Vektoreita GeoGebrassa.

Samankaltaiset tiedostot
Yleistä vektoreista GeoGebralla

Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet

Symmetrioiden tutkiminen GeoGebran avulla

Geometriaa GeoGebralla Lisätehtäviä nopeasti eteneville

Oppimateriaali oppilaalle ja opettajalle : GeoGebra oppilaan työkaluna ylioppilaskirjoituksissa 2016 versio 0.8

GeoGebra-harjoituksia malu-opettajille

GEOGEBRAN TYÖKALUT. Siirrä-työkalu. Siirrä

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

Matematiikan ilmiöiden tutkiminen GeoGebran avulla

Kuvien kanssa työskentely GeoGebrassa

9. Harjoitusjakso III

Trigonometriaa ja solve-komento GeoGebralla

Työvälineistä komentoihin

GeoGebran 3D paketti

7. Kuvien lisääminen piirtoalueelle

TYÖPAJA 1: Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet

TYÖPAJA 1: Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet

Vektorit, suorat ja tasot

Peilaus pisteen ja suoran suhteen Pythonin Turtle moduulilla

Aloitusohje versiolle 4.0

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

3. Harjoitusjakso I. Vinkkejä ja ohjeita

Taso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora

Vektorialgebra 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori

Vektorilla on suunta ja suuruus. Suunta kertoo minne päin ja suuruus kuinka paljon. Se on siinä.

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R},

Esimerkki 1: auringonkukan kasvun kuvailu

1. Olkoot vektorit a, b ja c seuraavasti määritelty: a) Määritä vektori. sekä laske sen pituus.

Vastaavasti, jos vektori kerrotaan positiivisella reaaliluvulla λ, niin

GeoGebra Quickstart. Lyhyt GeoGebra 2.7 -ohje suomeksi

Geogebra -koulutus. Ohjelmistojen pedagoginen hyödyntäminen

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin

A-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota.

VEKTORIT paikkavektori OA

Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia

6. Harjoitusjakso II. Vinkkejä ja ohjeita

Matemaattista mallintamista

Hannu Mäkiö. kertolasku * jakolasku / potenssiin korotus ^ Syöte Geogebran vastaus

GeoGebra. ohjeita ja tehtäviä 2. Pohdin projekti 1

Derivaatta graafisesti, h- ja keskeisdifferenssimuodot GeoGebralla Valokuva-albumi

Peilatun kuvion ominaisuudet

Suorat ja tasot, L6. Suuntajana. Suora xy-tasossa. Suora xyzkoordinaatistossa. Taso xyzkoordinaatistossa. Tason koordinaattimuotoinen yhtälö.

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

MAA15 Vektorilaskennan jatkokurssi, tehtävämoniste

Vektorit. Kertausta Seppo Lustig (Lähde: avoinoppikirja.fi)

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r.

Ohjeissa pyydetään toisinaan katsomaan koodia esimerkkiprojekteista (esim. Liikkuva_Tausta1). Saat esimerkkiprojektit opettajalta.

mlvektori 1. Muista, että Jacobin matriisi koostuu vektori- tai skalaariarvoisen funktion F ensimmäisistä

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/2

Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin. w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5. v = ( 3) = 13. v = v.

POHDIN - projekti. Funktio. Vektoriarvoinen funktio

Viikon aiheet. Funktion lineaarinen approksimointi

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste

Pistetulo eli skalaaritulo

4. Algebraa, käskyjä ja funktioita

Johdatus matematiikkaan

c) Vektorit ovat samat, jos ne ovat samansuuntaiset ja yhtä pitkät. Vektorin a kanssa sama vektori on vektori d.

3 Skalaari ja vektori

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät

Projektit. Pikaopas. Jaa projekti muiden kanssa Kutsu muita projektiyhteistyöhön valitsemalla Jaa.

MS-A0002 Matriisilaskenta Luento 1:Vektorit ja lineaariyhdistelyt

A B = (1, q, q 2 ) (2, 0, 2) = 2 2q q 2 = 0 q 2 = 1 q = ±1 A(±1) = (1, ±1, 1) A(1) A( 1) = (1, 1, 1) (1, 1, 1) = A( 1) A(1) A( 1) = 1

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta.

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

LibreOfficen kaavaeditori

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus

Smart Board lukion lyhyen matematiikan opetuksessa

BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016

KAAVAT. Sisällysluettelo

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

1 Funktiot, suurin (max), pienin (min) ja keskiarvo

2 Pistejoukko koordinaatistossa

TIETOKONEEN ASETUKSILLA PARANNAT KÄYTETTÄVYYTTÄ

GeoGebra- opas Virallinen käsikirja 3.2

Talousmatematiikan perusteet: Luento 8. Vektoreista ja matriiseista Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo

Peilaus pisteen ja suoran suhteen Pythonin Turtle moduulilla (Opettajan ohje)

Matriisilaskenta Laskuharjoitus 1 - Ratkaisut / vko 37

Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009

Talousmatematiikan perusteet: Luento 9

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo

Tekstinkäsittelyn jatko Error! Use the Home tab to apply Otsikko 1 to the text that you want to appear here. KSAO Liiketalous 1

Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa

10. Ohjemateriaalit. Harjoitus 17: Kuvien tallettaminen tiedostoina

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017

2.1 Yksinkertaisen geometrian luonti

Vektoreiden A = (A1, A 2, A 3 ) ja B = (B1, B 2, B 3 ) pistetulo on. Edellisestä seuraa

Oppimistavoitematriisi

Oppimistavoitematriisi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Selvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 1 / vko 44

Vektorin paikalla avaruudessa ei ole merkitystä. Esimerkiksi yllä olevassa kuvassa kaikki kolme vektoria ovat samoja, ts.

KJR-C1001: Statiikka L2 Luento : voiman momentti ja voimasysteemit

Transkriptio:

Vektoreita GeoGebrassa 1

Miten GeoGebralla piirretään vektoreita? Työvälineet ja syöttökentän komennot Vektoreiden esittäminen GeoGebrassa on luontevaa: vektorien piirtämiseen on kaksi työvälinettä vektoreita voi luoda myös syöttökentän kautta komennoilla Vektori[A] sekä Vektori[A,B]missä A ja B ovat pisteitä, tai yksinkertaisesti kirjoittamalla, esimerkiksi, komennon v=(1,2) se, minkä työvälineen/komennon valitsee, vaikuttaa siihen, kuinka paljon vektoria voi hiirellä muunnella piirtoalueella vektorien laskutoimitukset tehdään syöttökentän kautta syöttökentän komentoja: Yksikkövektori[a] luo a:n suuntaisen yksikkövektorin; KohtisuoraYksikkövektori[a]puolestaan a:ta vastaan kohtisuoran yksikkövektorin Normaalivektori[a] luo a:ta vastaan kohtisuoran vektorin, pituus määräytyy tilanteesta a voi tässä olla vektori, jana tai suora GeoGebrasta löytyy myös Siirrä objektia vektorin verran työväline Vektorien kanssa työskenneltäessä, seuraavista komennoista voi olla hyötyä: Pituus[], Kulma[v1,v2] Kierto[v,kulma], Siirto[v,alkupiste], Venytys[v,kerroin] 12.2.2014 2

Vektorien yhteenlasku Vektoreita työvälineillä Ruudukosta voi olla hyötyä! Samoin Vaihtoehdot->Pisteen sieppaus->kiinnitetty koordinaatistoon Avaa GeoGebra-ikkuna, valitse näkymäksi Geometria lisää piirtoalueelle kaksi vektoria u ja v; huomaa, että työväline lisää vektoreille alku- ja loppupisteet piilota pisteiden A, B, C ja D nimet lisää piirtoalueelle piste E lisää vektori, jonka alkupiste on E ja jonka suunta ja pituus on kuin vektorilla u; huomaa, että työväline lisää riippuvan pisteen E ja luo sitten vektorin EE lisää samoin vektori, jonka alkupiste on edellisen kohdan piste E ja suunta ja pituus kuten vektorilla v; työväline lisää pisteen E ja luo vektorin E E lisää neljäs vektori edellisten kohtien pisteestä E pisteeseen E tyylittele mielesi mukaan! 12.2.2014 3

Vektoreita syöttökentän kautta Näytä/piilota valintaruutu luo syöttökentän kautta piste A=(4,6) piilota pisteen nimi näkyvistä luo syöttökentän kautta kaksi vektoria: u=vektori[a] v=vektori[(3,0)] Huomaa: voit jälkikäteen muutella vektorien suuntaa ja pituutta hiirellä mutta alkupiste pysyy paikallaan laske syöttökentän kautta vektorien summa: w=u+v lisää näytä/piilota summavektorille 12.2.2014 4

Vektorien summa: selityksen lisääminen Vinkki! Voit lisätä vektoreille (ja muille objekteille) nimen manuaalisesti mene vektorin ominaisuuksiin -> Ikkunassa on nimen ja määritelmän alapuolella vaihtoehto Teksti tähän voit kirjoittaa myös matemaattisia kaavoja LaTeX-koodina Vektorimerkin saa komennolla $\vec{u}$ dollarimerkit tarvitaan, jotta ohjelma tunnistaa kirjoituksen matemaattiseksi tekstiksi (LaTeX-koodiksi) näin lisätyn nimen saa näkyville valitsemalla Näytä nimi->teksti Tapa 1: vektorin v kopio, jonka alkupiste on A luo vektorista v kopio (kuvassa katkoviivalla), jonka alkupiste on A; suunta ja pituus kuten vektorilla v luo toinen näytä/piilota valintaruutu tälle vektorille (kuten tehtiin summavektorille) Tapa 2: vektorin v kopio, jota pystyy siirtelemään piirtoalueella lisää piirtoalueelle uusi piste B tehdään vektorista v kopio, jonka alkupiste on B; suunta ja pituus on kuin vektorilla v nyt kopiota voi siirrellä piirtoalueella ja sen avulla havainnollistaa, miten summavektori määräytyy viimeistele makusi mukaan! Vinkki: Valintaruudut kannattaa kiinnittää: Ominaisuudet->Kiinnitä ikkuna 12.2.2014 5

Tehtävä 1 Vektorin kertominen skalaarilla Havainnollistetaan, miten skalaarilla (luvulla) kertominen muuttaa vektorin ominaisuuksia: luo piirtoalueelle liuku k välille -5 5 lisää kaksi pistettä: A=(1,3) B=(4,4) lisää vektori: v=vektori[a,b] lisää vektori: k*v tyylittele mielesi mukaan! 12.2.2014 6

Tehtävä 2 Yksikkövektoreita x-akselin suuntainen yksikkövektori i saadaan kahdella vaihtoehtoisella syöttökentän komennolla (valitse toinen): i=yksikkövektori[y=0] i=(1,0) ensimmäisellä tavalla piirretty vektori on paikkaan kiinnitetty; sitä ei voi siirtää eikä suuntaa eikä pituutta muuttaa jälkimmäisessä tapauksessa vektoria voi siirtää ja sen suunta ja pituus ovat myös muunneltavissa jos käytit jälkimmäistä komentoa, kiinnitä vektori i sen ominaisuuksista (ettei sitä ei voi muuttaa) lisää piste: A=(2,2) lisää vektorin i kopio, jonka alkupiste on A; tämän vektorin paikkaa voi siirtää pistettä A liikuttelemalla ja se pysyy yksikkövektorina (kunhan i:tä ei muuteta) lisää samaan tapaan y-akselin suuntainen yksikkövektori lisää vektoreille nimet Vinkki! Vaihtoehdot-> Pisteen sieppaus-> Kiinnitetty koordinaatistoon 12.2.2014 7

Tehtävä 3 Vektorin komponentit lisää kaksi liukua i ja j välille -5 5 askelvälinä 1 lisää vektorikomponentit: a=(i,0) b=vektori[(i,0),(i,j)] lisää vektori: v=a+b lisää vielä vektorin v kopio, jota voi liikutella piirtoalueella lisää halutessasi ohjetekstejä, väriä ja valintaruutuja selkiyttämään esitystä 12.2.2014 8

Tehtävä 4 Vektorien välinen kulma Luo sovelma, jonka avulla voidaan tutkia ja havainnollistaa vektorien välisen kulman laskemista. Vinkki1: Aloita luomalla pisteet O=(0,0) ja A=(5,0) sekä vektori u=vektori[o,a] Vinkki2: Luo Liuku jonka arvo on kulma, hyödynnä työvälinettä Kierto pisteen suhteen annetun kulman verran Vinkki 3: kulman saat esille syöttökentän komennolla Kulma[vektori,vektori] Huom. Vektorien välinen kulma on määritelmänsä nojalla kulma väliltä 0 180 GeoGebra ei valitettavasti tiedä tätä, joten kulman ominaisuuksista on muutettava asetukseksi kulma väliltä 0-180 12.2.2014 9

Lisätehtävä Kokeile piirtää vektoreita myös 3Dnäkymässä! 12.2.2014 10