Lineaarialgebra II P

Lineaarialgebra II 89P

Sisältö Vektoriavaruus Sisätuloavaruus 8 3 Lineaarikuvaus 5 4 Ominaisarvo 5

Luku Vektoriavaruus Määritelmä.. Epätyhjä joukko V on vektoriavaruus, jos seuraavat ehdot ovat voimassa:. Joukossa V on määritelty laskutoimitus + (toisin sanoen kaikilla alkioilla v, w V on olemassa yksikäsitteinen joukon V alkio v + w, jota sanotaan alkioiden v ja w summaksi), joka toteuttaa seuraavat laskulait: (a) u + (v + w) = (u + v) + w kaikilla u, v, w V (liitännäisyys). (b) v + w = w + v kaikilla v, w V (vaihdannaisuus). (c) On olemassa neutraalialkio V, jolle + v = v kaikilla v V. (d) Kaikilla v V on olemassa vasta-alkio v V, jolle v + ( v) =.. Joukossa V on määritelty reaaliluvulla kertominen (vasemmalta) (toisin sanoen kaikilla v V ja λ R on olemassa jokin yksikäsitteinen alkio λ v V ), jolla on seuraavat ominaisuudet: (a) (λµ) v = λ (µ v) kaikilla v V ja λ, µ R. (b) v = v kaikilla v V. 3. Yhteenlasku + ja reaaliluvulla kertominen toteuttavat seuraavat osittelulait: (a) λ (v + w) = λ v + λ w kaikilla v, w V ja λ R. (b) (λ + µ) v = λ v + µ v kaikilla v V ja λ, µ R. Edellisessä määritelmässä annettuja ehtoja sanotaan vektoriavaruuden aksioomeiksi. Huomautus.. (a) Yhteenlasku + on kuvaus + : V V V ja reaaliluvulla kertominen on kuvaus : R V V. (b) Määritelmässä. määritellään reaalinen vektoriavaruus. Jos kertominen on kuvaus : C V V, niin puhutaan kompleksisesta vektoriavaruudesta. Kompleksisilla vektoriavaruuksilla on sovelluksia erityisesti fysiikassa.

Esimerkki.3. (a) Joukko R n on vektoriavaruus, kun yhteenlasku ja reaaliluvulla kertominen määritellään komponenteittain (Lause.3, Lin. Alg ). Erityisesti siis R on vektoriavaruus. (b) Joukko M(k, n) = {A A on k n matriisi} on vektoriavaruus, kun se varustetaan tavallisella matriisien yhteenlaskulla ja reaaliluvulla kertomisella (Lause.8, Lin. Alg ). (c) Olkoon F(R, R) = {f f : R R on kuvaus}. Määritellään kaikilla f, g F(R, R) ja λ R yhteenlasku ja reaaliluvulla kertominen seuraavasti: (f + g)(x) = f(x) + g(x) (λ f)(x) = λf(x) kaikilla x R. Tällöin F(R, R) on vektoriavaruus. (d) Olkoot X epätyhjä joukko, V vektoriavaruus ja F(X, V ) = {f f : X V on kuvaus}. Määritellään yhteenlasku + ja kertolasku kuten (c)-kohdassa. Tällöin F(X, V ) on vektoriavaruus (todistus harjoitustehtävä). (e) Joukossa C(R, [, ]) = {f f : R [, ] on jatkuva funktio} (c)-kohdan operaatio + ei ole laskutoimitus. Nyt sin C(R, [, ]), mutta koska sin( π ) + sin( π ) = / [, ], niin sin + sin / C(R, [, ]). (f) Olkoot V = {x R x }, + : V V V tavallinen reaalilukujen yhteenlasku ja määritellään : R V V asettamalla λ x = λ x. Tällöin aksioomat (a), (b), (c), a), (b) ja 3(a) ovat voimassa. Sen sijaan aksioomat (d) ja 3(b) eivät ole voimassa. Jos x, niin x + y kaikilla y V, joten alkiolla x ei ole vasta-alkiota joukossa V. Lisäksi ( + ( )) x = x = x + x = x + ( ) x, joten aksiooma 3(b) ei ole voimassa. Lause.4. Olkoon V vektoriavaruus. Tällöin (a) yhteenlaskun neutraalialkio on yksikäsitteinen;

(b) vektorin vasta-alkio on yksikäsitteinen; (c) kaikilla v, w V on olemassa täsmälleen yksi x V, jolle v + x = w (toisin sanoen yhtälöllä v + x = w on yksikäsitteinen ratkaisu). Lause.5. Olkoon V vektoriavaruus. Kaikilla v, w V ja λ, µ R pätee (a) v = λ = ; (b) ( ) v = v; (c) ( v) = v; (d) (v + w) = v + ( w); (e) (λ v) = ( λ) v = λ ( v); (f) ( λ) ( v) = λ v; (g) λ (v + ( w)) = λ v + ( (λ w)); (h) (λ µ) v = λ v + ( (µ v)); (i) λ v = jos ja vain jos λ = tai v = ; (j) Jos λ v = λ w ja λ, niin v = w; (k) Jos λ v = µ v ja v, niin λ = µ. Huomautus.6. Lauseen.5 (b) perusteella merkintä u v = u + ( v) ei aiheuta sekaannusta. Jätetään jatkossa kertomerkki pois, toisin sanoen merkitään lyhyesti λ v = λv. Induktiolla ja aksiooman (a) avulla voidaan osoittaa, että jos v,..., v n V, niin summa v +... + v n on riippumaton siitä, missä järjestyksessä yhteenlaskut suoritetaan. Esimerkiksi ((v + v ) + v 3 ) + v 4 = v + ((v + v 3 ) + v 4 ) = (v + v ) + (v 3 + v 4 ) =... Jätetään siis jatkossa summista sulut pois. Määritelmä.7. Vektoriavaruuden V epätyhjä osajoukko W on vektoriavaruuden V aliavaruus, jos se on suljettu yhteenlaskun ja reaaliluvulla kertomisen suhteen, toisin sanoen (a) jos v, w W, niin v + w W, ja (b) jos v W ja λ R, niin λv W. Seuraava lause antaa hyvän tavan todeta joukko vektoriavaruudeksi: Osoitetaan se jonkin tunnetun vektoriavaruuden aliavaruudeksi. 3

Lause.8. Joukko W V on vektoriavaruuden V aliavaruus jos ja vain jos W varustettuna avaruuden V yhteenlaskulla ja reaaliluvulla kertomisella on vektoriavaruus. Esimerkki.9. (a) Joukot V ja {} ovat vektoriavaruuden V triviaalit aliavaruudet. (b) Joukko C(R, R) = {f f : R R on jatkuva kuvaus} on vektoriavaruuden F(R, R) aliavaruus. Perustelu: Koska nollakuvaus : R R on jatkuva, niin C(R, R) ja siten C(R, R). Jos f ja g ovat jatkuvia, niin f + g on jatkuva ja λf on jatkuva kaikilla λ R. (c) Olkoon Pol(R, R) = {f F(R, R) f(x) = a + a x +... + a n x n kaikilla x R joillekin n N ja a,..., a n R}, eli Pol(R, R) on kaikkien polynomien joukko. Tällöin Pol(R, R) on vektoriavaruuksien C(R, R) ja F(R, R) aliavaruus (harjoitustehtävä). Olkoot k N ja Pol k (R, R) = {f Pol(R, R) polynomin f aste k}. Tällöin Pol k (R, R) on avaruuden Pol(R, R) aliavaruus (harjoitustehtävä). Saadaan siis aliavaruusketju Pol (R, R) Pol (R, R)... Pol k (R, R) Pol k+ (R, R)...... Pol(R, R) C(R, R) F(R, R). Määritelmä.. Olkoon V vektoriavaruus. Vektori v V on vektoreiden v,..., v n V lineaarikombinaatio, jos on olemassa luvut λ,..., λ n R siten, että v = n i= λ iv i. Avaruuden V epätyhjän osajoukon S lineaarinen verho S koostuu kaikista joukon S lineaarisista kombinaatioista, toisin sanoen S ={u V u = n λ i v i joillekin n N, v,..., v n S ja λ,..., λ n R}. i= Esimerkki.. Koska f Pol (R, R) täsmälleen silloin, kun on olemassa sellaiset a, a R, että f(x) = a + a x kaikilla x R, niin Pol (R, R) =, x. Tässä siis on vakiopolynomi, toisin sanoen (x) = kaikilla x R. Yleisemmin Pol k (R, R) =, x,..., x k. Lause.. Olkoot V vektoriavaruus ja S V epätyhjä. Tällöin 4

(a) S on avaruuden V aliavaruus. (b) Jos S W ja W on avaruuden V aliavaruus, niin S W. Määritelmä.3. Olkoot V vektoriavaruus ja S V epätyhjä. Joukko S on lineaarisesti riippuva, jos on olemassa äärellisen monta alkiota s,..., s n S ja sellaiset luvut λ,..., λ n R, että λ i jollain i n ja n λ i s i =. i= Muulloin S on lineaarisesti riippumaton. Huomautus.4. Joukko S on lineaarisesti riippumaton jos ja vain jos sen jokainen äärellinen epätyhjä osajoukko on lineaarisesti riippumaton, toisin sanoen ehdosta n i= λ is i = seuraa, että λ = λ =... = λ n = kaikilla joukon S äärellisillä osajoukoilla {s,..., s n }. Esimerkki.5. (a) Joukko {, x, x } Pol (R, R) on lineaarisesti riippumaton. Perustelu: Olkoot λ, λ, λ R sellaiset, että λ +λ x+λ x = kaikilla x R. Valitaan x =, jolloin saadaan λ + + =, eli λ =. Valitaan x = ja x =, jolloin saadaan λ + λ = λ = λ + λ = λ =. Siis λ = λ = λ =. (b) Joukko {, x,..., x k } Pol k (R, R) on lineaarisesti riippumaton (harjoitustehtävä). (c) Joukko {, x,..., x k,...} Pol(R, R) on lineaarisesti riippumaton. Perustelu: Olkoot p,..., p n {, x,..., x k,...}. Olkoon l = max{polynomin p i aste i =,..., n}. Tällöin {p,..., p n } {, x,..., x l }, joten {p,..., p n } on lineaarisesti riippumaton (b)-kohdan ja Huomautuksen.4 nojalla. (d) Joukko {, sin, cos } C(R, R) on lineaarisesti riippuva, sillä kaikilla x R. sin x + cos x = = (x) 5

Määritelmä.6. Vektoriavaruuden V epätyhjä osajoukko S on avaruuden V kanta, jos (a) S on lineaarisesti riippumaton, ja (b) S = V. Vektoriavaruus V on äärellisulotteinen, jos sillä on olemassa äärellinen kanta. Myös {} on äärellisulotteinen. Muulloin V on ääretönulotteinen. Jos avaruuden V kannassa on n alkiota, missä n N, niin avaruuden V dimensio on n. Tätä merkitään dim V = n. Jos V = {}, niin dim V =. Muulloin dim V =. Lause.7 (Hamelin kantalause). Jokaisella vektoriavaruudella V {} on olemassa kanta. Jos V on äärellisulotteinen, niin jokaisessa kannassa on yhtä monta alkiota. Huomautus.8. Olkoon V vektoriavaruus. (a) Lauseen.7 nojalla vektoriavaruuden V dimensio on hyvin määritelty. (b) Jos dim V = n jollain n N, niin jokainen sellainen avaruuden V osajoukko, jossa on vähintään n + alkiota, on lineaarisesti riippuva (todistus harjoitustehtävä). (c) Jos dim V = n jollain n N, niin jokainen lineaarisesti riippumaton avaruuden V osajoukko S, jossa on n alkiota, on avaruuden V kanta (todistus harjoitustehtävä). (d) Jos V on vektoriavaruus, W on avaruuden V aliavaruus ja S on avaruuden W kanta, niin on olemassa sellainen avaruuden V kanta T, että S T. (Tapauksen dim V = n jollain n N todistus harjoitustehtävä. Yleisesti tämän todistaminen vaatii Zornin Lemmaa.) Erityisesti dim W dim V. Esimerkki.9. (a) Koska {, x,..., x n } on avaruuden Pol n (R, R) eräs kanta (ks. Esimerkit. ja.5 (b)), niin dim Pol n (R, R) = n +. Koska {, x, x,..., x k,...} Pol(R, R) on lineaarisesti riippumaton (ks. Esimerkki.5 (c)), niin dim Pol(R, R) =. Huomautuksen.8 (d) nojalla saadaan dim C(R, R) = = dim F(R, R). (b) Laske dim S, kun S = { + x, + x, + x 3x } Pol (R, R). Ratkaisu: Tutkitaan, onko joukko S lineaarisesti riippumaton. Nyt a( + x) + b( + x ) + c( + x 3x ) = (a + b c) + (a + c)x + (b 3c)x = 6

Esimerkin.5 (b)-kohdan nojalla saadaan a + b c = a + c = a + c = a + c = b 3c = b 3c = a = c b = 3c c R. (Ensimmäisessä kohdassa viimeinen yhtälö on vähennetty ensimmäisestä.) Koska yllä olevalla yhtälöryhmällä on epätriviaali ratkaisu, esim. a =, b = 3, c =, niin S on lineaarisesti riippuva. Tästä nähdään, että polynomi + x 3x on lineaarikombinaatio polynomeista + x ja + x, joten S = + x, + x. Joukko { + x, + x } on lineaarisesti riippumaton, sillä a( + x) + b( + x ) = (a + b) + ax + bx = a = ja b =. Näin ollen dim S =. Lause.. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus ja S = {v,..., v n } avaruuden V kanta. Tällöin jokaisella v V on yksikäsitteinen esitys kannan S suhteen, toisin sanoen on olemassa yksikäsitteiset luvut λ,..., λ n R, joille v = n λ i v i. i= Huomautus.. Lauseen. antamia lukuja λ i sanotaan vektorin v koordinaateiksi kannassa S. 7

Luku Sisätuloavaruus Määritelmä.. Olkoon V vektoriavaruus. Kuvaus ( ) : V V R on sisätulo, jos kaikilla v, w, u V ja λ R pätee (a) (v w) = (w v) (symmetrisyys); (b) (v + w u) = (v u) + (w u); (c) (λv w) = λ (v w); (d) (v v) >, kun v (positiividefiniittisyys). Sisätuloavaruus on pari (V, ( )), missä V on vektoriavaruus ja ( ) on sisätulo avaruudessa V. Huomautus.. (a) Sisätulo ( ) jätetään yleensä merkitsemättä ja puhutaan yksinkertaisesti sisätuloavaruudesta V. (b) Sisätulon ehdot (b) ja (c) sanovat, että sisätulo on lineaarinen ensimmäisen argumentin suhteen. (c) Jos V on kompleksinen vektoriavaruus, niin sisätulo määritellään kuten yllä, paitsi ehto (a) korvataan seuraavalla ehdolla: (v w) = (w v) kaikilla v, w V, missä z on luvun z C kompleksikonjugaatti (z = x + iy, z = x iy). (d) Olkoon v V. Tällöin ( v) = ( v) (b) = ( v) =. Erityisesti (v v) kaikilla v V. Lisäksi (v v) = jos ja vain jos v =. Esimerkki.3. (a) Pistetulo (x y) = n i= x iy i on sisätulo avaruudessa R n (harjoitustehtävä). (b) Kuvaus : R 4 R 4 R, missä x y = x y + x y + x 3 y 3 + x 4 y 4 kaikilla vektoreilla x, y R 4, ei ole sisätulo. Kun v = (,,, ), niin v v = <, joten ehto (d) ei ole voimassa. 8

(c) Vektoriavaruuteen C([a, b], R) = {f : [a, b] R f on jatkuva}, missä a < b, saadaan sisätulo asettamalla kaikilla f, g C([a, b], R). (f g) = b a f(t)g(t)dt (d) Esimerkin (c) kuvaus ei ole sisätulo avaruudessa F([a, b], R), sillä funktiolle, kun x = a f(x) =, kun x ]a, b] pätee f F([a, b], R) ja f, mutta (f f) = b a f (t)dt =. Määritelmä.4. Olkoon V vektoriavaruus. Kuvaus : V R on normi, jos. v kaikilla v V ;. v = jos ja vain jos v = ; 3. λv = λ v kaikilla v V ja λ R; 4. v + w v + w kaikilla v, w V (kolmioepäyhtälö). Normiavaruus on pari (V, ), missä V on vektoriavaruus ja on normi avaruudessa V. Kuten sisätuloavaruuksien yhteydessä, jätetään normi yleensä merkitsemättä ja puhutaan yksinkertaisesti normiavaruudesta V. Lause.5. Olkoon V sisätuloavaruus. Määritellään kuvaus : V R asettamalla v = (v v) kaikilla v V. Tällöin on normi, jolle pätee Cauchy-Schwarzin epäyhtälö kaikilla v, w V. (v w) v w Huomautus.6. (a) Tasossa R vektorin (x, y) R normi (Lause.5) on (x, y) = ((x, y) (x, y)) = x + y, joten se on tavallinen vektorin pituus (vrt. Pythagoraan lause). 9

(b) Jos v, w, niin Cauchy-Schwarzin epäyhtälön nojalla (v w) v w. Voidaan siis määritellä vektorien v ja w välinen kulma α kaavasta Olkoot v, w R. Tällöin cos α = (v w) v w. v w = (v w v w) = v + w (v w) = v + w cos α v w. Tämä on kosinilause. (Tässä v w on vektorien v ja w välinen etäisyys, vrt. Euklidinen Topologia, d(v, w) = v w.) (c) Sisätuloavaruudessa käytetään sisätulon antamaa normia ellei erityisesti toisin mainita. Määritelmä.7. Sisätuloavaruuden V vektorit v, w V ovat ortogonaaliset eli kohtisuorassa toisiaan vastaan, jos (v w) = Tällöin merkitään v w. Epätyhjä joukko T V on ortogonaalinen, jos v w kaikilla v, w T, joilla v w. Epätyhjä joukko T V on ortonormaali, jos se on ortogonaalinen ja v = kaikilla v T. Esimerkki.8. (a) Tason R joukko {(, ), (, 5)} on ortogonaalinen, sillä ((, ) (, 5)) = ( ) + 5 =. (b) Joukko {e,..., e n } R n on ortonormaali, sillä kaikilla i j pätee (e i e j ) = +... + +... + + +... + = ja (e i e i ) = +... + +... + =. Siis e i e j, kun i j, ja e i = kaikilla i =,..., n. (c) Avaruuden R 3 osajoukko S = {(,, ), (,, ), (,, )} ei ole ortogonaalinen, sillä ((,, ) (,, )) = + + =. Erityisesti S ei ole ortonormaali. (d) Olkoot f, g C([, ], R), missä C([, ], R) on varustettu Esimerkin.3 sisätulolla, f(x) = x ja g(x) = kaikilla x [, ]. Lasketaan funktioiden f ja g välinen kulma α. Koska (f g) = f = g = f(x)g(x)dx = f(x) dx = g(x) dx = xdx =, x dx = 3, ja dx =,

niin cos α = 3 = 3, eli α = π 6 (= 3 ). Lause.9. Olkoot V sisätuloavaruus, S V ortogonaalinen ja oletetaan, että / S. Tällöin S on lineaarisesti riippumaton. Erityisesti ortonormaali joukko on lineaarisesti riippumaton. Määritelmä.. Sisätuloavaruuden V osajoukko S on avaruuden V ortogonaalinen/ortonormaali kanta, jos S on ortogonaalinen/ortonormaali ja avaruuden V kanta. Esimerkki.. (a) Avaruuden R n luonnollinen kanta {e,..., e n } on ortonormaali kanta. (b) Joukko {(, ), (, )} R on ortogonaalinen, sillä ((, ) (, )) = + ( ) =. Lauseen.9 nojalla se on lineaarisesti riippumaton. Koska joukossa S on kaksi vektoria, niin S on avaruuden R ortogonaalinen kanta (Huomautus.8 (c)). Koska (, ) = = (, ), niin S ei ole avaruuden R ortonormaali kanta. Joukosta S kuitenkin saadaan ortonormaali kanta normittamalla sen vektorit sopivasti. Siis S = { (, ), (, )} on avaruuden R ortonormaali kanta. (c) Polynomit 3, x ja 45 8 (x 3 ) muodostavat avaruuden Pol (R, R) ortonormaalin kannan, kun sisätulona (osoitus harjoitustehtävä) on (p q) = p(x)q(x)dx kaikilla p, q Pol (R, R). Perustelu: Nyt ( ) 3 x 3 = xdx = 3 45 8 (x 3 ) ) = (harjoi- ( ) ( ja vastaavasti 45 8 (x 3 ) 3 = x tustehtävä). Siis polynomit ovat ortogonaaliset. Lisäksi ( ) = = / x = ( ) dx = = 3 ja vastaavasti x = 45 8 (x 3 ) = (harjoitustehtävä). Näin ollen annetut polynomit ovat ortonormaaleja. Lauseen.9 nojalla joukko S = { 3, x, 45 8 (x 3 )} on lineaarisesti riippumaton. Koska dim Pol (R, R) = 3, niin S on avaruuden Pol (R, R) kanta.

Lause.. Oletetaan, että S = {v,..., v n } on sisätuloavaruuden V ortogonaalinen kanta. Tällöin vektorin v V koordinaatit kannassa S saadaan kaavasta λ i = (v v i) (v i v i ) kaikilla i n. Erityisesti jos S on ortonormaali, niin λ i = (v v i ). Esimerkki.3. (a) Edellisen lauseen perusteella vektorin (, ) koordinaatit kannassa { (, ), (, )} (Esimerkki. (b)) ovat ( λ = (, ) ( ), ) ( λ = (, ) (, ) ) = ja = Siis (, ) = (, ) (, ). (b) Polynomin x koordinaatit Esimerkin. (c) kannassa ovat ( ) x = x dx = 3, ( ) 3 3 x x = x3 dx =, ja ( ) x Siten x = 45 8 (x 3 ) = 45 8 3 8 + 45 45 8 (x 3 ). x 4 3 x dx = 45 8 ( 5 ) 8 = 9 45. Lause.4. Oletetaan, että S = {v,..., v n } on sisätuloavaruuden V ortonormaali kanta. Tällöin kaikilla v, w V pätee Parsevalin yhtälö (v w) = n (v v i ) (v i w). i= Erityisesti v = n (v v i ) = n missä luvut λ i ovat vektorin v koordinaatit. i= i= λ i

Lause.5. Olkoot V sisätuloavaruus ja {v,..., v k } V lineaarisesti riippumaton. Tällöin on olemassa sellainen ortogonaalinen joukko {w,..., w k } V, että w,..., w k = v,..., v k. Huomautus.6. Menetelmää, jolla Lause.5 todistettiin, kutsutaan Gram- Schmidtin ortogonalisointimenetelmäksi. Seuraus.7. Jokaisella äärellisulotteisella sisätuloavaruudella V {} on ortonormaali kanta. Todistus. Harjoitustehtävä. Seuraus.8. Olkoot V äärellisulotteinen sisätuloavaruus ja S V ortonormaali. Tällöin on olemassa sellainen avaruuden V ortonormaali kanta T, että S T. Todistus. Harjoitustehtävä. Huomautus.9. Seuraus.7 ei päde ääretönulotteisissa sisätuloavaruuksissa. (Harjoitustehtävä) Esimerkki.. (a) Tarkastellaan avaruuden R 4 vektoreita v = (,,, ), v = (5,,, ) ja v 3 = ( 3, 3,, 3). Etsitään aliavaruudelle H = v, v, v 3 ortonormaali kanta. Valitaan w = v = (,,, ), w = v (v w ) (w w ) w = (5,,, ) 5 + (,,, ) + + + = (4,,, ), ja w 3 = v 3 (v 3 w ) (w w ) w (v 3 w ) (w w ) w = v 3 6 + 6 6 + 4 + + 4 w 3 + 3 + + 3 4 = (,,, ). Koska w 3 =, niin {v, v, v 3 } on lineaarisesti riippuva. Ylläolevasta nähdään, että vektori v 3 on lineaarikombinaatio vektoreista v ja v, joten w 3

H = v, v. Nyt {v, v } on lineaarisesti riippumaton, joten {w, w } on avaruuden H ortogonaalinen kanta. Normittamalla vektorit saadaan ortonormaali kanta {u, u }, missä u = w w = (,,, ) ja u = w w = 4 (4,,, ) = ( 6, 6,, ). 6 (b) Etsi ortonormaali kanta aliavaruudelle V =, sin C([, π], R) kun sisätulona on (f g) = π f(x)g(x)dx. Ratkaisu: Gram-Schmidtin menetelmällä w = ja (sin x ) w = sin x = sin x ( ) π/ cos x = sin x + π = sin x π. π sin x dx π dx Siis {, sin x π } on avaruuden V ortogonaalinen kanta. Normitetaan sen alkiot: π (w w ) = dx = π, joten u = π, ja sillä Siis (w w ) = π π ( sin x ) π dx = (sin x 4π π sin x + 4π ) dx = π 8 π + 4 π = π 4 π, sin xdx = π u = sin xdx = 4 π 4 π π ( sin x ), π sin } x {{ + cos x } dx = π. = joten joukko { π, ( ) π sin x 4 π } on avaruuden V ortonormaali kanta. π 4

Luku 3 Lineaarikuvaus Määritelmä 3.. Olkoot V ja W vektoriavaruuksia. Kuvaus L : V W on lineaarinen (eli L on lineaarikuvaus) jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w) kaikilla v, w V, ja (b) L(λv) = λl(v) kaikilla v V ja λ R. Huomautus 3.. Lineaarikuvauksen argumentin ympäriltä jätetään usein sulut pois, toisin sanoen merkitään Lv = L(v). Esimerkki 3.3. (a) Olkoon A M(k, n). Kuvaus f A : R n R k, f A (x) = Ax kaikilla x R n, missä x tulkitaan n -matriisiksi (vrt. Lin.Alg.) on lineaarinen, sillä f A (x + y) = A(x + y) = Ax + Ay = f A (x) + f A (y), ja f A (λx) = A(λx) = λax = λf A (x) kaikilla x, y R n ja λ R matriisitulon ominaisuuksien nojalla (ks. Lin.Alg.). (b) Kuvaus L : R R on lineaarinen jos ja vain jos on olemassa α R siten, että L(x) = αx kaikilla x R. (c) Kuvaus f : R R, f(x) = 3x 3 x x kaikilla x = (x, x ) R, ei ole lineaarinen, sillä f((, )) = 3 8 8 = 6 = f(, ). (d) Identtinen kuvaus Id : V V, Id(v) = v kaikilla v V, on lineaarinen. Samoin nollakuvaus : V W, (v) = kaikilla v V, on lineaarinen kaikilla vektoriavaruuksilla V ja W. 5

(e) Olkoon C (R, R) = {f C(R, R) : f C(R, R)}. Tällöin C (R, R) on avaruuden C(R, R) aliavaruus ja derivaattakuvaus D : C (R, R) C(R, R), D(f) = f kaikillaf C(R, R), on lineaarinen, koska D(f + g) = (f + g) = f + g = D(f) + D(g) ja D(λf) = (λf) = λf = λf = λd(f) kaikilla f, g C (R, R) ja λ R. Lause 3.4. Olkoot ( V ja W vektoriavaruuksia sekä L : V W lineaarinen. Tällöin k ) L() = ja L i= λ iv i = k i= λ il(v i ) kaikilla k N, λ,..., λ k R ja v..., v k V. Lause 3.5. Olkoot V ja W vektoriavaruuksia T, L : V W lineaarikuvauksia ja S avaruuden V kanta. Tällöin T = L jos ja vain jos T s = Ls kaikilla s S. Määritelmä 3.6. Olkoot V ja W vektoriavaruuksia sekä L : V W lineaarinen. Kuvauksen L ydin on ja kuva- eli arvojoukko on N (L) = L ({}) = {v V : Lv = } R(L) = L(V ) = {w W : w = Ls jollakin v V }. Lause 3.7. Olkoot V ja W vektoriavaruuksia, V V ja W W aliavaruuksia ja L : V W lineaarikuvaus. Tällöin L(V ) W ja L (W ) V ovat aliavaruuksia. Erityisesti N (L) ja R(L) ovat aliavaruuksia. Esimerkki 3.8. (a) Kuvaus L : R 3 R, L(x, y, z) = (x, y + z) on lineaarinen (harjoitustehtävä). Määrätään sen ydin ja arvojoukko. Nyt x = (x, y, z) N (L) (, ) = L(x, y, z) = (x, y + z) z = y. Siis N (L) = {(, t, t) R 3 : t R} = {t(,, ) : t R} = (,, ). Arvojoukko R(L) = R, sillä kaikilla b = (b, b ) R on x = b L(x, y, z) = (x, y + z) = (b, b ) y + z = b. 6

Valitsemalla x = b, y = b ja z = saadaan L(b, b, ) = (b, b ). Joukko H = {(, t) : t R} on avaruuden R aliavaruus. Nyt L (H) = {(x, y, z) R 3 : L(x, y, z) = (, t) jollekin t R} = {(x, y, z) R 3 : (x, y + z) = (, t) jollekin t R} = {(x, y, z) R 3 : x = ja y + z = t jollekin t R} = {(, s, t s) R 3 : t, s R} = {(, s, s ) R 3 : s, s R} = {s(,, ) + s (,, ) : s, s R} = (,, ), (,, ) = yz-taso. (b) Olkoon D : Pol (R, R) Pol (R, R) derivaattakuvaus. Tällöin Arvojoukko on N (D) = {p Pol (R, R) : p = } = {c Pol (R, R) : c R} = Pol (R, R) = vakiopolynomit. R(D) = {Dp : p Pol (R, R)} = {D(a + a x + a x ) : a, a, a R} = {a + a x : a, a R} = {a + bx : a, b R} = Pol (R, R). Lause 3.9. Olkoot V, W ja U vektoriavaruuksia sekä L : V W ja S : W U lineaarikuvauksia. Tällöin (a) yhdistetty kuvaus S L : V U on lineaarinen; (b) jos L on bijektio, niin L : W V on lineaarinen. Lause 3.. Olkoot V ja W vektoriavaruuksia sekä L : V W lineaarikuvaus. Tällöin L on injektio jos ja vain jos N (L) = {}. Lause 3. (Dimensiolause). Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, W vektoriavaruus ja L : V W lineaarinen. Tällöin dim V = dim N (L) + dim R(L). 7

Seuraus 3.. Olkoot V ja W vektoriavaruuksia siten, että V on äärellisulotteinen, ja L : V W lineaarinen. Tällöin seuraavat väitteet ovat tosia: (a) Jos L on injektio, niin dim V dim W. (b) Jos L on surjektio, niin dim V dim W. (c) Jos L on bijektio, niin dim V = dim W. Seuraus 3.3. Olkoot V ja W äärellisulotteisia vektoriavaruuksia siten, että niiden dimensiot ovat samat, ja olkoon L : V W lineaarinen. Tällöin seuraavat väitteet ovat yhtäpitäviä: (a) L on bijektio. (b) L on injektio. (c) L on surjektio. Esimerkki 3.4. (a) Kuvaus L : R 3 R, L(x, y, z) = (y z, x z), on lineaarinen (harjoitustehtävä). Määrätään kuvauksen L ydin: Siis y = z L(x, y, z) = (y z, x z) = (, ) x = z z R. N (L) = {(x, y, z) R 3 : x = y = z, z R} = {s(,, ) : s R} = (,, ), joten dim N (L) =. Erityisesti N (L) {}, joten L ei ole injektio. Dimensiolauseen nojalla 3 = + dim R(L), joten dim R(L) = = dim R. Siten R(L) = R eli L on surjektio. (b) Tarkastellaan derivaattakuvausta D : Pol n (R, R) Pol n (R, R). Koska Dp = p = jos ja vain jos p(x) = c kaikilla x R jollekin c R (eli p on vakiopolynomi), niin N (D) =. Näin ollen dim N (D) =. Dimensiolauseen nojalla dim P ol n (R, R) = n + = + dim R(D), joten dim R(D) = n < dim P ol n (R, R). Näin ollen D ei ole surjektio. 8

Esimerkki 3.5. Olkoon {e, e } avaruuden R luonnollinen kanta. Onko olemassa lineaarikuvausta L : R R, jolle Le = e + e ja Le = e e? Olkoon (x, y) R. Jos tällainen L on olemassa, niin L(x, y) = L(xe + ye ) = xle + yle = x(e + e ) + y(e e ) = (x + y)e + (x y)e = (x + y, x y). Siis L(x, y) = (x + y, x y) kaikilla (x, y) R ja tämä kuvaus on lineaarinen (harjoitustehtävä). Lause 3.6. Olkoot V ja W vektoriavaruuksia sekä S = {v,... v n }, n N, avaruuden V kanta. Valitaan jokaiselle i =,..., n jokin w i W. Tällöin on olemassa yksikäsitteinen lineaarikuvaus L : V W, jolle Lv i = w i kaikilla i =,..., n. Esimerkki 3.7. Olkoon L : R R, L(x, x ) = (x + x, x x ) kaikilla (x, x ) R. Kun ajatellaan avaruuden R alkiot pystyvektoreiksi, saadaan matriisiyhtälö [ ] x + x Lx = = x x [ ] [ Pisteen x = (x [, x ]) kuva lineaarikuvauksessa [ L voidaan ] siis laskea kertomalla x -matriisi -matriisilla A =. Huomaa, että matriisin A x [ ] [ ] ensimmäinen sarake = Le ja toinen sarake = Le. Lause 3.8. Olkoot V k-ulotteinen vektoriavaruus, W n-ulotteinen vektoriavaruus ja L : V W lineaarikuvaus. Olkoot K = {v,..., v k } jokin avaruuden V kanta ja S = {w,..., w n } jokin avaruuden W kanta. Tällöin on olemassa yksikäsitteinen n k-matriisi A = [a ij ], jonka avulla kuvauksen L arvot voidaan laskea kertolaskuna [Lv] S = A[v] K. x x ]. Toisin sanoen a... a k λ µ.. =. a n... a nk λ k µ n missä v = k i= λ iv i ja Lv = n j= µ jw j. 9

Määritelmä 3.9. Olkoot V ja W äärellisulotteisia vektoriavaruuksia, K avaruuden V kanta, S avaruuden W kanta ja L : V W lineaarikuvaus. Lauseen 3.8 antama matriisi A on kuvausta L vastaava matriisi kannoissa K ja S. Sitä merkitään Mat(L; K, S). Huomautus 3.. (a) Matriisin Mat(L; K, S) j:s sarake muodostuu kantavektorin v j kuvan Lv j koordinaateista kannassa S. (b) Lineaarikuvausta vastaa yksikäsitteinen matriisi ja matriisin avulla voidaan määritellä lineaarikuvaus. On siis olemassa bijektio kaikkien lineaaristen kuvauksien L : V W ja kaikkien n k-matriisien välillä; tämä bijektio on F (L) = Mat(L; K, S). Kuvaus F riippuu valituista kannoista K ja S. Esimerkki 3.. (a) Olkoon L : R R, L(x, y) = (x + y, x + y) kaikilla (x, y) R. Valitaan avaruuteen R kannat K = {(, ), (, )} ja S = {(, ), (, )}. Lasketaan matriisit Mat(L; K, K), Mat(L; K, S), Mat(L; S, K) ja Mat(L; S, S). Mat(L;K,K): Etsitään kantavektorien (, ) ja (, ) kuvien koordinaatit kannassa K. Ensin L(, ) = (, ) = (, ) + (, ), joten ensimmäinen sarake on [ [ joten toinen sarake on myös Mat(L;K,S): ]. Sitten L(, ) = (, ) = (, ) + (, ), ] [ ]. Siis Mat(L; K, K) =. L(, ) = ((, )) = (, ) + (, ), ] joten ensimmäinen sarake on [. L(, ) = (, ) = (, ) + (, ), joten toinen sarake on myös [ ] [. Siis Mat(L; K, S) = ].

Mat(L;S,K): L(, ) = (, ) = (, ) = (, ) + (, ), [ ] joten ensimmäinen sarake on. L(, ) = (, ) = (, ) = (, ) + (, ), [ ] [ ] joten toinen sarake on. Siis Mat(L; S, K) = Mat(L;S,S): L(, ) = (, ) = (, ) + (, ), [ ] joten ensimmäinen sarake on. L(, ) = (, ) = (, ) + (, ), [ ] [ ] joten toinen sarake on. Siis Mat(L; S, S) =. (b) Etsitään matriisia 3 Mat(L; K, S) = 4 vastaava lineaarikuvaus, kun kannat K ja S ovat K = {(, ), (, )} ja S = {(,, ), (,, ), (,, )}. Koska kyseessä on 3 -matriisi, niin on L : R R 3. Etsitään vektorin (x, y) R koordinaatit kannassa K: a b = x a = x y a(, ) + b(, ) = (x, y) b = y b = y. Siis (x, y) = (x y, y) K. Nyt vektorin L(x, y) koordinaatit kannassa S saadaan kertolaskusta 3 [ ] 3x 3y y 3x 4y x y [L(x, y)] S = = x y = x y. y 4 x + y 4y x y Siten L(x, y) = (3x 4y)(,, ) + (x y)(,, ) + ( x y)(,, ) = (3x 4y x y, x y x y, 3x 4y + x y) = (x 6y, x 3y, 4x 5y)..

(c) Lasketaan matriisi Mat(Id, K, S), missä Id : R R on tason R identiteettikuvaus, K = {(, ), (, )} ja S = {(, ), (, )}. Nyt Id(, ) = (, ) = (, ) (, ), joten ensimmäinen sarake on [ ]. Lisäksi Id(, ) = (, ) = (, ) + (, ), joten toinen sarake on Siis [ ] Mat(Id; K, S) = [. ] [ ] =. Erityisesti identtisen kuvauksen matriisi ei aina ole identtinen matriisi. (d) Olkoon L : R R, L(x, y) = (x y, x+y). Tällöin L on lineaarinen. Lasketaan Mat(L; K, S), missä K ja S ovat kuten kohdassa (c). Nyt L(, ) = (, ) = (, ) + (, ), L(, ) = (, ) = (, ) + (, ), joten [ ] Mat(L; K, S) =. Siis identtinen matriisi ei aina vastaa identtistä kuvausta. (e) Tarkastellaan derivaattakuvausta D : Pol 3 (R, R) Pol (R, R). Valitaan avaruuden Pol 3 (R, R) kannaksi K = {, x, x, x 3 } ja avaruuden Pol (R, R) kannaksi S = {, x, x }. Lasketaan Mat(D; K, S).

Koska D = = + x + x, niin. sarake on, Dx = = + x + x, niin. sarake on, Dx = x = + x + x, niin 3. sarake on, ja Dx 3 = 3x = + x + 3 x, niin 4. sarake on. 3 Siten Mat(D; K, S) =. 3 Nyt esimerkiksi D( + x + x + x 3 ) = Mat(D; K, S) = = + x + 3 x. 3 Lause 3.. Olkoot V, W ja U äärellisulotteisia vektoriavaruuksia, L, M : V W ja T : W U lineaarikuvauksia sekä K avaruuden V kanta, S avaruuden W kanta ja R avaruuden U kanta. Tällöin (a) Mat(L + M; K, S) = Mat(L; K, S) + Mat(M; K, S) (b) Mat(λL; K, S) = λmat(l; K, S) kaikilla λ R. (c) Mat(T L; K, R) = Mat(T ; S, R)Mat(L; K, S). (d) Kuvaus L on bijektio jos ja vain jos matriisi Mat(L; K, S) on kääntyvä. Jos L on bijektio, niin Mat(L ; S, K) = Mat(L; K, S). Seuraus 3.3. Olkoot L : V W lineaarikuvaus, dim V = dim W < sekä K, K avaruuden V kantoja ja S, S avaruuden W kantoja. Tällöin det Mat(L; K, S ) jos ja vain jos det Mat(L; K, S ) 3

Todistus. Harjoitustehtävä. Esimerkki 3.4. Valitaan avaruuden Pol 3 (R, R) kannaksi K = {, x, x, x 3 }. Olkoot D : Pol 3 (R, R) Pol 3 (R, R) derivaattakuvaus ja L = D + D, missä D = D D. Lasketaan Mat(L, K, K). Esimerkin 3. nojalla Mat(D; K, K) = 3. Siten Mat(L; K, K) = Mat(D ; K, K) + Mat(D, K, K) = Mat(D; K, K)Mat(D; K, K) + Mat(D; K, K) 6 = + 3 6 = 3. 4

Luku 4 Ominaisarvo Kysymys: Milloin lineaarikuvauksen L : V V matriisi Mat(L; K, K) on diagonaalinen, toisin sanoen λ... λ Mat(L; K, K) =....?... λ n Vastaus: Jos löytyy avaruuden V kanta K = {v,..., v n } ja λ,..., λ n R, joille Lv i = λ i v i kaikilla i =,..., n. Määritelmä 4.. Olkoot V vektoriavaruus ja L : V V lineaarinen kuvaus. Luku λ R on kuvauksen L ominaisarvo, jos löytyy sellainen v V \ {}, että Lv = λv. Tällöin v on ominaisarvoon λ liittyvä ominaisvektori. Ominaisarvoon λ liittyvä ominaisavaruus on V λ (L) = {v V : Lv = λv} (toisin sanoen kaikkien ominaisvektorien sekä vektorin muodostama joukko). Käytetään jatkossa identiteettikuvaukselle Id : V merkintää I. Siis I(x) = x kaikilla x V. V yksinkertaisempaa Lause 4.. Olkoon λ lineaarikuvauksen L : V V ominaisarvo. Tällöin V λ (L) on avaruuden V aliavaruus ja V λ (L) = N (L λi). Todistus. Harjoitustehtävä. Esimerkki 4.3. (a) Tarkastellaan kuvausta L : R R, L(x, y) = (x + y, y) kaikilla (x, y) R. Nyt L(, ) = (, ) = (, ), joten on kuvauksen L ominaisarvo ja (, ) on ominaisarvoa vastaava ominaisvektori. Lisäksi L(, ) = (, ) = (, ), joten myös on ominaisarvo 5

ominaisvektorinaan (, ). Muita ominaisarvoja ei ole: x + y = λx L(x, y) = λ(x, y) (x + y, y) = (λx, λy) y = λy Jos λ ja λ, niin toisesta yhtälöstä saadaan (ehdosta λ ) y = ja sitten ensimmäisestä yhtälöstä saadaan (ehdosta λ ) x =. Näin ollen λ ei ole kuvauksen L ominaisarvo. (b) Olkoon L : R R, L(x, y) = ( y, x) kaikilla (x, y) R. Tällöin λx + y =, (x, y) = λ(x, y) ( y, x) = (λx, λy) λy x =. Jos λ =, niin saadaan x = y =, joten ei ole kuvauksen L ominaisarvo. Olkoon λ. Kerrotaan toinen yhtälö luvulla λ ja lisätään tähän ensimmäinen yhtälö. Tällöin saadaan ( + λ )y =. Siis y = ja sitten x =, joten λ ei ole kuvauksen L ominaisarvo. Kuvauksella L ei siis ole ominaisarvoja (kierto 9 vastapäivään). (c) Olkoon C (R, R) = C k (R, R), k= missä C k (R, R) = {f C(R, R) : f (k) C(R, R)} ja f (k) on funktion f k:s derivaatta. Olkoon D : C (R, R) C (R, R) derivaattakuvaus. Etsitään kuvauksen D ominaisarvot: Df = λf f (x) = λf(x) kaikilla x R f(x) = Ce λx kaikilla x R, missä C R. Siten jokainen λ R on kuvauksen D ominaisarvo ja funktio f(x) = Ce λx, missä C, on sitä vastaava ominaisvektori. Lause 4.4. Olkoon V vektoriavaruus. Lineaarikuvauksen L : V V erisuuriin ominaisarvoihin liittyvät ominaisvektorit ovat lineaarisesti riippumattomia. Seuraus 4.5. Olkoon V n-ulotteinen vektoriavaruus ja L : V V lineaarikuvaus. Tällöin kuvauksella L on korkeintaan n erisuurta ominaisarvoa. Jos kuvauksella L on n erisuurta ominaisarvoa λ,..., λ n, niin vastaavat ominaisvektorit muodostavat 6

avaruuden V kannan K ja λ... λ Mat(L; K, K) =........ λ n Määritelmä 4.6. Olkoot V n-ulotteinen vektoriavaruus ja L : V V lineaarikuvaus. Kuvaus L on diagonalisoituva, jos on olemassa sellainen avaruuden V kanta K, että Mat(L; K, K) on diagonalisoituva. Huomautus 4.7. Seuraus 4.5 antaa riittävän ehdon diagonalisoituvuudelle. Tämä ehto ei ole kuitenkaan välttämätön, sillä esimerkiksi I : V V on diagonalisoituva (Mat(I; K, K) = I jokaiselle avaruuden V kannalle K), mutta kuvauksella I on vain yksi ominaisarvo, nimittäin. Määritelmä 4.8. Olkoot V n-ulotteinen vektoriavaruus, K avaruuden V kanta ja L : V V lineaarinen. Olkoon A = Mat(L; K, K). Lineaarikuvauksen L (ja matriisin A) karakteristinen polynomi on p L (λ) = det (A λi). Huomautus 4.9. (a) Jos λ on kuvauksen L ominaisarvo, niin löytyy vektori v V \ {}, jolle Lv = λv eli (L λi)v =. Tällöin L λi ei ole kääntyvä, joten Lauseen 3. (c) nojalla = det Mat(L λi) = det (A λi). Siten λ on karakteristisen polynomin p L (λ) juuri. Tämä päättely voidaan myös kääntää, joten λ on lineaarikuvauksen L ominaisarvo jos ja vain jos p L (λ) =. (b) Olkoot V n-ulotteinen vektoriavaruus, K ja S avaruuden V kantoja ja L : V V lineaarinen. On olemassa kannanvaihtomatriisi C = C(S, K), jolle Mat(L; S, S) = C Mat(L; K, K)C (todistus sivuutetaan). Lause 4.. Lineaarikuvauksen L : V V karakteristinen polynomi on riippumaton avaruuden V kannan valinnasta. 7

Esimerkki 4.. (a) Olkoon L : R R, L(x, y) = ( x + y, x + y) kaikilla (x, y) R. Määrätään tämän kuvauksen ominaisarvot ja ominaisavaruudet. Kuvauksen L matriisi luonnollisessa kannassa on A =, [ ] joten karakteristinen polynomi on [ ] λ p A (λ) = det = ( λ)( λ) = λ. λ Ominaisarvot ovat yhtälön λ = ratkaisut: λ = ±. Vastaavat ominaisavaruudet saadaan yhtälöistä L(x, y) = x + y = x (x, y) x + y = y = ( + )x ja y Siis L(x, y) = x + y = x (x, y) x + y = y y = ( )x. V = {(x, y) R y = ( + )x} = (, + ) ja V = {(x, y) R y = ( )x} = (, ) Nyt K = {(, + ), (, )} on avaruuden R kanta ja [ ] Mat(L; K, K) =. (b) Olkoon lineaarikuvauksen L : R 3 R 3 matriisi luonnollisen kannan suhteen A = 3. 3 Määrätään kuvauksen L ominaisarvot ja ominaisavaruudet. Nyt λ p A (λ) = det 3 λ 3 λ = ( λ)((3 λ) + ) + ( (3 λ)) = ( λ)((3 λ) ). 8

Nyt p A (λ) = jos ja vain jos λ =, λ = 4 tai λ =, joten ominaisarvot ovat ja 4. Ominaisavaruudet: x y + z = x L(x, y, z) = (x, y, z) 3y z = y x = y = z ja x + y + 3z = z x y + z = 4x L(x, y, z) = 4(x, y, z) 3y z = 4y x = y = z. x + y + 3z = 4z Siis V (L) = {(x, y, z) R 3 x = y = z} = (,, ) ja V 4 (L) = {(x, y, z) R 3 x = y = z} = (,, ). Määritelmä 4.. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus ja L : V V lineaarinen. Olkoot λ kuvauksen L ominaisarvo ja A kuvauksen L matriisi. Jos λ on polynomin p A (λ) m-kertainen juuri, eli p A (λ) = (λ λ ) m q(λ), missä q(λ) on polynomi ja q(λ ), niin ominaisarvon λ algebrallinen kertaluku on m. Ominaisarvon λ geometrinen kertaluku on dim N (A λ I). Lause 4.3. Olkoot V n-ulotteinen vektoriavaruus ja L : V V lineaarinen. Tällöin kuvauksen L ominaisarvolle λ pätee λ :n geometrinen kertaluku λ :n algebrallinen kertaluku. Huomautus 4.4. Esimerkissä 4. (b) nähtiin, että ominaisarvot geometrinen kertaluku voi olla aidosti pienempi kuin algebrallinen kertaluku. Lause 4.5. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus ja L : V V diagonalisoituva lineaarikuvaus. Tällöin kuvauksen L jokaisen ominaisarvon geometrinen kertaluku on sama kuin sen algebrallinen kertaluku. Todistus. Harjoitustehtävä. Edellisen lauseen väite pätee myös kääntäen, jos V on kompleksikertoiminen vektoriavaruus (jolloin myös ominaisarvot voivat olla kompleksilukuja). 9

Määritelmä 4.6. Olkoot (V, ( )) ja (W, ) äärellisulotteisia sisätuloavaruuksia sekä L : V W lineaarinen. Kuvauksen L adjungaatti on lineaarikuvaus L : W V, jolle pätee kaikilla v V ja w W. (L w v) = w Lv Lause 4.7. Olkoot V ja W äärellisulotteisia sisätuloavaruuksia kuten Määritelmässä 4.6. Lineaarikuvauksella L : V W on olemassa yksikäsitteinen adjungaatti. Lisäksi L = L. Lause 4.8. Olkoot (V, ( )) ja (W, ) äärellisulotteisia sisätuloavaruuksia, K avaruuden V ortonormaali kanta, S avaruuden W ortonormaali kanta ja L : V W lineaarinen. Tällöin Mat(L ; S, K) = Mat(L; K, S) T. Jos V ja W ovat kompleksikertoimisia avaruuksia, niin tällöin Mat(L ; S, K) = Mat(L; K, S) T. Määritelmä 4.9. Olkoot V äärellisulotteinen sisätuloavaruus ja L : V V lineaarinen. Kuvaus L on itseadjungoituva eli symmetrinen, jos L = L. Lause 4.. Olkoon L : V V äärellisulotteisen sisätuloavaruuden V itseadjungoituva lineaarikuvaus. Tällöin kuvauksen L eri ominaisarvoihin liittyvät ominaisvektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Lause 4. (Spektraalilause). Olkoon L : V V äärellisulotteisen sisätuloavaruuden V itseadjungoituva lineaarikuvaus. Tällöin avaruudella V on ortonormaali kanta, joka muodostuu kuvauksen L ominaisvektoreista. Huomautus 4.. Lineaarikuvauksen L : V V, missä dim V <, ominaisarvojen joukkoa kutsutaan kuvauksen L spektriksi, ja sitä merkitään δ(l). 3

Kohtisuorat Projektiot Geometrinen lähestymistapa Tässä osiossa tarkastelemme Euklidista avaruutta R n ja sen aliavaruuksia. Määritelmä 4.3. Olkoon V avaruuden R n aliavaruus ja K = {v,..., v k } avaruuden V ortonormaali kanta. Vektorin u R n kohtisuora projektio aliavaruudelle V on k P V (u) = (u v j ) v j. j= Esimerkki 4.4. a) Tarkastellaan avaruuden R 3 aliavaruutta V = {(x, y, ) : x, y R}. Tällöin P V (x, y, z) = (x, y, ) kaikilla (x, y, z) R 3. (Luennolla) b) Tarkastellaan avaruuden R aliavaruuksia V = {(x, x) : x R} ja W = {(x, x) : x R}. Tällöin P V (u) = ((x + y)/, (x + y)/) ja P W (u) = ((x y)/, ( x + y)/) kaikilla u = (x, y) R. (Luennolla) Lause 4.5. Olkoon V avaruuden R n aliavaruus ja u R n. (i) u V jos ja vain jos P V (u) = u. (ii) Vektori u P V (u) on kohtisuorassa aliavaruutta V vastaan. (iii) Epäyhtälö u P V (u) u v on tosi kaikilla v V. Lisäksi tässä epäyhtälössä on yhtäsuuruus jos ja vain jos v = P V (u). (iv) Epäyhtälö P V (u) u on tosi kaikilla u R n. Lisäksi tässä epäyhtälössä on yhtäsuuruus jos ja vain jos u V. Määritelmä 4.6. Avaruuden R n epätyhjän osajoukon S kohtisuora komplementti on joukko S = {u R n : (u v) = kaikilla v S}. Lause 4.7. Jos S on avaruuden R n epätyhjä osajoukko, niin S on avaruuden R n aliavaruus. 3

Lause 4.8. Olkoon V avaruuden R n aliavaruus. Tällöin jokaiselle vektorille u R n on olemassa yksikäsitteiset vektorit v V ja w V siten, että u = v + w. Esimerkki 4.9. Olkoon L : R R, L(x, y) = (y, x) kaikilla (x, y) R. Tällöin L = P V P W, missä V ja W ovat ominaisarvoja ja vastaavia ominaisavaruuksia. (Luennolla) Lause 4.3 (Spektraalilause II). Olkoon L : R n R n itseadjungoitu kuvaus ja olkoon {v,..., v n } kuvauksen L ominaisarvoista koostuva avaruuden R n ortonormaali kanta. Olkoot λ j ominaisvektoria v j vastaava ominaisarvo ja P j kohtisuora projektio avaruudelta R n avaruudelle v j. Tällöin Hitunen algebraa L = n λ j P j. j= Määritelmä 4.3. Lineaarinen kuvaus L : R n R n on idempotentti jos ja vain jos L = L. Tässä siis L = L L. Lause 4.3. (i) Jos V on avaruuden R n aliavaruus, niin kuvaus P V on itseadjungoitu idempotentti. (ii) Jos L : R n R n on itseadjungoitu idempotentti, niin R(L) = {u R n : Lu = u} ja N (L) = R(L). Lisäksi L = P R(L). Lause 4.33. Olkoot P ja Q avaruuden R n projektioita. Seuraavat väitteet ovat tosia: (i) P Q on projektio jos ja vain jos P Q = QP. (ii) P + Q on projektio jos ja vain jos R(P ) R(Q). (iii) P Q on projektio P Q = Q QP = Q. 3