MATEMATIIKAN ALKEET II (YE19B), SYKSY 2011

MATEMATIIKAN ALKEET II (YE19B), SYKSY 011 Sisältö 1. Matriisin definiittisyys 1. Konkaavit ja konveksit funktiot 3 3. Ääriarvotehtävien toisen kertaluvun riittävät ehdot 7 3.1. Rajoittamaton ääriarvotehtävä 7 3.. Rajoitettu ääriarvotehtävä, Lagrangen menetelmä ja kerroin 11 4. Ääriarvotehtävät epäyhtälörajoitteilla 16 5. Komparatiivinen statiikka 5.1. Kokonaisdifferentiaali 5.. Kokonaisderivaatta 4 5.3. Implisiittifunktiosääntö 6 6. Integraalilaskentaa 31 7. Trigonometriasta ja kompleksiluvuista 39 7.1. Trigonometriset funktiot 39 7.. Kompleksiluvut 40 8. Differentiaaliyhtälöt 43 9. Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 50 10. Matriisin ominaisarvot ja -vektorit 5 11. Differentiaaliyhtälöt R :ssa 54 11.1. Lineaariset differentiaaliyhtälöt R :ssa 54 11.. Epälineaariset differentiaaliyhtälöt R :ssa 56 11.3. Vaihetaso 57 1. Matriisin definiittisyys Symmetrinen matriisi voi olla definiitti, semidefiniitti tai indefiniitti. Lisäksi (semi)definiitti matriisi on joko positiivisesti (semi)definiitti tai negatiivisesti (semi)definiitti. Matriisin definiittisyys määritellään neliömuotojen avulla, mutta näiden käsittely sivuutetaan. Innokas voi lukea asiasta S&B kirjasta. Determinantin määrittelyssä kurssilla YE19a törmättiin alimatriiseihin, jotka saatiin neliömatriisista A poistamalla siitä jokin rivi ja jokin sarake. Yleisesti matriisista A (ei tarvitse olla neliömatriisi) voidaan muodostaa erilaisia alimatriiseja poistamalla mitkä tahansa rivit ja mitkä tahansa sarakkeet. Tarkastellaan kuitenkin vain neliömatriisin alimatriiseja. Tarpeellisimmat alimatriisit ovat ne, jotka saadaan poistamalla samat rivit ja sarakkeet. Nämä ovat pääalimatriiseja. 1

MATEMATIIKAN ALKEET II (YE19B), SYKSY 011 1.1. Esimerkki. Muodostetaan matriisin 0 0 4 pääalimatriisit. Yksi pääalimatriiseista on matriisi itse. Kolme seuraavaa pääalimatriisia saadaan, kun poiste- 4 0 taan sama rivi ja sama sarake: [ ] [ ] [ ] 0 4,,. 0 0 4 0 Kolme viimeistä pääalimatriisia saadaan, kun poistetaan kaksi samaa riviä ja saraketta: [ ], [ ], [ 0 ]. Johtavat pääalimatriisit ovat ne matriisit, jotka saadaan poistamalla yhtä monta viimeistä riviä ja saraketta. Mitkä matriisit ovat johtavia pääalimatriiseja esimerkkissä 1.1? Pääalimatriiseihin liittyviä determinantteja kutsutaan pääalideterminanteiksi (tai pääminoreiksi) ja vastaavasti johtavaan pääalimatriisiin liittyvää determinanttia kutsutaan johtavaksi pääalideterminantiksi (tai johtavaksi pääminoriksi). Johtavilla pääminoreilla on keskeinen rooli pääteltäessä jonkin matriisin definiittisyyttä. Merkitään johtavia pääminoreita alaindeksein A k, jossa alaindeksi osoittaa, että kyseessä on se johtava pääminori, joka on saatu poistamalla n k viimeistä riviä ja saraketta. 1.. Esimerkki. Esimerkin 1.1 matriisin johtavan pääminorit ovat: A 1 =, A = 4, A 3 = 40. 1.1. Lause. Olkoon A symmetrinen matriisi, jonka koko on n n. Tällöin (i) A on positiivisesti definiitti matriisi, jos ja vain jos kaikki johtavat pääminorit ovat positiivisia eli A 1 > 0, A > 0, A 3 > 0,... (ii) A on negatiivisesti definiitti matriisi, jos ja vain jos jokaisen johtavan pääminorin merkki on sama kuin ( 1) k eli A 1 < 0, A > 0, A 3 < 0,... (iii) A on indefiniitti matriisi, jos ja vain jos jokin nollasta poikkeava johtava pääminori rikkoo kohtien i) tai ii) ehdot. 1.3. Esimerkki. Esimerkin 1.1 matriisi on indefiniitti, koska A 3 < 0.

MATEMATIIKAN ALKEET II (YE19B), SYKSY 011 3 [ ] 1 1.4. Esimerkki. Matriisi on positiivisesti definiitti, koska A 1 1 = > 0 ja A = 3 > 0. Matriisi 0 0 0 1 0 1 3 on sen sijaan negatiivisesti definiitti, koska A 1 = < 0, A = 4 > 0 ja A 3 = 10 < 0. On mahdollista, että matriisi ei sovi mihinkään yllä mainituista kategorioista. Esimerkiksi mitä jos kaikki muut johtavat pääminorit ovat positiivisia paitsi yksi, joka on nolla? Tällöin matriisi ei ole positiivisesti definiitti, mutta se saattaa olla positiivisesti semidefiniitti. Tämän toteaminen vaatisi kaikkien pääminorien merkin tutkimisen, joka on paljon työläämpää ainakin isoille matriiseille. Seuraava lause antaa keinon tähän: 1.. Lause. Olkoon A n n symmetrinen matriisi. Tällöin a) A on positiivisesti semidefiniitti matriisi, jos ja vain jos kaikki pääalideterminantit (pääminorit) ovat ei-negatiivisia. b) A on negatiivisesti semidefiniitti matriisi, jos ja vain jos A on positiivisesti semidefiniitti. [ 1 ] 1 1.5. Esimerkki. Matriisi A = ei ole definiitti, koska A 1 = 0. Nyt A 1 = 1 ja toinen 1 1-alimatriisin determinantti on. Kaikki pääminorit ovat siis einegatiivisia, joten matriisi on positiivisesti semidefiniitti.. Konkaavit ja konveksit funktiot Olkoot x,y R n kaksi pistettä. Näiden pisteiden yhdysjana on koostuu pisteistä, jotka ovat muotoa z = λx+(1 λ)y jollakin reaaliluvulla λ [0,1]. Jos λ = 0, niin z = y. Jos taas λ = 1, niin z = x. Olkoot esimerkiksi x,y R kaksi reaalilukua, sanotaan vaikka x = 4 ja y = 6. Näiden lukujen välinen yhdysjana on suljettu väli [4,6]. Esimerkiksi luku 5 on tietenkin tällä yhdysjanalla, koska voimme valita λ = 1..1. Määritelmä. Joukko X R n on konveksi, jos se sisältää kaikkien pisteidensä väliset yhdysjanat eli jos millä tahansa x,y X ja λ [0,1], pätee z = λx+(1 λ)y X..1. Esimerkki. Olkoot x 1 ja x kaksi hyödykettä. Hyödykkeiden määrät eivät voi olla negatiivisia, joten sekä x 1 0 että x 0. Näiden hyödykkeiden määrät kuuluvat positiiviseen tason neljännekseen eli avaruuteen R +, joka on konveksi joukko. Myös joukko R n ++, jossa x 1 > 0 ja x > 0, on konveksi joukko.

4 MATEMATIIKAN ALKEET II (YE19B), SYKSY 011 x z y Kuva 1. Vasen kuva: Ei-konveksi joukko. Oikea kuva: Konveksi joukko... Määritelmä. Olkoon X R n konveksi joukko. Funktio f: X R on (i) konkaavi joukossa X, jos ja vain jos kaikille eri pisteille x,y X ja λ (0,1) pätee epäyhtälö f(λx+(1 λ)y) λf(x)+(1 λ)f(y), (ii) konveksi joukossa X, jos ja vain jos kaikille eri pisteille x,y X ja λ (0,1) pätee epäyhtälö f(λx+(1 λ)y) λf(x)+(1 λ)f(y). (iii) Lisäksi funktion sanotaan olevan aidosti konkaavi tai aidosti konveksi joukossa X, jos yllä olevat epäyhtälöt pätevät aitoina. Määritelmän oletus joukon X konveksisuudesta on oleellinen, koska se takaa, että joukon X kahden pisteen välisen yhdysjanan pisteet kuuluvat myös joukkoon X. Funktio on siis konkaavi, jos ja vain jos minkä tahansa funktion määrittelyjoukon X pisteiden yhdysjanan pisteen kuva, eli f(λx+(1 λ)y), on suurempi tai yhtäsuuri kuin pisteiden kuvien välisen yhdysjanan piste λf(x) + (1 λ)f(y). Konkaavin funktion kuvaaja on kupera ja konveksin funktion kuvaaja on kovera. Kuvassa on konkaavi funktio (z = λx+(1 λ)y) f(z) f(x) λf(x)+(1 λ)f(y) f(y) x z y Määritelmästä huomataan, että jos funktio f on konkaavi, niin f on konveksi, koska epäyhtälön kertominen negatiivisella luvulla kääntää epäyhtälön suunnan.

MATEMATIIKAN ALKEET II (YE19B), SYKSY 011 5.. Esimerkki. Olkoon funktio f: R R määritelty kaavalla f(x) = x. Onko se konkaavi vai konveksi? Tarkastellaan tätä varten erotusta f(λx+(1 λ)y) λf(x) (1 λ)f(y). Jos erotus on millä tahansa reaaliluvuilla x ja y positiivinen, niin funktio on konkaavi. Jos erotus on negatiivinen, niin funktio on konveksi. Käytetään funktion määritelmää ja muokataan erotusta (λx+(1 λ)y) λx (1 λ)y = λ x +λ(1 λ)xy +(1 λ) y λx (1 λ)y = λ(λ 1)x +λ(1 λ)xy +((1 λ) 1)(1 λ)y = λ(1 λ)x +λ(1 λ)xy λ(1 λ)y = λ(1 λ)(x xy +y ) = λ(1 λ)(x y), joka on negatiivinen, koska λ,(1 λ) ja (x y) ovat kaikki positiivisia. Siten funktio on (aidosti) konveksi kuten funktion kuvaajasta voi ennustaa..3. Esimerkki. Funktio f: R R, joka määritellään yhtälöllä f(x) = ax + b, a,b R, on sekä konkaavi että konveksi. Annetun funktion päättely konkaaviksi tai konveksiksi voi olla pelkän määritelmän perusteella työlästä, mutta onneksi siihen on helpompi keino:.1. Lause. Olkoon X R avoin konveksi joukko ja f: X R kahdesti derivoituva funktio. Tällöin (i) funktio on konkaavi, jos ja vain jos kaikilla x X pätee f (x) 0, (ii) funktio on konveksi, jos ja vain jos kaikilla x X pätee f (x) 0..4. Esimerkki. (i) Olkoon funktio f: R R määritelty kaavalla f(x) = ax +bx+c. Tämän toinen derivaatta on a, jolloin funktio on konkaavi, jos a 0 ja konveksi, jos a 0. (ii) Olkoon funktio määritelty kaavalla f(x) = x 3. Tämä funktio ei ole konkaavi eikä konveksi, koska sen toinen derivaatta f (x) = 6x on negatiivinen muuttujan x ollessa negatiivinen ja positiivinen muuttujan x ollessa positiivinen. Usean muuttujan funktiolle löytyy Lausetta.1 vastaava tulos. Siinä toinen derivaatta korvataan funktion Hessen matriisilla H(x)..3. Määritelmä. Funktion f(x 1,x,...,x n ) Hessen matriisi on f 11 (x) f 1 (x)... f 1n (x) f H(x) = 1 (x) f (x)... f n (x)......, f n1 (x) f n (x)... f nn (x)

6 MATEMATIIKAN ALKEET II (YE19B), SYKSY 011 jossa esimerkiksi f 11 (x) = f(x) x 1 ja f 1 (x) = f(x) x x 1 Hessen matriisi on siis muodostettu toisista osittaisderivaatoista ja sen arvo riippuu pisteestä x = (x 1,x,...,x n ). Esimerkiksi ensimmäisen rivin alkiot on saatu osittaisderivoimalla osittaisderivaattaa f x 1 kaikkien muuttujien suhteen. Youngin Lauseen perusteella Hessen matriisi on symmetrinen, koska esimerkiksi f 1 (x) = f 1 (x)..5. Esimerkki. Lasketaan funktionf(x,y) = x+xy 3 Hessen matriisi. Ensimmäiset osittaisderivaatat ovat: f(x,y) (1) = 1+y 3 x f(x,y) () = 3xy. y Kyseessä on kahden muuttujan funktio, joten toisia osittaisderivaattoja on = 4 kappaletta. Hessen matriisi on [ ] 0 3y H(x,y) = 3y. 6xy Huomaa, että Hessen matriisi riippuu pisteestä (x,y)... Lause. Olkoon X R n avoin konveksi joukko ja f: X R funktio, joka on kahdesti jatkuvasti derivoituva. Tällöin (i) funktio on konkaavi, jos ja vain jos Hessen matriisi H(x) on negatiivisesti semidefiniitti kaikilla x X. (ii) funktio on konveksi, jos ja vain jos Hessen matriisi H(x) on postiivisesti semidefiniitti kaikilla x X. Voimme päätellä funktion konkaavisuuden/konveksisuuden laskemalla Hessen matriisin ja käyttämällä Lausetta 1.1. Jos siis funktion Hessen matriisi on negatiivisesti semidefiniitti kaikilla funktion lähtöjoukon alkioilla, niin funktio on konkaavi. Jos Hessen matriisi on positiivisesti semidefiniitti kaikilla funktion lähtöjoukon alkioilla, on funktio konveksi. Jos matriisi on positiivisesti definiitti, se on automaattisesti positiivisesti semidefiniitti. Jos taas matriisi on negatiivisesti definiitti, se on automaattisesti negatiivisesti semidefiniitti. Funktion aito konkaavisuus tai konveksisuus voidaan tarkastaa seuraavan lauseen avulla:.3. Lause. Olkoon X R n avoin konveksi joukko ja f: X R funktio, joka on kahdesti jatkuvasti derivoituva. jne.

MATEMATIIKAN ALKEET II (YE19B), SYKSY 011 7 (i) Jos Hessen matriisi H(x) on negatiivisesti definiitti kaikilla x X, niin funktio f on aidosti konkaavi. (ii) Jos Hessen matriisi H(x) on positiivisesti definiitti kaikilla x X, niin funktio f on aidosti konveksi. Huomautus: päinvastaiset väitteet eivät päde. Vastaesimerkiksi kohtaan i) käy funktiof(x,y) = x 4 y 4, joka on aidosti konkaavi. Tämän funktion Hessen matriisi ei kuitenkaan ole definiitti, koska H(0) = 0 (laske itse)..6. Esimerkki. Olkoon funktio f: R ++ R Cobb-Douglas muotoa eli f(x,y) = x a y b, jossa a,b > 0. Ensimmäiset osittaisderivaatat ovat f x (x,y) = ax a 1 y b ja f y (x,y) = bx a y b 1, jolloin saamme Hessen matriisiksi (3) ja [ fxx (x,y) f xy (x,y) f yx (x,y) f yy (x,y) ] = [ ] a(a 1)x a y b abx a 1 y b 1 abx a 1 y b 1 b(b 1)x a y b. Oletetaan, että a+b < 1. Tällöin funktio on aidosti konkaavi, koska a(a 1)xa y b abx a 1 y b 1 a(a 1)x a y b < 0 abx a 1 y b 1 b(b 1)x a y b = a(a 1)x a y b b(b 1)x a y b abx a 1 y b 1 abx a 1 y b 1 = (a a)x a y b (b b) a b x a y b = a b x a y b a bx a y b ab x a y b +abx a y b a b x a y b = ab(1 a b)x a y b > 0..4. Lause. (i) Kahden konkaavin funktion summa on konkaavi funktio. (ii) Positiivisella reaaliluvulla kerrottu konkaavi funktio on konkaavi. Vastaavat väitteet pätevät konveksi funktiolle. 3. Ääriarvotehtävien toisen kertaluvun riittävät ehdot 3.1. Rajoittamaton ääriarvotehtävä. Muistellaan ensin hieman yhden muuttujan funktion ääriarvojen määrittämistä. Ensimmäisen kertaluvun välttämätön ehto maksimille tai minimille tietyssä pisteessä on, että derivaatta tässä pisteessä on nolla. Toisen kertaluvun riittävä ehto maksimille on, että toinen derivaatta tässä pisteessä on aidosti negatiivinen, ja minimille, että toinen derivaatta tässä pisteessä on aidosti positiivinen.

8 MATEMATIIKAN ALKEET II (YE19B), SYKSY 011 Olkoon nyt X R n ja f: X R eli tarkastellaan usean muuttujan funktiota. Välttämätön ehto funktion ääriarvopisteelle on, että kaikki osittaisderivaatat ovat kyseissä pisteessä nollia eli että kyseessä on kriittinen piste. Toisin sanoen, jos piste x 0 R n on funktion ääriarvopiste, niin f(x 0 ) x i = 0, i = 1,...,n, tai kompaktimmin f(x 0 ) = 0. Kriittinen piste voi kuitenkin olla maksimipiste, minimipiste tai satulapiste. Kriittisen pisten laadun tarkastamista varten täytyy tehdä lisätyötä. Usean muuttujan funktion tapauksessa toisen kertaluvun riittävät ehdot liittyvät Hessen matriisiin ja sen definiittisyyteen. Seuraava lause antaa keinon löytää maksimipisteet ja minimipisteet kriittisten pisteiden 1 joukosta. 3.1. Lause (Toisen kertaluvun riittävät ehdot). Olkoon X R n avoin joukko ja f: X R kahdesti derivoituva funktio ja olkoon piste x = (x 1,x,...,x n) funktion kriittinen piste eli piste, joka ratkaisee yhtälöryhmän f(x) x i = 0, i = 1,...,n. Tällöin pätee: a) Jos funktion f Hessen matriisi H(x ) on negatiivisesti definiitti eli jos kriittisessä pisteessä on voimassa (4) H 1 <0, H >0, H 3 <0, H 4 >0,..., niin tällöin kriittinen piste x on paikallinen maksimipiste. b) Jos funktion f Hessen matriisi H(x ) on positiivisesti definiitti eli jos kriittisessä pisteessä on voimassa (5) H 1 >0, H >0, H 3 >0, H 4 >0,..., niin tällöin kriittinen piste x on paikallinen minimipiste. c) Jos funktion f Hessen matriisi H(x ) on indefiniitti eli jos ehdoista (4) ja (5) kumpikaan ei ole voimassa jollain nollasta poikkeavalla johtavalla pääalideterminantilla, niin tällöin kriittinen piste x ei ole paikallinen maksimi eikä minimi vaan satulapiste. Symmetrinen neliömatriisi on negatiivinen definiitti, jos johtavat pääminorit vaihtelevat merkkiä aloittaen ensimmäisen johtavan pääminorin negatiivisesta merkistä. Symmetrinen neliömatriisi on positiivisesti definiitti, jos johtavien pääminoreiden merkit ovat kaikki positiivisia. Oleellista on ymmärtää, että kriittisen pisteen laatu voidaan useimmiten määrittää maksimiksi tai minimiksi edellisen lauseen perusteella. On kuitenkin huomattava seuraava asia: jos Hessen matriisi ei ole positiivisesti definiitti, negatiivisesti definiitti tai indefiniitti, niin tällöin lauseen 3.1 perusteella ei voi sanoa mitään kriittisen pisteen laadusta. Seuraavat esimerkit havainnollistavat toisen kertaluvun riittävien ehtojen käyttöä. 1 Tästä lähtien kriittistä pistettä ja sen koordinaatteja merkitään yläindeksillä *.

MATEMATIIKAN ALKEET II (YE19B), SYKSY 011 9 3.1. Esimerkki. Etsitään funktion f (x, y) = x + y + (paikallinen) ääriarvopiste ja vastaava funktion ääriarvo sekä määritellään ääriarvon laatu. Ehdokkaat ääriarvopisteiksi löytyvät kriittisten pisteiden joukosta. Kriittinen piste on (0, 0) (laske). Funktion Hessen matriisi on 0, H(x, y) = 0 4 jonka johtavat pääminorit ovat H1 = ja H = 8. Molemmat ovat positiivisia, joten Hessen matriisi on positiivisesti definiitti ja kriittinen piste on minimipiste. Vastaava funktion minimiarvo on f (0, 0) =. Kuva: 300 00 10 100 5 0 0-10 -5 0-5 5 10-10 Kuva. Minimipiste 3.. Esimerkki. Muutetaan yllä olevaa esimerkkiä hieman. Olkoon funktio f (x, y) = x + y +. Kriittinen piste on nytkin (0, 0), mutta Hessen matriisi on 0, H(x, y) = 0 4 jonka johtavat pääminorit ovat H1 = ja H = 8. Hessen matriisi on indefiniitti ja kriittinen piste on satulapiste (katso kuva). Entä jos funktio on f (x, y) = x y +? 00 10 100 0 5-100 0-10 -5 0-5 5 10-10 Kuva 3. Satulapiste

10 MATEMATIIKAN ALKEET II (YE19B), SYKSY 011 3.3. Esimerkki. Etsitään funktionf(x,y,z) = x +y +z +xy+4z+xz ääriarvopiste ja määrätään sen laatu. Lasketaan osittaisderivaatat ja ratkaistaan kriittinen piste: f(x,y,z) = x+y +z = 0 x f(x,y,z) = y +x = 0 y f(x,y,z) = z +4+x = 0. z Kirjoitetaan yhtälöryhmä matriisimuotoon ja käytetään Cramerin sääntöä sen ratkaisemiseen (palauta sääntö mieleen laskemalla itse) 1 1 1 0 x y = 0 0. 1 0 z 4 Ratkaisuksi saadaan kriittinen piste (x, y, z) = (, 1, 3). Määrätään sen laatu muodostamalla Hessen matriisi, joka on: 1 1 1 0 1 0 Johtavat pääminorit ovat H 1 =, H = 3 ja H 3 = 4. Kaikki ovat positiivisia eli Hessen matriisi on positiivisesti definiitti ja kriittinen piste on minimipiste. Vastaava funktion minimiarvo on f(, 1, 3) = 4. Yllä käsiteltiin paikallisten ääriarvojen etsimistä. Globaalien tai absoluuttisten ääriarvojen löytäminen pelkästään kriittisen pisteen avulla onnistuu, jos tarkasteltava funktio on konkaavi tai konveksi. 3.. Lause. Olkoon X R n avoin ja konveksi joukko ja funktio f: X R jatkuvasti derivoituva (i) Jos funktio f on konkaavi ja pisteessä x 0 X pätee f(x 0 ) = 0, niin piste x 0 on funktion f absoluuttinen maksimipiste. (i) Jos funktio f on konveksi ja pisteessä x 0 X pätee f(x 0 ) = 0, niin piste x 0 on funktion f absoluuttinen minimipiste. Eli, jos tiedämme, tai osaamme päätellä, että tavoitefunktio on konkaavi, niin tällöin kriittinen piste on automaattisesti globaali maksimipiste. Huomautus: Jos funktio on kahdesti derivoituva ja Hessen matriisi on negatiivisesti semidefiniitti kriittisessä pisteessä, niin tällöin kriittinen piste ei välttämättä ole maksimipiste. Vastaesimerkiksi käy funktio f(x) = x 3, jonka toinen derivaatta on kriittisessä pisteessä 0 eli Hessen matriisi on tässä negatiivisesti semidefiniitti. Origon mistä tahansa ympäristöstä löytyy kuitenkin pisteitä, joissa funktion arvo pienempi kuin0tai suurempi kuin0. Toinen vastaesimerkki on funktiof(x,y) = x 3 +y 3.

MATEMATIIKAN ALKEET II (YE19B), SYKSY 011 11 3.. Rajoitettu ääriarvotehtävä, Lagrangen menetelmä ja kerroin. Tarkastellaan rajoitettua ääriarvotehtävää max f(x 1,x ) {x 1,x } siten että g(x 1,x ) = c, ja palautetaan mieliin Lagrangen lause tässä yhden rajoitteen tapauksessa: 3.3. Lause. Oletetaan, että (x 1,x ) on seuraavan tehtävän ratkaisu max f(x 1,x ) {x 1,x } siten että g(x 1,x ) = c, jossa funktion f ja g ovat jatkuvasti derivoituvia funktioita. Tällöin on olemassa Lagrangen kerroin λ siten että piste (x 1,x,λ ) on kriittinen piste Lagrangen funktiolle L(x 1,x,λ) = f(x 1,x ) λ(g(x 1,x ) c). Lagrangen menetelmä kuitenkin yleistyy tilanteeseen, jossa tavoitefunktio f on n:n muuttujan funktio ja rajoiteita on useampia, sanotaan m kappaletta. Lauseen 3.3 periaate pysyy ennallaan: Jos tiedämme, että tehtävä on hyvin määritelty ja sillä on rajoitettu maksimi tai minimi pisteessä (x 1,...,x n), niin tällöin on olemassa Lagrangen kertoimet (λ 1,...,λ n) siten että piste (x 1,...,x n,λ 1,...,λ n) on Lagrangen funktion kriittinen piste. Lagrangen funktiossa on nyt useampia termejä, jotka sisältävät rajoitteen ja sitä vastaavan kertoimen, aivan samaan tyyliin kuin yhden rajoitteen tapauksessa. Kahden muuttujan tavoitefunktio ja yhden rajoitteen tapaus on kuitenkin tässä vaiheessa mielenkiintoisin. Lagrangen lause kertoo siis, että jos tehtävällä on ratkaisu, löytyy Lagrangen kerroin siten, että piste (x 1,x,λ ) on Lagrangen funktion kriittinen piste. Mutta mistä tiedetään, että tehtällä on ratkaisu? Tyydyttävä vastaus veisi mielenkiintoisille sivupoluille, mutta vastaus joudutaan silti sivuuttamaan. Rajoittamattomassa tehtävässä kriittisen pisteen laatu tarkastettiin Hessen matriisin avulla. Toimisiko samankaltainen tekniikka rajoitetussa tehtävässä? Toimii. Rajoitetussa ääriarvotehtävässä kriittisten pisteiden laadun määrääminen liittyy Lagrangen funktiosta muodostettuun Hessen matriisiin, jota kutsutaan reunustetuksi Hessen matriisiksi. Reunustettua Hessin matriisia merkitään lisäämällä yläviiva Hessen matriisin merkintään eli symbolilla H(x). Tarkastellaan ensin tehtävää, jossa muuttujia on kaksi ja rajoitteita on yksi. Tehtävään liittyvä Lagrangen funktio on L(x 1,x,λ) = f(x 1,x ) λ(g(x 1,x ) c). Tämä voidaan osittaisderivoida kaikkien muuttujien λ, x 1 ja x suhteen ja muodostaa saaduista osittaisderivaatoista edelleen toiseen kertaan osittaisderivoimalla

1 MATEMATIIKAN ALKEET II (YE19B), SYKSY 011 reunustettu Hessen matriisi, joka on 0 g(x 1,x ) H(x) = g(x 1,x ) L(x 1,x,λ) x 1 g(x 1,x ) x x 1 g(x 1,x ) x L(x 1,x,λ) x 1 x 1 x 1 x L(x 1,x,λ) L(x 1,x,λ) x x 1 x x Toinen tapa kirjoittaa reunustettu Hessen matriisi on (6) H(x) = 0 g(x 1,x ) x 1 g(x 1,x ) x g(x,x ) g(x 1,x ) x 1 1 x L(x 1,x,λ) L(x 1,x,λ) x 1 x 1 x 1 x L(x 1,x,λ) L(x 1,x,λ) x x 1 x x Reunustetun Hessen matriisin ensimmäinen johtava pääminori H 1 on nolla ja toinen johtava pääminori H on negatiivinen. Nämä kaksi seikkaa ovat voimassa aina. Tarkasteltavana olevassa tapauksessa johtavan pääminorin H 3 = H merkki kertoo kriittisen pisteen laadun: 3.4. Lause. Olkoon L(x 1,x,λ) Lagrangen funktio ja olkoon piste x = (x 1,x,λ ) sen kriittinen piste. Tällöin a) kriittinen piste on paikallinen maksimi, jos reunustetulle Hessen matriisille H(x ) on voimassa kriittisessä pisteessä (7) H >0. b) kriittinen piste on paikallinen minimi, jos reunustetulle Hessen matriisille H(x ) on voimassa kriittisessä pisteessä (8) H <0. Nyt meillä on kaikki palikat ratkaista kahden muuttujan ja yhden rajoitteen ääriarvotehtävä. 3.4. Esimerkki. Etsitään funktion f(x 1,x ) = x 1 x ääriarvopisteet rajoitteella x 1 + 4x = 16. Lagrangen funktio on L(x 1,x,λ) = x 1 x λ(x 1 +4x 16). Ensimmäisen kertaluvun välttämättömät ehdot ovat (9) (10) (11) L(x 1,x,λ) = x λ = 0 x 1 L(x 1,x,λ) = x 1 4λ = 0 x L(x 1,x,λ) = x 1 4x +16 = 0 λ..

MATEMATIIKAN ALKEET II (YE19B), SYKSY 011 13 Kriittiseksi pisteeksi saamme(x 1,x,λ ) = (8,,), joka on siis kandidaatti maksimiksi. Lasketaan reunustettu Hessen matriisi: 0 g(x 1,x ) x 1 g(x 1,x ) x 0 1 4 H = g(x 1,x ) L(x 1,x,λ) L(x 1,x,λ) x 1 x 1 x 1 x 1 x = 1 0 1. 4 1 0 g(x 1,x ) x L(x 1,x,λ) x x 1 L(x 1,x,λ) x x Reunustetun Hessen matriisin determinantti on 4+4 = 8, joten kriittinen piste on maksimipiste. Funktion rajoitettu maksimiarvo on 16. 3.5. Esimerkki. Ratkaistaan seuraava maksimointitehtävä Tehtävään liittyvä Lagrangen funktio on maxxy + {x,y} siten että x+y = 4. L(x,y,λ) = xy + λ(x+y 4). Ensimmäisen kertaluvun välttämättömät ehdot ovat L(x,y,λ) = y λ = 0 x L(x,y,λ) = x λ = 0 y L(x,y,λ) = x y +4 = 0 λ Ensimmäisen yhtälön mukaan y = λ, toisen yhtälön mukaan x = λ, joten sijoittamalla nämä viimeiseen yhtälöön saamme λ = 1. Kriittiseksi piste on (x,y,λ ) = (, 1, 1), joka on kandidaatti maksimiksi. Lasketaan reunustetun Hessen matriisin determinantti: H = 0 1 1 0 1 = + = 4. 1 0 Se on positiivinen, joten kriittinen piste tosiaan on maksimipiste. Funktion rajoitettu maksimiarvo on 4. 3.6. Esimerkki. Etsitään funktion f(x,y) = xy ääriarvopisteet rajoitteella x + y = 1. Rajoite on yksikköympyrä. Lagrangen funktio on L(x,y,λ) = xy λ(x +y 1).

14 MATEMATIIKAN ALKEET II (YE19B), SYKSY 011 Ensimmäisen kertaluvun välttämättömät ehdot ovat L(x,y,λ) = y λx = 0 x L(x,y,λ) = x λy = 0 y L(x,y,λ) = x y +1 = 0 λ Ensimmäisen yhtälön mukaan y = λx, joten λ = y. Sijoittamalla tämä toiseen x yhtälöön saamme x = y. Sijoittamalla tämä edelleen viimeiseen yhtälöön saamme Kriittisiksi pisteiksi saamme siten y y +1 = 0 y = ± 1. (x,y,λ ) = ( 1, 1,1) (x,y,λ ) = ( 1, 1,1) (x,y,λ ) = ( 1 1,, 1) (x,y,λ ) = ( 1, 1, 1). Näiden joukosta löytyvät maksimi- ja minimipisteet. Reunustettu Hessen matriisi on: (1) H(x) = 0 x y x λ. y λ Sen determinatti on (laske itse): H = 8(x λ+y λ+xy). Laskemalla determinantin arvo kriittisissä pisteissä ja käyttämällä Lausetta 3.4 saamme lopputulokseksi: Piste (x,y,λ ) = ( 1 1,,1) on rajoitettu maksimipiste, koska tässä pisteessä H > 0. Piste (x,y,λ ) = ( 1, 1,1) on rajoitettu maksimipiste, koska tässä pisteessä H > 0. Piste (x,y,λ ) = ( 1 1,, 1) on rajoitettu minimipiste, koska tässä pistees- sä H < 0.

MATEMATIIKAN ALKEET II (YE19B), SYKSY 011 15 Piste (x,y,λ ) = ( 1, 1, 1) on rajoitettu minimipiste, koska tässä pisteessä H < 0. Vastaavat funktion ääriarvot voidaan laskea sijoittamalla maksimi- ja minimipisteet tavoitefunktioon. Kun tavoitefunktiossa on muuttujia enemmän kuin kaksi, mutta rajoitteita edelleen yksi, riittäviä ehtoja varten tulee tarkastaa useamman johtavan pääminorin merkki. 3.5. Lause. Olkoon L(x 1,x,...,x n,λ) Lagrangen funktio ja olkoon piste x = (x 1,x,...,x n) sen kriittinen piste. Tällöin a) kriittinen piste on paikallinen maksimi, jos reunustetulle Hessen matriisille H(x) pätee kriittisessä pisteessä H 3 > 0, H 4 < 0, H 5 > 0,... b) kriittinen piste on paikallinen minimi, jos reunustetulle Hessen matriisille H(x) pätee kriittisessä pisteessä H 3 < 0, H 4 < 0, H 5 < 0,... Lopuksi on syytä mainita toisen kertaluvun riittävistä ehdoista, kun rajoitteita on useita. Tällöin ratkaisevassa roolissa reunustetun Hessen matriisin etumerkkien kannalta on rajoitteiden lukumäärä. Tätä asiaa ei viedä tällä kurssilla eteenpäin, koska yleisin tapaus malleissa on yhden rajoitteen tehtävä. Selvitetään Lagrangen kertoimen taloudellista merkitystä kahden muuttujan ja yhden rajoitteen tapauksessa. Lagrangen kerroin on matemaattisessa mielessä vain apumuuttuja, jonka avulla löydetään tehtävän ratkaisu. Taloustieteellisissa malleissa kertoimesta on myös muuta hyötyä. Esimerkiksi maksimointitehtävässä Lagrangen kerroin kertoo intuitiivisesti kuinka funktion maksimiarvo muuttuu, jos rajoitetta löysätään hieman. Tarkastellaan tehtävää: max x,y f(x,y) siten että g(x, y) = c. Tämän tehtävän ratkaisu(x,y ) riippuu parametristac, joten merkitään(x (c),y (c)). Derivoimalla saadaan seuraavaa: 3.6. Lause. Olkoon (x,y ) rajoitetun maksimointitehtävän ratkaisu ja f(x,y ) tavoitefunktion maksimiarvo tässä pisteessä. Tällöin df(x,y ) dc = λ.

16 MATEMATIIKAN ALKEET II (YE19B), SYKSY 011 Esimerkiksi, jos kyseessä on kuluttujan hyödyn maksimointitehtävä annetulla budjettirajoitteella px + qy = I, Lagrangen kerroin kertoo kuinka maksimihyöty kasvaa tulojen noustessa hieman. Toisin sanoen kerroin antaa kuluttujan maksuhalukkuuden tulojen pienestä kasvattamisesta. 4. Ääriarvotehtävät epäyhtälörajoitteilla 4.1. Esimerkki. Olkoon f: R R jatkuvasti differentioituva ja tarkastellaan tehtävää (13) maxf(x) rajoitteella x 0. {x} Oletetaan ensin, että tehtävän ratkaisu on x = 0. Tällöin funktion f(x) derivaatta on välttämättä negatiivinen tai nolla tässä pisteessä eli f (x ) < 0 tai f (x ) = 0, koska muuten funktion arvoa voitaisiin kasvattaa siirtymällä positiiviseen suuntaan pisteestä x = 0. Toisaalta, jos tehtävän ratkaisu on jokin positiivinen luku eli x > 0, niin tällöin tässä pisteessä derivaatan on oltava nolla eli f (x ) = 0. Eli olipa tehtävän ratkaisu x = 0 tai x 0, niin tehtävän ratkaisulle ovat voimassa ehdot: Katso Kuva 4. f (x) 0, x 0, xf (x) = 0. Kuva 4. Vasen kuva: x = 0 ja f (x ) < 0. Oikea kuva: x > 0 ja f (x ) = 0 Olkoot f: R R ja g: R R jatkuvasti differentioituvia funktioita ja tarkastellaan tehtävää (E) maxf(x,y) rajoitteella g(x,y) 0. {x,y} Toisin sanoen, tehtävässä etsitään sellaista pistettä (x,y ), jossa funktio f(x,y) saa maksimiarvon, ja joka sisältyy rajoitteen g(x,y) 0 määräämään joukkoon B = {(x,y) R g(x,y) 0}.

MATEMATIIKAN ALKEET II (YE19B), SYKSY 011 17 Oletetaan, että rajoitteelle pätee g(x,y ) 0 ja g(x,y ) 0, jossa (x,y ) on x y tehtävän (E) ratkaisu. Myöhemmin Lauseessa 4.1 annetaan ehdot, jotka tehtävän ratkaisu toteuttaa. Otetaan ensin johdatteleva esimerkki: 4.. Esimerkki. Tehtävänä on (14) max {x,y} (x ) (y ) rajoitteella y +x 0. Tässä f(x,y) = (x ) (y ), jonka tasa-arvokäyrät ovat ympyröitä, joiden keskipisteenä on piste (, ). Rajoitteena on epäyhtälö y +x 0, joka muodostaa joukon B = {(x,y) R y +x 0}. 4 3 1 1 1 3 4 1 Kuva 5. Tavoitefunktion tasa-arvokäyrät ja rajoitejoukko B (varjostettu alue) Esimerkiksi origo(0, 0) kuuluu tähän joukkoon, kuten myös kaikki (suoran)yhtälön y = x+ toteuttavat pisteet. Ilman rajoitetta funktion f maksimipiste on (,) (Miksi?), mutta tämä piste ei kuitenkaan kuulu rajoitejoukkoon B. Pohtimalla rajoitejoukkoa ja funktion tasa-arvokäyriä huomaamme, että tehtävän ratkaisu on piste (1, 1). Tässä pisteessä funktion f gradientti f(x, y) on rajoitteen gradientti g(x, y) kerrottuna jollain kertoimella λ. Gradientit ovat siten yhdensuuntaisia. Gradientin geometriasta muistetaan, että gradientti osoittaa suuntaan, johon funktion arvo kasvaa voimakkaimmin ja että se on kohtisuorassa tasa-arvojoukon tangenttisuoraa vastaan. Pisteessä (1, 1) funktion f gradientti osoittaa pisteen (, ) suuntaan. Jos näin ei olisi eli gradientti osoittaisi rajoitejoukon suuntaan, niin voisimme kasvattaa funktion f arvoa ja pysyä edelleen rajoitejoukossa. Tällöin piste

18 MATEMATIIKAN ALKEET II (YE19B), SYKSY 011 (1,1) ei olisi tehtävän ratkaisu. Funktion f gradientti osoittaa siis ulospäin rajoitejoukosta. Rajoitteen gradientti osoittaa samaan suuntaan, joten yhtälöstä seuraa, että λ > 0. f(x,y) = λ g(x,y) Yllä olevassa esimerkissä optimi saavutettiin rajoitejoukon reunalla eli pisteessä, jossa g(x, y) = 0. Tällöin sanotaan, että rajoite on sitova tai aktiivinen. Muutetaan ylläolevaa esimerkkiä hieman, jolloin optimi saavutetaankin rajoitejoukon sisällä eli pisteessä, jossa g(x, y) < 0: 4.3. Esimerkki. Tehtävänä on (15) max (x ) (y ) rajoitteella y +x 6 0. {x,y} Nyt rajoitteena on epäyhtälö y +x 6 0, joka muodostaa joukon B = {(x,y) R y +x 6 0}. Tarkastellaan pistettä (3,3), joka toteuttaa rajoitteena olevan epäyhtälön yhtäsuurutena. Tässä pisteessä rajoitteen gradientti osoittaa ulospäin rajoitejoukosta aivan kuten edellisessä esimerkissä. Tällä kertaa kuitenkin funktion f(x, y) gradientti osoittaa rajoitejoukon sisuksen suuntaan eli voimme kasvattaa funktion arvoa siirtymällä pisteestä (3, 3) sisuksen suuntaan. Tehtävän ratkaisuna on rajoittamaton ääriarvopiste (,). Ylläolevan esimerkin tilanteessa, jossa tehtävän ratkaisu saavutetaan rajoitejoukon sisuksessa, rajoite ei ole sitova. Huomautus: tehtävään liittyvä Lagrangen funktio on L(x,y,λ) = f(x,y) λg(x,y), jota voi käyttää apuna tehtäviä ratkoessa. Epäyhtälörajoitteisissa tehtävissä on väliä sillä mikä merkki on Lagrangen kertojan edessä. Tehtävään (E) liittyvä Lagrangen funktio tuleekin kirjoittaa täsmälleen yllä mainitussa muodossa. Seuraava lause antaa välttämättömät ehdot tehtävän ratkaisulle: 4.1. Lause. Olkoon piste (x,y ) tehtävän (E) ratkaisu. Tällöin on olemassa reaaliluku λ siten että seuraavat ehdot ovat yhtäaikaa voimassa: (i) f(x,y ) = λ g(x,y ), (ii) g(x,y ) 0, λ 0 ja λ g(x,y ) = 0. Ehto (i) on tuttu ja sen yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa f(x,y) x f(x,y) y = λ g(x,y), x = λ g(x,y). y

MATEMATIIKAN ALKEET II (YE19B), SYKSY 011 19 Ehto (ii) on uusi. Jos rajoite pätee muodossa g(x,y ) < 0, niin tällöin yhtälön λ g(x,y ) = 0 mukaan on oltava λ = 0. Jos taas λ > 0, niin tällöin yhtälön λ g(x,y ) = 0 mukaan on oltava g(x,y ) = 0. 4.4. Esimerkki. Ratkaistaan Esimerkki 4. Lauseen 4.1 avulla. Lagrangen funktio on L(x,y,λ) = (x ) (y ) λ(y +x ). Lauseen 4.1 ehto (i) voidaan kirjoittaa muotoon (16) (17) (x ) = λ, (y ) = λ, ja ehto (ii) on y +x 0, λ 0, λ(y +x ) = 0. Mietitään, mitä tapahtuu, jos λ = 0. Tällöin yhtälöt (16) ja (17) tulevat muotoon (x ) = 0, (y ) = 0, jolloinx = jay =. Piste(x,y) = (,) ei kuitenkaan kuulu rajoitejoukkoon, joten ei voi päteä λ = 0. Entä jos λ > 0? Tällöin on Lauseen 4.1 viimeisen ehdon mukaan oltava y +x = 0, joten yhdistämällä tämän ehtoon (i) saadaan yhtälöryhmä (x ) = λ, (y ) = λ, y +x = 0. Yhtälöryhmän ratkaisu on (x,y,λ ) = (1,1,). Geometrisesti (katso Kuva 5) on selvää, että (1,1) on tehtävän ratkaisu ja vastaava funktion rajoitettu maksimiarvo on -. 4.5. Esimerkki (18.7 SB). Tehtävänä on (18) maxxy rajoitteella x +y 1. {x,y} Lagrangen funktio on L(x,y,λ) = xy λ(x +y 1). Lauseen 4.1 ehdot (i) ja (ii) voidaan kirjoittaa muotoon (19) (0) (1) Yhtälöistä (19) ja (0) saadaan Eli x = y. y = λx, x = λy, x +y 1, λ 0, λ(x +y 1) = 0. λ = y x, ja λ = x y.

0 MATEMATIIKAN ALKEET II (YE19B), SYKSY 011 Käytetään nyt ehtoja ja katsotaan mitä tapahtuu, kun λ = 0. Tällöin yhtälöiden (19) ja (0) mukaan myös y = 0 ja x = 0. Pistepari (0,0) sisältyy varmasti rajoitejoukkoon, joten kolmikko (0, 0, 0) on yksi ratkaisukandidaatti. Muut kandidaatit löydetään, kun katsotaan mitä tapahtuu, kun λ > 0. Tällöin ehtojen (1) mukaan rajoite on sitova eli x + y = 1. Käytetään tämän lisäksi yhtälöä x = y, jolloin saamme: ( 1 (x,y,λ) =, 1, 1 ) ( (x,y,λ) = 1, 1, 1 ) ( ) 1 (x,y,λ) = (x,y,λ) =, 1, 1 1, 1 ( 1, 1 Kahdessa jälkimmäisessäλ < 0, joten hylkäämme ne. Jäljelle jäävät siten(, 1, 1 ) ( ja 1, 1, 1 ) sekä aiemmin laskettu kandidaatti (0, 0, 0). Sijoitetaan kunkin( x ja y arvot ) tavoitefunktioon xy, ) jolloin saamme rajoitetuiksi maksimipisteik- 1 si,,. Nämä tuottavat tavoitefunktiolle rajoitetun 1, 1 ( 1, 1, 1 ). maksimiarvon 1. 4.6. Esimerkki. Perustellaan Esimerkkiä 4.1 Lauseen 4.1 avulla. Kirjoitetaan rajoite x 0 lauseessa esiintyvään muotoon eli x 0. Tehtävään liittyvä Lagrangen funktio on L(x,λ) = f(x) λ( x), ja lauseen ehdot ovat nyt () f (x)+λ = 0, x 0, λ 0, λ( x) = 0. Ensimmäinen yhtälö on yhtäpitävää yhtälön λ = f (x) kanssa, jolloin ehdot () saadaan esimerkkiä 4.1 vastaavaan muotoon: (3) x 0, f (x) 0, f (x)x = 0. 4.7. Esimerkki (18.8 SB). Tehtävänä on kuluttujan hyödynmaksimointi budjettirajoitteella, jonka ei tarvitse olla sitova eli kuluttajan ei tarvitse käyttää välttämättä kaikkea tuloaan hyödykkeisiin: (4) max {x 1,x } u(x 1,x ) rajoitteella p 1 x 1 +p x I,

MATEMATIIKAN ALKEET II (YE19B), SYKSY 011 1 jossa x 1 ja x ovat hyödykkeet, p 1 ja p ovat niiden hinnat ja I on kuluttajan käytettävissä oleva tulo. Oletetaan, että rajahyöty on aidosti positiivinen molempien hyödykkeiden suhteen eli u(x 1,x ) (5) x 1 Muodostetaan Lagrangen funktio > 0, ja u(x 1,x ) x > 0. L(x,y,λ) = u(x 1,x ) λ(p 1 x 1 +p x I) ja käytetään jälleen Lausetta 4.1. Lauseen mukaiset ehdot ovat (6) (7) (8) u(x 1,x ) = λp 1, x 1 u(x 1,x ) = λp, x p 1 x 1 +p x I, λ 0, λ(p 1 x 1 +p x I) = 0. Katsotaan mitä tapahtuu, kun λ = 0. Tällöin yhtälöiden (6) ja (7) mukaan olisi (9) u(x 1,x ) x 1 = 0, ja u(x 1,x ) x = 0, mikä on kuitenkin ristiriidassa rajahyötyjen aidon positiivisuuden kanssa. Ei voi päteä λ = 0. Mitä seuraa, jos λ > 0? Tällöin ehtojen (8) mukaisesti on oltava p 1 x 1 +p x = I eli kuluttaja käyttää kaiken tulonsa hyödykkeisiin. Jos pyritään etsimään tavoitefunktion f minimiä jossain rajoitejoukossa, voidaan käyttää edelleen Lausetta 4.1 kunhan maksimoidaan funktiota f. Toisin sanoen tehtävän (30) minf(x,y) rajoitteella g(x,y) 0 {x,y} ratkaisu on täsmälleen sama kuin tehtävän (31) max f(x,y) rajoitteella g(x,y) 0. {x,y} 4.8. Esimerkki. Tehtävän (3) min {x,y} (x ) +(y ) rajoitteella y +x 0 ratkaisu on (1,1) Esimerkin 4.4 perusteella. 4.9. Esimerkki. Ratkaistaan tehtävä (33) minx +y rajoitteella 3x+y +6 0. {x,y} Lagrangen funktio on L(x,y,λ) = x y λ(3x+y +6).

MATEMATIIKAN ALKEET II (YE19B), SYKSY 011 Lauseen 4.1 ehto (i) voidaan kirjoittaa muotoon (34) (35) ja ehto (ii) on x = 3λ, y = λ, 3x+y +6 0, λ 0, λ(3x+y +6) = 0. Mietitään, mitä tapahtuu, jos λ = 0. Tällöin yhtälöistä (34) ja (35) seuraa, että x = 0 ja y = 0. Sijoitetaan nämä rajoiteyhtälöön, jolloin saadaan 6 0, mikä on mahdotonta. Entä jos λ > 0? Tällöin on Lauseen 4.1 viimeisen ehdon mukaan oltava 3x+y +6 = 0, joten yhdistämällä tämän ehtoon (i) saadaan yhtälöryhmä x = 3λ, y = λ, 3x+y +6 = 0. ( Yhtälöryhmän ratkaisu on (x,y,λ ) = 18 13, 1 13, 1 ). Geometrisesti on selvää, ( 13 että 18 ) 13, 1 on tehtävän ratkaisu ja vastaava funktion rajoitettu minimiarvo 13 on 468 169. 5. Komparatiivinen statiikka Tämän luvun kantava teema on komparatiivinen statiikka. Sen avulla tutkitaan esimerkiksi jonkin tasapainomallin eksogeenisen muuttujan muutoksen vaikutusta endogeeniseen muuttujaan. Endogeenisellä muuttuja voisi olla vaikka tuotanto ja eksogeeninen korkotaso. Tarpeellisia apuvälineitä ovat kokonaisdifferentiaali, kokonaisderivaatta (derivoinnin ketjusääntö) ja implisiittifunktioteoreema. 5.1. Kokonaisdifferentiaali. Muistellaan ensin derivoituvaa yhden muuttujan funktiota y = f(x). Tarkastellaan pistettä (x 0,f(x 0 )) ja sen kautta kulkevaa tangenttisuoraa, jonka yhtälö differentiaalien avulla kirjoitettuna (katso kurssi YE19a) on (36) dy = f (x 0 )dx, jossa dy = y f(x 0 ) ja dx = x x 0. Yhtälö (36) on funktion f differentiaali pisteestä (x 0,f(x 0 ) ja sitä voisi merkitä myös df = f (x 0 )dx. Funktion arvon muutosta y = f(x) f(x 0 ) voidaan arvioida yhtälön (36) avulla seuraavasti (37) y dy = f (x 0 )dx. Mitä pienempi on muutos muuttujan x arvossa, niin sitä parempi tämä arvio on. Tätä voi ajatella myös niin, että funktion kuvaajaa pisteessä (x 0,f(x 0 ) pyritään arvioimaan tangenttisuoralla. Funktion kuvaaja on tämän pisteen läheisyydessä siten

MATEMATIIKAN ALKEET II (YE19B), SYKSY 011 3 melkein suora. Arviointia differentiaalin avulla kutsutaan funktion linearisoinniksi kyseisessä pisteessä. Oikeastaan olisi hyvä merkitä funktion differentiaalia näin (38) df(x 0 ) = f (x 0 )dx, jolloin olisi selvempää, että differentiaali riippuu pisteestä x 0. 5.1. Esimerkki. Tutkitaan funktiota f(x) = x ja pistettä x 0 =. Oletetaan, että x muuttuu kohdasta kohtaan.1. Arvioidaan funktion arvon muutosta funktion differentiaalin df(x 0 ) = f (x 0 )dx avulla. Nyt y f ()(.1 ) eli y 4(.1 ) = 0.4. Todellinen muutos funktion arvossa on 4.41 4 = 0.41. Heittoa on 0.1. Sama ajatus voidaan laajentaa usean muuttujan funktioon, jolloin puhutaan kokonaisdifferentiaalista. Esimerkiksi kahden muuttujan funktion tapauksessa kuvaajaa ei enää arvioida tangenttisuoralla vaan tangenttitasolla. Olkoony = f(x 1,x,...,x n ) jokinn:n muuttujan funktio, jonka osittaisderivaatat ovat ovat olemassa jatkuvina. Tämän kokonaisdifferentiaali on (39) df = f x 1 dx 1 +...+ f x n dx n Kokonaisdifferentiaalilla df voidaan arvioida muutosta funktion arvossa, kun kaikki muuttujat muuttuvat hieman. Arvio on jälleen sitä parempi, mitä pienempiä differentiaalit dx i ovat. Edelleen voidaan puhua funktion linearisoinnista ja jälleen olisi hyvä merkitä selvyyden vuoksi (40) df(x 0 ) = f(x 0) x 1 dx 1 +...+ (x 0) x n dx n. 5.. Esimerkki. a) Lasketaan funktion f(x 1,x ) = 1 x 1 x 3 kokonaisdifferentiaali. Ensinnäkin on huomattava, että muuttujan x 1 täytyy olla nollasta poikkeava, jotta funktio olisi määritelty. Kokonaisdifferentiaali muodostetaan siis laskemalla osittaisderivaatat ja käyttämällä kaavaa (39): df = f x 1 dx 1 + f x dx df = 1 x 1dx 1 3x dx. b) Lasketaan funktion f(x,y,z) = 3x y 4 +yz +xz 3 kokonaisdifferentiaali. df = f f f dx+ dy + x y z dz df = (6x+z 3 )dx+(z 4y 3 )dy +(y +3xz )dz.

4 MATEMATIIKAN ALKEET II (YE19B), SYKSY 011 Esimerkki havainnollistaa myös sitä, että kokonaisdifferentiaali on myös funktio aivan kuten alkuperäinen funktio (se riippuu esimerkiksi b-kohdassa muuttujista x,y ja z), jonka kokonaisdifferentiaalia lasketaan. Kokonaisdifferentiaali on erittäin hyödyllinen väline tarkasteltaessa taloustieteellisiä malleja kuten seuraavat esimerkit havainnollistavat. 5.3. Esimerkki. Olkoon tuotanto y kahden panoksen x 1 ja x funktio g eli y = q(x 1,x ). Tämän kokonaisdifferentiaali on dq = q dx 1 + q dx. x 1 x Tämä antaa arvion muutokselle tuotannossa, kun molemmat panokset muuttuvat. Se on summa rajatuotannoin kerrotuista panosten differentiaaleista. 5.4. Esimerkki. Oletetaan, että yritys maksimoi voittoaan π valitsemalla tuotannontason y. Olkoon voittofunktio π(y) = py C(y), jossa p on hinta ja C(y) on kustannusfunktio, joka täyttää millä tahansa tuotannon tasolla ominaisuudet C (y) > 0 ja C (y) > 0. Toisin sanoen kustannusfunktio on kasvava konveksi funktio. Millä tavalla optimaalinen tuotannontaso y riippuu hinnasta eli mikä on derivaatan dy dp merkki optimaalisella tuotannontasolla? Tehtävä onnistuisi ilman kokonaisdifferentiaalia, jos olisi annettu jokin eksplisiittinen kustannusfunktio. Tällöin voitaisiin vain ratkaista optimaalinen tuotanto ja derivoida se hinnan suhteen. Kustannusfunktio on annettu nyt yleisessä muodossa, joten näin ei voida toimia. Hyödynnetään kokonaisdifferentiaalia. Yrityksen tehtävänä on maksimoida voittoaan: Välttämätön ehto maksimille on maxπ(y) = py C(y) {y} (41) π (y ) = p C (y ) = 0, jossa y viittaa optimaaliseen tuotannontasoon. Tämä tuotannontaso antaa maksimivoiton, koska riittävä ehto maksimille, eli π (y ) = C (y ) < 0, on voimassa tehtyjen oletusten vuoksi. Alkuperäiseen kysymykseen vastaus saadaan kokonaisdifferentioimalla hinnan p ja tuotannon y suhteen ehtoa (41)ja ratkaisemalla haluttu derivaatta: dp C (y )dy = 0 dy dp = 1 C (y ). Tämä on positiivinen, koska oletuksen mukaan C (y ) > 0. Jos tuotteen hinta nousee, niin optimaalinen tuotanto kasvaa. 5.. Kokonaisderivaatta. Kokonaisdifferentiaalin yhteydessä käsiteltiin n:n muuttujan funktiota f, y = f(x), jossa siis x = (x 1,...,x n ). Tällöin oletettiin, että muuttujat x i ovat kaikki toisistaan riippumattomia. Entä jos muuttujat x i riippuvat muuttujasta t, eli siis x(t) = (x 1 (t),...,x n (t)), ja halutaan tietää kuinka funktion f arvo riippuu muuttujasta t?

MATEMATIIKAN ALKEET II (YE19B), SYKSY 011 5 Aloitetaan tapauksella, jossa f(x) on vain yhden muuttujan funktio ja x(t) on muuttujan t funktio. Miten funktion f arvo riippuu muuttujasta t? Tähän vastaa yhdistetyn funktion derivointisääntö (katso kurssi YE19a). Merkitään h(t) = (f x)(t) eli h(t) = f(x(t)). Yhdistetyn funktion derivointisääntö (tai ketjusääntö) antaa: h (t) = f (x(t))x (t). Palataan tilanteeseen, jossa x(t) = (x 1 (t),...,x n (t)). Miten derivoidaan h(t) = f(x(t))? Tietyin säännöllisyysoletuksin on voimassa seuraava lause: 5.1. Lause. Yhdistetyn kuvauksen h(t) = f(x(t)) derivaatta h (t) saadaan kaavalla n (4) h (t) = f(x) x f dx i (t) = x i dt. Huomaa kaavassa oleva kahden vektorin tulo. Kaavaa (4) kutsutaan ketjusäännöksi. Tätä voidaan kutsua myös funktion f(x) kokonaisderivaataksi muuttujan t suhteen. Erona osittaisderivaattaan on se, ettei nyt muita muuttujia pidetä kiinteinä vaan myös niiden annetaan muuttua derivoitaessa muuttujan t suhteen. Kaavan (4) voisi esittää myös muodossa df (43) dt = f(x) x (t). Katsotaan esimerkki. 5.5. Esimerkki. Olkoon f(x,y) = x+y +y, jossa x = e t ja y = 3t. Merkitään h(t) = f(x, y). Käytetään yllä olevaa lausetta (eikä suoraa sijoitusta) derivaatan h (t) määräämiseen: h (t) = f dx x dt + f dy y dt = e t +(y +1)3 i=1 = e t +3(6t+1). Tarkastellaan hieman erilaista tilannetta. Olkoon nyt funktiona f, y = f(t,x 1 (t),x (t),...,x n (t)), jolloin funktio f riippuu myös suoraan muuttujasta t. Tämän derivaatta muuttujan t suhteen saadaan kaavalla df (44) dt = f dt + f dx 1 f dx n +...+ t }{{} dt x 1 dt x n dt. =1 Inuitiivisesti derivaatta kaavassa (44) koostuu suorasta osittaisderivaatasta muuttujan t suhteen ja epäsuorista vaikutuksista, jotka syntyvät muiden muuttujien kautta muuttujan t muuttuessa.

6 MATEMATIIKAN ALKEET II (YE19B), SYKSY 011 Vielä yleisempi ketjusääntö sivuutetaan. 5.3. Implisiittifunktiosääntö. Tähän asti olemme käsitelleet funktioita jotka voidaan esittää yhden muuttujan tapauksessa muodossa y = f(x). Tämä funktio on niin sanotussa ratkaistussa eli eksplisiittisessä muodossa. Joskus funktio y = f(x) on annettu ratkaisemattomassa eli implisiittisessä muodossa jonkin yhtälön F(x, y) = 0 avulla, jossa F on kahden muuttujan funktio. Tarkemmin sanottuna yhtälö F(x, y) = 0 määrittää muuttujan y muuttujan x funktiona implisiittisesti, jos jollain välillä on olemassa funktio y = f(x) siten että F(x, f(x)) = 0. Implisiittifunktio voidaan yrittää ratkaista eksplisiittisessä muodossa, mutta tämä ei usein onnistu. 5.6. Esimerkki. Olkoon F(x,y) = 0 muotoa y x + = 0, jolloin se määrittelee muuttujan y muuttujan x implisiittisenä funktiona. Funktion y = f(x) ratkaistu (eli eksplisiittinen) muoto on y = 1 x 1. 5.7. Esimerkki. Olkoon F(x,y) = 0 muotoa y 5 x +3y = 0. Tämä on viidennen asteen yhtälö, jolle ei ole ratkaisukaavaa. On kuitenkin olemassa pisteitä, joissa yhtälö toteutuu, kuten esimerkiksi pisteet (x, y) = (, 1) ja (x, y) = (, 1). Oleellinen kysymys on seuraava. Onko edes periaatteessa mahdollista määrittää näiden pisteiden ympäristössä muuttuja y muuttujan x funktiona? Vastaus on esimerkin tapauksessa kyllä. 5.. Lause. Olkoon F(x, y) = 0 annettu ja a) piste (x 0,y 0 ) sellainen, että F(x 0,y 0 ) = 0, b) F(x,y) jatkuvasti derivoituva pisteen (x 0,y 0 ) ympäristössä c) ja F(x 0,y 0 ) 0. y Tällöin pisteen (x 0,y 0 ) ympäristössä on olemassa jatkuvasti derivoituva funktio y = f(x) siten että (45) dy dx (x 0) = f (x 0 ) = F(x 0,y 0 ) x F(x 0,y 0 ) y Huomaa kaavassa oleva miinus-merkki. Tässä lauseessa on annettu ehdot, joiden täyttyessä on olemassa pisteen (x 0,y 0 ) ympäristö siten että muuttuja y voidaan lausua muuttujan x funktiona. Huom. Luentomonisteessa ja tehtävissä esiintyvät funktiot ja niiden osittaisderivaatat ovat jatkuvia. Niistä ei tarvitse huolehtia. Sen sijaan on aina syytä tarkastaa, että piste toteuttaa yhtälön F(x, y) = 0 ja osittaisderivaatta muuttujan y suhteen ei ole nolla kyseisessä pisteessä..

MATEMATIIKAN ALKEET II (YE19B), SYKSY 011 7 Lauseessa muuttujaa y voidaan kutsua endogeeniseksi muuttujaksi ja muuttujaa x eksogeeniseksi. Lauseessa annetaan siten ehdot, joiden täyttyessä, voidaan endogeeninen muuttuja määrittää implisiittisesti eksogeenisen muuttujan funktiona. Lauseen ehdossa c) on funktion F osittaisderivaatta juuri endogeenisen muuttujan suhteen. Lauseen avulla voimme myös laskea derivaatan dy kyseisessä pisteessä (x 0,y 0 ). Derivaatan laskeminen on lauseen sovellusten kannalta mielenkiintoisin dx sisältö. 5.8. Esimerkki. Palataan Esimerkkiin 5.7. Lasketaan derivaatta dy dx pisteessä(,1). Yhtälönä on y 5 x +3y = 0, joten piste (,1) toteuttaa sen ((1) 5 +3 = 0). Implisiittifunktiosäännön toinen vaatimus toteutuu, koska F(,1) y = 8 0. Yllä oleva huomautus mukaan luettuna Lauseen 7. ehdot toteutuvat ja sen vuoksi muuttujan y voidaan lausua muuttujan x funktiona pisteen (, 1) ympäristössä. Tällöin on järkevää puhua derivaatasta dy. Implisiittifunktiosäännön perusteella dx derivaataksi kyseisessä pisteessä saamme dy () = 4 dx 8 = 1. Muistisäännöksi tarkastellaan yhtälöä F(x, y) = 0 ja sen kokonaisdifferentiaalia. Laskemalla saadaan F F F dy dx+ dy = 0 dy = Fdx x y y x F dx = x. Erityisesti tätä kautta on helpompi muistaa kaavassa (45) oleva miinusmerkki. Tässä oli varmasti jotain tuttua: 5.9. Esimerkki. Palataan voittoa maksimoivaan yritykseen eli Esimerkkiin 5.4. Ensimmäisen kertaluvun välttämätön ehto maksimille on π (y ) = p C (y ) = 0. Lasketaan derivaatta dy dp implisiittifunktiosäännöllä: (46) dy dp = 1 C (y ) dy dp = 1 C (y ). Päädyttiin siis aivan samaan lopputulokseen kuin aiemminkin. Lause 5. yleistyy seuraavasti: 5.3. Lause. Olkoon F(x 1,...,x n,y) = 0 annettu ja a) piste (x 0 1,...,x 0 n,y 0 ) sellainen, että F(x 0 1,...,x 0 n,y 0 ) = 0 b) F(x 1,...,x n,y) jatkuvasti derivoituva, F y

8 MATEMATIIKAN ALKEET II (YE19B), SYKSY 011 c) ja F(x0 1,...,x 0 n,y 0 ) 0. y Tällöin pisteen(x 0 1,...,x 0 n,y 0 ) ympäristössä on olemassa jatkuvasti derivoituva funktio y = f(x 1,...,x n ) siten että jokaisella i = 1,...,n on voimassa (47) y (x 0 x 1,...,x 0 n) = i F(x 0 1,...,x0 n,y 0 ) x i F(x 0 1,...,x0 n,y 0 ) y Kaavasta (47) on hyvä huomioida, että kyseessä on osittaisderivaatta, jolloin muita muuttujia pidetään kiinteinä. Säännön avulla voidaan siis laskea kaikki osittaisderivaatat. 5.10. Esimerkki. Olkoon F(x,z,y) = y 3 xz +4x xzy y +1 = 0. Lasketaan osittaisderivaatta y pisteessä (x,z,y) = (0,1,1) käyttämällä implisiittifunktiolausetta. Piste (x,z,y) = (0,1,1) toteuttaa yhtälön, koska F(0,1,1) = 1+1 = 0. x Lisäksi F(x,z,y) = 3y xz xz 1, y joka pisteessä (0,1,1) saa arvon F(0,1,1) y = 1 0. Lisäksi F(x,z,y) = y 3 z +8x zy. Soveltamalla Lausetta 5.3 osittaisderivaataksi saadaan x y (0,1) = 1 x 1 = 1. Samaan tulokseen olisi päädytty myös käyttämällä apuna differentiaaleja laskemalla ensin funktion F kokonaisdifferentiaali ja asettamalla se nollaksi. Haluttua derivaattaa varten differentiaalia dz ei tarvita, joten se asetetaan nollaksi. Nyt yhtälöstä voidaan ratkaista haluttu derivaatta. Tarkastellaan lopuksi monimutkaisin tilanne, jossa yhtälöitä on useita. Miksi tämä tapaus on tärkeä? Ajattele vaikka yritystä, jonka tuotanto on saastuttavaa ja jota reguloidaan jollain instrumentilla kuten esimerkiksi verolla. Yritys maksimoi voittoaan valitsemalla tuotannon ja puhdistuksen. Tällöin ensimmäisen kertaluvun välttämättömiä ehtoja maksimille on kaksi (yksi tuotannon ja toinen puhdistuksen suhteen) ja optimaalinen tuotanto ja puhdistus ovat implisiittisessä muodossa. Tällaisessa mallissa halutaan esimerkiksi tutkia miten lopputuotteen hinta p (tai vaikka vero) vaikuttaa esimerkiksi optimaalisen tuotannon määrään eli selvittää derivaatan dy merkki. Aiemmin annetut keinot tämän derivaatan löytämiseksi eivät riitä, dp koska optimaalinen tuotanto ja puhdistus ovat ratkaisu kahteen yhtälöön..

MATEMATIIKAN ALKEET II (YE19B), SYKSY 011 9 Olkoon annettu m kappaletta jatkuvasti derivoituvia funktioita F 1,...,F n ja yhtälöryhmä: F 1 (x 1,...,x n,y 1,...,y m ) = c 1... F m (x 1,...,x n,y 1,...,y m ) = c m Ylläolevissa yhtälöissä y 1,...,y m ovat endogeenisiä ja x 1,...,x m eksogeenisia muuttujia. Olkoon piste P = (x 0 1,...,x 0 n,y 0 1,...,y 0 m) sellainen, että se toteuttaa yhtälöryhmän. Oleelliset kysymykset ovat: 1. Milloin näistä yhtälöistä voidaan (ainakin periaatteessa) ratkoa muuttujat y j muuttujien x i suhteen pisteen P ympäristössä?. Miten löydetään esimerkiksi osittaisderivaatta y 1 x pisteen P ympäristössä? Funktiot F i ovat jatkuvasti derivoituvia, joten niillä on osittaisderivaatat jokaisen muuttujan suhteen. Yhtälöistä voidaan ratkoa muuttujat y j muuttujien x i suhteen pisteen P ympäristössä silloin, kun pisteessä P on voimassa: F 1 F 1 F 1 y 1 F F y 1. F m y 1 y... y m F y... y m 0...... F... m F m y Yksi tapa osittaisderivaattojen laskemiseen on muodostaa ensin jokaisen implisiittifunktion kokonaisdifferentiaalit ja muodostamalla niistä (lineaarinen) yhtälöryhmä: F 1 x 1 dx 1 +...+ F 1 x n dx n + F 1 y 1 dy 1 +...+ F 1 y m dy m = 0.. F m x 1 dx 1 +...+ Fm x n dx n + Fm y 1 dy 1 +...+ Fm y m dy m = 0 Nyt esimerkiksi osittaisderivaatta y 1 x 1 saadaan asettamalla dx i = 0, kun i 1, ja jakamalla yhtälöt dx 1 :llä ja tulkitsemalla derivaatta dy 1 dx 1 halutuksi osittaisderivaataksi. Näin saadaan lineaarinen yhtälöryhmä, joka voidaan ratkaista esimerkiksi Cramerin säännöllä. Asia selkenee esimerkin avulla. y m 5.11. Esimerkki. Tarkastellaan yhtälöparia { F 1 (x,y,k) = x +ky = F (x,y,k) = kx+y 3 =.