Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 9 Päivitetty 9..6 4 a) 4 Suplementtiulmille on voimassa b) a) α + β 8 α + β 8 β 6 c) b) c) α 6 6 + β 8 β 8 6 β 45 β 6 9 α 9 9 + β 8 β 8 + 9 β 7
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 4 Päivitetty 9..6 4 a) α 8 b) β 7 + 6 α 6 45 45 β 8 + 45 5 45 a) 8 6 +, joten ulmalla on sama alu- ja loppuyli. b) 5 6 Kulmaa vastaava positiivisen iertosuunnan ulma on 6 6. 44. a) Suunnattu ulma on 8 + 45 5 b) Suunnattu ulma on 8,5,5 46 t min Seuntiviisari iertää minuutissa yhden ierrosen myötäpäivään eli viisari iertää ulman 6. Siis α ( 6 ) 96 t min h 6 Tuntiviisari iertää tunnissa myötäpäivään yhden numerovälin eli 6. Siis α ( ) 5,5 6 Vastaus 96 ; 5,5
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 4 Päivitetty 9..6 47 a) Pystysuoran suoran suuntaulma on 9. b) b) Vaaasuoran suoran suuntaulma on 48 a) Meritään suoran s ja positiivisen -aselin välistä ulmaa β :lla. Kosa suora s on nouseva, on suuntaulma α >. α 8 4 9 5 β 8 vierusulmat 6 Kosa suora s on laseva, on suuntaulma α <. Siis α β 6 Vastaus Suoran s suuntaulma on a) 6 b) 5
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 4 Päivitetty 9..6 49 a) Pisteet (, ) ja ( 5,) y y y 5 b) Pisteet (, ) ja ( 5, ) y y y 5 c) Pisteet (, ) ja (, 5) Kosa pisteillä on sama -oordinaatti, on suora pystysuora. Siis ulmaerroin ei ole määritelty. b) c) (, y) ( 4,) (, y ) (,) y y y ( 4) Kosa, on suora vaaasuora. (, y) (,) (, y ) (, 4) y y y 4 7 7> ( ) Kosa >, on suora nouseva. Vastaus a) b) c) ei ulmaerrointa 4 a) (, y) (,) (, y ) ( 5, ) y y y < 5 Kosa <, on suora laseva. d) (, y) (, ) (, y ) (,) Kosa pisteiden -oordinaatit ovat samat, on suora pystysuora. Vastaus a) laseva b) vaaasuora c) nouseva d) pystysuora
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 4 Päivitetty 9..6 4 y y y a ( ) a 4 ( a ) a 6 a 9 Vastaus a 9, (, y) (,) (, y ) (, a) 4 Oloon suoran ja -aselin leiauspisteenä A (, ) seä suoran ja y-aselin leiauspisteenä B (, y ). Suoran ulmaerroin AB (, y) (,) (, ) (, ) y y y y y y Toisaalta ulmaerroin y 4 4 y 4. Siis
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 44 Päivitetty 9..6 Janan AB pituus on Siis ( ) ( y ) (, y ) (,) (, y ) (, y ) AB + y y + y 4 + 6 + 9 5 5 9 + Kun 9, niin 4 y 9 Kun 9, niin 4 y 9 Siis A ( 9, ) ja B (, ) tai A 9, ja B, Vastaus A 9, ja B, tai A 9, ja B, 5 5 5 5 9 ± 9
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 45 Päivitetty 9..6 4 tan α, un α 9 a) tan 6 tan 6 tan 6 b) tan 45 tan 45 c) d) tan e) Kosa α 9, niin suoralla ei ole ulmaerrointa. Vastaus a) b) c) d) e) ei ulmaerrointa 44 a) b) c) d) tanα α tan α 6,44... 6 tanα α tan ( ) α 7,565... 7 tanα tan α tanα α tan α 54,75... 55 e) tanα α Vastaus a) 6 b) 7 c) d) 55 e)
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 46 Päivitetty 9..6 45 tan α, α 9 y tanα, y 7 7 tanα α 4,99... 5 Vastaus 5 46 (, y ) (, ) (, y ) (,) y + + ) y + + tanα tanα + α 67,5 Vastaus + Suuntaulma on 67,5.
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 47 Päivitetty 9..6 47 a) (, y ) (, ) (, y ) (,6) y y 6 6 tanα tanα α 7,56... α 7 b) (, y ) (, ) (, y ) (, ) y y tanα α 9,... α 9, Vastaus a), suuntaulma on 7 b), suuntaulma on 9, 48 tan α 45 α tan 45 tan 45 Toisaalta y 8 ( ) a ( 6) 8+ a + 6 6 6 a (, y) ( 6, ) (, ) (, 8) y y y a Siis 6 6 a 6 6+ a a Vastaus a
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 48 Päivitetty 9..6 49 ( a, ) (, ) A B a+ a a) Pisteiden A ja B autta uleva suora on pystysuora, jos pisteiden -oordinaatit ovat yhtä suuret. Siis a a+ a a + a a b) Pisteiden A ja B autta uleva suora on vaaasuora, jos pisteiden y-oordinaatit ovat yhtä suuret. Siis a a a ± Vastaus a) a b) a ± 4 Oloon, y, a ( ) (, y ) (, a a ) Kulmaerroin on y y a a a a a a + a+ a) Suora on nouseva, jos >. a + a+ > Nollaohdat: a + a+ ± 4 ( ) a ( ) ± 4 a a tai a
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 49 Päivitetty 9..6 Kuvaaja: Siis a + a+ >, un < a<. Näin ollen suora on nouseva, un < a <. b) Suora on laseva, jos <. Kuvaajan avulla saadaan, että a + a+ < a< a>, un tai Siis suora on laseva, un a< tai a >. Vastaus a) < a < b) a< tai a> 4 a) y y, y,, y ( ) y Yhtälö voidaan esittää myös muodossa y. b) y y ( ) (, y) (, ), y ( ( ) ) y y 9 + y 7 7 Yhtälö voidaan esittää myös muodossa y +. c) y y, y 9,98, y 98 ( 9) y 98 y 98 Yhtälö voidaan esittää myös muodossa y 98. Vastaus a) y b) + y 7 c) y 98
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 5 Päivitetty 9..6 4 a) Suoran yhtälö on y y ( ) (, y),, y ( ) y y Yhtälö voidaan esittää myös yleisessä muodossa y y y b) Suoran yhtälö on y y ( ) (, y),, y ( ) y+ y Yhtälö voidaan esittää myös yleisessä muodossa y y y c) Suoran yhtälö on y y ( ) (, y) ( a, a), y a ( ( a) ) y a ( + a) y a + a y + a Yhtälö voidaan esittää myös yleisessä muodossa y + a y + 6a y+ 6a Vastaus a) y b) y c) y + a
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 5 Päivitetty 9..6 4 a) Piste (, y ) (, 5) Kosa suora on vaaasuora, on sen yhtälö muotoa y y Siis yhtälö on y 5. b) Piste (, y ) (, 5) Kosa suora on pystysuora, on sen yhtälö muotoa Siis yhtälö on. Vastaus a) y 5 b) 44 a) (, y) (,) (, y ) (, 4) y y y y y y 4 y ( ) ( ) 5 y ( + ) y 5( + ) y 5 y 5 9 5+ y+ 9
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 5 Päivitetty 9..6 b) c) (, y) (,) (, y ) (,) y y y y y ( ) y ( ) ( 4) 4 9 4y 9 y + 4 4 + 4y 9 (, y) ( a, b) (, y ) ( b, a) y y y y a b y b ( a) b a a b y b ( a a b ) y b + a + y a b y + a+ b 45 a) y y y y 5 y ( + 4) + 4 8 y ( + 4) 4 y ( + 4) y 8 + y+ 5 y 5 y (, y) ( 4,) (, ) (, 5) y y y y ( ) b) Pisteet ovat (, ) ja ( 6, ). Kosa pisteiden y-oordinaatit ovat samat, on suora y y. vaaasuora. Siis suoran yhtälö on c) Pisteet ovat ( 5, ) ja ( 5,). Kosa pisteiden -oordinaatit ovat samat, on suora pystysuora ja sen yhtälö on 5 ( 5 ). Vastaus a) 5 + y + 9 b) + 4y 9 c) + y a b Vastaus a) + y + 5 b) y c) 5
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 5 Päivitetty 9..6 46 Origon autta ulevan suoran yhtälö on muotoa y. a) Suora ei ole pystysuora, joten suoran ulmaerroin on suuntaulman tangentti. tanα α tan Suoran yhtälö on y y ( -aselin yhtälö) b) Suora ei ole pystysuora, joten suoran ulmaerroin on suuntaulman tangentti. tanα α tan Suoran yhtälö on y ( y ) c) Kosa suora on pystysuora, ei suoralla ole ulmaerrointa. Suoran yhtälö on ( y ) -aselin yhtälö 47 a) Piste (, y ) (, ) tanα α 45 tan 45 tan 45 Suoran yhtälö on y y y+ ( ) y+ y y b) tanα α 45 tan 45 tan 45 tan 45 Suoran yhtälö on y y y+ ( ) y+ + + y+ y c) Kosa suuntaulma α, niin suora on vaaasuora ja sen yhtälö on muotoa y y. Siis suoran yhtälö on y. Vastaus a) y b) y c) Vastaus a) y b) + y + c) y
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 54 Päivitetty 9..6 48 Suoran piste on (,). Suoran ja -aselin välinen ulma on 6, joten suoran suuntaulma α on 6 tai 6. I II II α 6 Suoran ulmaerroin on tan6 Suoran yhtälö on y ( + ), (, ) (,) y y y y + + y+ + Vastaus y + + ( y+ + ) tai y + + y + I α 6 Suoran ulmaerroin on Suoran yhtälö on y ( + ) tan 6 tan 6, (, ) (,) y y y y + + y +
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 55 Päivitetty 9..6 49 Oloon A (,4) ja suoralla oleva piste B ( y, ). Kosa piste B on suoralla, niin y-oordinaatti saadaan suoran yhtälöstä y + y + Janan AB pituus on ( ) ( ) (, ) (,4) (, y ) (,+ ) 5 ( ( ) ) + ( + 4) 5 ( + ) + ( ) 5 ( + ) + ( ) 5 4 4 4 4 5 45 :5 9 ± AB 5 AB + y y y + + + + Kun, niin y + 9 Kun, niin y ( ) + Siis piste B on (,9 ) tai (, ) Vastaus Suoralla olevat pisteet ovat (,9 ) ja (, ).
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 56 Päivitetty 9..6 4 a) y + + y 4 a) + y 7 y + 7 b) 5 5 b) 9y + 8 9y 8 :( 9) c) y + 6 6y + 6y+ c) y 6 y 6 8 y + 9 9 Vastaus a) + y b) 5 c) 6y + d) + 4 4 Vastaus a) y + 7 b) 8 y + c) y 6 d) 4 9 9
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 57 Päivitetty 9..6 4 a) b) + y 4 y + 4 tanα tanα α 6,56... 7 + y + 9 y 9 y tanα α,69... 4 c) d) 6y 7 7 y 6 Suora on -aselin suuntainen, joten tanα α + Suora on y-aselin suuntainen, joten suoralla ei ole ulmaerrointa. Kosa suora on pystysuora, on suuntaulma α 9 Vastaus a), 7 α b), α 4 c), α d) ei ulmaerrointa, α 9.
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 58 Päivitetty 9..6 4 Suora 7 y 8 a) Sijoitetaan pisteen ( 5, 9) oordinaatit suoran 7 y 8 yhtälöön. Yhtälön vasen puoli on 7 ( 5) ( 9) 8 5+ 7 8 6 Yhtälön oiea puoli on 6 Siis piste ei ole suoralla. b) Sijoitetaan pisteen 5,9 oordinaatit suoran 7 y 8 yhtälöön. Yhtälön vasen puoli on 7 5 9 8 5 7 8 Yhtälön oiea puoli on. Siis piste on suoralla. 44. Pisteiden -oordinaatit ovat erisuuret, joten A, B ja C eivät ole samalla pystysuoralla eivätä pareittain samalla pystysuoralla. Pisteet ovat samalla suoralla täsmälleen silloin, un pisteiden A ja B seä A ja C autta ulevien suorien ulmaertoimet ovat samat. Pisteiden A ja B autta ulevan suoran ulmaerroin on Oloon A ( 8, ), B ( 5, 6 ) ja C ( 4, ) AB ( 6 ( ) 6+ 5 5 5 8 (, y) A ( 8, ) (, ) ( 5, 6) y y y B Pisteiden A ja C autta ulevan suoran ulmaerroin on AC (, y) A ( 8, ) (, ) ( 4, ) y y y C ( ( ) + 5 4 8 Vastaus a) ei b) on Kosa AB Vastaus, ovat pisteet A, B ja C samalla suoralla. AC ovat
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 59 Päivitetty 9..6 45 4 a) P, 5, y y y, y 5 Suora ulee origon autta, joten yhtälö on muotoa y. Kosa suora ulee myös pisteen P autta, toteuttavat sen 4 oordinaatit ja y yhtälön y. 5 Siis 4 5 4 5 4 6 5 5 Suoran yhtälö on 6 y rataistu muoto 5 6 5y yleinen muoto 6 6 5, joten ei ulje 5 5 5 6 Vastaus a) y b) ei 5 b) P, 5 Lasetaan origon ja pisteen P autta ulevan suoran ulmaerroin.
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 6 Päivitetty 9..6 46 Suoran + y eli y + ulmaerroin on. Suoran suuntaulma saadaan yhtälöstä tanα tanα α 6,4... Suoraulmaisesta olmiosta saadaan γ 8 9 δ 8 9 6,4... 6,56... 7 δ β 6,4... ristiulmat Oloon suoran ja -aselin välinen ulma β seä suoran ja y- aselin välinen ulma γ. Vastaus -aselin 6 ulmassa ja y-aselin 7 ulmassa Kulma β on β α 6,4... 6
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 6 Päivitetty 9..6 47 Oloon pisteen (, 4) autta uleva suora l, jona ulmaerroin tanα. Tapa Suoran yhtälö: y y, y 4, y 4 ( ) y 4 y 5 Tutitaan uleeo suora l pisteen ( 5,74 ) autta. Kun 5, niin suoran yhtälöstä saadaan y 5 5 74 Suora l ulee siis pisteen ( 5,74 ) autta. Tapa Lasetaan ulmaerroin suoralle, joa ulee pisteiden A, 4 ja B 5, 74 autta. y 4 74 78 AB eli AB 5 5 Suora ulee siis pisteen ( 5,74 ) autta. Vastaus on
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 6 Päivitetty 9..6 48 Suora Piste (, a) 8 7 a ay a on suoralla, joten pisteen oordinaatit toteuttavat suoran yhtälön. a ( ) a( a) 8a 7 + a a 8a 7 a 8a 7 ( ) a + 8a+ 7 ± a 8 8 4 7 8± 6 6 a 8± 6 a a 7 tai a Vastaus a 7 tai a 49 (, ), (, ) ja (, ) A B C Sivun BC esipiste oloon D. y + 5 y + y 5 Siis D,. Suoran l yhtälö on + y+ ( ) 5 5 y+ ( ) 7 5 y+ ( ) 7 7 7y+ 4 5+ 5 5+ 7y+ 9 Vastaus 5 + 7y + 9
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 6 Päivitetty 9..6 44 Esitetään suoran yhtälö rataistussa muodossa. + y+ + y+ y + + Suoran ulmaerroin on +. a) Suora on nouseva, jos ulmaerroin on positiivinen. + > Nollaohdat: + ( + ) tai Kuvaaja: b) Suora on laseva, un ulmaerroin on negatiivinen. Edellä olevasta uvaajasta saadaan + <, un < < c) Suora on vaaasuora, un ulmaerroin on nolla. + ( + ) tai Vastaus a) < tai > b) < < c) tai Siis + >, un < tai >
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 64 Päivitetty 9..6 44 Kosa ilmoittaa fahrenheitasteet ja y celsiusasteet, saadaan oordinaatiston pisteet (, ) ja (, ). Näiden pisteiden autta ulevan suoran ulmaerroin on y y y 5 8 9 Suoran yhtälö: 5 y y ( ), y, 9 5 y ( ) 9 5 6 y 9 9 5 7 y 7 9 9 Kun 45, niin 5 7 55 6 95 7 y 45 7 9 9 9 9 9 9 7 Siis 45 F C 9 Vastaus 5 7 y 7, missä on lämpötila fahrenheitasteina 9 9 ja y celsiusasteina. 7 45 F C 9 44 Pisteet A, B ja C eivät ole samalla pystysuoralla suoralla, sillä pisteiden B ja C -oordinaatit ovat eri suuret. Oletetaan, että t eli t. Meritään pisteiden A ja B autta ulevan suoran ulmaerrointa AB : lla ja pisteiden B ja C autta ulevan suoran ulmaerrointa BC : llä. 4 ( t 5) 4 t+ 5 t t AB, t t t ( t+ ) t+ t 5 ( 4) t 5+ 4 BC t Pisteet ovat samalla suoralla, jos AB. Saadaan yhtälö t t t t + t t t+ t t + t ± 4 ( ) t ± t t tai t elpaavat Vastaus t tai t BC
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 65 Päivitetty 9..6 44 Oloon suora l: y a+ b, a ja suora s : y c+ d, c. Kosa ulmaertoimet eroavat nollasta, a ja c, seä lisäsi -aseli puolittaa suorien välisen ulman, on toinen suorista nouseva ja toinen laseva. Meritään suoran l suuntaulmaa α : lla ja suoran s suuntaulmaa β : lla. Oloon nousevana suorana suora l. Saadaan yhtälöpari a + b c + d sijoitetaan c a a + b a + d + + b+ b+ d d b d Vastaus c a ja d b Suuntaulmat toteuttavat ehdon -aseli puolittaa α β suorien välisen ulman Siis suorien ulmaertoimet ovat toistensa vastaluuja eli a c c a Suorien on lisäsi leiattava -aselilla eli suorien on uljettava autta. jonin pisteen,
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 66 Päivitetty 9..6 444 A, Suora y eli y. Oloon B (, y) Kosa piste B on suoralla y, niin y. Pisteen B etäisyys origosta on Toisaalta 9 OB + y + + 4 4 OB, joten ± Siis B,. Suoran l yhtälö on y y y y,, ( y ) ( y),, + y+ ( ) y+ ( ) y+ + y+ + 6 + y 5 Vastaus + y 5 Kosa on I neljännesessä, on sijoitus yhtälöön y y
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 67 Päivitetty 9..6 445 a) Suora y + 4 leiaa y-aselin pisteessä (,4 ). Kosa ulmaerroin, niin -oordinaatin muutosta vastaa y-oordinaatin muutos y. Siirtymällä pisteestä (,4 ) asi ysiöä oiealle ja olme ysiöä ylös saadaan suoran piste (,7 ). Suora ulee siis pisteiden (,4 ) ja (,7 ) autta. b) Suora leiaa y-aselin pisteessä (, ). Kosa y aina, on suora vaaasuora. c) Määritetään suoran ja oordinaattiaselien leiauspisteet. : + 4y + 4 4y 4 y Suora leiaa y-aselin pisteessä (, ). y : + 4 + 4 4 Suora leiaa -aselin pisteessä ( 4,). Suora ulee siis pisteiden (, ) ja ( 4,) autta. d) Kosa 4 aina, on suora pystysuora. 4,. Se leiaa -aselin pisteessä
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 68 Päivitetty 9..6 445 b) Suora l: 5y Kun, niin 5y 5y :( 5) y 4 Suora l leiaa y-aselin pisteessä (, 4). Kun y, niin 5 :,. Suora l leiaa -aselin pisteessä Valitaan oordinaatistossa -aselille pituusysiösi 5 ja y-aselille. Suora s: + 4y Kun, niin + 4y 4y : 4 y 5 Suora s leiaa y-aselin pisteessä (,5 ). Kun y, niin + 4 Suora s leiaa -aselin pisteessä (, ).
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 69 Päivitetty 9..6 446 a) + y y Kosa suoran yhtälö on muotoa y, niin suora ulee origon autta. Suoran join toinen piste saadaan antamalla :lle esimerisi arvo. Tällöin y ( ). Siis toinen piste on (, ). Suoran ja oordinaattiaselien leiauspisteet: : y + eli piste, y : + eli piste, b) y 7 4 : 7 y Määritetään asi suoran pistettä. c) 7 y (, y) 7, 7, 6 + y 9 y 9 6 : y + Vastaus Suorat ovat yhdensuuntaiset.
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 7 Päivitetty 9..6 447 Kosa tehtävässä on annettu äyrän tyyppi (suora), ei ole välttämätöntä esittää suoran yhtälöä rataistussa tai yleisessä muodossa, sillä suoran piirtämiseen riittää tuntea sen asi pistettä. Suoran yhtälö parametrimuodossa on t ( t R ) y t + 4 Suoran piirtämistä varten määritetään sen asi pistettä. Kun t, niin ja y 4 eli piste,4 Kun t, niin ja y 6 eli piste,6 Toinen tapa: Määritetään suoran yhtälö rataistussa muodossa eliminoimalla parametri t. t y t + 4 () t + sijoitetaan alempaan yhtälöön y t + 4 y ( + ) + 4 y + + 4 y + 6 Piirretään suora saadun yhtälön y + 6 avulla. Kun, niin y 6 eli piste (,6 ). Kun y, niin,. eli piste
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 7 Päivitetty 9..6 448 Kosa tehtävässä ei ole ilmoitettu äyrän tyyppiä, ei äyrää voida piirtää antamalla t:lle arvoja. Esitetään parametrimuotoinen äyrän yhtälö yleisessä muodossa eliminoimalla parametri t. t + y 6t ( t R ) () t + t : t sijoitus yhtälöön y 6 y ( ) y + 4 + y 5 : + y 5 y 5 Piste,5 y : + 5 5 Piste, Saatu yhtälö esittää suoraa. Lasetaan suoran ja oordinaattiaselien leiauspisteet.
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 7 Päivitetty 9..6 449 a) Poistetaan itseisarvomerit määritelmän muaan. y + 6 + 6, un + 6 6, un + 6 < + 6, un 6 6, un < 6 + 6, un 6, un < ) Alue < Annetaan :lle arvoja < ja lasetaan vastaavat y:n arvot. Lisäsi annetaan :lle arvo, mutta sitä vastaava piste ei uulu uvaajaan y 6, <. ( ) ( ) ( ) y 6, y,, 4 6 4,6 b) Poistetaan itseisarvomerit määritelmän muaan. y + +, un +, un <, un, un > ) Alue Yhtälön y uvaajana on puolisuora, jona päätepisteenä on (, ). ) Alue Annetaan :lle arvoja ja lasetaan vastaavat y:n arvot y + 6 (, y) (,) (,) 6,6
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 7 Päivitetty 9..6 ) Alue > Annetaan :lle arvoja, >, ja lasetaan vastaavat y:n arvot. Lisäsi annetaan :lle arvo, mutta sitä vastaava piste ei uulu uvaajaan y, >. y (, y) (,) (,) 5,5 y + ( ) +, un [ ( ) ] +, un < + +, un +, un < + 5, un, un < ) Alue < y, y Piste,,,,, ei uulu uvaajaan y, jossa <. c) + y y + Poistetaan itseisarvomerit määritelmän muaan. ) Alue y + 5, y Piste ( ), 4 4, 5 5, 7 7,, uuluu uvaajaan y + 5, jossa.
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 74 Päivitetty 9..6 Kun y Siis, niin 4 5 + 6 4 6 B, 6 4 45 Oloon origo O. Lasetaan suoran ja oordinaattiaselien leiauspisteet A ja B. Kun, niin 4 5y 5y 6 6 y 5 6 Siis A, 5. Suoraulmaisen olmion ABO ateetit ovat 6 OA y 5 OB Kolmion ala on 6 OA OB 5 6 5 9,9 m ( )
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 75 Päivitetty 9..6 45 Suora + y + y, Jos, ei muodostu olmiota. Leiausohta -aselilla: y A, Leiausohta y-aselilla: y B, Kerroin voi olla negatiivinen tai positiivinen. Kolmion sivujen pituudet ovat OA OB Kolmion OBA ala on, joten saadaan yhtälö OA OB. : ±
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 76 Päivitetty 9..6 I Suoran yhtälö on + y+ ( ) y 6 45 Suoran yhtälö rataistussa muodossa on y + b y + b Oloon suoran ja -aselin leiauspiste A. II Suoran yhtälö on + y+ + y+ 6 Siis A ( b,) y : + b b Oloon suoran ja y-aselin leiauspiste B. : y + b b Vastaus + y+ 6 tai y 6 Siis B (, b) Kosa b> tai b<, saadaan asi tapausta: Kummassain tapausessa OA b ja OB b
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 77 Päivitetty 9..6 Kolmion ala on 45 OA OB b b b Siis b 8 b 6 b ± 6 Suoran yhtälö on y + 6 tai y 6 + y 6 tai + y+ 6 Vastaus y + 6 tai y 6 Pisteen (, ) autta ulevan suoran yhtälö on y ( ) y + Tapausessa ei synny olmiota. Lasetaan suoran ja oordinaattiaselien leiauspisteet A ja B. : y + y + A, + Piste A on y : + Piste B on B,
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 78 Päivitetty 9..6 Suoraulmaisen olmion OBA ateetit ovat OA + ja OB OA OB Kolmion pinta-ala on, joten saadaan yhtälö + 6 ( ) + 9 + 6 9 + 6 ± I 9 + 6, 9 + 6 9 6 ( 6) ± ( 6) 4 ( 9) ( 9) 6± 6 6 8 II Vastaus + 9 + 6 9 8, 8 ± 8 4 ( 9) ( ) ( 9) 8 ± 4 6 8 8 ± 88 8 8 ± 44 8 8 ± 8 6± 8 ± ± tai
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 79 Päivitetty 9..6 454 Oloon paine p ja syvyys s. Paine on suoraan verrannollinen syvyyteen, joten p s, on vaio p p, s s a) p s b) p s + 455 Rataistaan yhtälö y:n suhteen. a + by + c by a c ) Jos b, niin saadaan a c y b b Tämä suora on nouseva suora, jos a ja b ovat erimeriset. Tämä suora on laseva suora, jos a ja b ovat samanmeriset. Jos ehdon b lisäsi a, niin saadaan vaaasuora suora c y b Jos ehdon b lisäsi a ja c, saadaan origon autta uleva suora a y b ) Jos b, niin saadaan y a c a c Jos ehdon b lisäsi a, niin saadaan pystysuora suora c a
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 8 Päivitetty 9..6 Jos ehdon b lisäsi a, niin c c Tällöin yhtälö a + by + c on aina tosi, joten yhtälön toteuttavat aii tason pisteet. Jos ehtojen b ja a lisäsi c, niin yhtälö a + by + c on aina epätosi. Siis yhtälöllä ei ole uvaajaa. Vastaus Yhtälön uvaaja on suora a c y, un b b b. Yhtälön uvaaja on suora c, un a ja b. a Yhtälöllä ei ole uvaajaa, un a, b ja c. Yhtälön uvaaja on oo y-taso, un a, b ja c.