Symmetrioiden tutkiminen GeoGebran avulla
|
|
- Timo-Jaakko Uotila
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Symmetrioiden tutkiminen GeoGebran avulla Tutustutaan esimerkkien kautta siihen, miten geometrista symmetriaa voidaan tutkia ja havainnollistaa GeoGebran avulla: peilisymmetria: peilaus pisteen ja suoran suhteen (ja ympyrän suhteen) työvälineitä pyörähdyssymmetria: kierrot siirtosymmetria: siirrot skaalasymmetria: venytys, kutistus ja mittakaava
2 Peilatun kuvion ominaisuudet Piirretään GeoGebralla koordinaatistoon kuvan mukainen nelikulmio Peilataan kuvio x-akselin suhteen origon suhteen. miten pisteiden koordinaatit muuttuvat, kun piste peilataan origon suhteen?
3 Kuvien kanssa työskentely GeoGebrassa Paitsi, että GeoGebrassa piirrettyjä kuvia voidaan viedä tekstitiedostoon, myös kuvia voidaan tuoda GeoGebran piirtoalustalle. tätä varten löytyy työväline Lisää kuva Kuva on samanlainen objekti kuin muutkin piirtoalueella olevat objektit. Kuvantuontimahdollisuus on hyödyllinen ainakin kun opetetaan ja opiskellaan symmetrioita, yhdenmuotoisuutta ja mittakaavamuunnoksia (näistä esimerkkejä seuraavassa). GeoGebrasta löytyy symmetria-aiheeseen liittyen useita hyödyllisiä työvälineitä: peilaus pisteen/suoran/ympyrän suhteen, kierto, siirto, venytys,
4 Peilisymmetrioita Missä kulkee symmetria-akseli? Mistä löytyy symmetriakeskus? Tutkitaan kuvan symmetrioita: talleta Moodlesta löytyvä kuva symmetria1.jpg tietokoneen työpöydälle avaa GeoGebra, valitse näkymäksi Geometria tuo kuva piirtoalustalle ja tee siitä taustakuva tutki, missä kuvan symmetria-akseli(t) kulkee tutki, mistä löytyy kuvan symmetriakeskus hyödynnä Peilaus suoran/pisteen suhteen työvälineitä ja jälkeä
5 Kierretyn kuvion ominaisuudet aloitetaan tutkimalla pisteen kiertymistä vaihtoehtoisesti voidaan työskennellä konkreettisen valokuvan parissa kiertokulma toteutetaan liukukytkimellä aluksi kulman askelväli kannattaa rajata 45 tai 90 asteeseen abstraktimpien kuvioiden, esim. monikulmioiden, kierto voidaan ottaa käsittelyyn sitten, kun kiertymisen perusperiaate ovat selvillä Tämänkin aiheen kohdalla voidaan hyödyntää smartboard-tekniikkaa tai vihkotyöskentelyä; vastauksen saa valintaruudun takaa esille sen jälkeen kun tehtävää on pohdittu yhdessä tai itsenäisesti
6
7 Kuvan suurentaminen ja pienentäminen, venyttäminen ja siirtäminen Tallenna Moolesta löytyvä kuva Palmupuut.jpg työpöydälle tai omiin tiedostoihisi avaa GeoGebra ja valitse Näkymät->Geometria lisää kuva piirtoalustalle kuvan kokoa voidaan skaalata kiinnittämällä kaksi nurkkaa: luo piirtoalueelle kaksi pistettä: O=(0,0) ja toinen piste A x-akselille avaa kuvan ominaisuudet-ikkuna Paikka-välilehti kiinnitä kuvan nurkka1 ja nurkka 2 nyt voit muuttaa kuvan kokoa mieleiseksesi siirtelemällä pisteitä kuvaa voidaan venyttää kiinnittämällä kolmas nurkka: luo piirtoalueelle kolmas piste avaa kuvan ominaisuudet-ikkuna Paikka-välilehti kiinnitä nurkka4 nyt voit venyttää kuvaa mielesi mukaan
8 kuvaa voidaan siirtää (paitsi hiirellä, myös) liukukytkimen ja vektorin avulla luo liukukytkin s: -5 5 animaatioaskel 0.5 luo piste P=(s,0) luo vektori u=vektori[o,p] siirrä kuvaa vektorin u verran
9 kuvaa voidaan skaalata (paitsi hiirellä, myös) liukukytkinkertoimen luo liukukytkin n: animaatioaskel 0.5 kopioi kuva: KopioiVapaaObjekti[]-komennolla piirrä piirtoalueelle piste sopivaan kohtaa ja tee siitä kopioidun kuvan vasen nurkkapiste venytä kopiota nurkkapisteen suhteen kertoimen n verran
10 suunnittele oma symmetriaa havainnollistava sovellus Tehtävä symmetrioita
11 Lisätehtävä peilaus (inversio) ympyrän suhteen Tutki pisteen peilautumista ympyrän suhteen: piirrä ympyrä, jonka keskipiste on O ja säde=4 piirrä piste P ympyrän ulkopuolelle etsi työväline: peilaa piste P liikuttele pistettä P ja yritä keksiä sääntö, minkä mukaan peilipiste P määräytyy tutki ensin erikoistapausta, jossa piste P on ympyrän kehällä piirrä sitten puolisuora OP piirrä janat OP ja OP laske tulo OP*OP joko keksit säännön? miten peilipisteen koordinaatit määräytyvät?
12 Symmetrioiden sovelluksia: Miten perustelisit GeoGebralla symmetrioita hyödyntäen: pinta-aloja 1. suorakulmaisen kolmion pinta-ala saadaan kertomalla kannan pituus korkeudella, ja jakamalla kahdella 2. suunnikkaan pinta-ala saadaan kertomalla kannan pituus korkeudella 3. kolmion kulmien summa on 180 astetta
Peilatun kuvion ominaisuudet
Peilatun kuvion ominaisuudet Piirretään GeoGebralla koordinaatistoon kuvan mukainen nelikulmio Peilataan kuvio x-akselin suhteen origon suhteen. miten pisteiden koordinaatit muuttuvat, kun piste peilataan
LisätiedotKuvien kanssa työskentely GeoGebrassa
Kuvien kanssa työskentely GeoGebrassa Paitsi, että GeoGebrassa piirrettyjä kuvia voidaan viedä tekstitiedostoon, myös kuvia voidaan tuoda GeoGebran piirtoalustalle. tätä varten löytyy työväline Lisää kuva
LisätiedotVektoreita GeoGebrassa.
Vektoreita GeoGebrassa 1 Miten GeoGebralla piirretään vektoreita? Työvälineet ja syöttökentän komennot Vektoreiden esittäminen GeoGebrassa on luontevaa: vektorien piirtämiseen on kaksi työvälinettä vektoreita
LisätiedotTasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet
Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet Näissä harjoituksissa työskennellään näkymässä Näkymät->Geometria PIIRRÄ (ja MITTAA) a) jana toinen jana, jonka pituus on 3 b) kulma toinen kulma, jonka
LisätiedotGeoGebran 3D paketti
GeoGebran 3D paketti vielä kehittelyvaiheessa joitakin puutteita ja virheitä löytyy! suomennos kesken parhaimmillaan yhdistettynä 3D-lasien kanssa tilattavissa esim. netistä (hinta noin euron/lasit) 3D-version
LisätiedotTYÖPAJA 1: Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet
TYÖPAJA 1: Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet Näissä harjoituksissa työskennellään näkymässä Näkymät->Geometria PIIRRÄ a) jana, jonka pituus on 3 b) kulma, jonka suuruus on 45 astetta c)
LisätiedotTYÖPAJA 1: Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet
TYÖPAJA 1: Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet Valitse Näkymät->Geometria PIIRRETÄÄN KOLMIOITA: suorakulmainen kolmio keksitkö, miten korostat suoraa kulmaa? tasakylkinen kolmio keksitkö,
LisätiedotGeometriaa GeoGebralla Lisätehtäviä nopeasti eteneville
Geometriaa GeoGebralla Lisätehtäviä nopeasti eteneville Tutki GeoGebralla Näkymät->Geometria a) Kuinka suuria ovat kolmion kulmat, jos sen sivut ovat 5, 7 ja 9. Vihje: Aloita kolmion piirtäminen yhdestä
Lisätiedot7. Kuvien lisääminen piirtoalueelle
7. Kuvien lisääminen piirtoalueelle Harjoitus 13: Symmetristen kuvioiden tutkiminen Takaisin koulun penkille... Avaa dynaaminen työtiedosto H13_symmetria.html. Se löytyy Työpöydälle luomastasi kansiosta
LisätiedotGEOGEBRAN TYÖKALUT. Siirrä-työkalu. Siirrä
GEOGEBRAN TYÖKALUT Siirrä-työkalu Siirrä Valitse objekti ja siirrä objektia vetämällä sitä hiiren vasemmalla näppäimellä. Käyttämällä siirrä toimintoa voit myös poistaa objektin painamalla Deletenäppäintä.
LisätiedotOppimateriaali oppilaalle ja opettajalle : GeoGebra oppilaan työkaluna ylioppilaskirjoituksissa 2016 versio 0.8
Oppimateriaali oppilaalle ja opettajalle : GeoGebra oppilaan työkaluna ylioppilaskirjoituksissa 2016 versio 0.8 Piirtoalue ja algebraikkuna Piirtoalueelle piirretään työvälinepalkista löytyvillä työvälineillä
LisätiedotMatematiikan ilmiöiden tutkiminen GeoGebran avulla
Johdatus GeoGebraan Matematiikan ilmiöiden tutkiminen GeoGebran avulla Harjoitus 1B. Konstruoi tasakylkinen kolmio ABC, jonka kyljen pituus on 5. Vihje: käytä Kiinteä jana työvälinettä kahdesti. Ota kolmion
Lisätiedot9. Harjoitusjakso III
9. Harjoitusjakso III Seuraavaksi harjoitellaan kuvien ja tekstin lisäämistä piirtoalueelle. Tarjolla on aikaisempien harjoittelujaksojen tapaan kahden tasoisia harjoituksia: perustaso ja edistynyt taso.
Lisätiedot3. Harjoitusjakso I. Vinkkejä ja ohjeita
3. Harjoitusjakso I Tämä ensimmäinen harjoitusjakso sisältää kaksi perustason (a ja b) ja kaksi edistyneen tason (c ja d) harjoitusta. Kaikki neljä harjoitusta liittyvät geometrisiin konstruktioihin. Perustason
Lisätiedot14 Monikulmiot 1. Nimeä monikulmio. a) b) c) Laske monikulmion piiri. a) 30,8 cm 18,2 cm. Laske sivun x pituus, kun monikulmion piiri on 25,0 cm.
1 14 Monikulmiot Nimeä monikulmio. a) b) c) kolmio nelikulmio 12-kulmio Laske monikulmion piiri. a) 4,2 cm b) 3,6 cm 11,2 cm 4,8 cm 3,6 cm 4,3 cm 30,8 cm 18,2 cm Laske sivun x pituus, kun monikulmion piiri
LisätiedotGeoGebra. ohjeita ja tehtäviä 2. Pohdin projekti 1
Pohdin projekti 1 GeoGebra ohjeita ja tehtäviä 2 1 Lukuvuosina 2008-2012 Tampereen normaalikoulun matematiikan opetusharjoittelijat ovat olleet rakentamassa joko Capri-oppaita ja niiden pohjalta nyt käsillä
LisätiedotPeilaus pisteen ja suoran suhteen Pythonin Turtle moduulilla
Peilaus pisteen ja suoran suhteen Pythonin Turtle moduulilla ALKUHARJOITUS Kynän ja paperin avulla peilaaminen koordinaatistossa a) Peilaa pisteen (0,0) suhteen koordinaatistossa sijaitseva - neliö, jonka
LisätiedotGeogebra -koulutus. Ohjelmistojen pedagoginen hyödyntäminen
Geogebra -koulutus Ohjelmistojen pedagoginen hyödyntäminen Geogebra Ilmainen dynaaminen matematiikkaohjelmisto osoitteessa http://www.geogebra.org Geogebra-sovellusversion voi asentaa tietokoneilla ja
LisätiedotTyövälineistä komentoihin
Työvälineistä komentoihin Miten GeoGebralla piirretään funktioita? Kohtasitko ongelmia GeoGebran käytössä? Millaisia? Kohtaisitko tilanteita, joissa jonkin funktion piirtäminen GeoGebralla ei onnistunutkaan?
Lisätiedot6. Harjoitusjakso II. Vinkkejä ja ohjeita
6. Harjoitusjakso II Seuraavaksi harjoitellaan algebrallisten syötteiden, komentojen ja funktioiden käyttöä GeoGebrassa. Tarjolla on ensimmäisen harjoittelujakson tapaan kahden tasoisia harjoituksia: perustaso
LisätiedotAloitusohje versiolle 4.0
Mikä on Geogebra? Aloitusohje versiolle 4.0 dynaamisen matematiiikan työvälineohjelma helppokäyttöisessä paketissa oppimisen ja opetuksen avuksi kaikille koulutustasoille vuorovaikutteiset geometria, algebra,
LisätiedotOpettajan ohje: Tehtäväluettelo:
Opettajan ohje: Tehtävistä kannattaa valita sopivimmat oman oppilasryhmän tarpeisiin nähden. Tehtävien kesto on vain arvio ja tehtäviä on useita, jotta nopeimmillekin olisi riittävästi harjoituksia. Ohjelmakoodia
Lisätiedot2 Pistejoukko koordinaatistossa
Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia
LisätiedotEsimerkki 1: auringonkukan kasvun kuvailu
GeoGebran LASKENTATAULUKKO Esimerkki 1: auringonkukan kasvun kuvailu Auringonkukka (Helianthus annuus) on yksivuotinen kasvi, jonka varren pituus voi aurinkoisina kesinä hyvissä kasvuolosuhteissa Suomessakin
LisätiedotOhjelmakoodia kannattaa aina välillä testata sitä luodessa. Muista tallentaa työsi, vaikka se jäisi keskeneräiseksi!
Oppilaan ohje: Ohjelmakoodia kannattaa aina välillä testata sitä luodessa. Muista tallentaa työsi, vaikka se jäisi keskeneräiseksi! Tehtäväluettelo: Scratch: 1. Pisteen peilaus x-akselin suhteen. 2. Pisteen
LisätiedotMAA15 Vektorilaskennan jatkokurssi, tehtävämoniste
MAA15 Vektorilaskennan jatkokurssi, tehtävämoniste Tason ja avaruuden vektorit 1. Olkoon A(, -, 4) ja B(5, -1, -3). a) Muodosta pisteen A paikkavektori. b) Muodosta vektori AB. c) Laske vektorin AB pituus.
LisätiedotGeoGebra Quickstart. Lyhyt GeoGebra 2.7 -ohje suomeksi
GeoGebra Quickstart Lyhyt GeoGebra 2.7 -ohje suomeksi Algebraikkuna GeoGebra on ilmainen matematiikan opetusohjelma. Siinä on työvälineitä dynaamiseen geometriaan, algebraan ja analyysiin. Voit piirtää
LisätiedotTrigonometriaa ja solve-komento GeoGebralla
Trigonometriaa ja solve-komento GeoGebralla Valitse yläreunasta Näytä-valikosta CAS ja Piirtoalue. CAS-on laskinohjelma, piirtoalueen avulla saat kuviot näkyville tarvittaessa. Harjoitellaan ensiksi CAS-ikkunan
LisätiedotMATEMATIIKKA JA TAIDE I
1 MATEMATIIKKA JA TAIDE I Tehtävät sopivat peruskoulun alaluokille. Ne on koostettu Matematiikkalehti Solmun Matematiikkadiplomeista I VI. Sivunumerot viittaavat näiden diplomitehtävien sivuihin. Aihepiirejä:
LisätiedotOsoita, että kaikki paraabelit ovat yhdenmuotoisia etsimällä skaalauskuvaus, joka vie paraabelin y = ax 2 paraabelille y = bx 2. VASTAUS: , b = 2 2
8. Geometriset kuvaukset 8.1. Euklidiset kuvaukset 344. Esitä muodossa x = Ax + b se avaruuden E 3 peilauskuvaus, jonka symmetriatasona on x 1 3x + x 3 = 6. A = 1 3 6 6 3, b = 1 1 18. 3 6 6 345. Tason
LisätiedotYleistä vektoreista GeoGebralla
Vektoreita GeoGebralla Vektoreilla voi laskea joko komentopohjaisesti esim. CAS-ikkunassa tai piirtämällä piirtoikkunassa. Ensimmäisen tavan etuna on, että laskujen tueksi muodostuu kuva. Tästä on varmasti
LisätiedotMAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5
Lisätiedot3. Piirrä kaksi tasoa siten, että ne jakavat avaruuden neljään osaan.
KOKEIT KURSSI 2 Matematiikan koe Kurssi 2 () 1. Nimeä kulmat ja mittaa niiden suuruudet. a) c) 2. Mitkä kuvion kulmista ovat a) suoria teräviä c) kuperia? 3. Piirrä kaksi tasoa siten, että ne jakavat avaruuden
Lisätiedotx 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)
MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon
LisätiedotTampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus
Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus 2 7.2.2013 1. Matematiikan lukiokurssissa on esitetty, että ylöspäin aukeavan paraabelin f(x) = ax 2 +bx+c,a > 0,minimikohtasaadaan,kunf
LisätiedotKolmion kulmien summa. Maria Sukura
Kolmion kulmien summa Maria Sukura Oppituntien johdanto Oppilaat kuulevat triangelin äänen. He voivat katsoa sitä ja yrittää nimetä tämän soittimen. Tutkimme, miksi triangelia kutsutaan tällä nimellä,
LisätiedotMAA03.3 Geometria Annu
1 / 8 2.2.2018 klo 11.49 MAA03.3 Geometria Annu Kokeessa on kolme (3) osaa; Monivalinnat 1 ja 2 ovat pakollisia (6 p /tehtävä, yht. 12 p) B1 osa Valitse kuusi (6) mieleisintä tehtävää tehtävistä 3-10.
Lisätiedotyleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p
MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y
LisätiedotLieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa
Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa säilyttäen pitkin tason T suljettua käyrää (käyrä ei leikkaa itseään). Tällöin suora s piirtää avaruuteen
Lisätiedot9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa
9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.
LisätiedotMatemaattista mallintamista
Johdatus GeoGebraan Matemaattista mallintamista Harjoitus 2A. Tutkitaan eksponentiaalista kasvua ja eksponenttifunktioita Auringonkukka (Helianthus annuus) on yksivuotinen kasvi, jonka varren pituus voi
LisätiedotOppilas vahvistaa opittuja taitojaan, kiinnostuu oppimaan uutta ja saa tukea myönteisen minäkuvan kasvuun matematiikan oppijana.
Tavoitteet S L 3. lk 4. lk 5. lk 6. lk Merkitys, arvot ja asenteet T1 pitää yllä oppilaan innostusta ja kiinnostusta matematiikkaa kohtaan sekä tukea myönteistä minäkuvaa ja itseluottamusta L1, L3, L5
LisätiedotLuento 3: 3D katselu. Sisältö
Tietokonegrafiikan perusteet T-.43 3 op Luento 3: 3D katselu Lauri Savioja Janne Kontkanen /27 3D katselu / Sisältö Kertaus: koordinaattimuunnokset ja homogeeniset koordinaatit Näkymänmuodostus Kameran
LisätiedotPituus- ja pinta-alayksiköt. m dm cm mm. km hm dam m. a) neljän pienen kohteen pituus millimetreiksi, senttimetreiksi ja desimetreiksi
Pituus- ja pinta-alayksiköt 1 Pituusyksiköt Pituuden perusyksikkö on metri, ja se lyhennetään pienellä m-kirjaimella. Pienempiä ja suurempia pituusyksiköitä saadaan kertomalla tai jakamalla luvulla 10,
LisätiedotJohdanto. GeoGebraan. Judith Hohenwarter ja Markus Hohenwarter www.geogebra.org
Johdanto GeoGebraan Judith Hohenwarter ja Markus Hohenwarter www.geogebra.org Johdanto GeoGebraan Muokattu viimeksi 10.4.2010. Alkuperäistä tekstiä muokattu viimeksi 19.7.2008. Kirja sisältää johdannon
Lisätiedot7.lk matematiikka. Geometria 3. Hatanpään koulu 7B ja 7C Kevät 2017 Janne Koponen
7.lk matematiikka Hatanpään koulu 7B ja 7C Kevät 2017 Janne Koponen 2 Sisällys 15. Kolmio... 4 16. Nelikulmiot... 8 17. Monikulmiot... 12 18. Pituuksien ja pinta-alojen muutokset... 16 19. Pinta aloja
LisätiedotVanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016
Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.
LisätiedotMonikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio
Monikulmiot 1/5 Sisältö Monikulmio Monikulmioksi kutsutaan tasokuviota, jota rajaa perättäisten janojen muodostama monikulmion piiri. Janat ovat monikulmion sivuja, niiden päätepisteet monikulmion kärkipisteitä.
LisätiedotMAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA
MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA 1. Piirretään kulman kärki keskipisteenä R-säteinen ympyränkaari, joka leikkaa kulman kyljet pisteissä A ja B. Nämä keskipisteenä piirretään samansäteiset ympyräviivat säde niin
LisätiedotYMPYRÄ. Ympyrä opetus.tv:ssä. Määritelmä Kehän pituus Pinta-ala Sektori, kaari, keskuskulma, segmentti ja jänne
YMPYRÄ Ympyrä opetus.tv:ssä Määritelmä Kehän pituus Pinta-ala Sektori, kaari, keskuskulma, segmentti ja jänne KAPPALEEN TERMEJÄ 1. Ympyrä Ympyrä on niiden tason pisteiden joukko, jotka ovat yhtä kaukana
LisätiedotPienoismallien rakentaminen Linnanmäen laitteista
Pienoismallien rakentaminen Linnanmäen laitteista Suunnittelu ja ohjeet: Hannele Ikäheimo ja Leena Kokko Valokuvat: Leena Kokko Pienoismallien rakentaminen Linnanmäen laitteista Suunnittelu ja ohjeet:
Lisätiedot11. Geometria Valikot ja näppäintoiminnot. Geometriasovelluksessa voit tehdä puhdasta tai analyyttista geometriaa.
11. Geometria Geometriasovelluksessa voit tehdä puhdasta tai analyyttista geometriaa. 11.1 Valikot ja näppäintoiminnot Kun valitset päävalikosta Geometry, näyttö tyhjenee ja näkyviin ilmestyy uusi painikevalikko
LisätiedotYhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän
LisätiedotJuuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kertaus K1. a) Ratkaistaan suorakulmaisen kolmion kateetin pituus x tangentin avulla. tan9 x,5,5 x,5 tan 9 x 2,8... x» 2,8 (cm) Kateetin pituus x on 2,8 cm. b) Ratkaistaan vinokulmaisen kolmion sivun pituus
LisätiedotGeometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio
Geometriaa kuvauksin Siirto eli translaatio Janan AB kuva on jana A B ja ABB A on suunnikas. Suora kuvautuu itsensä kanssa yhdensuuntaiseksi suoraksi. Kulmat säilyvät. Kuva ja alkukuva ovat yhtenevät.
LisätiedotLäpäisyehto: Kokeesta saatava 5. Uusintakoe: Arvosana määräytyy yksin uusintakokeen perusteella.
MAA7 Trigonometriset funktiot Arvosanan perusteet: koe 70 %, harjoitustehtävä 10 %, tuntitestit 20 %, lisäksi oppimisen ja työskentelyn havainnointi opettajan harkinnan mukaan (ks. OPS 6.2). Muu arviointi:
LisätiedotEnsimmäinen osa: Rautalankamallinnus. Rautalankamallinnus
Ensimmäinen osa: Rautalankamallinnus Rautalankamallinnus Tampereen ammattiopisto - CAD -perusharjoitukset Rautalankamallinnus I: Jana, suorakulmio ja ympyrä Harjoitusten yleisohje Valitse suunnittelutilan
Lisätiedot102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä.
Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 Päivitett 19..6 11 Todistus 1 Kärä x + = x + 4 5 3 31 = x x+ 4, jos ja vain jos pisteen 3,7 koordinaatit toteuttavat kärän htälön. Kun x = 3 ja
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)
LisätiedotKESKEISET SISÄLLÖT Keskeiset sisällöt voivat vaihdella eri vuositasoilla opetusjärjestelyjen mukaan.
VUOSILUOKAT 6 9 Vuosiluokkien 6 9 matematiikan opetuksen ydintehtävänä on syventää matemaattisten käsitteiden ymmärtämistä ja tarjota riittävät perusvalmiudet. Perusvalmiuksiin kuuluvat arkipäivän matemaattisten
Lisätiedotσ = σ = ( ).
APPROBATUR 3 (MATP170) Harjoitus 6, Ratkaisut 1. Kirjoita permutaatio perinteisessä kaksirivisessä esitysmuodossa. σ = ( 1 3 6 2 )( 4 5 6 1 )( 2 3 4 5 ) Ratkaisu. Katsotaan alkioden 1, 2, 3, 4, 5, 6 kuvautuminen
LisätiedotI Geometrian rakentaminen pisteestä lähtien
I Geometrian rakentaminen pisteestä lähtien Koko geometrian voidaan ajatella koostuvan pisteistä. a) Matemaattinen piste on sellainen, millä EI OLE LAINKAAN ULOTTUVUUKSIA. Oppilaita voi johdatella pisteen
LisätiedotÄärettömät raja-arvot
Äärettömät raja-arvot Määritelmä Funktion f oikeanpuoleinen raja-arvo pisteessä x 0 on + mikäli kaikilla R > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) > R aina kun x 0 < x < x 0 + δ. Funktion f oikeanpuoleinen
Lisätiedotc) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.
MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse
LisätiedotJAVA on ohjelmointikieli, mikä on kieliopiltaan hyvin samankaltainen, jopa identtinen mm. C++
JAVA alkeet JAVA on ohjelmointikieli, mikä on kieliopiltaan hyvin samankaltainen, jopa identtinen mm. C++ ja Javascriptin kanssa. Huom! JAVA ja JavaScript eivät silti ole sama asia, eivätkä edes sukulaiskieliä.
LisätiedotTasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella.
Tasogeometria Tasogeometrian käsitteitä ja osia Suora on äärettömän pitkä. A ja B ovat suoralla olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Jana on geometriassa kahden pisteen välinen suoran osuus.
LisätiedotC. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %
1. Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden
LisätiedotRATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.
RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion
Lisätiedot3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO
3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n
LisätiedotHannu Mäkiö. kertolasku * jakolasku / potenssiin korotus ^ Syöte Geogebran vastaus
Perusohjeita, symbolista laskentaa Geogebralla Kielen vaihtaminen. Jos Geogebrasi kieli on vielä englanti, niin muuta se Options välilehdestä kohdasta Language suomeksi (finnish). Esittelen tässä muutaman
LisätiedotPiste ja jana koordinaatistossa
607 Piste ja jana koordinaatistossa ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA5 Kertausta kurssi Eri asioiden välisten riippuvuuksien havainnollistamiseen kätetään usein koordinaatistoesitstä Pstakselilla riippuvan muuttujan
LisätiedotFlash. Tehtävä 1 Piirtotyökalut, kokeile niitä. Liiketalous syksy 2012
Flash Tehtävä 1 Piirtotyökalut, kokeile niitä RectangleTool ja Oval Tool Kokeile rectangle ja oval-piirtotyökaluja käytä eri värejä ja reunan paksuuksia Primitive-objekteilla on enemmän ominaisuuksia,
LisätiedotLASKINOPAS. Pertti Lehtinen
LASKINOPAS Pertti Lehtinen 14. ELOKUUTA 2017 Sisällys Kielen vaihtaminen... 4 Tietokoneessa softan ulkoasu... 4 Laskinsoftan ulkoasun muuttaminen... 5 Uuden / vanhan tiedoston avaaminen / tallettaminen
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
LisätiedotA-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota.
MAA5.2 Loppukoe 24.9.2013 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! A1. A-osio. Tehdään
LisätiedotOsoite: https://ggbm.at/tewz3jsv Tehtävä 1. Tutkitaan appletin kuutioita. a) Kuinka monta eripituista janaa voidaan piirtää yhdistämällä kaksi kuution kärkeä? b) Mikä a-kohdan janoista on pisin? Perustelkaa.
Lisätiedot1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.
ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.
LisätiedotA-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:
MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko
Lisätiedoty=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6
MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+
LisätiedotYmpyrän yhtälö
Ympyrän yhtälö ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA4 On melko selvää, että origokeskisen ja r-säteisen ympyrän yhtälö voidaan esittää muodossa x 2 + y 2 = r 2. Vastaavalla tavalla muodostetaan ympyrän yhtälö, jonka
Lisätiedot2) Kaksi lentokonetta lähestyy toisiaan samalla korkeudella kuvan osoittamalla tavalla. Millä korkeudella ja kuinka kaukana toisistaan ne ovat?
2..207 Määritelmä, (terävän kulman) trigonometriset funktiot: Suorakulmaisessa kolmiossa terävän kulman trigonometriset funktiot ovat: kulman sini hpotenuusa sin a c kulman kosini hpotenuusa kulman tangentti
LisätiedotTeoreettisia perusteita II
Teoreettisia perusteita II Origon siirto projektiokeskukseen:? Origon siirto projektiokeskukseen: [ X X 0 Y Y 0 Z Z 0 ] [ Maa-57.260 Kiertyminen kameran koordinaatistoon:? X X 0 ] Y Y 0 Z Z 0 Kiertyminen
LisätiedotMAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon.
MAA4 - HARJOITUKSIA 1. Esitä lauseke 3 + 4 ilman itseisarvomerkkejä.. Ratkaise yhtälö a ) 5 9 = 6 b) 6 9 = 0 c) 7 9 + 6 = 0 3. Ratkaise yhtälö 7 3 + 4 = (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. luku) 4. Ratkaise
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä
Lisätiedot4.1 Kaksi pistettä määrää suoran
4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,
LisätiedotC. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %
1. 4Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden
Lisätiedot! 7! = N! x 8. x x 4 x + 1 = 6.
9. 10. 2008 1. Pinnalta punaiseksi maalattu 3 3 3-kuutio jaetaan 27:ksi samankokoiseksi kuutioksi. Mikä osuus 27 pikkukuution kokonaispinta-alasta on punaiseksi maalattu? 2. Positiivisen kokonaisluvun
LisätiedotPeilaus pisteen ja suoran suhteen Pythonin Turtle moduulilla (Opettajan ohje)
Peilaus pisteen ja suoran suhteen Pythonin Turtle moduulilla (Opettajan ohje) TAVOITTEET Tämän kokonaisuuden tavoitteena on tutustuttaa oppilaat Pythonilla ohjelmointiin ja erityisesti Turtle moduulin
Lisätiedot3. Vasemman reunan resurssiselaimen Omiin resursseihin luodaan uusi Handmade -niminen kansio.
ActivInspire JATKO AINEISTON TUOTTAMINEN Uuden aineiston tekemisen alkua helpottaa etukäteen tehty suunnitelma (tekstit, kuvat, videot, linkit) miellekarttaa hyödyntäen. Valmista aineistoa voi muokata
LisätiedotGEOMETRIA MAA3 Geometrian perusobjekteja ja suureita
GEOMETRI M3 Geometrian perusobjekteja ja suureita Piste ja suora: Piste, suora ja taso ovat geometrian peruskäsitteitä, joita ei määritellä. Voidaan ajatella, että kaikki geometriset kuviot koostuvat pisteistä.
Lisätiedotv1.2 Huom! Piirto-ohjelmissa asioita voi tehdä todella monella tavalla, tässä esitellään yksi esimerkkitapa tällaisen käyrän piirtämiseen.
v2 Tehtävä: Piirrä kartalle merkittyjen pisteiden ja välinen korkeusprofiili. Voit käyttää valmista Libre Office Draw koordinaatistopohjaa. Pisteiden välisen janan jakomerkit ovat 100m välein. Vaihtoehtoisesti
Lisätiedot1. Olkoot vektorit a, b ja c seuraavasti määritelty: a) Määritä vektori. sekä laske sen pituus.
Matematiikan kurssikoe, Maa4 Vektorit RATKAISUT Sievin lukio Keskiviikko 12.4.2017 VASTAA YHTEENSÄ VIITEEN TEHTÄVÄÄN! MAOL JA LASKIN/LAS- KINOHJELMAT OVAT SALLITTUJA! 1. Olkoot vektorit a, b ja c seuraavasti
LisätiedotHELSINGIN YLIOPISTON VIIKIN NORMAALIKOULUN
HELSINGIN YLIOPISTON VIIKIN NORMAALIKOULUN MATEMATIIKAN OPETUSSUUNNITELMA TAVOITTEET 1. LUOKALLE - kykenee keskittymään matematiikan opiskeluun - kykenee kertomaan suullisesti matemaattisesta ajattelustaan
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon
LisätiedotGimp 3. Polkutyökalu, vektori / rasteri, teksti, kierto, vääntö, perspektiivi, skaalaus (koon muuttaminen) jne.
Gimp 3. Polkutyökalu, vektori / rasteri, teksti, kierto, vääntö, perspektiivi, skaalaus (koon muuttaminen) jne. Moni ammatikseen tietokoneella piirtävä henkilö käyttää piirtämiseen pisteiden sijasta viivoja.
Lisätiedotorigo III neljännes D
Sijoita pisteet A(1,4) ja B(4,5;5) sekä C(-3,4) ja D(-4,--5) y II neljännes C A I neljännes B x origo III neljännes D IV neljännes KOTIT. Sijoita ja nimeä koordinaatistoon pisteitä niin, että pisteet yhdistettäessä
LisätiedotKaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan!
MAA4 koe 1.4.2016 Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! Jussi Tyni A-osio: Ilman laskinta. Laske kaikki
LisätiedotJohdanto. GeoGebraan. Judith Hohenwarter ja Markus Hohenwarter www.geogebra.org
Johdanto GeoGebraan Judith Hohenwarter ja Markus Hohenwarter www.geogebra.org Johdanto GeoGebraan Muokattu viimeksi 17.9.2010. Alkuperäistä tekstiä muokattu viimeksi 19.7.2008. Kirja sisältää johdannon
Lisätiedot