØÓ Ò Ò ÔØ Ô Ø ÓÒ Ö Ð Ø Ó Ò ÑÑ Ò ÔÓÐÙ Ø j ÐÐ Ò ÖÓ Ú Ò Ö Ò e k2 ÔØ Ô Ø Ò Ò º ÆÝØ ÓÒ Ú Ð Ó Ó Ø ØØ Ú ØØ Ô Ø Ø p,q B ÚÓ Ò Ð ØØ ØÓ Ò ÔÓÐÙÐÐ k b Ó Ð ÂÓÖ Ò ÔÓÐ Ù jº ÓÒ ÐÚ Ó Ô Ø Ò p q ÚÐ ÐÐ ÓÒ Ó Ö º ÂÓ Ô Ø Ò ÚÐ ÐÐ ÓÐ ÖØ ÙÖ Ú ÐÐ Ñ Ò Ø ÐÑÐÐ Ò Ò ÚÐ ÐÐ Ò Ò ÐÙÓØÙ ÔÓÐ Ù Ó Ð ÂÓÖ Ò ÔÓÐ Ù j µ Ë ÖÖÝØÒ p Ø ÂÓÖ Ò ÔÓÐ Ù j Ð ÒÒ ÓÐ Ú Ò ÓÓÖ Ò Ø ØÓ Ù Ð ¹ Ò Ò Ø ÝÝ µ Ô Ø Ò Ó ÓÒ p Ò Ò Ö Ð Ø Ó Ø ÂÓÖ Ò ÔÓ¹ ÐÙÒ Ô Ø Ó ÓÒ Ô ØÒ ØÙ Ó Ñ ØØ Ú Ö ÓÒ G Ø ÓÚ Ö Ó¹ÓÑ Ò ÙÙØØ Ø ÖÚ ØØ Ð ÑÐÐ Ú Ö ÓÓÒ Ö º µ ÂÓ Ô Ø Ò ÂÓÖ Ò ÝÖÐÐ ÖÖÝØÒ ÙÖ Ú Ò Ó Ø Ò Ó ØÓ Ø ¹ Ø Ò Ó Ø µ ÙÒÒ ØÑ ÓÒ ØÓØØ º ½

µ Úµ ÃÙÐ Ø Ò ÂÓÖ Ò ÝÖ Ô Ø Ò ÙÒÒ ÚÙØ Ò Ô Ø Ò v j Ó ÓÒ Ð ÒÒ Ô Ø ØØ qº Ë ÖÖÝØÒ Ô Ø ØØ q Ð ÑÔÒ Ô Ø Ò Ó ÓÒ Ô Ø Ò p Ò Ö Ð ¹ Ø Ó Ó ÓÒ Ô ØÒ ØÙ Ó Ñ ØØ Ú Ö ÓÒ Ø ÓÚ Ö Ó¹ÓÑ Ò ÙÙØØ Ø ÖÚ ØØ Ð ÑÐÐ Ö º Úµ ÂÓ Ô Ø Ò Ô Ø Ò q ÔÓÐ Ù ÓÒ Ú ÐÑ º ÂÓ Ú Ð ØØÙ Ô Ø ÓÐÐÙØ q ØÓ Ø Ø Ò Ó Ø Úµ ÙÒÒ Ô ØÒ q ÙÒ ÓÐÐÓ Ò Ñ ÐÐ ÓÒ Ø ØØÝ ÔÓÐ Ùº Ë ØÙ ÔÓÐ Ù Ø Ø Ò Ò ÓÐ Ò ÐÝ Ò Ñ ÓÐÐ Ò Ò ÔÓÐ Ù ÑÙØØ ÓÒ Ú ÖÑ Ø Ò ÓÐ Ñ º º¾ ÈÙÙØ ÅÖ Ø ÐÑ º½ º ÈÙÙ T ÓÒ Ý Ø Ò Ò Ò Ú Ö Ó Ó ÓÐ ÖÖÓ º Ä Ù º½ º ËÙÙÒØ Ñ ØØÓÑ ÐÐ Ú Ö ÓÐÐ G Ó ÓÒ n Ô Ø ØØ ÙÖ Ú Ø ÓØ ÓÚ Ø Ý ¹ ØÔ ØÚ µ G ÓÒ ÔÙÙ µ G ÓÒ ÖÖÓ ØÓÒ Ó G Ò Ð ØÒ Ý Ò Ö ÑÙÓ Ó ØÙÙ Ø Ò Ý ÖÖÓ º µ G ÓÒ Ý Ø Ò Ò Ò Ó G Ø ÔÓ Ø Ø Ò Ý Ò Ö G ÓÐ Ò Ý Ø Ò Ò Òº Úµ Å Ò Ø Ò Ò G Ò Ô Ø Ò ÚÐ ÐÐ ÓÒ Ý ØØ Ò Ò ÔÓÐ Ùº ÂÓ Ú Ö Ó G ÓÒ Ö ÐÐ Ò ÑÓÒØ Ô Ø ØØ Ð V = n ÙÖ Ú Ø Ú ØØÑØ ÓÚ Ø Ý ØÔ ØÚ ÐÐ Ø Ò Ò Úµ G ÓÒ ÖÖÓ ØÓÒ Ò ÓÒ n 1 ÖØ º Ú µ G ÓÒ Ý Ø Ò Ò Ò Ò ÓÒ n 1 ÖØ º ÌÓ ØÙ º ÂÓ n = 1 Ú ØØ Ø ØÖ Ú Ð Ø Ý ØÔ ØÚ º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ n 2º µ Úµ Ì Ò Ò Ù Ø Ó¹ÓÐ ØÙ ØØ Ó ÔÙÙ T k+1 Ó ÓÒ k+1 Ô Ø ØØ ÓÒ Ø Ö ÐÐ Ò k ÖØ º ÆÝØ Ó ÔÙÙ T k+1 ÓÒ Ò Ò Ý ½

Ô Ø v ÓÒ Ø d(v) = 1º ÌÓ ØÙ º ÎÓ Ò ÑÙÓ Ó Ø ÔÓÐ Ù P = (v 1,v 2,...,v m ) Ó ÓÒ Ô Ò Ñ ¹ ÓÐÐ Ò Ò ÔÓÐ Ù ÔÙÙ Gº ÇÐ ÓÓÒ ÒÝØ Ò ØÓ Ò ÔØ Ô Ø Ò Ø ÙÙÖ Ñ¹ Ô Ù Ò ½º ÌÐÐ Ò ÔØ Ô Ø ÐÐ ÓÒ Ú ÒØÒ Ò ÔÙÖ Ó Ø ØÓ Ò Ò ÙÙÐÙÙ ÚÐØØÑØØ ÔÓÐ ÙÙÒ P ÓÐ ÓÓÒ ØÓ Ò Ò Ò ÔÙÖ Ô Ø wº ÂÓ w ÓÐ Ñ Ò Ô Ø Ø v i ÚÓ Ø Ò ÔÓÐ Ù P Ø Ñ ÓÒ Ú ØÓ Ò ÔÓÐÙÒ P Ñ Ñ Ð ÙÙ ÓÐ ØÙ Ø º ÌÓ ÐØ Ó w ÓÒ Ó Ò Ô Ø Ø v i Ò Ö Ø ¹ Ö Ø Ú Ö ÓÒ G ÖÖÓ ØØÓÑÙÙ ÓÐ ØÙ Ò Ò º ÌÐÐ Ò ÑÓÐ ÑÑ ÐÐ ÔÓÐÙÒ P ÔØ Ô Ø ÐÐ v 1 v m ÓÒ ÓÐØ Ú d(v {1,m} ) = 1º ÂÓ Ú Ö Ó Ø T k+1 ÔÓ Ø Ø Ò Ô Ø v {1,m} Ò Ú Ö Ó T k+1 v {1,m} Ó ¹ ÓÐ ÖÖÓ ÐÐ ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ú Ö Ó Ø Ó ÓÐ ÖÖÓ Ó ÚÓ ÖÖÓ Ø º Ä T k+1 v {1,m} ÓÒ Ý Ø Ò Ò Ò Ó ÔÓ Ø ØÙÒ Ô Ø Ò v Ø d(v {1,m} ) = 1º ÌÐÐ Ò T k+1 v {1,m} ÓÒ ÔÙÙ Ó ÓÒ k Ô Ø ØØ k 1 ÖØ º Úµ Ú µ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ G ÓÒ h ÓÑÔÓÒ ÒØØ º ÂÓ Ò Ò ÓÑÔÓÒ Ò¹ Ø Ø ÓÒ ÔÙÙ ÑÖ Ø ÐÑÒ º½ ÑÙ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØØ Ò Ý ØÑ Ò Ø Ö¹ Ú Ø Ò h 1 ÖØ º ØÑÐÐ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø Ò ÔÙÙº Ì ÔÙÙ ÓÒ ÓÐ ØÙ Ø Ò ÑÙ Ò (n 1) + (h 1) = n 1 ÖØ º ÌÐÐ Ò Ò ØØ h = 1 Ð Ú Ö Ó ÓÓ ØÙÙ Ý Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø º Ú µ µ ÇÐ ÓÓÒ e G Ò Ö º ÃÓ Ú Ö Ó G e ÓÒ n 2 ÖØ ÓÒ Ò Ð Ù Ò º½¼ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ú ÒØÒ ÓÑÔÓÒ ÒØØ º ÃÙ Ø Ò Ò Ó ÒÒ Ò Ö Ò ÔÓ Ø Ñ Ø G ÓÐ Ý Ø Ò Ò Ò ÓÒ G e Ø Ò ÓÑÔÓÒ ÒØØ Ñ Ò Ø Ò Ö Ò e ÔÓ Ø Ñ Ò Ò Ú Ö ÓÒ ÓÑÔÓ¹ Ò ÒØØ Ò µ Ò ÑÙ Ø º µ Úµ G ÓÒ Ú Ö Ó Ó Ø Ñ Ò Ø Ò Ö Ò ÔÓ Ø Ñ Ò Ò Ú Ö ÓÒ ÓÑÔÓÒ ÒØØ Òº ÇÐ ÓÓØ x y Ô Ø Ø Ó Ò ÚÐ ÐÐ ÓÒ Ú ÒØÒ ¾ Ö Ð Ø ÔÓÐ Ù p 1 p 2 º ÇÐ ÓÓÒ u Ò ÑÑ Ò Ò Ô Ø Ó Ø ÔÓÐÙØ Ð Ø ÚØ ÖÓ Ñ Ò v Ò ÑÑ Ò Ò Ô Ø Ó ÔÓÐÙØ Ó Ø Ú Ø ÐÐ Òº È Ø u ÓÐÐ ÑÝ Ô Ø x ÑÓ Ò Ù Ò v ÚÓ ÓÐÐ yº ÂÓ Ý Ø ØÒ ÔÓÐÙØ p 1 p 2 Ò ÖÖÓ º à ÖÖÓ Ø ÚÓ Ò Ò ÔÓ Ø Ý Ö Ð ÐÐ Ú Ó ÓÒ ÐÐ Ò Ò Ý Ø Ò Ò Òº ÌÑ ÓÒ Ö Ø Ö Ø Ð ÙÓÐ ØÙ Ø Ò µ Ò ÓØ Ò Ó Ò Ò Ô Ø Ò ÚÐ Ò ÔÓÐÙÒ ÓÒ ÓÐØ Ú Ý ØØ Ò Òº Úµ µ Î Ö Ó G ÚÓ ÓÐÐ ÖÖÓ ÐÐ Ó Ò ÓÐ ÖÖÓ ÓÐ Ò ÖÖÓ ÓÐ Ú Ò Ô Ø Ò ÚÐ ÐÐ Ö Ð Ø ÔÓÐ Ù º Ä Ó¹ Ò Ò ÙÙ Ö e ÐÙÓ ÖÖÓ Ò ÐÐ Ó Ò Ò Ú Ö ÓÒ Ô Ø ÓÒ Ó Ð Ø ØØÝ Ó Ò ØÓ Ò ÓÐÐ Ò ÔÓÐÙÐÐ pº Ã Ö Ò e Ð Ñ Ò Ò Ô Ø Ò u v Ú¹ Ð ÐÐ ÐÙÓ Ø Ò Ý Ò ÖÖÓ Ò ÐÐ Ó ÐÓ ÖÖÓ Ø ÓÐ Ô Ø Ò ½

u v ÚÐ ÐÐ Ó Ò ØÓ Ò Ò Ò ÔÓÐ Ù sº ÌÑ ÓÒ Ù Ø Ò Ò Ö Ø Ö Ø Ó Ò Úµ Ò ÓØ Ò µ ÔØ º µ µ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ G ÓÐ Ý Ø Ò Ò Òº ÌÐÐ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØØ Ò k i k j ÚÐ ÐÐ ÚÓ Ø Ò Ð Ø Ö e = (u,v) Ñ u k i v k j º ÆÝØ Ö Ò e Ð Ñ Ò Ò ÝÒÒÝØ ÖÖÓ Ø Ñ ÓÒ Ö Ø Ö Ø Ó Ò µ Ò º Ë G ÓÒ Ý Ø Ò Ò Ò Ò ÓÐ ÖÖÓ Ð ÓÐ ØÙ Ø Ò µ ÑÙ Ø º ÈÙÙ ÓÒ Ø ÓÚ Ö Ó Ó Ñ Ò Ø Ò Ò ÓÐÑÙÒ ÚÐ ÐÐ ÓÒ Ø ¹ ÑÐÐ Ò Ý ÔÓÐ Ùº Å Ø ÓÒ Ú Ö Ó Ó Ñ Ò Ø Ò Ò ÓÐÑÙÒ ÚÐ ÐÐ ÓÒ ÓÖ ÒØ Ò Ý ÔÓÐ Ùº Å Ø ÓÒ Ú Ö Ó ÓÒ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø ÓÚ Ø ÔÙ Ø º Å Ø Ò Ö Ò ÐÙ ÙÑÖ E = n k Ñ k ÓÒ Ñ Ø Ò Óѹ ÔÓÒ ÒØØ Ò ÐÙ ÙÑÖ Ð Ù º½¼µº ÅÖ Ø ÐÑ º½ º Ë ÒÓØ Ò ØØ ÔÙÙ ÓÒ ÙÙÖ ÐÐ Ò Ò Ó Ý ÔÙÙÒ ÓÐÑÙ Ø ÓÒ Ò Ñ ØØÝ ÙÙ¹ Ö ÓÐÑÙ Ð ÙÙÖ º ÌÐÐ Ò Ö ÐÐ ÓÒ ÙÙÒØ Ó Ø ÙÙÖØ Ø ÔÓ Ô Ò ÙÙÖ Ø º ÀÙÓÑ ÙØÙ º ÂÙÙÖ ÐÐ Ø ÔÙÙØ ÓÚ Ø ØÖ Ø Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ò ¹ º ÌÙØ Ø Ò Ò Ø Ð Ñ Ö º º ÅÖ Ø ÐÑ º½ º Î Ö ÓÒ Ú Ö ØØ ÔÙÙ ÓÒ Ô Ò Ò Ý Ø Ò Ò Ò Ð Ú Ö Ó Ó Ý Ø Ú Ö ÓÒ Ô Ø Ø ÔÓÐÙÐÐ ØÓ Ò º ÀÙÓÑ ÙØÙ º È Ò ÑÑ Ð Ú Ö Ó ÚÓ ÓÐÐ ÖÖÓ ÐÐ Ó ÐÐ ÓÐ ÖÖÓ ÚÓ Ø Ò Ò ÔÓ Ø Ý Ö ÐØ ÐÝØØ Ú Ö ÓÒ Ý Ø Ò ÝÝ º Î Ö ØØ ÔÙÙ ÓÒ Ò ÔÙÙº à ÔÙÙØ ÓÚ Ø Ò ÓÑ Ú Ö ØØ ÔÙ Ø Òº ½

ÙÐ Ö Ò Ú Ò ÖØ Ø Ò ÑÓÒ Ø Ó Ò ÙÐÑ Ò V ÖÑ Ò E Ø Ó Ò F ÐÙ¹ ÙÑÖ Ò Ð ØØÝÚ Ý Ø ÝØØ Ò Ñ Ø ØÒ ÙÐ Ö Ò Ú ØÓ Ò Ò ÑÝ ÖØ ¹ ÙÐ Ö Ò Ú ÐÐ Ð Ý ÚØ ÑÓÒ ÙÐÑ Ó Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ø ØÓ Ø Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ÚÙÓÒÒ ½ ¾º ÌÑ Ú ÔØ ÑÝ Ð¹ Ð Ø ÓÚ Ö Ó ÐÐ ÐÐ Ñ Ø Ò Ø ÓÚ Ö Ó ÚÓ Ò Ø ÚÙØØ ÓÒÚ ÓÐÑ ÙÐÓØØ ÔÔ Ð Ô Ò Ú ØÓ Òº Ä Ù º½º ÙÐ Ö Ò Ú ÇÐ ÓÓÒ G = (V,E) Ý Ø Ò Ò Ò Ø ÓÚ Ö Ó ÓÐ ÓÓÒ f Ø Ó Ò ÑÖ Ó Ò G Ò Ø Ó ØÝ º ÌÐÐ Ò ÔØ V E + f = 2 Ö ØÝ Ø Ø Ó Ò ÑÖ Ö ÔÙ Ú Ð ØÙ Ø Ø Ó ØÝ Øº ÌÓ ØÙ º Ì Ô ½ºµ ÐÓ Ø Ø Ò Ó Ø Ñ ÐÐ Ò Ù Ø Ú Ø Ú Ö ÓÒ G Ö Ò ÑÖº ÂÓ E = Ò Ò V = 1 f = 1 Ú ÔØ º ÇÐ ÓÓÒ E 1º ÌÙØ Ø Ò Ø Ø Ô Ù Ø Ì Ô Ù ½º Î Ö Ó G ÓÐ ÖÖÓ º Ë ÐÐÓ Ò G ÓÒ ÔÙÙ V = E +1º Ë Ñ ÐÐ Ò ÑÝ f = 1 Ó ÔÙ ÐÐ ÓÒ Ú Ò Ý Ö Ó ØØ Ñ ØÓÒµ Ø Óº Ì Ô Ù ¾º ÂÓ Ò Ö e E ÙÙÐÙÙ ÖÖÓ Òº Ì Ø ÙÖ ØØ G e ÓÒ Ý Ø Ò Ò Òº ÁÒ Ù Ø Ó¹ÓÐ ØÙ Ø ÙÖ ØØ ÙÐ Ö Ò Ú ÔØ ÐÐ ÓÐ ¹ Ø Ø Ò ØØ ØÙ Ú Ö Ó ÝÒØÝÝ Ú Ö Ó Ø G ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ö e ÒÓÙ ØØ Ñ Ø Ó ØÝ Øµº Ã Ö e Ó ÙÙÐÙÙ ØÙØ ØØÙÙÒ Ø Ó ØÝ Ò ÖÓع Ø ØÓ Ø Ò Ö ÐÐ Ø Ø Ó Ð Ù º½¾µº ÃÙÒ Ö e ÔÓ Ø Ø Ò ØÙÐ Ò Ø Ø Ø Ó Ø Ý Ý Ø Ò Ò Ò Ø Óº ÌÐÐ Ò Ó Ð ØÒ Ø Ò Ö e ÒÓÙ Ø Ó Ò ØØ Ö Ò ÐÙ ÙÑÖ Ý ÐÐ Ú Ö ÓÒ Ô ¹ Ø Ò ÑÖ ÐÝÝ ÑÙÙØØÙÑ ØØÓÑ Ò º ÌÑÒ ÚÙÓ ÙÐ Ö Ò Ú ÔØ G ÐÐ º ÌÓ ØÙ º Ì Ô ¾ºµ ÅÙÓ Ó Ø Ø Ò Ò Ò Ú Ö ÓÐÐ G Ú Ö ØØ ÔÙÙº ÇÐ ÓÓÒ ÒÝØ T E G Ò Ú Ö Øع ÔÙÙÒ P Ö ÓÙ Óº ÅÖ Ø ÐÑÒ ÑÙ Ø P ÓÐ ÖÖÓ º ÅÙÓ¹ Ó Ø Ø Ò G ÐÐ Ù Ð G º ÌÙØ Ø Ò ÒÝØ Ù Ð Ò Ö Ò ÖÝ Ñ T E ÓØ Ú Ø Ú Ø Ö ÓÙ Ó E\T º T Ò Ö Ø Ý ØÚØ Ø ÓØ ØÓ ¹ Ò Ó T ÓÐ ÖÖÓ º Ë ÑÓ Ò T ÓÐ ÖÖÓ Ó ÑÙÙØÓ Ò ÖÓØØ ØÓ Ø Ò Ó Ø Ò G Ò Ô Ø Ø ÖÖÓ Ò ÐÐ Ùй ÓÒ º ÌÑ ÓÒ Ñ ÓØÓÒØ Ó T ÓÒ Ú Ö ØØ ÔÙÙ Ú Ö Ó Ò T ¾½

ÃÙÚ º½ Ñ Ö Ú Ö Ó Ù Ð Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ò ÑÓØØ Ñ Ñ Ø ÓÚ Ø T E\T T º T Ö Ø ÚØ Ð º ÇÒ ØÓØØ ØØ T ÓÒ Ú Ö ÓÒ G Ú Ö ØØ ÔÙÙº ÆÝØ Ó ÐÐ ÔÙÙÐÐ ÔØ ØØ Ú Ö ÓÒ Ô Ø Ò ÑÖ ÓÒ Ý Ø ÙÙÖ ÑÔ Ù Ò Ú Ö ÓÒ Ö Ò ÑÖº Ë ÔÙÙÐÐ T Ò V = E T + 1 T ÐÐ f = E T + 1º ÆÝØ ÚÓ Ò Ð Ý ØÐ Ø ÔÙÓÐ ØØ Ò Ý Ø Ò ÓÐÐÓ Ò Ò V +f = ( E T +1)+( E T +1) Ð V E +f = 2 ÐÐ E T + E T = E Ó ØÙ Ò ÓÒ ØÖÙ Ø Ó Ø º ÀÙÓÑ ÙØÙ º ÙÐ Ö Ò Ú ÚÓ Ò ÝÐ Ø Ú Ö Ó ÐÐ Ó Ò Ù Ù ÓÒ g ÙÖ Ú Ø V E + f = X(g), Ñ V ÓÒ Ô Ø Ò ÑÖ E ÓÒ Ö Ò ÑÖ f Ø Ó Ò ÑÖ Ø ÖÑ ÓÒ Ò Ñ ÐØÒ ÙÐ Ö Ò ØÙÒÒÙ ÐÙ Ùº º½ X(g) = 2 2g ÙÐ Ö Ò Ú Ò ÙÖ Ù Ä Ù º¾º ÇÐ ÓÓÒ G Ø ÓÚ Ö Ó ÓÒ Ó Ò Ø ÓÒ Ö ÙÒ ÓÓ ØÙÙ n Ø Ö Ø Ð Ó Ò Ò Ø Ó ÓÒ n¹ ÖÖÓ º ÌÐÐ Ò ÐÐ ÔØ ( V 2) E = n (n 2). ÌÓ ØÙ º Ä ØÒ Ð ÐÐ ÙÐ Ö Ò Ú Ø º ÃÓ Ú Ö ÓÒ G Ó Ò Ò Ø Ó ÓÒ n¹ ÖÖÓ Ó Ò Ò Ò Ö ÙÙÐÙÙ ÐÐ G Ò Ø ÓÐÐ Ó Ø ¾¾

Ø Ó Ö n ÖØ º ÌÐÐ Ò Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ ØÑ ÙÐ Ö Ò Ò n f = 2 E f = 2 E n. V E + 2 E n = 2 E = E (1 2 n = V 2 ( V 2) n( V 2 = (n 2) (n 2). 1 n Ä Ù º º ÌÝ ÐÐ Ò Ò Ø ÓÚ Ö Ó ÓÒ ÓÐÑ Ó ØÙ Ð Ò Ó Ø Ø Ó Ö Ø Ò ÓÐÑ ÖØ º ÀÙÓÑ ÙØÙ º Ð Ò ÓÐ Ø Ø Ò ØØ ÑÖ Ø ÐÑÒ º ØÝ ÐÐ Ò Ò Ú Ö Ó ÓÒ Ý Ò ÖØ Ò Ò ÐÐ ÙÐ Ö Ò Ð Ù Ô Ú Ö Ó ÐÐ Ó ÓÒ ÐÑÙ Ó Ø Ø Ö ÒÒ Ö º ÌÓ ØÙ º Î Ö ÓÒ Ó Ø Ø Ó Ö ÓÐÑ ÖØ Ð Ø Ö ÙÐ ØØÙ ÔÓй Ù (v 1,v 2,v 3,v 1 )º ÆÝØ Ó Ó Ò Ò Ò Ñ Ò Ø ÓÒ Ö ÙÒ ÐÐ Ø Ú Ò Ô Ø Ò v i ÚÐ ÐÐ ÐÙØØ Ò Ð Ø Ö Ø ÚÓ Ø ÐÑ Ò ØØ ØÐÐ Ö ÐÐ ÓÐ Ó Ö ÒÒ Ò Ò Ö ÐÐ ÓÐÑ Ó Ý ÒÒ ÓÒ ØÝ ÐÐ Ò Ò Ú Ö ¹ Ó K 3 º ÂÓ Ø ÐÙØØ Ò Ð Ø Ö Ò ÐÐ Ò Ô Ø Ò ÚÐ ÐÐ Óع ÚØ ÙÙÐÙ Ñ Ò Ò Ø ÓÒ Ý Ø Ò Ö ÙÒ Ò ÓÙ ÙØØ Ò Ð Ñ Ò ÑÙ Ø Ö º Ë ÙÖ Ù º º Å Ñ Ð Ø ÓÚ Ö Ó ÓÒ V Ô Ø ØØ E = 3( V 2) (3 2) = 3 V 6 ÖØ º ÌÐÐ Ò ØÝØÝÝ ÓÐÐ ØØ Ñ Ò Ø Ò Ø ÓÚ Ö ÓÒ G Ö Ò ÐÙ ÙÑÖ E 3 V 6. Ä Ù º º ÂÓ ÐÐ Ø ÓÚ Ö ÓÐÐ G ÓÒ Ô Ø Ò ÑÖ p 4 ÓÒ Ô Ø v i ÓÒ Ø d(v i ) 5º ¾

ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ G ÓÐÑ Ó Ñ ØÓÒ Ú Ö Óº Ì Ò Ú Ö ÓÓÒ ÚÓ Ò Ð Ø Ö ¹ Ø Ò ØØ Ø ØÙÐ ÓÐÑ Ó ØÙ Ú Ö Ó G k º ÂÓ ÒÝØ ÓÐÑ Ó Ù Ø Ú Ö Ó Ø G k ÓÒ Ð Ý ØØÚ Ô Ø v i ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ ÒØ Ò Ú ÓÒ Ð Ý ØØÚ ÑÝ Ð ÙÔ Ö Ø Ú Ö Ó Ø G Ó Ð ÑÐÐ Ú Ö ÓÓÒ Ö ÚÓ Ò Ú Ò ÒÓ Ø Ú Ö ÓÒ Ô Ø Ò Ø Ø Ð º ÌÙØ Ø Ò Ú Ö Ó g Ó ÓÒ ÓÐÑ Ó ØÙ Ú Ö Óº ÃÓ Ó ÐÐ Ø ÓÐÐ ÓÒ ÓÐÑ Ö Ú ÖØ Ó Ò Ò Ö ÙÙÐÙÙ Ø Ò Ø ÓÓÒ ÚÓ Ò ØÑ ÑÙÓØÓ ÐÐ Ð Ù 3f = 2 E f = 2 E 3. ÇÐ Ø Ø Ò ÒÝØ ØØ Ó Ò Ô Ø Ò Ø d(v i ) 6º ÂÓ ÐÐ Ú Ö ÓÐÐ ÔØ ØØ d(vi ) = 2 E, Ó Ó Ò Ò Ö e i ØÙÐ Ð ØÙ Ø º Ä ÔØ ÑÝ ØØ 2 E 6 V V E 3. Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ ÒÑ ÙÐ Ö Ò Ú Ò V E + f = 2 Ô ØÒ ØÙÐÓ Ò 2 = V E + f = V E + 2 E 3 = V E 3 0, Ñ ÓÒ ÔØÓ º ÌÐÐ Ò ÓÒ ÓÐØ Ú ØØ Ó ÐÐ Ø ÓÚ Ö ÓÐÐ G ÓÒ ÓÐ ¹ Ñ Ò Ò Ý Ô Ø v i Ø Ò ØØ d(v i ) 5º ØÓ d(v i ) 5 ÓÒ Ô Ò Ò Ñ ÓÐÐ Ò Ò Ñ ÚÓ Ò Ó Ó ØØ ØØÑÐÐ Ø ¹ ÓÚ Ö Ó ÓÒ Ô Ò Ø ÑÑ Ò Ô Ø Ò Ø ÓÒ Ú º ÌÐÐ Ò Ò ÓÒ Ñ Ö¹ Ó Ö Ò Ø Ó ØÝ Ó ÓÒ ÒÒ ÐÐ Ò Ò ØÝ ÐÐ Ò Ò Ú Ø Ò Ò Ø ÓÚ Ö Óº ¾

¹ÚÖ Ð Ù Ä Ù º½º ÂÓ Ò Ò Ø Ó ÖØØ ÚÓ Ò ÚÖ ØØ Ò Ð ÐÐ ÚÖ ÐÐ Ø Ò ØØ Ò ÔÙÖ ÐÙ Ø ÚØ Ó Ò ÓÐ ÒÒ Ñ Ò ÚÖ º Æ Ð ÚÖ ÓÒ ÐÑ ÓÒ Ò Ò Ò Ð Ù Ò ÓÒ ÝÝ Ø ØØ Ö Ø ÙÒ ØÝØÝÝ ÓÐÐ ÝÐ Ò Òº Ê Ó ØØÙÑ Ò Ò Ñ Ö ÓÐ Ñ ÓÐ Ú Ò ÖØØÓ Ò Ö Øº Ìй Ð Ò Ó ÖØØÓ Ò Ó ÐÐ Ø ÑÙÓ Ó ÐÐ ÓÐ ÚÐ Ú Ò ÒÓ Ø Ò ÐÐ Ñ Ø Ò ÐÙ Ø Ð ØØÝÚØ ØÓ Ò Ò Ð ÚÖ ÓÒ ÐÑ ÓÒ ØÓÔÓÐÓ Ò Ò ÓÒ ÐÑ º Æ Ð ÚÖ ÓÒ ÐÑ ÚÓ Ò Ù Ø Ò Ò ÐÔÓ Ø ÑÙÓØÓ ÐÐ Ú Ö ÓØ ÓÖ ØØ Ò Ø Ö¹ Ñ Òº à ÙØØ ÓÒ ÐÑ Ò ØÓÖ Ò ÙÙÖ Ò Ó Ö Ø ÙÖ ØÝ Ø ÓÒ Ø ØÝ Ò ÙÙÖ ØÐÐ ÓÖÑ Ð Ñ ÐÐ ÙØ Ò ÑÝ ÐÓÔÙÐØ ÓÒÒ ØÙÒ Ø Òº ÅÙÓØÓ ÐÐ Ò ÓÒ ÐÑ ÙÙ ÐÐ Òº ÇÐ Ø Ø Ò ÖØØ Ø ÓÚ Ö Ó Ó ÐÙ Ò Ö Ó Ò Ö Ø Ý Ø ÓÚ Ø Ô Ø Ø Ö Ö º ÅÙÓ Ó Ø Ø Ò Ú Ö¹ ÓÐÐ Ù Ð Ø Ò ÚÖ ØÝ ÓÒ ÐÑ Ø ØÑÒ Ù Ð Ú Ö ÓÒ ÚÖ ØÝ ÓÒ Ð¹ Ñ º ÂÓ ÐÙØ Ò ÓÒ Ö Ø Ó ØØ Ù Ð Ú Ö Ó ÚÓ Ò Ú ÓÐ ØØ ØØ Ó Ò Ò Ù Ð Ò Ô Ø ÓÒ Ú ÐØ ÓÒ Ô ÙÔÙÒ Ò ÔÙÖ Ú ÐØ Ó Ò Ô ÙÔÙÒ Ø Ó Ø Ò Ò Ú ÐØ Ó Ò ÐÐ ÔÝ ÝÚ Ø ØÓ Ò º ÌÐÐ Ò Ó Ó Ò ÖØ Ò Ù Ð ÚÓ Ò ÚÖ ØØ Ò Ð ÐÐ ÚÖ ÐÐ ÚÓ Ò Ø ÖØØ ÚÖ ØØ Ò Ð ÐÐ ÚÖ ÐÐ Ô Ò Ú ØÓ Òº ÃÙÒ ÐÙØ Ò Ö Ø Ø ØÑ Ù Ð Ò ÚÙÐÐ ÑÙÓØÓ ÐØÙ ÓÒ ÐÑ ÓÒ ÐÔÓ Ò ÐÓ ØØ ÑÙÓ Ó Ø Ñ ÐÐ ÒØ Ø ØØ ÓÒ ÓÐ Ñ ÖØØ ÓØ ÚÓ Ú¹ Ö ØØ Ò Ð ÐÐ ÚÖ Ðк ÂÓ ÓÒ ÓÐ Ñ ØÙÓÐÐ Ú Ö Ó Ø Ú Ò Ý Ò Ú Ö Ó ÚÓ Ò Ú Ð Ø ÐÐ Ò Ò Ú ÚÖ Ø ØØÚ Ú Ö Ó Ó ÓÒ Ô Ò Ò Ñ¹ Ö Ô Ø Øº ÆÝØ Ò ÓÐ Ø ÒÝØØÑÐÐ ØØ ØÙÓ Ø Ú Ö Ó Ø ÚÓ Ò ÔÓ Ø Ý Ô Ø ÐÑ Ò ØØ Ø ÖÚ ØØ Ú Ò ÚÖ Ò ÑÖ ÑÙÙØØÙÙº ÃÓ ÒÝØ Ù Ø Ò Ò ÓÐ Ú Ö Ó Ó ÓÒ Ú ÑÑÒ Ô Ø Ø Ù Ò Ð ÙÔ Ö ¹ ÚÓ Ò Ô Ò ÑÑÒ Ú Ö ÓÒ ÓÐ ØÙ Ò ÑÙ Ò ØÑ Ú Ö Ó ÚÖ ØØ Ò Ð ÐÐ ÚÖ Ðк ÅÙØØ Ó ÔÓ Ø ØØ Ú Ô Ø Ú Ð ØØ Ò Ø Ò ØØ Ø ÖÚ ØØ ¹ Ú Ò ÚÖ Ò ÑÖ ÑÙÙØÙ Ò Ö Ø Ö Ø º ÆÝØ ÚÓ Ò ØÓ Ø ØØ ØÓ ØÙ Ò ÓÒ ÐÑ ÓÒ Ò ÔÖÓ Ð ÝØÑ ¹ ÓÐÐ ÚÓ Ò Ô Ò ÒØ Ú Ö Ó Ù Ø Ò Ò Ú ÒØÑØØ Ò ÚÖ ØØÑ ¹ Ò Ø ÖÚ ØØ Ú Ò ÚÖ Ò ÑÖ Ò Ð Ò ÒÝØØ ØØ Ô Ò ÑÑ Ò Ñ ÓÐÐ Ò Ð ÚÖ Ð Ù Ò Ú Ø Ñ Ö Ú Ö Ó ØÝØÝÝ ÓÐÐ Ò Ò Ý ¹ Ô Ø Ó ÚÓ Ò ÔÓ Ø º ÌÑ Ó Ó Ú Ø ÐÓÔÙÐØ ÚÙ Ò Ø ØÓ ÓÒ Ò Ð ÒØ Ø Ó º ¾

Ò ÑÑ Ò Ú Ö ØØ Ñ ÝÚ ÝØÝÒ Ø ØÓ ÓÒ Ø ØÙÒ ØÓ ØÙ Ò ØØ ¹ ÚØ ÔÔ Ð À Ò ÚÙÓÒÒ ½ º À ÐÓ ØØ Ú Ø ØÓ ØÙ Ò Ð ÒÒ Ò Ò Ð ÚÙÓØØ ÑÑ Ò Ð ØØ Ð Ñ ÐÐ ÒÓ Ò ½ ¼¼ Ø Ô ÓÐÐ Ô Ø ÚÓ Ø Ò ÝÚ ¹ ÝØÝ Ø ÔÓ Ø Ú Ö Ó Ø Ó Ó ØØ Ú Ø ØØ Ñ Ò Ñ Ð Ú Ø Ñ Ö Ú Ö¹ Ó ØÙÐ ÓÐÐ Ò Ò Ý ØÐÐ Ø Ô Ø Øº ¾

¹ÚÖ Ð Ù Ä Ù º½º ÂÓ Ò Ø ÓÚ Ö ÓÒ Ô Ø Ø Ø ÐÙ Ø ÚÓ Ò ÚÖ ØØ Ú ÐÐ ÚÖ ÐÐ Ø Ò ØØ Ú Ö ÐÐ Ô Ø ÐÐ Ø ÐÙ ÐÐ ÑÖØ Ý Ø Ø ÚÖ º ÌÓ ØÙ º À ÛÓÓ Ô Ö ÒØ Ò ØÓ ØÙ ÙÐ Ö Ò Ð Ù Ò ÚÙÐÐ µ ÐÓ Ø Ø Ò Ò Ù Ø ÓÐÐ Ô Ø Ò p Ù Ø Òº ÂÓ ÐÐ Ø ÓÚ Ö ÓÐÐ ÓÐÐ p 5 Ð Ù ÔØ Ò º ÁÒ Ù Ø Ó¹ÓÐ ØÙ Ò ÓÐ Ø Ø Ò ØØ Ø ÓÚ Ö ÓØ Ó ÓÒ p Ô Ø ØØ p 5 ÓÚ Ø 5¹ÚÖ Ø ØØÚ º ÇÐ ÓÓÒ G ÒÝØ Ø ÓÚ Ö Ó Ó ÓÒ p + 1 Ô Ø Øغ ÆÝØ ÚÓ Ò ÙÐ Ö Ò Ð Ù Ò ÙÖ Ù Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÒÓ ØØ G ÓÒ Ô ¹ Ø v ÓÒ Ø ÓÒ 5 Ø Ú ÑÑÒº ÌÐÐ Ò Ò Ù Ø Ó¹ÓÐ ØÙ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ø ÓÚ Ö Ó G v ÓÒ 5¹ÚÖ Ø ØØÚº ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ú Ö Ó G v ÓÒ ÚÖ Ø ØØÝ Ú ÐÐ ÚÖ ÐÐ ÚÖ Ñ Ö ØÒ c i 1 i 5º ÌÐÐ Ò Ó ÓØ Ò ÚÖ ÓÐ ÓÓÒ Ú c j ÓÐ ÝØ ØØÝ v Ò Ú Ö Ø Ò Ô Ø Ò ÚÖ ØØÑ Ò Ò 5¹ÚÖ Ø ØØÝ Ø ÓÚ Ö Ó G ÚÖ Øع ÑÐÐ Ô Ø V ÚÖ ÐÐ c j º ÂÓ Ò Ò ÓÐ ÓÙ ÙØ Ò ØÙØ Ñ Ò Ø Ð ÒÒ ØØ Ó d(v) = 5 Ú ÚÖ c i ÓÒ ÝØ ØØÝ Ú Ö Ø Ò Ô Ø Ò ÚÖ ØØÑ Òº Ì Ð ÒÒ ØØ ÓÒ Ú ÒÒÓÐÐ Ø ØØÙ ÙÚ º½º ÅÙÙØ Ø Ò Ø ÖÚ ØØ ÚÖ ØÝ Ø Ø Ò ØØ v Ò ÝÑÔÖ ÚØ Ô Ø Ø ÓÚ Ø ÚÖ Ø ØØÝ Ñ Ø Ö ØÝ c 1 c 2 c 3 c 4 c 5 º ÆÝØ Ñ Ö ØÒ ÝÑÔÖ Ú Ô Ø Ø Ø Ò ØØ ÚÖ ÐÐ c i ÚÖ Ø ØØÝ Ô Ø ÓÒ v i º ÃÙÚ º½ ÇÒ ÐÑ Ô Ø v ÓÒ Ò ÔÙÖ Ò ÚÖ ØÝ ÓÒ Ó ÝØ ØØÝ Ó Ò Ò Ú Ø ÚÖ Ø c i º ÇÐ ÓÓÒ G 13 G v Ò Ð Ú Ö Ó Ó ÑÖÝØÝÝ Ô Ø Ø ÓØ ÓÒ ÚÖ Ø ØØÝ Ó Ó ÚÖ ÐÐ c 1 Ø c 3 º ÂÓ ÒÝØ v 1 v 3 ÙÙÐÙÚ Ø G 13 Ò Ö ÓÑÔÓÒ ÒØØ Ò ¾

Ò Ò G v Ò 5¹ÚÖ ØÝ ÚÓ Ò ÚÙØØ Ú Ø Ñ ÐÐ ÚÖ ØÝ Ø Ò G 13 Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ó ÓÒ v 1 ÙÙÐÙÙº ÌÐÐ Ò Ò Ú Ö Ó Ó Ñ ¹ Ò v Ò Ú Ö Ø Ô Ø Ø ÓÐ ÚÖ Ø ØØÝ ÚÖ ÐÐ c 1 Ú Ö ÓÒ G 5¹ÚÖ ØÝ ÚÖ ØØÑÐÐ v ÚÖ ÐÐ c 1 º ÂÓ Ø v 1 v 3 ÙÙÐÙÚ Ø G 13 Ò Ñ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØØ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ ÔÓÐ Ù v 1 Ø v 3 Ò ÔÓÐ ÙÙÒ ÙÙÐÙÚ Ø Ô Ø Ø ÓÒ ÚÖ Ø ØØÝ ÚÖ ÐÐ c 1 Ø c 3 º ÂÓ Ø Ò ÔÓÐ ÙÙÒ Ý Ø ÔÓÐÙÒ v 1 vv 3 Ò ÖÖÓ Ó ÚÐØØÑØØ ÝÑÔÖ Ó Ó Ô Ø Ò v 2 Ø Ô Ø Ø v 4 v 5 º ÌÐÐ Ò ÓÐ ÓÐ Ñ ÔÓÐ Ù Ó Ý Ø Ô Ø Ø v 2 v 4 º ÂÓ ÑÙÓ Ó Ø Ø Ò G v ÐÐ Ð Ú Ö Ó G 24 Ó ÑÖÝØÝÝ Ô Ø Ø ÓØ ÓÒ ÚÖ Ø ØØÝ Ó Ó ÚÖ ÐÐ c 2 Ø c 4 Ò Ò v 2 v 4 ÙÙÐÙÚ Ø G 24 Ò Ö ÓÑÔÓÒ ÒØØ Òº ÂÓ ÒÝØ Ú Ø Ò ÚÖ Ò G 24 Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ó ÓÒ v 2 ÙÙÐÙÙ Ò G v Ò 5¹ÚÖ ØÝ Ó Ñ Ò v Ú Ö Ø Ô Ø Ø ÓÐ ÚÖ Ø ØØÝ ÚÖ ÐÐ c 2 º ÌÐÐ Ò Ó Ó Ú Ö ÓÒ G 5¹ÚÖ ØÝ Ò ÚÖ ØØÑÐÐ v ÚÖ ÐÐ c 2 º ÌÓ ØÙ º Ì ÓÑ Ò ÐÑ Ò ÙÐ Ö Ò Ú µ ÌÓ Ø Ò Ò Ò ØØ Ó Ú Ö ÓÓÒ Ð ØÒ Ö Ú Ö ÓÒ ÚÖ ÐÙ Ù ÚÓ ÒÓÙ Ø ÑÙØØ Ó Ò Ð Ó Ð ØØ Ö Ð ØÒ Ñ ÐÐ ÑÝ ÚÖ ¹ Ø ØØÚ Ò Ô Ø Ò Ò ÔÙÖ Ô Ø Ò ÑÖº ÌÓ Ò ÒÓ Ò Ó H ÓÒ Ú Ö ÓÒ G Ð Ú Ö Ó ÔØ Ò χ l (H) χ l (G)º ÆÝØ ÚÓ Ò ÓÐ ØØ ØØ G ÓÒ Ý Ø ¹ Ò Ò Ò ÓÐÑ Ó ØÙ Ð Ù º µº ÌÓ ØÙ ÔØ ÐÐ Ú Ö Ó ÐÐ Ó ÙØ Ò ÐÙ ØÓ ØØ Ò Ö Ò Ú ÒØÑ Ò Ò ÚÓ Ú Ò Ð ÚÖ ÐÙ Ù º Â Ø Ø Ò ØÓ ØÙ Ø ØÓ Ø Ñ ÐÐ Ò Ò Ñ Ò ØÓ ÒÐ Ò Ò Ð Ù Ó ÓÒ ÚÓ ¹ Ò ØØ Ò ÝØØ Ò Ù Ø ÓØ ÇÐ ÓÓÒ G = (V,E) ÓÐÑ Ó ØÙ Ú Ö Ó ÓÐ ÓÓÒ B ÙÐ ÓÔÙÓÐØ Ö ¹ Ó ØØ Ú ÖÖÓ Ð Ö ÙÒ º ÆÝØ ÓÐ Ø Ø Ò ÚÖ Ð ØÓ ÐÐ L(v),v V ÙÖ Ú Ø Ø ½µ Î Ö Ø Ô Ø Ø x,y B ÓÒ ÚÖ Ø ØØÝ Ö ÚÖ ÐÐ α βº ¾µ L(v) 3 ÐÐ Ô Ø ÐÐ v Bº µ L(v) 5 ÐÐ Ô Ø ÐÐ v V \Bº Æ Ñ Ø ØÒ ÓÙ Ó V \B Ú Ö ÓÒ G ÔÙÓÐ º ÌÐÐ Ò x Ò y Ò ÚÖ ØÝ ÚÓ Ò Ð ÒØ G Ò Ð Ø ÚÖ ØÝ º Ö ØÝ Ø χ l (G) 5º Ä ØÒ Ð ÐÐ Ø Ð ÒØ Ø V = 3º ÌÑ ÓÒ ØÖ Ú Ð ÐÐ ÒÝØ ÓÒ Ú Ò Ý ÚÖ ØØÑØ Ò Ô Ø Ò ÚÖ Ð Ø ÐÐ ÔØ L(v) 3 ÓØ Ò Ò ÚÖ Øع Ñ ÓÒ Ø Ö ÓÐÐ Ú Ô ÚÖ º Â Ø Ø Ò Ò Ù Ø ÓÐÐ º ¾

Ì Ô Ù ½º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ B ÐÐ ÓÒ ÒÒ Ð Ö e Ó ÙÙÐÙ B Ò Ý Ø Ô Ø ØØ u Ò v Ò ÓØ ÙÙÐÙÚ Ø B Òº ÌÑ ÒÒ ¹ ÒÝØ Ú Ö ÓÒ G Ø Ò Ð Ú Ö ÓÓÒ G 1 G 2 º Ä ÒÒ e ÑÝ ÖÖÓ Ò B Ø Ò Ó Ò B 1 B 2 º ÆÝØ B 1 {u,v} Ö Ð Ú Ö ÓÒ G1 B 2 {u,v} Ð Ú Ö ÓÒ G2 º ÇÐ Ø Ø Ò ÒÝØ ØØ Ô Ø Ø x,y ÙÙÐÙÚ Ø Ð Ú Ö ÓÓÒ G 1 ÙÚ º¾µº Æ Ò ÝÒØÝÒÝØ Ð Ú Ö Ó G 1 ÓÒ ÓÐÑ Ó ØÙ ØÐÐ Ò Ò Ù Ø Ó¹ ÃÙÚ º¾ ÂÒÒ e = (u,v) Ö ÙÒ Ò B Ú Ö ÓÒ G Ø Ò Ó Òº ÓÐ ØÙ Ò ÑÙ Ò ÑÝ Ð Ø ÚÖ Ø ØØÚ Ú ÐÐ ÚÖ Ðк ÇÐ Ø Ø Ò ÒÝØ ØØ Ø ÚÖ ØÝ Ô Ø ÐÐ u v ÑÖØÒ ÚÖ Ø γ δº ÃÙÒ Ø ÓØ Ò Ð ¹ Ú Ö Ó G 2 Ò Ø ÒÒ ÐØ ÚÖ Ø ØØÝ Ô Ø ØØ u,v B ÙÓÑ Ø Ò ØØ Ò Ù Ø Ó¹ÓÐ ØÙ Ø ÔØ ÚØ ÑÝ Ú Ö ÓÐÐ G 2 º ÌÓ Ò ÒÓ Ò ÑÝ G 2 ÚÓ Ò Ð Ø ÚÖ ØØ Ú ÐÐ ÚÖ ÐÐ Ó ÑÓÐ ÑÑ Ø Ð Ú Ö ÓØ ÓÒ ÒÝØ ÓÒÒ ØÙØØÙ Ð Ø ÚÖ ØØÑÒ ÚÓ Ò ÑÝ Ó Ó Ú Ö Ó G ÚÖ ØØ Ý ÐÐ ÚÖ ØÝ Ðк Ì Ô Ù ¾º ÇÐ Ø Ø Ò ÒÝØ ØØ Ú Ö Ó G ÓÐ ÒÒ Øغ ÇÐ ÓÓÒ v 0 B x(α) Ò Ú Ö Ò Ò Ô Ø Ö ÙÒ ÐÐ B ÓÐ ÓÓØ x,v 1,...,v t,v t+1 v 0 Ò Ò ÔÙ¹ Ö Ø Ñ v t+1 Ø Ö ÙÒ ÐÐ B ÙÚ º µº ÅÙÓ Ó Ø Ø Ò ÒÝØ Ð Ú Ö ¹ Ó G = G\{v 0 } ÔÓ Ø Ñ ÐÐ G Ø Ô Ø v 0 Ò Ó Ø Ú Ø Ö Øº Ð Ú Ö ÓÒ G Ö ÙÒ ÓÒ ÒÝØ B = B\{v 0 } {v 1,...,v t }º ÃÓ ÓÐ ØÙ Ø Ò ÑÙ¹ Ò L(v 0 ) 3 ÓÒ Ð Ø L(v 0 ) α Ò Ð Ò Ò ÑÙÙØ ÚÖ γ δº ÃÓÖÚ Ø Ò ÒÝØ Ó Ò Ò Ð ØÓ Ø L(v i ) Ð ØÓ ÐÐ L(v i )\{γ,δ}º ÅÙÙØ G Ò Ô Ø Ø ÔÝ ÝÚØ ÚÖ Ð ØÓ Ò Ù Ø Ò ÒÒ ÐÐ Òº ÆÝØ G ØÓØ ÙØØ ÓÐÑ ÓÐ ØÙ Ø ÓÒ Ð Ø ÚÖ Ø ØØÚ Ú ÐÐ ÚÖ Ðк ÃÓ ÒÝØ v 0 ÐÐ ÚÓ Ò Ú Ð Ø ÚÖ Ø Ú Ô Ø ÚÖ Ø Ó Ø ÓÒ ØÖÙ Ø Ó ÒÒÝ Ò Ýѹ ÔÖ ÐÐ ÚÓ Ò G Ò Ð Ø ÚÖ ØÝ Ð ÒØ Ó Ó G Ò ÚÖ ØÝ º ¾

ÃÙÚ º È Ø Ò v 0 ÖÓØÙ Ú Ö Ó Ø Gº ÆÝØ ÓÒ ØÙØ ØØÙ ÑÓÐ ÑÑ Ø Ñ ÓÐÐ Ø Ø Ô Ù Ø Ó Ø Ò ØØ Óй Ñ Ó ÙÒ Ú Ö ÓÒ Ð Ø ÚÖ ØÝ Ò Ö ØØ Ò Ú ÚÖ ÚÓ Ò ÙÖ Ù Ò ¾º¾ µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ ØÓ Ø ØÑÒ ØÓ ØÙ Ò ÒØ Ò Ò Ñ Ò ØÙÐÓ Ò Ù Ò ÐÐ Ò Ò ØÓ ØÙ Òº ¼

Ñ Ö Ì ÐÙÚÙ Ý Ò ÐÚ Ø Ó Ø Ò ÓÒ ÐÑ ÐÚ Ø ÐÑ Ø ØÓÖ ¹ Ø Ö Ø ÁÒÚ Ø Ø ÓÒ ØÓ Ö Ø Å Ø Ñ Ø ½¾ º º½ ÃÓ Ô Ú Ò ÑÖÑ Ò Ò ÄÙ ÓÒ Ó Ú ÓÐÐ ÐÙØ Ò Ö Ø Ó Ø ÙÖ Ú Ø Ú Ð ÒÒ Ø ÙÖ ¹ Ø Ò Ð ÒÒ Ø Æµ ÖÙÓØ Ø Ê͵ Ö Ò Ø Ê µ Ô Ò Ø Ëµ Ô Ø Ø Å µ ÐÝ Ý Ø Å µ Ñ Ø Ñ Ø Ø Ô Ø Ø µ ÐÝ Ý ¹ Ø µ Ý Ø Ô Ø Ø Ã µ ÐÝ Ý Ø Ã µ Ñ Ø Ñ ÒØ Ó Ø ÅƵ ÓÐÓ Ø Áµº ÃÝØ ÓÒ Ñ Ñ Ò Ó Ô Ú Ó Ò Ô ÚÒ ÓÐÐ Ñ ¹ Ñ Ò ÓÐÑ Ò Ö Ò Ò Ó Øº Ø ÓÔ Ð Ó Ø ÓÒ ÙÖ Ú ÐÐ ÙÖ ÐÐ Æ ÊÍ Ê Ë Å Å Ã Ã ÅÆ Á Æ ¼ ½ ½ ½ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ½ ÊÍ ¼ ½ ½ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ Ê ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ Ë ¼ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ Å ¼ ¼ ½ ½ ½ ½ ½ ½ Å ¼ ¼ ½ ¼ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ½ ½ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ½ ½ à ¼ ¼ ¼ ¼ à ¼ ¼ ¼ ÅÆ ¼ ½ Á ¼ Å ØÖ Ø Ô ÖÖ ØÒ Ú Ö Ó ØÙÐ Ø Ñ ÐÐ ØØ Ö ÓÔÔ Ò Ø Ú Ø Ú Ò Ô Ø Ò ÚÐ ÐÐ ÓÐ ÖØ ÙÒ Ñ ØÖ ÓÒ ÒÓÐÐ Ð ÙÖ ÐÐ ÓÐ ¹ ÑÓ Ò Ð Ø Ô Ø Ò ÚÐ ÐÐ ÓÒ Ö ÙÒ Ñ ØÖ ÓÒ Ý Ò Ò Ð ÙÖ ÐÐ ÓÒ ÑÓ ÓÔ Ð Ó Ø º ÎÖ Ø ØÒ Ò Ò ØÙ Ú Ö Ó ÒÙÑ ÖÓ Ñ ÐÐ Ò Ò ÓÔÔ Ò Ø ØØ Ò Ò ¹ Ó Ñ ÐÐ Ó Ô Úغ Ä ÓÒ ÑÙ Ø ØØ Ú ØØ ÙÒ Ò Ó Ô ÚÒ ÝØØ Ú Ò ÓÐÑ Ò ÖØ Òº ÁØ Ô Ö Ò Ú Ö ÓÒ Ö Ò ÒÙÑ ÖÓ Ò Ò Öع ÑÐÐ Ò Ú Ø Ô ÚÒ Ò Ð ÒÒ Ø Ð Ø Ò ÙÚ º½º ÓÒ Ò Ø¹ Ú Ý Ñ ÓÐÐ Ò Ò ÚÖ ØÝ º Ë ÓÐ ÒÓ ÚÐØØÑØØ Ý Ò ½

Ú Ö ÓÒ ÓÔØ Ñ Ð Ò Ò ÚÖ ØÝ º ÇÐ ÑÝ ÓÐÐÙØ ØÝ Ò Ñ ÓÐÐ Ø ØØ Ò Ñ¹ Ñ ÐÐ ÝÖ ØØÑÐÐ ÓÐ ØÙ Ú Ö Ó ÚÖ Ø ØØÝ ÓÐ ÓÐÐÙØ Ø ÖÔ ÐÐ Ø Ô Ð Ø Ø Ò Ô Ò ÔÙÖ ÚÖ ØÝ Øº ÃÙÚ º½ Ì ÒØØ Ô Ú Ò ÓÔ Ñ Ò Ð ØØÝÚ Ú Ö Ó Ò ØÙÓØØ Ñ ØÙÐÓ º º¾ Ã Ò Ö Ò ÐØ ÓÒ ÐÑ ÃÙÚ º¾ Ã Ò Ö Ò ÐØ ÓÒ ÐÑ º ÐÓ Ø Ø Ò ÓÒ ÐÑ Ò ØÙØ Ñ Ò Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ ÐÐ ÙÚ º¾ ÓÖÑ Ð Ú Ö Ó Ø Ò ØØ Ñ ¹ ÐÙ Ø Ñ Ö ØÒ Ô Ø ÐÐ ÐÐ Ø ÓÚ Ø Ö Ô Ø Ò ÚРй к ÆÝØ Ý ÝÑÝ ÚÓ Ò ÑÙÓØÓ ÐÐ ÙÙ ÐÐ Ò ÑÙÓØÓÓÒ Ä ÝØÝÝ Ý ÐÐ Ú Ö ÓÐÐ ÙÐ Ö Ò Ú ÐÝ À Ú Ø Ò Ò Ò ØØ Ó Ò Ò Ð Ò Ô Ø Ò Ð ØØÝÝ Ô Ö ØÓÒ ÑÖ ¹ Ö º ÃÓ Ø ØÒ ØØ ÙÐ Ö Ò Ú ÐÝÒ ÐØÚ Ú Ö Ó ÚÓ ÓÐÐ Ú Ò ¾

Ô Ö ØÓÒØ Ö ÐÙØØÙ Ú ÐÝ ÚÓ Ý ÐØÓ Ô Ø Ò ÙÓ¹ Ö ØØ º º Ð Ø Ø ØØ ÓÐ Ú Ò Ú Ö ÓÒ Ö ÒØ Ñ Ò Ò Ì Ò ÙÖ Ú Ò Ñ Ö Ò Ö Ø ½¾ ÚÙÐØ ½ Ø ØÚ ½º ÐÙ Ø ØÒ Ý Ø Ò Ò Ò Ø ÓÚ Ö Ó ÓÒ ÝÐ Ò Ò Ø ÓÒ º Ë ÐÐ Ò Ò ÓÒ Ñ Ö¹ ÙÚ Ò º Ú Ö Óº ÆÝØ ÚÓ Ò Ö ÒØ Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò ÑÖ Ý Ø Ò ÃÙÚ º Ì ÓÚ Ö Ó ÓÒ ÝÐ Ò Ò Ø ÓÒ º Î Ö Ó ÓÐ Ú Ö Ó K 6 Ó ÓÐ Ý Ò ÖØ Ò Òº Ú Ö Ó Ó Ò ÝÐ Ò Ò Ø ÓÒ ÙÖ Ú ÐÐ Ö Ó ØÙ ÐÐ Ô Ø Ò ÐÙ ÙÑÖÒ ÓÒ ÓÐØ Ú Ô Ö ÐÐ Ò Ò ÐÐ Ô Ö ØØÓÑ Ò ÑÖÒ Ô ¹ Ö ØØÓÑ Ô Ø Ø ÓÑ Ú Ø ÓÚ Ö Ó ÓÐ Ñ ÓÐÐ Ò Ò Ó Ô Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ ÓÐÐ Ò Ò ÙÙ ÐÐ ÝØ ØÒ ÙÚ Ò º Ð ¹ Ý ÒØ Ó Ô Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÐ ÓÐÐ Ò Ò ÙÙ ÐÐ ÝØ ØÒ Ó Ò¹ Ò Ú Ò Ô Ø Ò ÙÚ Ò º Ð Ý ÒØ ¾ º ÃÙÚ º È Ø Ò Ð Ý ÒÒ Ø Ý Ø Ò ÐÐ Ø ÓÚ Ö ÓÐÐ ÝÐ Ø Ø ØØ º Ä Ý ÒØ ÓÚ ÐÐ Ø Ò Ò ÐÐ Ò ÔÓ Ú Ö ÓÓÒ Ó ÓÒ ÓÐ Ú Ð Ð ØØÝ ØØ º Ä Ý ¾ ÚÓ Ò ÓÚ ÐØ Ò

Ú Ô Ò Ú Ö ÓÒ Ö ÙÒ Ò Ö Ò Ò Ò ÙÑÑ Ò ÝÐ ØØ ÙÙ Ò ÚÓ Ò ÓÖÚ Ø ÒÒ Ò ÑÙ Ø º º Î Ö ÓØ ¹Ô Ð ÌÙØ Ø Ò Ô Ð Ò Ñ ÐØ Î Ö ÓØ Ò º Ñ Ó ËÔÖÓÙØ µº È Ð Ø ÐÐÒ ÑÝ Ö ½¾ ÚÙÐÐ ½ Ø ØÚÒ º È Ð Ò ÓÚ Ø ØØÒ Ø ÂºÀº ÓÒÛ Ý ÑÝ Ì Ñ Ó Ä µ ź˺ È Ø Ö ÓÒº È Ð Ò Ð Ù Ø ÐÑ Ô ÖÖ ØÒ Ô Ô Ö ÐÐ n Ô Ø ØØ Ô Ð Ø ÙÙ ÙÖ Ú ÐÐ ÒÒ ÐÐ Ó ÐÐ ÚÙÓÖÓÐÐ Ô ÖÖ ØÒ Ò Ô Ø Ò ÚÐ ÐÐ Ö ÓÐÐ Ð ØÒ Ô Ø Ó ÐÐ Ô Ø ÐÐ v ØÙÐ ÔØ ØØ Ò Ø d(v) 3 Ö Ð Ø ØÓ Ø ÖØ Ð Ú Ö ÓÒ ØÙÐ ÔÝ Ý Ø ÓÚ ÓÒ Ô Ð ÔØØÝÝ ÙÒ Ð ÐÐ ÓÐ Ò Ý ØÒ Ð ÐÐ Ø Ô ÖØÓ Ú Ñ Ò Ö Ò Ô ÖØÒÝØ ÚÓ ØØ Ô Ð Òº ÐÐ Ö Ñ Ö Ô Ð ÙÚ º µ Ó ÐÓ ØÙ Ô Ø Ø ÓÒ Ñ Ö ØØÝ ÖÓÓÑ ¹ Ð Ò ÒÙÑ ÖÓ Ò ÖÖÓØ ÓÒ Ñ Ö ØØÝ ÒÙÑ ÖÓ Ñ ÐÐ Ò ÐÐ ÐÙÓ ÙØ Ô Ø Øº ÃÙÚ º Î Ö ÓØ Ô Ð Ò Ñ Ö ÐÐ Ô Ø Ðк ÅÙÓØÓ ÐÐ Ò Ø Ò Ð ØØÝ Ò Ú Ø ØØ µ Ô Ð Ø ÓÖ ÒØ Ò 3n 1 ÚÙÓÖÓ µ Ô Ð Ø Ú ÒØ 2n ÚÙÓÖÓ º ÌÓ ØÙ º µ ÃÙØ ÙØ Ò Ó Ø ÔÓØ ÒØ Ð Ø Ö Ò ÔØ Ô Ø ØØ Ô Ø Ò Ý Ú Ô Ù Ø º Ì Ý Ø Ý ÐÓ ØÙ Ô Ø Ò Ú Ô Ù Ø ÓÒ ÙÙ¹ Ò Ö ÐÐ Ô ÖÖ ØÝÒ Ô Ø Ò ½º ÐÙ Ô Ø Ø ÓÒ n ÓØ Ò Ú Ô Ù Ø Ø Ó Ó Ú Ö Ó ÓÒ 3nº ÂÓ ÐÐ ÚÙÓÖÓÐÐ Ô ÖÖ ØÒ Ý Ö Ð ÝØ ØÒ Ú Ô Ù Ø ØØ Ð ØÒ Ý Ô Ø Ö ÐÐ Ð ÐÙÓ Ò Ý Ú Ô Ù Ø

Ð º ÎÙÓÖÓÒ ÙÑÑ ÓÒ 1 Ú Ô Ù Ø ØØ º ÇÔØ Ñ Ð Ø Ô Ø Ø ØÝÒ Ô Ð Ò ÐÓÔÔÙ Ð ÐÐ ÓÒ Ý Ú Ô Ù Ø ÐÐ Ó Ò Ø ÓÐ Ò ÑÑÒ ÚÓ Ø Ò Ô Ð Ø ÙÒÒ Ð ÐÐ ÖØÓ Ò ÓÐ Ð ÙÒÒ Ú Ñ Ò Ò Ú Ô Ù Ø Ø ÓÑ Ú Ô Ø ÓÐ ÐÐ ÐÐ ÚÙÓÖÓÐÐ Ð ØØÝ Ô Ø º Ì ÙÐÙ Ó Ò ÚÙÓÖÓ Ò Ò Ú Ô Ù Ø Ø ÒÒ Ò Ð Ù 3n ½º ÚÙÓÖÓ 3n 1 ¾º ÚÙÓÖÓ 3n 2 º m. ÚÙÓÖÓ 3n m = 1 Î Ñ Ø ÚÙÓÖÓ Ø Ò ÚÙÓÖÓ Ò Ñ Ñ ÑÖ m = 3n 1º µ ÃÙØ ÙØ Ò Ð Ý Ò ÚÙÓ Ô Ø ØØ ÓÐÐ ÓÒ Ð ÐÐ Ý Ú Ô Ù Ø Ð¹ Ú Ô Ø ØØ Ó ÙÙÐÙÙ ÐÚÒ Ô Ø Ò Ò Ð ÑÑÒ Ò ÔÙÖ Ò ÓÙ ¹ ÓÓÒ ÙÓÐÐ ÑÙ Ø Ô Ø Ø ÙØ ÙØ Ò Ö Ø ØÝ º Ò Ð ÒÒ Ò ¹ Ð Ø ÖÑ Ø Ú Ñ Ø Ô Ø ØØ ÙØ ÙØ Ò ÑÝ Ö Ù ÔÖ Ò Ð Ò ³ Ö ØÝØÝÒÝس ¹ Ò Ò ÑÙ Òº ÃÙÓÐÐ ÐÐ Ô Ø ÐÐ ÚÓ ÓÐÐ ¹ Ø ÐÚ Ò ÔÙÖ ÐÐ ÐÐÓ Ò ÐÚØ ÚÓ Ø Ò Ý Ø ÙÖ Ú ÐÐ ÚÙÓÖÓÐÐ Ð Ù º µº ÃÙÓÐÐ Ø Ô Ø Ø Ú ÒÒÓÐÐ Ø Ø Ò ÙÚ º º ÃÙÚ º Î Ö ÓØ ¹Ô Ð Ò ÙÓÐÐ Ø Ô Ø Øº ÐÙ Ô Ø Ø ÓÐ n ÔÔ Ð ØØ Ò Ø ÓÒ ØÙÐÐÙØ Ð Ô Ð ØØÙ Ò ÚÙÓÖÓ Ò ÐÙ ÙÑÖÒ m Ú ÖÖ Òº ÃÓ µ ØÓ ØØ Ò ØØ Ô Ð Ò ÐÙ Ú Ô Ù Ø Ø ÓÒ 3nº ÆÝØ ÐÚ Ô Ø Ø ÓÒ Ð ÐÐ ÓÐ Ú Ò Ú Ô Ù Ø Ò Ú ÖÖ Ò Ð 3n m ÙÓÐÐ Ø Ô Ø Ø ÓÒ ÖØ Ò Ò Ô Ð ÓÒ Ð 2(3n m) ÐÓÔÙØ Ô Ø Ø p ÔÔ Ð ØØ ÓÚ Ø Ö Ø ØØÝ º Ö Ø ØØÝ Ô Ø Ø ÓÐ Ô Ó ÓÐÐ ÑÙØØ ÚÓ ØØÓ Ø ÚÓ ØØ Ð Ú Ô Ð Ô Ð Ò Ø ÝÒØÝÝ ÐÔÓ Ø ÐÐ Ò ÐÐ ÓÒع ÖÓÐÐÓ Ò ÐÚ Ú Ò Ô Ø Ò ÑÖ Ò Ò ÓÐÐ Ò Ø Ñ ÐÐ ÚÙÓÖÓÐÐ Ô Ð ÔØØÝݺ ÆÝØ ÚÓ Ò ÑÙÓ Ó Ø Ý ØÐ Ú Ö ÓÒ Ó ÓÒ Ô Ø ÑÖ Ø n + m = 3n m + 2(3n m) + p m = 2n + p 4

ÃÓ ØÓ ØØ Ò ØØ Ú ØÓ ØÓ p = 0 ÓÒ ÝÚ ÝØØÚ ÚÓ Ô Ð Ñ Ò Ñ Ò Ø 2n ÚÙÓÖÓ º Ñ Ö ØÐÐ Ø Ô Ð Ø ÓÒ Ø ØØÝ ÙÚ º º ÀÙÓ¹ Ñ Ø Ò ÑÝ ØØ Ó Ö Ø ØØÝ Ô Ø Ø ÓÒ Ò Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ ÓÐÐ Ò Ò Ò Ð Ðк ÃÙÚ º Ã Ò ÐÓ ØÙ Ô Ø Ò Ô Ð ÓÒ ØÓ ÓÒ 2n ÚÙÓÖÓ º º ÖÙ Ð Ò Ú Ö ÓØ ¹Ô Ð ÐÐ Ò Ô Ð Ò ÙÖ Ú Ò ÑÙÙÒÒÓ Ò Ò º ÖÙ Ð ËÔÖÓÙØ µ ÓÒ ÑÝ ¹ ØØÒÝØ ÂÓ Ò ÓÒÛ Ýº È Ð Ò ÙÖ Ú ÒÐ ÐÐ ÒØ ÑÙÙØÓ ÐРй Ð Ø Ô Ð Ø Ð ÙÔ Ø Ò Ò Ô ÖÖ ØÒ n ÔÔ Ð ØØ Ö Ø ÚÙÓÖÓÐÐ Ð ØØÝ Ò Ö Ò Ô Ø Ò Ò Ð ØÒ Ö ÐÐ ÔÓ ¹ Ú Ú Ð Ú ÒÝØ ØÒ ÔÝ ØÝÔÙÙ Ö ÔÓ ÔÙÙ ÔÝ ÝÝ ÒÒ ÐÐ Ò Ö Ò Ð Ø Ò ÓÐ Ñ ÓÐ Ú Ò Ö Ø Ò Ö Ò ÚÐ ÐÐ Ò Ò ØØ Ö Ø ÚØ Ö Ø È Ð Ò Ð Ù ÒÝØØ Ñ Ö ÙÚ Ò º ÑÙ ÐØ º ÃÙÚ º Ã Ò ÐÓ ØÙ Ö Ø Ò Ô Ð Ò Ý Ñ ÓÐÐ Ò Ò Ð Ùº Ì Ò Ô Ð Ò ÓÒ Ñ ÓÐÐ Ø Ð ØØ Ú Ø ØØ Ô Ð Ø Ú Ø Ö ÔÔÙÑ ØØ Ô Ð Ø Ò 5n 2 Ô ÖØÓ º

ÌÓ ØÙ º ÅÖ Ø ÐÐÒ Ô Ð Ò Ö Ø Ø Ñ Ò Ö Ø Ú ÐÐ º ÃÓÖÚ Ø Ò Ó Ò Ò Ö Ø Ú ÐÐ Ô Ø ÐÐ Ò Ð ÐÐ Ö ÐÐ ÙÚ Ò º ÑÙ Ø º ÆÝØ ÑÖ ¹ ÃÙÚ º Ì Ô ÓÐÐ ÐÓ ØÙ Ö Ø Ø µ ØØ Ô Ð Ò Ø Ö Ø Ø µ ÓÖÚ Ø Ò Ô Ø ÐÐ Ö ÐÐ º Ø ÐÐÒ ØØ Ó Ò Ö Ô Ø Ò s i Ø d(s i ) 2 Ó Ò Ö Ø Ô Ø Ò r i Ø d(r i ) = 4º ÆÝØ Ó ÐÐ ÚÙÓÖÓÐÐ Ð ØÒ ÓÐÑ Ô Ø ØØ Ò Ð¹ ÖØ º ÎÙÓÖÓÒ Ô Ð Ñ Ò Ò Ú ÒØ Ò Ò Ú Ö ÓÒ Ú Ô Ù Ø Ø ÐÐ Ö Ò Ó ÐØ Ò Ð Ò ÐÙÓ Ú Ô Ù Ø ØØ Ð ÙÙ Ò Ö Ô Ø ¹ Ò ÑÙÓ Ó º ÎÙÓÖÓÒ ÙÑÑ ÓÒ ±0 Ú Ô Ù Ø ØØ º ÃÓ ÐÔ Ô Ð Ò Ú Ô Ù Ø Ò ÑÖ ÓÒ Ú Ó Ð Ô Ð Ò ÐÓÔÔÙ Ò Ø ÓÒ ÐÐ Ò 4n ÔÔ Ð ØØ Ñ Ö Ò º Ò Ñ ØÝ Ò Ñ ÐÐ ÓÒ 4n ÐÚ Ô Ø Ø¹ ص ÓÒ Ó Ò Ø Ò Ø Ó ØÝ Ò Ò Ò ÐÚÒ Ô Ø Ò ÓÐØ Ú Ö Ø ØØÝÒ Ø ØÓ Ø Ý Ò ÖØ ÐÐ ÖÖÓ ÐÐ ÒÓØ Ò ØØ Ô Ø ÓÒ ØÑÒ ÖÖÓ Ò Ö Ñ ÐÐ Ø ÓÐÐ º Ä ÐÐ Ø Ó Ó ÐÐ ÓÐ ÐÚ Ô ¹ Ø ØØ ÚÓ ÓÐÐ ÓÐ Ñ Ó ØÙ Ò Ö Ø Ò Ó ØØ Ñ Ø Ø Ò ØØ Ò ØÓ Ò Ò ÐÚ Ø Ö Ô Ø Ø ÓÒ ØÓ ÐÐ ØÓ Ò Ò ØÓ ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ Ò º Ð ÙÒ Ø Ó Ø Ò Ò ÐÐ Ø Ó Ú Ø ÑÓÐ ÑÑ Ø ÙÙ Ø Ø Ó Ø Ò ÐÚÒ Ô Ø Òº Ä Ø ÓÐÐ ÚÓ ÓÐÐ Ø ÐÚ Ô Ø ØØ ÐÐ Ò¹ Ñ ÚÓ Ø Ò Ý Ø ÙÖ Ú ÐÐ ÚÙÓÖÓÐÐ ÑÙØØ ÒÝØ Ù Ø Ò Ò ÓÐ Ø ØØ Ò ØØ ØÙØ ØØ Ò Ø Ð ÒÒ ØØ Ó Ô Ð ÓÒ ÔØØÝÒÝغ Æ Ò ÓÐÐ Ò Ô Ð Ò ÐÓÔÔÙ Ú Ö Ó ÓÒ 4n Ø Ó Ô Ð Ò Ú Ð ÒÒÓ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØ º ÑÔ Ò ÐÐ Ò Ò ØÝ ÚÓ Ò ÑÙÓØÓ ÐÐ Ñ Ø Ñ ØØ Ø Ô Ð Ò ÐÓÔÔÙ ¹ Ú Ö Ó ÓÒ 5n + 3m Ô Ø ØØ Ú Ó ÐÓ ØÙ Ö Ø ÓÐÑ Ð Ó ÐÐ ÚÙÓÖÓÐÐ µ 4n + 4m ÖØ Ò Ð Ó ÐÓ ØÙ Ö Ø Ò Ð Ð Ó ÐÐ ÚÙÓÖÓÐÐ µº Ë ÓØØ Ñ ÐÐ Ú Ö ÓÒ Ô Ö Ñ ØÖ Ø ÙÐ Ö Ò ¹ Ú Ò V E + f = 2 Ò ÙÖ Ú Ý Ø Ý Ð ÙÖ Ø Ò n ÚÙÓÖÓ Ò m ÐÙ ÙÑÖ ÐÐ (5n + 3m) (4n + 4m) + 4n = 2 5n m = 2 m =5n 2.

ÎÙÓÖÓ Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ Ò 5n 2 Ö ÔÔÙÑ ØØ Ô Ð Ø Ú Ø º È Ð ÓÒ Ò ØÐÐ Ò Ò Ú Ø ÐÐ ÚÓ ØØ ÑÖÝØÝÝ ÐÓ ØÙ Ö Ø Ò ÐÙ Ùѹ ÖÒ ÑÙ Ò Ô Ö ØØÓÑ ÐÐ ÑÖÐÐ ÐÓ ØÙ Ö Ø ÐÓ ØØ ÚÓ ØØ Ò Ô Ö ÐÐ ÐÐ ÑÖÐÐ ØÓ Ò Ô Ð ÒÒÙØ ÚÓ ØØ Ò º Å Ð Ò ÒØÓ ÑÔ Ú Ö ÒØØ Ô Ð Ø Ò Ó ÔÓ ÔÙÙÒ Ð Ñ Ø ¹ Ö ÐÐ Ø Ò Ú Ô ØÓ Ø º º à ÖØØ ÚÖ ØÝ ÔÝ Ø Ò ÐÐ Ú ÐØ Ó ÐÐ ÌÙØ Ø Ò Ý Ø Ò Ø ÖØØ M Ó Ó ÐÐ Ú ÐØ ÓÐÐ ÚÓ ÓÐÐ Ò ÒØÒ k ÐÙ ØØ º ÎÓ Ò Ó Ó ØØ ØØ Ó ÐÐ ØÐÐ ÐÐ ÖØ ÐÐ Ò ÚÖ ØØÑ ¹ Ò Ø ÖÚ ØØ Ú Ò ÚÖ Ò ÑÖ ÓÒ ÓÖ ÒØ Ò 6k ÙÒ Ó Ò Ú ÐØ ÓÒ ÐÙ Ø ÓÒ ÚÖ Ø ØØÚ Ñ ÐÐ ÚÖ Ðк ÌÓ ØÙ º Ð Ø Ú Ö ÓÒ ÚÖ ÐÙ Ù χ(g) 1 + max{δ(g ) : G G} Ñ δ(g) = min{d(v) : v V } Ð Ú Ö ÓÒ G Ð Ú Ö Ó Ò G Ñ Ø Ð Ò Ø ÚÖغ Ð Ù ¾º¾ µ ½¼ º ÃÓ Ð Ù Ò º ÑÙ Ò Ó Ø Ø ÓÚ Ö Ó Ø Ð ÝØÝÝ Ò Ô Ø ÓÒ Ø d(v) 5 Ò Ø ÓÚ Ö Ó Ò Ö χ 6º ÌÙØ Ø Ò ÒÝØ Ø Ó ÖØØ Ó Ú ÐØ ÓÐÐ ÓÒ Ù Ø ØÓ Ø Ò Ö ÐÐ ÐÙ ¹ Ø º ÅÙÓ Ø Ò ØÑÒ ÖØ Ò Ú Ö Ó Ý ØÑÐÐ Ó Ò Ú ÐØ ÓÒ k Ö ÐÐ Ø Ô Ø ØØ v Ý Ô Ø v k º Î Ö Ó Ò ÓÐ Ø ÓÚ Ö Ó ÑÙØØ Ú χ(g) 1 + max{δ(g )} Ø Ú Òº ÃÓ ÐÐ Ø ÓÚ Ö Ó ÔØ max{min d(v)} 5 Ò ÙÙ max{min d(v k )} 5k ÓØØ Ñ ÐÐ Ñ Ñ Ð Ò Ñ ÓÐÐ Ò Ò Ý ØÝ Ð k ÔÔ Ð ØØ Ô Ø Ø d(v) = 5º ÎÖ ÐÙÚÙÒ ÝÐÖ Ö ÒÒ ØØ Ú Ö Ó Ý ¹ Ø Ú ÐØ ÓØ Ú Ø Ý Ô Ø º ÆÝØ Ù Ø Ò Ò Ó Ð ØÒ Ú ÐØ Ó Ð ØÒ Ö¹ Ö ÐÐ k Ô Ø Øغ Ã Ú ÓÒ Ò ÑÙÓ ØØ Ú Ú Ø Ñ Ò ØØ ÖÓ º ÌÐÐ Ò 1 + d(v) ÓÒ ÑÙÙØ ØØ Ú ÑÙÓØÓÓÒ k + d(v k ) ÌÐÐ Ò Ò ÙÖ Ú Ö χ(g) k + 5k = 6k Ë Ø Ò ØØ ÙÙÖ Ò Ñ ÓÐÐ Ò Ò ÚÖ ÐÙ Ù ÖØ ÐÐ Ó Ó Ò Ò Ú ÐØ Ó ÓÓ ØÙÙ k Ø Ó Ø ÓÒ 6kº

º ÒÖ ÔÙÙØ ÒÖ ÔÙÙØ ÓÚ Ø ØÖ Ø Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ø ØÓØ Ò ÓÚ ÐÐÙ º Ò¹ Ö ÔÙÙ ÓÒ ÙÙÒÒ ØØÙ ÙÙÖÖ ØØÙ ÔÙÙ ÓÒ Ó Ò Ô Ø Ò ÚÓ ÔÙ ÓÖ¹ ÒØ Ò Ý Ö Ø ÚÓ Ð Ø ÓÖ ÒØ Ò ÖØ º ÒÖ ÔÙ ÐÐ ÓÒ ÓÐ ÐÐ Ø ÓÒ ÐÑ µ Å Ø Ò Ò ØÓ Ø Ø Ò ÒÖ ÔÙÙ µ Å Ø Ò Ò ØÓ Ø Ø ØÒ ÐÙØØÙ Ý ÒÖ ÔÙ Ò Ñ Ñ Ð Ò Ò Ö ÒÒ ÒÝØØ Ò ÙÚ Ò º½¼ ÑÙ ÐØ º ÃÙÚ º½¼ ÒÖ ÔÙÙÒ Ö ÒÒ º Å ÓÐÐ Ø Ò ØÓÒ Ô Ø ÓÒ Ñ Ö ØØÝ ÝÑ ÓÐ ÐÐ º ÌÙØ Ø Ò Ñ Ö Ò ØÓ º ÌÐÐ ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ Ö ØÝ ÓÐÐÓ Ò Ó Ø Ð Ó Ø ÚÓ Ò ÒÓ ÓÒ Ó ÙÙÖ ÑÔ Ù Ò ØÓ Ò Òº ÃÙÒ Ò ØÓ ØÓ Ø Ð ÒØ ÖØÒ ØØ ÒÝØØ Ú ÓÐØ Ò ÙÖ ¹ Ú Ø µ µ µ º ÌÙØ Ø Ò Ò Ò ÓÒ ÐÑ µ Ð ÒÖ ÔÙÙÒ Ö ÒØ Ñ Ø º ÐÓ Ø Ø Ò Ó Ø¹ Ø Ñ ÐÐ ÔÙÙ ÙÒ Ò ÑÑ ÐÐ Ø ÓÐÐ ÙÙÖ Ô Ø Ò ØÓÒ Ò ÑÑ Ò Ò Ð Óº ÌÑÒ Ð Ò ØÙØ Ø Ò ÙÖ Ú Ð ÓØ Ú ÖÖ Ø Ò Ø Ò ÑÑ Ò Ó ÓÒ ÙÙÖ ÑÔ Ù Ò Ò ÑÑ Ò Ò Ó Ø Ø Ò ÔÙÙ ÙÒ Ð ÑÑ ÐÐ Ø ÓÐÐ Ð ÙÔ Ö Ò Ô Ø Ò Ò Ò Ó ÐÐ º Ó ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ù Ò Ò ÑÑ Ò Ò Ó Ø Ø Ò ÔÙÙ ÙÒ Ð ÑÑ ÐÐ Ø ÓÐÐ Ð ÙÔ Ö Ò Ô Ø Ò Ò Ò Ú ÑÑ ÐÐ º

ÌÓ Ò Ò ÐÓÔÔÙ Ò Ò Ô Ø Ò Ó ÐÐ Ú ÖØ ÐÙØ ÙÓÖ Ø Ø Ò ¹ ÑÓ Ò ÐÓ ØØ Ò ÙÙÖ Ô Ø Ø ÐÐ ÖÓØÙ ÐÐ ØØ Ó Ô Ø Ó ÓÒ ÖÚÓ Ô Ø Ó ØØ ÓÒ Ó ÒÒ ØÒ ÖÚÓ ÙÓÖ Ø Ø Ò Ú ÖØ ÐÙ ÙÙ Ø Ò ØÐÐ Ô ¹ Ø ÐÐ Ó Ø Ø Ò ÖÚÓ Ò Ò Ò Ó Ò Ô Òº Ñ Ö Ò ØÓÒ ÓÐÑ Ò Ö Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ µ µ µ ÒØ Ñ Ø ÒÖ ÔÙÙØ ÓÚ Ø ÙÚ º½½º ÃÙÚ º½½ Ò ØÓÒ ÓÐÑ Ò Ö Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ ÒÖ ÔÙÙغ ÆÝØ Ó Ó Ò µ ÓÒ ÐÑ Ø ÓØØ Ò ÔÙÙ Ø µ Ø ÖÚÓ ÐÓ Ø Ø¹ Ø Ò Ø Ñ Ò Ò Ú ÖØ Ñ ÐÐ ÖÚÓ Ò Ò ÙÙÖ Ô Ø Òº ÂÓ ÓÐ ÓÐÐÙØ ØÑ ÓÐ Ø ÒØ Ú ÐÑ º ÆÝØ Ó ÓÐ ÖÖÝØÒ Ø ÒÒ Ø Ó Ø ÙÙÖ ÑÔ ÖÚÓ Ø Ó Ð Ó ÐÐ º ÌÓ Ø Ø Ò Ú ÖØ ÐÙ Ó Ø Ñ Ø Ø Ò Ø Ð Ó ÐÐ º ÆÝØ Ð Ý ØØ Ò ÖÚÓ Ð Ø ÒØ ÓÒ Ú ÐÑ º º à ÙÔÔ Ñ Ø Ù Ø Ò ÓÒ ÐÑ Ã ÙÔÔ Ñ Ø Ù Ø Ò ÓÒ ÐÑ Ò Ý Ò ÓÒ Ñ Ò ÑÓ Ñ Ø ÓÒ ÙÔÔ Ñ Ø¹ Ù Ø ÓÙØÙÙ ÙÐ Ñ Ò Ô Ø Ò Ó Ò ÙÔÙÒ Ò Ð Ø ÐÐ Ò Ý¹ Ò Ó ÙÔÙÒ Ú Ò ÖÖ Òº Î Ö ÓØ ÓÖ Ò ÒÓ Ò ÓÒ Ø Ö Ó ØÙ Ø Ô ÒÓØ ØÙÒ Ú Ö ÓÒ Ó Ô Ø Ø Ù¹ Ú Ú Ø ÙÔÙÒ Ö Ø Ø Ø Ò Ò Ô ÒÓØ Ñ Ø Ó Ò Ô ØÙÙØØ µ Ñ Ò Ñ ¹ Ð Ò Ò À Ñ ÐØÓÒ Ò ÖÖÓ º ÇÒ ÐÑ ÔØ Ñ ÐÐ Ø Ò ÑÖÐÐ Ô Ø Øº ÂÓ Ú Ö Ó ÓÒ Ú Ò Ô Ø ØØ ÓÒ Ø Ô Ù ÐÔÔÓ ÑÙØØ ÝÐ Ø ÓØØ Ò n ÐÐ Ô Ø ÐÐ ÓÒ 1 (n 1)! ÙÐ ØØ Ú ÖÖÓ Ø º ÌÑ ØØ Ñ ÐÐ ÓÒ (n 1)! 2 Ñ ÓÐÐ Ø Ö ØØ ÑÙØØ ÓÐ Ø ÖÔ Ò ÖÓØ ÐÐ ÙÑÔ Ò ÙÙÒØ Ò ÖÖÓ ÙÐ Ø Òº ÃÓ Ô Ø ÑÖ Ò Ú ÖÖÓ Ø Ú Ú Ø Ù Ñ Ø ÓÐ ÒÒ Ø¹ Ø Ú Ó Ø Ð Ú ÖØ ÐÐ Ñ ÓÐÐ Ö ØØ Ú Ò ÒÒ ØØ ÙÓÖ ØØ Ú Ð ØÙÒ Ø ÖÚ Ù º ÇÒ Ø ØØÝ Ð ÓÖ ØÑ ÓØ Ø ÚØ Ô Ö¹ Ø ÐÓ Ð Ö ØØ Ð Ö ØØ ÓØ ÓÚ Ø Ô Ö ÑÔ Ù Ò ÑÙÙØ Ð ÑÑØ ¼

Ö Ø ÙÒ º ÆÑ ÒØ Ú Ø ÝÚ Ú ØÓ ØÓ ÑÙØØ Ò Ò ÚÓ Ø Ø ÒØ Ú Ò ÓÔØ Ñ Ð Ø ÓÐ Ñ ÓÐ Ú Ö Ø Ù º Ë ÐÐ Ñ Ø Ô Ø Ø Ð Ó¹ Ö ØÑ Ò ÝØØÑ Ò Ò ÐÓ Ø Ø Ò ÓÒ Ñ Ö ØÝ Ø ÙÒ Ú Ø Ù Ö Ø Ò ÝÚÝÝ Ö ÔÔÙÙ ØØÙÑ Ø º à ÙÔÔ Ñ Ø Ù Ø Ò ÓÒ ÐÑ ÓÒ Ò Ò ÒÓØØÙ ÆȹØÝ ÐÐ Ò Ò ÓÒ ÐÑ º ÂÓ¹ Ò Ò ÆȹØÝ ÐÐ Ò Ò ÓÒ ÐÑ ÚÓ Ò Ø ÓÖ ÑÙÙÒØ Ñ Ø Ò ØÓ ¹ ÆȹØÝ ÐÐ ÓÒ ÐÑ º ÌÑ Ø Ø Ö Ó ØØ Ø ØØ Ó Ñ Ø Ò Ò Ø ÓÒ ÐÑ Ø ÚÓ Ø Ò Ö Ø Ø Ø ÖÑ Ò Ø Ø ÔÓÐÝÒÓÑ ¹ Ð ÑÙÙØ Ò ÚÓ Ø Òº ÌØ Ù Ø Ò Ò Ó Ø Ø Ø Ø ÚÓ Ò Ó Òº ½

Ë Ò ØÓ ÇÐ Ò ÓÓÒÒÙØ ÐÐ Ò Ð ÒØ ¹ ÙÓÑ ¹ Ò ØÓ ÐÔÓØØ Ñ Ò Ø Ò Ö ¹ ÙÒ Ø ØØ Ð ØØÑÒ Ñ Ø Ò Ñ ØÝ ÐÐÒ Ø Ö Ó Ø Òº ËÙÓÑ Ò Ó ÐØ Ú Ö ÓØ ÓÖ Ò Ò Ñ ØÝ Ø ØÙÒØÙÚ Ø ÓÐ Ú Ò Ú Ð Ú ÒØÙÑ ØØÓÑ ÓØ Ò Ú Ø Ú ÒØÙÒ ÒÔ Ò Ø ÖÑ Ø Ò ØØ Ô Ó Ø ÐÐ Ò ÓÐÐ Ô ÐÐ Òº ÓÐÓÙÖ Ò ÓÑÔÐ Ø ÓÒÒ Ø ÖÓÑ Ø ÒÙÑ Ö ÝÐ Ö Ó Ö ÓÑ Ù Ð Ö Ô ÙÐ Ö Ö Ø Ö Ø ÒÙ Ö Ô Ò Ð Ð Ø ÓÐÓÙÖ Ò Ò Ö¹ØÖ Ò ÙÐ Ø Ö Ô ÓÙØ Ö ÔÐ Ò Ö Ö Ô Ô ÒÒ Ò ØÖ ÔÖÓÙØ Ù Ö Ô Ú ÖØ Ü Û Ð ÚÖ ØÝ ØÝ ÐÐ Ò Ò Ý Ø Ò Ò Ò ÚÖ ÐÙ Ù ÖÖÓ Ú Ô Ù Ø Ù Ð Ö ÙÐ Ö Ò ØÙÒÒÙ ÐÙ Ù Ø Ó Ù Ù Ú Ö Ó Ú Ð Ø ÚÖ ØÝ ÓÐÑ Ó ØÙ Ú Ö Ó ÙÐ ÓÔÙÓÐ Ø ÓÚ Ö Ó Ú Ö ØØ ÔÙÙ Ú Ö Ó Ð Ú Ö Ó Ô Ø Ú ÐÝ

Î ØØ Ø ½ Ò Ö Å ÖØ Ò ² Ð Ö ÒØ Ö Åº ÈÖÓÓ ÖÓÑ Ø ÓÓ Ö¹ Ð Ò ËÔÖ Ò Ö¹Î ÖÐ ÁÒº ½ ¾ ÆÓÖÑ Ò Ö Ô Ø ÓÖÝ ½ ¹½ Æ Û ÓÖ Ð Ö Ò ÓÒ ÈÖ ½ ÓÐÐÓ Ð Ú Ò Ò Ö Ô Ì ÓÖÝ Ñ Ø Ö Ñ ÆÓÖØ ¹ ÀÓÐÐ Ò ÈÙ Ð Ò ÓÑÔ ÒÝ ½ ÓÐÐÓ Ð Ö Ô Ø ÓÖÝ Ò ÁÒØÖÓ ÙØÓÖÝ ÓÙÖ Æ Û ÓÖ ËÔÖ Ò Ö¹Î ÖÐ ÁÒº ½ ÓÐÐÓ Ð ÅÓ ÖÒ Ö Ô Ì ÓÖÝ Æ Û ÓÖ ËÔÖ Ò Ö¹Î ÖÐ ÁÒº ½ ÓÒÛ Ý ÂÓ Ò Ì Ñ Ó ËÔÖÓÙØ ½ ÐÙ ØØÙ ½ º º¾¼¼ ØØÔ»»Ñ Ø ÓÖÙѺÓÖ»»Ñ º Ô Ñ Á ½¼ ½¼¼ ²Ø Ø ÖØ ¼ Ø Ð Ê Ò Ö Ö Ô Ì ÓÖÝ Ë ÓÒ Ð ØÖÓ¹ Ò Ø ÓÒ ¾¼¼¼ ØØÙ º º¾¼¼ ØØÔ»»ÛÛÛºÑ Ø ºÙÒ ¹ Ñ ÙÖ º» ÓÑ» Ø Ð» ÓÓ» Ö Ô ºØ ÓÖÝ» ÓÛÒÐÓ º ØÑÐ ÙÐ Ö Ä ÓÒ Ö ËÓÐÙØ Ó ÈÖÓ Ð Ñ Ø ÓÑ ØÖ Ñ Ë ØÙ È Ö¹ Ø Ò ÒØ ØØÔ»»Ñ Ø º ÖØÑÓÙØ º Ù» ÙÐ Ö» Ó»ÓÖ Ò Ð» ¼ ºÔ ÙÐ ØÙ ½ ÖÓ ÂÓÒ Ø Ò ² ÐÐ Ò Â Ý Ö Ô Ì ÓÖÝ Ò ÁØ ÔÔÐ ¹ Ø ÓÒ Ó Ê ØÓÒ Ê ÈÖ ½ ½¼ À Ö ÖÝ Ö Ò Ö Ô Ì ÓÖÝ Ê Ò ÓÒ¹Ï Ð Ý ÈÙ Ð Ò Óº ½ ½½ ÃÓ Ú ØÓ È ÖØØ Ö Ø ÓÖ Ì ÑÔ Ö Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ¾¼¼½ ½¾ Å ØÓÙ Â ² Æ Ø Ð Â ÖÓ Ð Ú ÁÒÚ Ø Ø ÓÒ ØÓ Ö Ø Å Ø¹ Ñ Ø ÇÜ ÓÖ Ð Ö Ò ÓÒ ÈÖ ½ ½ Ë ÚÓÐ Ò Ò Î Î Ö ÓØ ÓÖ ÈÓÖÚÓÓ ÏË ÓÓ Û ÐÐ ¾¼¼½ ½ Ë Ò ËØ Ú Ò ÁÑÔÐ Ñ ÒØ Ò Ö Ø Å Ø Ñ Ø ÓÑ Ò ØÓÖ Ò Ö Ô Ì ÓÖÝ Û Ø Å Ø Ñ Ø Ê ÛÓÓ ØÝ ÓÒ¹Ï Ð Ý ÈÙ Ð Ò Óº ½ ¼

½ ÌÓÑ Ù ÁÓ Ò ÈÖÓ Ð Ñ Ò ÓÑ Ò ØÓÖ Ò Ö Ô Ì ÓÖÝ Æ Û ÓÖ ÂÓ Ò Ï Ð Ý ² ËÓÒ ½