DYNAMIIKKA II, LUENTO 8 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

DYNAMIIKKA II, LUENTO 8 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Määritelmiä: yleistetyt koordinaatit, virtuaaliset siirtymät Liike-energian lausekkeita erilaisille systeemeille Lagrangen liikeyhtälöiden johto Lagrangen formalismi II: Virtuaalinen työ ja Lagrangen liikeyhtälöiden johto. Virtuaalisen työn lausekkeen käytöstä dynamiikassa. Konservatiiviset systeemit, potentiaali-energia ja konservatiiviset voimat. Lagrangen funktio ja konservatiivisen systeemin liikeyhtälöt.

KERTAUS

KERTAUS: LAGRANGEN LIIKEYHTÄLÖT Lagrangen liikeyhtälöt N-partikkelin partikkelisysteemille, jolla n vapausastetta (hyvin samantyyppiset jäykälle kappaleelle): Ylestetyt koordinaatit: q j, j = 1, 2,..., n Paikkavektorit: r i = r i(q 1, q 2,..., q n), i = 1, 2,... N Yleistetty voima: Q j = Liike-energia: T = 1 2 Liikeyhtälöt: (F i + f i ) r i, m iṙ i ṙ i j = 1, 2,..., n d dt ( T q j ) T = Q j, j = 1, 2,..., n

KERTAUS: LIIKE-ENERGIAN LAUSEKE Saadaan siis sivennettyä liike-energialle kolme varsin kompaktia esitystapaa A on mv. siirtopiste: A on massakeskipiste C: A on kiinteä piste (v A = 0): T = 1 2 mva va + mva (ω ρ AC) + 1 2 ωt J Aω T = 1 2 mv C v C + 1 2 ωt J C ω T = 1 2 ωt J A ω Siirtopiste A:n helpoimpiin LY:hin johtava valinta riippuu yleensä ongelmasta. Näitä systemaattisesti käyttämällä saadaan esitettyä systeemin liike-energia.

LF: YLEISTETYT KOORDINAATIT JA VAPAUSASTEET Yleistetyt koordinaatit q i ovat toisistaan riippumattomia ja määrittävät systeemin aseman yksikäsitteisesti rikkomatta sen kinemaattisia rajoitteita. Jos systeemissä on N partikkelia ja n vapausastetta voidaan sen partikkeleiden asema kuvata paikkavektoreilla N = 2 & n = 1 Oletus: pallonivel O:ssa r i = r i (q 1, q 2, q 3,..., q n, t) i = 1, 2, 3,..., N Huomaa tässä, että n ei ole välttämättä ole sama kuin N. Yleistyt koordinaatit voidaan valita usealla eri tavalla, mutta niiden lukumäärä on tietylle systeemille vakio. N = 1 & n = 3

LF: VIRTUAALISET SIIRTYMÄT Virtuaalinen siirtymä on paikkavektorin variaatio yleistettyjen koordinaattien suhteen δr i = r i q 1 δq 1 + r i q 2 δq 2 + r i q 3 δq 3 +... + r i q n δq n = r i δq j Toisaalta virtuaalinen siirtymä voidaan kirjoittaa komponenttimuodossa kuten vektori δr i = δx i i + δy i j + δz i k = x i δq j i + y i δq j j + z i δq j k Kinemaattisesti luvalliset virtuaaliset siirtymät eivät riko tehtävän kinemaattisia rajoitteita differentiaalisen (hyvin pienen) siirtymän mielessä. Meille hyvä valinta. Kinemaattisesti luvattomat virtuaaliset siirtymät puolestaan rikkovat systeemin kinemaattisia rajoitteita. Voi käyttää esim. statiikan tehtävissä näppärästi. Virtuaalisia siirtymiä tarkastellessa systeemin aika tulee ajatella jäädytetyksi: esim. voimat säilyttävät tarkasteluhetken arvonsa ja suuntansa (pikkasen abstrakti juttu).

LF: VIRTUAALINEN TYÖ Määritelmä: virtuaalinen työ δw saadaan N partikkelin systeemille yhtälöstä r i δw = K i δr i = K i δq j = K i r i }{{} Q j (määritelmä) δq j = Q j δq j Edellisillä kalvoilla todetusta seuraa: kinemaattisesti sallitussa virtuaalisessa siirtymässa rajoitevoiminen tekemä virtuaalinen työ häviää (Z i δr i Z i δr i = 0). g N g N δr N δr = 0 N δr 0 Virtuaalisia siirtymiä tarkastellessa systeemin aika tulee ajatella jäädytetyksi: esim. voimat säilyttävät tarkasteluhetken arvonsa ja suuntansa (pikkasen abstrakti juttu). δr

DYNAMIIKKA II: L8: LAGRANGEN FORMALISMI II Arttu Polojärvi

OPPIMISTAVOITTEET Tämän luennon jälkeen opiskelija: Tuntee Lagrangen liikeyhtälöiden, liikelain f = ma ja virtuaalisen työn periaatteen väliset yhteydet (LY:iden johdon kaikkia yksityiskohtia ei tarvitse osata) Tietää kuinka määritellään konservatiivinen voima ja systeemi sekä kuinka muodostetaan yksinkertaisen systeemin potentiaali-energia. Osaa soveltaa Lagrangen funktiota yksinkertaisten konservatiivisten systeemien liikeyhtälöiden muodostamisessa.

LAGRANGEN LIIKEYHTÄLÖIDEN JOHTO

LF: VIRTUAALINEN TYÖ JA LAGRANGEN LIIKEYHTÄLÖT Viime luennolla kirjoiteltiin liikelaki muotoon (sisältäen tässä myös rajoitevoimat) (K i m i a i ) δr i = 0 Edellisessä lausekkeessa voitaisiin vielä huomioida systeemin sisäiset voimat f i (K i + f i m ia i) δr i = 0 Määritellään sitten Ulkoinen, sisäinen ja hitausvoimien virtuaalinen työ δw ext = K i δr i δw int = f i δr i δw ine = m i a i δr i Sijoitetaan vaan nämä edelle liikelakiin: tulos virtuaalisen työn periaate δw ine + δw int + δw ext = 0,

LF: VIRTUAALINEN TYÖ JA LAGRANGEN LIIKEYHTÄLÖT Edellä on esitetty liikeyhtälöille ekvivalentti esitysmuoto (virtuaalisen työn periaate) δw ine + δw int + δw ext = 0. Määritellään yleistetyt voimat (jaetaan tyypeittäin) ja saadaan kohta johdettua δw :ille δw ext = δw int = δw ine = Q ext j δq j, jossa Q ext j = Q int j δq j, jossa Q int j = Q ine j δq j, jossa Q ine j = K i r i f i ri m ia i ri = d dt ( dt d q j ) dt dq j Kun kaikki tämä sijoitetaan ensimmäiseen saadaan (tässä Q j sisältää Q ext j :n ja Q int j :n) [ ( ) d T T ] Q j δq j = 0 d ( ) T T Q j = 0 dt q j dt q j Lagrangen liikeyhtälöt saadaan virtuaalisen työn yhtälön manipuloinnin avulla.

LF: VIRTUAALINEN TYÖ JA LAGRANGEN LIIKEYHTÄLÖT Aloitetaan puurtaminen δw ext :n ja δw int :n lausekkeista. Muistetaan määritelmä δr i = r i δq j, jossa r i = r i (q 1, q 2,..., q n ). Ulkoinen ja sisäinen virtuaalinen työ saadaan edellisen sivun muotoon sijoittelemalla δw ext r i = K i δr i = K i δq j = K i ri }{{} =Q ext j (määritelmä) δq j = Q ext j δq j δw int r i = f i δr i = f i δq j = f i ri }{{} =Q int j (määritelmä) δq j = Q int j δq j

LF: VIRTUAALINEN TYÖ JA LAGRANGEN LIIKEYHTÄLÖT Johdetaan hankalin (tai vaan pisin) termi eli hitausvoimien tekemä virtuaalinen työ δw ine r i = m ia i δr i = m i r i δq j = m i r i ri }{{} =Q ine j (määritelmä) δq j = Q ine j δq j johon vielä edelleen pitäisi saada johdettua Q ine j :lle Lagrangen liikeyhtälöihin muoto Q ine j = d dt ( dt d q j ) dt dq j Lähtien liikkeelle määritelmästä voidaan tulon derivoimissäänön mukaan kirjoittaa Q ine j = m i r i ri = ( ) d m i ṙ i ri dt m i ṙ i d r i dt Pieni muistutus derivaatoista: r i derivaatta ajan suhteen saadaan ketjuderivoimalla ṙ i = dr i dt = n k=1 r i q k q k t + r i t = n k=1 r i q k + r i q k t

LF: VIRTUAALINEN TYÖ JA LAGRANGEN LIIKEYHTÄLÖT Jotta päästäisiin eteenpäin, tarvitaan vielä pari aputulosta. Näistä ensimmäinen ṙ i = k=1 2 r i q k q k + 2 r i t = q k k=1 ( ri ) q k + t ( ri ) = d dt ja toinen (tässä kirjoita ṙ i auki ja huomioi q k / q j = 0 jos k j) ( ṙ i = n ) ( r i q k q j q j q k t + r i = n ) r i q k + r i t q j q k t Toisin sanoen Q ine j k=1 k=1 = r i :n lausekkeeseen voidaan siis sijoittaa aputuloksien yhteydet ( ) d ri = ṙi r i ja = ṙi dt q j Q ine j = = ( ) d m i ṙ i ri dt ( ) d m i ṙ i ṙi dt q j m i ṙ i d r i dt m iṙ i ṙi ( ri )

LF: VIRTUAALINEN TYÖ JA LAGRANGEN LIIKEYHTÄLÖT Saatiin edellisellä sivulla ( ) Q ine d j = m i ṙ i ṙi m iṙ i ṙi dt q j joka sievenee edelleen muotoon Q ine j = ( [ ]) d 1 m i dt q j 2 ṙi ṙ i m i koska (tulon derivointi ja pistetulon vaihdannaisuus: a b = b a) [ ] 1 ṙi ṙi = 1 ( ) ṙi ṙ i + ṙ i ṙi = ṙ i ṙi q j 2 2 q j q j q j [ ] 1 2 ṙi ṙ i Huomioidaan vielä että ṙ i = v i ja että systeemin liike-energia (määritelmä) T = 1 2 m iv i v i ja järjestellään termit (derivointi-operaattorit summien eteen): Q ine j = d dt q j 1 mivi vi 2 jne. 1 2 mivi vi = d T T dt q j

LF: VIRTUAALINEN TYÖ JA LAGRANGEN LIIKEYHTÄLÖT Sijoitetaan edellä aukaistut δw ext, δw int ja δw ine virtuaalisen työn periaateeseen δw ext + δw int + δw ine = [ ( ) d T T ] Q j δq j = 0 dt q j Koska tässä δq j:t ovat mv. voidaan on summalausekkeen toteuduttava termeittäin! Eli: Virtuaalisen työn periaatteesta saadaan n kappaletta liikeyhtälöitä: ( ) d T T Q j = 0. dt q j Lagrangen liikeyhtälöt saadaan aukomalla virtuaalisen työn periaatteen termejä! Aina saman verran liikeyhtälöitä kuin systeemin yleistettyjä koordinaatteja! Todella tehokasta: T ja Q j määritelmien mukaan, sievennä, derivoi LY:t. Huomaathan: yleistetyt voimat Q j eivät ole vektoreita vaan skalaareita!

LF: VIRTUAALISESTA TYÖSTÄ JA YLEISTETYISTÄ VOIMISTA Erityisesti jäykkien kappaleiden tapauksessa usein on tehokasta käyttää yhtälöä δw ext = F i δr i + M i δθ i, jossa siis momentti tekee virtuaalista työtä virtuaalisen kulmanmuutoksen vuoksi. 6. Johda kuvassa esitetyn esitetyn sauvaheilurisysteemin potentiaalienergia sekä liikeyhtälö, Lagrangen kun liikeyhtälö, yleistettynä kunkoordinaattina yleistettynä koor- on Lagrangen kulma dinaattina θ. on Kierrejousen kulma. Kierrejousen (palauttava) (palauttava) momentti momentti M on M on suoraan verrannollinen kulmaan eli M = k, jossa suoraan verrannollinen kulmaan θ eli M = kθ, jossa k on jousivakio. Sauvan hitausmomentti massakeskipisteen suhteen on jousivakio. on I Sauvan hitausmomentti kierrejousen c = ml2 kiinnityspisteen suhteen. 12 on I = ml 2 /3. Vastaus: 1mL2 + k + mg L sin =0 3 2 Ratkaisu Katso myös esimerkki verkosta luennon alta! Vain painovoima ja jousivoima tekevät työtä ja molemmat ovat konservatiivisia. Systeemi on siis konservatiivinen. Potentiaalienergiaa varten tarvitaan jousen ja kappaleen

KONSERVATIIVISET VOIMAT JA SYSTEEMIT

KONSERVATIIVISET VOIMAT JA SYSTEEMIT: ESIMERKKI Tutuin tapaus lienee gravitaatio ja potentiaalienergia: (x 2, y 2 ) (a) y Tällöin sen potentiaali- (b) g (x 1, y 1 ) x Kuvan partikkeli (massa m) siirtyy uuteen asemaan. energia kasvaa määrän V = mg(y 2 y 1 ) V (y) = mgy jossa on oletettu V = 0, kun y = 0. Huomataan, että V on vakio, siirtyi partikkeli mitä tahansa polkua pitkin (kuten esimerkiksi kuvan (a) ja (b) polku). Painovoiman partikkeliin aiheuttama voima F = mgj saadaan potentiaalienergian gradientista: F = V = V x i V y j V z k = mgj.

KONSERVATIIVISET VOIMAT JA SYSTEEMIT: GRADIENTTI Potentiaalin yhteydessä tullaan käyttämään gradienttioperaattoria ( nabla ): = x i + y j + z k. Gradientti siis operoi skalaariarvoiseen funktioon ja tuloksena on vektori. Esimerkki funktion nablauksesta: operoidaan skalaarifunktiota f :lla f(x, y, z) = ax 2 + bxy + cz 3 f = f x i + f y j + f z k = (2ax + by)i + bxj + 3cz2 k Edellä tämä jo nähtiin: potentiaalienergia V = mgy on skalaari ja toisaalta F = V = (mgy) x i (mgy) y j (mgy) k = mgj z

KONSERVATIIVISET VOIMAT JA SYSTEEMIT: MÄÄRITELMIÄ Voima F on konservatiivinen, jos on olemassa voiman vaikutuspisteen paikasta r riippuva potentiaali V (r 1, r 2,..., r N ) ja F saadaan V :n gradientista F = V = V x i V y j V z k ja yksityiskohtaisemmin voidaan kirjoittaa konservatiivisen voiman komponentit F x = V x i F y = V y j F z = V z k Konservatiivisen voiman systeemiin tekemä työ riippuu vain systeemin osien alku- ja loppupisteistä (katsotaan työtä ja V :tä vielä tarkemmin ensi luennolla). Ajatusmalli: systeemin potentiaalienergian V kasvaessa varastoidaan energiaa, joka voi muuttua liike-energiaksi (konservatiivisten voimien kautta). Muista myös että Lagrangen liikeyhtälössä r i = r i (q 1, q 2,..., q n ) ja näin ollen voidaankin kirjoittaav = V (q 1, q 2,..., q n). Konservatiivinen systeemi: kaikki systeemin voimat ovat konservatiivisia voimia.

KONSERVATIIVISET VOIMAT JA SYSTEEMIT: MÄÄRITELMIÄ Systeemin kokonaispotentiaalienergia on sen osien potentiaalienergioiden summa V = V jouset + V grav +... Partikkelin i (paikka r i = x ii + y ij + z ik) konservatiivisten voimien resultantti on F i = i V = V x i i V y i j V z i k, jossa i = x i i + y i j + z i k. Edellä i ottaa osittaisderivaatat koko systeemin V :stä i:n koordinaattien suhteen. Partikkelisysteemi gravitaatiokentässä: partikkeliin i vaikuttaa painovoima (oletus: y-akseli ylöspäin ja gravitaatio alaspäin, 0-taso kohdassa y = 0): F i = m i gj i:n pot.energia on mgy i ja siis F i = i mgy i Koko systeemin potentiaalienergia on varmaan helppo uskoa saatavan summana V = N m igy i ja myös F i = iv = i m igy i = imgy i

KONSERVATIIVISET VOIMAT JA SYSTEEMIT: ESIMERKKEJÄ Tyypillisimmät konservatiiviset voimat (meille täällä riittävät). Tyyppi Esimerkki Potentiaali Vakiovoimat: F = a xi + a yj V = ax by G = mgj (painovoima) V = mgy Jousivoimat : F = kxi (lin. jousi) V = (1/2)kx 2 Näissä on oletettu, että potentiaali on nolla, kun koordinaatti on nolla ( nollataso on kohdassa nolla ). Jousen voima riippuu sen pituuden l muutoksesta: suuntaa huomiomatta F = k( l) ja V = (1/2)k( l) 2. Tyypillisimmät epäkonservatiiviset voimat (me käytämme näitäkin). Tyyppi Esimerkki Huomioita Kitkavoimat: F = µn Voiman tekemä työ riippuu polusta Vaimennusvoimat: F = cẋ Ei riipu paikasta vaan nopeudesta

LAGRANGEN FUNKTIO JA LIIKEYHTÄLÖT

LAGRANGEN FUNKTIO JA LIIKEYHTÄLÖT: MÄÄRITELMIÄ Konservatiiviselle systeemin liikeyhtälöt saadaan käyttäen Lagrangen funktiota Liike-energia: T = 1 2 m i ṙ i ṙ i Potentiaalienergia: V = V (q 1, q 2,..., q n ), j = 1, 2,..., n Lagrangen funktio: L = T V Liikeyhtälöt: Yleistetty voima: d dt ( L ) L = 0, j = 1, 2,..., n q j Q j = V Konservatiiviselle systeemille on usein helppo muodostaa potentaalienergia (ainakin helpompi kuin muodostaa voimaresultanteista yleistettyjä voimia jne.).

LAGRANGEN FUNKTIO JA LIIKEYHTÄLÖT: YLEISTETTY VOIMA Sijoitetaan edeltä yleistetyn voiman lausekkeeseen ja saadaan käyttökelpoinen yhteys Q j = = = F i r i = iv r i ) ( V x i i + V y i j + V z i k V x i x i + V y i y i + V z i z i ( ) xi i + yi j + zi k = V Edellisessä ollaan viimeisessä vaiheessa käytetty derivoinnin ketjusääntöä V :lle. Konservatiivisen systeemin tapauksessa n yleistettyä voimaa saadaan yhteyksistä Q j = V (q 1, q 2,..., q n ), j = {1, 2, 3,..., n}

LAGRANGEN FUNKTIO JA LIIKEYHTÄLÖT: JOHTO Oletetaan konservatiivinen systeemi ja katsotaan termeittäin yhtälöä (L = T V ) d dt ( L ) L = 0 q j Sijoittamalla yleistetyn voiman ja potentiaalin välinen yhteys ensimmäiseen termiin Q j = V L = (T V ) = T V = T + Q j Seuraavaksi: V = V (q 1, q 2,..., q n ) eikä siis näin ollen riipu nopeuksista q j V = 0 (T V ) = T q j q j q j Kun yhdistetään nämä tiedot päästään jo tutumpaan muotoon lagrangen liikeyhtälöistä d dt ( L ) L q j = d dt ( T q j ) T Q j = 0.

LAGRANGEN FUNKTIO JA LIIKEYHTÄLÖT: ESIMERKKI 6. Johda kuvassa esitetyn esitetyn sauvaheilurisysteemin potentiaalie- potentiaalienergia sekä sekä Lagrangen Lagrangen liikeyhtälö, funktio kun ja yleistettynä liikeyhtälöt, koordinaattina onkoordinaattina kulma. Kierrejousen on kulma (palauttava) θ. Kierrejousen momentti kun yleistettynä (palauttava) M on suoraan momentti verrannollinen M on kulmaan suoraan verrannollinen eli M = k, jossa kulmaan k on jousivakio. θ eli M = Sauvan kθ, hitausmomentti jossa k on jousivakio. massakeskipisteen Sauvan hitausmomentti suhteen on I c = ml2 kierrejousen. kiinnityspisteen suhteen on I = ml 2 12 /3. Vastaus: 1mL2 + k + mg L sin =0 3 2 Ratkaisu Vain painovoima ja jousivoima tekevät työtä ja molemmat ovat konservatiivisia. Systeemi on siis konservatiivinen. Potentiaalienergiaa varten tarvitaan jousen ja kappaleen painon (vakiovoima) potentiaalienergian lausekkeita. Lisäksi liikeyhtälöä varten tarvitaan jäykän kappaleen liike-energian esitystä. Yleistetty koordinaatti on kallistuskulma (vastapäivään). Vapaakappalekuva kannattaa myös hahmotella, vaikka se ei tässä olekaan täysin välttämätöntä.