Vaasan yliopisto, 009-010 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 7 harjoitus 1 Määritä seuraavien potenssisarjojen suppenemissäteet a) k k x 5)k b) k=1 k x 5)k = k k 1) k ) 1) Suppenemissäteen R käänteisarvo L = 1/R saadaan peräkkäisten termien kertoimien suhteen raja-arvona a) L = lim c n+1 n = lim n + 1) n n+1 : n n = lim n + 1) n n+1 n n c n = = lim n n + n + 1 n = 1 R = 1/L = b) L = lim c n+1 n c n = lim n+1 n n + 1)! : n n! = lim n+1 n n + 1)! n! n = = lim n n + 1 = 0 R = Vastaus: a) suppenemissäde on, b) suppenemissäde on ääretön, eli potenssisarja suppenee kaikilla x:n arvoilla Kommentti: Tehtävässä kysytiin suppenemissäteitä, mutta kirjaamme vielä tarkemmin ne x:n arvot, joilla a-kohdan potenssisarja suppenee Sarja suppenee, jos x 5 < R = < x 5 < 3 < x < 7 a) Määritä MacLaurinin sarja funktiolle f x) = 1 + 3x ja b) määritä samalle funktiolle Taylorin sarja kehityskeskuksena a = 1 Kaavat: MacLaurin: f x) = Taylor: f x) = f k) 0) x k, f k) a) x a) k Kaavoja varten tarvitsemme funktion derivaattojen arvot kehityskeskuksissa x = 0 ja x = 1) Arvoja varten laskemme ensin derivaattojen lausekkeet
f x) = 1 + 3x) 1/ f x) = 1 1 + 3x) 1/ 3 = 3 1 + 3x) 1/ f x) = 1 ) 3 1 + 3x) 3/ 3 = 3 f x) = f 4) x) = f 5) x) = f 6) x) = 3 ) 5 ) 7 ) 9 ) 1 + 3x) 3/ )1 3 + 3x) 5/ 3 = 3 33 1 + 3x) 5/ 3 3 )1 33 + 3x) 7/ 3 = 5 3) 34 3 1 + 3x) 7/ 4 5 3 )1 34 + 3x) 9/ 3 = 7 5 3) 35 4 7 5 3 35 5 1 + 3x) 9/ 5 )1 + 3x) 11/ 3 = 9 7 5 3) 36 1 + 3x) 11/ 6 f k) x) = 1) k+1 k 3)!! 3k k 1 + 3x)1 k)/, kun k Edellä esiintynyt erikoinen merkintä! tarkoittaa nyt kertomaa, johon tulee kertoman tyyppisesti joka toinen tekijä Esim 7!! = 7531 ja 8!! = 864 Merkintä ei ole standardi, mutta sitä jonkin verran käytetään Tuplakertoma voidaan aina merkitä myös tavallisen kertoman avulla Esim 8!! = 8 6 4 = 4) 3) ) 1) = 4 4! 7!! = 7 5 3 1 = 7 6 5 4 3 1 = 7! 6 4 3 3! k 3)! k 3)!! = k k )! Alla olevaan taulukkoon kokoamme derivaattojen lausekkeet ja MacLaurinin sarjan ja Taylorin sarjan kertoimia Taulukon arvojen perusteella voimme kirjoittaa tehtävässä kysytyt potenssisarjat a) MacLaurinin sarja b) Taylorin sarja f x) = f k) 0) x k = 1 + 3 x 9 8 x + 7 16 x3 405 18 x4 + 1701 56 x5 f x) = f k) 1) x 1) k = + 3 9 x 1) 4 64 x 1) + 7 51 x 1)3 405 16384 x 1)4 + 1701 13107 x 1)5
Taulukko 1: Tehtävän funktion Maclaurinin sarjan ja Taylorin sarjan kertoimia k f k) x) f k) 0) f k) 1) 0 1 + 3x) 1/ 1 1 3 1 + 3 3x) 1/ 3 1 + 3x) 3/ 3! 3 3!! 33 3 1 + 3!! 3 3 3x) 5/ 3 3! 4 5!! 34 4 1 + 5!! 3x) 7/ 34 4 4! 5 7!! 35 5 1 + 7!! 3 5 3x) 9/ 5 5! = 9 8 = + 7 16 = 405 18 = 1701 56 3 5! 3!! 3 3 8 3! 5!! 34 11 4! 7!! 3 5 14 5! 3 = 3 4 = 9 64 = + 7 51 = 405 16384 = 1701 131 07 k 1) k+1 k 3)!! 3k k 1 + 3x)1 k)/ k+1 k 3)!! 3k 1) k k+1 k 3)!! 3k 1) 3k 1) Kommentti: Tehtävä on nyt ratkaistu siten kuin tehtävässä pyydettiin Vaikka tehtävässä sitä ei kysytäkään, niin seuraavaksi tutkimme vielä saatujen potenssisarjojen suppenemista Ennen suhdetestin tekemiste teemme sivistyneen arvauksen, joka usein onnistuu, mutta voi toki mennä pieleenkin Arvaus: Yleensä suppemisväli a R < x < a + R on sellainen, että funktion lausekkeen määrittelyalueen reuna tulee vastaan suppenemisvälin reunalla Nyt funktio on määritelty, kun 1/3 x < a-kohdan MacLaurinin sarjan tapauksessa siis ja b-kohdan Taylorin polynomin tapauksessa 0 R a = 1/3 R a = 1 3, 1 R b = 1/3 R b = 4 3, Suhdetesti MacLaurinin sarjalle: L a = lim n c n+1 1 n + 1) 3)!! 3 n+1 c n = lim n ) n! n n+1 n + 1)! n 3)!! 3 ) n n 1) 3 = lim = 3 R a = 1 = 1 n n + 1) L a 3 Maclaurinin sarja suppenee siis, kun R < x a < R a R < x < a + R 1/3 < x < 1/3 keskipiste 0, säde 1/3
Suhdetesti Taylorin sarjalle: L b = lim n c n+1 1 c n = lim n + 1) 3)!! 3 n+1 n 3n+1) 1) n + 1)! ) n 1) 3 = lim n 3 = 3 R b = 1 = 4 n + 1) 4 L b 3 Taylorin sarja suppenee siis, kun a R < x < a + R 1 4/3 < x < 1 + 4/3 1/3 < x < 7/3 keskipiste 1, säde 4/3 ) 3n 1) n! n 3)!! 3 n 3 Tutkimme funktiota gx), joka toteuttaa yhtälön g x) = gx) kaikilla x Jos g:llä on suppeneva sarjakehitelmä, niin g :n sarjakehitelmä saadaan derivoimalla termeittäin gx) = g x) = c k x k = c 0 + c 1 x + c x + c 3 x 3 + kc k x k 1 = c 1 + c x + 3c 3 x + 4c 4 x 3 + k=1 a) Mitkä ovat sarjakehitelmän kertoimet c k, jos g0) = 3 ja g x) = gx)? b) Mikä tämä ratkaisufunktio on? gx) = c 0 + c 1 x + c x + c 3 x 3 + c 4 x 4 + g x) = c 1 + c x + 3c 3 x + 4c 4 x 3 + 5c 5 x 4 + g x) gx) = c 1 c 0 ) + c c 1 )x + 3c 3 c )x + 4c 4 c 4 )x 3 + Tehtävässä annettujen tietojen mukaan g x) gx) = 0 kaikilla x Silloin edellä saadun lausekkeen g x) gx) potenssisarjan kaikki kertoimet ovat nollia Siis c 1 = c 0 c 1 = c 0 c = c 1 c = c 1 / = c 0 / 1) 3c 3 = c c 3 = c /3 = 3 c 0 /3 1) c k = c 0 k 4c 4 = c 3 c 4 = c 3 /4 = 4 c 0 /4 3 1) a) Tehtävän sisältämä alkuarvo g0) = 3 merkitsee sitä, että c 0 = 3 Kun yhdistämme tämän edellisin yhtälöihin saamme g:n potessisarjan kaikki kertoimet gx) = 3 + 3 x + 3! x + 3 3 3! x3 + 3 4 4! x4 + 3 5 5! x5 + b) Taulukkokirjasta löyty eksponenttifunktion sarjakehitelma e x 1 = xk Edellä saatu funktion gx) sarjakehitelmä saadaan saman tyyppiseen muotoon gx) = 3 + 3 x + 3! x + 3 3 3! x3 + 3 4 4! x4 + 3 5 5! x5 + = 3 1 + 1 x) + 1! x) + 1 3! x)3 + 1 4! x)4 + 1 ) 5! x)5 + = 3e x
Kommentti: Huomaa, että 0! = 1 ja 1! = 1, joten kaava toimii jopa ensimmäisen ja toisen termin kohdalla 4 Määritä vastaavalla tavalla kuin tehtävässä 1 funktion yx) MacLaurinin sarjan kertoimet, kun y0) = 0 ja x y x) = yx) Olkoon yx) = c 0 + c 1 x + c x + c 3 x 3 + c 4 x 4 + y x) = c 1 + c x + 3c 3 x + 4c 4 x 3 + 5c 5 x 4 + x y x) = c 1 x + c x + 3c 3 x 3 + 4c 4 x 4 + Differentiaaliyhtälö x y x) = yx) merkitsee nyt sitä, että yllä olevien ensimmäisen ja kolmannen potenssisarjan kertoimet ovat identtiset c 0 = 0 c 1 = c 1 c = c c 3 = 3c 3 c 4 = 4c 4 c 0 = 0 c 1 = c 1 c = 0 c 3 = 0 c 4 = 0 yx) = c 1 x Vastaus: Potenssisarjan kertoimet ovat c 0 = 0, c 1 on vapaa voi saada minkä arvon tahansa), c k = 0 kaikille k Siis yx) = c 1 x 5 Ratkaise differentiaaliyhtälöiden yleiset ratkaisut a) y + xy = 0 b) y + xy = 3x a) DY on lineaarinen ja homogeeninen DY kannattaa separoida y + xy = 0 dy dx = x y dy = xdx y dy = xdx y ln y = 1 x +C 1 y = ±e C 1 e x / y = Ce x / b) Alkuperäinen differentiaaliyhtälö DY) on lineaarinen, mutta ei homogeeninen DY:öön liittyy vastaava homogeeniyhtälön HY) HY) y + xy = 0
HY:n yleinen ratkaisu on a-kohdan mukaan y 0 x) = Ce x / DY:n yksityisratkaisu saadaan tekemällä yrite, joka on samaa tyyppiä kuin DY:n RHS Tällä kertaa yrite on astetta 1 oleva x:n polynomi, y 1 x) = Ax + B { y1 x) = Ax + B sij DY y 1 x) = A A + x Ax + B) = 3x A = 0,B = 3 y 1 x) = 3 DY:n yleinen ratkaisu on HY:n yleinen ratkaisu plus DY:n yksityisratkaisu: yx) = y 0 x) + y 1 x) = Ce x / + 3 6 Ratkaise y = x1 y), kun y0) = 05 DY on hyvin samantapainen kuin edellisessä tehtävässä Erona on nyt se, että alkuarvo tiedetään, joten yleisessä ratkaisussa esiintyvä integroimisvakio C saa numeroarvon Kirjoitetaan DY ilman sulkeita ja järjestetään kaikki y-termit vasemmalle y = x1 y) y = x xy y + xy = x { DY) y + xy = x, HY) y + xy = 0 HY:n yleinen ratkaisu: HY on nyt täsmälleen sama kuin tehtävässä 4a, joten HY:n yleinen ratkaisu on sama y 0 x) = Ce x / DY:n yksityisratkaisu: saadaan yritteellä { y1 x) = Ax + B sij DY y 1 x) = A DY:n yleinen ratkaisu: on edellisten summa Alkuarvo y0) = 05 määrää vakion C: A + x Ax + B) = x A = 0,B = 1 y 1 x) = 1 yx) = y 0 x) + y 1 x) = Ce x / + 1 y0) = 05 C + 1 = 05, Vastaus DY:n yleinen ratkaisu, kun C = 05: C = 05 yx) = 05 e x / + 1